(完整版)黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是用来求解函数在某一区间上的定积分，但是它们的定义和性质有着很大的区别。

黎曼积分是一种传统的积分方法，它把定积分的计算问题转化
为一个求和问题，即将区间分成若干小段，然后对每一小段的函数
值乘以对应小段的长度求和来逼近定积分的值。

黎曼积分只适用于
满足黎曼可积条件的函数，也就是说，被积函数必须满足有界且在
有限区间上几乎处处连续。

勒贝格积分则是一种广义积分方法，它是将区间上的函数分解
成上下两个函数，然后利用这两个函数的极限逼近来计算定积分的值。

因为勒贝格积分的定义更加宽松，所以相比较于黎曼积分，它
能够处理诸如反常积分这样的更加复杂的积分问题。

此外，黎曼积分和勒贝格积分的性质也有所不同。

例如，黎曼
积分在加积分区间时是可交换的，而勒贝格积分则不具有这种性质。

此外，勒贝格积分对于不满足黎曼可积条件的函数，也有一定的处
理能力，而黎曼积分则无法计算这些函数的积分。

综上所述，黎曼积分和勒贝格积分都是求解定积分问题的方法，但是它们的定义和性质有很大的不同。

黎曼积分只适用于黎曼可积
的函数，而勒贝格积分则更加广泛适用于各种类型的函数。

黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分学中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。

在实际应用中，常常会遇到黎曼积分和勒贝格积分这两种不同的积分方式。

本文将从定义、性质和应用等方面对黎曼积分与勒贝格积分进行比较，以便更好地理解它们之间的区别。

1. 定义黎曼积分是由德国数学家黎曼提出的，是微积分中最基本的积分形式。

对于一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上的黎曼积分定义为：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，Σ f(xi)Δxi表示对区间[a, b]进行分割，取各子区间上任意一点xi，然后求和得到的黎曼和，当分割数n趋于无穷大时，这个黎曼和的极限就是函数f(x)在区间[a, b]上的黎曼积分。

而勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格提出的，是对黎曼积分的一种推广。

勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更广泛的函数类。

勒贝格积分的定义涉及到测度论的概念，需要引入测度空间的概念，因此比黎曼积分更加抽象和复杂。

2. 性质黎曼积分和勒贝格积分在性质上也有一些区别。

黎曼积分对函数的要求相对较高，需要函数在有限闭区间上有界且可积。

而勒贝格积分对函数的要求较低，只需要函数是可测的即可进行勒贝格积分。

此外，黎曼积分是通过分割区间并取极限的方式定义的，因此对分割的精细程度有一定要求，而勒贝格积分则是通过测度的概念来定义的，更加灵活和一般化。

3. 应用在实际应用中，黎曼积分和勒贝格积分各有其优势和适用范围。

黎曼积分在初等数学和物理等领域有着广泛的应用，例如计算曲线下面积、求定积分等。

而勒贝格积分则在测度论和概率论等领域有着重要的应用，能够处理更加复杂的函数和集合。

总的来说，黎曼积分是微积分中最基本的积分形式，适用于一般函数的积分计算；而勒贝格积分是对黎曼积分的推广，更加抽象和一般化，适用范围更广，能够处理更加复杂的函数和集合。

综上所述，黎曼积分和勒贝格积分在定义、性质和应用等方面存在一定的区别，各有其特点和适用范围。

黎曼积分与勒贝格积分积分是微积分中重要的概念之一。

在实际问题中，我们常常需要求解一个区间内函数的面积或者体积。

这个过程就称为积分。

积分有很多种，今天我想和大家聊一聊黎曼积分和勒贝格积分。

一、黎曼积分黎曼积分最早是由德国的数学家黎曼提出的。

它是积分的一种基本形式，从历史上来看，黎曼积分是最早被人们所接受的一种积分形式。

黎曼积分的定义非常简单，假设有一个区间[a，b]，f(x)是[a，b]上的一个函数，我们将区间[a，b]进行分割，得到n个小区间[a1，b1]，[a2，b2]，……，[an-1，bn-1]，然后在每个小区间内分别取一点xi（ai≤xi≤bi），然后求出每个小区间上函数f(x)的取值和小区间长度之积的和，即∑f(xi)Δxi（i=1，2，……，n），当分割越来越细，n越来越大时，和式∑f(xi)Δxi的极限值就是函数f(x)在区间[a，b]上的黎曼积分。

