数学人教b版必修4：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 作业 含解析

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.知识点一 正切函数的图象类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，阅读课本，了解具体操作过程.思考1 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？思考2 一条平行于x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？梳理 (1)正切函数的图象称作“正切曲线”，如下图所示.(2)正切函数的图象特征正切曲线是由通过点(π2＋k π，0)(k ∈Z )且与y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的.知识点二 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？思考5 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？梳理 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：解析式y ＝tan x图象定义域 值域 周期 奇偶性单调性在开区间________________内都是增函数类型一 正切函数的定义域例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x ).反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.类型二 正切函数的单调性及其应用 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间.命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 (1)比较大小： ①tan 32°________tan 215°； ②tan 18π5________tan(－28π9).(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)反思与感悟 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可.正切函数的单调递增区间为(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z ，故在⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭⎫π2，3π2上都是增函数.跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4________tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.类型三 正切函数的奇偶性与对称性问题 例4 (1)判断下列函数的奇偶性. ①y ＝tan 2x －tan x1－tan x ；②y ＝x tan 2x ＋x 4.(2)求y ＝3tan(2x ＋π3)的图象的对称中心.反思与感悟 (1)在利用定义判断与正切函数有关的函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f (－x )与f (x )的关系. (2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心，方法是把ωx ＋φ看作一个整体，由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )解出的x 的值为对称中心的横坐标，纵坐标为零.跟踪训练4 判断下列函数的奇偶性. (1)f (x )＝tan x ＋1tan x ；(2)f (x )＝lg|tan x |.类型四 正切函数的图象及应用例5 画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.反思与感悟 (1)作出函数y ＝|f (x )|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数y ＝f (x )图象在x 轴上方的部分；②将函数y ＝f (x )图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可. 跟踪训练5 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数f (x )的周期，对称中心；(2)作出函数f (x )在一个周期内的简图.1.函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是( )A.πB.2πC.π2D.π62.函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A.(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB.(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD.(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan x2D.y ＝－tan x4.方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.25.比较大小：tan 1________tan 4.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.答案精析问题导学 知识点一思考1 我们作出了正切函数一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z ))的图象．思考2 一条平行于x 轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期． 知识点二思考1 {x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思考2 周期性． 思考3 奇偶性． 思考4 是．思考5 正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数． 正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数．梳理 {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z } R π 奇 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) 题型探究例1 解 (1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }．(2)因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为当tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象， 得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是{x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z }．跟踪训练1 ⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．例2 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ， 周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.跟踪训练2 解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π， k ∈Z ，即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2(k ∈Z )． 例3 (1)①< ②< (2)tan 2<tan 3<tan 1 跟踪训练3 >例4 解 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，tan x ≠1，得x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4(k ∈Z )，即定义域为{x |x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z }，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数．②函数定义域为{x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }，关于原点对称．令f (x )＝x tan 2x ＋x 4，则f (－x )＝(－x )tan 2(－x )＋(－x )4 ＝x tan 2x ＋x 4＝f (x )， ∴该函数是偶函数． (2)解 由2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )．故所求函数图象的对称中心为点(k π4－π6，0)(k ∈Z )． 跟踪训练4 (1)函数f (x )为奇函数 (2)函数f (x )是偶函数． 例5 解 由y ＝|tan x |，得y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π (k ∈Z )，周期为π.跟踪训练5 解 (1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )， 得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)． 当堂训练1．C 2.C 3.C 4.B 5.＞。

