高二三角函数、解三角形经典练习题

一、单选题1.在△ABC中，B=π4，sin A=，AC=4，则BC=（）.A．5B．6C．7D．82.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1+2cos C)=2sin A⋅cos C+cos A sin C，则下列等式成立的是（）.A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A3.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（）.A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.由增加的长度决定4.在ΔABC中，a2+b2+c2=23ab sin C，则ΔABC 的形状是（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则“泉标”的高度为（）.A.50mB.100mC.120mD.150m6.在ΔABC中，“z=12x-y”是“ΔABC为钝角三角形”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知锐角A是ΔABC的一个内角，a,b,c是三角形中各角的对应边，若sin2A-cos2A=12，则下列各式正确的是（）.A.b+c=2aB.b+c<2aC.b+c≤2aD.b+c≥2a8.1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面α，直线l有两点A，B位于平面α的同侧，求平面上一点C，使得∠ACB最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为()0,a，()0,b()0<b<a.设点C的坐标为()c,0，当∠ACB最大时，c=（）.图1图2A.2abB.abC.2abD.ab二、多选题9.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）.A.b=10，A=45°，C=70°B.b=45，c=48，B=60°C.a=14，b=16，A=45°D.a=7，b=5，A=80°10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）.A.a2=b2+c2-2bc cos AB.a sin B=b sin AC.a=b cos C+c cos BD.a cos B+b cos A=sin C11.下列命题中，正确的是（）.A.在△ABC中，若A>B，则sin A>sin BB.在锐角△ABC中，不等式sin A>sin B恒成立C.在△ABC中，若a cos A=b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，59b，c，若1tan A，1tan B，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（）.A.a，b，c依次成等差数列B.a，b，c依次成等差数列C.a2，b2，c2依次成等差数列D.a3，b3，c3依次成等差数列三、填空题13.如图3，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值.图314.在ΔABC中，若C=π4，且1sin2A=1+tan A tan B，则BCAC的值为______.15．如图4，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m.图416.已知ΔABC满足A=π3，( AB+ AC)∙ BC=0，点M在ΔABC外，且|MB|=2|MC|=2，则MA的取值范围是________．四、解答题17.已知在ΔABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且满足b=a cos C+c sin A．（1）求A的大小；（2）若cos B=25,BC=5, BD=17 BA，求CD的长．18.在①cos A=35，cos C=，②c sin C=sin A+b sin B，B=60°，③c=2，cos A=18三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，______，求△ABC的面积S.19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A=a cosæèöøB-π6.（1）求角B的大小；（2）若a=2，c=3，求cos()A-B的值.20.在ΔABC中，若||||||AC→=23，且 AB∙cos C+ BC∙cos A= AC∙sin B.（1）求角B的大小；（2）求ΔABC的面积S.21.在ΔABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足2a-b c=cos B cos C．（1）求角C的大小；（2）设函数f(x)=2sin x cos x cos C+2sin2x sin C求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域.22.如图5，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：tan A2=1-cos Asin A;（2）若A+C=180∘,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan A2+tan B2+tan C2+tan D2的值.A B图560参考答案与解析一、单选题1-8AACDA DCD 二、多选题9.BC ；10.ABC ；11.ABD ；12.ABD.三、填空题13.；14.；15.1006;16.[1,3]．四、解答题17.【解析】（1）在三角形ABC 中，由正弦定理得sin B =sin A cos C +sin C sin A ，因为sin B =sin []π-()A +C =sin ()A +C ，所以sin ()A +C =sin A cos C +sin C sin A ，即sin A cos C +sin C cos A =sin A cos C +sin C sin A ，整理得sin C cos A =sin C sin A ，由sin C ≠0，可得cos A =sinA ，所以A =π4.（2）在三角形ABC 中，sin B =1-cos 2B =45，（3）由AC sin B=BCsin A 可得AC 45=，解得AC =42，又因为cos C =-cos(A +B)=-cos A cos B +sin A sin B =，所以AB 2=AC 2+BC 2-2AC ∙BC ∙=32+25-2×42×5×=49，所以AB =7，由BD =17BA 可得BD =1，于是CD 2=BD 2+BC 2-2BD ∙cos B=1+25-2×1×520，所以CD =25.18.【解析】若选①.∵cos A =35，cos C，∴sin A=45，sin C，∴sin B =sin A +C =sin A cos C +cos A sin C ，=4535×，由正弦定理得b =a sinB sin A=3×2545=，∴S =12ab sin C =12×3×=9940.若选②.∵c sin C =sin A +b sin B ，∴由正弦定理得c 2=a +b 2.∵a =3，∴b 2=c 2-3.又∵B =60∘，∴b 2=c 2+9-2×3×c ×12=c 2-3，∴c =4，∴S =12ac sin B =33.若选③.∵c =2，cos A =18，由余弦定理得18=b 2+22-322b ×2，即b 2-b 2-5=0，解得b =52或b =-2（舍去）.∴sin A =1-cos 2A =，∴△ABC 的面积S =12bc sin A =12×52×2×=.19.【解析】（1）因为b sin A =a cos æèöøB -π6，根据正弦定理a sin A =bsin B，得sin B sin A =sin A cos æèöøB -π6，因为A ∈()0,π，所以sin A >0，所以sin B =cos æèöøB -π6，即sin B =cos B cosπ6+sin B sin π6，整理得sin B =3cos B ，所以tan B =3，又B ∈()0,π，故B =π3.（2）在△ABC 中，a =2，c =3，B =π3，61由余弦定理得b2=a2+c2-2ac∙cos B，得b2=22+32-2×3×2×cosπ3，故b=7.由正弦定理asin A=b sin B得2sin A=sinπ3，解得sin A=.因为a<b，故A<B，A∈æèöø0,π3，所以cos A=1-sin2A=.所以()A-B B×cosπ3sinπ3.20.【解析】（1）由题意可知：在ΔABC中，|| AC=23，AB∙cos C+BC∙cos A=AC∙sin B，因为AC=AB+BC，所以AB∙cos C+BC∙cos A=( AB+ BC)∙sin B，即(cos C-sin B)AB+(cos A-sin B)BC=0 ，而向量AB，BC是两个不共线向量，所以{cos C=sin B，cos A=sin B，所以cos C=cos A，因为A,C∈(0,π)，所以A=C，在等腰ΔABC中，A+B+C=π，所以2A+B=π，A=π2-B2；所以cos A=cos(π2-B2)=sin B2=sin B，所以sinB2=2sin B2cos B2，所以cos B2=12，结合0<B2<π2可得B2=π3，B=2π3.（2）由（1）知A=C=π6，由正弦定理得：|| ACsin2π3=|| BCsinπ6，所以|| BC=2，SΔABC=12|| AC| BC sinπ6=12×23×2×12=3.21.【解析】（1）在ΔABC中，∵2a-b c=cos B cos C，∴(2a-b)cos C=c cos B，∴2sin A cos C=sin B cos C+cos B sin C，∴2sin A cos C=sin(B+C)=sin A．∵∠A是ΔABC的内角，∴sin A≠0，∴2cos C=1，∴∠C=π3．(2)由（1）可知∠C=π3，∴f(x)=12sin2x-2sin2x)=12sin2x2x=sin(2x-π3)．22.【解析】（1）tan A2=sin A2cos A2=2sin2A22sin A2cos A2=1-cos Asin A.（2）由A+C=180°，得C=180°-A,D=180°-B.由（1），有tanA2+tan B2+tan C2+tan D2=1-cos Asin A+1-cos Bsin B+1-cos(180°-A)sin(180°-A)+1-cos(180°-B)sin(180°-B)=2sin A+2sin B连接BD，在ΔABD中，有BD2=AB2+AD2-2AB∙AD cos A，在ΔBCD中，有BD2=BC2+CD2-2BC∙CD cos C，所以AB2+AD2-2AB∙AD cos A=BC2+CD2+2BC∙CD cos A，则cos A=AB2+AD2-BC2-CD22(AB∙AD+BC∙CD)=62+52-32-422(6×5+3×4)=37，于是sin A=1-cos2A=连接AC，同理可得cos B=AB2+BC2-AD2-CD22(AB∙BC+AD∙CD)=62+32-52-422(6×3+5×4)=119，于是sin B=1-cos2B==所以tanA2+tan B2+tan C2+tan D2=2sin A+2sin B=14210+2×19210=.62。

