2018-2019学年高中数学 学业分层测评5 直线和圆的极坐标方程 苏教版选修4-4

学业分层测评(十二) 圆、椭圆的参数方程的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]1．当x 2＋y 2＝4时，求u ＝x 2＋23xy －y 2的最值．【解】 设⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ<2π)，于是u ＝x 2＋23xy －y 2＝4cos 2θ＋83cos θsin θ－4sin 2θ＝4cos 2θ＋43sin 2θ＝8sin(2θ＋π6)． 所以，当θ＝π6，x ＝3，y ＝1时，或θ＝7π6，x ＝－3，y ＝－1时，u max ＝8； 当θ＝2π3，x ＝－1，y ＝3时，或θ＝5π3，x ＝1， y ＝－3时，u min ＝－8.2．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．【解】 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)(tan φ＝2)．∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.3．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【导学号：98990037】【解】 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0.设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2，∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.AB ＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝217.4．已知A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，A (a,0)，设P (a cos θ，b sin θ)是椭圆上一点，则AP →＝(a cos θ－a ，b sin θ)，OP →＝(a cos θ，b sin θ)，由于∠OPA ＝90°，所以AP →·OP →＝0，即(a cos θ－a )a cos θ＋b 2sin 2θ＝0， a 2(cos 2θ－cos θ)＋b 2sin 2θ＝0，a 2cos θ(cos θ－1)＋b 2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0.因为P 与A 不重合，所以cos θ－1≠0，则a 2cos θ＝b 2(1＋cos θ)， b 2a 2＝cos θ1＋cos θ， c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－cos θ1＋cos θ＝11＋cos θ. 因为θ∈(0，π2)∪(32π，2π)， 所以c 2a 2∈(12，1)，e ∈(22，1)． 5．已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：OP ·OQ 为定值．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)， B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ， 令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1， 即OP ＝|2cos φ1＋sin φ|. MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ， 令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ. ∴OQ ＝|2cos φ1－sin φ|. ∴OP ·OQ ＝|2cos φ1＋sin φ|×|2cos φ1－sin φ|＝4. 即OP ·OQ ＝4为定值．6．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎨⎧ y ＝3x －，x 2＋y 2＝1.解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－32)． (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)， P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116，故P 点的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆． 7．求椭圆C ：x 216＋y 29＝1上的点P 到直线l ：3x ＋4y ＋18＝0的距离的最小值． 【解】 设点P 的坐标为(4cos θ，3sin θ)，其中θ∈[0,2π)，则点P 到直线l 的距离 d ＝|12cos θ＋12sin θ＋18|5。

