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2012-固体理论第二章声子-第二讲

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固体物理学第二章

固体物理学第二章

k : 简约波矢；n：能带标记
在每一个布里渊区中给出所有能带。 周期布里渊区图象：
由于认为 k 与 k G 等价，因此可以认为 En k 是以倒格 矢 G 为周期的周期函数，即对于同一能带n，有

En k En k G
E (k ) E (k kh )
En(k)函数的三种图象:
扩展布里渊区图象： 不同的能带在k空间中不同的布
里渊区中给出。每一个布里渊区
有中一个能带，第n个能带在第n 个布里渊区中。
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
简约布里渊区图象： 所有能带都在简约区中给出。
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
电子能量： En k

要使波函数有异于零的非平凡解，需
1 iK eiKa iKeiKa 1 iK eiKa iKe iKa 1 F eik ( a b ) e Fb eik ( a b ) e Fb F 1 F eik ( a b ) e Fb eik ( a b ) e Fb F 0
原子能级与能带的对应
对于原子的内层电子，其电子 轨道很小，因而形成的能 带较窄。这时，原子能级与能带之间有简单的一一对应关
系。 对于外层电子，由于其电子轨道较大，形成的能带就较宽。
这时，原子能级与能带之间比较复杂，不一定有简单的一一 对应关系。一个能带不一定与孤立原子的某个能级相对应， 可能会出现能带的重叠。
所对应的平移算符本征值相同。
i k a 对于 k ： e
对于 k k G n
' e i k a
：
e
i k a

固体理论

固体理论

H h(ri ),
i
2 2 h(ri ) i V (ri ) 2m
单粒子哈密顿
h(ri ) i i i
在实际晶体中电子之间存在长程库仑作用； 离子实的质量远大于电子，可看作静止不动（绝热近似）；
2 2 1 e2 Ze 2 H ( ) i ' 2m 2 i , j | ri r j | i ,l | ri Rl | i
固体宏观特性起作用的电子具有相同特征。
单电子近似是基于以下近似基础上的： 1.原子核与核外内层电子考虑成一个整体。
2.假设离子实不动（绝热近似）。
3.忽略电子之间的交互作用（哈特里－福克自洽场方法）。
哈特利-福克近似(Hartree-Fock) 对于含有N个电子的多体系统，只有在假定电子之间不存在相互作用时， 总哈密顿可写为：
可求出：
2 b1 (a 2 a3 ) 2 b2 (a3 a1 ) 2 b3 (a1 a 2 )


在倒点阵中任一格点的位置矢：K n
*
n1 b1 n2 b2 n3 b3 （ni为整数）




元胞的体积： b1 (b2 b3 )
已占据（occ）单电子波函数表示的r点电子数密度
(r ) | i (r ) | 2
i
occ
非定域交换密度分布
iHF (r , r ' )
j , //
occ
* i ( r ) j ( r ) | i (r ) | 2
*j (r ' ) i (r ' )
采用对 iHF 取平均的办法来解决
这就是Hartree-Fock近似

[]2012-固体理论第二章声子-第二讲

[]2012-固体理论第二章声子-第二讲
F(x) Y du(x) dx
F(xd)xYd(uxd)x dx
第二章 声子
考虑dx段，质量为ρdx，运动方程为：
d2u(xt), F(x)F(xd)xdxd2t
dd x 2 u d (2 xtt), Y [dd (x x u t),d(x u d x dxt),]
第二章 声子
d2ud(2xt t,)Yd2du(xx2 t,) 2u(xt,)Y2u(xt,)
{(Rl' Rl) (l l' )(
(Rl'
Rl )
)}u (r) r
rl
u (r) r
)
rl
1 2 l,l' ,
{
1 2
(Rl'
Rl
)
(l
l'
)(
(Rl'
Rl )
)}u (r) r
rl
u (r) r
)
rl
第二章 声子
1Ω
2l
, ,
C;
u (r) r
rl
u (r) r
rl