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(一)明目标、知重点 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.正弦函数、余弦函数的图象、性质对比R R探究点一余弦函数的图象思考如何快速做出余弦函数的图象？答(1)依据诱导公式cos x＝sin⎝⎛⎭⎫x＋π2，要得到y＝cos x的图象，只须把y＝sin x的图象向左平移π2个单位长度即可.余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如图所示：(2)在精确度要求不高时，要画出y＝cos x，x∈的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x ，x ∈的图象.探究点二 余弦函数的性质思考1 观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x 分别取何值时，余弦函数y ＝cos x 取得最大值1和最小值－1？余弦函数的周期性如何？答 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.思考3 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答 在整个定义域R 上，余弦函数不是单调函数.为研究余弦函数y ＝cos x 的变化情况，我们先选取一个周期区间来研究余弦函数单调情况，再借助周期推而广之. 函数y ＝cos x ，x ∈的图象如图所示：观察图象可知：当x ∈时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：当x ∈，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 例1 求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间. 解 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝3cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 由2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z )，解得4k π－43π≤x ≤4k π＋23π(k ∈Z )，∴函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－43π，4k π＋23π(k ∈Z ). 反思与感悟 确定函数y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx ＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域. 跟踪训练1 求函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2)的单调递增区间.解 根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递减区间，同时x 应使cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z ). 整理得4k π＋2π3≤x <4k π＋5π3(k ∈Z ).∴函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋2π3，4k π＋5π3(k ∈Z ). 例2 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的值域. 解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数值域为⎣⎡⎦⎤－14，154. 反思与感悟 求三角函数最值的两种基本类型：(1)将三角函数式化为y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式，结合有界性求最值；(2)将三角函数式化为关于cos x (或sin x )的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.跟踪训练2 已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值. 解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1， 综上可知，实数a 的值为2或－1. 探究点三 正弦曲线、余弦曲线的对称性思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答 正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称. 思考2 上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？ 答 正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数.根据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立.小结 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：(1)正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )；且正弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z ).(2)余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z ). 例3 已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.(1)在该函数的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值. 解 (1)令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，解得：x ＝k π2－π3，k ∈Z (k ∈Z ).令k ＝0，x ＝－π3；令k ＝1，x ＝π6.∴函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的对称轴中离y 轴最近的一条对称轴的方程是x ＝π6. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y ＝f (x )， 则f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋2π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ. ∵y ＝f (x )的图象关于原点(0,0)对称， ∴f (0)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2φ＝0.∴2π3－2φ＝k π＋π2，k ∈Z .解得：φ＝π12－k π2(k ∈Z ). 令k ＝0，得：φ＝π12.∴φ的最小正值是π12.反思与感悟 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于x ＝x 0对称⇔f (x 0)＝A 或－A . (2)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0.跟踪训练3 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位，正好关于y 轴对称，求φ的最小正值.解 由题意平移后的函数为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－φ， 它是偶函数，因此，当x ＝0时，cos ⎝⎛⎭⎫4π3－φ取得最大值1或最小值－1，故4π3－φ＝2n π或(2n ＋1)π (n ∈Z )， 即4π3－φ＝k π (k ∈Z ).∴φ＝4π3－k π (k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小正值π3.1.函数f (x )＝cos 4x ，x ∈R 是( ) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π2的奇函数答案 C2.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 A解析 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称知，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0. ∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z ). ∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z ).|φ|的最小值为|φ|＝⎪⎪⎪⎪2π＋π2－8π3＝π6. 3.已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系. 解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图.由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .4.试比较cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π的大小. 解 cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π ＝cos(4π＋35π)＝cos 35π，cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在上递减，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π.1.余弦函数y ＝cos x (x ∈R )是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y ＝A sin(ωx ＋φ)一样，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期也是2π|ω|.2.与正弦曲线类似，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象通过变换得到，变换规律相同.3.在研究y ＝A cos(ωx ＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想.如，它在ωx ＋φ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )时取得最小值.一、基础过关1.若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C 2.函数y ＝2－cos x的单调递增区间是( )A. (k ∈Z )B. (k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2 (k ∈Z ) D. (k ∈Z )答案 D解析 令u ＝－cos x ，则y ＝2u ， ∵y ＝2u 在u ∈(－∞，＋∞)上是增函数， ∴y ＝2－cos x 的增区间，即u ＝－cos x 的增区间， 即v ＝cos x 的减区间 (k ∈Z ).3.下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A.y ＝sin(2x ＋π2)B.y ＝cos(2x ＋π2)C.y ＝sin(x ＋π2)D.y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合.故选A.4.要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A.向左平移π8个单位B.向右平移π8个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位答案 A解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴向左平移π8个单位. 5.函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________. 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z . 6.方程x 2＝cos x 的实数解有________个. 答案 2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解.7.判断下列函数的奇偶性并求最小正周期. (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx －π2； (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋32π.解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＝sin πx ， ∴f (－x )＝sin(－πx )＝－sin πx ＝－f (x ). f (x )是奇函数.最小正周期T ＝2ππ＝2. (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋32π＝－cos 23x ， ∴f (－x )＝f (x ).f (x )是偶函数.最小正周期T ＝2π23＝3π. 二、能力提升8.在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4答案 A解析 ∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4. 9.设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈与y ＝cos x ，x ∈的图象，如图所示：观察图象知x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4.10.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)等于________.答案 23解析 首先由图象可知所求函数的周期为2π3，故ω＝2π2π3＝3.将⎝⎛⎭⎫11π12，0代入解析式，其相当于余弦函数“五点法”作图中的第二关键点， ∴11π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ＝－9π4＋2k π.令φ＝－π4，代入解析式得f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－A cos π4＝－23， ∴f (0)＝A cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝A cos π4＝23. 11.已知函数f (x )＝lg cos 2x .(1)求它的定义域、值域；(2)讨论它的奇偶性；(3)讨论它的周期性；(4)讨论它的单调性.解 (1)要使函数f (x )＝lg cos 2x 有意义，则cos 2x >0，即－π2＋2k π<2x <π2＋2k π，k ∈Z ， －π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z ， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z . 由于在定义域内0<cos 2x ≤1，∴lg cos 2x ≤0，∴函数的值域为(－∞，02·(－x )0,24，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24. 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.。

教学设计---《正切函数的图像与性质》教材版本： 人教B 版《正切函数的图像与性质》教学设计一．教材分析本文选自人教B 版必修4第一章《基本初等函数（Ⅱ）》1.3.2第二课时《正切函数的图像与性质》。