学业分层测评(一) 直角坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]1．已知点Q (1,2)，求Q 点关于M (3,4)的对称点． 【解】 设点P 的坐标为(x ，y )， 由题意知，M 是PQ 的中点， 因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y ＋2＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝6，∴点P 的坐标为(5,6)．2．设△ABC 的三个顶点坐标分别为A (3，－1)，B (8,2)，C (4,6)，求△ABC 的面积． 【解】 如图，作直线l ：y ＝－1，过点B 、C 向l 引垂线，垂足分别为B 1、C 1，则△ABC 的面积为S ＝S △AC 1C ＋S 梯形C C 1B 1B －S △AB 1B ＝12×1×7＋12(7＋3)×4－12×5×3＝16.3．已知点P (0,4)，求P 点关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点． 【解】 设P 点关于l 的对称点Q 的坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3·b －4a ＝－1，3×a 2－b ＋42－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b －12＝0，3a －b －6＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3，∴P 点关于直线l 的对称点坐标为(3,3)．4．已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．【导学号：98990002】【解】 如图，设A (x A,0)，B (0，y B )，M (x ，y )，∵AB ＝6，∴x 2A ＋y 2B ＝6，即x 2A ＋y 2B ＝36，① 又∵AM ∶MB ＝1∶2， ∴x ＝x A1＋12，y ＝12y B 1＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝32x ，y B ＝3y ，代入①得94x 2＋9y 2＝36，即x 2＋4y 2＝16.得动点M 的轨迹方程为x 2＋4y 2＝16.5．设点P 是矩形ABCD 所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2. 【证明】 如图，以(矩形的)顶点A 为坐标原点，边AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，并设B (b,0)、D (0，d )，则点C 的坐标为(b ，d )．又设P (x ，y )，则PA 2＋PC 2＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋(y －d )2，PB 2＋PD 2＝(x －b )2＋y 2＋x 2＋(y －d )2.比较两式，可知PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.6．有相距1 400 m 的A 、B 两个观察站，在A 站听到爆炸声的时间比在B 站听到时间早4 s ．已知当时声音速度为340 m/s ，试求爆炸点所在的曲线．【解】 由题知：爆炸点P 到B 的距离比到A 的距离多340×4＝1 360米． 即PB －PA ＝1 360＜1 400，PB ＞PA .故P 在以A 、B 为焦点的双曲线上，且离A 近的一支．以A 、B 两点所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由题意得，2a ＝1 360,2c ＝1 400，故a ＝680，c ＝700，b 2＝7002－6802＝27 600，故爆炸点所在曲线为x 2462 400－y 227 600＝1(x ＜0)．7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O 正东方向80海里的B 处，沿东西方向向O 岛驶来．指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标．【解】 A ，B 两点如图所示，A (0,40)，B (80,0)，∴OA ＝40(海里)，OB ＝80(海里)． 我船直行到点C 与不明船只相遇， 设C (x,0)，∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x . ∵两船速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .在Rt △AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2，即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．[能力提升]8．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图4­1­2，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)，B (6,0)．图4­1­2(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A 、B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，∵ 点D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0.y ＝4或y ＝－94(舍去)，∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．∴C 点的坐标为(6,4)，AC ＝25，BC ＝4.所以当航天器离观测点A 、B 的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．学业分层测评(二) 极坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]1．在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，π)．【解】 各点描点如下图．2．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标．【解】 极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)(k ∈Z )，利用此，即可写出其中一个为(3，5π6)．3．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－5π6，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M 的极坐标． 【解】 ∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，∴(－2，－5π6)与(2，π6)为同一点的极坐标，故点M 的极坐标为(2，π6)．4．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标是多少？【解】 如右图，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点． 又AB ＝4，△ABC 为正三角形，OC ＝23，∠AOC ＝π2，C 对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4. 5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为π6，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．【解】 如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝π6时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝5π6时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝7π6时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝11π6时，ρ ＝30(万千米)．彗星此时的极坐标有四种情形：(30，π6)，(30，5π6)，(30，7π6)，(30，11π6)．6．已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB的面积．【解】 求两点间的距离可用如下公式：AB＝4＋16－5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12|2×4×sin(5π6－π3)|＝12×2×4＝4. 7．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．【导学号：98990005】【解】 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO ′＝23，OP ＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2， ∴sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为(2，2π3)．(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为(4，π2)．[能力提升]8．已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，π3，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．【解】 ∵C (43，4π3)，∠AOB ＝π2－π6＝π3，且AO ＝BO ，所以△AOB 是等边三角形，AB ＝5， BC ＝ 52＋32－2×5×434π3－π2＝133， AC ＝52＋32－2×5×432π3＋π6＝133，∵AC ＝BC ，∴△ABC 为等腰三角形，AB 边上的高为43＋5×32＝1332， ∴S △ABC ＝12×5×1332＝6534.学业分层测评(三) 球坐标系与柱坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]1．把下列各点的球坐标化为直角坐标：(1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π3；(2)N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3，π2；(3)P ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π4，2π3. 【解】 (1)设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 在xOy 平面内的射影为M ′，则OM ′＝2 sin π2＝2.于是x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，z ＝2cos π2＝0.故点M 的直角坐标为(1，3，0)．(2)x ＝5sin 2π3cos π2＝0，y ＝5sin 2π3sin π2＝523，z ＝5cos2π3＝－52， 点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，523，－52.(3)x ＝9sin 3π4cos 2π3＝－942，y ＝9sin3π4sin 2π3＝946，z ＝9cos 3π4＝－922. ∴点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－942，946，－922.2．把下列各点的柱坐标化为直角坐标：(1)Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，－2；(2)R ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，2π3，4；(3)S ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π4，－3. 【解】 (1)x ＝0，y ＝5， 故点Q 的直角坐标为Q (0,5，－2)．(2)x ＝6cos 2π3＝－3，y ＝6sin 2π3＝33，故点R 的直角坐标为R (－3,33，4)．(3)x ＝8cos 5π4＝－42，y ＝8sin 5π4＝－42，故点S 的直角坐标为S (－42，－42，－3)．3．已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的边长为AB ＝14，AD ＝6，AA 1＝10，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．【导学号：98990008】【解】 如图，C 1点的直角坐标(x ，y ，z )分别对应着CD 、BC 、CC 1；C 1点的柱坐标(ρ，θ，z )分别对应着CA 、∠BAC 、CC 1；C 1点的球坐标(r ，θ，φ)分别对应着AC 1、∠BAC 、∠A 1AC 1.C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为()258，θ，10(其中tan θ＝37)，C 1点的球坐标为(283，φ，θ)(其中cos φ＝58383，tan θ＝37)． 4．在球坐标面内，方程r ＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝π4表示空间中的什么曲面？【解】 方程r ＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝π4表示顶点在原点，半顶角为π4的圆锥面，中心轴为z 轴． 5．在球坐标系中，求两点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，π4，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，3π4的距离．【解】 将P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标：P ：x ＝3sin π6·cos π4＝324， y ＝3sin π6·sin π4＝324， z ＝3cos π6＝332， ∴P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫324，324，332.Q ：x ＝3sin π6·cos 3π4＝－324， y ＝3sin π6·sin3π4＝324，z ＝3cos π6＝332， ∴Q 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－324，324，332.∴|PQ |＝[342－－3242＋324－3242＋332－3322＝322，即PQ 的距离为322. 6．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标．【解】 以正四面体的一个顶点B 为极点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴，在面BCD 上建立极坐标系．过O 点与面BCD 垂直的线为z 轴．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′，则BA ′＝323×23＝3，AA ′＝32－32＝6，∠A ′Bx ＝π2－π6＝π3，则A (3，π3，6)，B (0,0,0)，C (3，π6，0)，D (3，π2，0)．7．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．【解】 以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．[能力提升]8．如图4­1­10建立球坐标系，正四面体ABCD 的边长为1，求A 、B 、C 、D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心)．图4­1­10【解】 ∵O 是△BCD 的中心， ∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63. ∴C (33，π2，0)，D (33，π2，2π3)， B (33，π2，4π3)，A (63，0,0)． 学业分层测评(四) 曲线的极坐标方程的意义(建议用时：45分钟)[学业达标]1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： (1)射线y ＝3x (x ≤0)； (2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．【解】 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝3x ， 得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)．(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2a ρcos θ＝0， 即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0， ∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ.2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1)ρ＝5cos θ；(2)ρ2＝tan θ.【解】 (1)由ρcos θ＝5，得x ＝5.(2)x 2＋y 2＝y x(x ≠0)，即x (x 2＋y 2)－y ＝0(x ≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tan θ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x (x 2＋y 2)－y ＝0.3．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．(1)把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度．【导学号：98990011】【解】 (1)曲线C 2：θ＝π4(ρ∈R )表示直线y ＝x ；曲线C 1：ρ＝6cos θ化为直角坐标方程，即x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9. (2)因为圆心C 1(3,0)到直线的距离d ＝322，r ＝3，所以弦长AB ＝3 2.4．求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝－2的距离．【解】 A (2，π3)的直角坐标为(1，3)，l ：ρsin(θ－π6)＝－2，ρ(32sin θ－12cos θ)＝－2. 即： x －3y －4＝0.故A (1，3)到l ：x －3y －4＝0的距离为|1－3－4|12＋32＝3.5．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【解】 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1， 即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)∵M 的直角坐标为(2,0)，N 的直角坐标为(0，233)． ∴P 的直角坐标为(1，33)， P 的极坐标为(233，π6)． 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．6．在平面直角坐标系中，已知点A (3,0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于Q 点，求Q 点的轨迹方程．【解】 以圆心O 为极点，x 轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q (ρ，θ)，P (1,2θ)． 因为S △OAQ ＋S △OQP ＝S △OAP .即12·3·ρ·sin θ＋12·1·ρ·sin θ ＝12·3·1·sin 2θ. 整理得：ρ＝32cos θ.7．在极坐标系中，圆C ：ρ＝10cos θ和直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【解】 分别将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C ：x 2＋y 2＝10x ，即(x －5)2＋y 2＝25，圆心C (5,0)；直线l ：3x －4y －30＝0，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|15－0－30|5＝3，所以AB ＝225－d 2＝8.[能力提升]8．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．【解】 ∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36. 又∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36. ∴PQ 的最大值为6＋6＋32＋32＝18.学业分层测评(五) 直线和圆的极坐标方程(建议用时：45分钟)[学业达标]1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是什么？【解】 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线．2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．【解】 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的直角坐标方程分别为x ＋y ＝1和y －x ＝1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，π2)．3．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离．【解】 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0. ∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3.4．已知A 是曲线ρ＝3cos θ上任意一点，则点A 到直线ρcos θ＝1距离的最大值和最小值分别为多少？【解】 将极坐标方程ρ＝3cos θ转化成直角坐标方程：x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.ρcos θ＝1即x ＝1，直线与圆相交，所以所求距离的最大值为2，最小值为0.图4­2­35．如图4­2­3，点A 在直线x ＝5上移动，等腰三角形OPA 的顶角∠OPA ＝120°(O 、P 、A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程．【解】 取O 为极点，x 轴正半轴为极轴正方向建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5.设P 、A 的坐标依次为(ρ，θ)，(ρ0，θ0)， 则ρ0＝3ρ，θ0＝θ－30°.代入直线的极坐标方程ρcos θ＝5，得3ρcos(θ－30°)＝5，即为点P 的轨迹方程．6．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝3.(1)写出圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．【导学号：98990014】【解】 (1)圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(2)设P 的坐标为(ρ，θ)，因为P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35ρ，θ，因为点Q 在圆C 上运动，所以35ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，即ρ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，故点P 的轨迹方程为ρ＝10cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.7．已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的最大值．【解】 原方程化为ρ2－42ρ(22cos θ＋22sin θ)＋6＝0. 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0 ∴圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0， 圆心M (2,2)，半径为2， ∴ρmax＝OM ＋2＝22＋2＝3 2.[能力提升]8．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解】 在ρsin(θ－π3)＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P (2，π4)，所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.学业分层测评(六) 圆锥曲线的极坐标方程及应用(建议用时：45分钟)[学业达标]1．过椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A 、B 两点，若FA ＝2FB ，求直线l 的斜率．【解】 椭圆x 225＋y 29＝1中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以e ＝45，p ＝b 2c ＝94.取椭圆的左焦点为极点，x 轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ＝45×941－45cos θ＝95－4cos θ.设A (ρ1，θ)、B (ρ2，π＋θ)．由题设得ρ1＝2ρ2.于是95－4cos θ＝2×95＋4cos θ，解得cos θ＝512，所以tan θ＝1195，即直线l 的斜率为1195.2．已知椭圆方程为ρ＝165－3cos θ，过左焦点引弦AB ，已知AB ＝8，求△AOB 的面积．【解】 如图，设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)．所以ρ1＋ρ2＝165－3cos θ＋165＋3cos θ＝16025－9cos 2θ. 因为AB ＝8， 所以16025－9cos 2θ＝8， 所以cos 2θ＝59，sin θ＝23.由椭圆方程知e ＝c a ＝35，b 2c ＝163，则c ＝3. S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12OF ·ρ1·sin θ＋12OF ·ρ2·sin θ＝8.3．如图4­2­4，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦AB 与x 轴斜交，M 为AB 的中点，MN ⊥AB ，并交对称轴于N .图4­2­4求证：MN 2＝AF ·BF .【证明】 取F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ.设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)，则AF ·BF ＝p1－cos θ·p1＋cos θ＝p 2sin 2θ.不妨设0＜θ＜π2，则MF ＝12(ρ1－ρ2)＝12(p 1－cos θ－p 1＋cos θ)＝p cos θsin 2θ. 所以MN ＝MF ·tan θ ＝p cos θsin 2θtan θ＝psin θ. 所以MN 2＝AF ·BF .4．如图4­2­5，已知圆F ：x 2＋y 2－4x ＝0，抛物线G 的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F ，过圆心且倾斜角为θ的直线l 与抛物线G 、圆F 从上至下顺次交于A 、B 、C 、D 四点．图4­2­5(1)当直线的斜率为2时，求AB ＋CD ；(2)当θ为何值时，AB ＋CD 有最小值？并求这个最小值．【解】 圆F ：x 2＋y 2－4x ＝0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4.以圆心F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系．则圆F 的坐标方程为ρ＝2，抛物线G 的极坐标方程为ρ＝41－cos θ.设A (ρ1，θ)、D (ρ2，θ＋π)，所以AB ＝AF －2，CD ＝FD －2，即AB ＋CD ＝AF ＋FD －4＝ρ1＋ρ2－4＝41－cos θ＋41－θ＋π－4＝41－cos θ＋41＋cos θ－4＝81－cos 2θ－4＝8sin 2θ－4. (1)由题意，得tan θ＝2，所以sin 2θ＝45.所以AB ＋CD ＝8sin 2θ－4＝6.(2)AB ＋CD ＝8sin 2θ－4，当sin 2θ＝1，即θ＝π2时△ABF 2的面积取到最小值4.5．已知抛物线ρ＝p1－cos θ，过焦点作互相垂直的极径FA 、FB ，求△FAB 的面积的最小值．【解】 设A (ρ1，θ)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，则 ρ1＝p 1－cos θ，ρ2＝p 1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝p1＋sin θ.△FAB 的面积为S ＝12ρ1ρ2＝12·p 1－cos θ·p1＋sin θ＝p 2－cos θ＋sinθ＝p 2－cos θ＋sin θ－sin θcos θ.设t ＝sin θ－cos θ，则sin θcos θ＝1－t22.所以1－cos θ＋sin θ－sin θcos θ＝1＋t －1－t 22＝12(t ＋1)2.又t ＝sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4∈[－2，2]，所以当t ＝2，即θ＝3π4时，△FAB 的面积S 有最小值p 2＋22.6．已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆短轴的一个顶点，且∠F 1PF 2＝90°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，且△ABF 2的面积的最大值为12，求椭圆C 的方程．【导学号：98990017】【解】 (1)因为∠F 1PF 2＝90°，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即a 2＋a 2＝4c 2.所以e ＝c a ＝22. (2)以椭圆的左焦点F 1为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为ρ＝22p 1－22cos θ＝p2－cos θ.设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)， 则AB ＝AF ＋FB ＝ρ1＋ρ2 ＝p2－cos θ＋p2－θ＋π＝p2－cos θ＋p2＋cos θ＝22p2－cos 2θ. 因为F 1F 2＝2c ，所以△ABF 2的边AB 上的高h 为2c |sin θ|，△ABF 2的面积S ＝12·AB ·h＝22pc |sin θ|2－cos 2θ＝22pc |sin θ|1＋sin 2θ＝22pc1|sin θ|＋|sin θ|.因为1|sin θ|＋|sin θ|≥2，所以当|sin θ|＝1，即θ＝π2或θ＝3π2时S 取到最大值．所以当l 过左焦点且垂直于极轴时，△ABF 2的面积取到最大值2pc ，所以2pc ＝12，即b 2＝6 2.故a 2－c 2＝6 2.又ca ＝22， 所以a 2＝122，c 2＝6 2. 所求椭圆的方程为 x 2122＋y 262＝1. 7．已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x 12＋y8＝1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解】 如图，以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，则： 椭圆的极坐标方程为ρ2＝482cos 2θ＋3sin 2θ， 直线l 的极坐标方程ρ＝242cos θ＋3sin θ.由于点Q 、R 、P 在同一射线上，可设点Q 、R 、P 的极坐标分别为(ρ，θ)、(ρ1，θ)、(ρ2，θ)，依题意，得ρ21＝482cos 2θ＋3sin 2θ，① ρ2＝242cos θ＋3sin θ.②由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρ·ρ2＝ρ21(ρ≠0)． 将①②代入，得ρ·242cos θ＋3sin θ＝482cos 2θ＋3sin 2θ， 则ρ＝4cos θ＋6sin θ2cos 2θ＋3sin 2θ(ρ≠0)． 这就是点Q 的轨迹的极坐标方程， 化为直角坐标方程，得2x 2＋3y 2＝4x ＋6y ， 即x －252＋y －253＝1(x 、y 不同时为0)．∴点Q 的轨迹为以(1,1)为中心，长轴平行于x 轴，长、短半轴长分别为102，153的椭圆(去掉坐标原点)．[能力提升]8．建立极坐标系证明：已知半圆直径|AB |＝2r (r ＞0)，半圆外一条直线l 与AB 所在直线垂直相交于点T ，并且|AT |＝2a (2a ＜r2)．若半圆上相异两点M ，N 到l 的距离|MP |、|NQ |满足|MP |：|MA |＝|NQ |：|NA |＝1，则|MA |＋|NA |＝|AB |.【证明】 法一 以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ，设M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)，则ρ1＝2r cos θ1，ρ2＝2r cos θ2，又|MP|＝2a＋ρ1cos θ1＝2a＋2r cos2θ1，|NQ|＝2a＋ρ2cos θ2＝2a＋2r cos2θ2，∴|MP|＝2a＋2r cos2θ1＝2r cosθ1，|NQ|＝2a＋2r cos2θ2＝2r cos θ2，∴cos θ1，cos θ2是方程r cos2θ－r cos θ＋a＝0的两个根，由韦达定理：cos θ1＋cos θ2＝1，|MA|＋|NA|＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r＝|AB|.法二以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ，设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，又由题意知，M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)在抛物线ρ＝2a1－cos θ上，∴2r cos θ＝2a1－cos θ，r cos2θ－r cos θ＋a＝0，∴cos θ1，cos θ2是方程r cos2θ－r cos θ＋a＝0的两个根，由韦达定理：cos θ1＋cos θ2＝1，得|MA|＋|NA|＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r＝|AB|.学业分层测评(七) 平面直角坐标系中的平移变换(建议用时：45分钟)[学业达标]1．已知函数y＝x2图象F按平移向量a＝(－2,3)平移到F′的位置，求图象F′的函数表达式．【解】在曲线F上任取一点P(x，y)，设F′上的对应点为P′(x′，y′)，则x′＝x－2，y′＝y＋3，∴x＝x′＋2，y＝y′－3.将上式代入方程y＝x2，得：y′－3＝(x′＋2)2，∴y′＝(x′＋2)2＋3，即图象F′的函数表达式为y＝(x＋2)2＋3.2．求椭圆4x2＋9y2＋24x－18y＋9＝0的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程．【解】 因椭圆方程可化为x ＋329＋y －24＝1，其中心为(－3,1)，焦点坐标为(－3±5，1)，长轴长为6，短轴长为4，离心率为53，准线方程为x ＝－3±955. 3．圆x 2＋y 2＝25按向量a 平移后的方程是x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，求过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线按向量a 平移后的方程．【导学号：98990020】【解】 由题意可知a ＝(1，－2)，因为平移前过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线方程为3x ＋4y ＝25，所以平移后的切线方程为3(x －1)＋4(y ＋2)＝25，即3x ＋4y －20＝0.4．已知两个点P (1,2)、P ′(2,10)和向量a ＝(－3,12)．回答下列问题： (1)把点P 按向量a 平移，求对应点的坐标；(2)把某一点按向量a 平移得到对应点P ′，求这个点的坐标； (3)点P 按某一向量平移，得到的对应点是P ′，求这个向量的坐标． 【解】 (1)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ＝1，y ＝2，解得x ′＝－2，y ′＝14，即所求的对应点的坐标为(－2,14)．(2)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ′＝2，y ′＝10，解得x ＝5，y ＝－2，即所求点的坐标为(5，－2)．(3)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k .由x ＝1，y ＝2，x ′＝2，y ′＝10，解得h ＝1，k ＝8，所以所求的向量的坐标为(1,8)．5．将二次函数y ＝x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y ＝2x －5的图象只有一个公共点(3,1)，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(h ，k )，所以y ＝x 2平移后的解析式为y －k ＝(x －h )2，即y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 与直线y ＝2x －5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)处的切线，由导数知识，知y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 在(3,1)处切线的斜率为6－2h ，从而6－2h ＝2，h ＝2.又点(3,1)在y －k ＝(x －h )2上，解得k ＝0，所以向量a 的坐标为(2,0)．6．抛物线y ＝x 2－4x ＋7按向量a 平移后，得到抛物线的方程是y ＝x 2.求向量a 及平移前抛物线的焦点坐标．【解】 抛物线方程可化为y －3＝(x －2)2，平移后的抛物线方程为y ＝x 2，所以a ＝(－2，－3)，因为y ＝x 2的焦点坐标为(0，14)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(0＋2，14＋3)，即(2，134)．7．已知双曲线的渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0与4x －3y ＋15＝0，一条准线的方程为y ＝－115，求此双曲线的方程．【解】 两渐近线的交点即双曲线中心，故由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋9＝0，4x －3y ＋15＝0，解得交点为(－3,1)，即中心为(－3,1)．又一条准线方程为y ＝－115，说明焦点所在的对称轴平行于y 轴，所以可设双曲线方程为y －2a 2－x ＋2b 2＝1，它的渐近线方程可写成y －1a ±x ＋3b＝0①，准线方程为y －1＝±a 2c②，而已知渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0，即4(x ＋3)＋3(y －1)＝0，另一条渐近线方程为4x －3y ＋15＝0，即4(x ＋3)－3(y －1)＝0，合并即为y －14±x ＋33＝0.对照①，得a b ＝43③.而已知准线方程y ＝－115，即y －1＝－165.对照②，得a 2c ＝165④.由③④，解得a ＝4，b ＝3，c ＝5.故所求双曲线方程为y －216－x ＋29＝1.[能力提升]8．已知抛物线y ＝x 2－4x －8，(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，－2)时的抛物线方程； (2)将此抛物线按怎样的向量a 平移，能使平移后的方程是y ＝x 2?【解】 (1)将抛物线y ＝x 2－4x －8配方，得y ＝(x －2)2－12，故抛物线顶点的坐标为P (2，－12)，将点(2，－12)移到(3，－2)时，其平移向量a ＝(1,10)，于是平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋1，y ′＝y ＋10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－1，y ＝y ′－10.因为点(x ，y )在抛物线y ＝x 2－4x －8上，所以y ′－10＝(x ′－1)2－4(x ′－1)－8， 即y ′＝x ′2－6x ′＋7.所以平移后的方程为y ＝x 2－6x ＋7.(2)法一 设平移向量a ＝(h ，k )，则平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k .将其代入y ＝x 2－4x －8，得y ′－k ＝(x ′－h )2－4(x ′－h )－8，化简整理，得y ′＝x ′2－(2h ＋4)x ′＋h 2＋4h ＋k －8.令⎩⎪⎨⎪⎧2h ＋4＝0，h 2＋4h ＋k －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－2，k ＝12，此时y ′＝x ′2.所以当图象按向量a ＝(－2,12)平移时，可使函数的解析式化为y ＝x 2. 法二 将抛物线y ＝x 2－4x －8，即y ＋12＝(x －2)2平移到y ＝x 2. 只需要作变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y ＋12.所以平移对应的向量坐标为(－2,12)．学业分层测评(八) 平面直角坐标系中的伸缩变换(建议用时：45分钟)[学业达标]1．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的方程．(1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.【解】 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.①(1)将①代入2x ＋3y ＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x ′＋y ′＝0，所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后，直线2x ＋3y ＝0变成直线x ＋y ＝0.(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后，方程x2＋y 2＝1变成x 24＋y 29＝1.2．伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程．【解】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.3．设F ：(x －1)2＋(y －1)2＝1在⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′的伸缩变换下变为图形F ′，求F ′的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′.所以(x －1)2＋(y －1)2＝1变换为(13x ′－1)2＋(y ′－1)2＝1，即x ′－29＋(y ′－1)2＝1，所以F ′的方程是x －29＋(y －1)2＝1.4．双曲线x 216－y 29＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x 2－y 2＝1吗？【解】 双曲线方程x 216－y 29＝1可以化为(x 4)2－(y3)2＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝x ′，y3＝y ′，则x ′2－y ′2＝1.所以双曲线x 216－y 29＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x 2－y 2＝1，具体步骤是：按伸缩系数14向着y 轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数13向着x 轴进行伸缩变换．5．已知G 是△ABC 的重心，经过伸缩系数k 向着x 轴(或y 轴)的伸缩变换后，得到G ′和△A ′B ′C ′.试判断G ′是否为△A ′B ′C ′的重心．【解】 设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．经过伸缩系数k 向着x 轴的伸缩变换后，得到△A ′B ′C ′的三个顶点及点G ′的坐标分别为A ′(x 1，ky 1)、B ′(x 2，ky 2)，C ′(x 3，ky 3)，G ′(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋y 2＋y 33)．由于△A ′B ′C ′的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋ky 2＋ky 33)，所以G ′仍然是△A ′B ′C ′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y 轴方向，G ′同样也是△A ′B ′C ′的重心．6．已知：△ABC 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)后，得到△A ′B ′C ′.求证：△A ′B ′C ′和△ABC 相似，且面积比为k 2.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则A ′(kx 1，ky 1)、B ′(kx 2，ky 2)．所以A ′B ′＝kx 1－kx 22＋ky 1－ky 22＝|k |x 1－x 22＋y 1－y 22＝|k |AB .同理可得A ′C ′＝|k |AC ，B ′C ′＝|k |BC ， 所以△A ′B ′C ′∽△ABC ，所以∠A ＝∠A ′，S △A ′B ′C ′＝12(|k |AB )·(|k |AC )sin A ′＝k 2[12(AB ·AC )sin A ]＝k 2S △ABC .7．设P 1、P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使P 1P →＝λPP 2，称λ为点P 分有向线段P 1P 2所成比．设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，点P 分有向线段P 1P 2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P 1、P 2和P 分别变为P 1′、P 2′和P ′.求证：P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.【导学号：98990023】【证明】 设P (x 0，y 0)，由P 1P →＝λPP 2→，得(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 0，y 2－y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋λx 21＋λ，y 0＝y 1＋λy21＋λ.设给定伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧k 1x ＝x ′，k 2y ＝y ′，则有P 1′(k 1x 1，k 2y 1)、P 2′(k 1x 2，k 2y 2)、 P ′(k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 1＋λy 21＋λ)．P 1′P ′→＝(k 1x 1＋λx 21＋λ－k 1x 1，k 2y 1＋λy 21＋λ－k 2y 1)＝λ(k 1x 2－x 11＋λ，k 2y 2－y 11＋λ)，P ′P 2′→＝(k 1x 2－k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 2－k 2y 1＋λy 21＋λ)＝(k 1x 2－x 11＋λ，k 2y 2－y 11＋λ)，所以P 1′P ′→＝λP ′P 2′→.所以P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.[能力提升]8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 216－y 29＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．【解】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y29＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y29＝1的图形如下：学业分层测评(九) 参数方程的意义(建议用时：45分钟)[学业达标]1．如图4­4­2，OB 是机器上的曲柄，长是r ，绕点O 转动，AB 是连杆，M 是AB 上一点，MA ＝a ，MB ＝b (2r ＜a ＋b )．当点A 在Ox 上做往返运动，点B 绕着O 做圆周运动时，求点M的轨迹方程．图4­4­2【解】 如题图，设点M (x ，y )，θ＝∠BAO ，由点B 作BC ⊥Ox ，交Ox 于点C ，由点M作MD ⊥Ox ，交Ox 于点D ，由点M 作ME ⊥BC ，交BC 于点E ，那么y ＝DM ＝a sin θ，x ＝OD ＝OC ＋CD ＝OC ＋EM＝±OB 2－CB 2＋EM ＝±r 2－a ＋b2sin 2θ＋b cos θ，得到点M (x ，y )的坐标满足方程组⎩⎨⎧x ＝b cos θ±r 2－a ＋b 2sin 2θ，y ＝a sin θ，即为点M 的轨迹方程．2．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向上的分速度分别为9 m/s 和12 m/s ，运动开始时，点M 位于A (1,1)，求点M 的轨迹方程．【解】 设t s 后点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t ≥0)．3．以椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 与椭圆上任意一点连线的斜率k 为参数，将椭圆方程化为参数方程．【导学号：98990028】【解】 椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 的坐标为(－2,0)．设P (x ，y )为椭圆上任意一点(除点A )，则点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y x ＋2＝k ，x24＋y 2＝1.将y x ＋2＝k 代入x 24＋y 2＝1，消去x ，得(1k 2＋4)y 2－4ky ＝0.解得y ＝0，或y ＝4k1＋4k 2.由y ＝4k1＋4k 2，解得x ＝－4k21＋4k2；由y ＝0，解得x ＝2.由于(2,0)满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k21＋4k2，y ＝4k1＋4k 2，所以椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k21＋4k2，y ＝4k 1＋4k 2.4．△ABC 是圆x 2＋y 2＝1的内接三角形，已知A (1,0)，∠BAC ＝60°，求△ABC 的重心的轨迹方程．【解】 因为∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝120°. 设B (cos θ，sin θ)(0°＜θ＜240°)，则有C (cos(θ＋120°)，sin(θ＋120°))．设重心坐标为(x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ＋θ＋3，y ＝sin θ＋θ＋3.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ－32sin θ3y ＝12sin θ＋32cos θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋θ＋3，y ＝θ＋3.消去θ＋60°，得(3x －1)2＋9y 2＝1， ∵0°＜θ＜240°，∴－1≤cos(θ＋60°)＜12，∴0≤1＋θ＋3＜12， 即0≤x ＜12.∴△ABC 的重心的轨迹方程为(x －13)2＋y 2＝19(0≤x <12)．5．如图4­4­3，过抛物线y 2＝4x 上任一点M 作MQ 垂直于准线l ，垂足为Q ，连接OM 和QF (F 为焦点)相交于点P ，当M 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程．图4­4­3【解】 设直线OM 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k2，y ＝4k ，所以M (4k 2，4k)，则Q (－1，4k)，于是直线QF 的方程为y ＝4k－1－1(x －1)，即y ＝－2k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝－2k x －，消去k ，得2x 2＋y 2－2x ＝0.所以点P 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0)．6．如图4­4­4所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程．图4­4­4【解】 设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈(－π2，π2)．7．已知点P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2＋3sin θ上的任意一点，求3x ＋y 的取值范围．【解】 设P (3＋cos θ，2＋3sin θ)， 则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋3sin θ)＝11＋3cos θ＋3sin θ＝11＋23sin(θ＋π3)，∴3x ＋y 的最大值为11＋23，最小值为11－23，取值范围是[11－23，11＋23]．[能力提升]8．如图4­4­5，已知曲线4x 2＋9y 2＝36(x ＞0，y ＞0)，点A 在曲线上移动，点C (6,4)，以AC 为对角线作矩形ABCD ，使AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，求矩形ABCD 的面积最小时点A 的坐标．图4­4­5【解】 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1(x ＞0，y ＞0)，设A (3cos θ，2sin θ)，θ∈(0，π2)，则B (6,2sin θ)，C (6,4)，D (3cos θ，4)， 所以S ABCD ＝AB ·AD ＝(6－3cos θ)(4－2sin θ) ＝24－12(sin θ＋cos θ)＋6sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ，则t ∈(1，2]，sin θcos θ＝t 2－12，则S ABCD ＝3(t －2)2＋9.因为t ∈(1，2]，所以当t ＝2时，矩形面积最小，即t ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)＝2，此时，θ＝π4.所以矩形ABCD 的面积最小时点A 坐标是(322，2)．学业分层测评(十) 参数方程与普通方程的互化(建议用时：45分钟)[学业达标]1．将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a 、b 为常数，且a ＞b ＞0)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p 为正常数)．【解】 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝1，这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆．(2)由已知t ＝y 2p ，代入x ＝2pt 2得y 24p2·2p ＝x ，即y 2＝2px ， 这是一条抛物线．2．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，求r 的值．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x－2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切，由题意得r ＝|4－0－2|2＝2.3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，求常数k 的值．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 化为普通方程为y ＝－32x ＋72，斜率k 1＝－32，当k ≠0时，直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k，由k 1k 2＝(－32)×(－4k)＝－1得k ＝－6；当k ＝0时，直线y ＝－32x ＋72与直线4x ＝1不垂直．综上可知，k ＝－6.4．过椭圆x 29＋y 24＝1内一定点P (1,0)作弦，求弦的中点的轨迹．【解】 设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入方程x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2－18k 2x ＋9k 2－36＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝18k29k 2＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9k 29k 2＋4，y ＝kx －＝－4k 9k 2＋4，∴x y ＝－94k ， 即k ＝－4x 9y，代入y ＝k (x －1)中，得4x 2＋9y 2－4x ＝0，即x －12214＋y 219＝1.① 当AB ⊥Ox 轴时，线段AB 的中点为(1,0)，该点的坐标满足方程①，所以所求的轨迹方程为x －12214＋y 219＝1.点M 的轨迹是以O 、P 为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆． 5．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，α∈R )，点M (5,4)在该曲线上，(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．。