黎曼积分的优点是在实际计算中比较简单，但它也有一些局限性，比如说不是所有的函数都可以积分，例如在非连续点处黎曼积分是没有定义的。

二、勒贝格积分勒贝格积分是20世纪初期法国的数学家勒贝格提出来的。

它是通过使用类似度量论的概念，对几乎处处连续的函数进行积分，从而将积分的适用范围扩展到了更广泛的函数上。

具体来说，假设有函数f（x），它在[a，b]上几乎处处连续，记E为f（x）在[a，b]上所有不连续点的集合。

我们可以在每个不连续点处定义一个容许误差，使得在这个误差以内f（x）可以任意变化，而在误差以外随着分割越来越细，误差的贡献趋近于0。

于是我们就得到了函数在[a，b]上的勒贝格积分。

勒贝格积分相对于黎曼积分而言，可以积分更多的函数，也避免了因非连续点而产生的积分误差。

但是它在实际计算上会稍稍麻烦一些。

三、总结黎曼积分和勒贝格积分是积分的两种基本形式。

黎曼积分在实际计算中比较简单，但不是所有函数都能够使用黎曼积分。

勒贝格积分是一种更加通用的积分形式，它可以积分更多的函数，但相对于黎曼积分而言，计算会有一些复杂。

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浅谈Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系
作者：赵冉冉
来源：《教育周报·教研版》2018年第35期
数学的发展表明：积分和积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用。

从狭义上看，积分可以看作是积分的推广。

同时，积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命，积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中
不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代。

但是值得一提的是，积分并没有完全否定和
抛弃积分，它把积分作为一种特例加以概括，并且在一定条件下积分可以转化为积分，由此可见，积分和积分各有自己的优势和价值。

黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是函数积分的一种。

它们的定义很相似，但在某些意义上有所不同。

首先，黎曼积分是指函数在某一闭区间上的积分，其公式如下：
$$\int _a^ b f(x)dx=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^nf
\left(x_i\right)\Delta x_i$$
其中，$a、b$为积分的上下限，$x_i$为每个子区间的位置，$\Delta x_i$为每个子区间的长度。

而勒贝格积分可以看作是黎曼积分的一种特殊情况，其定义如下：
其中，$x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}$。

从定义来看，黎曼积分是考虑分割区间的情况，其子区间不一定都相同，而勒贝格积分只考虑等分子区间的情况，所以勒贝格积分只是黎曼积分的特例。

此外，在实际应用中，由于勒贝格积分只考虑子区间的等分情况，进行计算时不需要考虑子区间的长度，即$\Delta x_k$可以直接取1，因此计算量相较于黎曼积分少。

但需要注意的是，如果子区间的宽度稍有不同，勒贝格积分可能会产生较大的误差。

黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积、计算函数的平均值等。

在实际应用中，常常会遇到需要对不同类型的函数进行积分的情况。

而黎曼积分和勒贝格积分是两种常见的积分方法，它们在定义和适用范围上存在一些区别。

本文将详细介绍黎曼积分和勒贝格积分的区别。

一、黎曼积分黎曼积分是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，是最早被广泛应用的积分方法之一。

黎曼积分的定义是通过将区间[a, b]分成若干小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，计算函数在这些样本点处的取值与小区间长度的乘积，再将这些乘积相加得到的极限值。

黎曼积分的计算公式如下：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，n是将区间[a, b]分成的小区间的个数，xi是每个小区间上的样本点，Δxi是每个小区间的长度。

黎曼积分的优点是定义简单，易于理解和计算。

但是，黎曼积分的适用范围有限，只能对一些特定类型的函数进行积分。

对于某些函数，黎曼积分可能不存在或者无法计算。

二、勒贝格积分勒贝格积分是由法国数学家勒贝格在20世纪初提出的，是对黎曼积分的一种推广。

勒贝格积分的定义是通过将函数的定义域分成若干个可测集，然后在每个可测集上计算函数的上积分和下积分，如果上积分和下积分相等，则称该函数是勒贝格可积的，其积分值即为上下积分的公共值。