本节课是在前面系统的学习了正弦函数和余弦函数的图像及基本性质的基础上，又一个具体的三角函数的学习。

正切函数图像的研究方法继承了正弦函数图像的研究方法，即利用单位圆中的三角函数线，同时也有所改进，渗透了部分正切函数的性质，进而利用函数性质得出正切函数的图像。

同时也为后面已知三角函数值求角做好了铺垫。

本课是数形结合思想的有效载体，是对函数学习规律的总结与探索。

二．教学目标分析1. 利用单位圆中的正切线和正切函数的定义域、周期性、奇偶性画出正切函数图像；通过正切函数图像理解正切函数的性质。

2. 探究正切函数图像及性质过程中，渗透数形结合思想。

3. 体会事物之间相互联系、相互制约的关系4. 培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

三．学情分析1.基础：学生已经会利用单位圆中的正弦线画正弦函数图像，利用图像观察函数性质。

2.优势：高中学生具备了一定的观察、分析和解决问题的能力，思维的目的性、连续性和逻辑性也已初步形成，具备了一定的数学核心素养。

3.对策:教师逐步启发式教学，学生动手作图、加深理解。

四．教学重难点（一）教学重点：正切函数的图像及其主要性质。

（二）教学难点：1.利用正切线画出函数tan ,(0,)2y x x π=∈的图像。

2.认识到直线2x π=±是此图像的两条渐近线。

五．教学手段多媒体课件（FLASH 动画）、展台、作图工具等。

六．教法与学法1.创设情境：创设数学情景，回顾正弦函数图像和余弦函数图像的画法。

2.问题引领教学：设置问题串，引导学生自主探究，循序渐进地解决问题。

3.比较教学法：类比正弦函数图像的画法，探究正切函数的图像，并加以改进完善。

七．教学过程.八、板书设计2、周期性3、奇偶性4、单调性5、对称性。

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(一)学习目标 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.知识点一余弦函数的图象思考如何快速作出余弦函数的图象？梳理余弦函数y＝cos x的图象叫做余弦曲线.知识点二余弦函数的性质思考1观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？思考2当自变量x分别取何值时，余弦函数y＝cos x取得最大值1和最小值－1？余弦函数的周期性如何？思考3观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？梳理正弦函数、余弦函数的图象、性质对比函数y＝sin x y＝cos x图象定义域值域奇偶性周期性最小正周期：______最小正周期：______单调性在__________________ 上单调递增；在____________________上单调递减在____________________上单调递增；在________________上单调递减最值在________________时，y max＝1；在____________时，y min＝－1在________________时，y max＝1；在____________时，y min＝－1知识点三正弦曲线、余弦曲线的对称性思考1观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？思考2上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？梳理正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：(1)正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，且正弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋π2(k∈Z).(2)余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z ).类型一 求余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间.反思与感悟 确定函数y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx ＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域. 跟踪训练1 求函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2)的单调递增区间.类型二 余弦函数的值域或最值例2 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的值域.反思与感悟 求三角函数最值的两种基本类型：(1)将三角函数式化为y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式，结合有界性求最值.(2)将三角函数式化为关于cos x (或sin x )的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.跟踪训练2 已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值.类型三 余弦函数的对称性 例3 已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. (1)在该函数的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值.反思与感悟 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于x ＝x 0对称⇔f (x 0)＝A 或－A . (2)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0.跟踪训练3 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位，正好关于y 轴对称，求φ的最小正值.1.函数f (x )＝cos 4x ，x ∈R 是( ) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π2的奇函数2.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π23.函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )4.已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A.与g (x )的图象相同 B.与g (x )的图象关于y 轴对称 C.向左平移π2个单位，得g (x )的图象D.向右平移π2个单位，得g (x )的图象5.函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为________.1.余弦函数y ＝cos x (x ∈R )是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y ＝A sin(ωx ＋φ)一样，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期也是2π|ω|.2.与正弦函数类似，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象通过变换得到，变换规律相同.3.在研究y ＝A cos(ωx ＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想.例如它在ωx ＋φ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )时取得最小值.答案精析问题导学 知识点一思考 (1)依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只须把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可．余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如图所示：(2)在精确度要求不高时，要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象．知识点二思考1 余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. 思考2 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.思考3 在整个定义域R 上，余弦函数不是单调函数．为研究余弦函数y ＝cos x 的变化情况，我们先选取一个周期区间[－π，π]来研究余弦函数单调情况，再借助周期推而广之． 函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象如图所示：观察图象可知，当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得：当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 梳理 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z ) 知识点三思考1 正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称． 思考2 正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数．根据诱导公式，得sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 对一切x ∈R 恒成立． 题型探究例1 解 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z )，得4k π－43π≤x ≤4k π＋23π(k ∈Z )，∴函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－43π，4k π＋23π(k ∈Z )． 跟踪训练1 解 根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递减区间，同时x 应使cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋2π3≤x <4k π＋5π3(k ∈Z )．∴函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋2π3，4k π＋5π3(k ∈Z )． 例2 解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1 ＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13.∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数值域为⎣⎡⎦⎤－14，154. 跟踪训练2 实数a 的值为2或－1. 例3 解 (1)令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z .令k ＝0，x ＝－π3；令k ＝1，x ＝π6.∴函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的对称轴中离y 轴最近的一条对称轴的方程是x ＝π6. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y ＝f (x )， 则f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋2π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ. ∵y ＝f (x )的图象关于原点(0,0)对称， ∴f (0)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2φ＝0. ∴2π3－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 解得φ＝π12－k π2(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π12.∴φ的最小正值是π12.跟踪训练3 解 由题意可知，平移后的函数为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－φ， 它是偶函数，因此，当x ＝0时，cos ⎝⎛⎭⎫4π3－φ取得最大值1或最小值－1，故4π3－φ＝2n π或(2n ＋1)π (n ∈Z )， 即4π3－φ＝k π (k ∈Z )．∴φ＝4π3－k π (k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小正值π3.当堂训练1．C 2.A 3.D 4.D5.⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5。

