黎曼可积的周期函数的性质

连续函数可积连续函数可积是数学分析中的一个重要概念。

在数学中，函数可积性是研究函数在一定区间上的积分是否存在的问题。

而连续函数是一种在整个定义域上都保持连续性的函数。

那么，连续函数可积的概念就是指在一定区间上连续的函数是否具有可积性。

我们来了解一下连续函数的概念。

连续函数是指在其定义域上的每一个点上都保持连续性的函数。

也就是说，当自变量的取值在一个小的邻域内变化时，函数值也会在一个小的邻域内变化，没有突变或跳跃的现象。

而连续函数可积则是指在一定区间上的连续函数是否存在积分。

在数学分析中，我们使用定积分来研究函数的可积性。

定积分是求一个函数在一个区间上的面积的问题。

对于连续函数来说，如果其定义域上的每一个点都满足某种性质，即函数在该点的左极限和右极限都存在，那么该函数就是可积的。

这种性质被称为黎曼可积性。

黎曼可积性的概念是由19世纪的数学家黎曼提出的，他通过将区间划分成无穷多个小区间，并在每个小区间上取一个代表点来逼近函数的值，进而定义了黎曼积分的概念。

对于连续函数来说，黎曼积分可以通过求和的方式来计算，并且可以证明，如果函数在一个区间上连续，则该函数在该区间上是可积的。

连续函数可积的概念在实际问题中有着广泛的应用。

在物理学、经济学等领域中，很多问题都可以通过求解连续函数的积分来得到解决。

例如，在物理学中，我们可以通过求解连续函数的积分来计算物体的质量、速度、加速度等。

在经济学中，我们可以通过求解连续函数的积分来计算收益、成本、利润等。

然而，并不是所有的连续函数都是可积的。

在数学中，存在一些特殊的函数，它们在一定区间上的连续性并不能保证其可积性。

这些函数被称为不可积函数。

例如，狄利克雷函数就是一个在任何区间上都不可积的函数。

这些不可积函数的存在使得连续函数可积的问题变得更加复杂和有趣。

总结起来，连续函数可积是指在一定区间上连续的函数是否具有积分的性质。

连续函数可积的概念是数学分析中的一个重要概念，它可以通过定积分来进行研究。

Lebesgue积分与Riemann积分的比较欧阳学文1000449 陈佳龙 1003908 王珏 1000194 杜腾飞整个空间。

这种优越性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。

为更好地说明L积分与R积分的异同，我们有必要将R积分的定义在此描述。

R积分是这样定义的：.如果当时，和数不管分割如何取法，也不管如何取法，都有共同的极限，即则称此极限为函数从到的黎曼积分，记作，关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如张喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，对L积分的定义是先从有界函数的L积分着手，即定义有限可测集E的一个分划D，进而定义于D相关的小和数与大和数。

最后定义有界函数的上下勒贝格积分。

若上下积分相等，则称函数勒贝格可积。

就本文所列举的的两种定义而言，其中第一种定义模式仿照了黎曼积分的定义，而第二种以测度为基础，先定义简单函数的积分，进而定义一般函数的积分，此种方式也适用于一般测度空间上的积分。

在后面的相关论述中我们将主要选取第二种方式。

定义1：设勒贝格可测集E的勒贝格测度有限().设是E上有界可测函数()。

任取分点令任取若当时，和存在极限A，则称A 是在E上的勒贝格积分，简称L积分，记为由此可以看出与黎曼积分不同勒贝格积分是划分值域而不是划分定义域来求和的。

显然与黎曼函数不同，由于黎曼积分要求小区间的长度而勒贝格积分要求定义域的测度，故对定义在定义在多维有界可测集上的广义实函数这样定义其积分就显得自然流畅,而黎曼积分只能对“ 标准”的实函数定义积分。

第二种定义方式是基于勒贝格测度论与勒贝格函数论，先定义有界可测集上简单函数的勒贝格积分，进而定义一般可测函数的L积分，最后定义无限可测集上的可测函数的勒贝格积分。

