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高中函数复习之绝对值函数与分段函数(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--绝对值函数与分段函数一．与绝对值函数有关的基本知识1．V型函数||xy=2．与绝对值有关的函数变换|)(|)(xfyxfy=−−−−→−=除左右对称到左|)(|)(xfyxfy=−−−−→−=上不变下翻上二．分段函数（绝对值函数除绝对值）⎩⎨⎧<-≥==,,||xxxxxy分段函数分段处理三．典例分析例1．“2a=”是“函数()f x x a=-在区间[2,)+∞上为增函数”的条件（填充分，必要，充要）.分析：||||axyxy-=−−−→−=左右平移22[||≤∞+-=a），axy上为增则在故填充分非必要例2已知函数()22xf x=-）分析：|22|222-=−−−→−-=−−→−=xxx yyy绝对值变换平移故选B例3．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,（,a b 为整数），值域是[]1,0，则满足条件的整数数对),(b a 共有_________个. .分析：12||4124244-+=−−−→−-+=−−→−+=−−→−=x y x y x y x y 绝对值变换平移平移满足要求由题意和图像知经绝对值变换后知道求得令求得令)2,0(),2,12212)0,2(02),0,20)100124-----==-+=），（，），（，，（：），C （B （y ，，A （x x y例4．已知2)(--=a x x x f（1）若a>0,求)(x f 的单调区间;（2）若当[]1,0∈x 时，恒有0)(<x f ，求实数a 的取值范围.分析：绝对值函数转分段函数⎪⎨⎧≥--=a x ax x x f ,2)(22),(),,(),,(202,22)2()2()12222a a ：，，，a x ，x a 。
，，y ax x ax x a a 减区间为增由图知单调区间为故可画出函数图像两支函数值都为时当轴正半轴对称轴在时当且两抛物线对称轴相同对称故两段上图像关于+∞-∞-=>-=-=-+-+--102102,0)1(,0)0(]1,0[0)(,2:,2)2422->∴⎩⎨⎧<--<-<<∈<---+-=a a ：f f ，x x f ，，ax x y a既得只需要第一支函数中上恒成立在因此要使况下都小于零故第二支函数在任意情恒小于零顶点最大值为练习：1已知cos 0()(1)10x x f x f x x π->⎧⎪=⎨++≤⎪⎩，则)34()34(-+f f 的值等于 A ．2- B ．1 C ．22若函数1(),10()44,01x x x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则4(log 3)f =（ ）A ．13B ．43C ．3D ．4 3函数21,(0)()(1),(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程a x x f +=)(恰有两个不等的实根，则a 的取值范围为A ．(]0,∞-B ．[)1,0C ．)1,(-∞D ．[)+∞,04设函数2,0()2,0x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若(4)(0),(2)2f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为A. 4 C15.已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有 成立，则a 的取值范围是6知函数()21,x f x a b c =-<<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是A ．0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c <≥>C ．22a c -<D ．222a c +<7设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数取函数()2x f x -=。
第3讲 分段函数与绝对值函数1. 分段函数和绝对值函数是高考的重点考查内容，主要考查分类讨论思想及基本初等函数的性质，关键弄清楚为什么要分类，需要分几类，如何分，做到不重不漏．2. 涉及的题型主要有：一是明确在各个分段上的函数解析式，然后对各个分段进行讨论；二是结合函数图象，将函数分成几个部分，然后寻求解题方法．1. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，－x －2，x ≤1，则f(f(2))＝________．答案：－52解析：f(2)＝12，则f(f(2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. 2. (2017·盐城模考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1.若f(0)＝3，则f(a)＝ ________． 答案：9解析：因为f(0)＝3，所以a －2＝3，即a ＝5，所以f(a)＝f(5)＝9.3. (2018·启东中学)已知函数f(x)＝x|x|，若f(x 0)＝4，则x 0＝________．解析：当x≥0时，f(x)＝x 2，f(x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x<0时，f(x)＝－x 2，f(x 0)＝4，即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.4. (2018·苏锡常镇调研一)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x，x <1，x ＋4x，x ≥1(e 是自然对数的底)．若函数y ＝f (x )的最小值是4，则实数a 的取值范围是________．答案：[e ＋4，＋∞)解析：在x ≥1时，f (x )min ＝f (2)＝4.所以当x <1时，a －e x ≥4恒成立．转化为a ≥ex＋4对x <1时恒成立．