高中数学 1.1.2 弧度制试题 新人教A版必修4

高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )A ．143πB ．143π-C ．718πD ．718π-3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A ．403π B ．203π C ．2003πD ．4003π4．把114π-表示成θ＋2kπ(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．34π 5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）A ．2π B ．3π C D6．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．二、双空题 7．12rad ＝________度，________ rad ＝－300°.8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．三、填空题9．已知圆心角为60的扇形，其半径为3，则该扇形的面积为___． 10．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad .四、解答题 11．已知α＝2 000°.(1)把α写成2kπ＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．12．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．13．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .参考答案1．D 【解析】 【详解】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度， 则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度， D 的说法错误，很明显ABC 的说法正确. 本题选择D 选项. 2．B 【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为73-×2π＝143π-. 本题选择B 选项.点睛：一定要注意角的正负，特别是表的指针所成的角为负角. 3．A 【解析】24042401803ππ==， 所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π. 本题选择A 选项. 4．A 【解析】 令－114π＝θ＋2kπ(k ∈Z )，则θ＝－114π－2kπ(k ∈Z )． 取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－34π，|θ|＝34π； k ＝－2时，θ＝54π，|θ|＝5344ππ>；k ＝0时，θ＝－114π，|θ|＝11344ππ>. 本题选择A 选项. 5．C【解析】试题分析：设圆内接正方形的边长为a，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为2lrα===C.考点：弧长公式.6．C【解析】分析：分k为偶数和k为奇数讨论，即可得到答案.详解：由集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈，当k为偶数时，集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈与{|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈与{53|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第三象限；所以集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C，故选C.点睛：本题考查了角的表示，其中分k为偶数和k为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．1553π-【解析】由题意有：180151212π==，53003001803ππ-=-⨯=-.8．180π1【解析】(1)因为|α|＝1°＝180π，l＝1，所以1180180lrπαπ===米.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以1lr α==米.9．32π 【分析】现将60转化为弧度制，然后利用扇形面积公式计算扇形面积. 【详解】60转化为弧度制是π3，故扇形的面积为2211π3π32232r α=⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查弧度制和角度制的相互转化，考查扇形的面积公式，属于基础题. 10．6π-【解析】由题意可知，一小时时针顺时针旋转：3603012=， 据此可得时针转过的弧度为：301806rad ππ-=-. 11．(1)10109αππ=+；(2)469π.【解析】 试题分析：(1)由题意首先将2 000°化为360°的整数倍，然后转化为弧度制可得10109αππ=+； (2)由题意可知θ＝2kπ＋109π，k ∈Z ，结合角的范围可知，取2k =，此时469πθ=.试题解析：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋π＝.12．(1)5|22,612k k k Z ππθπθπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭；(2)|,62k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】试题分析：(1)与330°角的终边相同的角的弧度制为6π-，且57512π=，据此可得终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为5|22,612k k k Z ππθπθπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭； (2)由题意可知：730,21066ππ==，则终边在直线AB 上的角为α＝kπ＋6π，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝kπ＋2π，k ∈Z ，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为|,62k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.试题解析：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.(2)如题图②，因为30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝kπ＋，k ∈Z ， 又终边在y 轴上的角为β＝kπ＋，k ∈Z ， 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：{}{}|2,|360,S k k Z k k Z ββαπββα==+∈==+⨯∈.即任何一个与角a 的终边相同的角都可以表示为角α与周角的整数倍的和.13．103π；503π⎛ ⎝⎭. 【解析】 试题分析：由题意可知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝3π.则弧长l ＝103π，由扇形面积公式可得其面积为50=3S 扇形π，据此计算可得弓形的面积为5032π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 试题解析：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝. 所以弧长l ＝a ·r ＝×10＝，所以S 扇形＝lr ＝××10＝， 又S △AOB ＝·AB ·5＝×10×5＝，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50.点睛：在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．。

1.1.2弧度制
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________
课后练习
基础过关
1．(2013·山东省济南市调研)将分针拨快15分钟,则分针转过的弧度数是() A.- B. C.- D.
2．设集合，则等于A.{} B.{}
C.{}
D.{ }
3．扇形周长为6，面积为2，则其中心角的弧度数是
A.1或4
B.1或2
C.2或4
D.1或5
4．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为______．5．已知，则角θ的终边所在的象限是____. 6．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，求此扇形所含弓形面积．
7．已知一个扇形的周长为12 cm.
(1)若扇形的圆心角θ=3,求该扇形的半径;
(2)当扇形的半径为何值时,这个扇形的面积最大?并求出此时的圆心角.
8．已知α=-800°.
(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈(-,).
能力提升
1．已知集合，，
，试确定M、N、P之间满足的关系.
2．扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长A B.。

