2012高一数学必修2第二章测试题及答案解析

第二章单元测试题、选择题1．若直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是 ( )A .相交B .平行C .异面D .平行或异面2 .平行六面体ABCD -A i B i C i D i 中，既与AB 共面也与CC i 共面的棱 的条数为 ( ) A .3 B .4 C .5 D . 64.长方体ABCD — A i B i C i D i 中，异面直线AB,A i D i 所成的角等于()A. 30° B . 45° C . 60° D . 90° 5.对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面a,使得() A . a? a ， b? a B . a? a, b 〃a C.a 丄 a, b 丄 a D . a? a, b 丄 a6. 下面四个命题：① 若直线 a b 异面 b c 异面 则 a c 异面；② 若直线 a b 相交 b c 相交 则 a c 相交；③ 若a // b ，则a , b 与c 所成的角相等；④ 若a 丄b , b 丄c ,则a / c.其中真命题的个数为()A . 4B . 3C . 2D . i 7. 在正方体 ABCD —A i B i C i D i 中EF 分别是线段 A i B i B i C i 上的 不与端点重合的动点，如果 A i E = B i F ,有下面四个结论：① EF 丄 AA i ;® EF // AC ;③ EF 与 AC 异面；④ EF //平面 ABCD. 其中一定正确的有 ( )A. ①② B .②③ C .②④ D .①④B .8设a , b 为两条不重合的直线，a, B 为两个不重合的平面，下列命 题中为真命题的是( )A .若a , b 与a 所成的角相等，贝S a //bB .若 a / a, b / 伏 a// B,则 a / bB. 若 a? a, b? B a / b ,贝U a// [33. 已知平面a 和直线I ，则 A .平行 B .相交 a 内至少有一条直线与1(C .垂直D .异面D .若a丄a, b丄3 a丄3贝y a丄b9.已知平面a丄平面厲aQ B= l，点A€ a, A?l，直线AB II l，直线AC 丄l，直线m// a n//伏则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A . AB//m B. AC 丄m C. AB// B D. AC 丄B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上)14. 正方体ABCD —A i B i C i D i中，二面角G —AB-C的平面角等于15. ______________________________________________________ 设平面a//平面B, A, C€ a, B , D € B,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面a B之间，AS= 8 , BS= 6 , CS= 12 ,则SD= _______________16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD —C,有如下四个结论：①AC丄BD :②厶ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角;④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是_________ .三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （10分）如下图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，△ ABC与厶A i B i C i 都求证：（1）平面AB i F i //平面C i BF;⑵平面AB i F i丄平面ACC i A i.18. (12分)如图所示，边长为2的等边△ PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC = 2 2 M为BC的中点.(1)证明：AM丄PM;⑵求二面角P-AM —D的大小.详解答案1［答案］D2［答案］C［解析］AB与CC i为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CG相交的有：CD、C1D1与CC i平行且与AB相交的有：BB i、AA1，第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3［答案］C［解析］1°直线I与平面a斜交时，在平面a内不存在与I平行的直线，二A错；2°l? a时，在a内不存在直线与I异面，二D错；3°l // a时，在a内不存在直线与I相交.无论哪种情形在平面a内都有无数条直线与I垂直.4［答案］D［解析］由于AD // A i D i，则/ BAD是异面直线AB, A i D i所成的角，很明显/ BAD = 90°5［答案］B［解析］对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a, b不相交，则a与b平行或异面，都存在a,使a? a, b // a, B正确；对于选项C, a丄a, b± a, 一定有a/ b, C错误；对于选项D , a? a, b丄a 一定有a丄b , D错误.6［答案］D［解析］异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a / c ,而在空间中，a与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误.7［答案］D［解析］如图所示.由于AA i丄平面A i B i C i D i , EF?平面A i B i C i D i,则EF丄AA i,所以①正确；当E, F分别是线段A1B1, B1C1 的中点时，EF// A i C i, 又AC// A i C i，贝S EF II AC，所以③不正确；当E, F分别不是线段A i B i, B i C i的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A iB iC iD i I平面ABCD, EF?平面A i B i C i D i，所以EF //平面ABCD，所以④正确.8［答案］D［解析］选项A中，a, b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a, b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，a, B还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a丄a a丄则a // B或a? B,贝卩B内存在直线I I a,又b± B,则b±I，所以a丄b.9［答案］Ci3［答案］an片ABi4［答案］45°［解析］如图所示，正方体ABCD — A i B i C i D i 中，由于BC 丄AB , BC i 丄AB ,贝卩/C i BC 是二面角C i — AB — C 的平面角.又△ BCC i 是等 腰直角三角形，则/ C i BC = 45°i5［答案］9T all AC // BD ,则Ah SD ，A 6=SD ，解得 SD = 9i6［答案］①②④［解析］如图所示，①取BD 中点，E 连接AE , CE ,则BD 丄AE , BD 丄CE ,而 AE A CE = E ,「. BD 丄平面 AEC , AC?平面 AEC , 故 AC 丄BD ，故①正确.②设正方形的边长为a,则AE= CE=_2a.由①知/ AEC= 90°是直二面角A-BD —C的平面角，且/ AEC = 90° 二AC= a,•••△ ACD是等边三角形，故②正确.③由题意及①知，AE丄平面BCD，故/ ABE是AB与平面BCD 所成的角，而/ ABE=45°所以③不正确.④分别取BC, AC的中点为M, N,连接ME, NE, MN.1 1贝S MN // AB, 且MN = 2AB= qa,〃厂 1 1ME / CD，且ME = 2CDpa,•••/ EMN是异面直线AB, CD所成的角.在Rt A AEC 中，AE= CE=今a, AC= a,1 1••• NE = 2AC = 2a. MEN 是正三角形，二/ EMN = 60° 故④正确.17［证明］(1)在正三棱柱ABC—A1B1C1中，T F、F1分别是AC、A1C1的中点，•B1F1 // BF, AF1 // GF.又••• B1F1 n AF1 = F1, C1F n BF=F,•平面AB1F1 //平面GBF.(2)在三棱柱ABC—A1B1C1 中，AA1 丄平面A1B1C1,「. BF 丄AA「又B1F1 丄A1C1, A1C1 n AA1 = A1,•B1F1X平面ACC1A1，而B1F1?平面ABF,「•平面AB i F i 丄平面ACC i A i .18［解析］(1)证明：如图所示，取 CD 的中点E ,连接PE , EM , EA ,•••△ PCD 为正三角形，••• PE 丄CD , PE = PDsin /PDE = 2sin60=^3.•••平面PCD 丄平面ABCD ,• P E 丄平面 ABCD ，而 AM?平面 ABCD ,「. PE 丄AM. T 四边形ABCD 是矩形，• △ ADE , △ECM , △ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得 EM = 3, AM = 6, AE = 3,• EM 2 + AM 2 = AE 2. • AM 丄 EM.又 PEA EM = E ,「. AM 丄平面 PEM ,「. AM 丄PM.(2)解：由(1)可知EM 丄AM , PM 丄AM ,• / PME 是二面角P - AM — D 的平面角.•二面角P — AM — D 的大小为45°• tan/ PME PE = 3= EM = 3=• / PME = 45°。