因为e x＋4在(－∞，1)上的值域为(4，e ＋4)，所以a ≥e＋4., 一) 绝对值函数的图象与性质, 1) 已知函数f(x)＝x|x －2|.(1) 写出f(x)的单调区间； (2) 解不等式f(x)<3；(3) 设a>0，求f(x)在[0，a]上的最大值． 解：(1) f(x)＝x|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝（x －1）2－1，x ≥2，－x 2＋2x ＝－（x －1）2＋1，x ＜2， 所以f(x)的单调增区间是(－∞，1]和[2，＋∞)， 单调减区间是[1，2]．(2) 因为x|x －2|<3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2－2x －3＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x<2，x 2－2x ＋3>0，解得2≤x＜3或x ＜2，所以不等式f(x)<3的解集为{x|x<3}． (3) ① 当0＜a ＜1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1≤a≤2时，f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1>0，解得a>1＋ 2.(ⅰ) 当2<a≤1＋2时，此时f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； (ⅱ) 当a>1＋2时，此时f(a)>f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)． 综上，当0<a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a>1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．点评：对于绝对值函数可以转化为与它等价的分段函数，然后结合函数的单调区间和图象，对于每一段上的函数进行研究，得出相应的结论，最终将各段得出的结论进行综合，就可以得到问题的解．若函数f(x)＝x 2－a|x －1|在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞），x 2＋ax －a ，x ∈（－∞，1），x ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 2－ax ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a －a 24，x ∈(－∞，1)时，f(x)＝x 2＋ax －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a －a 24.① 当a 2>1，即a>2时，f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上单调递减， 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增，不合题意； ② 当0≤a2≤1，即0≤a≤2时，符合题意；③ 当a2<0，即a<0时，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是[0，2]．, 二) 分段函数的图象与性质, 2) 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0是奇函数．(1) 求实数m 的值；(2) 若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1) 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x 2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．于是当x<0时，f(x)＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2) 要使f(x)在[－1，a －2]上单调递增，结合f(x)的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 画出f(x)的图象．解：(1) 因为f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·（－2）＋b ＝3，a ·（－1）＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1， 所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2) 画出f(x)的图象，如图所示．, 三) 与绝对值函数有关的恒成立问题, 3) 已知函数f(x)＝x|x －a|＋2x.求所有的实数a ，使得对任意x∈[1，2]时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)＝2x ＋1图象的下方．解：由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f(x)<g(x)恒成立，即x ||x －a <1，当x∈[1，2]时恒成立，即|x －a|<1x ，－1x <x －a<1x ，x －1x <a<x ＋1x，故只要x －1x <a 且a<x ＋1x 在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要x －1x 的最大值小于a 且x ＋1x的最小值大于a 即可，而当x∈[1，2]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2>0，x －1x 为增函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x max ＝32；当x ∈[1，2]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2>0，x ＋1x 为增函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2，所以32<a <2.设常数a ∈R ，函数f (x )＝(a －x )|x |.