此种定义，借助测度的性质及勒贝格可测函数的性质，对勒贝格积分性质的讨论自然流畅。

定义2.1 有界可测集E上简单函数L积分定义为，设E 上简单函数有表示其中等为互不相交的可测集，称和为简单函数在E上的积分，并记为有时可以简写成。

目录Riemann-Lebesgue引理及其应用 (1)摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1.Riemann-Lebesgue引理 (2)型式1 (2)型式2 (2)2.Riemann-Lebesgue引理的证明 (2)2.1Riemann和 (2)2.2 贝塞尔（Bessel）不等式 (4)2.3 Weierstrass逼近定理 (4)2.4 Fourier级数 (5)2.5 无界函数 (6)3.Riemann-Lebesgue引理在分析中的应用 (7)3.1 Riemann-Lebesgue引理在数学分析中的应用 (8)3.2 Riemann-Lebesgue引理在泛函分析中的应用 (13)参考文献 (15)１Riemann-Lebesgue引理及其应用数学计算机科学学院摘要鉴于Riemann-Lebesgue引理在近代分析中扮演着极为重要的角色，本篇论文从Riemann-Lebesgue引理谈起,论文的第一部分着重介绍Riemann-Lebesgue引理的两种型式及其等价形式；第二部分给出该引理的五种证明方法，并说明其在数学思维上的重要性；第三部分则介绍了Riemann-Lebesgue 引理在分析（数学分析和泛函分析）中的若干应用。

关键词Fourier级数；Riemann-Lebesgue引理；收敛定理；弱收敛The Riemann- Lebesgue Lemma and Its Applications ,Academy of Mathematics and Computer ScienceAbstract In view of the Riemann- Lebesgue lemma plays a very important role in modern analysis, this paper from the Riemann- Lebesgue lemma about the first part of the thesis focuses on two types of equivalent form of the Riemann-Lebesgue lemma; the second part of the five kinds of proof of the lemma is given, and its importance in mathematical thinking; the third part introduces the Riemann-the Lebesgue lemma in the analysis (mathematical analysis and functional analysis).Key words Fourier Series；Riemann-Lebesgue Lemma；Covergence Theorem；Weak Covergence.１２1.Riemann-Lebesgue 引理鉴于Riemann-Lebesgue 引理在近代分析中扮演的极重要角色，关于该引理的发现过程我们在此略去，下面我们直接给出该引理的表述： Riemann-Lebesgue 引理： 若f 为可积函数，则：lim()cos 0,lim ()sin 0,n n f x nxdx f x nxdx ∏-∏→∞∏-∏→∞==⎫⎰⎬⎰⎭实际上，Riemann-Lebesgue 引理有如下两种表现: 型式1:(有界区间) 若])2,0([1∏∈L f 则：201lim()cos 2n f x nxdx ∏→±∞∏⎰=201lim()sin 02n f x nxdx ∏→±∞=∏⎰其等价形式，即表为复数之形式：lim ()n f x ∧→±∞=201lim()sin 02n f x nxdx ∏→±∞=∏⎰型式2：（无界区间） 若1()f L R ∈则：lim ()n f x Λ→±∞=1lim()02inxn f x e dx ∞--∞→±∞=∏⎰由积分之连续性我们可有结论()10()f L R f C R Λ∈⇒∈ ()0C R ：表示所有连续函数满足在无穷点为0之集合。

狄利克雷函数不黎曼可积证明
狄利克雷函数是一种特殊的数学函数，它在数学上有着重要的应用。

然而，在黎曼积分的意义下，狄利克雷函数是不可积的。

本文将从数学推导的角度，给出狄利克雷函数不黎曼可积的证明。

首先，我们需要知道什么是黎曼可积。

在实数轴上，黎曼积分就是求一个函数在一个区间内的面积。

如果一个函数在一个区间上的振幅有限，那么它就是黎曼可积的。

然而，狄利克雷函数在任何一个有限的区间上都无法满足这个条件。

狄利克雷函数的定义是：
D(x) = { 1, x ∈ Q(有理数)
{ 0, x Q(无理数)
我们可以证明，狄利克雷函数在任何一个有限的区间上都无法满足振幅有限的条件。