高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1． 下列命题中，正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径长的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角2．1920︒转化为弧度数为（ ）A ．163B ．323C ．163πD ．323π 3．296π是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 4．若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是A ．3πB ．23πCD ．25．集合P ＝{x |2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，Q ＝{α|－4≤α≤4}．则P ∩Q ＝( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π}二、填空题6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________．7． 如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．8． 若角α的终边与85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与4α的终边相同的角有________．三、解答题9． 已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k ∈Z ,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且,22ππγ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 10．如图，动点,P Q 从点()4,0A 出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒转6π弧度，求,P Q 第一次相遇时所用的时间及,P Q 点各自走过的弧长.11． 如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．参考答案1．D【解析】逐一考查所给的命题：A . 弧度制表示角度，则1弧度不是1度的圆心角所对的弧B . 弧度制表示角度，1弧度不是长度为半径长的弧由弧度的定义可知选项C 说法错误，D 说法正确.本题选择D 选项.2．D【解析】已知180°对应π弧度，则1920︒转化为弧度数为1920321803ππ=. 本题选择D 选项.3．B【解析】 295466πππ=+，则296π与56π终边相同，它是第二象限角. 本题选择B 选项.4．C【解析】试题分析：设圆半径为r ，所以由弧度制定r÷故选C ． 考点：本题主要考查角度制与弧度制的概念及其互化．点评：牢记概念，并注意两种度量制度的转化．5．B【解析】令k ＝0，±1，在数轴上标注出P 与Q 如图所示，可知选B.6．{α|2kπ<α<2kπ＋π，k ∈Z }【解析】由题意结合终边相同的角的表示方法可知终边落在x 轴上方的角的集合为{α|2kπ<α<2kπ＋π，k ∈Z }.7．3【解析】设圆的半径为R ，弧长为l ，此时l R α=则变换之后的半径为12R ，弧长为32l ， 该弧所对的圆心角为332'12l l RR α==， 则'3αα=，即该弧所对的圆心角是原来的3倍. 8．29719,,,510510ππππ 【详解】 由题意可知：()825k k Z αππ=+∈，则()2425k k Z αππ=+∈， 当0k =时，245απ=；当1k =时，9410απ=； 当2k =时，745απ=；当3k =时，19410απ=； 而当4k =时，[]120,245αππ=∉；当1k =-时，[]10,2410αππ=-∉； 综上可得：终边与4α的终边相同的角有29719,,,510510ππππ. 点睛：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合： {}{}|2,|360,S k k Z k k Z ββαπββα==+∈==+⨯∈.即任何一个与角α的终边相同的角都可以表示为角α与周角的整数倍的和.9．(1)()14329αππ=+-⨯,α是第四象限角；(2)49γπ=-. 【解析】试题分析：(1)由题意－800°＝－3×360°＋280°，而280°＝149π，据此可得：()14329αππ=+-⨯,α是第四象限角；(2)由题意结合(1)的结论可知γ＝2kπ＋149π，k ∈Z ，结合题意，则取k ＝－1得49γπ=-. 试题解析： (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，∴α＝－800°＝＋(－3)×2π. ∵α与角终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k ∈Z .又γ∈，∴－<2kπ＋<，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋＝－. 10．,P Q 第一次相遇时所用的时间为4s .P 点走过的弧长为163π，Q 点走过的弧长为83π. 【分析】 设出两点相遇时间，用两点所走过的弧长之和为2π建立方程，解方程求得时间，进而求得,P Q 两点所走过的弧长.【详解】依题意知圆的半径为4，设,P Q 第一次相遇时所用的时间是ts ，则236t t πππ+-⨯=.解得4t =，即,P Q 第一次相遇时所用的时间为4s . P 点走过的弧长为416433ππ⨯=，Q 点走过的弧长为28433ππ⨯=. 【点睛】本小题主要考查角速度有关计算，考查方程的思想，属于基础题.11．12π-【解析】试题分析：角度制转化为弧度制，12023π=，据此可得弧长AB 为4π，由扇形面积公式求得扇形的面积为12π，由几何关系可得△ABO 的面积为，据此可知弓形ACB 的面积为12π-试题解析：∵120°＝π＝π，∴l＝6×π＝4π，∴AB的长为4π.∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.∴弓形ACB的面积为12π－9.点睛：在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．。