(1) 若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2) 若f (x )是奇函数，且关于x 的不等式mx 2＋m >f (f (x ))对所有的x ∈[－2，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，f (x )＝(1－x )|x |＝ ⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）x ，x ≥0，（x －1）x ，x <0， 当x ≥0时，f (x )＝(1－x )x ＝－(x －12)2＋14，所以f (x )在[0，12]上是增函数，在(12，＋∞)上是减函数；当x <0时，f (x )＝(x －1)x ＝(x －12)2－14，所以f (x )在(－∞，0)上是减函数．综上所述，f (x )的单调增区间为[0，12]，单调减区间为(－∞，0)，(12，＋∞)．(2) 因为f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即a ＋1＝－(a －1)，解得a ＝0，所以f (x )＝－x |x |，f (f (x ))＝x 3|x |.所以mx 2＋m >f (f (x ))＝x 3|x |，即m >x 3|x |x 2＋1对所有的x ∈[－2，2]恒成立．又x ∈[－2，2]，所以x 2＋1∈[1，5]，所以x 3|x |x 2＋1≤x 4x 2＋1＝x 4－1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－2≤165.所以实数m 的取值范围是(165，＋∞)．, 四) 与绝对值函数有关的最值问题, 4) 已知函数f(x)＝ (23)|x|－a .(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)的最大值等于94，求a 的值．解：(1) 令t ＝|x|－a ，则f(x)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫23t ， 不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减， 在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)．(2) 由于f(x)的最大值是94，且94＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2，所以g(x)＝|x|－a 应该有最小值－2，即g(0)＝－2， 从而a ＝2.(2018·沈阳一模)已知函数f(x)＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________．答案： 9解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x （0<x <1），log 3x （x ≥1），所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m＝9.1. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是 ________．答案：(12，32)解析：由f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，所以2|a －1|<2，即|a －1|<12，所以12<a <32.2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案：(3，＋∞)解析：画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，当方程f (x )＝b 有三个不同的根时，有4m －m 2<m ，解得m >3或m <0(舍去)．3. 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f (－52)＝f (92)，则f (5a )＝________． 答案：－25解析：由题意得f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f (12)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110，所以－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（2－x ），x <1，2x ，x ≥1，则f (－2)＋f (log 23)的值是__________．答案：5解析：f (－2)＋f (log 23)＝log 2[2－(－2)]＋2log 23＝log 222＋3＝5.5. (2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x ＋4)＝f (x)(x∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．答案：22解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数的周期为4，所以f (15)＝f (－1)＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.(本题模拟高考评分标准，满分16分)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.(1) 若a ＞1，且函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值；(2) 若不等式x |f (x )－x 2|≤1对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 因为f (x )＝x 2－2ax ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a (a ＞1)， 所以f (x )在[1，a ]上为减函数，(2分)所以f (x )的值域为[f (a )，f (1)]．