第二章 声子
应变张量S为无量纲参数：
S
11
2 S12
2 S13
S 2S 21 S 22 2S 23
2 S 31 2 S 32 S 33
第二章 声子
由于Tij=Tji; Sij=Sji 即T23=T32 、T12=T21 、T13=T31
S23=S32 、S12=S21 、S13=S31
S1
S
2
S
3
S4
S
5
S 6
或者：
第二章 声子
6
Ti cijSj (i1,2,6) j1

固体理论答案

固体理论答案

固体理论课后习题参考答案第1-5题固体理论（李正中：第二版）首先，本习题集主要贡献属于恩师谢老师(由于涉及个人隐私就不说全名啦)。

授之于鱼，不如授之于渔。

在这里为防止抄袭作为作业，不提供答案。

索求答案者，均不回复，请见谅。

由于水平有限，恳请各位前辈批评指正。

由于一学期学习的内容不多，还有很多习题(超导、强关联和无序等)没有解答。

如有慷慨者，可联系以供大家学习。

第一题：利用a和b关系，可计算k*l的数值。

再进行分类讨论(相等和不相等)。

同样进行分类讨论。

此题两个公式特别重要，后面用得很多，请大家熟记。

第二题：因为f为正点阵的周期函数，所以f(r+l)=f(r).若k不等于倒格矢K,易证上式为0.第三题第四题根据布洛赫定理，u为格点周期函数，可用平面波展开。

第五题首先写出晶体单电子薛定谔方程(V=0),再根据固体理论课后习题参考答案第6-10题固体理论（李正中：第二版）首先，本习题集主要贡献属于恩师谢老师(由于涉及个人隐私就不说全名啦)。

授之于鱼，不如授之于渔。

在这里为防止抄袭作为作业，不提供答案。

索求答案者，均不回复，请见谅。

由于水平有限，恳请各位前辈批评指正。

由于一学期学习的内容不多，还有很多习题(超导、强关联和无序等)没有解答。

如有慷慨者，可联系以供大家学习。

第六题首先写出谐振子系统的哈密顿量第七题首先画出二维密排六角晶格及其倒格矢及第一布里渊区。

自己可以设定其他方向算一下。

多练习就掌握啦。

第八题由晶格振动波动方程自己可以算[100][110]等其他方向。

第九题先把E和r代入哈密顿密度，可计算出再利用W和u的关系(2.6.1)，然后利用简正坐标，产生和湮灭算符，可是H二次量子化。

第十题这道题纯属计算，注意公式较复杂可令固体理论课后习题参考答案第11-15题固体理论（李正中：第二版）首先，本习题集主要贡献属于恩师谢老师(由于涉及个人隐私就不说全名啦)。