考虑一个区间[a,b]，并且假设a和b都是有理数。

我们可以找到两个数列{p_n}和{q_n}，它们的值分别为有理数和无理数，并且满足：
p_1 < p_2 < … < p_n < …
q_1 < q_2 < … < q_n < …
p_n → b, q_n → b (n→∞)
此时，我们可以证明在[a,b]上狄利克雷函数的振幅为1。

因为在[a,b]上，D(x)只有在有理数点上取到1，而p_n和q_n都是有理数和无理数的交替排列，所以在[a,b]上，D(x)的取值将不断地在1和0之间震荡。

因此，在任何一个有限的区间上，狄利克雷函数的振幅都无限大，即狄利克雷函数不黎曼可积。

综上所述，狄利克雷函数不黎曼可积的证明是基于对振幅的分析，它的结论对于狄利克雷函数的研究具有重要的指导意义。

浅谈黎曼积分与勒贝格积分1 序言积分是整个分析数学中最基本的概念，我们已学过的积分有黎曼积分(简称R 积分)和勒贝格积分(简称L 积分)．黎曼积分产生于1854年，它对于处理诸如逐段连续函数以及一致收敛的级数来说是足够的．但对量子力学中的物理量与概率论中一般随机变量的数学期望是不够用的．而勒贝格积分是实变函数论的中心课题，由法国数学家勒贝格在20世纪初（1902年）提出来的．它是黎曼积分的推广与发展，是一种新型积分理论．它对于处理数学分析中的一些重要结果，如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿—莱布尼茨公式问题是相当灵活深刻与自然的．2 黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系2.1 积分定义首先我们从两种不同的分划来考察这两种积分．定义1)146145](1[-P 设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数，区间[]b a ,作分划b x x x a T n =<<<= 10:，将[]b a ,分成几部分，在每个小区间[]1,+i i x x 上任取一点i ξ，1,,1,0-=n i 记1--=∆i i i x x x ，作和)()(11i i n i i x x f -=--=∑ξσ．令)m ax (1i i x x -=+λ．如果对区间任意的分划与i ξ的任意取法，当0→λ时，σ趋于有限的极限I ，则称它为()x f 在[]b a ,上的黎曼积分，记为：dx x f R I ba⎰=)()(．而勒贝格积分有如下定理： 定理1)135](2[P 设()x f 是[]b a ,上的有界可测函数，()≤≤x f c d ．对于[]d c ,的分法，d y y y c n =<<<= 10，令[](){},,,;,max 111i i i i i ni y x f y b a x x e y y y <≤∈=-=∆--≤≤任取[]i i i y y ,1-∈η，则ini iy b a me dm x f ∑⎰=→∆=1],[lim)(η (ime 表示ie 的测度)此定理说明，勒贝格积分也如同建立黎曼积分那样，通过分划、近似求和、取极限三步来得到，但与黎曼积分不同之点是“分法”的不同．勒贝格积分是对函数值域[]d c ,进行分划．在集合[](){}i i i y x f y b a x x e <≤∈=-1,,;上，函数值()x f 变化不大，近似于()x f ，从而保证了极限i iy me ∑→∆ηlim的存在．而黎曼积分则是对定义区间[]b a ,的分划b x x x a n =<<<= 10，{}i ni x x ∆=∆≤≤1max ，取[]i i i x x ,1-∈ξ，此时，无论x∆怎样小，即分法无论怎样“细”，()x f 在[]i i x x ,1-上的变化可能是很大的．于是极限()ini ix xf ∆∑=→∆1limξ就有可能不存在，即黎曼不可积．因此有界可测函数虽然在[]b a ,上的勒贝格积分存在，但黎曼积分就不一定存在了．实质上，黎曼积分是将定义区间[]b a ,分成小区间[]i i x x ,1-，而勒贝格积分是将定义区间[]b a ,分成小的可测集i e ，()x f 虽在某个小的区间[]i i x x ,1-上可能变化很大，而在每个小集合i e 上可能变化很小．2.1 函数的可积范围勒贝格可积函数类比黎曼可积函数类广泛．勒贝格积分比较完整地扩充了黎曼积分，比较系统地克服了黎曼积分的某些缺陷．定理2)147](1[P 定义在有限区间上的函数若为R 可积，则必为L 可积，且积分值相等．（这说明勒贝格可积函数集是黎曼可积函数集的推广）．另外一方面，勒贝格可积却不一定黎曼可积．例1 函数()⎩⎨⎧=为有理数，若为无理数，若x x x D ,1,0在[]10，上有界但不是R 可积的，却是L 可积的． 证 显然[]1,0,1)(∈≤x x D ．对于[]10，的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间i ∆上，当取i ξ全为有理数时，1)(11=∆=∆∑∑==ni iin i ixx D ξ；当取i ξ全为无理数时，0)(1=∆∑=ini ixD ξ．