(4分) 而已知值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝a 2－2a 2＋5＝1，f （1）＝1－2a ＋5＝a ，(6分)解得a ＝2.(8分)(2) 由x |f (x )－x 2|≤1，得－12x 2＋52x ≤a ≤12x 2＋52x(*)．令1x ＝t ，t ∈[2，3]，则(*)可化为－12t 2＋52t ≤a ≤12t 2＋52t .(10分) 记g (t )＝－12t 2＋52t ＝－12(t －52)2＋258，则g (t )max ＝g (52)＝258，所以a ≥258；(12分)记h (t )＝12t 2＋52t ＝12(t ＋52)2－258，则h (t )min ＝h (2)＝7，所以a ≤7.(14分)综上所述，258≤a ≤7.所以实数a 的取值范围是[258，7]．(16分)1. 若函数f(x)＝x 2＋a|x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案：[－4，0]解析：f(x)＝x 2＋a|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，0<x ＜2，要使f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤2，a2≤0，解得－4≤a ≤0.所以实数a 的取值范围是[－4，0]．2. 已知函数f(x)＝|2x －a|＋|2x ＋3|，g(x)＝|x －1|＋2. (1) 解不等式|g(x)|＜5；(2) 若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5. 所以－7＜|x －1|＜3，得不等式的解集为(－2，4)．(2) 因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， 所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．3. 设函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x>0)． (1) 作出函数f(x)的图象；(2) 当0<a<b ，且f(a)＝f(b)时，求1a ＋1b的值；(3) 若方程f(x)＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1) 函数f(x)的图象如图所示．(2) ∵ f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x－1，x ∈（0，1]，1－1x，x ∈（1，＋∞），故f(x)在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．由0<a<b 且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴ 1a ＋1b＝2.(3) 由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，函数f(x)的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f(x)＝m 有两个不相等的正根．故m 的取值范围是(0，1)．。
专题四：绝对值函数与分段函数一.与绝对值函数有关的基本知识1. V型函数2.与绝对值有关的函数变换除左右对称到左y = f(x) >y=\f(x)\二.分段函数(绝对值函数除绝对值)x, x > 0y=\^\=\ n［一x, x v 0分段函数分段处理三.典例分析例1・“。
=2”是“函数f(x) = \x-a\在区间［2,+呵上为增函数”的_________ (填充分，必要，充要). 分析： AEl 亠斗v=lzl \\//—d| 在［2,+oo丿上为增则6/ <2 --------------- '/ 7 ------------------ ►故填充分非必要y 二2” 平移> y 二2—2 绝曲变换〉y=| 2X-2|故选B例3.已知函数/(%) = —— -1的定义域是［a,b\ (a,b 为整数)，值域是［0,1］,则满足条件的整数数对(a,b) 1刎+2 个.•共有.分析:例4.已知/(兀) xx-a -2(1)若a>0,求/(兀)的单调区间；(2)若当xe ［0,1］时，恒有/(%) < 0 ,求实数a 的取值范围.1) v ("一处一2) + (』+血一2) = _2,故两段上图像关于2y = -2,对称，且两抛物线对称轴相同。
当。
>0时 对称轴在尢轴正半轴，当兀二。
时，两支函数值都为-2, 故可画出函数图像，由图知单调区间为.•增(YO,号)， (。
,+8),减区间为(号,a)2)y = -x 2+ ax - 2,顶点最大值为:-竽- 2,恒小于零， 故第二支函数在任意情况下都小于零，因此要使 /(%) < 0在xw ［0,1］上恒成立,只需要第一支函数中/(0) < 0, /⑴ <0,既得.•[-2<0 \d 〉一 1 \l-a-2<0练习:-COS 7TX X>0已知/(%)= A. — 2 /(x+l) + l x<0B. 1 则的值等于 J JC. 2—2,0丿由题意和图像知•(-2,0)，( -2,1/ (—2,2), ( -1,2),(0,2)满足要求(-Y -1 <x<02 若函数/(x) = 4 一 ,则/(log4 3)=( )4V, 0<x<l1 4A. -B.-C.3D.43 33函数f(x) = l2~X~K (X-0),若方程f(x) = x + a恰有两个不等的实根，则G的取值范围为[/(x-1),(兀>0)A. (—,0]B. [0,1)C. (-oo,l)D. [0,+oo)4设函数/(x) = J r+/?X + GX-°,若/(-4) = /(0),/(-2) = -2，则关于兀的方程/(x) = x的解的个数为[2,x>0 A.4 B.2 Cl D.35.已知函数/(兀)二J"(X V °)’满足对任意旺工兀2,都有/(舛)一/(兀2)<0[(a一3)x + 4a(x > 0) 兀]-x2成立，则a的取值范围是______________6知函数f(x)= 2X -1 ,a<b<c，且f(a) > f(c) > f(b),则下列结论中,必成立的是A. 6z<0,/?<0,c<0B. 6z<0,/?>0,c>0C. T a < 2rD. 2"+2"v2 7设函数= f\x）在（-g,+°°）内有定义，对于给定的正数K,定义函数/(x), /(x) < K. K, f(x) > K.取函数/（兀）=2咽。