学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是________．【解析】 l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 的斜率存在，∴l 与圆一定相交．【答案】 相交2．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为______________．【解析】 由圆的性质可知，此弦与过点P 的直径垂直，故k AB ＝－1－20＋1＝1.故所求直线方程为x －y －3＝0.【答案】 x －y －3＝03．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【解析】 由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P (2,2)，∴c ＝－2－2a ，∴|1－2－2a |1＋a2＝5，解得a ＝2. 【答案】 24．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a ＝________.【解析】 因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为3，所以圆心到直线的距离为1，即|a －2＋3|2＝1，解得a ＝±2－1，因为a >0，所以a ＝2－1.【答案】 2－15．(2016·苏州高一检测)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y －3＝0相切，则圆C 的半径为__________．【解析】 设圆心为(2，b )，则半径r ＝b 2＋1.又|－1－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1，r ＝ 2.【答案】 2 6．在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有________个．【解析】 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意．【答案】 37．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则c ＝__________. 【导学号：60420087】【解析】 圆心到直线的距离为d ＝|c |5，因为弦AB 的长为23，所以4＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|c |52，所以c ＝±5. 【答案】 ±58．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．【解析】 设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当MN ＝23时，AC ＝MC 2－MA 2＝4－3＝1.∴当MN ≥23时，圆心C 到直线y ＝kx ＋3的距离d ≤1.∴|3k －2＋3|k 2＋1≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1. ∴－34≤k ≤0.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 二、解答题9．(1)圆C 与直线2x ＋y －5＝0切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程；(2)已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．【解】 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.∵两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行，∴2r ＝|15－(－5)|22＋12＝45，∴r ＝25， ∴|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10，① |2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10，②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴b －1a －2＝12， 由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20.(2)设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4和直线l ：kx －y －4k ＋3＝0，(1)求证：不论k 取何值，直线和圆总相交；(2)求当k 取何值时，圆被直线l 截得弦最短，并求此最短值．【解】 (1)证明：由圆的方程(x －3)2＋(y －4)2＝4得圆心(3,4)，半径r ＝2，由直线方程得l ：y －3＝k (x －4)，即直线l 过定点(4,3)，而(4－3)2＋(3－4)2＝2<4，所以(4,3)点在圆内．故直线kx －y －4k ＋3＝0与圆C 总相交．(2)因为直线经过定点P (4,3)，所以当PC 与直线l 垂直时，圆被直线截得的弦最短，设直线与圆的交点为A ，B ，则由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝r 2－|CP |2＝4－2＝2， 所以AB ＝22，又因为PC 与直线kx －y －4k ＋3＝0垂直，直线PC 的斜率为k PC ＝3－44－3＝－1， 所以直线kx －y －4k ＋3＝0的斜率为k ＝1. 所以当k ＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦的长为2 2.[能力提升]1．直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________．【解析】 如图，直线夹在l 1与l 2之间，不含l 2含l 1，故1≤b ＜ 2.【答案】[1，2)2．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是________．【解析】由已知圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离d＝5，又d－1<r<d ＋1，∴4<r<6.【答案】(4,6)3．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形P ABC面积的最小值是________. 【导学号：60420088】【解析】当CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0时，切线长最短，四边形P ABC 的面积最小，此时：CP＝|3＋4＋8|32＋42＝155＝3.又r＝1，∴切线长为32－12＝22，∴S＝2×12×22×1＝2 2.【答案】2 24．已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a＝0.(1)证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；(2)当a≠2时，证明：曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；(3)若曲线C与x轴相切，求a的值．【解】(1)证明：曲线C的方程可变形为(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2. 点(4，－2)满足C 的方程，故曲线C 过定点(4，－2)．(2)证明：配方得(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2， ∵当a ≠2时，5(a －2)2>0，∴C 的方程表示圆心是(2a ，－a )，半径是5|a －2|的圆．设圆心坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2a ，y ＝－a ，消去a 得y ＝－12x ，故圆心必在直线y ＝－12x 上．(3)由题意知5|a －2|＝|a |，解得a ＝5±52.。