所以不论T 多少小，只要点集{}i ξ取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即)(x D 在[]10，上R 不可积．可见黎曼可积函数类受到一定条件的限制． 而在L 积分定义下，此函数在[]10，上是勒贝格可积的，且 ()[]0)(1,0=⎰dm x D L ．可见勒贝格积分比黎曼积分的积分适应范围广．2.2 积分的可加性)101100](3[-P这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性．黎曼积分具有有限可加性，即若()n i E E E E i ni i ,,2,1,,1===，均为有限区间．(),j i E E j i ≠Φ= 则有()∑⎰⎰==ni E Eidx x f dx x f 1)(．但是黎曼积分不具有可数可加性．例如取 ()(],,2,1,1,11,1,11,1,0,1~=⎥⎦⎤⎝⎛+=⎥⎦⎤ ⎝⎛+===i i i E n E E x f i 则∞==1i iEE ， ni iEE 1~==， ()j i EE ji≠Φ= ，从而有1)(~+=⎰n ndx x f E， 1)()()()(211+=+++=⎰⎰⎰∑⎰=n ndx x f dx x f dx x f dx x f niE E E ni E ， 1)(=⎰dx x f E，=∑⎰∞=dx x f i E i1)( ++++⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f nE E E )()()(21++-+--++-+-=1111113121211n n n n 1≠， 所以,)()(~1dx x f dx x f Eni E i⎰∑⎰==dx x f dx x f Ei E i⎰∑⎰≠∞=)()(1．对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可数可加性，克服了黎曼积分的缺陷．我们有下面的定理做保证．定理3)101](3[P 设()x f 是有界可测集E 上的可积函数，∞=iiEE ，i E 等均可测且两两不相交，则有dm x f dm x f i E Ei∑⎰⎰∞==1)()(．对于这两种积分的可加性，究其原因，我们将不难理解．我们知道，R 积分建立在具有有限可加性的测度之上，L 积分建立在具有可数可加性的L 测度之上，因此也就反映到了相应的积分上来了．2.3 可积函数的连续性连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是连续函数．比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼可积的．非黎曼可积的函数的例子也是容易举出的．例如狄利克雷函数)(x D 就不是黎曼可积的．那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件．他将函数的可积性归结到了函数的内在性质——连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚．这个可积条件是：有界函数)(x f 在[]b a ,上黎曼可积的充要条件是)(x f 的不连续点集为零测度集．例如黎曼函数)(x R ⎪⎩⎪⎨⎧>==为无理数当为互质的整数）当x q p q q p x q ,0,,0(,1这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的．虽然在[]10，中有无穷多个有理点，而黎曼函数在[]10，上的不连续点有无穷多个，但这个函数在[]10，上仍然是黎曼可积的，且有⎰=100)(dx x R ，事实上，[]10，中的全体有理数组成一个零测度集．所以黎曼函数是黎曼可积的． 现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质．设)(x f 是可测集)(∞<⊂mE R E 上的连续函数，则)(x f 在E 上勒贝格可积⇔)(x f 在E 上勒贝格可测．那么勒贝格可积函数的连续性是怎样的呢？它与黎曼可积函数的连续性的区别在哪里？我们有下面的鲁津定理．设)(x f 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则对于任意0>δ，存在闭子集E E ⊂δ，使)(x f 在δE 上是连续函数，且δδ<-)(E E m ．从这个定理可以看出，在可测集E 上几乎处处有限的可测函数是基本连续的，或称为是近于连续的．因此勒贝格可积函数是近于连续的．对应于黎曼可积函数的情形，有0)(=-δE E m ．例如，在[]10，上定义的狄利克雷函数)(x D ： )(x D ⎩⎨⎧=为有理数，若为无理数，若x x ,1,0显然)(x D 是有界函数，但)(x D 在[]10，上无处连续，所以在[]10，上)(x D 的所有不连续点组成的集合为[]1,0=E ，且01≠=mE ，所以)(x D 不是黎曼可积的，但)(x D 是简单函数，所以)(x D 是可测的，从而)(x D 是勒贝格可积的．