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二次函数与一元二次方程教案公开示范二次函数与一元二次方程》一、研究目标根据新课标的要求及九年级学生的认知水平，特制定本节课的教学目标如下：知识与技能：1.掌握二次函数与一元二次方程的联系。
2.掌握利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。
过程与方法：1.通过探索二次函数与一元二次方程的关系，体会方程与函数之间的联系。
2.通过使用二次函数图像求一元二次方程近似解，获得用图像法求方程近似解的体验。
情感、态度与价值观：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，提高学生的分析能力与在探索过程中抽象概括能力。
2.培养学生合作研究的良好意识和积极进取的精神。
3.培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点根据新课标的要求及九年级学生的认知和发展水平，结合学情，我制定本节课的研究重、难点如下：教学重点：把握二次函数图像与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系。
关键是理解其实质就是把函数值换成常数求一元二次方程的解。
教学难点：利用函数的性质，用逐步逼近去试探求出近似解。
较难理解，培养学生的数形结合的意识和学会用数形结合的方法解决问题。
三、教学过程设计一）研究准备1.解方程：x2-2x-3=02.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
当△>0时，方程有两个根；当△=0时，方程有一个根；当△<0时，方程无实根。
3.二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）图像是一条抛物线，它与x轴的交点有几种可能的情况？4.回顾一次函数与一元一次方程的关系：一次函数y=-x+5与x轴的交点坐标是（5,0），一元一次方程-x+5=0的解是x=5.你发现了什么？5.回顾一次函数与二元一次方程组的关系：一次函数y=-x+5与y=2x-1的图像的交点坐标与方程组x+y=52x-y=1的解有什么关系？利用类比的方法让学生在自学的基础上进行小组合作交流研究）二）创设情境引入新课我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+vt+h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v(m/s)是抛出时的速度。
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》这一节的内容，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是一元二次方程的求解方法和应用，通过引导学生利用二次函数的性质来解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。
教材中首先介绍了二次函数与一元二次方程的关系，引导学生理解二次函数的图像与一元二次方程的解的关系。
接着，教材通过具体的例子，讲解了一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
最后，教材又通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的求解方法和应用，可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生利用已学的二次函数知识，来理解和掌握一元二次方程的知识。
三. 说教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，理解一元二次方程的解的性质。
2.让学生掌握一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
3.培养学生利用二次函数和一元二次方程解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。
2.教学难点：引导学生理解一元二次方程的根的判别式，以及如何应用一元二次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、引导法、讨论法等教学方法，通过多媒体课件、教学实物等教学手段，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次函数的图像和性质，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系。
2.讲解：讲解一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
3.应用：通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。
2024北师大版数学九年级下册2.5.1《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5.1节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上，引出一元二次方程，并通过解决实际问题，让学生了解一元二次方程的解法及其应用。
教材通过生活中的实例，引导学生探究一元二次方程的解法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识和图像，对于一元二次方程也有了一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往会因为对概念理解不深而产生困惑。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生深化对二次函数和一元二次方程的理解，提高他们解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法，并能应用于实际问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法及其应用。
2.难点：如何将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程解决。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生自主探究，合作解决实际问题，从而提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.相关实际问题素材。
3.投影仪、白板等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节内容，例如：“某商品打8折后的售价为120元，请问原价是多少？”让学生思考并尝试解决。
2.呈现（10分钟）教师引导学生将实际问题转化为数学模型，呈现出一元二次方程的形式。
例如，设商品原价为x元，则打8折后的售价为0.8x，根据题意可得方程0.8x = 120。
3.操练（10分钟）教师引导学生运用一元二次方程的解法求解问题。
首先，让学生回忆二次函数的图像和性质，然后引导学生利用“开平方法”求解方程。
九年级数学下册２.5 二次函数与一元二次方程课时教案（新版)北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程课时教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为九年级数学下册2.5 二次函数与一元二次方程课时教案（新版)北师大版的全部内容。
２.５二次函数与一元二次方程一、教学目标1。
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根。
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标。
二、课时安排1课时三、教学重点理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根．四、教学难点理解一元二次方程的根就是二次函数与ｘ轴交点的横坐标.五、教学过程(一）导入新课1。
一元二次方程aｘ2+bx＋c=0 的求根公式是什么？2.解下列一元二次方程:(１)x2+2x=０（2)x2－2x+１=0 （3)x2-2x+2=0.（二)讲授新课活动１:小组合作探究1:我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (ｍ）与运动时间ｔ(s)的关系可以用公式h=-5t 2＋v 0ｔ ＋h 0 表示，其中h 0 （ｍ)是抛出点距地面的高度，v ０ (m/ｓ）是抛出时的速度.一个小球从地面被以4０ ｍ／s 的速度竖直向上抛起，小球的高度ｈ (m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么(1)ｈ与ｔ 的关系式是什么？（2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴交流。
教学设计如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x 轴交点情况判断下列函数的图象与x 只有一个交点的是( )A ．y ＝x 2＋2x －3B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：选项A 中b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B 中b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x 轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x 轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x ＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x 轴交点情况确定字母取值范围若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴也有一个交点．由(m ＋2)2－4m (12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2，当m ＝0时原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．。