第二章综合检测题一、选择题1.若直线a与b没有公共点,则a与b得位置关系就是()A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面得棱得条数为()A.3B.4C.5D.63.已知平面α与直线l,则α内至少有一条直线与l()A.平行B.相交C.垂直D.异面4.长方体ABCD－A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成得角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°5.对两条不相交得空间直线a与b,必存在平面α,使得()A a⊂α,b⊂αB a⊂α,b∥αC a⊥α,b⊥αD a⊂α,b⊥α6.下面四个命题:①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;③若a∥b,则a,b与c所成得角相等;④若a⊥b,b⊥c,则a∥c、其中真命题得个数为()A.4B.3C.2D.17.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别就是线段A1B1,B1C1上得不与端点重合得动点,如果A1E＝B1F,有下面四个结论:①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD、其中一定正确得有()A.①②B.②③C.②④D.①④8.设a,b为两条不重合得直线,α,β为两个不重合得平面,下列命题中为真命题得就是()A.若a,b与α所成得角相等,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b9.已知平面α⊥平面β,α∩β＝l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,n∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立得就是A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β10已知正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1得中点,那么直线AE与D1F所成角得余弦值为()A .－45B 、 、35C 、34D .－3511.已知三棱锥D －ABC 得三个侧面与底面全等,且AB ＝AC ＝3,BC ＝2,则以BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面得二面角得余弦值为( )A 、33B 、13 C.0 D.－1212.如图所示,点P 在正方形ABCD 所在平面外,P A ⊥平面ABCD ,P A ＝AB ,则PB 与AC 所成得角就是( )A.90°B.60°C.45°D.30°二、填空题13.下列图形可用符号表示为________.14.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,二面角C 1－AB －C 得平面角等于________.15.设平面α∥平面β,A ,C ∈α,B ,D ∈β,直线AB 与CD 交于点S ,且点S 位于平面α,β之间,AS ＝8,BS ＝6,CS ＝12,则SD ＝________、16.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 就是等边三角形;③AB 与平面BCD 成60°得角;④AB 与CD 所成得角就是60°、其中正确结论得序号就是________.三、解答题17.如下图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ,F 、F 1分别就是AC ,A 1C 1得中点.求证:(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ;(2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1、18如图所示,在四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,AB ＝4,BC ＝3,AD ＝5,∠DAB ＝∠ABC ＝90°,E 就是CD 得中点.(1)证明:CD ⊥平面P AE ;(2)若直线PB 与平面P AE 所成得角与PB 与平面ABCD 所成得角相等,求四棱锥P －ABCD 得体积.19如图所示,边长为2得等边△PCD 所在得平面垂直于矩形ABCD 所在得平面,BC ＝22,M 为BC 得中点.(1)证明:AM ⊥PM ;(2)求二面角P－AM－D得大小.20如图,棱柱ABC－A1B1C1得侧面BCC1B1就是菱形,B1C⊥A1B、(1)证明:平面AB1C⊥平面A1BC1;(2)设D就是A1C1上得点,且A1B∥平面B1CD,求A1D DC1得值.21如图,△ABC中,AC＝BC＝22AB,ABED就是边长为1得正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G,F分别就是EC,BD得中点.(1)求证:GF∥底面ABC;(2)求证:AC⊥平面EBC;(3)求几何体ADEBC得体积V、22如下图所示,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,AA1＝4,点D就是AB得中点.(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求异面直线AC1与B1C所成角得余弦值.