通过上面的讨论，黎曼积分与勒贝格积分的区别也就不难看出． 2.4 积分与极限的交换勒贝格积分较黎曼积分优越些．对于黎曼积分来说，积分求极限的问题，经常要求函数序列一致收敛（当然，这是充分条件），极限才可以与积分符号交换顺序．这从运算的角度看不仅不方便，限制也过强．而对于勒贝格积分，我们有勒贝格控制收敛定理，勒维定理．从这两个定理出发，我们可以得到对于非负可测函数项级数是可以逐项积分的．对于勒贝格积分来说，要使积分号与极限号能换序，无须一致收敛那样强的条件，只需可测函数列{}n f 几乎处处收敛(或更弱一些依测度收敛) ，且有可积的控制函数)(x g 就行．用狄利克雷函数)(x D 来说明，把[]10，中的有理点依次排列为 n r r r ,,,21， 做函数)(x D n ：)(x D n {}⎩⎨⎧∈=.,0,,,,121其余情形若n r r r x则{}N n n x D ∈)(几乎处处收敛于)(x D ，)(x D n ≤)(x D 且)(x D n .,0N n ∈≥因此在L 积分意义下，有[][]⎰⎰==∞→1,01,0.0)()()(limdm x D L dm x D n n但)(x D 不是R 可积的，就谈不上上述极限等式成立的可能性．尽管在R 积分意义下， ⎰=10,0)()(dx x D R n .N n ∈定理4)141](1[p （勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上可测函数列{})(x f n 满足下述条件：)(x f n 的极限存在，)(x f )(lim x f n n ∞→=，且有可积函数)(x g 使);)(()(N n E x x g x f n ∈∈≤，那么，f 可积且有dm x f dm x f En n E)(lim )(⎰⎰∞→=．例2)208](1[P 求极限⎰+∞→10522sin 1)(lim 21nxdx x n nx R n ．解 因为nx xn nx522sin 121+在[]1,0上连续，所以在[]1,0上R 可积．又因为 212121222252211sin 1-+=+≤+x xn nx x n nx nx x n nx ， []1,02121L x ∈≤-，0sin 1lim52221=+∞→nx xn nxn ，[]1,0∈x ． 由勒贝格控制收敛定理，得 ⎰+∞→10522sin 1)(lim 21nxdx x n nx R n=nxdm x n nx L n 5]1,0[22sin 1)(lim 21⎰+∞→=[]001,0=⎰dm ．定理5)138](3[P 设可测集E 上可测函数列{})(x f n 满足下面的条件：;)()(021 ≤≤≤x f x f ),()(lim x f x f n n =∞→则)(x f n 的积分序列收敛于)(x f 的积分：.)(lim )(dm x f dm x f n n E∞→=⎰定理6)137](1[P 设)(x f ，)(x u n ，)(N n ∈均为可测集E 上的非负可测函数，且)()(1x u x f n n ∑∞==，则.)()(1dm x u dm x f n En E∑⎰⎰∞==勒维定理用起来特别方便，在R 积分论中没有任何类似结果可与之比拟，试看一个简单例子．例4)207](1[P 设)(x f 0≥为可测函数,令 {}⎩⎨⎧=,0),()(x f x f n ,)(,)(n x f n x f >≤则当)(x f 几乎处处有限时,有{}⎰⎰=∞→EnEn dm x f dm x f )()(lim．证 令{}n n x f x f )()(=，则)(x f n )(,0x f n ≥单调上升,且几乎处处收敛于)(x f , 据勒维定理即知⎰⎰=∞→EEn n dm x f dm x f )()(lim ．2.5 牛顿—莱布尼茨公式数学分析中的牛顿-莱布尼茨公式 dt t f a f b f ba)()()('⎰=-．在数学分析中通常在)(x f 有连续导数的假定下证明上述公式．或者将条件减弱些，但总要求)('x f 为R 可积才行．可是对L 积分情形，可以在)('x f 为L 可积的条件下进行讨论，并且由可积函数可引进一种绝对连续函数概念，后者几乎处处存在有限导数．看以下定理:在通常数学分析中，对微积分学基本定理，即牛顿—莱布尼茨公式 ⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(成立所给的条件是很严的；)(x f 在[]b a ,上连续，)()('x f x F =，[]b a x ,∈，即)(x F 是)(x f 的任一原函数．