复合函数的黎曼可积

复合函数的几个性质及其应用2复合函数的性质及其应用有关函数的知识是高中数学的重要内容，也是高考及竞赛的重点、热点，同时也是难点。

由几种初等函数复合而成的函数更因其概念抽象，综合程度较高，解题方法灵活，给教与学带来了一些困难，现行教科书上并未对其作系统介绍，本文拟讨论形如y=f[g(x)]的复合函数的几个性质及其应用。

复合函数的定义：一般地，若函数y=f(u)的定义域为P ，而函数u=g(x) 的定义域为M ，值域为C ，并且C 包含在P 内，那么对于M 内的每一个值x 经过中间变量u ，相应地得到唯一确定的一个值y ，于是y 经过中间变量u 而成为x 的函数，记为：y=f[g(x)]。

这种函数称为复合函数。

（函数u=g(x)的值不超过函数y=f(u)的定义域是极重要的）。

y=f(u)叫做复合函数的外函数，u=g(x)叫做复合函数的内函数。

一、 定义域 ：复合函数y=f[g(x)]的定义域是函数u=g(x)的定义域中使值属于y=f(u)的定义域的部分。

例1， 设函数f(x)的定义域是[0，4]，求函数f(2x )的定义域解：∵f(x)的定义域为[0，4] ∴0≤2x ≤4， 即-2≤x ≤2∴f(2x )的定义域为 [-2，2]二、值域：求复合函数的值域时即要考虑内函数的值域又要兼顾外函数的定义域。

例2 求函数)32(log 25.0+-=x x y 的值域解：∵ 44)1(3222≥+--=+-x x x 又0322>+-x x∴43202≤+-<x x345得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-=≥+-=≤-≤>-045)1(01)0(1230023k g k g k k k 解得：0≤k ≤54若y=f(x)具有单调性由复合函数单调性很容易得出以下结论：1、y=f(x)与y=-f(x)的单调性相异;2、若f(x)≠0则y=f(x)与)(1x f y =的单调性相异; 3、若f(x)＞0则y=f(x)与)(x f y =的单调性一致. 例5 讨论 21x xy += 的单调性 解：∵21x xy += 是奇函数∴在(-∞, 0)与(0, +∞)上具有相同的单调性， 当x ＞0时2111x y +=2x y = 递增 ⇒ 21x y =递减 ⇒211x y +=递减⇒2111x y +=递增。

复合函数积分运算法则复合函数积分运算法则可以分为两种情况，一是基本函数的复合函数积分，二是一般复合函数积分。

【情况一】基本函数的复合函数积分基本函数指的是常见的三角函数（sin, cos, tan等）、指数函数（e^x）和对数函数（ln x）等函数。

sin(mx)、cos(mx)的积分：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(mx)cos(mx)dx= sin(mx) · F(x) / m + C，∫f(mx)sin(mx)dx = -cos(mx) · F(x) / m + C。

e^mx 的积分：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(mx)e^(mx)dx = F(x) · e^(mx) / m + C。

ln(mx)的积分：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(mx)ln(mx)dx = F(x) · ( ln(mx) - 1 ) / m + C。

【情况二】一般复合函数积分一般复合函数积分指的是涉及到链式法则的复合函数积分，如f(g(x)) Multiply g'(x)。

一般复合函数积分的求法是采用反链式求导法。

设h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)。

因为∫f'(g(x)) · g'(x)dx 是可以积出来的，所以可以先将h'(x)中的f'(g(x)) · g'(x) 提取出来再将提取出来的f'(g(x)) · g'(x)转化为∫(f o g)'(x)dx。

对f o g(x)进行积分即可。

需要指出的是，复合函数积分运算法则较为繁琐，掌握好积分公式的同时，应该多加练习、深入理解，才能更好地掌握积分的技巧和方法。

什么是黎曼几何？黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。

是由德国数学家G.F.B. 黎曼19世纪中期提出的几何学理论。

黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。

他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量。

黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。

黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

与欧氏几何注意区分两种不同的讨论：数学上的讨论和物理学的时空观。

数学上的黎曼几何可以看做是欧式几何的推广。

欧式几何中的度量是零曲率的，而黎曼几何研究更一般的度量，在不同的度量下，空间的曲率是不同的。

物理学中，牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。

而广义相对论里的时空是一个黎曼流形。

以下一段讨论涉及物理时所说的“ 欧式几何”有时候是指“牛顿时空观”。

欧氏几何欧氏几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。

因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。

两点之间的距离也是直的。

但是假如我们生活的空间是一个双曲面，（不是双曲线），这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。