学业分层测评(十九) 平面向量的坐标运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若点P 的坐标为(2 016,2)，向量PQ →＝(1，－3)，则点Q 的坐标为________． 【解析】 ∵PQ →＝OQ →－OP →， ∴OQ →＝OP →＋PQ → ＝(2 016,2)＋(1，－3) ＝(2 017，－1)． 【答案】 (2 017，－1)2．(2016·如东高一检测)若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝________. 【解析】 BC →＝BA →＋AC → ＝BA →－CA → ＝(2,3)－(4,7) ＝(－2，－4)． 【答案】 (－2，－4)3．已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________． 【解析】 设B 点坐标为(x ，y )， 则AB →＝(x ＋1，y －5)， ∵AB →＝3a ，∴(x ＋1，y －5)＝3(2,3)＝(6,9)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14. 【答案】 (5,14)4．若向量a ＝(x ＋3，y －4)与AB →相等，已知A (1,2)和B (3,2)，则x ，y 的值分别为________．【解析】 ∵AB →＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)＝(x ＋3，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4. 【答案】 －1,45．已知a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)，则a ＝________，b ＝________. 【解析】 由a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)， ∴2a ＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，∴a ＝(3,5)，2b ＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，∴b ＝(－2，－2)． 【答案】 (3,5) (－2，－2)6.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝2，∠xOA ＝150°，则向量OA →的坐标为________．图2-3-16【解析】 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，设A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 150°＝－3，y ＝|OA →|sin 150°＝1.所以OA →的坐标为(－3，1)． 【答案】 (－3，1)7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为________.【导学号：06460056】【解析】 设P (x ，y )，则 MP →＝(x －3，y ＋2)， 12MN →＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12， ∴⎩⎨⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－32，∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－328．已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．【解析】 ∵AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)， AC →＝AB →＋BC →＝(1,1)， ∴2AB →＋3BC →＋AC →＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)． 【答案】 (3,4) 二、解答题9．(1)已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，求x 的值；(2)已知点P 1(2，－1)，P 2(0,5)，点P 在线段P 1P 2上且|P 1P →|＝2|PP 2→|，求P 点的坐标．【解】 (1)∵AB →＝(2,0)，又∵a ＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1.(2)设P (x ，y )，则P 1P →＝(x －2，y ＋1)， PP 2→＝(－x,5－y )，∵点P 在线段P 1P 2上且|P 1P →|＝2|PP 2→|， ∴P 1P →＝2PP 2→，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2x ，y ＋1＝2(5－y )，∴⎩⎨⎧x ＝23，y ＝3，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3. 10．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N 是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.【解】 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)， 所以AB →＝(－4，－3)，AC →＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－4，而M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2.[能力提升]1．(2016·南通高一检测)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________.【解析】 由向量的平行四边形法则可知 AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB → ＝(1,3)－(2,4) ＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB → ＝(－1，－1)－(2,4) ＝(－3，－5)． 【答案】 (－3，－5)2．(2016·苏州高一检测)已知P 1(5，－1)，P 2(－3,1)，点P (x,2)分P 1P 2→所成的比为λ，则x 的值为________．【解析】 ∵y ＝y 1＋λy 21＋λ，∴2＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝－3. 所以x ＝x 1＋λx 21＋λ＝5＋(－3)×(－3)1＋(－3)＝－142＝－7. 【答案】 －73．已知向量集合M ＝{a|a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a|a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N 等于________．【解析】 令(1,2)＋λ1(3,4) ＝(－2，－2)＋λ2(4,5)， 即(1＋3λ1,2＋4λ1) ＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝0，故M 与N 只有一个公共元素是(－2，－2)． 【答案】 {(－2，－2)}4．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2-3-7所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值．图2-3-7【解】 以向量a 和b 的交点为原点建直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.。