2019-2020年高考数学 函数题 专题复习教案 苏教版一：考点分析：函数是高中数学的基础知识，也是每年高考必考的重点内容，而且在每年的高考试卷上所占的比重比较大，从题型上来看，围绕函数的考查既有填空题，又有解答题。
函数部分复习的重点应分两个方面：一是函数“内部”的复习：即对函数的基本概念（定义域、值域、函数关系）、函数的性质（函数的单调性、奇偶性、周期性）及应用、基本函数的图象与性质的掌握与应用等方面的复习；另一方面是从函数的“外延”方面去复习，即重视函数与其他知识点的交叉、综合方面的复习。
函数复习除了知识方面的复习要全面到位以外，还要重视思想方法的渗透，尤其是要重视分类讨论、数形结合、等价转化等思想方法的渗透。
二、典例解析：【例1】函数1()1f x n x =的定义域为________________ 分析：不能只想到22320,340,0.x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎨⎪≠⎩0>。
解：22320,340,0.x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎨⎪≠⎩0，解得且。
答案：【例2】若函数在（0，1）内恰有一个零点，则a 的取值范围是 .解法一：（数形结合、分类讨论）（ⅰ）时，不合题意；（ⅱ）时，由于函数的图象的对称轴是，且，作函数的图象知，此时函数在（0，1）内没有零点（ⅲ）时，由于函数的图象的对称轴是，且，作函数的图象知，要使函数在（0，1）内恰有一个零点，只须，即。
解法二：时，，令则，于是有，作函数的图象知，当时，直线与函数的图象有唯一交点，故a 的取值范围是。
答案：。
【例3】已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是_______________解：令，则0)21()21(21)21(21)21(21=⇒=-=-f f f f ；令，则，由得，所以0)0())25((0)21(212335)23(35)23(2325)25(==⇒=⋅===f f f f f f f答案：0。
专题10 分段函数的研究一、题型选讲题型一、含义抽象函数的求值问题含有抽象函数的分段函数,在处理里首先要明确目标,即让自变量向有具体解析式的部分靠拢,其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）例1、(2019南京三模）若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ≤0f (x －2)，x ＞0,则f (log 23)＝ ．【答案】．34【解析】因为1＜2log 3＜2,所以f (log 23)＝f (log 23－2)＝22log 3log 32223224-==.例2：设函数()()cos ,011,0x x f x f x x π>⎧=⎨+-≤⎩,则103f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________ 【答案】92-【解析】思路：由()f x 解析式可知,只有0x >,才能得到具体的数值,0x <时只能依靠()()11f x f x =+-向0x > 正数进行靠拢。
由此可得：107412123433333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,而 221cos 332f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭10932f⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭题型二 与分段函数有关的方程或不等式含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段,通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。
另一种是通过作出分段函数的图象,数形结合,利用图像的特点解不等式例3、(2019苏锡常镇调研）. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x ≤0，2x －1，x>0，若f(a －1)＝12,则实数a ＝________．【答案】 log 23【解析】当a －1≤0,即a ≤1时,f(a －1)＝log 2(4－a)＝12,解得a ＝4－2(舍)；当a －1>0,即a>1时,f(a －1)＝2a －1－1＝12,解得a ＝log 23.解后反思 本题以分段函数为背景,考查指数及对数的基本运算及分类讨论的数学思想．例4、(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，≥，，， 则不等式()()f x f x >-的解集为 ．【答案】(20)(2)-+∞U ，，【解析】：若0x ≥,则22()2,()2f x x x f x x x =--=-+,由()()f x f x >-得： 22222x x x x x ->-+⇒>,故2x >.若0x <,则22()2,()2f x x x f x x x =---=+,由()()f x f x >-得： 222220x x x x x -->+⇒-<<,故20x -<<. 综上,不等式()()f x f x >-的解集为 (20)(2)-+∞U ，，. 题型三、分段函数的值域分段函数的定义域与值域——各段的并集例5、（2016苏州期末）函数f (x )＝⎩⎨⎧2x， x ≤0，－x 2＋1， x >0的值域为________．【答案】 (－∞,1]【解析】思路分析 先画出图像看看．分段画出f (x )的图像即可看出函数的值域为(－∞,1]．解后反思 能快速画出图像的题,尽量先画图像,对于填空题非常有用．例6、(2018无锡期末） 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1x 2，x ≤－12，log 12⎝⎛⎭⎫1＋x 2，x>－12，g(x)＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ,使得f (a )＋g (b )＝0,则实数b 的取值范围是________． 