详解答案1[答案] D2[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行得直线,因此只有两类:第一类与AB平行与CC1相交得有:CD、C1D1与CC1平行且与AB相交得有:BB1、AA1,第二类与两者都相交得只有BC,故共有5条.3[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行得直线,∴A错;2°l⊂α时,在α内不存在直线与l异面,∴D错;3°l∥α时,在α内不存在直线与l相交.无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.4[答案] D[解析]由于AD∥A1D1,则∠BAD就是异面直线AB,A1D1所成得角,很明显∠BAD＝90°、5[答案] B[解析]对于选项A,当a与b就是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,D错误.6[答案] D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确;对于④,在平面内,a∥c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.7[答案] D[解析]如图所示.由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF ⊥AA1,所以①正确;当E,F分别就是线段A1B1,B1C1得中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F分别不就是线段A1B1,B1C1得中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.8[答案] D[解析]选项A中,a,b还可能相交或异面,所以A就是假命题;选项B 中,a,b还可能相交或异面,所以B就是假命题;选项C中,α,β还可能相交,所以C就是假命题;选项D中,由于a⊥α,α⊥β,则a∥β或a⊂β,则β内存在直线l∥a,又b⊥β,则b⊥l,所以a⊥b、9[答案] C[解析]如图所示:AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β、10[答案]35命题意图]本试题考查了正方体中异面直线得所成角得求解得运用.[解析]首先根据已知条件,连接DF,然后则角DFD1即为异面直线所成得角,设边长为2,则可以求解得到5＝DF ＝D 1F ,DD 1＝2,结合余弦定理得到结论.11[答案] C[解析] 取BC 中点E ,连AE 、DE ,可证BC ⊥AE ,BC ⊥DE ,∴∠AED 为二面角A －BC －D 得平面角又AE ＝ED ＝2,AD ＝2,∴∠AED ＝90°,故选C 、12[答案] B[解析] 将其还原成正方体ABCD －PQRS ,显见PB ∥SC ,△ACS 为正三角形,∴∠ACS ＝60°、13[答案] α∩β＝AB14[答案] 45°[解析] 如图所示,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,由于BC ⊥AB ,BC 1⊥AB ,则∠C 1BC 就是二面角C 1－AB －C 得平面角.又△BCC 1就是等腰直角三角形,则∠C 1BC ＝45°、15[答案] 9[解析] 如下图所示,连接AC ,BD ,则直线AB ,CD 确定一个平面ACBD 、∵α∥β,∴AC ∥BD ,则AS SB ＝CS SD ,∴86＝12SD ,解得SD ＝9、16[答案] ①②④[解析] 如图所示,①取BD 中点,E 连接AE ,CE ,则BD ⊥AE ,BD ⊥CE ,而AE ∩CE ＝E ,∴BD ⊥平面AEC ,AC ⊂平面AEC ,故AC ⊥BD ,故①正确.②设正方形得边长为a ,则AE ＝CE ＝22a 、由①知∠AEC ＝90°就是直二面角A －BD －C 得平面角,且∠AEC ＝90°,∴AC ＝a ,∴△ACD 就是等边三角形,故②正确.③由题意及①知,AE ⊥平面BCD ,故∠ABE 就是AB 与平面BCD 所成得角,而∠ABE ＝45°,所以③不正确.④分别取BC ,AC 得中点为M ,N ,连接ME ,NE ,MN 、则MN ∥AB ,且MN ＝12AB ＝12a ,ME ∥CD ,且ME ＝12CD ＝12a ,∴∠EMN 就是异面直线AB ,CD 所成得角.在Rt △AEC 中,AE ＝CE ＝22a ,AC ＝a ,∴NE ＝12AC ＝12a 、∴△MEN 就是正三角形,∴∠EMN ＝60°,故④正确. 17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∵F 、F 1分别就是AC 、A 1C 1得中点,∴B 1F 1∥BF ,AF 1∥C 1F 、又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1,C 1F ∩BF ＝F ,∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF 、(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1,∴B 1F 1⊥AA 1、 又B 1F 1⊥A 1C 1,A 1C 1∩AA 1＝A 1,∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1,而B 1F 1⊂平面AB 1F 1,∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1、18[解析](1)如图所示,连接AC ,由AB ＝4,BC ＝3,∠ABC ＝90°,得AC ＝5、 又AD ＝5,E 就是CD 