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逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个 单位,再向上平移5个单位.
五、抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 a>0 开口向上 a<0 开口向下 （2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定 c>0 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。 1 （3）抛物线y = 2 x 2+3的开口向 上 ,对称轴 （0，3） 是 直线X=0 ,顶点坐标是 , 是由抛物线 1 y = x 2向 上 平移 3 个单位得到的。
2
4、形如y = a (x-h) 2 +k (a ≠0) 的二次函数
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
浦城县第二中学
王基铭
一、二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数， a≠0) 的函数叫做二次函数
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值 呢?
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
二、二次函数的一般形式：
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边是一个含x的二次整式（不能是分式 – 或根式） – 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
2）、当x=-1时， y= a-b+c ＜０
-1 -2 o1 2 x
3）、当x=2时， y= 4a+2b+c ＞０
4）、当x=-2时， y= 4a-2b+c ＜０
5）、2a+b ＞ 0.
b 2a
1 b 2 a 2 a b 0
巩固练习4:
1、已知二次函数 y a ( x 1) c 的图象如图所示，则函数 y a x c
开口方向 对称轴 顶点坐标 ＞0 a 向上 2 y = ax +k a ＜0 向下 直线X=0（0，K） 3、形如y = a (x - h) 2 ( a≠0 ) 的二次函数 二次函数
y = a（x - h) 2
二次函数
开口方向 a ＞ 0 向上
a＜0
对称轴
顶点坐标
直线X=h （h，0）
巩固练习1： 2 （1）抛物线y =3 x 2的开口向上,对称轴是Y轴 , 顶点坐标是 (0,0) , 图象过第 一、二 象限 。 （2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 (不可能 )
y = a（x-h)
2+k
a ＞ 0 向上 直线X=h （h，k） a ＜ 0 向下
巩固练习2: （1）抛物线 y = 2 (x –３ ) 2+1 的开口向 上 , 对称轴 X=３ , 顶点坐标是 （３，1）。 （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶 〈 0, m〈 0, n〈 0。 点在第四象限，则a 1 2 （3）已知二次函数y= - 2 x +bx-5的图象的 0 。 顶点在y轴上，则b=___
八、求抛物线的解析式
1.方法:待定系数法. 2.求抛物线解析式的三种形式.
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 ________________ y=ax2+bx+c(a≠0) 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常 设抛物线解析式为_______________ y=a(x-h)2+k(a≠0) 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0), y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 通常设解析式为_____________ 巩固练习6： 根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)图象经过(-2，0)， (3，0) ，且最高点的 纵坐标是3 。
2
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大； 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 2a 时 , 最大值为 4 ac b 4a
2
四、二次函数图象的平移
将二次函数由一般式y=ax2+bx+c(a≠0) 通过配方变成顶点式y = a (x-h) 2 +k (a ≠0) 或利用顶点坐标公式求顶点坐标。 1、形状、大小不变，位置改变，a不变 2、确定原抛物线顶点坐标 3、确定平移后抛物线顶点坐标 4、代入顶点式，有时要化成一般式
• 二次函数的特殊形式：
知识运用
1、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(5)y=x -2 +x
(4)y=2x2-2x+1
(6)y=x2-x(1+x)
知识运用
2、当m取何值时，函数是y= (m+2)x
分别 是一次函数？ 二次函数？
m2-2
驶向胜 利的彼 岸
三、二次函数的图象与性质：
（一） 二次函数y = a (x-h) 2 +k (a ≠0) 的图象与性质
1、形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
二次函数 y = ax 2 开口方向 对称轴 顶点坐标 a ＞ 0 向上 直线X=0 (0,0) a ＜ 0 向下
2、形如y = ax 2+k (a≠0) 的二次函数
2
y
的图象只可能是（ D）
y y y
1
0
x
y
0
x
0
x
0
x
0
x
( A)
(B)
(C )
(D )
2、小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 观察得出下面的五条信息：① a＜ 0；② c＝0；③ 函数的最小值为-3； ④当x＜0时，y>0； ⑤当0＜ x1＜x2＜2时，y1 > y2 你认为其中正确的个数有 y （C ） A．2 B． 3 C．4 D． 5
（二）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4 ac b , 4a 2a b 直线 x 2a
2
y=ax2+bx+c(a<0)
0 -3 2
x
3、已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
＜ a___0,
＞ ＞ b____0, c_____0, abc____0 ＜
＞ ＜ b___2a, 2a-b_____0, 2a+b_______0 ＜ ＞ b2-4ac_____0 ＞ ＜ a+b+c_____0, a-b+c____0 ＞ 4a-2b+c_____0
c<0
c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
（4）b2-4ac的符号： a、b同号 a、b异号 b=0
由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
(5)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例： y 1）、当x=1 时，y= a+b+c ＞０
b 4 ac b , 4a 2a b 直线 x 2a
2
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小； 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 2a 时 , 最小值为 4 ac b 4a
B
x y＝ax2＋bx＋c
6.17 -0.03
6.18 -0.01
6.19 0.02
6.20 0.04
A．6.17＜ X ＜6.18 C．-0.01＜ X ＜0.02
B．6.18＜ X ＜6.19 D．6.19＜ X ＜6.20
七、抛物线的轴对称性：
巩固练习5：
(1)若y=ax2+bx+c(a 0)的图像与x轴交于点A(2,0), C B(4,0),则对称轴是_______ 。 A 直线x=2 B 直线x=4 C 直线x=3 D 直线x= -3 (2)若y=ax2+bx+c(a 0)的图像上有点A(2,m), B(4,m), A 。 则对称轴是_______ A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2
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上正下负
-2
巩固练习3： 1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为 y=2(x+2)2-3 =2x2+8x+5 。 ________________________ 2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位, 再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式 y= - 3(x-1-4)2+2+3 =-3x2+30x-70 。 为_____________________________ 3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8 个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为 2+4x-6 _____________ y=2(x+1)2-8=2x。 4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