勒贝格积分的计算公式如下：∫f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ+ -∫[a, b] f(x) dμ-其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，dμ是勒贝格测度，∫[a, b] f(x) dμ+和∫[a, b] f(x) dμ-分别是函数f(x)在积分区间上的上积分和下积分。

勒贝格积分的优点是适用范围广泛，可以对几乎所有的函数进行积分。

勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更复杂的函数和测度空间。

课程简介：Riemann积分（简称R积分）和Lebesgue积分（简称L 积分）是数学专业必须学的两个经典的积分，R积分是研究数学分析的一个重要的积分，而L积分是研究实变函数的重要积分，他们两者有联系也有区别。

解答为什么说L 积分是R积分的推广，R积分的局限性，L积分的优势在哪等问题，有利于快速理解并应用两者的区别。

主要设计研究的内容：
1、从定义出发，详细叙述两个积分的条件及图像；
2、介绍两种积分的性质，找出联系和区别
3、L积分的定理及应用
设计（研究）方法、拟解决的关键问题及预期结果:
方法：比较法
拟解决问题：R积分和L积分的定义、性质、定理等内容的全面叙述和比较理解找出联系与区别，其中区别是个比较难以解决的问题。

课题进度计划：
1月30日前，完成资料收集和开题报告。

2月18日前，初步完成论文提纲的填充。

2月28日前，初步完成论文初稿。

3月5日前，修改论文初稿并提交。

参考文献资料：
[1]匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2002.84
[2]徐新亚.实变函数论[M].上海：同济大学出版社，2010.
[3]林秋红.Riemann积分和Lebesgue积分性质的比较[J].湖北广播电视大学学报,2010,30(3):159-160
[4]徐德义，叶牡才.从Riemann积分到Lebesgue积分[J].高等函授学报（自然科学版）.1997,6:16-19。

勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。

首先介绍一下在有界函数范围内，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。

⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。

⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间内对函数进行积分。

⑷缺乏单调收敛。

鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。

1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。

那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。

在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。

首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。

其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。

下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。

关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。

设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。

黎曼积分与勒贝格定理积分是高中数学中常见的概念。

但是，高中所学习的积分仅限于定积分和不定积分。

定积分是将函数沿一个区间上的曲线围成的面积作为函数在该区间上的积分值；不定积分是给定函数，求出一个新的函数，它的导数就是原函数。

然而，这两种积分方式都是基于实数集上的，无法处理某些函数在所有实数点处都没有定义的情况。

因此，需要引入黎曼积分和勒贝格定理。

一、黎曼积分黎曼积分的定义是：对于一个有界函数f(x)和定义域[a, b]的区间，将该区间分成n个小区间[a0, b0], [a1, b1], ..., [an-1, bn-1]，其中a=a0<b0<a1<b1<...<bn-1<b=n，将每个小区间分别乘以函数值的平均数，然后将所有小区间的积加起来，以这个和逼近该区间上的积分值。

当小区间数量趋近于无穷时，黎曼积分的定义域就变为实数集，可以处理实数集上的所有有界函数，且黎曼积分是线性的、可加的、对称的。

二、勒贝格定理然而，黎曼积分并不能处理某些非常规函数，如Dirichlet的函数。

为了解决这个问题，勒贝格定理被提出。

勒贝格定理的基本思想是在分割区间上进行划分，使得区间长度越来越小，同时令每个小区间上的函数差异越来越小。

这个过程被称为分割区间的细分。

在勒贝格定理中，将函数的可积性定义为上积分和下积分的差值不超过ε，ε为一个任意小的正数。

上积分是将分段小函数的函数值在一个区间上最大的点相乘，下积分是将分段小函数的函数值在一个区间上最小的点相乘。

勒贝格定理的唯一缺点是不能计算所有函数的积分值，但它可以保证对于所有可积函数，积分的解是唯一的。

三、黎曼积分和勒贝格定理的联系尽管黎曼积分和勒贝格定理的定义方式不同，但它们有很多相似之处。

首先，它们都可以处理有界函数；其次，都是线性、可加、对称的定理。

黎曼积分和勒贝格定理的区别在于它们如何处理不可数函数。

黎曼积分可以处理初等函数，但无法处理瑕积分。

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别摘要本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。