第一章 1.3 1.3.2 第2课时一、选择题1．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8[答案] C[解析] 由正切函数图象知2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π2＋π8，k ∈Z ，故符合题意只有C 选项．2．(2015·广东揭阳市世铿中学高一月考)下列函数中，在区间[0，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(x －π3)B ．y ＝sin xC ．y ＝tan xD ．y ＝cos x [答案] D[解析] 函数y ＝cos x 在[0，π2]上单调递减，故选D ．3．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是( ) A ．π B ．2πωC ．πωD ．π2ω[答案] C[解析] 相邻两交点间的距离，即为函数y ＝tan ωx (ω>0)的最小正周期T ＝πω，故选C ．4．下列命题中，正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增函数D ．y ＝tan x 在某一区间内是减函数[答案] C[解析] 令x 1＝π3，x 2＝13π6，∴tan x 1＝3，tan x 2＝33，∴x 1<x 2，而tan x 1>tan x 2，故函数y ＝tan x 在第一象限内不是增函数，排除A 、B ，由正切函数的图象知，函数y ＝tan x 在某一区间内不可能是减函数，排除D ，故选C ．5．下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan(－13π7)>tan(－15π8)D ．tan(－13π4)<tan(－12π5)[答案] C[解析] ∵3π7∈(0，π2)，4π7∈(π2，π)，∴tan 4π7<0，tan 3π7>0，∴tan 4π7<tan 3π7；同理tan 2π5>tan 3π5；tan(－13π7)＝－tan 13π7＝－tan(2π－π7)＝tan π7， tan(－15π8)＝－tan 15π8＝－tan(2π－π8)＝tan π8， ∵0<π8<π7<π2，∴tan π8<tan π7，∴tan(－13π7)>tan(－15π8)，故选C ．6．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( )A ．16B ．14C ．13D ．12[答案] D[解析] y ＝tan(ωx ＋π4)错误!y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx ＋π6)，∴π4－π6ω＋k π＝π6，∴ω＝6k ＋12(k ∈Z )．又∵ω>0，∴ωmin＝12. 二、填空题7．已知函数f (x )＝tan(ωx －π6)的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝________.[答案] 5[解析] 由题意知，T ＝πω＝π5，∴ω＝5.8．函数y ＝－2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的单调递减区间是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z ) [解析] 求函数的递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z 得：k π3－π4<x <k π3＋π12， ∴减区间是⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z . 三、解答题9.求下列函数的定义域： (1)y ＝1lgtan x ；(2)y ＝－2sin x －11＋tan x.[解析] (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x >0tan x ≠1，解得⎩⎨⎧k π<x <π2＋k π(k ∈Z )x ≠π4＋k π(k ∈Z )，∴k π<x <π2＋k π，且x ≠π4＋k π，k ∈Z .∴函数的定义域为{x |k π<x <π2＋k π，且x ≠π4＋k π，k ∈Z }．(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－2sin x －1≥01＋tan x≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤－12tan x ≠－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－5π6＋2k π≤x ≤－π6＋2k π(k ∈Z )x ≠－π4＋k π(k ∈Z )x ≠π2＋k π(k ∈Z )，∴函数的定义域是{x |－5π6＋2k π≤x ≤－π6＋2k π，且x ≠－π4＋k π，x ≠π2＋k π，k ∈Z }． 10．已知函数f (x )＝2tan(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π2，求函数f (x )的单调区间．[解析] ∵函数f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2.∴f (x )＝2tan(2x ＋π3)．由2k π－π2<2x ＋π3<2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12<x <k π＋π12，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为(k π－5π12，k π＋π12)，k ∈Z .一、选择题1．要得到y ＝tan2x 的图象，只需把y ＝tan(2x ＋π8)的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π16个单位D ．向右平移π16个单位[答案] D[解析] 将函数y ＝tan(2x ＋π8)的图象向右平移π16个单位得到函数y ＝tan[2(x －π16)＋π8]＝tan2x 的图象，故选D ．2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为2，则f (－43)的值是( )A ．－1B ．0C ． 3D ．－33[答案] C[解析] 由题意知，函数f (x )的最小周期T ＝2， ∴πω＝2，∴ω＝π2.∴f (x )＝tan π2x ， ∴f (－43)＝tan(－2π3)＝－tan 2π3＝ 3.3．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是( )A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12[答案] A[解析] 解法一：验证：当φ＝－π6时，2x ＋φ＝2×π12－π6＝π6－π6＝0，∴tan(2x ＋φ)＝0，满足题意，故φ可以是－π6.解法二：由题意，得2×π12＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，令k ＝0时，φ＝－π6，故φ可以是－π6.4．在区间(－π2，π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 在区间(－π2，π2)内的图象，如图所示．由图象可知选C ． 二、填空题5．(2015·河北行唐启明中学高一月考)已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________.[答案] －5[解析] ∵f (5)＝a sin5＋b tan5＋1＝7， ∴a sin5＋b tan5＝6.∴f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1 ＝－a sin5－b tan5＋1 ＝－(a sin5＋b tan5)＋1 ＝－6＋1＝－5.6．函数y ＝lg(tan x )的增区间是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) [解析] 函数y ＝lg(tan x )为复合函数，要求其增区间，则需满足tan x >0且函数y ＝tan x 的函数值是随x 的值递增的，所以k π<x <k π＋π2(k ∈Z )，所以原函数的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )． 三、解答题7．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．[解析] 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1，或tan x <－1.故函数的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )．又f (－x )＋f (x ) ＝lgtan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg (tan x －1)(tan x ＋1)(tan x ＋1)(tan x －1)＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．8.若函数f (x )＝tan 2x －a tan x (|x |≤π4)的最小值为－6，求实数a 的值．[解析] 设t ＝tan x ，∵|x |≤π4，∴t ∈[－1,1]．则原函数化为y ＝t 2－at ＝(t －a 2)2－a 24，对轴称为t ＝a 2. 若－1<a2<1，即－2≤a ≤2时．则当t ＝a 2时，y min ＝－a 24＝－6，∴a 2＝24(舍)．若a2≤－1，即a ≤－2时，二次函数在[－1,1]上单调递增， y min ＝1＋a ＝－6，∴a ＝－7.若a2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减， y min ＝1－a ＝－6，∴a ＝7， 综上所述，a ＝－7或7.。

人教版高中必修4(B版)1.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质课程设计课程概述本课程介绍了余弦函数和正切函数的图像、定义域、值域、奇偶性等性质。

通过对两种函数的图像进行分析，让学生了解函数的周期性和单调性，掌握其在几何中应用的方法。

教学目标1.理解余弦函数的定义、图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；2.理解正切函数的定义、图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；3.掌握余弦函数和正切函数在几何中的应用。

教学重点1.余弦函数的图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；2.正切函数的图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；3.余弦函数和正切函数在几何中的应用。

教学内容余弦函数的图像余弦函数的图像是一条连续的波浪线，其形状与正弦函数的图像非常相似。

但是，余弦函数的图像在x轴上的交点较正弦函数的图像靠左，也就是说，余弦函数的最大值出现在x轴的0.5个周期之后。

余弦函数的基本性质1.定义域：$(-\\infty,+\\infty)$；2.值域：[−1,1]；3.周期：$2\\pi$；4.奇偶性：偶函数。

正切函数的图像正切函数的图像是一条连续的直线，其形状与余切函数的图像非常相似。

但是，正切函数的图像在x轴上的交点位于每个周期的中点。

正切函数的基本性质1.定义域：$\\{x|x\ eq k\\pi+\\frac{\\pi}{2}(k\\inZ)\\}$；2.值域：$(-\\infty,+\\infty)$；3.周期：$\\pi$；4.奇偶性：奇函数。

余弦函数和正切函数的应用1.余弦函数在三角函数的解析式中有广泛的应用；2.正切函数在物理、工程学等领域中有广泛的应用。

教学方法1.讲解结合举例；2.图像分析结合图形实例。

教学过程第一部分：余弦函数的图像和性质步骤一：引入余弦函数与正弦函数都是高中数学中常见函数，本课程我们将重点学习余弦函数的图像和性质，来了解余弦函数在几何中的应用。

步骤二：分析余弦函数的图像通过一组数据$(0,\\frac{\\pi}{2},\\pi,\\frac{3\\pi}{2},2\\pi)$，绘制出余弦函数的图像，通过展示余弦函数的图像，让学生了解余弦函数的周期性和单调性，同时，与正弦函数的图像进行比较，突出两者之间的异同点。

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质
一、教学目标
1、知识目标
（1）理解余弦函数的图象与性质
（2）理解正切函数的图象与性质
2、能力目标
（1）引导学生自己由所学的知识推导未知的知识，根据正弦函数的图象、诱导公式推导出余弦函数的图象，并自己总结其性质
（2）引导学生仿照对正弦函数的研究，自己利用三角函数线得出正切函数的图象，并研究它的性质
（3）培养学生利用所学知识解决问题的能力，以及发现问题，研究问题的能力
3、情感目标
（1）渗透数形结合的思想
（2）培养学生触类旁通的推理能力
（3）培养学生实践出真知的辨证唯物思想
二、教学重点、难点
本节重点是理解余弦函数和正切函数的图象和性质，难点余弦函数和正切函数的图象和性质。