换言之有定理7)143](2[P 若)('x F 在[]b a ,上连续，则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(定理的条件可减弱如下：定理8 若)(x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()()b a x x f x F ,,'∈=则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(定理9 若)(x f 在[]b a ,上可积(不一定连续)，且)()('x f x F =，[]b a x ,∈，则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(而勒贝格积分中的牛顿-莱布尼茨公式成立的条件为:定理10)144](2[P 若)(x F 在[]b a ,上可微，且)('x F 有界，则)()('x f x F =勒贝格可积，且⎰-=baa Fb F dm x f L ).()()()(定理10告诉我们，对于具有有界导数的函数，牛顿—莱布尼茨公式成立．以上四个定理均给出牛顿—莱布尼茨公式成立的充分条件．那么什么是该公式成立的充要条件呢？我们叙述结果之前先给出定义２)145](2[P 设)(x f 定义在[]b a ,上，如果0,0>∃>∀δε，使得对于[]b a ,上任意有限个互不相交的开区间族{}),(i i a b ，当δ<-∑)(i iia b时，就有ε<-∑ii i a f b f )()(成立，则称)(x f 是[]b a ,上的一个绝对连续函数．定理11)145](2[P 牛顿—莱布尼茨公式[].,),()()()('b a x a F x F dm t F L xa∈-=⎰成立的充要条件是)(x F 在[]b a ,上绝对连续．进而可得定理12)145](2[P 牛顿—莱布尼茨公式[].,),()()()(b a x a F x F dt t f R xa∈-=⎰成立的充要条件是：（1）)(x f 在[]b a ,上黎曼可积，（2）)(x F ∃，在[]b a ,上绝对连续，使得)()('x f x F =在[]b a ,上几乎处处成立．【附注】定理12的充要条件（2）可改为 (2'))(x F ∃在[]b a ,上满足莱布尼茨条件，使得)('x F )(x f =在[]b a ,上几乎处处成立．其中)(x F 满足莱布尼茨条件是指:,,,021x x c ∀>∃[]212121)()(,,x x c x F x F b a x x -<-⇒∈．由定理11, 定理12可知，)(x f 勒贝格可积是不定积分存在的充要条件；而黎曼可积与原函数存在之间并无必然的联系，即存在黎曼可积但无原函数的函数，也有原函数存在但黎曼不可积的函数．例5)7574](4[-P符号函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=.0,1;0,0;0,1)sgn(x x x x 在[]1,1-上是黎曼可积的，但函数)sgn(x 不存在原函数．例6函数)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0,0,0,1cos 21sin 2222x x x x x 存在原函数)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 2x x xx 但)(x f 在[]1,1-上不是R 可积的，因为221cos 2xx 在[]1,1-上无界． 所以说勒贝格积分在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越．3 总结综上所述，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且因为它所具有的独特的性质，解决了古典分析中许多解答不了的问题，使分析数学进入到现代分析时代．然而，随着函数论、概率论等各门学科的发展，也暴露出来勒贝格积分的局限性．数学的发展将是不可限量的．可以预测：随着依赖数学为基础的其他学科的发展，积分的发展也会越来越完善．参考文献[1] 郑维行，王声望．实变函数与泛函分析概要[M]．高等教育出版社，2004 [2] 朱玉堦．实变函数简编[M]．高等教育出版社，1987[3] 潘学锋．浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系[J]．甘肃联合大学学报，2007，09 [4] 汪秀荣．从黎曼积分、勒贝格积分看积分理论的发展[J]．广西师院学报，1996，09 [5] 张良勇，董晓芳．浅谈从黎曼积分到勒贝格积分的演变[J]．高等函授学报，2006，08 [6] 周成林．勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系[J]．新乡教育学报，2005，09 [7] 刘晓辉，刘文菡．勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性[J]．新余高专学报，2006，02 [8] Serge Lang ．Realand Function Analysis 3rd ed [M]．Spring-Verlag ，1997。