在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。

若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。

在有界闭区间上复合函数的黎曼可积性有界闭区间上复合函数的黎曼可积性是数学中一个重要的概念。

它是指在有界闭区间上存在一个复合函数，该函数具有正确的黎曼可积性。

说得更通俗易懂些，一个复合函数就是由一个函数和另一个函数组成。

在二维空间中，它可以表示为f(x, y) = f1(x) + f2(y)。

这里，f1(x)和f2(y)分别是x和y的函数，而f(x,y)就是两者的和。

黎曼可积性是指这样一种复合函数的连续性和可积性。

当一个函数的偏导数不断变化时，黎曼可积性就会发生变化。

换句话说，当函数的偏导数使f(x,y)连续而不断变化时，复合函数就是黎曼可积的。

这也就是说，只有当复合函数的偏导数恒定，而不会发生变化时，它才是黎曼可积的。

有界闭区间上复合函数的黎曼可积性是指，在有界闭区间上的某一点处，复合函数的变化率是黎曼可积的。

它是端点连续函数的泛化概念，可以用来描述复合函数在有界闭区间上的可积性。

它的特点是可以通过求解连续的偏导数来求解复合函数的变化率。

有界闭区间上复合函数的黎曼可积性在数学中有着重要的作用。

它可以用来解释复合函数在有界闭区间上的变化情况。

此外，它还可以应用到实际问题中，如分析复杂函数的变化率等。

此外，它还可以用来解决无边界问题、分析函数不变型以及建立抽象函数空间等问题。

有界闭区间上复合函数的黎曼可积性有一些重要的结果。

例如，可以利用它来证明势的连续性。

根据它的定义，可以证明复合函数在有界闭区间上的存在性。

此外，它还可以用来证明Riemann积分的性质，以及定义黎曼积分的基本性质。

总的来说，有界闭区闭上复合函数的黎曼可积性是一个重要的数学概念，可以用来解释复杂函数的变化情况，并可以应用到实际问题中。

它还可以用来证明一些重要的数学定理，可以比较容易地推导出复合函数的变化率。

-----------------------------------Docin Choose -----------------------------------豆 丁 推 荐↓精 品 文 档The Best Literature----------------------------------The Best Literature·130·例5 用数归纳法证明：n ＞1,有()()()()12213521n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅−n N ∈1111231n n n ++⋅⋅⋅++++＞1错证：（1）略。

（2）假设nk =时命题成立（k ≥2）,则当1n k =+时，有1111123134k k k k ++⋅⋅⋅++++++＞1134k ++＞1,∴n k =+1时命题也成立。

剖析:当1n k =+时，左端应是：1111112331323334k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++它与n k =时相差11113233341k k k k ++−++++。

故上式没有注意式子变化，误认为只差最后一项。

六、归纳理由不充分致误例6 用数学归纳法证明：如果n 个正数1,2,n a a a ⋅⋅⋅的乘积121n a a a ⋅⋅⋅=，则它们的和12n a a a n ++⋅⋅⋅+≥错证：（1）当1n=时，因为11a =，所以命题成立。

（2）假设nk =时命题成立，即12k a a a k ++⋅⋅⋅+≥当1nk =+时由于1211k k a a a a +⋅⋅⋅=且1111,,,k k a a a a a +⋅⋅⋅都是正数，故其中至少有一个数要等于或大于1，设11k a +≥，所以12111k k k a a a a k a k ++++⋅⋅⋅++≥+≥+ ∴当1n k =+时命题也成立。

剖析：在上述证明的第二步中，式子121k k a a a k a +++⋅⋅⋅+≥+的根据是不充分的。

复合函数微分法则详解在微积分中，复合函数微分法则是一种用于求解复合函数的导数的方法。

复合函数是由一个函数和另一个函数组合而成的函数，例如y=f(g(x))。

在这种情况下，如果我们想要求f(g(x))的导数，我们可以使用复合函数微分法则来简化计算。

复合函数的定义复合函数是指一个函数中包含另一个函数，形式为y=f(g(x))，其中f(x)和g(x)都是函数。

在这种情况下，g(x)被称为内函数，而f(x)被称为外函数。

复合函数微分法则的推导为了推导复合函数的导数，我们首先需要理解导函数的定义。

导函数表示函数的斜率或变化率，在微积分中通常用导数符号$\\frac{dy}{dx}$表示。

对于复合函数y=f(g(x))，我们可以将其作为两个函数的复合：u=g(x)和y=f(u)。

根据链式法则，复合函数的导数可以表示为：$$\\frac{dy}{dx}=\\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$$这里，$\\frac{dy}{du}$表示外函数f(u)对u的导数，$\\frac{du}{dx}$表示内函数u=g(x)对x的导数。