得中点,所以CD ⊥AE 、∵P A ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以P A ⊥CD 、而P A ,AE 就是平面P AE 内得两条相交直线,所以CD ⊥平面P AE 、(2)过点B 作BG ∥CD ,分别与AE ,AD 相交于F ,G ,连接PF 、由(1)CD ⊥平面P AE 知,BG ⊥平面P AE 、于就是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成得角,且BG ⊥AE 、由P A ⊥平面ABCD 知,∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成得角. AB ＝4,AG ＝2,BG ⊥AF ,由题意,知∠PBA ＝∠BPF ,因为sin ∠PBA ＝P A PB ,sin ∠BPF ＝BF PB ,所以P A ＝BF 、由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知,AD ∥BC ,又BG ∥CD ,所以四边形BCDG 就是平行四边形,故GD ＝BC ＝3、于就是AG ＝2、在Rt △BAG 中,AB ＝4,AG ＝2,BG ⊥AF ,所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25,BF ＝AB 2BG ＝1625＝855、于就是P A ＝BF ＝855、 又梯形ABCD 得面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16,所以四棱锥P －ABCD 得体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515、19[解析] (1)证明:如图所示,取CD 得中点E ,连接PE ,EM ,EA ,∵△PCD 为正三角形,∴PE ⊥CD ,PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝3、∵平面PCD ⊥平面ABCD ,∴PE ⊥平面ABCD ,而AM ⊂平面ABCD ,∴PE ⊥AM 、∵四边形ABCD 就是矩形,∴△ADE ,△ECM ,△ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求得EM ＝3,AM ＝6,AE ＝3,∴EM 2＋AM 2＝AE 2、∴AM ⊥EM 、又PE ∩EM ＝E ,∴AM ⊥平面PEM ,∴AM ⊥PM 、(2)解:由(1)可知EM ⊥AM ,PM ⊥AM ,∴∠PME 就是二面角P －AM －D 得平面角.∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1,∴∠PME ＝45°、 ∴二面角P －AM －D 得大小为45°、20[解析](1)因为侧面BCC 1B 1就是菱形,所以B 1C ⊥BC 1,又已知B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1＝B ,所以B 1C ⊥平面A 1BC 1,又B 1C ⊂平面AB 1C所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 、(2)设BC 1交B 1C 于点E ,连接DE ,则DE 就是平面A 1BC 1与平面 B 1CD 得交线.因为A 1B ∥平面B 1CD ,A 1B ⊂平面A 1BC 1,平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝DE ,所以A 1B ∥DE 、又E 就是BC 1得中点,所以D 为A 1C 1得中点.即A 1D DC 1＝1、21[解] (1)证明:连接AE ,如下图所示.∵ADEB 为正方形,∴AE ∩BD ＝F ,且F 就是AE 得中点,又G 就是EC 得中点,∴GF ∥AC ,又AC ⊂平面ABC ,GF ⊄平面ABC ,∴GF ∥平面ABC 、(2)证明:∵ADEB 为正方形,∴EB ⊥AB ,又∵平面ABED ⊥平面ABC ,平面ABED ∩平面ABC ＝AB ,EB ⊂平面ABED ,∴BE ⊥平面ABC ,∴BE ⊥AC 、又∵AC ＝BC ＝22AB ,∴CA 2＋CB 2＝AB 2,∴AC ⊥BC 、又∵BC ∩BE ＝B ,∴AC ⊥平面BCE 、(3)取AB 得中点H ,连GH ,∵BC ＝AC ＝22AB ＝22,∴CH ⊥AB ,且CH ＝12,又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ,∴V ＝13×1×12＝16、22[解析] (1)证明:在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,底面三边长AC ＝3,BC ＝4,AB ＝5,∴AC ⊥BC 、又∵C 1C ⊥AC 、∴AC ⊥平面BCC 1B 1、 ∵BC 1⊂平面BCC 1B ,∴AC ⊥BC 1、(2)证明:设CB 1与C 1B 得交点为E ,连接DE ,又四边形BCC 1B 1为正方形.∵D 就是AB 得中点,E 就是BC 1得中点,∴DE ∥AC 1、 ∵DE ⊂平面CDB 1,AC 1⊄平面CDB 1, ∴AC 1∥平面CDB 1、(3)解:∵DE ∥AC 1,∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成得角.在△CED 中,ED ＝12AC 1＝52,CD ＝12AB ＝52,CE ＝12CB 1＝22,∴cos ∠CED ＝252＝225、∴异面直线AC 1与B 1C 所成角得余弦值为225、。