九年级数学下册２．５.2 二次函数与一元二次方程教案(新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册２.5.2 二次函数与一元二次方程教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为九年级数学下册2.5.2 二次函数与一元二次方程教案（新版）北师大版的全部内容。
课题：2。
5．2二次函数与一元二次方程教学目标:1.复习巩固用函数y＝ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c＝0的解.2.让学生体验一元二次方程ax2+bx+c＝h的根就是二次函数y=ax2+ｂx＋ｃ与直线y=h （h是实数)图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax2+bx+c =h的近似根.３.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想。
教学重点与难点:重点：1。
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程。
难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算。
教学过程:一、复习回顾，开辟道路二次函数ｙ=ａx２+ｂx＋ｃ的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程aｘ2+ｂx+c＝0的根有什么关系?1.若方程ax2+bｘ+c＝0的根为ｘ1=-2和x2=3,则二次函数ｙ=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是.2．抛物线ｙ=０。
5ｘ２—x+3与x轴的交点情况是（)A 、两个交点B 、一个交点 Ｃ、没有交点 D 、画出图象后才能说明3.不画图象,求抛物线y ＝x ２—x -６与x 轴交点坐标．处理方式:以问题的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题,在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定,不足之处给予纠正.设计意图:这一环节属于课前热身训练准备利用5分钟时间让学生尽快进入到学习新知识的准备中来.问题（1)(2）是对上节课知识内容的复习,考察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解是否准确。
二次函数与一元二次方程教案一、教学目标1.了解二次函数的概念及其图像特征；2.掌握求解一元二次方程的方法；3.培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点1.二次函数的概念及其图像特征；2.一元二次方程的求解方法。
三、教学难点1.理解二次函数的图像特征；2.掌握一元二次方程的求解方法。
四、教学过程1.导入新课通过例子引入二次函数的概念。
例如，以小明向上抛掷物体为例，让学生思考物体的运动轨迹是什么样的。
引导学生发现物体的运动轨迹是抛物线形状的，然后向学生提问：你们认为这个抛物线的形状可以用数学函数来表示吗？2.学习二次函数的概念及其图像特征（1）引导学生观察二次函数的图像特征，即开口方向、顶点坐标、对称轴等。
（2）通过给出一元二次方程的一些实例让学生归纳和总结出二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c，并解释其中的含义。
（3）通过练习题巩固学生对二次函数的了解。
3.一元二次方程的求解（1）介绍一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
（2）通过实例引导学生掌握用配方法求解一元二次方程的方法。
（3）再通过实例引导学生掌握用公式法求解一元二次方程的方法。
（4）通过练习题巩固学生对一元二次方程求解的方法。
4.拓展应用通过一些实际问题，例如求抛物线与坐标轴的交点、求最值等问题，让学生应用所学的知识解决问题。
五、课堂小结总结本节课学到的知识要点，强调二次函数与一元二次方程的联系与应用。
六、作业布置布置课后作业，巩固所学知识。
七、板书设计二次函数与一元二次方程教学大纲八、教学反思本节课通过引入实际问题，让学生从直观上感受到二次函数的概念及其图像特征。
通过实例让学生掌握一元二次方程的求解方法，并拓展了应用环节，培养了学生的应用能力。
但在课堂上需要更多的时间让学生思考和发现，提高他们的参与度。
2024北师大版数学九年级下册2.5.2《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5.2节的内容。
本节课的内容包括：了解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法，以及运用二次函数的性质解决实际问题。
教材通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的联系，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图象与性质，以及一元二次方程的基本知识。
但部分学生对于如何运用二次函数的性质解决实际问题还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们通过自主学习、合作探讨，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法，能运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过探究、合作、交流，培养学生的抽象思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解法。
2.难点：如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动探究，发现规律。
3.合作学习法：鼓励学生相互讨论，共同解决问题。
4.实践教学法：让学生在实际问题中运用所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数与一元二次方程的关系及解法。
2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数的性质解决实际问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际问题：某商场举行打折活动，某商品原价为800元，打八折后售价为多少？引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。
2.呈现（10分钟）展示商品打折问题，引导学生列出相应的二次函数和一元二次方程。
5 二次函数与一元二次方程知己知彼，百战不殆。
《孙子兵法·谋攻》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！第1课时二次函数与一元二次方程的关系【知识与技能】1.体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法.2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征.【过程与方法】经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想.【情感态度】培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质.【教学重点】经历“类比—观察—发现—归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程.【教学难点】准确理解二次函数与一元二次方程的关系.一、情景导入，初步认知我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数Y=ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.【教学说明】让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生形成解决一类问题的通用方法的思维品质.二、思考探究，获取新知探究：画出y=x2+2x、y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的图象，观察并解答：1.每个图象与x轴有几个交点？2.一元二次方程x2+2x=0、x2-2x+1=0、x2-2+2=有几个根？用判别式验证.3.函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？【教学说明】引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，大胆猜想，通过交流寻求解决类似问题的方法.【归纳结论】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.三、运用新知，深化理解1.知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A.ac＞0B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C.2a-b=0D.