授之于鱼，不如授之于渔。

在这里为防止抄袭作为作业，不提供答案。

固体理论-2 声子

固体理论-2 声子

固体理论——声子主讲翦知渐固体理论-声子-晶格动力学第二章声子1晶格振动的集体运动模型§1 晶格动力学§2 格波特性§3 声子4§4 态密度§5 局域模§6 长波方法——声学模固体理论§7 长波方法——光学模1进一步消除耦合——量子力学常用方法() ()αβαβU D U α,βx,y,z =−=⇒=−∑ k k k kk U D k U 进步消除耦合量子力学常用方法β2 = ω− x x i tω−∼x e我们知道的解形式为对于矩阵D k ，可以找到它的三个本征矢：D k e = ω2e 2ω=−=− e D k e e ()可以找到它的个本征矢()i i i如果e i 满足方程()i i i i则e i 是频率为ωi 的振动，振动方向即为e i 的一般解可由这些本征矢展开2α而U k 的般解可由这些本征矢展开动力学矩阵的本征方程为()βαββD e ωe =∑k kk ω是本征值，即为振动频率，可由久期方程得到：2()0αβαβdet ||D ωδ||−=k2§2 格波特性晶格振动：色散关系格振动散关系）格波的本征频率是倒点阵的周期函数1ωσ(k )的共性特征i ()(+)σσn ωω=k k K ii）具有点阵所属点群的全部对称性()σωk ()()σσωωα=k k iii ）存在一个普遍的关系式()()σσωω=−k k 它是时间反演对称性的结果由色散曲线的特征分辨2声学模和光学模k = 0 时有ωσ= 0 ——声学模00声学模代表元胞质心的运动故简单格子所有的解都是声学模k = 0 时有ωσ≠ 0 ——光学模光学模代表原子相对于元胞质心的运动3α方向上的分量(2)Δ线：()线此时k x = k ，k y = 0同样可以求出两个本征频率ω1和ω2相应的极化矢量为e = (1,0) = e L , e = (0,1) = e T 从右图可看出，纵波频率也高于横波Δ1ΔΔ2Δ(3)Z 线：此时k x = π/a ，k y = k’也有两个本征频率ω1和ω2相应的极化矢量为=(10)=(01)——非纵波亦非横波不同于各向同性介质晶体中只在某些e Δ1= (1,0), e Δ2= (0,1)不同于各向同性介质，晶体中只在某些特殊方向上的格波有纵横之分4格波频率计算——复式格子维双原子链两种原子交替排列近邻弹性恢复力常数一维双原子链，两种原子交替排列，近邻弹性恢复力常数分别为f1和 f21100 12211221ΦΦΦΦ−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞==−==−⋅⋅⋅力常数为21,,1,2,11,2,1f f ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟123基态设基态为ψ0，能量为ε'0，它应当是具有最低能量的状态采用狄拉克符号，用| 0 > ，则有等式采用狄拉克符号用|表示ψ0则有等式ħωa +a | 0> = ε'0| 0>从而有ħωaa +a | 0> = ε'a | 0>|0|= ħω(a +a +1)a | 0>所以ħωa +a a | 0>) = (ε'-ħω) (a | 0> )这个等式说明，当ω> 0 时——态a | 0 >比态| 0 > 具有更低能量——显然矛盾(|)(0)(|)所以必然有 a | 0 > = 0这就是二次量子化表象中的基态定义所以a +a | 0 > = 0因此ε'0= 0½ħ0|0|0ωa a ε'+>=> 即ε0= ½ħω——振子的零点能451234的）极大点原点处杂质质量为'力常数均为元胞数为N，原点处杂质质量为M' ，力常数均为f假定(0)(0)lM lMM'l≠⎧=⎨=()⎩1(Fω圆点：完整晶格本征频率三角：含缺陷的本征频率三角含缺陷的本征频率圆点：完整晶格本征频率三角：含缺陷的本征频率当ω< ω时，所有频率向高频方向略有移动M 时所有频率向高频方向略有移动这个解落入禁带，形成一个孤立的能级有一个解的移动比较大，被推出准连续频带顶部这个解落入禁带，形成个孤立的能级——局域模。

《固体理论》第二章

《固体理论》第二章

i
∂ψ ∂t
− Lˆ0ψ
− Lˆ1(t)ψ
=
0。
4) 将 g ± (τ ) 与场算符联系起来推广应用于场论和多体问题。最后两点我们将在下
面讨论。
§2. 2 单体格林函数的微扰论
一 不含时的格林函数
在微扰计算时，将哈密顿量写成非微扰项 H 0 和微扰项 H1 之和
H = H0 + H1 ，
( 2.2.1 )
propagator (传播子)。
以上考虑的是一级含时格林函数，它与 Schrodinger 方程的形式相应，广泛用于单
电子量子力学问题。同样，我们还可以定义出二级含时格林函数
[− 1 ∂2 − Lˆ(r)]g(r,r',τ ) ≡ δ (r − r ')δ (τ ) ， c2 ∂t 2
( 2.1.19 )
数 G(E,r,r ') ，其中 E = ω 。所以把不含时的格林函数 G(E, r,r ') 代回 ( 2.1.13 ) 式
就可推出含时的格林函数 g(τ ).
但是应该注意的是，由于 g(ω) 在 ω 的实轴上有奇点或割缝，所以 ( 2.1.13 ) 式中
对 ω 的积分只能沿着“岸”进行，这样视积分路径沿上岸或下岸之不同，就可以得到
割缝，如图 2.1.1 所示，上(下)岸分别对应着由上(下)半平面趋近于实轴时定义的格林
函数 G ± ，
17
版权归作者所有，请勿翻印
∑ G± (λ,r, r ') ≡ lim ϕn (r)ϕn*(r ') 。
S →0 m λ − λn ± iS
( 2.1.4 )
( a ) 本征态分布
( b ) 谱值示意
所以其虚部的对角元之和为