在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。

勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。

它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。

它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。

关键词：勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分1、定义1.1黎曼积分定义 设)(x f 在[]b a,上有定义1）分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210Λ将[]b a,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,12110-Λ1x ∆ 2x ∆ Λ n x ∆2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i ni x f ∆∑=ξ14）取极限令{}i x T ∆=max —T 的细度，若()i ni i T x f ∆∑=→10lim ξ存在()()∑⎰=→∆=ni iiT baxf dx x 10lim ξ1.2勒贝格积分定义设()x f 在有限可测集E 上有界1）n E E E Λ21为E 的n 个互相不相交的可测子集且Y ni i E 1E ==称{}n E E E D Λ21=为E 的一个L-分划2）设{}n E E E D Λ21=，{}''2'1'D n E E E Λ=均为E 的一个L-分划，若对''D E ∈∀存在j i j E E t s DE ⊂∈'..称D 比'D 细（D D 是'的加细）3）设{}n E E E D Λ21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b iiE x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i ni i mE b f D s ∑==1',在划分D 下()x f 的小和()∑==n i i i mE B f 1D,S 在划分D 下()x f 的大和2黎曼积分和勒贝格积分的联系对于定义在[]b a ,上的函数f ，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分。

黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别黎曼积分和勒贝格积分是微积分中的重要概念，它们的联系与许多定理有着密不可分的关系，这篇文章首先将简要介绍它们的概念，然后讨论它们之间的联系和区别。

黎曼积分指定义在定义域上函数及其导数组成的可积函数，它的定义源于数学家黎曼的研究，主要包括类连续型函数及其衍生物的积分，这样的积分的计算可以方便的由柯西积分和分部积分来实现。

勒贝格积分（Leibniz Integral）又称作定积分，是微积分中极为重要的概念，它可以用来对被积函数与定义域范围内的某一点（通常作为积分上限）上的值作出定义，从而计算出函数在定义域内满足某种约束条件时的定量结果。

它是科学家勒贝格早期研究的体现，这类积分具有可积性、同参数性等特征。

黎曼积分和勒贝格积分之间的联系非常密切，它们最主要的区别在于它们的定义方式。

首先，它们各自的定义条件是不同的，前者要求函数及其导数连续，而后者则要求函数及其定义域范围内某一点上的值作出定义。

其次，在实际计算上，勒贝格积分更加困难一些，因为在函数的定义域范围内的某一点上的值的定义需要更多的计算才能得出，而黎曼积分则只要求函数及其导数的连续性，因此，计算上较为简单。

它们之间的联系也非常密切，首先，黎曼积分也可以用于计算勒贝格积分，它们都可以把复杂的积分分解为一系列更简单的积分
从而求得最终结果；其次，黎曼积分和勒贝格积分之间也存在多种比较关系，比如黎曼积分是微分方程的特殊形式，勒贝格积分也可用于定义解决特殊的积分问题。

总的来看，黎曼积分和勒贝格积分都是微积分中非常重要的概念，它们之间存在着一定的联系，而且在计算上也相互交互。

正是因为它们之间的联系，使得它们在实际计算中经常运用到一起，这样就可以更好地求解复杂的积分问题。

浅谈R积分和L积分的联系与区别数学学院数学与应用数学（师范）专业 2009级某某指导老师某某摘要：积分在整个分析数学中有着重要的地位，现有的积分有两种形式：一种是作为研究数学分析中心内容的黎曼积分（简称R积分），一种是作为研究实变函数核心内容的勒贝格积分（简称L积分），这两类积分既有密切的联系，又有本质的区别。

本文主要是从黎曼积分和勒贝格积分的定义出发，进行分析和比较，利用实例来归纳总结出它们的联系与区别。

关键词：黎曼积分；勒贝格积分；联系；区别Abstract: Integral plays a critical role in the whole of Analytic Mathematics. And the current integration has two forms: one is the Riemann integral (R integral) which is regarded as the central content of the study of the mathematical analysis. The other one is the Lebesgue integral (L integral) which is regarded as the core content of the study of the real variable function. The two kinds of integral not only have the close relations but also have the essential differences. According to the definition of the Riemann integral and the Lebesgue integral ,this paper analyses and makes a comparison with the definitions, which uses some examples to summarize their relations and differences.Key words:Riemann integral; Lebesgue integral; relation; difference1 引言积分学的历史很早，它起源于求积问题。

勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。

首先介绍一下在有界函数范围内，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。

⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。

⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间内对函数进行积分。

⑷缺乏单调收敛。

鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。

1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。

那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。

在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。

首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。

其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。

下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。

关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。

设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别摘要本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。

在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。

勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。

它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。

它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。

关键词：勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分1、定义1.1黎曼积分定义 设)(x f 在[]b a,上有定义1）分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210 将[]b a,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,12110-1x ∆ 2x ∆ n x ∆2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i ni x f ∆∑=ξ14）取极限令{}i x T ∆=max —T 的细度，若()i ni i T x f ∆∑=→10lim ξ存在()()∑⎰=→∆=ni iiT baxf dx x 10lim ξ1.2勒贝格积分定义设()x f 在有限可测集E 上有界1）n E E E 21为E 的n 个互相不相交的可测子集且 ni i E 1E ==称{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划2）设{}n E E E D 21=，{}''2'1'D n E E E =均为E 的一个L-分划，若对''D E ∈∀存在j i j E E t s DE ⊂∈'..称D 比'D 细（D D 是'的加细）3）设{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b iiE x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i ni i mE b f D s ∑==1',在划分D 下()x f 的小和()∑==n i i i mE B f 1D,S 在划分D 下()x f 的大和2黎曼积分和勒贝格积分的联系对于定义在[]b a ,上的函数f ，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分。

力Ｊ１．镌ｓＤｍ胁珊蹦如２００８年５月Ｒｉｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分的联系和本质区别张丽君（山西师范大学数计学院，山西临汾０４１００４）【摘要】Ｒｉｅｍａｎｎ在１９世纪中期引入了Ｒｉｅｍａｎｎ积分．比较完整深刻的提出定积分概念的实质。

２０世纪初，集合论的观点引起积分学的变革，ｋｂｅ８舭以集合测度为基础，对Ｒｉｅｎｍｎ积分的定义加以改造．建立‰舭积分的概念。

在一般的分析书中，揭示了Ｒｉｏ－１ｌｌＳＩＬｒｌ积分和ＩＪｅｂｅＢｇＩ埒积分的联系，指出了ｋｂｅ孵地积分是Ｒｉｅｍａｎｎ积分的一种推广，井为一般的有界函数的Ｒｉｅｍａｎｎ积分提出了简明的判别准则，并没有指出它们之间的本质区别。

本文将从Ｒｉｅｍａｒｍ积分和Ｌｅｂｅａｇｕｅ积分的定义和联系入手，去探讨它们之同的本质的区别：从Ｒｉｅｍａｎｎ积分推广到１．ｄａｅｓｇｕｅ积分的本质是从不完备空间Ｒ［ａ，ｂ］到完备空间Ｌ［ａ’ｂ】的扩充。

【关键词】Ｒｉｅｍａｒｍ积分；Ｉ，ｅｂｅｓｇｕｅ积分；完备空间；Ｌ［ａ，ｂ】Ｒ［ａ，ｂ】‘１．引言积分真正的发展要在１７世纪以后，经过半个世纪的酝酿，牛顿的＜流数简论＞标志着微积分的诞生，莱布尼茨对积分也作出了巨大的贡献。

进入１８世纪，数学的发展进入了分析的时代，欧拉对微积分的进步作出了巨大的贡献，但是积分的概念一直受面积观念的影响，直到柯西才真正的从分析的角度给出了积分的构造性定义，此外，柯西具有创造性的从“和式极限”这个观点出发，使积分作为一个独立的个体从微分中分离出来，并且积分作为“和式极限”的观点，为在数学分析中引入重积分，曲线和曲面积分创造了条件，为引进其他类型的积分，如Ｒ／ｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｃ积分创造了条件。

２．Ｒｉｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分简介。

积分的发展和函数概念的发展是密不可分的。

积分理论一直和函数的连续性紧密的联系在一起。

随着傅立叶的不连续函数可以用三角级数和来表示，这样便提出了一个问题：是否可以将只适用于连续函数的积分推广到更为一般的函数上呢？２．１．彪ｅｍａｎｎ积分简介ｏＲ／ｅｍａｔｍｌ８２６年生于汉诺威的步雷斯伦茨，１８６６年卒于意大利的塞那斯加。