【答案】. (－2,0)【解析】思路分析 根据条件可以将问题等价转化为关于函数y ＝f(a)的值域问题,然后利用分段函数的值域求法和一元二次不等式的解法处理即可．由题意,存在a ∈R ,使得f (a )＝－g (b ),令h (b )＝－g (b )＝b 2＋2b ＋2.当a ≤－12时,f (a )＝a 2＋2a －1a 2＝－1a 2＋2a ＋1＝－⎝⎛⎭⎫1a －12＋2,因为a ≤－12,所以－2≤1a <0,从而－7≤f (a )<1； 当a >－12时,f (a )＝log 12⎝⎛⎭⎫1＋a 2,因为a >－12,所以1＋a 2>14,从而f (a )<2.综上,函数f (a )的值域是(－∞,2)． 令h (b )<2,即b 2＋2b ＋2<2,解得－2<b <0.易错警示 此题的关键是问题的等价转化,设f(a)的值域为集合A ,－g(b)的值域为集合B ,它们的正确关系是B ⊆A ,而不是A ⊆B. 题型四 分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性,如果单调性相同,则需判断函数是连续的还是断开的,如果函数连续,则单调区间可以合在一起,如果函数不连续,则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
探索分段函数和绝对值函数分段函数和绝对值函数是高中数学中重要的概念和工具。
通过分段函数和绝对值函数，我们可以更好地描述和解决一些特定情况下的问题。
本文将围绕这两个数学概念展开讨论，并探索它们的性质和应用。
一、分段函数分段函数是指定义在一个或多个子区间上的函数。
其函数值的定义方式在不同的子区间内可能是不同的，通常用条件语句来描述。
我们以以下例子来说明分段函数的概念：设函数f(x) =-x (x ≤ 0)2x (0 < x ≤ 2)4 (x > 2)在这个例子中，函数f(x)在不同的区间内采用不同的表达式来定义函数值。
当x≤0时，f(x)的函数值为-x；当0<x≤2时，f(x)的函数值为2x；当x>2时，f(x)的函数值为4。
分段函数的定义可以使数学描述更加准确，并能够更好地反映实际问题中的不同情况。
例如，在这个例子中，当x小于等于0时，f(x)的取值与-x相等，可以用来表示一个负数情况下的相关关系；而在0<x≤2时，f(x)的取值与2x相等，可以用来表示一个正数情况下的相关关系；当x大于2时，f(x)的取值为4，可以用来表示一个特定数值，不受x的影响。
二、绝对值函数绝对值函数是一个常用的数学工具，用来表示一个实数的非负值。
绝对值函数的定义如下：设函数f(x) = |x|在这个例子中，f(x)的取值是x的绝对值，即x的非负值。
绝对值函数常用于表示距离、误差、模量等非负值相关的情况。
例如，我们要计算一个点x到原点的距离，可以利用绝对值函数来表示。
当x大于0时，f(x)的值为x；当x小于0时，f(x)的值为-x。
通过绝对值函数的定义，我们可以方便地计算出这个点到原点的距离。
绝对值函数还常用于解决线性规划问题，求解最大值和最小值等。
由于绝对值函数具有稳定和连续的性质，可以将问题转化为非常数函数的优化问题，简化了计算的过程。
三、分段函数和绝对值函数的应用分段函数和绝对值函数在数学和实际问题中有广泛的应用。
2019-2020年高考数学复习函数问题的题型与方法教案苏教版一．复习目标：1．了解映射的概念，理解函数的概念。
2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。
3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。
4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。
5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。
6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
二．考试要求：1．灵活运用函数概念、性质和不等式等知识以及分类讨论等方法，解函数综合题。
2．应用函数知识及思想方法，解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问题，提高分析问题和解决问题的能力。
三．教学过程：（Ⅰ）函数的概念型问题函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数．本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．㈠深化对函数概念的认识例1．下列函数中，不存在反函数的是（）分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，请读者自己一试．此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．㈡系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法1．求函数定义域的基本类型和常用方法由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字例2．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：分析：x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范围．解：(1)由0＜x＜2，得说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到．2．求函数值域的基本类型和常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．3．求函数解析式举例例3．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？所以因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．（Ⅱ）函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