复合函数微分法则的应用假设我们有一个复合函数y=(3x2+2x)4，要求其导数。

首先，我们可以将其分解为y=u4，其中u=3x2+2x。

根据复合函数微分法则，我们有：$$\\frac{dy}{dx}=4u^3 \\cdot \\frac{du}{dx}=4(3x^2+2x)^3 \\cdot (6x+2)$$通过简化计算，我们得到$dy/dx=4(3x^2+2x)^3 \\cdot (6x+2)$。

这样，我们成功地求得了复合函数的导数。

总结复合函数微分法则是一种用于求解复合函数导数的重要方法，通过将复合函数拆解为两个简单函数来简化计算。

在应用复合函数微分法则时，我们需要注意内函数和外函数的区分，并结合链式法则进行计算。

熟练掌握复合函数微分法则对于理解函数导数的计算和应用具有重要意义。

黎曼可积的定义黎曼可积是数学中的一个重要概念，指的是函数在某个区间上的积分存在且有限。

黎曼可积的定义是通过分割区间，将函数划分为若干个小区间，然后计算每个小区间上的积分，最后将这些积分相加得到整个区间上的积分。

如果这个积分存在且有限，则函数是黎曼可积的。

黎曼可积的概念是由德国数学家黎曼提出的，他的工作对于现代数学的发展有着重要的贡献。

黎曼可积是微积分学中的一个基本概念，也是数学分析中的一个重要概念。

黎曼可积的定义是对于任意给定的ε>0，存在一个分割使得区间上所有小区间的积分之和与整个区间上的积分的差的绝对值小于ε。

这个定义是比较严格的，要求函数在整个区间上的积分存在且有限，这是一个比较强的条件。

黎曼可积的概念有很多应用，比如在物理学中，黎曼积分可以用来计算物理量的平均值。

在经济学中，黎曼积分可以用来计算经济指标的平均值。

在概率论中，黎曼积分可以用来计算随机变量的期望值。

在工程学中，黎曼积分可以用来计算信号的平均值。

黎曼可积的概念是微积分学中的一个基本概念，也是数学分析中的一个重要概念。

黎曼可积的定义是对于任意给定的ε>0，存在一个分割使得区间上所有小区间的积分之和与整个区间上的积分的差的绝对值小于ε。

这个定义是比较严格的，要求函数在整个区间上的积分存在且有限，这是一个比较强的条件。

黎曼可积函数有很多重要的性质，比如可积函数的集合是一个线性空间，也就是说，如果f和g是可积函数，那么它们的线性组合a*f+b*g也是可积函数。

此外，可积函数的积也是可积函数，也就是说，如果f和g是可积函数，那么它们的积fg也是可积函数。

可积函数还有一个重要的性质，就是可积函数的积分与区间的划分无关，也就是说，无论怎样划分区间，可积函数的积分都是一样的。

黎曼可积是微积分学中的一个重要概念，它的定义要求函数在整个区间上的积分存在且有限。

黎曼可积函数有很多重要的性质，比如可积函数的集合是一个线性空间，它们的积也是可积函数，可积函数的积分与区间的划分无关等等。

函数黎曼可积性深究
罗俊逸
以下的“可积”皆指“黎曼可积”。

定义1：称有界函数f 为[a,b]上的次级离散函数（简称次离散函数），
若：1、f 仅有有限个间断点；
或：2、f 有无限个间断点，所有这些间断点仅有有限个聚点。