《固体理论讲义》课件

导带
最高的能带，空置的能级，允许电子传导。
价带
最低的能带，主要由价电子占据。
能隙
价带和导带之间的能量差，决定了材料分布 密度。
态密度峰值
特定能量的电子态密度达到最 大值。
态密度曲线
表示电子态密度随能量的变化 关系。
态密度计算
通过求解薛定谔方程得到电子 波函数，进而计算电子态密度
光学性质等。
力学性质
02
预测材料的弹性常数、硬度、断裂韧性等力学性质，为材料设
计和优化提供依据。
热学性质
03
计算材料的热容、热传导系数等热学性质，有助于理解材料的
热行为和稳定性。
电子器件的设计与优化
01
02
03
半导体器件
利用固体理论模拟半导体 器件的能带结构、载流子 输运和光学性质，优化器 件性能。
格林函数方法
格林函数方法是一种基于量子力学的计算方法， 用于研究固体材料的电子结构和物理性质。
它通过求解格林函数方程，可以计算材料的能带 结构、态密度、光学性质等。
格林函数方法可以处理复杂的自旋和自旋-轨道耦 合效应，适用于研究具有复杂电子结构的材料。
05
固体理论的挑战与展望
高温超导体的机理研究
磁性材料
研究磁性材料的磁学性质 和磁畴结构，为磁记录、 磁传感器等器件的设计提 供指导。
纳米电子学
模拟纳米尺度下电子的输 运和散射过程，优化纳米 电子器件的性能。
新材料的发现与设计
材料模拟
利用固体理论模拟新型材料的结构和性质，发现 潜在的优异性能材料。
材料优化
通过材料成分和结构的优化设计，提高材料的性 能指标和应用范围。
02
固体理论的基本概念

固体物理学 声子


2
a
2
L Na N aa
L
第一布里渊区中的k值数目实际上 就是晶体中初基晶胞的数目，长为L的 一维原子链中的独立的简正模式数等于 晶体中的原子数。
每一个简正模式代表一个一定频 率与波矢的平面波，那么运动方程就有 N个独立的简正模式解，但这些解都不 代表原子的真实位移。
在点阵振动中，我们不研究原子的 真实位移，因为这是毫无实际意义的。 它对晶体的物理性质（如热学性质等） 并没有什么贡献，而有贡献的只是存在 有那些简正模式。
这是以u，v为未知数的方程组， 要有非零解须系数行列式为零。 便可得到：
展开此行列式可得：
M1M2 4 2c（M1 M2） 2 2c（2 1 cos ka） 0
即
2
c M1M 2
[M1
M2
M
2 1
M
2 2
2M1M 2
cos
ka]
上式中取“ ＋” 号时，有较高频率 称为光学支色散关系，取“ －”号时，有 较低频率称为声学支色散关系。
将势能展开成级数：
u
u0
（ u x
） xO
x
1（ 2u 2 x2
） xO
x2
c
（
2u x2
） x0
2.一维单原子点阵的运动方程和色 散关系
一维单原子点阵在每个阵点上
只有一个原子，第s个原子相对于 它平衡时的位移是Us。第ｓ个原 子所受到的来自第s+p个原子的作 用力与它的对位移 us us p 成正比
这个边界条件的意思是相当于将晶体的 首位相接构成一个园环,第0个原子与第N个 原子重合。
us usn
即 u。 un ， u1 un1
因此此边界条件又称为循环边界条件，经过这