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]1．求平摆线⎩⎨⎧ x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t(0≤t ＜2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标． 【解】 由题意知，y ＝1－cos t ＝1，∴cos t ＝0，∴sin t ＝1，∴t ＝2k π＋π2(k ∈Z )，又∵0≤t ＜2π，∴t ＝π2.∴x ＝π2－1.∴交点的直角坐标为(π2－1,1)．2．已知圆的渐开线⎩⎨⎧ x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．【解】 把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎨⎧ 3＝r (cos φ＋φsin φ)，0＝r (sin φ－φcos φ)， 解得⎩⎨⎧ φ＝0，r ＝3.所以基圆的面积S ＝πr 2＝π×32＝9π. 3．已知摆线的生成圆的直径为80 mm ，写出摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．【解】 因为摆线的生成圆的半径r ＝40 mm ，所以此摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝40(t －sin t )，y ＝40(1－cos t ).它一拱的拱宽为2πr ＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r ＝2×40＝80(mm)．4．抛物线y 2－2x －6y sin θ－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，求顶点的轨迹的普通方程．【解】 抛物线方程可化为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)，所以其顶点的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，普通方程为x 216＋y 29＝1. 5．已知椭圆⎩⎨⎧ x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不在x 轴上的一点，求△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程．【解】 F 1(－3,0)、F 2(3,0)，设P (5cos θ，4sin θ)、G (x ，y )，所以G 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos θ3，y ＝4sin θ3(θ为参数，sin θ≠0)．6．如图4-4-9，已知半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0)，定点A (－2,0)，设B 为圆上一动点，以AB 为一边在上半平面内作正方形ABCD ，设P 为正方形ABCD 的中心，求点P 的轨迹方程，并指出它是什么曲线．【导学号：98990040】图4-4-9【解】 设轨迹上任意一点为P (x ，y )，又设D (x 0，y 0)，∠xOB ＝θ(0≤θ≤π)，则B (cos θ，sin θ)，AB →＝(cos θ＋2，sin θ)，AD →＝(x 0＋2，y 0)．由AB →⊥AD →且|AB→|＝|AD →|， 得⎩⎨⎧ (cos θ＋2)(x 0＋2)＋y 0sin θ＝0，(cos θ＋2)2＋sin 2θ＝(x 0＋2)2＋y 20.解得⎩⎨⎧ x 0＝－sin θ－2，y 0＝cos θ＋2.因为P 是BD 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ－sin θ－22＝22cos (θ＋π4)－1，y ＝cos θ＋sin θ＋22＝22sin (θ＋π4)＋1(0≤θ≤π)．消去θ，得点P 的轨迹方程是(x ＋1)2＋(y －1)2＝12(－2＋22≤x ≤－12，12≤y ≤2＋22)，它表示以(－1,1)为圆心，22为半径的半圆的一部分．7．如图4-4-10所示，开始时定点M 在原点O 处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单位)为参数．求半径为2的圆的摆线的参数方程．图4-4-10【解】 当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如题图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，向量OB→＝(2α，2)，向量MB →＝(2sin α，2cos α)， BM→＝(－2sin α，－2cos α)， 因此OM→＝OB →＋BM → ＝(2α－2sin α，2－2cos α)＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．动点M 的坐标为(x ，y )，向量OM→＝(x ，y )， 所以⎩⎨⎧x ＝2(α－sin α)，y ＝2(1－cos α).这就是所求摆线的参数方程．[能力提升]8．求半径为4的圆的渐开线的参数方程．【解】 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则AM ＝＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得 OA →＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM →＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM →＝(x ，y )，因此有⎩⎨⎧ x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).这就是所求圆的渐开线的参数方程．。