弧度制1.[答案] C2.[答案] C[解析] S ＝12l ·r ＝12·α·r 2＝4，∵α＝2，∴r ＝2，∴l ＝α·r ＝4.4.[解析] 16π3＝4＋123π＝43π＋4π.5．[答案] B6．[答案] 三7．[答案] 47 m[解析] 根据弧长公式，l ＝ar ＝π3×45≈47(m)．8．[答案] C[解析] α＝－23π＝－(23π×180π)°＝－120°，则α的终边在第三象限．9．[答案] C[解析] 由－π<－3<－π2知－3是第三象限角．10．[答案] C[解析] ∵－7π9－11π9＝－2π，∴选C.11．[答案] B[解析] ∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2(cm)，∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π2(cm 2)．12．[答案] A13．[答案] A[解析] 设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.14．[答案] π6＋4π15．[答案] (－π，0)[解析] 由题意，得－π2<α<π2，－π2<－β<π2，∴－π<α－β<β.又α<β，∴α－β<0.∴－π<α－β<0.B 级1．[解析] (1) 如图所示，设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为θ(0<θ<2π)，由l ＋2r ＝20，得l ＝20－2r ，由12lr ＝9，得12(20－2r )r ＝9，∴r 2－10r ＋9＝0，解得r 1＝1，r 2＝9.当r 1＝1 cm 时，l ＝18 cm ，θ＝l r ＝181＝18>2π(舍去)．当r 2＝9 cm 时，l ＝2 cm ，θ＝l r ＝29.∴扇形的圆心角的弧度数为29.(2)扇形的圆心角为75×π180＝5π12，扇形半径为15 cm ，扇形面积S ＝12|α|r 2＝12×5π12×152＝3758π(cm 2)．2．[解析] (1)310°＝π180 rad ×310＝31π18 rad.(2)5π12 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π×5π12°＝75°.(3)方法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12.θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12<π10<1<7π12.故α<β< γ<θ＝φ.方法二(化为角度)：β＝π10＝π10×(180π)°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×(180°π)°＝105°.显然，15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ＝φ.3．[解析] (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为{α|34π＋2k π<α<43π＋2k π，k ∈Z }．(2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为{α|－π6＋2k π<α≤5π12＋2k π，k ∈Z }．(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|k π≤α≤π2＋k π，k ∈Z }．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|2π3＋k π<α<5π6＋k π，k ∈Z }．4．集合A ＝{α|α＝n π2，n ∈Z }∪{α|α＝2n π±23π，n ∈Z }，B ＝{β|β＝23n π，n∈Z }∪{β|β＝n π＋π2，n ∈Z }，求A 与B 的关系．[解析] 解法1 ：如图所示．∴B A.解法2：{α|α＝nπ2，n∈Z}＝{α|α＝kπ，k∈Z}∪{α|α＝kπ＋π2，k∈Z}；{β|β＝2nπ3，n∈Z}＝{β|β＝2kπ，k∈Z}∪{β|β＝2kπ±23π，k∈Z}比较集合A、B的元素知，B中的元素都是A中的元素，但A中元素α＝(2k＋1)π(k∈Z)不是B的元素，所以A B.。

姓名，年级：时间：第一章 1.1 1。

1.2【基础练习】1．将1 920°转化为弧度数为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!【答案】D【解析】1 920°＝5×360°＋120°＝5×2π＋错误!＝错误!。

故选D．2．已知扇形的周长为12 cm，面积为8 cm2，则扇形圆心角的弧度数为( ）A．1 B．4C．1或4 D．2或4【答案】C【解析】设扇形的弧长为l,半径为r，则2r＋l＝12，S扇形＝错误!lr＝8,解得r＝4，l＝4或者r＝2，l＝8.∴扇形的圆心角的弧度数是错误!＝1或错误!＝4。

故选C．3．半径为3 cm的圆中，错误!的圆心角所对的弧长为（)A．错误! cm B．错误! cmC．错误! cm D．错误! cm【答案】A【解析】由题意可得圆心角α＝错误!，半径r＝3，∴弧长l＝αr＝错误!×3＝错误!。

