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令这个基的非基变量 x1, x2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 x2 s1 300 1 1 1 0 0 x2 300 2 1 0 1 0 s1 400 x2 400 0 1 0 0 1 0 x s 250 250 s 2 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: x2= 400 , s1= -100 , s3= -150 加上非基变量: x1= 0, s2 = 1 单纯形法的基本思路和原理
基解： 在约束方程组（E）中，令所有的非基变量：
xm1 xm2 xn 0
又因为有
B 0 ，根据克莱姆法则，由m个约束方程可以解
出m个基变量的唯一解 X b x1 ,, xm T 。将这个解加上非
基变量取0的值有 X x ,, x ,0,,0T ，称X为线性规划问 b 1 m 题的基解。
例：找出下述线性规划问题的全部基解，指出其中 的基可行解，并确定最优解：
max
z = 2 x1 + 3 x2 + x3 x1 + x3 = 5 x1 +2x2 +x4 =10 x2 +x5=4 x1-5 ≥ 0
A ( p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ) 2 1 0 1 0 . Ｂ中的每一个列向量p3, p4, p5 是基向量，与其对 0 1 0 0 1
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
基： 设Ａ为约束方程组（Ｆ）的m×n阶系数矩阵，（设n＞m）， 其秩为m，Ｂ是矩阵Ａ中的一个m×m的满秩子矩阵，称Ｂ 是线性规划问题的一个基．不失一般性，设
Ｂ中的每一个列向量Ｐj（j＝１，…，m）称为基向量，与基向 量Ｐj对应的变量xj称为基变量。线性规划中除了基变量以外的变 量称为非基变量。
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
标准形式为: 目标函数：max z = 50x1+100x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1 + x2 +s1 = 300 2x1 + x2 +s2 = 400 x2 +s3 = 250 x1, x2, s1, s2, s3≥0。 这是由三个五元线性方程组成的方程组，它的系数矩阵为:
的约束方程:
x1= 0, x2= 400, s1= -100, s2= 0, s3= -150,
矩阵方程 AX = b
1 1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0
1 B2 0 0
我们找到A 的一个基:
x1 0 x2 300 0 s1 400 1 s2 250 s 3 0 0 1 0 0 1
可行解： 满足上述约束条件（Ｆ），（Ｇ）的解
(j=1,…，n)
X x1 ,, xn
T
，
称为线性规划问题的可行解．全部可行解的集合称为可行域．
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划问题
m ax z
c
j 1
n
j
x j (i=1,…，m)
(Ｅ) (Ｆ) (Ｇ)
n a ij x j bi j 1 x 0 j
在此例题中：
1 1 2 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 1 0 1
都是该线性规划的一个基。 这些基都是由3个线性无关的系数列向量组成的,对应的基变量
分别为 x1 , x2 , s1 ; s1, s2, s3; x2 ,s1,s2。
令这个基的非基变量 x1, x2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 s1 300 1 1 1 0 0 0 300 2 1 0 1 0 s1 400 s2 400 0 1 0 0 1 s2 s 250 250 s 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: s1=300 , s2=-400 , s3=250 加上非基变量: x1= 0, x2 = 0, 得到此线性规划的一个基解.
0 p5 0 . 1
是线性独立的,这些向量构成一个基
1 0 0 这是由三个五元线性方程组成的方程组，它的系数矩阵为: B p3 , p4 , p5 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1
应的变量s1, s2, s3是基变量。除了基变量以外的变量x1, x2是非基变量。
1 1 1 0 0 A ( p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ) 2 1 0 1 0 . 0 1 0 0 1
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
可以看到 s1, s2, s3的系数列向量
1 p3 0 . 0
0 p4 1 . 0
(j=1,…，n)
基可行解：
满足变量非负约束条件 ( G ) 的基解称为基可行解。
可行基： 对应于基可行解的基称为可行基。
矩阵方程 AX = b 1 1 1 0
2 1 0 1 0 1 0 0
1 B3 1 1
我们找到A 的一个基:
x1 0 x2 300 0 s1 400 1 s2 250 s 3 1 0 0 0 0 1
广泛应用的线性规划的代数算法
－－单纯形法，这恐怕是在运筹
学发展史上最辉煌的一笔。
第五章 单纯形法
5.1 单纯形法的基本思路和原理
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划问题
m ax z
c
j 1
n
j
x j (i=1,…，m)
(Ｅ) (Ｆ) (Ｇ)
n a ij x j bi j 1 x 0 j
们之间的主要区别在于其所有变量的解是否满足非负的条件。
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
定理:
线性规划问题的基可行解 X 对应线性规划问题可行域
的顶点.
在这里，可行域的顶点已不再像图解法中那样直接可见
了。在单纯形法中的可行域的顶点叫做基可行解，第一 个找到的可行域的顶点叫做初始基可行解。
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
的约束方程:
x1=0, x2=0, s1=300
s2=400
s3=250
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
基解： 在约束方程组（E）中，令所有的非基变量：
xm1 xm2 xn 0
又因为有
B 0 ，根据克莱姆法则，由m个约束方程可以解
出m个基变量的唯一解 X b x1 ,, xm T 。将这个解加上非
令这个基的非基变量 x1, s2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 x2 s1 300 1 1 1 0 0 x2 300 2 1 0 1 0 s1 400 x1=0, x2 400 0 1 0 0 1 0 x s 250 250 x2=400 s 2 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: x2= 400 , s1= -100 , s3= -150 s1=-100 加上非基变量: x1= 0, s2 = 0, 得到此线性规划的一个基解.
可行基
1 1 0 B3 1 0 0 1 0 1
不是可行基
均为基
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
由于在这个基解中s1＝－100，s3＝－150，不满足该线 性规划最后一个变量非负的约束条件，显然不是此线性规划
的可行解，一个基解可以是可行解，也可以是非可行解，它
令这个基的非基变量 x1, x2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 s1 300 1 1 1 0 0 0 300 2 1 0 1 0 s1 400 s2 400 0 1 0 0 1 s2 s 250 250 s 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: s1=300 , s2=-400 , s3=250 加上非基变量: x1= 0, x2 = 0, 得到此线性规划的一个基解.
矩阵方程 AX = b
1 1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0
1 B3 1 1
我们找到A 的一个基:
x1 0 x2 300 0 s1 400 1 s2 250 s 3 1 0 0 0 0 1
a11 a1m B P , , Pm 1 am1 amm
Ｂ中的每一个列向量Ｐj（j＝１，…，m）称为基向量，与基向 量Ｐj对应的变量xj称为基变量。线性规划中除了基变量以外的变 量称为非基变量。
1 1 1 0 0 A ( p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ) 2 1 0 1 0 . 0 1 0 0 1
最优解：
(j=1,…，n)
使目标函数（Ｅ）达到最大值的可行解称为最优解．
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
基： 设Ａ为约束方程组（Ｆ）的m×n阶系数矩阵，（设n＞m）， 其秩为m，Ｂ是矩阵Ａ中的一个m×m的满秩子矩阵，称Ｂ 是线性规划问题的一个基．不失一般性，设
a11 a1m B P , , Pm 1 am1 amm
的约束方程:
x1=0, x2=0, s1=300
s2=400
s3=250
x1=0, x2=0, s1=300 s2=400 s3=250
x1= 0, x2= 400, s1= -100, s2= 0, s3= -150, 均为基解