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.若，则．【答案】【解析】【考点】1．二倍角公式；2．同角三角函数2.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为．【答案】2【解析】由题意得：，因为在上为增函数，所以，即的最大值为2【考点】三角函数图像变换与性质3.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C【解析】由图可知则，又，结合可知，即，为了得到的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度．【考点】函数图象、图象的平移．4.在中，角所对的边分别为，满足，且．（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的值．【答案】（1）；（2）当时，取到最大值．【解析】本题主要考查余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用三角形的内角和定理转化为A的三角函数，利用两角和的正弦公式求解，结合正弦定理把边转化为角，求出表达式，求出结果即可；第二问，由余弦定理以及基本不等式求出的最值，注意等号成立的条件即可．试题解析：（1）由，可得，即，又，所以，由正弦定理得，因为，所以0，从而，即．（2）由余弦定理，得，又，所以，于是，--10当时，取到最大值．【考点】余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式．5.下列各式中，值为的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A，B、，C、， D、，故选择C【考点】三角恒等变换6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则c＝．【答案】【解析】由余弦定理可得【考点】余弦定理解三角形7.已知面积为，，则BC长为．【答案】【解析】由三角形面积公式可知【考点】三角形面积公式8.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2．（1）求角C；（2）求边a的长【答案】（1）；（2）5；【解析】（1）角C在直角三角形ADC中，根据定义求解即可；（2）由（1）知的值，利用余弦定理即可．本题注意活用余弦定理．试题解析：（1）由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，，则．（2）由余弦定理，可知则，即所以或（舍）因此边长为5．【考点】1．正弦的定义；2．余弦定理；9.△ABC中，，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可知，，整理得，所以，则△ABC为等腰三角形．【考点】正弦定理的应用．10.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．7【答案】A【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．11.（2011•安徽）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．【答案】15【解析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积．解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．12.（2015秋•醴陵市校级期末）正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为．【答案】【解析】先求导函数，利用导函数在x=处可知切线的斜率，进而求出切点的坐标，即可求得切线方程．解：由题意，设f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx当x=时，∵x=时，y=∴正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为即故答案为：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．13.如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问:乙船每小时航行多少海里？【答案】【解析】连接，则∴△是等边三角形，求出，在△中使用余弦定理求出的长，除以航行时间得出速度试题解析：如图，连接A1B2，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10（海里）又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2＝105-60°＝45°．在△A1B2B1中，由余弦定理得＝202＋（10）2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10（海里）．因此乙船的速度大小为×60＝30（海里/小时）．【考点】解三角形的实际应用；余弦定理14.（2015春•东城区期末）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【答案】B【解析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B【考点】演绎推理的基本方法．15.在△ABC内部有任意三点不共线的2017个点，加上A、B、C三个顶点，共有2020个点，把这2020个点连线，将△ABC分割成以这些点为顶点，且互不重叠的小三角形，则小三角形的个数为（）A．4037 B．4035 C．4033 D．4032【答案】B【解析】三个点时，有1个三角形，4个点时有3个三角形，5个点时有5个三角形，每加一个点，三角形的个数加2，因此2020个点时三角形的个数为1＋（2020－3）×2＝4035．【考点】归纳推理．16.在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得的值，再由题意可得的大小；（2）由已知条件代入余弦定理可求得的值，代入面积公式可得三角形的面积.试题解析：（1）∵中，，∴根据正弦定理，得∵锐角中，，∴等式两边约去，得∵是锐角的内角，∴；（2）∵，，∴由余弦定理，得，化简得，∵，平方得，∴两式相减，得，可得.因此，的面积.【考点】正弦定理、余弦定理.17.设函数，若为奇函数，则= ；【答案】【解析】，函数为奇函数，所以【考点】三角函数性质18.已知的三内角所对的边分别为，且，则．【答案】【解析】由正弦定理及得，所以，所以．【考点】正弦定理与余弦定理．19.函数的部分图像如图所示，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由图象可知，，所以，当时，，故选A．【考点】函数的图象．20.在锐角中，分别为角所对的边，且．（1）确定角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据正弦定理化简已知的式子求出，在由锐角三角形的特征求出角的大小；（2）根据余弦定理和条件，可得，利用三角形的面积公式和条件求出和的值，由完全平方公式即可求出的值．试题解析：（1）由及正弦定理得，，∵，∴．∵是锐角三角形，∴．（2）∵，由面积公式得，即．．．．①由余弦定理得，即，∴．．．．②，由①②得，故．【考点】正弦定理与余弦定理．21.已知：f（x）=2cos2x+sin2x﹣+1（x∈R）．求：（Ⅰ）f（x）的最小正周期；（Ⅱ）f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．【答案】见解析【解析】解：f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为T==π（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+得2kπ﹣≤2x≤2kπ+∴kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z（Ⅲ）因为x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）∈[0，3]．【点评】本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是基础题．22.在中，三内角的对边分别为，面积为，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，化为，又因为，解得或（舍去），所以．【考点】余弦定理．23.已知函数，（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数的极小值和最大值，并写明取到极小值和最大值时分别对应的值．【答案】（1）;（2）详见解析．【解析】（1）先求函数的导数，并且根据辅助角公式化简函数，并求导数在的零点，同时讨论零点两侧的单调性，确定函数的单调递减区间；（2）根据（1）的讨论，可求得极值点和极值以及端点值的大小，经比较可得函数的最大值以及极小值．试题解析：（1）f′（x）＝cosx＋sinx＋1＝sin（x＋）＋1 （）令f′（x）＝0，即sin（x＋）＝－，解之得x＝π或x＝π．x，f′（x）以及f（x）变化情况如下表：（π，π）π（π，2π）－0＋∴f（x）的单调减区间为（π，π）．＝f（）＝．（2）由（1）知f （x）极小而f（π）＝π＋2，，所以．【考点】导数的简单应用24.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水深为，高潮时水深为．每天潮涨潮落时，该港口水的深度（）关于时间（）的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意分析可知函数的最大值为15，最小值为9，周期T=12，所以，又当t=3时，函数取得最大值，所以答案为A。

三角函数练习题及解析一、单选题1. 已知直角三角形ABC，角A的对边BC=5，斜边AC=13，则角B 的邻边AB等于：A) 5B) 12C) 4D) 3解析：根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，因此选项B) 12.2. 在单位圆上，点A的坐标为$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$，则角A的度数为：A) 45°B) 60°C) 90°D) 120°解析：单位圆上的点A的坐标$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$对应的角A的度数为$60^\circ$，因此选项B) 60°.3. $\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ$的值等于：A) 0B) 1C) $\frac{3}{4}$D) $\frac{1}{2}$解析：$\sin^2 30^\circ = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，$\cos^2 60^\circ = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，因此$\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，因此选项D)$\frac{1}{2}$.二、填空题4. 对于任意角θ，$\sin(90^\circ - \theta)$的值等于 __________。