三、教学方法
引导学生进行推理，鼓励学生自主学习
四、教学过程。

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.函数y=xcosx （ ）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数 解析：由f(-x)=(-x)·cos(-x)=-x·cosx=-f(x)，可知f(x)是奇函数. 答案：A 2.若α、β∈（2π，π），且tanα＜cotβ，则必有（ ） A.α＜β B.β＜α C.α+β＜23πD.α+β＞23π 解析：∵α、β∈（2π，π）, ∴23π-β∈（2π，π）. ∵tanα＜cotβ=tan （23π-β），且tanx 在（2π，π）上单调递增,∴α＜23π-β,∴α+β＜23π.答案：C 3.函数y=xtan 11+的定义域是___________________.解析：要使函数y=x tan 11+有意义，则有⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠+),(2,0tan 1Z k k x x ππ即x≠kπ-4π， 且x ≠kπ+2π（k ∈Z ）. ∴函数的定义域为｛x ｜x ∈R ，且x≠kπ-4π，x≠kπ+2π，k ∈Z ｝.答案：｛x ｜x ∈R ，且x≠kπ4π-，x≠kπ+2π，k ∈Z ｝4.函数y=3cosx+1的最大值是________________，最小值是________________.解析：∵-1≤cosx≤1,∴y=3cosx+1的最大值是4，最小值是-2. 答案：4 -210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.余弦函数y=cosx 的单调减区间是（ ）A.［2kπ，2kπ+π］，k ∈ZB.［2kπ-2π，2kπ+2π］，k ∈ZC.［2kπ+π，2kπ+2π］，k ∈ZD.［2kπ+2π，2kπ+23π］，k ∈Z答案：A2.函数y=3cos （2x+3π）+1取得最大值时，x 的值应为（ ） A.2kπ-3π，k ∈Z B.kπ-6π，k ∈ZC.kπ-3π，k ∈ZD.kπ+6π，k ∈Z解析：依题意，当cos （2x+3π）=1时，y 有最大值，此时2x+3π=2kπ，k ∈Z ，变形为x=kπ6π-，k ∈Z .答案：B3.下列说法不正确的是（ ）A.正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是［-1，1］B.余弦函数当且仅当x=2kπ（k ∈Z ）时取得最大值1，当且仅当x=（2k+1）π（k ∈Z ）时取得最小值-1C.正弦函数在每个区间［2π+2kπ，23π+2kπ］（k ∈Z ）上都是减函数D.余弦函数在每个区间［2kπ-π，2kπ］（k ∈Z ）上都是减函数提示：画出正、余弦函数一个周期的图象，分析即得. 答案：D4.(2006高考全国卷Ⅰ,5)函数f(x)=tan （x+4π）的单调增区间是（ ） A.(kπ-2π,kπ+2π)，k ∈Z B.(kπ,(k+1)π)，k ∈Z C.（kπ-43π，kπ+4π），k ∈Z D.（kπ-4π，kπ+43π），k ∈Z 解析：由题意kπ-2π＜x+4π＜kπ+2π，∴kπ43π-＜x ＜kπ+4π，k ∈Z .∴增区间为（kπ43π-，kπ+4π），k ∈Z .答案：C 5.(1)三个数cos23，sin 101,-cos 47的大小关系是_______________; (2)比较tan1、tan2、tan3的大小: _______________.(1)解析：∵sin101=cos （2π-101）=cos1.47, -cos 47=cos （π-47）=cos1.39，cos 23=cos1.5，而y=cosx 在［0，π］上是减函数，故由0＜1.39＜1.47＜1.5＜π可得cos1.5＜cos1.47＜cos1.39， ∴cos23＜sin 101＜-cos 47.答案：cos23＜sin 101＜-cos 47 (2)解析：∵tan2=tan （2-π）,tan3=tan （3-π）,又∵2π＜3＜π, ∴2π-＜3-π＜0，显然，2π-＜2-π＜3-π＜1＜2π.而y=tanx 在（2π-，2π）内是增函数，∴tan （2-π）＜tan （3-π）＜tan1，即tan2＜tan3＜tan1. 答案：tan2＜tan3＜tan16.如何由y=sinx 的图象得到y=2cos(21-x+4π)的图象? 解：∵y=2cos(21-x+4π)=2sin(21x+4π),∴可由y=sinx 的图象向左平移4π个单位,得到y=sin(x+4π)的图象,再把y=sin(x+4π)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin(21x+4π)的图象,再把纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin(21x+4π)的图象,即y=2cos(21-x+4π)的图象.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.函数y=-5cos （3x+1）的周期为（ ）A.3πB.3πC.32π D.23π解析：该函数最小正周期T=ωπ2=32π.答案：C 2.函数y=tan2（x+4π）（ ） A.是奇函数 B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数 解析：∵y=tan2（x+4π）=tan （2x+2π）=-cot2x=x 2tan 1-，∴f （-x ）=xx 2tan 1)2tan(1=--=-f （x ）.∴f （x ）为奇函数. 答案：A3.将函数y=cosx 图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移4π个单位，所得函数图象的解析式为（ ） A.y=cos （2x+4π） B.y=cos （2x -4π）C.y=cos （2x -8π）D.y=cos （2x +8π） 解析：根据题意,函数的变化过程是:y=cosx→y=cos 21x→y=cos 21（x-4π）=cos （2x -8π）.答案：C4.函数y=cos （2x+2π）的图象的一条对称轴方程为（ ） A.x=2π- B.x=4π- C.x=8πD.x=π解析：依题意，令cos （2x+2π）=-sin2x=±1，则2x=kπ+2π，x=21kπ+4π，k ∈Z .显然当k=-1时，x=-4π.答案：B5.今有一组生物实验数据如下：x 0 0.261 6 0.436 1 0.785 4 1.308 9 y 0 0.258 8 0.422 6 0.708 5 0.912 5 现准备用下列函数中的某个函数近似表示数据满足的规律，其中接近的一个是（ ） A.y=tanx B.y=1-cosx C.y=sinx D.y=2x -1解析：四个函数在［0，1.5］上都是增函数，且当x=0时都有y=0，但通过特值估算发现，4π≈0.785 4，此时tan 4π=1，1-cos 4π≈0.293，sin 4π≈0.707，0＜20.785 4-1＜1，可排除选项A 、B ；当x=1.308 9时，由图象知2x -1＞1，从而排除D 项. 答案：C6.使sinx≤cosx 成立的一个x 的变化区间是（ ） A.［4π-，43π］ B.［2π-，2π］ C.［43π-，4π］ D.［0，π］解析：作出y=sinx 及y=cosx 在［-π，π］上的图象，观察可知C 项正确.答案：C7.(2006高考四川卷，5)下列函数中,图象的一部分如图1-3-5所示的是（ ）图1-3-5A.y=sin(x+6π) B.y=sin(2x-6π) C.y=cos(4x-3π) D.y=cos(2x-6π)解析：（特殊值法）由于x=12π，y=1，故将x=12π分别代入各选项，可排除A 、B ；又x=6π-时，y=0，将x=6π-分别代入选项C 、D ，可排除C.所以选D.答案：D8.函数y=tan （2π+3π）的单调增区间是______________________. 解析：∵kπ-2π＜2x +3π＜kπ+2π，k π-65π＜2x ＜kπ+6π，∴2kπ-35π＜x ＜2kπ+3π. 答案：（2kπ-35π，2kπ+3π），k ∈Z9.函数y=4sin （3x+4π）+3cos （3x+4π）的最小正周期为_______________.解析：∵4sin （3x+4π）和3cos （3x+4π）的最小正周期都是32π，∴所求函数的最小正周期为T=32π.答案：32π10.已知某海滨浴场的海浪高度y （m ）是时间t （0≤t≤24，单位：h ）的函数，记作y=f （t ），下表是某日各时的浪高数据：t （h ）0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （m ） 1.51.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y=f （t ）的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.（1）根据上述数据，求出函数y=Acosωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；（2）根据规定，当海浪高度不低于1 m 时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次?时间最长的一次是什么时候?有多长时间?时间最短的一次是什么时候?有多长时间? 解：（1）A=25.05.1-=21，而A+b=1.5.∴b=1. 再根据T=12，得ω=6π. ∴y=21cos 6πt+1. （2）由y≥1⇒21cos 6πt+1≥1，∴cos6πt≥0. ∴2kπ-2π≤6πt≤2kπ+2π，k ∈Z .∴12k-3≤t≤12k+3.∴k=0时，t ∈［0，3］；当k=1时，t ∈［9，15］；当k=2时，t ∈［21，24］.∴一天内对冲浪爱好者能开放三次.时间最长的一次是上午9时至下午3时，共有6个小时，时间最短的一次是早晨零点到3点或晚上21时至第二天零点，时间都是3小时.11.研究函数y=|tanx|与y=tan|x|的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及函数图象. 解：y=|tanx|的定义域为{x|x≠kπ+2π，x ∈R }，值域为{y|y≥0}，图象如下:由图象可知周期为π，为偶函数.［kπ，kπ+2π）（k ∈Z ）为增区间，（kπ-2π，kπ］（k ∈Z ）为减区间. y=tan|x|的定义域为{x|x≠kπ+2π，k ∈Z }，值域为R ，图象如下：由图象分析无周期性，（2π-，2π）的图象不会重复出现，为偶函数. 其中［0，2π)，（kπ-2π，kπ+2π）（k ∈Z 且k ＞0）为单调增区间, （2π-，0］，（kπ-2π，kπ+2π）（k ∈Z 且k ＜0)为单调减区间.。