故选A．4．下列转化结果错误的是( )A．67°30′化成弧度是错误! rad B．－错误!π化成度是－600°C．－150°化成弧度是错误! rad D．错误!化成度是15°【答案】C【解析】1°＝错误!，对于A，67°30′＝67°30′×错误!＝错误!，A正确;对于B，－错误!π＝－错误!π×错误!°＝－600°，B正确；对于C,－150°＝－错误!×150°＝－错误!π≠错误!π，C错误；对于D，错误!＝错误!×错误!°＝15°，D正确．故选C．5．已知两角和为1弧度且两角差为1°,则这两个角的弧度数分别是________．【答案】错误!＋错误!，错误!－错误!【解析】设两个角的弧度分别为x，y，因为1°＝π180rad，所以有错误!解得错误!即所求两角的弧度数分别为错误!＋错误!，错误!－错误!.6．如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝________。

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1.1。

2 弧度制一、选择题:1。

与角错误!π终边相同的角是（)A．错误!π B．2kπ－错误!π（k∈Z)C．2kπ－103π(k∈Z） D．(2k＋1）π＋错误!π(k∈Z)【答案】C【解析】选项A中错误!＝2π＋错误!π,与角错误!π终边相同，故A错；2kπ－错误!π，k ∈Z，当k＝1时,得［0，2π)之间的角为错误!π，故与错误!π有相同的终边，B错；2kπ－错误!π，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)之间的角为错误!π,与错误!π有相同的终边,故C对；（2k ＋1）π＋错误!π,k∈Z，当k＝0时,得[0，2π）之间的角为错误!π，故D错．2.若α是第三象限的角，则π－错误!是( ）A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角【答案】B【解析】因为α为第三象限的角，所以有2kπ＋π〈α〈2kπ＋错误!π,k∈Z，kπ＋π2〈错误!〈kπ＋错误!π，k∈Z，－kπ－错误!π<－错误!〈－kπ－错误!,k∈Z，故－kπ＋错误!〈π－错误!<－kπ＋错误!，k∈Z。

当k为偶数时,π－错误!在第一象限；当k为奇数时，π－α2在第三象限，故选B．3。

设扇形的周长为8 cm,面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】设扇形半径为r，弧长为l，由题意得错误!解得错误!则圆心角α＝错误!＝2 rad。