答案：$\cos \theta$解析：根据“余角公式”，$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$.5. $\cos(\frac{3\pi}{4})$的值等于 __________。

答案：$-\frac{\sqrt{2}}{2}$解析：根据单位圆上角度为 $\frac{3\pi}{4}$ 的点坐标为 $(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$，因此 $\cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{-\sqrt{2}}{2}$.三、解答题6. 解方程 $\sin x = \frac{1}{2}$，其中 $0 \leq x < 2\pi$。

《三角函数及解直角三角形》1．三角函数定义：如图R t △ABC 中，∠中，∠C C ＝9090°°正弦：斜边的对边A A Ð=sin ；c aA =sin余弦：斜边的邻边A A Ð=cos ；c b A =cos正切：的邻边的对边A tan ÐÐ=A A ；ba A =tan根据定义，写出∠根据定义，写出∠B B 的三个三角函数值的三个三角函数值=B sin ______________________；；=B cos ________________________；；=B tan ______________________________；；cabBCA2．三角函数之间关系．三角函数之间关系 （1）同角三角函数关系）同角三角函数关系AAA cos sintan =；1cos sin 22=+A A模仿写出：=B tan ________________________；；1cos sin 22=+B B （2）互余角三角函数关系（）互余角三角函数关系（A A ＋B ＝9090））B A cos sin =；B A sin cos =；tanA tanA··tanB tanB＝＝1一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦3．特殊角的三角函数值3030°、°、°、454545°、°、°、606060°°三角函数三角函数 3030°° 4545°° 6060°° a sina cos a tan4．会设计并根据三角函数关系计算15°、°、757575°角的三角函数°角的三角函数°角的三角函数DC BA5．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性 当0°≤a ≤9090°时，°时，°时，sin a 随a 的增大而的增大而_____________________；；cos a 随a 的增大而的增大而_____________________；；tan a 随a 的增大而的增大而_______ _______6．已知一个三角函数值，求其他三角函数值。

高中三角函数经典例题50道1.求解三角形中角度的相关问题是高中数学学习中的重要内容。

例如，考虑正三角形ABC，已知∠A=60°，求∠B和∠C的大小。

2.在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠C=60°，求∠B的大小。

3.若在直角三角形ABC中，∠A=30°，求∠C的大小。

4.在锐角三角形ABC中，已知边b=5，c=10，∠A=30°，求边a的长度。

5.在钝角三角形ABC中，边a=6，b=10，∠A=120°，求边c的长度。

6.若在任意三角形ABC中，边a=8，b=6，∠A=45°，求∠B的大小。

7.在直角三角形ABC中，边a=1，b=√3，求∠A和∠B 的大小。

8.若在锐角三角形ABC中，已知边a=5，b=7，求∠A 和∠B的大小。

9.在任意三角形ABC中，边a=10，b=15，∠A=30°，求∠B的大小。

10.若在直角三角形ABC中，边b=4，c=5，求∠A和∠C的大小。

11.在锐角三角形ABC中，已知边b=8，c=10，∠A=60°，求∠C的大小。

12.若在任意三角形ABC中，边a=7，c=9，∠A=45°，求边b的长度。

的长度。

14.在锐角三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，求∠C的大小。

15.若在任意三角形ABC中，边a=12，b=16，求∠A和∠B的大小。

16.在直角三角形ABC中，已知边b=8，c=10，求∠A和∠C的大小。

17.在锐角三角形ABC中，边a=5，b=8，∠C=60°，求边c的长度。

18.若在任意三角形ABC中，边a=7，b=10，∠B=30°，求边c的长度。

19.在直角三角形ABC中，边a=2，c=√5，求∠A和∠B的大小。

20.在锐角三角形ABC中，已知边b=3，c=4，∠A=45°，求∠C的大小。

21.若在任意三角形ABC中，边a=9，c=12，∠C=45°，求边b的长度。

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.已知⊿ABC和⊿BCD均为边长等于的等边三角形，且，则二面角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】略2.锐角中，已知，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正弦定理可得，所以．因为为锐角三角形，所以．即．故C正确．【考点】1正弦定理；2三角函数化简求值．3.在中，三内角、、的对边分别是、、．（1）若求；（2）若，，试判断的形状．【答案】（1）或；（2）等边三角形【解析】（1）由题根据正弦定理得到，因为，所以，可得或；（2）根据正弦定理化简可得，结合条件，得到，判断三角形为等边三角形．试题解析：（1）由正弦定理得：又∴∴或（2）由得又是等边三角形．【考点】正弦定理；余弦定理4.圆锥的表面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数为．【答案】【解析】设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=，底面面积=，侧面面积，∵侧面积是底面积的3倍，∴，【考点】扇形和圆锥的相关计算5.在中，内角A 、B、C对的边长分别是a、b、c．（1）若c=2,C=,且的面积是，求a,b的值；（2）若,试判断的形状．【答案】（1）a=2, b=2（2）等腰三角形【解析】（Ⅰ）根据余弦定理，得，再由面积正弦定理得，两式联解可得到a，b的值；（Ⅱ）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC 的形状的形状加以判断，可以得到结论试题解析：（1）由余弦定理得又的面积为，得ab=4 解得 a=2, b=2（2）得得,为直角三角形；当时，A="B," 为等腰三角形【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角函数基本公式6.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．7【答案】A【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．7.在△ABC中，A=60°，，，则B=（）A．45°B．135°C．45°或135°D．以上答案都不对【答案】A【解析】由正弦定理，得，即，因为，所以，所以；故选A．【考点】正弦定理．【易错点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题；在三角形中，若已知两边及其中一边的对角，则选用正弦定理求另一边的对角，但满足该条件的三角形并非唯一，可能一解、两解或无解，要根据题目中的条件合理取舍，如本题中由正弦定理得到后，部分学生会出现选C的错误答案，要注意利用“大边对大角”进行取舍．8.已知的三边长分别为，则的面积为__________．【答案】【解析】的边长由余弦定理得，，所以三角形的面积为．【考点】1、余弦定理的运用；2、三角形的面积公式．9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A． B． C． D．【解析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．【考点】余弦定理；等比数列．10.（2015秋•河南期末）已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为（）A．B．2C．2D．4【答案】A【解析】由A，B，C成等差数列A+B+C=π可求B，利用三角形的面积公式S=bcsinA可求．解：∵△ABC三内角A，B，C成等差数列，∴B=60°又AB=1，BC=4，∴；故选A．【考点】三角形的面积公式．11.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（）A．90°B．120°C．135°D．150°【答案】B【解析】长为7的边对应的角满足，，所以最大角与最小角之和为120°【考点】余弦定理解三角形12.（2015秋•珠海期末）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则B= ．【答案】45°．【解析】由已知及正弦定理可得sinB==，根据大边对大角由b＜a可得B∈（0，60°），即可求B的值．解：△ABC中，∵，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＜a，∴B∈（0，60°），∴B=45°．故答案为：45°．【考点】正弦定理．13.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）4【解析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由△ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，结合题意化简得b2+c2﹣bc=16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．解：（1）∵△ABC中，，∴根据正弦定理，得，∵锐角△ABC中，sinB＞0，∴等式两边约去sinB，得sinA=∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；（2）∵a=4，A=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣2bccos，化简得b2+c2﹣bc=16，∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．【考点】余弦定理；正弦定理．14.在中，角对边分别是，且满足.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理，化边为角，利用两角差的正弦公式，可得进而得，即可求解角的大小；（2）利用三角形的面积公式得，再利用余弦定理得，联立方程组即可求解的值.试题解析：（1）；（2）①，利用余弦定理得：即②，联立①②，解得：.【考点】正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式.15.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）如果，求面积的最大值，并判断此时的形状。