学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．以A(1,2)，B(3,0)的中点为圆心，以5为半径的圆的方程为________．【解析】AB中点为(2,1)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝52．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是________．【解析】∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，∴P点在圆外．【答案】P在圆外3．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．【解析】由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.【答案】x2＋(y－1)2＝14．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为________．【解析】已知圆的圆心为(－2,0)，它关于P(0,0)的对称点为(2,0)，所以关于P对称的圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.【答案】(x－2)2＋y2＝55．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是__________. 【导学号：60420079】【解析】∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．【答案】相交6．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为__________．【解析】圆的方程化为(x－a)2＋y2＝3－2a，∵过点A(a，a)可作圆的两条切线，∴点A (a ，a )在圆外，可得⎩⎨⎧3－2a >0，a 2>3－2a ，解得a <－3或1<a <32. 【答案】 (－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 7．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是________________．【解析】 设直线端点为B (x 0,0)，C (0，y 0)，则x 0＋02＝2，∴x 0＝4，0＋y 02＝－3，∴y 0＝－6，r ＝(4－2)2＋(0＋3)2＝13，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝138．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．【解析】 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.【答案】 52－4二、解答题9．已知平面直角坐标系中有四个点A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)，这四个点能否在同一个圆上？为什么？【解】 设经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． 代入三点的坐标得 ⎩⎨⎧ a 2＋(b －1)2＝r 2，(a －2)2＋(b －1)2＝r 2，(a －3)2＋(b －4)2＝r 2，解方程组，得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，r 2＝5，所以经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D 点坐标代入圆的标准方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以点D 在圆上，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．10．如图2-2-2所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为6 3 m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA ，FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.图2-2-2(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．【解】 (1)法一 以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．则有E (－33，0)，F (33，0)，M (0,3)．由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为(x －0)2＋(y －b )2＝r 2， ∵F (33，0)，M (0,3)都在圆上，∴⎩⎨⎧(33)2＋b 2＝r 2，02＋(3－b )2＝r 2，解得b ＝－3，r 2＝36.所以圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.法二 以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．设所求圆的圆心为G ，半径为r ，则点G 在y 轴上，在Rt △GOE 中，|OE |＝33，|GE |＝r ，|OG |＝r －3，由勾股定理，r 2＝(33)2＋(r －3)2，解得r ＝6，则圆心G 的坐标为(0，－3)，圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2)设限高为h ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ，则|CP |＝h ＋0.5.将点P 的横坐标x ＝11代入圆的方程，得112＋(y ＋3)2＝36，解得y ＝2，或y ＝－8(舍)．所以h ＝|CP |－0.5＝(y ＋|DF |)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．即车辆的限制高度为3.5 m.[能力提升]1．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．【解析】在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝1＋43＝213. 【答案】 2132．(2016·徐州高一检测)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点， 且与y 轴相切，则圆C 的方程为__________________. 【导学号：60420080】【解析】 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意得⎩⎨⎧ (1－a )2＋b 2＝r 2，(3－a )2＋b 2＝r 2，|a |＝r ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝±3，r ＝2，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.【答案】 (x －2)2＋(y ±3)2＝43．已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是______________． 【解析】y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率．如图，A (－1，－3)，B (3,0)，C (－3,0)，则k AB ＝34，k AC ＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.【答案】 t ≤－32或t ≥344．已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.(1)求y x 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】 (1)原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设y x ＝k ，即y＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.故y x 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6. 故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－4 3.。

学业分层测评(四)曲线的极坐标方程的意义(建议用时：45分钟)[学业达标]1．将以下曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：射线y＝3x(x≤0)；圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．【解】(1)将＝ρcosθ，＝ρsinθ代入＝3，x得ρsinθ＝3ρcosθ，π4π∴tanθ＝3，∴θ＝3或θ＝3.4π又x≤0，∴ρcosθ≤0，∴θ＝3∴射线y＝3x(x≤0)的极坐标方程为4π(ρ≥0)．θ＝3( 2)将＝ρcosθ，＝ρsinθ代入2＋2＋2＝0，得y x2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcosθ＝0，即ρ(ρ＋2a cosθ)＝0，∴ρ＝－2a cosθ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为＝－2acosθ.2．分别将以下极坐标方程化为直角坐标方程：52(1 )ρ＝cosθ；(2)ρ＝tanθ.【解】(1)由ρcosθ＝5，得x＝5.2y222( 2)x＋y ＝x(x≠0)，即x(x＋y)－y＝0(x≠0)．又在极坐标方程ρ＝tanθ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是22－y＝0.x(x＋y)3．曲线C的极坐标方程为πρ＝6cosθ，曲线C的极坐标方程为θ＝4(ρ∈R)，12曲线C1，C2相交于A，B两点．把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；求弦AB的长度．【导学号：98990011】【解】(1)曲线C2：θ＝π(ρ∈R)表示直线y＝x；4曲线1：ρ＝6cosθ化为直角坐标方程，即2＋2＝6，即(－3)2＋2＝9.C x(2)因为圆心C1(3,0)到直线的距离d＝，r＝3，所以弦长AB＝32.ππ4．求点A2，到直线l：ρsinθ－6＝－2的距离．【解】(2，π)的直角坐标为(1，3)，31l：ρsin(θ－6)＝－2，ρ(2sinθ－2cosθ)＝－2.即：x－3y－4＝0.故(1，3)到：－3－4＝0的距离为|1－3－4|＝3.A y12＋325．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosπ分别为与轴，轴的交点．θ－＝1，、3M写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解】(1)由ρcos(θ－π)＝1得ρ(cosθ＋3sinθ)＝1，32即＋3＝2，y当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．2323π当θ＝时，ρ＝3，所以N(32)．∵M的直角坐标为(2,0)，2N的直角坐标为(0，33)．∴P的直角坐标为(1，3)，323P的极坐标为(3，6)．所以直线OP的极坐标方程为πθ＝6(ρ∈R)．6．在平面直角坐标系中，点A(3,0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹方程．【解】以圆心O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1,2θ)．因为S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP. 1即2·3·ρ·sin1θ＋2·1·ρ·sinθ1·3·1·sin2θ.23整理得：ρ＝2cosθ.7．在极坐标系中，圆 C：ρ＝10cosθ和直线l：3ρcosθ－4ρsinθ－30＝0相交于A、B两点，求线段AB的长．【解】分别将圆和直线的极坐标方程化为直角坐标方程：圆：2＋2＝10，即Cx x(x－5)2＋y2＝25，圆心C(5,0) ；直线l：3x－4y－30＝0，因为圆心C到直线l的距离d＝|15－0－30|＝3，所以AB＝5225－d2＝8.[能力提升]π8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－6上的动点，试求PQ的最大值．【解】∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsinθ，x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又∵ρ＝12cos(θ－π)，62π∴ρ＝12ρ(cosθcos6＋sinθsin6)，∴x2＋y2－63x－6y＝0，∴(x－33)2＋(y－3)2＝36.∴PQ的最大值为6＋6＋223＋3＝18.。

江苏省高一（下）数学试卷 201805一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分. 1．直线y=x ﹣3的倾斜角为 ．2．不等式()()021>--x x 的解集为 ▲ ．3．函数()04>+=x xx y 的最小值为 ▲ ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =﹣n 2+4n ，则其公差d= ▲ ．5．在ABC ∆中，,30,3,1 ===A b a 则B sin = ▲ ．6．已知数列{}n a 的通项公式为,3sin πn a n =则=3a ▲ ．7．已知正数y x ,满足,12=+y x 则yx 11+的最小值为 ▲ ．8．设{a n }是等比数列，若a 1+a 2+a 3=7，a 2+a 3+a 4=14，则a 4+a 5+a 6= ▲ ．9．在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinA +cosA=2，a=3，C=，则b= ▲ ．10．已知点A （2，4），B （6，﹣4），点P 在直线3x ﹣4y +3=0上，若满足PA 2+PB 2=λ的点P 有且仅有1个，则实数λ的值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=5，A 、B 是圆C 上的两个动点，AB=2，则的取值范围为 ▲ ．12．在数列{a n }中，设a i =2m（i ∈N *，3m ﹣2≤i ＜3m +1，m ∈N *），S i =a i +a i+3+a i+6+a i+9+a i+12，则满足S i ∈[1000，3000]的i 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式21102d a x a x c ⎛⎫+-+⎪⎝⎭≥的解集为14,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求使数列{}n a 的前n 项和n S 最小的正整数n 的值.14．若正实数y x ,满足511=+++yy x x ，求xy 的取值范围．15．已知数列{}n a 满足n n a a a 2,411==+。

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学业分层测评（六) 圆锥曲线的极坐标方程及应用(建议用时：45分钟)[学业达标]1．过椭圆错误!＋错误!＝1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点，若FA＝2FB，求直线l的斜率．【解】椭圆错误!＋错误!＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，所以e＝错误!，p＝错误!＝错误!。

取椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为ρ＝错误!＝错误!.设A（ρ1，θ)、B(ρ2,π＋θ)．由题设得ρ1＝2ρ2。

于是错误!＝2×错误!，解得cos θ＝错误!，所以tan θ＝错误!，即直线l的斜率为错误!.2．已知椭圆方程为ρ＝错误!，过左焦点引弦AB,已知AB＝8,求△AOB的面积．【解】如图，设A（ρ1，θ)、B（ρ,θ＋π）．2所以ρ1＋ρ2＝错误!＋错误!＝错误!.因为AB＝8，所以错误!＝8，所以cos2θ＝错误!,sin θ＝错误!.由椭圆方程知e＝错误!＝错误!，错误!＝错误!，则c＝3。