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制基础过关练题组一对弧度制概念的理解1.下列命题中,正确的是()A.1弧度是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径长的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角2.圆的半径变为原来的3倍,而所对弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来圆心角的.题组二弧度制与角度制的互化3.(2020安徽合肥第十一中学高二月考)将225°角化为弧度是()A.3π4B.5π4C.7π4D.9π44.(2020陕西吴起高级中学高一下月考)把-π5rad化成角度是()A.18°B.-18°C.36°D.-36°5.(2019新疆乌鲁木齐七十中高一上期中)时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A.14π3B.-7π18C.7π18D.-14π36.(2019河南高一期中)下列各式不正确的是()A.π3rad=60° B.405°=9π4C.335°=23π12D.705°=47π127.(2019浙江台州高一上期末)-60°=弧度,它是第象限的角. 题组三弧度制下终边相同的角8.把-11π4表示成α+2kπ(k∈Z)的形式,使|α|最小的角α的值是()A.-3π4B.-π4C.π4D.3π49.(2019上海复旦附中高一期中)已知α=1690°,θ∈(-2π,0),若角θ与角α的终边相同,则θ=.(用弧度制表示) 题组四弧度制下弧长与扇形面积公式的应用10.若一扇形的圆心角为144°,半径为5cm,则扇形的面积为()A.8πcm2B.10πcm2C.8cm2D.10cm211.(2020泉州泉港一中高一月考)若2弧度的圆心角所对的弦长为4,则这个圆心角所对的弧长为()A.2sin12B.4sin1C.4cos12D.2cos112.(2020广东揭阳一中高一下月考)已知半径为1的扇形的面积为3π16,则扇形的圆心角为()A.3π16B.3π8C.3π4D.3π213.(2020安徽太和中学高一下质检)已知扇形的面积为2√3,扇形的圆心角的弧度数是√3,求扇形的周长.14.(2020江西玉山一中高一月考)在半径为6的圆O中,已知弦AB的长为6.求:(1)弦AB所对的圆心角α的大小;(2)α所在的扇形的弧长l以及弧所在弓形的面积.能力提升练一、选择题1.(2020吉林延边二中高一月考,★★☆)将钟表拨慢5分钟,则分针转过的弧度数是()A.π3B.-π3C.π6D.-π62.(★★☆)下列与3π4终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+3π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)3.(2019广东仲元中学高一下期中,★★☆)若扇形的周长是16,圆心角是360度,则扇形的面积是()πA.16B.32C.8D.644.(2020江苏连云港锦屏高级中学高一期中,★★☆)已知扇形的周长为6cm,面积为2cm2,则扇形的圆心角的弧度数为()A.1B.4C.1或4D.2或45.(2020广西田阳高一月考,★★☆)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪时,扇面看上去较为美下的扇形制作而成的,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为√5-12观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A.(3-√5)πB.(√5-1)πC.(√5+1)πD.(√5-2)π6.(2019浙江高一期末,★★☆)如图所示,用两种方案将一块顶角为120°,腰长为2的等腰三角形钢板OAB裁剪成扇形,设方案一,方案二中扇形的面积分别为S1,S2,周长分别为l1,l2,则()A.S1=S2,l1>l2B.S1=S2,l1<l2C.S1>S2,l1=l2D.S1<S2,l1=l2二、填空题7.(2020江苏苏州高一上调研,★★☆)在Rt△ABO中挖去以点O为圆心,OB为半径的扇形BOC(如图),使得扇形BOC的值为.的面积是Rt△ABO面积的一半.设∠AOB=α(rad),则αtanα,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为. 8.(2019上海建平中学高一下期中,★★☆)若扇形的圆心角为π39.(2019山西平遥中学高一下期末,★★★)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》这一章给出(弦×矢+矢2).公式中“弦”指圆弧所对的弦了计算弧田(由圆弧和其所对的弦所围成)面积的经验公式:弧田面积=12长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心,弦长等于6米的弧田.按照上述经验公式计算所得弧田面积S1与实际面积S2的误差为平方米.(用角为2π3S2-S1计算)三、解答题10.(★★☆)用弧度表示终边在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.11.(2019甘肃会宁一中高一期中,★★☆)(1)已知扇形的周长为8,面积是4,求扇形的圆心角;(2)已知扇形的周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,扇形的面积最大?答案全解全析第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制基础过关练1.D由1弧度角的定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角,可知D正确.2.答案13解析根据弧度数计算公式|α|=lr 可得,l=|α|r=13|α|·3r,即圆心角变为原来圆心角的13.3.B1°=π180rad,所以225°=225×π180=5π4rad,故选B.4.D1rad=180π°,则-π5rad化成角度是-π5×180π°=-36°,故选D.5.D分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6°×(2×60+20)=-840°,化成弧度为-840×π180=-14π3,故选D.6.Cπ3rad=π3×180π°=60°,405°=405×π180=9π4,335°=335×π180=67π36,705°=705×π180=47π12.