判断可积的三个条件在数学分析中，可积性是衡量一个函数是否能够被积分的重要指标。

在实际应用中，可积性是很重要的，因为它可以用来计算函数的面积，体积，概率等等。

可积性的研究是数学分析领域的基础理论之一。

在下面的文章中，我们将介绍判断一个函数是否可积的三个条件。

一、有界性在分析学中，如果一个函数在定义域上有界，则它是可积的。

这个条件也称为黎曼可积的充分条件之一。

所谓有界性，指的是函数的取值范围在一个确定的范围内，这个取值范围可以是有限的或无限的。

这个条件的意义在于，只有在函数取值有限的情况下，才能够保证函数的积分值也是有限的。

举个例子，如果一个函数 f (x) 在定义域 [a,b] 上有界，那么我们可以找到两个数M 和 m，使得M ≥ f (x) ≥ m 对于所有的x ∈ [a,b] 成立。

那么 f (x) 在 [a,b]上的积分值 I(f) 就可以用下面的公式来表示：I (f) = ∫a^b f (x) dx ≤ M (b - a)由于 M 和 m 都是有限的，因此 I(f) 也是有限的。

这就证明了有界性是判断一个函数是否可积的充分条件之一。

二、分段连续性所谓分段连续性，指的是函数的定义域可以分为有限个区间，在每个区间上函数是连续的，但在两个区间之间可能存在间断点。

对于一个分段连续的函数 f (x)，其在每个区间上的积分值可以通过黎曼积分来计算。

如果这些积分值都是有限的，则函数 f (x) 是可积的。

需要注意的是，分段连续性只是判断一个函数是否可积的必要条件之一，但并不是充分条件。

也就是说，如果一个函数是分段连续的，还需要满足其他条件才能够保证它是可积的。

三、可积性定理所谓达布可积性，指的是对于一个定义在区间 [a,b] 上的函数 f (x)，如果存在一个分割 {x0,x1,x2,...,xn}，使得满足：1、Δx = max (xi - xi-1) → 0 (i = 1,2,...,n)，即分割的区间越来越小；2、每个子区间 [xi-1, xi] 上的上积分和下积分之差越来越小，即：sup{U(f,P)} - inf{L(f,P)} → 0其中，U(f,P) 和 L(f,P) 分别表示在分割 P 下的上积分和下积分，sup 和 inf 分别表示上确界和下确界。