高二周末检测题一、选择题1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A ．三条交线为异面直线B ．三条交线两两平行C ．三条交线交于一点D ．三条交线两两平行或交于一点4. 在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、 能相交于点P ，那么 （ ）A 、点P 必在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面BCD 内 D 、点P 必在平面ABC 外5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l ，且点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题是( )A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的直线在α内C ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1； ②EF ∥AC ； ③EF 与AC 异面； ④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．69．如右图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( ) A ．与AC 、MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与AC 、MN 均不垂直10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V11．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形ABCD 一定是 .14．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 .15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕．Q PC'B'A'C BA使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________．(2)∠BAC＝________.16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题17、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.18．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．21．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.高二周末检测题答一、选择题 1-5 BDDAB 6-10 DDBAB 11-12 DC 二、填空题13、菱形 14、90° 15、(1)BD ⊥CD (2)60° 16、①③④ 三、解答题17、证明：(1)∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD . ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC ， 又∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .18、[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PEEM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.19[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件． [证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20.(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.21[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE . (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。

（数学2必修）第一章 空间几何体[基础训练A 组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示；这个几何体应是一个( )A .棱台B .棱锥C .棱柱D .都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）AB. C. D. 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5；且它的8个顶点都在 同一球面上；则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）AB2 C．2:D35．在△ABC 中；02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=；若使绕直线BC 旋转一周；则所形成的几何体的体积是（ ）A.92π B. 72π C. 52π D. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面；且侧棱长为5；它的对角线的长 分别是9和15；则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面；面数最少的一个棱锥有 ________个顶点； 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