三角函数与解三角形 测试题（有解析、答案）(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17 D ．－7 解析：由α∈(π2，π)，sin α＝35，得tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.答案：A2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：sin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30° ＝12. 答案：C3．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：∵y ＝sin(2x －π3)＝sin2(x －π6)，∴只要将y ＝sin2x 的图像向右平移π6个单位便得到y ＝sin(2x －π3)的图像．答案：D4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.答案：D5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：由T ＝2πω＝2ππ2＝4，可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x ≤1时函数单调递增， x ＝0时y ＝0，x ＝1时y ＝1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x 值为1，第二个 波峰对应的x 值为5，所以要区间[0，t ]上至少两个波峰，则t 至少为5. 答案：C6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x ＜π2，∴f (x )max ＝2.答案：B7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π3解析：由已知得：f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)，由于函数为奇函数，故有θ＋π3＝kπ⇒θ＝kπ－π3(k ∈Z)，可淘汰BC 选项，然后分别将A和D 选项代入检验，易知当θ＝2π3时，f (x )＝－2sin2x 其在区间[－π4，0]上递减． 答案：D8．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.14解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝0，∴sin αcos π6＋cos αsin π6＋cos α＝34，∴12sin α＋32cos α＝14，∴sin(α＋π3)＝14，∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.答案：C9．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π4解析：T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，ω＝2πT ＝π4令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4. 答案：C10．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)解析：T ＝π，∴ω＝2.∵图像关于直线x ＝2π3对称，∴sin(2π3ω＋φ)＝±1即2π3×2＋φ＝π2＋kπ，k ∈Z 又∵－π2<φ<π2∴φ＝π6∴f (x )＝A sin(2x ＋π6)．再用检验法．答案：D第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________解析：由已知得cos α＝－32，则sin2α＝2sin αcos α＝2×12×(－32)＝－32.答案：－3212．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.解析：由图像知，函数的周期为32×T ＝π，∴T ＝2π3.∵f (π4)＝0，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝f (π4＋T 2)＝－f (π4)＝0.答案：013．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 答案： 214．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.解析：因为图像的对称中心是与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x ＋π3)＝0，x 0∈[－π2，0]得x 0＝－π6.答案：－π615．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________．解析：由a cos B －b cos A ＝35c 及正弦定理可得sin A cos B －sin B cos A ＝35sin C ，即sin A cos B－sin B cos A ＝35sin(A ＋B )，即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，即sin A cos B ＝4sin B cos A ，因此tan A ＝4tan B ，所以tan Atan B＝4. 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．解：(1)∵cos(β－π4)＝13，∴cos(2β－π2)＝2cos 2(β－π4)－1＝2×19－1＝－79，即sin2β＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.∴f (α)＝cos α－sin α＝2cos(α＋π4) ＝2cos[(α＋β)－(β－π4)]＝2[cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)]＝2(－35×13＋45×223)＝16－3215.17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60°＝35×12－45×32＝3－4310， ∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋435. 18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c . 解：由题lg a ＋lgcos A ＝lg b ＋lgcos B ，故a cos A ＝b cos B . 由正弦定理sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B . 又cos A >0，cos B >0，故A ，B ∈(0，π2),2A,2B ∈(0，π)因a ≠b ⇒A ≠B ，故2A ＝π－2B . 即A ＋B ＝π2，故△ABC 为直角三角形．(2)由于m ⊥n ，所以2a 2－3b 2＝0 ① 且(m ＋n )·(－m ＋n )＝n 2－m 2＝14，即8b 2－3a 2＝14 ② 联立①②解得a 2＝6，b 2＝4，故在直角△ABC 中，a ＝6，b ＝2，c ＝10.19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．解：(1)∵a 与b 共线， ∴32cos x ＋sin x ＝0.∴tan x ＝－32. 故2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013. (2)∵a ＋b ＝(sin x ＋cos x ，12)，∴f (x )＝(a ＋b )·b ＝(sin x ＋cos x ，12)·(cos x ，－1)．∴sin x cos x ＋cos 2x －12＝12(sin2x ＋cos2x )＝22sin(2x ＋π4)． ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4， ∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴f (x )的值域为[－22，12]． 20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式； (2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰 有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得 T ＝11π6 －(－π6)＝2π， 由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3. 令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]如图sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的充要条件是s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解的充要条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)． 21．(本小题满分13分)已知函数y ＝|cos x ＋sin x |.(1)画出函数在x ∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x 在R 上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x 是△ABC 的一个内角，且y 2＝1，试判断△ABC 的形状． 解：(1)∵y ＝|cos x ＋sin x |＝2|sin(x ＋π4)|，∴当x ∈[－π4，7π4]时，其图像如图所示．(2)函数的最小正周期是π，在[－π4，3π4]上的单调递增区间是[－π4，π4]；由图像可以看出，当x ＝kπ＋π4(k ∈Z)时，该函数有最大值，最大值是 2.(3)若x 是△ABC 的一个内角，则有0<x <π， ∴0<2x <2π.由y 2＝1，得|cos x ＋sin x |2＝1⇒1＋sin2x ＝1. ∴sin2x ＝0，∴2x ＝π，x ＝π2，故△ABC 为直角三角形．。

三角函数与解三角形高考试题精选一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC 的面积为，求cosA与a的值．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，则S=acsinB=×××=．△ABC5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC 的面积为，求cosA与a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，∵S=ac•sinB=2，△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1．21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．==1．∴S△ABC24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．【解答】解：（1）因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；（2）∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又已知 cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得 sinC=已知 a=1正弦定理：c===29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 9=+c2﹣2×2×c×，即 c2﹣8c+15=0．解方程求得 c=5，或 c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时，求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．。

高中数学三角函数与解三角形多选题100及解析一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.2．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，3(0,)2M ，23(,)32N ， ∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径221331()()32r =+=，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.3．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】 根据3()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++⎪⎝⎭，k Z ∈， ()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.5．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确； 由()02cos 36f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y 3B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.6．已知函数()22sin cos f x x x x =+，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的图象是由y= 2sin2x 的图象向左移3π个单位得到的 B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()()g x f x =[]0,10内共有8个零点 【答案】BCD 【分析】A.化简得()2sin(2)3f x x π=+，利用函数的图象变换得该选项错误；B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；C. 由2,3x k k Z ππ+=∈得该选项正确；D.解方程sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得该选项正确. 【详解】()2π2sin cos sin 222sin 22sin 236f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位，得到()f x ，所以选项A 不正确; 设23t x π=+，则t 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增， ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,,33t ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦又sin y t =在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以选项B 正确;由2,3x k k Z ππ+=∈得对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以选项C 正确；由sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2233x k πππ+=+或222,33x k k Z πππ+=+∈ 解得x k π=或,6x k k Z ππ=+∈，又[]0,10,x ∈0,1,2,3k ∴=时，713190,,,,2,,3,6666x πππππππ=，共8个零点，所以选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：函数的零点问题的研究，常用的方法有：（1）方程法（解方程即得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 得()()g x h x =，再分析函数(),()g x h x 的图象得解）. 要根据已知条件灵活选择方程求解.7．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.8．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R ，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f xC ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度，得到的函数解析式为()()2g x x =【答案】BD 【分析】首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据函数的性质依次判断选项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23x π-的范围，再判断函数的单调性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】()12cos 2sin 222f x x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭132cos 2cos 22cos 22222x x x x x =--=-23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的周期22T ππ==，故A 不正确；B.B 正确； C.,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确；D. ()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移512π个单位长度，得到()52221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.9．设函数()()31sin sin 022f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】AD 【分析】化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6t x πω=+，由[]0,x π∈可求得,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象，可判断AB 选项的正误；由图象得出346ππωππ≤+<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】()3131sin sin sin cos sin 222226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+>⎪⎝⎭的图象如下图所示：对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确； 对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误；对于D 选项，由于函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则346ππωππ≤+<，解得172366ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，53663x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误. 故选：AD.【点睛】 关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x πω=+，将问题转化为函数sin y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的零点个数问题，数形结合来求解.10．在ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤【答案】ABC【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD.【详解】A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a b A B =，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.。