当x＞0时，y随x的增大而减小解析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故选项错误；B.∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于(3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0)，即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C.∵抛物线对称轴为x=1，∴2a+b=0，故本选项错误；D.∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时y随x的增大而减小，故本选项错误.答案：B.2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A.-1.6B.3.2C.4.4D.以上都不对解析：根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图形和已知条件即可求出x2：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图形，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的个根分别是x1，x2那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4.答案：C.3.根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A.8＜x＜9B.9＜x＜10C.10＜x＜11D.11＜x＜12解析：根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，由此即可推方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围：依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11.答案：C.【教学说明】学生独立完成3个小题，小组交流所做结果，练习巩固，加深理解.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表迸行总结，教师作以补充.1.布置作业：教材“习题2.10”中第2、3、4题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想.三种题型：函数图象与x轴交点的横坐标、方程根的个数、函数图象的交点坐标.【素材积累】宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。
2.5 二次函数与一元二次方程
第1课时二次函数与一元二次方程
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；(重点)
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；(重点)
3．通过观察二次函数与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．(难点)
一、情境导入
一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离OC＝2.4m.当水位上升一定高度到达点F时，这时，离水面距离CF＝1.5m，则涵洞宽ED是多少？是否会超过1m?
根据已知条件，要求ED宽，只要求出FD的长度．在如图所示的直角坐标系中，只要求出点D的横坐标即可．
由已知条件可得到点D的纵坐标，又因为点D在涵洞所成的抛物线上，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标．你会求吗？
二、合作探究
探究点一：二次函数与一元二次方程
【类型一】求抛物线与x 轴的交点坐标
已知二次函数y＝2x2－4x－6，它的图象与x轴交点的坐标是________________．
解析：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x－3)＝2(x－3)(x＋1)，设2(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴它的图象与x轴交点的坐标是(3，0)，(－1，0)．故答案为(3，0)，(－1，0)．
方法总结：抛物线与x轴的交点的横坐标，就是二次函数为0时，一元二次方程的解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】判断抛物线与x轴交点的个数
已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
解析：(1)只需证明Δ＝(m＋2)2－4m×2≥0即可；(2)利用因式分解法求得抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据x的值来求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，
x2＝2
m.当m为正整数1或2时，x2为整数，
即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1或2.
方法总结：解答本题的关键是明确当根的判别式Δ≥0抛物线与x轴有两个交点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】已知抛物线与x轴的交点个数，求字母系数的取值范围
已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解析：应分k－3＝0和k－3≠0两种情况进行讨论，(1)当k－3＝0即k＝3时，此函数是一次函数；(2)当k－3≠0，即k≠3时，此函数是二次函数，根据函数图象与x 轴有交点可知Δ＝b2－4ac≥0，求出k的取值范围即可．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；
当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
方法总结：由于k 的取值范围不能确定，所以解决本题的关键是要注意分类讨论，不要漏解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
【类型四】二次函数与一元二次方程的判别式、根与系数的关系的综合
已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
解析：(1)利用关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0的根的判别式的符号进行证明；(2)利用根与系数的关系写出x1、x2的平方和是x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2a＋4＝3，由此可以求得a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.
方法总结：判断一元二次方程与x轴的交点，只要看根的判别式的符号即可，而要判断一元二次方程根的情况，要利用根与系数关系．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二：利用二次函数解决运动中的抛物线问题
如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A 在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取43＝7)?
(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米(取26＝5)?
解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA＝1，OB＝6，BM＝4，所以点A的坐标为(0，1)，顶点M的坐标是(6，4)．根据顶点式可求得抛物线关系式．因为点C在x轴上，所以要求OC的长，只要把点C的纵坐标y＝0代入函数关系式，通过解方程求得OC的长．要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长．求解的方法有多种．
解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4，
由已知：当x＝0时，y＝1，即1＝36a
＋4，所以a＝－1
12.
所以函数表达式为y＝－1
12(x－6)
2＋4
或y＝－1
12x
2＋x＋1；
(2)令y＝0，则－1
12(x－6)
2＋4＝0，所以(x－6)2＝48，所以x1＝43＋6≈13，x2＝－43＋6<0(舍去)．
所以足球第一次落地距守门员约13米；
(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意：CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)．
所以2＝－
1
12(x－6)
2＋4，解得x1＝6－26，x2＝6＋26，
所以CD＝|x1－x2|＝46≈10.
所以BD＝13－6＋10＝17(米)．
方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件．常有两个步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；(2)应用有关函数的性质作答．
三、板书设计
二次函数与一元二次方程
1.二次函数与一元二次方程
2.利用二次函数解决运动中的抛物线问题
本节课注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题，实现师生互动，通过这样的教学实践取得一定的教学效果，再次认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题.。