主视图 左视图 俯视图2．若三个球的表面积之比是1:2:3；则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中；O 是上底面ABCD 中心；若正方体的棱长为a ； 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4．如图；,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心；则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。

5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6；这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15；则它的体积为___________.三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用）；已建的仓库的底面直径为12M ；高4M ；养路处拟建一个更大的圆锥形仓库；以存放更多食盐；现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。

第二章 2.1 2.1.1基础巩固一、选择题1．空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点[答案] C2.如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α[答案] A[解析]观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．3．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是()A．①④B．②③C．④D．③[答案] C[解析]①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．4.如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ等于()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上都不对[答案] C[解析]由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.5．若一直线a在平面α内，则正确的图形是()[答案] A6．下图中正确表示两个相交平面的是()[答案] D[解析]A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．二、填空题7．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系：(1)点C与平面β：________.(2)点A与平面α：________.(3)直线AB与平面α：________.(4)直线CD与平面α：________.(5)平面α与平面β：________.[答案](1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α＝B(4)CD⊂α(5)α∩β＝BD8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是________(填序号)．(1)直线AC1在平面CC1B1B内．(2)设正方体ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1.(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1.(4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．[答案](2)(3)(4)[解析](1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B．(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．三、解答题9．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．[分析][解析]已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证明：方法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.因为B∈AB，C ∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α.因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．方法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC，所以B∈α.又A∈α，同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．方法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．规律总结：1.利用公理2及三个推论，可以确定平面及平面的个数，公理中要求“不共线的三点”，推论1要求“平面外一点”，推论2要求“两条相交直线”，推论3要求“两条平行线”，因此对公理、推论的条件和结论必须理解清楚．2．对于证明几个点(或几条直线)共面的问题，在由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，只要再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．10.如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．[解析]∵AB∥CD，∴AB，CD共面，设为平面β，∴AC在平面β内，即E在平面β内．而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据公理3可得，B，D，E三点共线．能力提升一、选择题1．(2015·天津武清月考)下列说法正确的是()A．两两相交的三条直线确定一个平面B．四边形确定一个平面C．梯形可以确定一个平面D．圆心和圆上两点确定一个平面[答案] C[解析]因为梯形的两腰是相交直线，所以根据确定平面的条件，梯形应确定一个平面．2．下列命题正确的是()A．两个平面如果有公共点，那么一定相交B．两个平面的公共点一定共线C．两个平面有3个公共点一定重合D．过空间任意三点，一定有一个平面[答案] D[解析]如果两个平面重合，则排除A、B；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取3个点都是两个平面的公共点，故排除C；而D中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这3个点．3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④[答案] D[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．4．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D[答案] D[解析]A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．二、填空题5．过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定的平面的个数是________.[答案] 6[解析]如图．6.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．[答案](1)BD(2)AC[解析](1)若EH∩FG＝P，那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD ＝BD，所以P∈BD．(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC．三、解答题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：(1)E 、C 、D 1、F 、四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点． [证明] (1)分别连结EF 、A1B 、D 1C ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ， ∴四边形A 1D 1CB 是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1. EF 与CD 1确定一个平面． ∴E 、F 、D 1、C 四点共面． (2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P ， ∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ，∴P ∈平面AA 1D 1D ． 又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ，∴P ∈平面ABCD ， 即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝直线AD ，∴P ∈直线AD (公理3)，∴直线CE 、D 1F 、DA 三线共点．8．(2015·江苏淮安模拟)如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出直线l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求线段PB 1的长．[解析] (1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．(2)∵M 为AA 1的中点，AD ∥ED 1， ∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a . ∵A 1P ∥D 1N ，且D 1N ＝12a ，∴A 1P ＝12D 1N ＝14a ，于是PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a .。