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。

第四章三角函数练习一角的的概念的推广(一)要点1．正角、负角和零角：规定，一条射线绕它的端点按逆时针方向旋转形成的角为正角.按顺时针方向旋转形成的角为负角.射线没有旋转,形成零角.2．象限角:在平面直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的终边在x轴的非负半轴上,角的终边落在第几象限内,就称这个角是第几象限角.3. 轴上角:当角的终边落在坐标轴上时,就称之为轴上角,它不属于任何象限.同步练习1.给出命题:①－880是第四象限角;②2560是第三象限角;③4800是第二象限角;④－3000是第一象限角.其中正确的有别( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.有下列四个角:⑴－2100,⑵－1900,⑶－6300,⑷12300其中第二象限的角为( )(A)⑴⑷(B)⑴⑶⑷(C)⑴⑵⑷(D)⑴⑵⑶⑷3.下列各组的两个角中,终边不重合的一组是( )(A) －210与6990(B) 1800与－5400(C) 900与9900(D) 1500与69004.时针的分针经过期2小时40分钟,它所转过的角是______度,这个角是第____象限角.5.在00～3600范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角或哪个轴上的角.⑴6900; ⑵5400; ⑶－2000; ⑷－4500.6.在平面直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角.⑴－3300; ⑵－18300; ⑶－6300; ⑷9900.7.在[－1800, 12600]内,写出与1800角终边相同的所有角.练习二 角的概念的推广（二）要点1． 与角α终边相同的角的集合为{β|β=α+k ·3600,k ∈Z}.2． 第一象限角、锐角和小于900的角的区别与联系.1.下列命题中,正确的是 ( )(A)第一象限角必是锐角 (B)终边相同的角必相等(C)相等的角终边位置必相同 (D)不相等的角终边位置必不相同2. 以下四个命题:⑴小于900的角为锐角 ; ⑵钝角是第二象限角; ⑶第一象限角不一定是负角;⑷第二象限角必大于第一象限角.其中正确命题的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C) 3 (D)43. 角α的终边上一点的坐标是(2,－2),则角α的集合是________________.4. 与－20050终边相同且绝对值最小的角是________________.5. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－3600≤α≤3600的元素α写出来.⑴ 600; ⑵ －834030/.6.写出下列角的集合:⑴终边在y 轴负半轴上的角;⑵终边在坐标轴上的角;⑶终边在第二、第四象限角平分线上的角;⑷终边在第三象限的角;⑸终边在第四象限的角. [思考与研究]若α是第一象限角,试确定2α、2α、3α所在的象限.练习三 弧度制 (一)要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位. 2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π6. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin17. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.8. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四 弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.练习五 任意角的三角函数 (一)要点1. 三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.三角函数的定义域:sin α,cos α的定义域都是R,tan α的定义域是{α|α≠k π＋2π, k ∈Z}. 2. 三角函数值在各个象限的符号:第一象限全正,第二象限只有正弦正,第三象限只有正切正,第四象限只有余弦正. 同步练习1.当α为第二象限角时ααsin |sin |－|cos |cos αα的值是 ( ) (A)－2 (B)0 (C)－1 (D)22.设角α的终边过点P(－3α,－4α),(α≠0),则sin α－cos α的值是 ( ) (A)51 (B)－ 51 (C)－ 51或 －57 (D) －51或51 3.在三角形ABC 中,若cosA ·tanB ·cotC<0,则这个三角形的的形状是_____. 4.设θ为第二象限角,其终边上一点为P(m,5),且cos α,则α的值为_______. 5.已知β的终边经过点P(m,－3)(m ≠0),且cos β=2m,求sin β,tan β的值.6.求cos 3π－tan 45π＋43tan 26π＋sin 611π＋cos 267π－sin 23π的值.7.求函数y=xxsin 1tan +的定义域.练习六 任意角的三角函数(二)要点1. 终边相同角的同名三角函数值相等(公式一),利用这组公式可以将任意角的三角函数值化为00～3600(或0～2π)间的角的三角函数值. 2. 三角函数线都是有向线段、线段的方向表示三角函数值的正负,线段的长度表示三角函数值的绝对值.书写三角函数线时,要注意起点与与终点的次序. 同步练习 1.sin637π的值等于 ( ) (A)21 (B)23 (C)－ 21(D) －232.设α、β是第二象限角,若sin α>sin β,则 ( )(A)tan α>tan β (B)cos α<cot β (C)cos α>cos β (D)sec α>sec β 3. 在下列各题中的_____处,填上适当的符号(>,=,<). ⑴sin1560·cos(－4400)_____0; ⑵cot(－817π)·sin(－34π)_______0;⑶5.1tan 4sin ____0;⑷sin320π·tan(－417π)·cos 27π______0. 4. 已知α∈(－π,π),且cos α>－23,则角α的取值范围是________. 5. 计算:(1) m 2sin(－6300)+n 2tan(－3150)－2mncos(－7200);(2) sin(－623π)+cos 713πtan4π－cos 313π.6. 在单位圆中,用阴影线表示满足条件的θ的终边的范围: (1)tan θ≥1 (2)cos θ＜21 (3)－21<sin θ≤237. 设0<α<2π,利用单位圆中的三角函数线证明:sin α+cos α>1练习七 同角三角函数的基本关系式(一)要点同角三角函数的基本关系式:sin 2α+cos 2α=1,ααcos sin =tan α,tan α·cot α=1.(1)公式中应注意“同角”二字,如sin 2α+cos 2β=1就不恒成立.(2)注意α的范围,第二个关系式中α≠k π＋2π(k ∈Z),第三个关系式中α≠2πk (k ∈Z).(3)对公式的的使用要做到顺用、逆用、变用、活用.同步练习1.下列各式正确的是 ( ) (A)sin 2300＋cos 2600=1 (B)sin23π/cos 23π=tan 23π (C)tan2π·cot2π=1 (D)sin 220050+cos 220050=12.下列各式能成立的是 ( ) (A)sin α=cos α=21 (B)cos α=21且tan α=2 (C)sin α=21且tan α=33 (D)tan α=2且cot α=－213. 已知cos θ=31,,则1+tan 4θ=______. 4. 已知sin α+ sin 2α=1则cos 2α+cos 4α的值等于_________. 5. 已知sin α=－53,α是第四象限角,求cos α、tan α的值.6. 已知cot α=－3,求sin α、cos α的值.7. 已知cos α=m(|m|≤1),求tan α和sin α.练习八 同角三角函数的基本关系式(二)要点1. 化简三角函数式的一般要求是(1)能求出函数值的要求出函数值,函数种类尽可能的少;(2)要使化简后的式子项数最少,次数最低;(3)尽量化去含有根式的式子,尽可能的不含分母.2. 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,一般由繁到简,可采用:①左边⇒右边 ②右边⇒左边③左边－右边=0④分别从左右两边推出相同的结果. 同步练习1.化简02100sin 1-等于 ( )2.若tan α=a,且sin α=21aa +,则α是 ( )(A) 第一、二象限角 (B)第一、三象限角 (C)第一、四象限角 (D)第二、三象限角3. 化简sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β=____________4. 若tanx=3则xx22cos 1sin +的值是___________ 5. 化简下列各式: (1) ααcos 1cos 1-+-ααcos 1cos 1+-,其中α为第二象限角;(2)αααα2222tan sin tan sin -.6. 证明下列恒等式(1) cos α(αcos 2+tan α) (αcos 1-2tan α)=2cos α-3tan α (2) x x x x 2sin 2cos 2cos 2sin 2122--=xx2tan 12tan 1+-练习九 正余弦的诱导公式(一)要点1.公式二:sin(1800+α)=-sin α,cos(1800+α)=-cos α. 公式三: sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α.2. 公式中的α是任意角,但在记忆时,可把α看作锐角,从而1800+α可看作第三象限角, -α可看作第四象限角. 同步练习1.下列等式中,恒成立的是 ( )(A) sin(1800+2000)=sin2000(B)cos(-α)=-cos α(C) cos(1800+2000)=-cos2000(D)sin(-α)=sin α 2.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值是 ( )(A) 2sin 2α (B)0 (C)1 (D)2 3. 计算sin34πcos(-6π)tan(-45π)=_________.4. 化简sin 2(-α)tan α+cos 2(π+α)cot α-2 sin(π+α) cos(-α)=_____5. 求下列各三角函数值:(1) sin(-13200) (2) tan9450(3)cos655π(4)cot(-322π)6.(1)求值sin 2(-300) +sin 22250 +2sin2100 +cos 2(-450) ; (2)若sin(π+α)= 41,求[]1)cos(cos )cos(-++απααπ-)cos()cos()2cos()cos(απαπαπα-+++--值;(3) 已知sin(3π-α)= 31;求sin(6π+α),sin(310π-α)的值.7. 化简:)(cos )tan()2cot()cos()(sin 32πααππααππα++--++练习十 正余弦的诱导公式(二)要点1.公式四: sin(1800-α)=sin α,cos(1800-α)=-cos α.公式五sin(3600-α)=-sin α,cos(3600-α)=cos α.2.记忆公式时, 1800-α可看作第二象限角, 3600-α可看作第四象限角 同步练习 1.sin(-619π)的值是 ( ) (A)21 (B) -21(C)23 (D) -232.已知cos(π-x)=-21,23π<x<2π,则sin(2π-x)的值等于 ( ) (A)21(B)± 23 (C)23 (D) -233.计算:sin(-15600)cos9300+cos(-13800) sin(-14100)=_______. 4. 已知COS(6π+θ)= 33,则COS(65π-θ)=__________.5. 求值0200170cos 110cos 10cos 10sin 21---6. 已知cos(π-α)=-21,计算: (1) sin(2π-α); (2)cot[2)12(π+k +α](k ∈Z)7. 已知sin(α-π) =2cos(2π-α),求)sin()cos(3)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值数学家陈景润陈景润（1933~1996），中国数学家、中国科学院院士。