余弦函数、正切函数的图象与性质
第课时余弦函数的图象与性质
.会用“五点法”、“图象变换法”作余弦函数和＝(ω＋φ)的图象.(重点) .理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.(难点)
[基础·初探]
教材整理余弦函数的图象
阅读教材内容，完成下列问题.
把正弦函数＝的图象向左平移个单位长度就得到余弦函数＝的图象，该图象叫做余弦曲线.
图--
用“五点法”作函数＝，∈的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
，，π，，π
，，，，π
，π，π，π，π
，，，，
【解析】令＝，，π，和π，得＝，，，，π，故选.
【答案】
教材整理余弦函数的性质
阅读教材～内容，完成下列问题.
.余弦函数的性质：
.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()余弦函数＝ 是偶函数，图象关于轴对称，对称轴有无数多条.( ) ()余弦函数＝ 的图象是轴对称图形，也是中心对称图形.( ) ()在区间[π]上，函数＝ 仅在＝时取得最大值.( ) ()函数＝ 在上是减函数.( ) 【答案】()√ ()√ ()× ()√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑：
[小组合作型]。

1.3.2 余弦函数的图象与性质(一)预利用“五点作图法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 在一个周期内的图像。

用“五点法”画出余弦函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点分别为： __________，__________，________，________，________.探正弦函数、余弦函数的性质对比：与正弦曲线一样，余弦曲线同样既是中心对称图形，也是轴对称图形．(1)函数y ＝cos x(x ∈R )的对称中心有________个，它们的坐标是______________；对称轴有________条，它们的方程是____________．(2)函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(Aω≠0)当且仅当__________时，函数f(x)的图象关于点(x 0,0)中心对称；当且仅当____________时，函数f(x)的图象关于直线x ＝x 0轴对称．展例1 求下列函数最大值和最小值： （1）y ＝－3cos x +1； （2）y ＝（cos x －12）2 －3.例2 求下列函数奇偶性： （1）y ＝cos x ＋2； （2）y ＝sin xcos x.例3 求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π的周期.固1．余弦函数y ＝cos x(x ∈R )是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y ＝Asin(ωx ＋φ)一样，函数y ＝Acos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期也是2π|ω|.2．与正弦曲线类似，函数y ＝Acos(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象通过变换得到，变换规律相同．3．在研究y ＝Acos(ωx ＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx ＋φ＝2kπ(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝2kπ＋π(k ∈Z )时取得最小值.作业 反思。

4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)教学目的：知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操。

教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：单调性的理解与应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体教学过程：一、复习引入：运用五点作图法画出正、余弦函数的图形?请学生观察出定义域、值域、周期？二、探究新知：1.奇偶性（偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？）请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)正弦函数的图形图形观察：图像关于原点(0,0)轴对称；定义分析：sin()sin x x -=- ()()f x f x ∴-=- ∴ 函数sin y x =是奇函数。