双基限时练(二十六)一、选择题1．已知a 2＋b 2＝12c 2，则直线ax ＋by ＋c ＝0与x 2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离解析 圆心到直线的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝2＜2∴直线与圆相交，又c ≠0(否则a ＝b ＝c ＝0)， ∴圆心不在直线上． 答案 A2．设直线l 过点(－2,0)，且与x 2＋y 2＝1相切，则l 的斜率为( ) A ．±1 B ．±12 C ．±33D ．±3解析 如图可知|OA |＝2，r ＝1，∴∠P AO ＝30°＝∠QAO . ∴切线l 的斜率为±33.答案C3．若圆心在x轴上，半径为5的圆位于y轴左侧，且与直线x ＋2y＝0相切，则圆O的方程为()A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5解析设圆心(a,0)(a＜0)，由题意，得5＝|a|12＋22，得|a|＝5，即a＝－5.所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.答案D4．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，则a等于()A. 2 B．2－2C.2－1D.2＋1解析由题可得|a－2＋3|12＋(－1)2＝4－(3)2＝1，得a＝2－1或a＝－2－1(舍)．答案C5．如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是()A．P在圆外B．P在圆上C．P在圆内D．P与圆的位置关系不确定解析由题意，得4a2＋b2＜2，得a 2＋b 2＞4，即点P (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4外． 答案 A6．设圆x 2＋y 2－8x －9＝0的弦AB 的中点为P (5,2)，则直线AB 的方程为( )A ．2x －5y ＝0B ．2x －y －8＝0C ．x ＋2y －9＝0D ．5x －2y －21＝0解析 ∵x 2＋y 2－8x －9＝0可化为(x －4)2＋y 2＝25 ∴圆心为C (4,0)，故k PC ＝2－05－4＝2.又PC ⊥AB ，∴k AB ＝－12.故AB 所在的直线方程为y －2＝－12(x －5)． 即x ＋2y －9＝0. 答案 C 二、填空题7．圆心为(1,2)且与5x －12y －7＝0相切的圆的方程为________． 解析 由题可知，(1,2)到5x －12y －7＝0的距离d ＝|5－12×2－7|52＋(－12)2＝2613＝2，故所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4. 答案 (x －1)2＋(y －2)2＝48．直线2x ＋y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 圆心O 到2x ＋y ＋5＝0的距离d ＝|5|22＋12＝5，即|AB |＝29－5＝4.答案 49．已知⊙C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，过点A (－1,0)的弦中，弦长的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________.解析 弦长的最大值M ＝2r ＝10，当弦与过A 点与圆心的连线垂直时弦取得最小值m ，此时m ＝2·25－[(－1－2)2＋(0＋3)2]＝27， 故M －m ＝10－27. 答案 10－27 三、解答题10．求过(2,3)点，且与(x －3)2＋y 2＝1相切的直线方程． 解 当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2， 此时l 与圆(x －3)2＋y 2＝1相切，当l 的斜率存在时，设l ：y －3＝k (x －2)， 即kx －y －2k ＋3＝0. 由题意，得|3k －2k ＋3|k 2＋1＝1， 得k ＝－43，故l 的方程为y －3＝－43(x －2)， 综上得所求的切线方程为x ＝2，或4x ＋3y －17＝0.11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，求k 的取值范围．解如图，设题中圆的圆心为C(2,3)，作CD⊥MN于D，则|CD|＝|2k|1＋k2，于是有|MN|＝2|MD|＝2|CM2|－|CD|2＝24－4k21＋k2≥23，即4－4k21＋k2≥3，解得－33≤k≤3 3.12．直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为45，求l的方程．解设所求的圆的方程为y－5＝k(x－5)，即：kx－y－5k＋5＝0，∵直线与圆截得的弦长为45，∴圆心到直线的距离为25－20＝ 5.即|5－5k|k2＋1＝ 5.得k＝2或k＝12.∴所求的直线方程为2x－y－5＝0或x－2y＋5＝0.思维探究13．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，l被圆C截得的弦为AB，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．解不妨设直线方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程与圆的方程联立，消去y，可得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b －4＝0，∴x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝b 2＋4b －42， 故y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝b 2＋2b －42. ∵以AB 为直径的圆过原点，故OA ⊥OB ，即k OA ·k OB ＝－1，整理可知x 1x 2＋y 1y 2＝0，故b 2＋4b －42＋b 2＋2b －42＝0，解之得b ＝－4，或b ＝1，验证知，此时Δ＞0，故存在这样的直线l ，其方程为y ＝x －4，或y ＝x ＋1.。

D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。

叫做垂足。

的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。

符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

所成的角。

2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。

三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

高一数学必修2第二章测试题一、选择题1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1B C 成60角5、若直线l 垂直平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是A 、l 垂直aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、以上三种A 、1B 、2C 、3D 、47、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么A 、点P 不在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个9、如图，是正方体的平面展开图，在这个正方体中有下列几个结论①BM//ED ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成600角 ④DM ⊥BN其中正确的结论的序号是（） A ，①②③ B ，②④ C ，③④ D ，②③④10、给出以下四个命题①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.其中真命题的个数是B 1C 1A 1D 1BA C D 11、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是A 、23B 、76C 、45D 、56 12、直线n m ,分别在两个互相垂直的平面βα,内，且a =⋂βα,m 和n 与a 不垂直也不平行，那么m 和n 的位置关系是（）A ．可能垂直，但不一定平行，B ，可能平行，但一定不垂直C ，可能垂直，可能平行，D ，一定不垂直，也一定不平行。