故选C.7.答案-π3;四解析-60°=-60×π180=-π3,它是第四象限的角.8.A令-11π4=α+2kπ(k∈Z),则α=-11π4-2kπ(k∈Z).当k=-1时,α=-3π4,|α|=3π4;当k=-2时,α=5π4,|α|=5π4>3π4;当k=0时,α=-11π4,|α|=11π4>3π4.∴使|α|最小的角α的值是-3π4.9.答案-11π18解析α=1690°=169π18=10π-11π18,∵角θ与角α的终边相同,∴θ=2kπ-11π18(k∈Z),又θ∈(-2π,0),∴θ=-11π18.10.B∵144°=4π5,∴S=12αr2=12×4π5×25=10π(cm2),故选B.11.B 如图所示,在☉O 中,AB=4,C 是AB 的中点,所以OC ⊥AB,设∠AOB=2α=2,则∠BOC=α=1,在Rt △OCB 中,sin α=BCOB,即sin 1=2OB,所以OB=2sin1,所以2弧度的圆心角所对的弧长为2·2sin1=4sin1.故选B.12.B 设扇形的圆心角为α,半径为R,则扇形的面积为S=12αR 2=12α×12=3π16,解得α=3π8,故选B.13.解析 设扇形的弧长为l,半径为R,由题意可得12lR=2√3,lR =√3,解得l=2√3,R=2,则扇形的周长为l+2R=4+2√3.14.解析 (1)由题意得△OAB 为正三角形,所以弦AB 所对的圆心角α=π3.(2)弧长l=αr=π3×6=2π, S 扇形=12lr=12×2π×6=6π,S △OAB =√34×62=9√3,∴S 弓形=6π-9√3.能力提升练一、选择题1.C 分针转一周为60分钟,转过的角度为2π,将钟表拨慢5分钟,分针按逆时针方向旋转,则分针所转过的弧度数为560×2π=π6. 故选C.2.C 与3π4终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k ∈Z)或k ·360°+135°(k ∈Z),角度制与弧度制不能混用,所以只有C 正确. 3.A 因为360π度等于2弧度,所以扇形的弧长l=2r.因为扇形的周长是16,所以l+2r=16,所以r=4,l=8. 因此扇形的面积是12lr=12×8×4=16.故选A.4.C 设扇形的圆心角为α,半径为R cm,则{2R +α·R =6,12R 2·α=2,解得{α=1,R =2或{α=4,R =1,故选C.5.A 因为扇形的面积公式为12R 2α,所以S 1与S 2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比,设S 1与S 2所在扇形圆心角分别为α,β,则αβ=√5-12,又α+β=2π,解得α=(3-√5)π.6.A ∵△AOB 是顶角为120°,腰长为2的等腰三角形,∴A=B=30°=π6, 方案一中扇形的周长l 1=2+2+2×π6=4+π3,方案二中OD=1,其周长l 2=1+1+1×2π3=2+2π3,方案一中扇形的面积S 1=12×π6×22=π3,方案二中扇形的面积S 2=12×2π3×12=π3,所以S 1=S 2,l 1>l 2.故选A.二、填空题 7.答案12解析 设BO=a,AB=b,则Rt △ABO 的面积为ab 2,扇形BOC 的面积为a 22·α,则ab 4=a 22·α,故α=b2a,因为tan α=ba,所以αtanα=12.8.答案 2∶3解析 设扇形的半径为R,内切圆的半径为r,∵扇形的圆心角为π3,∴R-r=2r,∴R=3r, ∴扇形的面积为60πR 2360=πR 26=3πr 22,又内切圆的面积为πr 2,∴扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为2∶3. 9.答案 4π-6√3-32解析 设扇形的半径为r 米,则圆心到弦的距离为r 2米,由勾股定理得r 2=32+r 22,解得r=2√3.所以扇形面积等于12·2π3·(2√3)2=4π(平方米),S 2=4π-12×6×2√3×cos π3=(4π-3√3)平方米.圆心到弦的距离等于√3米,所以矢长为√3米,按照题目中弧田面积的经验公式计算得S 1=12(弦×矢+矢2)=12×(6×√3+3)=6√3+32(平方米).所以4π-3√3-6√3+32=4π-6√3-32.故答案为4π-6√3-32.三、解答题10.解析 (1)330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为弧度为-π6,而75°=75×π180=5π12,所以终边在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为α|2kπ-π6<α<2kπ+5π12,k ∈Z .(2)30°=π6,210°=7π6,因为这两个角的终边所在的直线相同,所以终边在直线AB 上的角为α=kπ+π6,k ∈Z,又终边在y 轴上的角为β=kπ+π2,k ∈Z,所以终边在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为γ|kπ+π6<γ<kπ+π2,k ∈Z .11.解析 (1)设扇形的圆心角为α,半径为r,则由题意可得αr+2r=8,12αr 2=4.解得α=2.(2)设扇形的半径和弧长分别为r 和l, 由题意可得2r+l=40,则扇形的面积S=12lr=12(40-2r)·r=-(r-10)2+100.∴当r=10时,S 取最大值,此时l=20, 圆心角α=lr =2.∴当半径为10,圆心角为2时,扇形的面积最大,最大值为100.。

1.1.2 弧度制课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．2．角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝________rad2πrad＝________180°＝______radπrad＝________1°＝______rad≈0.01745rad1rad＝______≈57°18′3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π）为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝________l＝______扇形的面积S＝________S＝______＝______一、选择题1．集合A＝α|α＝kπ＋π2，k∈Z与集合B＝α|α＝2kπ±π2，k∈Z的关系是()A．A＝BB．A?BC．B?AD．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2C.2sin1D．2sin1。