(2) 余弦函数的图形图形观察：图像关于y 轴对称； 定义分析：cos()cos x x -= ()()f x f x ∴-= ∴ 函数cos y x =是偶函数。

注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：其定义域关于原点对称； 2.单调性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象在那些区间是上升，在那些区间下降？其特点是什么？（1） 正弦函数3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图象上可看出：当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，曲线逐渐上升，sin y x =的值由－1增大到1.当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，曲线逐渐下降，sin y x =的值由1减小到－1. 结合周期性可知：2,T k k Z π=∈在每一个闭区间2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上都是减函数，其值从1减小到－1.（2） 余弦函数[]cos ,,y x x ππ=∈-的图象上可看出：当[],0x π∈-时，曲线逐渐上升，cos y x =的值由－1增大到1. 当[]0,x π∈时，曲线逐渐下降，cos y x =的值由1减小到－1. 结合周期性可知：2,T k k Z π=∈余弦函数在每一个闭区间[]2,2()k k k Z πππ-+∈上都是增函数，其值从－1增大到1； 余弦函数在每一个闭区间[]2,2()k k k Z πππ+∈上都是减函数，其值从1减小到－1. 注意：在正、余函数的单调性中，每一个闭区间（不同的k Z ∈）分别为增或减函数。

示范教案整体设计教学分析1．上节刚刚学习了正弦函数的图象与性质，对于本节的学习，有两个内容：一是余弦函数的图象，二是余弦函数的性质．我们可以完全类比正弦函数，只是作余弦函数图象时可通过平移的方法得到，这也是类比思想、数形结合思想、图象变换思想方法的应用．2．由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么我们就会完全清楚它在整个定义域内的性质．教材要求我们研究三角函数性质“就是要研究这类函数性质具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导．3．余弦函数性质的难点，在于函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易；单调性只要求由图象观察，不要求证明．而余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可．4．教科书没有直接通过余弦线画余弦函数的图象．主要是通过分析诱导公式cosx ＝sin(x ＋π2)，探索余弦函数与正弦函数之间的关系，给出余弦函数图象．教学时应结合对诱导公式的分析，深刻理解正弦与余弦函数之间的关系，从而得出余弦函数的图象与性质．三维目标1．通过类比正弦函数图象的作图方法，会用几何法画出余弦函数的图象；通过诱导公式能用图象平移的方法得到余弦函数的图象．2．观察函数y ＝cosx ，x ∈[0,2π]的图象上，哪些点起着关键作用，并会用关键点画出函数y ＝cosx 在x ∈[0,2π]上的简图．3．通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，并通过正弦函数和余弦函数的图象与性质的对比，理解两种函数的区别及内在联系．重点难点教学重点：会通过平移得到余弦函数的图象，并会用五点法画出余弦函数的图象，由余弦函数得出余弦函数的性质．教学难点：余弦函数性质的灵活运用． 课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.(直接导入)我们在研究了正弦函数的图象，你能类比正弦函数图象的作法作出余弦函数的图象吗？从学生画图象、观察图象入手，由此展开余弦函数性质的探究．思路2.(复习导入)研究函数就是要讨论一些性质，y ＝cosx 是函数，我们当然也要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课 新知探究 提出问题(1)你能类比作正弦函数图象的方法，用几何方法画出余弦函数的图象吗？(2)你能类比正弦函数性质的学习得到函数y ＝cosx ，x ∈[0，2π]的性质吗？(3)比较正弦函数、余弦函数的图象与性质，你能发现它们都有哪些不同？活动：先让学生充分思考、交流后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他按自己的思路继续探究；对找不到思考方向的学生，教师可参与到他们中去，并适时地给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须掌握的基本功．因此在研究余弦函数图象与性质时，教师要引导学生充分挖掘余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的．因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题(1)学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．由诱导公式y ＝cosx ＝cos(－x)＝sin[π2－(－x)]＝sin(π2＋x)可知，y ＝cosx 的图象就是函数y ＝sin(π2＋x)的图象．从而，余弦函数y ＝cosx 的图象可以通过将正弦曲线y ＝sinx 向左平移π2个单位长度得到(如图1所示)．余弦函数y ＝cosx 的图象叫余弦曲线．图1由图1可以看出，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．我们可以利用这五个点画出余弦函数的简图(如图2)．图2教师引导学生类比正弦函数的性质学习，让学生观察余弦函数的图象，从定义域、值域、周期性、最大值与最小值、单调性、奇偶性这几个方面探究．可完全放给学生自己探究，教师仅是适时地给予引导．学生很容易得出余弦函数y ＝cosx ，x ∈R 具有以下主要性质：(1)定义域余弦函数的定义域是R . (2)值域余弦函数的值域是[－1,1]．当且仅当自变量x ＝2kπ(k ∈Z )时，余弦函数y ＝cosx 取得最大值1；当且仅当x ＝2kπ＋π(k ∈Z )时，余弦函数取得最小值－1.(3)周期性余弦函数是周期函数，它的最小正周期是2π.由于余弦函数具有周期性，为了研究问题方便，我们可以选取任意一个x 值，讨论余弦函数在区间[x ，x ＋2π]上的性质，然后拓展到整个定义域(－∞，＋∞)上．(4)奇偶性余弦函数的图象关于y 轴对称，即cos(－x)＝cosx. ∴余弦函数是偶函数．这个变化情况可从下表及图象中直观地显示出来，教师可引导学生画图并列出下表：图3↗类比正弦函数性质的探究，学生可能通过图象已经看出来了，在余弦曲线上也有其他的对称点和对称轴，如余弦曲线还关于直线x ＝0，x ＝π等多条直线对称，余弦曲线还关于点(π2，0)等多个点对称，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，以开阔学生的视野．(5)单调性我们选取长度为2π的区间[－π，π]．可以看出，当x 由－π增大到0时，cosx 的值由－1增大到1，当x 由0增大到π时，cosx 的值由1减小到－1.因此，余弦函数在区间[－π，0]上递增，在区间[0，π]上递减．由余弦函数的周期性可知，余弦函数在每一个区间[(2k －1)π，2kπ](k ∈Z )上都是递增的，在每一个区间[2kπ，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是递减的．所以这两类闭区间的每一个都是余弦函数的单调区间．探究余弦函数的性质后，学生自然会拿它与正弦函数的性质进行比较一番，这种习惯很好．比较最能澄清问题的本质属性，比较是最好的学习方法．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线．所以它们的定义域相同，都为R.值域也相同，都是[－1,1]．最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同．它们的周期相同，最小正周期都是2π.它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现．也是由于y轴的位置改变，使增、减区间的位置有所不同．也使奇偶性发生了改变．由此可以看出，图象的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响．讨论结果：(1)～(3)略．