S＝S△AOF＋S△BOF＝错误!OF·ρ1·sin θ＋错误!OF·ρ2·sin θ＝8。

学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题51．以A(1,2)，B(3,0)的中点为圆心，以为半径的圆的方程为________．【解析】　AB中点为(2,1)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【答案】　(x－2)2＋(y－1)2＝52．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是________．【解析】　∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，∴P点在圆外．【答案】　P在圆外3．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．【解析】　由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.【答案】　x2＋(y－1)2＝14．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为________．【解析】　已知圆的圆心为(－2,0)，它关于P(0,0)的对称点为(2,0)，所以关于P对称的圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.【答案】　(x－2)2＋y2＝55．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是__________. 【导学号：60420079】【解析】　∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．【答案】　相交6．若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为__________．【解析】　圆的方程化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，∵过点A (a ，a )可作圆的两条切线，∴点A (a ，a )在圆外，可得Error!解得a <－3或1<a <.32【答案】　(－∞，－3)∪(1，32)7．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是________________．【解析】　设直线端点为B (x 0,0)，C (0，y 0)，则＝2，∴x 0＝4，＝－3，∴y 0＝－6，x 0＋020＋y 02r ＝＝，(4－2)2＋(0＋3)213∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.【答案】　(x －2)2＋(y ＋3)2＝138．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．【解析】　设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝＝5.(2－3)2＋(－3－4)22而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥5－4.2【答案】　－42二、解答题9．已知平面直角坐标系中有四个点A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)，这四个点能否在同一个圆上？为什么？【解】　设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．代入三点的坐标得Error!解方程组，得Error!所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.将D点坐标代入圆的标准方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以点D在圆上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上．10．如图2­2­2所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个311长方形构成．已知隧道总宽度AD为6m，行车道总宽度BC为2m，侧墙EA，FD高为2 m，弧顶高MN为5 m.图2­2­2(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．【解】　(1)法一　以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系．则有E(－3，0)，F(3，0)，M(0,3)．33由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝r2，∵F(3，0)，M(0,3)都在圆上，3∴Error!解得b ＝－3，r 2＝36.所以圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.法二　以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．设所求圆的圆心为G ，半径为r ，则点G 在y 轴上，在Rt △GOE 中，|OE |＝3，|GE |＝r ，|OG |＝r －3，3由勾股定理，r 2＝(3)2＋(r －3)2，解得r ＝6，3则圆心G 的坐标为(0，－3)，圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2)设限高为h ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ，则|CP |＝h ＋0.5.将点P 的横坐标x ＝代入圆的方程，得2＋(y ＋3)2＝36，解得1111y ＝2，或y ＝－8(舍)．所以h ＝|CP |－0.5＝(y ＋|DF |)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．即车辆的限制高度为3.5 m.[能力提升]1．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A (1,0)，B (0，)，C (2，)，则△ABC 33外接圆的圆心到原点的距离为________．【解析】　在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝|AD |＝，23233从而|OE |＝＝＝.|OA |2＋|AE |21＋43213【答案】　2132．(2016·徐州高一检测)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点， 且与y 轴相切，则圆C 的方程为__________________. 【导学号：60420080】【解析】　设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意得Error!解得Error!∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±)2＝4.3【答案】　(x －2)2＋(y ±)2＝433．已知实数x ，y 满足y ＝，则t ＝的取值范围是9－x 2y ＋3x ＋1______________．【解析】　y ＝表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜9－x 2率．如图，A (－1，－3)，B (3,0)，C (－3,0)，则k AB ＝，k AC ＝－，3432∴t ≤－或t ≥.3234【答案】　t ≤－或t ≥32344．已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.(1)求的最大值和最小值；yx (2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】　(1)原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设＝k ，即3yx y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时＝，|2k －0|k 2＋13解得k ＝±.故的最大值为，最小值为－.3yx 33(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取最大值和最小值，此时＝，即b ＝－2±.|2－0＋b |236故y －x 的最大值为－2＋，最小值为－2－.66(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋)2＝7＋4，33(x 2＋y 2)min ＝(2－)2＝7－4.33。

学业分层测评(十九)　平面向量的坐标运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若点P 的坐标为(2 016,2)，向量＝(1，－3)，则点Q 的坐标为PQ→ ________．【解析】　∵＝－，PQ → OQ → OP→ ∴＝＋OQ → OP → PQ → ＝(2 016,2)＋(1，－3)＝(2 017，－1)．【答案】　(2 017，－1)2．(2016·如东高一检测)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝________.BA → CA → BC→ 【解析】　＝＋BC → BA → AC→ ＝－BA → CA → ＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．【答案】　(－2，－4)3．已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若＝3a ，则点B 的坐标为AB→ ________．【解析】　设B 点坐标为(x ，y )，则＝(x ＋1，y －5)，AB→∵＝3a ，AB→ ∴(x ＋1，y －5)＝3(2,3)＝(6,9)，∴Error!∴Error!【答案】　(5,14)4．若向量a ＝(x ＋3，y －4)与相等，已知A (1,2)和B (3,2)，则x ，y 的值AB→ 分别为________．【解析】　∵＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)＝(x ＋3，y －4)，AB→ ∴Error!解得Error!【答案】　－1,45．已知a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)，则a ＝________，b ＝________.【解析】　由a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)，∴2a ＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，∴a ＝(3,5)，2b ＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，∴b ＝(－2，－2)．【答案】　(3,5)　(－2，－2)6.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||＝2，∠xOA ＝150°，则向量OA→ 的坐标为________．OA→图2­3­16【解析】　过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，设A (x ，y )，则x ＝||cos 150°＝－，y ＝||sin 150°＝1.OA → 3OA→所以的坐标为(－，1)．OA→ 3【答案】　(－，1)37．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且＝，则P 点的坐标为MP → 12MN→ ________.【导学号：06460056】【解析】　设P (x ，y )，则＝(x －3，y ＋2)，MP→ ＝(－8,1)＝，12MN→ 12(－4，12)∴Error!∴Error!∴P 点的坐标为.(－1，－32)【答案】　(－1，－32)8．已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量2＋3＋的坐标为AB → BC → AC→________．【解析】　∵＝(1,0)，＝(0,1)，AB → BC→ ＝＋＝(1,1)，AC → AB → BC→ ∴2＋3＋AB → BC → AC →＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)．【答案】　(3,4)二、解答题9．(1)已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与相等，其中A (1,2)，B (3,2)，求AB→ x 的值；(2)已知点P 1(2，－1)，P 2(0,5)，点P 在线段P 1P 2上且||＝2||，求P P 1P → PP 2→ 点的坐标．【解】　(1)∵＝(2,0)，又∵a ＝，∴Error!∴x ＝－1.AB → AB→ (2)设P (x ，y )，则＝(x －2，y ＋1)，P 1P→ ＝(－x,5－y )，PP 2→ ∵点P 在线段P 1P 2上且||＝2||，P 1P → PP 2→ ∴＝2，P 1P → PP 2→ ∴Error!∴Error!∴P .(23，3)10．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N 是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求.DF→【解】　因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，所以＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．AB → AC→ 又因为D 是BC 的中点，有＝(＋)＝，而M ，N 分别为AD → 12AB → AC→ (－72，－4)AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有＝＝－＝.DF → 12DA → 12AD→ (74，2)[能力提升]1．(2016·南通高一检测)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.AB → AC → BD→ 【解析】　由向量的平行四边形法则可知＝＋，AC → AB → AD → ∴＝－AD → AC → AB → ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，∴＝－BD → AD → AB → ＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．【答案】　(－3，－5)2．(2016·苏州高一检测)已知P 1(5，－1)，P 2(－3,1)，点P (x,2)分所成P 1P 2→ 的比为λ，则x 的值为________．【解析】　∵y ＝，y 1＋λy 21＋λ∴2＝，－1＋λ1＋λ解得λ＝－3.所以x ＝＝＝－x 1＋λx 21＋λ5＋(－3)×(－3)1＋(－3)142＝－7.【答案】　－73．已知向量集合M ＝{a|a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a|a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N 等于________．【解析】　令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴Error!解得Error!故M 与N 只有一个公共元素是(－2，－2)．【答案】　{(－2，－2)}4．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2­3­7所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求的值．λμ图2­3­7【解】　以向量a 和b 的交点为原点建直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故＝4.12λμ。

学业分层测评(五) 直线和圆的极坐标方程(建议用时：45分钟)[学业达标]1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是什么？【解】 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线．2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．【解】 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的直角坐标方程分别为x ＋y ＝1和y －x ＝1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，π2)．3．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离．【解】 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0.∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3.4．已知A 是曲线ρ＝3cos θ上任意一点，则点A 到直线ρcos θ＝1距离的最大值和最小值分别为多少？【解】 将极坐标方程ρ＝3cos θ转化成直角坐标方程：x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.ρcos θ＝1即x ＝1，直线与圆相交，所以所求距离的最大值为2，最小值为0.图4­2­35．如图4­2­3，点A 在直线x ＝5上移动，等腰三角形OPA 的顶角∠OPA ＝120°(O 、P 、A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程．【解】 取O 为极点，x 轴正半轴为极轴正方向建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5.设P 、A 的坐标依次为(ρ，θ)，(ρ0，θ0)，代入直线的极坐标方程ρcos θ＝5，得3ρcos(θ－30°)＝5，即为点P 的轨迹方程．6．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝3.(1)写出圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．【导学号：98990014】【解】 (1)圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(2)设P 的坐标为(ρ，θ)，因为P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35ρ，θ，因为点Q 在圆C 上运动，所以35ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，即ρ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，故点P 的轨迹方程为ρ＝10cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.7．已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的最大值．【解】 原方程化为ρ2－42ρ(22cos θ＋22sin θ)＋6＝0. 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0 ∴圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0， 圆心M (2,2)，半径为2， ∴ρmax＝OM ＋2＝22＋2＝3 2.[能力提升]8．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解】 在ρsin(θ－π3)＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P (2，π4)，所以圆C 的半径22＋于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.。