固体理论讲义课件

1.自旋波图像
• 每一格点具有自旋角动量的晶格系统称为自旋晶格系统 由于交互作用，自旋晶格系统的基态是磁性离子自旋排列的
依赖相邻磁离子自旋取向 最常见的简单磁有序状态：铁磁序、反铁磁序、铁淦氧磁序
固体理论讲义课件
系统受到微扰后的低激发态是什么形式？
^
• 设铁磁体中某一格点上的自旋 S l 因扰动偏离量子化轴，
a(r l)为瓦尼尔函数。
根据二次量子化的标准手续，交互作用为
Hex12l,l'
' 'Jll'ClCl'Cl''Cl'
,'
Jll' e2
a*(rl)a(rl')a*(r'l')a*(r'l)d3rd3r' |rr'|
为两体库仑
对于绝缘体，无电子转移，每一个格点上只可能有一个 未配对的d电子，应有d电子的单占据条件：
固体理论讲义课件
(2) 海森堡哈密顿量的推导
• 狄拉克在二十年代从理论上严格导出了海森堡模型。 他考虑的是磁性绝缘体，即电子处于局域化状态。 下面介绍s=1/2的推导：
• 设晶体中有N个格点，每个格点上的离子只有一个未配 对的局域态d电子。态矢量可用瓦尼尔函数作基函数表示：
(r) Cl a(r l) l ,
^^
^
^
^^
H e x 2 J 12 s 1 is 2 j 2 J 12 s 1 i• s 1 j 2 J 1S 2 1 • S 2
ij
固体理论讲义i课件
j
^
^^
^
其中 S1，s1i,S2 s2j分别为两格点 总上 自离 旋子
i
j