人教版高中数学必修二第二节习题答案及解析本文档将为你提供人教版高中数学必修二第二节题的答案和解析。

题答案1. 选项A2. 选项C3. 解: 首先，我们将方程的两端平方，得到\(16x^4 + 16 = 9x^2 + 6x\)经过整理得到\(16x^4 - 9x^2 - 6x + 16 = 0\)将上式分解为\((4x^2 - 3x - 4)(4x^2 + 3x - 4) = 0\)所以方程的解为\(x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{8}\)，选项B4. 解: 通过因式分解，我们可以得到\(a^2 + ab = a(a + b)\)。

又已知\(a + b = 3\)，所以\(a^2 + ab = a(a + b) = a \cdot 3 = 3a\)所以答案为选项D5. 解: 首先将等式两边开平方，得到\(2x - 5 = 4\sqrt{x} - 10 + 5\)化简得到\(2\sqrt{x} = 2\)两边同时除以2，得到\(\sqrt{x} = 1\)平方两边，得到\(x = 1\)所以答案为选项A题解析1. 这道题是关于二次函数的最值问题。

我们可以通过计算二次函数的导数或者利用二次函数的顶点公式来求得最值点的横坐标。

2. 这道题是关于统计学中的条件概率的问题。

我们需要利用已知条件和条件概率的定义来求解。

3. 这道题是关于二次方程的解的问题。

我们可以通过将方程化为标准形式然后用求根公式来解。

4. 这道题是关于因式分解的问题。

我们需要将给定的表达式进行因式分解，然后找出与给定条件相符的结果。

5. 这道题是关于方程的解的问题。

我们需要对给定的方程进行变形和化简，然后解得方程的根。

以上就是人教版高中数学必修二第二节习题的答案和解析。

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高一数学必修二第一、二章测试卷一、选择题：(每题5分共40分)1．不共面的四点可以确定平面的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．无法确定2．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．平行或异面3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( ) A．30°B．45°C．60°D．90°4．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错．误．的是()．A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°(第4题)5．关于直线m，n与平面 α，β，有下列四个命题：①m∥α n∥β 且 α∥β，则m∥n；②m⊥α n⊥β 且 α⊥β，则m⊥n；③m⊥α n∥β 且 α∥β，则m⊥n；④m∥α n⊥β 且 α⊥β，则m∥n．其中正确的序号是()．A．①②B．③④C．①④D．②③6．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中错误的．．．命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．47．下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面 α 内，则l∥α②若直线l与平面 α 平行，则l与平面 α 内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l 与平面 α 平行，则l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ）A ． 3B ． 223 C ． 6 D ．. 32二、填空题(每题5分共20分)1. (南京三模)已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是_______ _2．一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为88cm 2，则它的体积为___________． 2、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是4. 两个球的表面积之比是1：16，这两个球的体积之比为________三、解答题(共40分)1.(10分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上， 求证：BC ⊥平面PAC ；俯视图 正(主)视图 侧(左)视图2 3222、（20分）如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点．F 为PD 中点 (I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；(II) 求证：BE//平面PAD ．3、（10分）如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SA 底面ABCD ，E 是SC 上一点．求证：平面⊥EBD 平面SAC ；高一数学必修二第一、二章测试卷答案ED CBASA B CD E P F一、选择题：(每题5分共40分)1.C2.D3.D4.D5.D6.D7.B8.C 二、填空题(每题5分共20分)1. 22. 483. 12π4. 1：64三、解答题(共40分)1. 证明：∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC .2.证明：（1）由PA ⊥平面ABCD ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥A AD PA CDPA ）AD （CD 已知 ⇒⎭⎬⎫⊂⊥PAD CD PAD CD 面面 ⇒平面PDC ⊥平面PAD ；（2）由E 为PC 中点，得EF 为△PDC 的中位线，则EF//CD ，CD=2EF ．又CD=2AB ，则EF=AB ．由AB//CD ，则EF ∥AB ． 所以四边形ABEF 为平行四边形，则EF//AF ． 由AF ⊂面PAD ，则EF//面PAD ． 3.证明： ⊥SA 底面ABCD BD SA ⊥∴且AC BD ⊥ ∴SAC 平面⊥BD∴平面⊥EBD 平面SACAB CD EP F。