学业分层测评(五) 直线和圆的极坐标方程(建议用时：45分钟)[学业达标]1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是什么？【解】 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线．2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．【解】 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的直角坐标方程分别为x ＋y ＝1和y －x＝1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，π2)． 3．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离． 【解】 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0. ∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3. 4．已知A 是曲线ρ＝3cos θ上任意一点，则点A 到直线ρcos θ＝1距离的最大值和最小值分别为多少？【解】 将极坐标方程ρ＝3cos θ转化成直角坐标方程： x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94. ρcos θ＝1即x ＝1，直线与圆相交，所以所求距离的最大值为2，最小值为0.图4­2­35．如图4­2­3，点A 在直线x ＝5上移动，等腰三角形OPA 的顶角∠OPA ＝120°(O 、P 、A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程．【解】 取O 为极点，x 轴正半轴为极轴正方向建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5. 设P 、A 的坐标依次为(ρ，θ)，(ρ0，θ0)，则ρ0＝3ρ，θ0＝θ－30°. 代入直线的极坐标方程ρcos θ＝5，得3ρcos(θ－30°)＝5，即为点P 的轨迹方程．6．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝3. (1)写出圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．【导学号：98990014】【解】 (1)圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. (2)设P 的坐标为(ρ，θ)，因为P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35ρ，θ，因为点Q 在圆C 上运动，所以35ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，即ρ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，故点P 的轨迹方程为ρ＝10cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 7．已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的最大值． 【解】 原方程化为ρ2－42ρ(22cos θ＋22sin θ)＋6＝0. 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0∴圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，圆心M (2,2)，半径为2，∴ρmax ＝OM ＋2＝22＋2＝3 2.[能力提升]8．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解】 在ρsin(θ－π3)＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P (2，π4)， 所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cos π4＝1， 于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.。

学业分层测评(二) 极坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]1．在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，π)． 【解】 各点描点如下图．2．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标． 【解】 极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)(k ∈Z )，利用此，即可写出其中一个为(3，5π6)． 3．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－5π6，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M 的极坐标． 【解】 ∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，∴(－2，－5π6)与(2，π6)为同一点的极坐标，故点M 的极坐标为(2，π6)． 4．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标是多少？【解】 如右图，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又AB ＝4，△ABC 为正三角形，OC ＝23，∠AOC ＝π2，C 对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4. 5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为π6，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．【解】 如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝π6时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝5π6时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝7π6时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝11π6时，ρ ＝30(万千米)．彗星此时的极坐标有四种情形：(30，π6)，(30，5π6)，(30，7π6)，(30，11π6)． 6．已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积． 【解】 求两点间的距离可用如下公式：AB＝4＋16－5π6－π3 ＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12|2×4×sin(5π6－π3)|＝12×2×4＝4. 7．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3. (1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标． 【导学号：98990005】【解】 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO ′＝23，OP ＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6， ∴∠POO ′＝π6. 在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2， ∴sin ∠OPO ′＝sin π62·23＝32， ∴∠OPO ′＝π3. ∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3. ∴∠PO ′x ′＝2π3. ∴P 点的新坐标为(2，2π3)． (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2. ∴P 点的新坐标为(4，π2)． [能力提升]8．已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，π3，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．【解】 ∵C (43，4π3)，∠AOB ＝π2－π6＝π3， 且AO ＝BO ，所以△AOB 是等边三角形，AB ＝5，BC ＝ 52＋32－2×5×434π3－π2＝133， AC ＝ 52＋32－2×5×432π3＋π6＝133，∵AC ＝BC ， ∴△ABC 为等腰三角形，AB 边上的高为43＋5×32＝1332， ∴S △ABC ＝12×5×1332＝6534.。

第1课时直线和圆的极坐标方程1．会求极坐标系中直线和圆的极坐标方程．2．进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法．3．进一步体会极坐标的特点，感受极坐标方程的美．[基础·初探]1．直线的极坐标方程若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且直线l的倾斜角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几种常见直线的极坐标方程：图4­2­12．圆的极坐标方程若圆心的坐标为M(ρ0，θ0)，圆的半径为r，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几种常见圆的极坐标方程图4­2­2[思考·探究]1．求直线和圆的极坐标方程的关键是什么？【提示】求直线和圆的极坐标方程关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．这一过程需要用到解三角形的知识．用极角和极径表示三角形的内角和边是解决这个问题的一个难点．直线和圆的极坐标方程也可以用直角坐标方程转化而来．2．直角坐标与极坐标互化时有哪些注意事项？【提示】(1)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但一般约定只在规定范围内求值；(2)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(3)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________求：(1)过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4且平行于极轴的直线；(2)过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3且和极轴成4的直线．【自主解答】 (1)如图1所示，在所求直线上任意取点M (ρ，θ)，过M 作MH ⊥Ox 于H ，连OM . ∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴MH ＝2·sin π4＝2，在Rt △OMH 中，MH ＝OM sin θ，即ρsin θ＝2，所以，过A⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝ 2.图1 图2(2)如图2所示，在所求直线上任取一点M (ρ，θ)，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，∴OA ＝3，∠AOB ＝π3，由已知∠ABx ＝3π4，所以∠OAB ＝3π4－π3＝5π12，∴∠OAM ＝π－5π12＝7π12.又∠OMA ＝∠MBx －θ＝3π4－θ，在△MOA 中，根据正弦定理得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝ρsin 7π12. ∵sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝2＋64. 将sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ展开，化简上面的方程，可得ρ(cos θ＋sin θ)＝332＋32.所以，过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3且和极轴成3π4的直线方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝332＋32.[再练一题]1．设P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 过P 点且倾斜角为3π4，求直线l 的极坐标方程．【导学号：98990012】【解】 如图所示，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，连接OM ，OP ，该直线交Ox 于点A ，则有OM ＝ρ，OP ＝2，∠MOP ＝|θ－π4|，∠OPM ＝π2，所以OM cos ∠MOP ＝OP ，即ρcos|θ－π4|＝2，即ρcos(θ－π4)＝2，显然点P 也在这条直线上．故所求直线的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2.(1)求以B ⎝⎛⎭⎪⎫3，2为圆心，3为半径的圆．(2)求以极点和点N ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4所连线段为直径的圆的极坐标方程． 【自主解答】 (1)∵圆心为B (3，π2)，半径为3.∴所求圆的极坐标方程为ρ＝6sin θ. (2)如图，设M (ρ，θ)为圆上任一点，则有ON cos ∠NOM ＝OM ， 即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ就是所求圆的极坐标方程．[再练一题]2．求以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．【解】 如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A ，在圆上任取一点P (ρ，θ)，连接OP ，PA ，在Rt △OPA 中，OA ＝8，OP ＝ρ，∠AOP ＝θ，∴OA ·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C 的极坐标方程.0相切，求实数a 的值． 【思路探究】 将圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0化为普通方程后求解． 【自主解答】 ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 圆的普通方程为：x 2＋y 2＝2x ，(x －1)2＋y 2＝1，直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的普通方程为：3x ＋4y ＋a ＝0， 又∵圆与直线相切，∴|3·1＋4·0＋a |32＋42＝1， 解得：a ＝2，或a ＝－8.理解极坐标的概念，能进行极坐标与直角坐标的互化，根据条件建立相应曲线的极坐标方程．[再练一题]3．已知圆C 1：ρ＝2cos θ，圆C 2：ρ2－23ρsin θ＋2＝0，试判断这两个圆的位置关系． 【解】 法一 圆C 1是圆心C 1(1,0)，半径r 1＝1的圆．化圆C 2为极坐标系下圆的一般方程为ρ2－2ρ·3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＋(3)2－12＝0，得：12＝ρ2＋(3)2－2ρ·3cos(θ－π2)．知圆心C 2(3，π2)，半径为r 2＝1，C 1C 2的距离为2，则⊙C 1与⊙C 2外切．法二 将极坐标方程化为直角坐标方程．⊙C 1：ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1， 圆心C 1(1,0)，半径r 1＝1.⊙C 2：x 2＋y 2－23y ＋2＝0，即x 2＋(y －3)2＝1. 圆心C 2(0，3)，半径r 2＝1，C 1C 2＝2＝1＋1＝r 1＋r 2， 故⊙C 1与⊙C 2外切．[真题链接赏析](教材第32页习题4.2第2题)按下列条件写出圆的极坐标方程：(1)以A (2,0)为圆心，2为半径的圆；(2)以B ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2为圆心，4为半径的圆；(3)以C (5，π)为圆心，且过极点的圆； (4)以D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4为圆心，1为半径的圆． 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【命题意图】 本题考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化及极坐标的应用，考查知识的转化能力、运算求解能力和转化应用意识．【解】 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1．极坐标方程为ρ＝2cos θ的圆的半径是________．【解析】 ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x .化简得(x －1)2＋y 2＝1.∴半径为1. 【答案】 12．直角坐标方程x ＋y －2＝0的极坐标方程为________． 【答案】 ρsin(θ＋π4)＝ 23．过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是________．【导学号：98990013】【解析】 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除A (2,0)外的任意一点，连接OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，OA ＝2，OM ＝ρ，所以有OM cos θ＝OA ，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.【答案】ρcos θ＝24．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.【答案】ρ＝2cos θ我还有这些不足：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________。