应用示例例1画出函数y＝cosx－1，x∈R的简图，并根据图象讨论函数的性质．活动：课堂上可放手让学生自己去求，教师适时地指导、点拨、纠错．并提示－1对余弦函数的图象与性质的影响．让学生进一步熟悉“五点法”作图，领悟图象作法的要领，最终达到熟练掌握．从实际教学来看，“五点法”作图易学却难掌握，学生需练扎实的基本功．可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生操作中一一纠正，这对以后学习大有好处．解：按五个关键点列表，描点画出图象(如图4所示)．图4不难看出，函数y＝cosx－1的主要性质有(如下表所示)．点评：“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化．本例的目的是让学生熟悉“五点法”．如果是多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会更加令人满意，切不可教师画图学生看．完成本例余弦后，学生从图象上就可以一目了然地说出函数的性质了．这也让学生从中体会到了数形结合的好处.例2利用三角函数的单调性，比较cos(－23π5)与cos(－17π4)的大小．解：cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos(17π4)＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cosx ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化为同一个单调区间．其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判．例3求函数y ＝cos(12x －π6)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．活动：教师引导学生探究，可以利用余弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师引导学生的思考方向：把12x －π6看成z ，问题就转化为求y ＝cosz 的单调区间问题，而这就简单多了，教师应点出，这里用的是换元的思想方法．解：令z ＝12x －π6.函数y ＝cosz 的单调递增区间是[－π＋2kπ，2kπ]．由－π＋2kπ≤12x －π6≤2kπ，得－5π3＋4kπ≤x ≤π3＋4kπ，k ∈Z .取k ＝0，得－5π3≤x ≤π3，而[－5π3，π3] [－2π，2π]，因此，函数y ＝cos(12x －π6)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]．点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用余弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化.例4判断下列函数的奇偶性： (1)y ＝cosx ＋2；(2)y ＝sinxcosx. 解：(1)把函数y ＝cosx ＋2记为 f(x)＝cosx ＋2.因为f(－x)＝cos(－x)＋2＝cosx ＋2＝f(x)，对于x ∈R 该等式都成立，所以函数y ＝cosx ＋2是偶函数．(2)把函数y ＝sinxcosx 记为 f(x)＝sinxcosx.因为f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx ＝－f(x)，对于x ∈R 这个等式都成立，所以例5在给定的直角坐标系(如图5)中，作出函数f(x)＝2cos(2x ＋π4)在区间[0，π]上的图象．解：列表取点如下：描点连线作出函数f(x)＝2cos(2x ＋π4)在区间[0，π]上的图象如图6.图5 图6点评：本题按说难度不大，但学生得分率却不高，画图是学生较薄弱的环节．课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识？学习了哪些数学思想方法？这节课我们研究了余弦函数的图象与性质．通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的的比较，加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了本节课所学的余弦函数的图象的画法及性质的理解，将我们所学内容很快地就纳入了已有的知识系统．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．作业课本本节练习A组3,4,5.设计感想1．本节教案设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习幂、指数、对数函数后，对函数性质有了较深的认识．这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在学完余弦函数性质后，应着重引导学生比较正、余弦函数的性质的异同，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识；让学生在同一坐标系中画出正弦、余弦函数的图象，在解题中突出数形结合思想．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想．3．学习正、余弦函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如cos(α＋2π)＝cosα这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了它表明余弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．备课资料备用习题1．函数y ＝cosx ，x ∈[－π6，π2]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,1]C ．[0，32] D ．[－12，1] 2．对于函数y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ sinx ，cosx ，sinx ≥cosx ，sinx<cosx ，下列命题中正确的是( )A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2kπ＋π2(k ∈Z )时，函数取得最大值1C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数D ．当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋3π2(k ∈Z )时，f(x)<0 3．已知－π6≤x<π3，cosx ＝m －1m ＋1，则m 的取值范围是( )A ．m<－1B ．3<m ≤7＋4 3C ．m>3D ．3<m<7＋43或m<－14．定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f(x)＝sinx ，则f(5π3)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.325．定义在R 上的函数f(x)满足f(π3＋x)＝－f(x)及f(－x)＝f(x)，则f(x)可以是( )A ．f(x)＝2sin 13x B ．f(x)＝2sin3xC ．f(x)＝2cos 13x D ．f(x)＝2cos3x6．已知函数y ＝2cosx(0≤x ≤1 000π)的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．7．根据余弦函数的图象，求满足cos2x ≥12的x 的集合．参考答案：1．A 画出y ＝cosx ，x ∈[－π6，π2]的图象，从而得出y ∈[0,1]，故选A. 2．D 画图象可知，值域为[－22，1]，x ＝2kπ或x ＝2kπ＋π2时取最大值，T ＝2π，故选D.3．C 由－π6≤x<π3，12<cosx ≤1， ∴12<m －1m ＋1≤1. ∴m>3.故选C.4．D 由f(x)的周期为π知，f(5π3)＝f(2π3)＝f(－π3)． 由f(x)是偶函数知f(－π3)＝f(π3)． 又当x ∈[0，π2]时，f(x)＝sinx ， ∴f(π3)＝sin π3＝32.故选D. 5．D6．2 000π 由图象知y ＝2cosx 在[0,2π]上与直线y ＝2围成封闭图形的面积是2π×2＝4π. ∵1 000π÷2π＝500，∴在0≤x ≤1 000π上所围成的封闭图形的面积S ＝4π×500＝2 000π.7．解：由余弦函数的图象与性质知 －π3＋2kπ≤2x ≤π3＋2kπ(k ∈Z )， 即－π6＋kπ≤x ≤π6＋kπ(k ∈Z )． ∴满足函数cos2x ≥12的x 的集合是{x|－π6＋kπ≤x ≤π6＋kπ}(k ∈Z )．。