解三角形一、选择题1. 在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c.若A＝60°, c＝2, b＝1, 则a＝()A. 1B.C. 2D. 32．设a, b, c分别是△ABC中角A, B, C所对的边, 则直线l1: sinA·x＋ay＋c＝0与l2: bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是()A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直3．在△ABC中, 若2cosBsinA＝sinC, 则△ABC的形状一定是()A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形4．在△ABC中, 已知A∶B＝1∶2, ∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分, 则cosA等于()A.13 B.12C. D. 05．在△ABC中, AC＝, BC＝2, B＝60°, 则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62 D.3＋3946. 已知锐角三角形三边长分别为3,4, a, 则a的取值范围为()A. 1<a<5B. 1<a<7C.7<a<5D.7<a<77. 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若A＝60°, b＝1, 且△ABC 的面积为, 则a＝()A. 4 －1B.C. D. 18. 在△ABC中, sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC, 则A的取值范围是()A. (0, ]B. [ , π)C. (0, ]D. [ , π)9．如图, △ADC是等边三角形, △ABC是等腰直角三角形, ∠ACB＝90°, BD 与AC交于E点．若AB＝2, 则AE的长为()A.6－ 2B.12(6－2)C.6＋ 2D.12(6＋2)10. 如图, 正方形ABCD的边长为1, 延长BA至E, 使AE＝1, 连接EC, ED, 则sin∠CED＝()A.31010 B.1010C.510 D.51511. 在△ABC中, 角A.B.C的对边分别为a、b、c, A＝, a＝, b＝1, 则c等于()A. 1B. 2C.3－1D. 312. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是()A. a＝1, b＝2, c＝3B. a＝1, b＝, A＝30°C. a＝1, b＝2, A＝100°D. b＝c＝1, B＝45°13．在△ABC中, 若B＝120°, 则a2＋ac＋c2－b2的值()A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 不确定14．若△ABC的内角A, B, C所对的边a, b, c满足(a＋b)2－c2＝4, 且C＝60°, 则ab的值为()A. B. 8－4C. 1D.15．设a, b, c为△ABC的三边, 且关于x的方程(a2＋bc)x2＋2 x＋1＝0有两个相等的实数根, 则A的度数是()A. 120°B. 90°C. 60°D. 30°16．在△ABC中, a、b、c分别为A、B、C的对应边, C＝60°, 则＋的值为()A.12 B.22C. 1D.17．海上有两个小岛A.B相距10海里, 从A岛望B岛和C岛成60°视角, 从B 岛望C岛和A岛成75°视角, 则B.C间的距离是()A. 5海里B. 5 海里C. 10海里D. 10 海里18. 在锐角三角形ABC中, 已知A＝2C, 则的范围是()A. (0,2)B. ( , 2)C. ( , )D. ( , 2)19．在△ABC中, 若(a－acosB)sinB＝(b－ccosC)sinA, 则这个三角形是()A. 底角不等于45°的等腰三角形B. 锐角不等于45°的直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形20．某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来, 他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差, 则第一辆车和第二辆车之间的距离d1与第二辆车和第三辆车之间的距离d2之间的关系为()A. d1>d2B. d1＝d2C. d1<d2D. 不能确定大小二、填空题21.在△ABC中, 已知∠BAC＝60°, ∠ABC＝45°, BC＝, 则AC＝________.22. 在△ABC中, 若a＝2, b＋c＝7, cosB＝－, 则b＝________.23.如图, 海岸线上有相距5海里的两座灯塔A, B, 灯塔B位于灯塔A的正南方向, 海上停泊着两艘货轮, 甲船位于灯塔A的北偏西75°方向, 与A相距3 海里的D 处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向, 与B相距5海里的C处, 则两货轮的距离为________海里．24. 在△ABC中, 已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝8∶9∶10, 则sinA∶sinB∶sinC ＝________.25. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①若a>b, 则函数f(x)＝(sinA－sinB)x在R上是增函数；②若sin2A＝sin2B, 则A＝B；③若cos2A＝cos2B, 则A＝B；④若ab>c2, 则0<C< .26. 在相距2 km的A.B两点处测量目标点C.若∠CAB＝75°, ∠CBA＝60°, 则A.C两点之间的距离是________km.27. 在△ABC中, B＝45°, C＝60°, a＝2( ＋1), 则S△ABC＝________.28. 已知在△ABC中, ＝＝, 则C的度数为________.29．在△ABC中, 已知b＝asinC且c＝asin(90°－B), 则△ABC的形状为________．30. 如图, 要在山坡上A.B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高, 由A.B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°, AB长为40 m, 斜坡与水平面成30°角, 则铁塔CD的高为________m.三、解答题31. 解答下列各题:(1)在△ABC中, 已知C＝45°, A＝60°, b＝2, 求此三角形最小边的长及a与B 的值；(2)在△ABC中, 已知A＝30°, B＝120°, b＝5, 求C及a与c的值.32. 在△ABC中, B＝30°, AB＝2 , AC＝2, 求△ABC的面积.33. 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2, BC＝6, CD＝DA＝4, 求四边形ABCD的面积.34. 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证: b2＝ac；(2)若a＝1, c＝2, 求△ABC的面积S.35. 在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知A＝, bsin －csin ＝a.(1)求证: B－C＝；(2)若a＝, 求△ABC的面积．36. 已知a, b, c是△ABC中A, B, C的对边, S是△ABC的面积, 若a＝4, b＝5, S ＝5 , 求c的长度.37. 在梯形ABCD中, AD∥BC, AB＝5, AC＝9, ∠BCA＝30°, ∠ADB＝45°, 求BD的长.38. 在锐角△ABC中, a, b, c分别为角A, B, C所对的边, 且a＝2csinA.(1)确定角C的大小；(2)若c＝, 且△ABC的面积为, 求a＋b的值.39. 已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, asinA＋csinC－asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°, b＝2, 求a, c.40.如图, 在南沙某海岛有一观察哨A, 上午11时测得一船在海岛北偏东60°的C处, 12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处, 12时40分船到达位于海岛正西方向且距海岛5海里的E港口. 如果船始终匀速直线航行, 求船的速度(单位: 海里/小时).41. 如图, 当甲船位于A处时获悉, 在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救. 甲船立即前往救援, 同时把消息告知在甲船的南偏西30°, 相距10海里C处的乙船, 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?。