2012-固体理论第二章声子-第二讲


同理有：
第二章 声子
T6 x
T2 y
T4 z
2
uy t2
T5 T4 T3 2 uz x y z t2
34
弹性动力学方程为第：二章 声子
T1 x
T6 y
T5 z
2 ux t2
T6 x
T2 y
T4 z
2 uy t2
(1)
T5
x
T4 y
T3 z
u(x dx) - u(x) du(x)
dx
dx
23
第二章 声子
因应变产生的恢复力为：
F (x) Y du(x) dx
du(x dx) F (x dx) Y
dx 24
第二章 声子
考虑dx段，质量为ρdx，运动方程为：
F
(
x)
F
(
x
d
x)
d
x
d
2u ( x,t dt2
)
dx d 2u(x,t) Y[ du(x,t) du(x d x,t)]
ul
(Rl'
Rl
)
u (r) r
rl
1
4
l,l'
(u
α l'
u
α l
)
(l
l'
)(
u
β l'
u
β l'
)
,
1
4
l,l' ,
(Rl'
Rl )
u (r) r
rl
(l
l')(
(Rl'
Rl
)
u (r) r
rl
)
1
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T1 T 2 T3 T4 T5 T 6
17
第二章 声子
sij为弹性柔顺系数，实际是一个四阶对 称张量sikjl ，单位为m2/N。
sikjl应该有81个分量，做了简化处理后， sij有36个分量。 由对称性，sikjl独立的分量最多为21个
h
18
第二章 声子
{(Rl' Rl) (l l' )(
(Rl'
Rl )
)}u (r) r
rl
u (r) r
)
rl
1 2 l,l' ,
{
1 2
(Rl'
Rl
)
(l
l'
)(
(Rl'
Rl )
)}u (r) r
rl
u (r) r
)
rl
h
7
第二章 声子
1Ω
2l
, ,
C;
u (r) r
rl
u (r) r
rl
s11
s 21 s31
s
4
1
s
51
s61
s12 s 22 s32 s 42 s52 s62
s13 s 23 s33 s 43 s53 sh 63
s14 s 24 s34 s 44 s54 s64
s15 s 25 s35 s 45 s55 s65
s16 s 26 s36 s 46 s56 s66
上式也可简化为：
6
Si sijTj (i 1,2,6) j1
h
19
第二章 声子
广义虎克定律也可表示为：
T1
T
2
T
3
T4
T
5
T6
c11
c 21 c31
c
41
c
5
1
c 61
c12 c 22 c32 c 42 c52 c62
c13 c 23 c33 c 43 c53 c63
经典专著推荐阅读
Solid State Theory
Walter A. Harrison
Professor of Applied Physics Stanford University
McGraw-Hill Book Company
h
1
第二章 声子
§2.5 长波方法（一）——声学模
长波近似下的声子有着重要的作用。
T、S均只有6个独立分量
h
14
第二章 声子
可以令： 三个法向应力： T11T1; T22T2; T33T3;
三个切向应力： T23T4; T13T5; T12T6;
TT (1 ,2,3,4,5,6)
T
11
T 12
T 13
T T 21 T 22 T 23
T 31 Th 32 T 33
h
12
第二章 声子
应变张量S为无量纲参数：
S
11
2 S12
2 S13
S 2S 21 S 22 2S 23
2 S 31 2 S 32 S 33
h
13
第二章 声子
由于Tij=Tji; Sij=Sji 即T23=T32 、T12=T21 、T13=T31
S23=S32 、S12=S21 、S13=S31
15
第二章 声子
可以令： 三个法向应变： S11S1; S22S2; S33S3;
三个切向应变： 2S23S4; 2S13S5; 2S12S6;
SS(1 ,2,3,4,5,6)
h
16
第二章 声子
T、S的关系在弹性限度范围内是线性的， 即满足广义虎克定律：
S1
S
2
S
3
S4
S
5
S 6
声频支代表同一原胞中各基元（原子）的 质心运动，
复式晶格的声学模也可以用简单晶格方法 进行处理，只需认为M是原胞中原子的总质量。
h
2
第二章 声子
对于长波长的晶格振动，其振幅在原胞 间缓慢变化，晶体结构的原子性对此影响不 大。可以过渡到连续介质模型：
引入位移场： u(r )
则有： r Rl ( r l )
h
10
第二章 声子
具体求解弹性问题时，
首先应该考虑对称性，
确定弹性系数之间的关系，
简化势能密度的表达式。
h
11
第二章 声子
晶体的弹性行为可以用应力T、应变S 描述。 T、S均为二阶对称张量。
应力张量T的单位为：N/m2
T
11
T 12
T 13
T T 21 T 22 T 23
T 31 T 32 T 33
u
α l
u
(r )
rl
h
3
第二章 声子
u(r)也是t的函数，作泰勒展开：
ulα' ul
(Rl'Rl)ur(r)rl
再定义密度为：
M Ω
h
4
第二章 声子
故动能可以改写为：
T 1 2
l
M
u l u l
Ω 1 u ( r l ) 2 l2
d
1 2
u
(
r
)
2
dΤ (r)
注意：Τ(r)1u (r)2
2
h
l
1u (rl)2 2
动能 密度
5
第二章 声子
晶体中的振动势能在简谐近似下较复杂：
(ll') 0
l'
(ll') (l'l)
13 Rl l1a1l2a2l3a3 liai
(l.l')u u i1 2l, l,'
αβ l l'
1 4
l,l'
(uαl'uαl )(ll')(uβl'uβl')
,
h
6
第二章 声子
uαl' ul
(Rl'
Rl
)
u (r) r
rl
1 4
l,l'
(uαl' uαl ) (l l' )( uβl' uβl' )
,
1 4
l,l' ,
(Rl'
Rl )
u (r) r
rl
(l l'
)(
(Rl'
Rl
)
u (r) r
rl
)
1 2 2
l,l' ,
c14 c15 c16 c24 c25 c26 c34 c35 c36 c44 c45 c46 c54 c55 c56 c64 c65 c66
S1
S
2
S
3
S4
S
5
S 6
h
20
或者：
第二章 声子
6
Ti cijSj (i1,2,6) j1
cij为弹性刚度系数，单位为N/m2，分 量形式与sij是一样的，其中独立的分量也 是21个。
h
21
第二章 声子
例：一维连续介质中的弹性波 a）导出弹性波的波动方程，证明波速：
v Y
Y是杨氏模量，ρ为质量密度 b）证明对于一维单原子链。在长波极 限下，Y和力常数k有关系：
Y＝ka a为点阵常数
h
22
第二章 声子
解： a)设一准 连 续介 质 ，x点 的位 移为 u(x)， x+dx的位移为u(x+dx)，应变为：ຫໍສະໝຸດ d, ,1
u (r)
2C; r
rl
u (r) r
rl
h
8
第二章 声子
参数C为弹性系数：
1
C ; 2 l' (l l)'R ( l ' R l) (R l ' R l)
势能密度：
(r),12C ;ur (r)ur(r) ,
h
9
第二章 声子
(r)是应变u(r)的二次函数； r
(r)为形变能密度