实变函数的可积性与积分的应用在数学中，实变函数是研究实数域上的函数的一门学科。

实变函数的可积性是指函数在某个区间上是否满足黎曼可积的性质。

黎曼可积是指函数在有限闭区间上的积分存在且有限。

本文将探讨实变函数的可积性以及积分在实际应用中的作用。

一、实变函数的可积性1. 可积函数的定义对于一个实变函数f(x)，如果存在一个有限值I，使得对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，当区间[a,b]的划分P满足P的每个子区间的长度小于δ时，对应的黎曼和S(f,P)满足|S(f,P)-I|<ε，那么称函数f(x)在区间[a,b]上是可积的。

2. 可积函数的性质可积函数具有以下性质：（1）有界性：可积函数在有限闭区间上必定是有界的。

（2）可积性的传递性：如果函数f(x)在区间[a,b]上是可积的，而在区间[b,c]上也是可积的，那么在区间[a,c]上也是可积的。

（3）可积函数的和与积：如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上是可积的，那么它们的和f(x)+g(x)和积f(x)g(x)在区间[a,b]上也是可积的。

二、积分在实际应用中的作用1. 几何应用积分在几何学中有着广泛的应用。

例如，通过计算曲线下的面积可以求解很多几何问题。

以一个简单的例子来说明，假设有一个曲线y=f(x)，我们想计算曲线与x轴之间的面积。

我们可以将曲线下的区域划分为无数个矩形，然后对每个矩形的面积进行求和，最后取极限得到曲线下的面积。

这个过程就是对函数f(x)进行积分的过程。

2. 物理应用积分在物理学中也有着重要的应用。

例如，计算物体的质量可以通过对密度函数进行积分来实现。

假设物体的密度是一个实变函数ρ(x)，我们可以将物体划分为无数个小体积，然后对每个小体积的质量进行求和，最后取极限得到整个物体的质量。

这个过程也是对函数ρ(x)进行积分的过程。

3. 统计学应用积分在统计学中也有着重要的应用。

例如，在概率密度函数中，积分可以用来计算某个随机变量落在某个区间内的概率。

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

黎曼积分存在的充要条件黎曼积分存在的充要条件是：1. 函数有界性：如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上是有界的，即存在一个正实数 M 使得对于该区间内的任意 x，都有|f(x)| ≤ M，那么 f(x) 在 [a, b] 上黎曼可积。

2. 函数的间断点有限性：如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上只有有限个间断点，即在这些点上函数值可能不存在或者有间断，但是除此之外是连续的，那么 f(x) 在 [a, b] 上黎曼可积。

3. 函数的振幅可积性：如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上的振幅 R(f) 定义为 R(f) = sup{|f(x) - f(y)| | a ≤ x, y ≤ b}，若R(f) = 0，即函数的振幅为零，那么 f(x) 在 [a, b] 上黎曼可积。

4. 函数的有限分割性：如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上任意给定一个正实数ε，都存在一个正实数δ，当任意一种分割方式Δ = {x0,x1,x2,...,xn} 使得其中任意两个相邻区间的长度都小于δ 时，对应的在每个子区间内选取的任意一点ξi，都满足|S(Δ, ξ) - I| < ε，其中S(Δ, ξ) 是黎曼和，I 是积分的值，那么 f(x)在 [a, b] 上黎曼可积。

以上是黎曼积分存在的充要条件。

这些条件在实际问题中具有重要的应用价值。

在进行黎曼积分时，我们需要首先判断函数是否满足上述条件，如果满足，便可以确定存在黎曼积分。

黎曼积分的存在性保证了我们可以对函数在闭区间上的面积进行合理的计算。

黎曼积分的概念是数学中非常重要的一部分，广泛应用于物理、经济学、工程等领域的实际问题中。

对于一些特殊函数，我们可以通过研究其连续性、有界性、间断点和振幅来确定其是否满足黎曼可积的条件。

这些条件为我们提供了判断和计算黎曼积分的基本工具。

总之，黎曼积分存在的充要条件是函数在闭区间上的有界性、有限间断点、振幅可积性以及有限分割性。