高二数学解三角形试题1.已知函数.（1）求函数最大值和最小正周期；（2）设内角所对的边分别为，且．若，求的值.【答案】（1）的最大值为，最小正周期为；（2）.【解析】（1）先用倍角公式与辅助角公式化简得，结合正弦函数的图像与性质可得的最大值，由公式计算出函数的最小正周期；（2）先由，结合，确定，用正弦定理化简得到，再结合余弦定理即可解出的值.试题解析：（1） 3分则的最大值为，最小正周期是 5分（2），则 6分∵，∴，∴∴，∴ 7分又∵，由正弦定理得，① 9分由余弦定理得，即，② 10分由①②解得， 12分.【考点】1.倍角公式；2.三角函数的性质；3.正余弦定理.2.在中，，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理可知即，而，且均为三角形的内角，故，所以，故选B.【考点】1.三角形的边角关系；2.正弦定理.3.在平面直角坐标系中，已知三角形顶点和，顶点在椭圆上，则 .【答案】【解析】由椭圆的标准方程，可知，此时恰好是椭圆的左、右焦点，由正弦定理可知，而由椭圆的定义可知，所以.【考点】1.正弦定理；2.椭圆的标准方程及其性质.4.在中，，AB=2，且的面积为，则BC的长为( )A．B．3C．D．7【答案】C【解析】因为在中，，AB=2，且的面积为，所以可得.所以求得.由余弦定理可得.故选C.本小题主要考查余弦定理的使用.【考点】1.三角形的面积公式.2.余弦定理.3.解方程的能力.5.在中，分别是角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，且满足．（1）求角Ｂ的大小；（2）若最大边的边长为，且，求最小边长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为在中，分别是角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，且满足，所以通过化简可得一个关于的等式.再结合余弦定理即可求得结论.（2）由（1）即最大边的边长为可得边最大，又根据，可得.所以可知边最小.由于已知一边一角，另两边存在等量关系，所以利用余弦定理即可求得最小边的值.本小题利用正弦定理同样是可以的.试题解析：（Ⅰ）由整理得，即，∴，∵，∴. 6分（2）∵,∴最长边为，∵，∴，∴为最小边，由余弦定理得，解得，∴，即最小边长为 . 12分【考点】1.正弦定理.2.余弦定理.3.解三角形的思想.6.在中,,则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【答案】B【解析】因为,所以有两个解,选B.【考点】三角形中解的判定7.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】在处理含有边和角的等式时，一般是使用正、余弦定理把边转化为角或把角转化为边，如果都化为角的形式，则问题会转化为三角形内的三角恒等变换；若果都化为边的形式，则问题会转化为代数变形：通分、分解因式等．方法一：边化角：由正弦定理得：，代入得：，再由倍角公式得：．，或即或,所以△ABC为等腰或直角三角形．方法二：角化边：由余弦定理，原式可化为：，整理得，即，或，所以△ABC为等腰或直角三角形．【考点】1．正弦定理和余弦定理；2．三角恒等变换；3．解简单的三角方程．8.在中，角A.、B、C的对边分别为、、.角A.、B、C成等差数列。

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.已知且，则．【答案】【解析】因为，，从而．故答案为：【考点】三角恒等变形公式．2.（本题满分13分）已知中，点，动点满足（常数），点的轨迹为Γ．（Ⅰ）试求曲线Γ的轨迹方程；（Ⅱ）当时，过定点的直线与曲线Γ相交于两点，是曲线Γ上不同于的动点，试求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用椭圆定义求动点轨迹，注意定义的条件要完整，不要少，另外要注意三角形中三顶点不共线，对轨迹要去杂（Ⅱ）求面积的最大值，首先要表示出面积，这要用到底乘高的一半，其中底为直线与椭圆的弦长，高为点到直线的距离，而由椭圆的几何性质知当直线与平行且与椭圆相切时，切点到直线的距离最大，因此还要求椭圆的切线，其次利用直线方程与椭圆方程联立方程组，再结合韦达定理可得弦长及切线，最后根据面积的表达式求最值，这要用到导数试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以（定值），且， 2分所以动点的轨迹为椭圆（除去与A、B共线的两个点）．设其标准方程为，所以， 3分所以所求曲线的轨迹方程为．4分（Ⅱ）当时，椭圆方程为．5分①过定点的直线与轴重合时，面积无最大值．6分②过定点的直线不与轴重合时，设方程为：，，若，因为，故此时面积无最大值．根据椭圆的几何性质，不妨设．联立方程组消去整理得：， 7分所以则．8分因为当直线与平行且与椭圆相切时，切点到直线的距离最大，设切线，联立消去整理得，由，解得．又点到直线的距离， 9分所以， 10分所以．将代入得：，令，设函数，则，因为当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以．故时，面积最大值是．所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为．13分【考点】椭圆定义，直线与椭圆位置关系3.设α为锐角，若cos＝，则sin的值为（）A．B．C．D．【答案】【解析】令，则，，选B．【考点】二倍角公式的化简求值4.（）A．B．C．D．【答案】D【解析】．故D正确．【考点】1．诱导公式；2．两角和差公式．5.（12分）．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若，求sinA·sinC的值．【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sinAsinC的值试题解析：（Ⅰ）已知等式变形得：sinAcosA+sinBcosB=2sinCcosA，去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，∵sinC≠0，∴cosB=12，则B=60°；（Ⅱ）由，整理得：，∵cosB=12，∴，由正弦定理得：sin2B=2sinA·sinC=，则sinA·sinC=【考点】1．同角间三角函数关系；2．正弦定理6.某同学用“五点法”画函数（）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（Ⅰ）请求出上表中的，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将的图象沿x轴向右平移个单位得到函数，若函数在（其中上的值域为，且此时其图象的最高点和最低点分别为、，求与夹角θ的大小．【答案】（Ⅰ），，；；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由五点作图的第二点和第四点列式求出的值，则函数解析式可求，再由五点作图的第一、三、五点求解的值；（Ⅱ）求出平移后的函数解析式，结合在（其中上的值域为求得图象的最高点和最低点分别为、的坐标，代入向量的夹角公式得答案．试题解析：（Ⅰ）由图表可知，，解得．由，得．由，得．由，得．；（Ⅱ）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数，由于在区间（其中）上的值域为，则，故最高点为，最低点为．则，，则．，．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．7.△ABC的三边长分别为，点为边上的中点，下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将AD延长到E使AE=2AD，，在中，在【考点】余弦定理解三角形8.已知中,角，所对的边分别是，且．（1）求的值；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由条件的特点，可以考虑余弦定理求，再由半角公式求解；（2）由面积公式知，需求的最值，利用均值不等式即可．试题解析：（1）（2）又当且仅当时，△ABC面积取最大值，最大值为【考点】1、余弦定理；2、半角公式；3、基本不等式．【方法点晴】本题主要考查的是余弦定理、半角的正弦公式和三角形的面积公式及基本不等式，属于中档题．解题时一定要注意所给条件的结构特征，能主动联想余弦定理得角的余弦值，然后利用半角公式变形求解．由面积公式分析面积的最大值即求的最大值，因为考虑基本不等式来处理，注意等号成立的条件，这是易错点．9.设的内角所对的边分别为．若,则角（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，由余弦定理得，得，选D．【考点】余弦定理10.（2015秋•宁德校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若b2+c2=a2+bc，求角A的大小；（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．【答案】（Ⅰ）A=；（Ⅱ）△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosA=，又结合∠A是△ABC的内角，即可求A的值．（Ⅱ）由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．利用正弦函数的图象和性质可得2A=2B或2A+2B=π，即可得解．解：（Ⅰ）∵由已知得cosA===，又∵∠A是△ABC的内角，∴A=．（Ⅱ）在△ABC中，由acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=π．∴A=B或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．【考点】正弦定理．11.已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，向量=（，-1），=（cosA，sinA），若⊥，且，则角B=（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为⊥，所以，即，所以，由正弦定理及，得，即，即，即，则；故选A．【考点】1．平面向量垂直的判定；2．正弦定理；3．两角和的正弦公式；4．三角形的内角和定理．12.已知函数．设时取得最大值．（1）求的最大值及的值；（2）在中，内角的对边分别为，且，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据三角函数的恒等变换公式，可得，又，则，可知当时，即可求出结果；（2）由（1）知，由正弦定理，可得，再根据余弦定理，可得由此可求出．试题解析：解：（1）由题意，．又，则．故当，即时，．（2）由（1）知．由，即．又．则，即．故．【考点】1．三角恒等变换；2．正弦定理；3．余弦定理．13.如图，跳伞塔CD高4，在塔顶测得地面上两点A，B的俯角分别是30°，40°，又测得∠ADB=30°，求AB两地的距离．【答案】4【解析】先确定AD，BD的长，再利用余弦定理，即可求得AB的长．解：∵∠BCD=90°﹣45°=45°，∴在Rt△BCD中，BD=4×tan45°=4，又∵∠ACD=90°﹣30°=60°，∴在Rt△ACD中，AD=4×tan60°=4在△ABD中，AB==4．【考点】解三角形的实际应用．14.在中，角所对的边分别为．（Ⅰ）若，求角的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）等腰三角形或直角三角形【解析】（Ⅰ）将变形为，进而借助于余弦定理可求得，得到角A的大小；（Ⅱ）利用正弦定理将其变形为，进而利用三角函数公式可得到或，得到三角形形状试题解析：（Ⅰ）由已知得，又∠A是△ABC的内角，∴A＝．（Ⅱ）在△ABC中，由，得，∴．∴或．∴或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．【考点】正余弦定理解三角形15.在△ABC中，已知A=45°，．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）利用三角函数的平方故选求出角B的正弦；利用三角形的内角和为180°将角C用角B表示；利用两角差的余弦公式求出cosC．（II）利用三角函数的平方关系求出角C的正弦；利用三角函数的正弦定理求出边AB的长；利用三角形的余弦定理求出CD的长解：（Ⅰ）∵，且B∈（0°，180°），∴．cosC=cos（180°﹣A﹣B）=cos（135°﹣B）==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得由正弦定理得，即，解得AB=14．在△BCD中，BD=7，，所以．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．16.如图中，已知点在边上，且，，，．（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求．（注：）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）通过垂直关系，求出cos∠BAD的值，在△ABD中，由余弦定理求AD的长；（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求出sin∠ADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC试题解析：（Ⅰ）由知，在△ABD中，由余弦定理知即解得或显然，故（Ⅱ）由得在△ABD中，由正弦定理知，故【考点】余弦定理；正弦定理的应用17.已知函数 .（1）求的最大值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用辅助角公式，化简，即可求解的最大值；（2）由，得，平方即可求解的值.试题解析：（1）的最大值为.（2），即，，.【考点】三角函数的性质及三角函数的化简求值.18.在中，已知，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，由余弦定理得，所以，故选C．【考点】余弦定理．19.将函数y=sin2x的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的一个增区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象, 令,求得函数的增区间是,可得函数得一个增区间为，故选C.【考点】1、三角函数的平移变换；2、诱导公式及三角函数的单调性.20.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】由题；，即向右平移个单位．【考点】三角函数的图像变换规律．21.将函数=sin()(<)的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则函数的可能值为A．B．－C．D．－【答案】D【解析】函数=sin()(<)的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得，k∈z，∴【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换22.已知在中，，的平分线把三角形分成面积比为的两部分，则__________.【答案】【解析】因为，所以，所以，因为把三角形分成面积比为的两部分，即，所以由角的平分线定理可得，所以由正弦定理，得，整理得.【考点】解三角形的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合应用问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、三角形的内角平分线定理，以及二倍角的正弦函数的公式等知识点的考查，试题有一定的难度属于中档试题，解答中熟练掌握正弦定理和内角平分线定理是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.23.在△中，内角，，所对的边分别为，，，若，则△的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形等边三角形【答案】D【解析】由可得,即,故或,即或,所以是等腰或直角三角形,故应选 D.【考点】同角三角函数的关系与正弦定理的综合运用.【易错点晴】本题以三角形的变角之间的关系为背景考查的是三角形形状的判别的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用先将题设条件化为,再运用正弦定理和二倍角公式将其化为,最后得到或,即或,所以是等腰或直角三角形.24.在中，内角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值为（）A．B．C．D．4【答案】C【解析】因为，即；由余弦定理得，所以；代入得，当时，取得最大值为．故答案为：C．【考点】（1）正弦定理；（2）基本不等式．【方法点晴】本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式的应用问题，考查了推理能力与计算能力，是综合性题目．利用三角形的面积计算公式得，求出；利用余弦定理可得，得，代入，化为三角函数求最值即可．25.如图，是斜边上一点，.（1）若，求；（2）若，求角.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）余弦定理的应用；（2）正弦定理的应用及二次方程的求解.试题解析：（1）因为所以，在中，由余弦定理得，所以.（2）因为，，所以.在中，由正弦定理得，即，因为，所以，解得（舍去），因为是锐角，从而.【考点】正余弦定理的综合应用，二次方程，三角方程.【方法点晴】本题主要考查三角形中的解三角形问题，解题的关键是合理选择正、余弦定理..当有三边或两边及其夹角时适合选择余弦定理，当有一角及其对边时适合选择正弦定理求解，解此类题要特别注意，在没有明确的边角等量关系时，要研究三角形的已知条件，组建等量关系，再就是根据角的正弦值确定角时要结合边长关系进行取舍，这是学生们尤其要关注的地方.26.对于函数，下列选项中正确的是A．在上是递增的B．的图像关于原点对称C．的最小正周期为D．的最大值为2【答案】B【解析】，为奇函数，最小正周期为，最大值为1，图象关于原点对称，所以B正确，【考点】三角函数的性质。