定义2：在闭区间[a,b]上，连续函数与次离散函数统称次级函数。

定义3：称有界函数f 为[a,b]上的超级离散函数（简称超离散函数），若f 有无限个间断点且它们有无限个聚点。

性质：[a,b]上的任何有界离散函数，要么是次离散函数，要么是超离散函数。

（这是显然的）
根据定义和性质，[a,b]上的所有有界函数的集合关系如下：
定理1：所有次级函数可积。

推论1：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积。

推论2：若f 是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积。

定义4：设f 为[a,b]上的超离散函数，若存在[a,b]上的次级函数g ，任取I ∈
[a,b]，g 在I 上有f 上的无穷个点，则称f 在[a,b]上可聚，g 称为f 的聚集函数（简称聚函数）。

定理2（可聚性定理）：任何超离散函数f 可聚，即f 至少有一个聚函数。

定理3：超离散函数f 可积的充要条件是：f 唯一可聚，即f 仅有唯一的聚函数。

连续函数 次级离散函数
超级离散函数 次级函数 离散函数
定理4：设f是定义在[a,b]上的可积超离散函数，其聚函数是g，则：=
补充：
为方便叙述，笔者自做了些定义，若有冒犯前辈的文献，请谅解。

黎曼函数可积证明在数学中，黎曼函数是一类重要的可积函数，它们的应用非常广泛，包括许多非常有趣的结果。

这些函数的定义有很多，但最简单的是：黎曼函数就是一系列各自在每一个定义域内有上下限，既有收敛序列又有递归序列的连续函数。

现在证明黎曼函数是可积函数：首先，定义域有充分的理由来认为黎曼函数是可积函数。

它们以收敛和递归序列形式出现，定义域是连续的，对于连续序列，如果∞≤x≤+∞，就满足分段积分的要求。

其次，可积性的充分必要条件之一是函数的可微性。

考虑到黎曼函数的属性，由其定义可以知道，黎曼函数是可微的。

此外，还有一个充分条件就是积分可以从定义域内极限进行。

黎曼函数在定义域内有上下限，因此，积分也可以从定义域内极限进行，从而满足可积性的必要条件。

最后，需要证明积分的结果相等。

由于黎曼函数的可微性，两边的积分可以用积分公式进行计算，并且计算出来的结果一致，也就证明了黎曼函数是可积函数。

综上所述，黎曼函数的可积性得到了证明。

它们的定义域有足够的理由来认为是可积函数，它们的可微性也使它们具有可积性，而且，积分可以从定义域内极限进行，并且积分的结果也是相等的，这证明了黎曼函数是可积函数。

黎曼函数是可积函数，它们在数学计算中有着广泛的应用。

黎曼函数可以用来解决一些非常重要的技术问题，比如最优化问题，可以用来计算拓扑学问题，也可以用来计算数学建模的问题。

它们的应用不仅限于数学，也可以用在物理、化学等多种领域。

因此，在现代科学中，黎曼函数的可积性和应用都变得越来越重要。

为了在现代科学中得到更好的应用，需要对黎曼函数有更深入的认识，还需要对它们的可积性、应用和数学计算等进行更深入的研究。

复合函数的黎曼可积
蒋逢海
【期刊名称】《郑州工学院学报》
【年(卷),期】1989(010)003
【摘要】本文用具体例子说明:黎曼可积函数的黎曼可积函数,不一定黎曼可积。

连续函数的黎曼可积函数也不一定是黎曼可积的。

但是,本文指出并论证了下述结论:黎曼可积函数的连续函数必定黎曼可积。

【总页数】3页(P21-23)
【作者】蒋逢海
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.复合函数的勒贝格可积性研究 [J], 吴亚敏;
2.复合函数的黎曼可积性 [J], 吴亚敏;
3.复合函数的勒贝格可积性研究 [J], 吴亚敏
4.复合函数的黎曼可积性 [J], 吴亚敏
5.复合函数的可积性及应用 [J], 梁婉婉;刘继成
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复合函数积分运算法则一、复合函数积分：复合函数可以理解为一个函数嵌套在另一个函数中，如f(g(x))。

复合函数积分是求解复合函数的积分的过程，其基本思路是将复合函数积分转化为较为简单的基本积分函数的积分。

具体地，设y=f(g(x))，我们要求解的是∫f(g(x))dx。

首先，我们可以通过对复合函数进行换元来将问题转化为∫f(u)du的积分形式，其中u=g(x)。

我们将g(x)求导得到dx=g'(x)du，再将dx代入到原积分中，得到∫f(u)g'(x)du。

最后，我们可以根据u变量的取值范围以及f(u)和g'(x)的知识，通过分部积分或其他方法将原积分转化为较为简单的形式进行求解。

举例说明：例1：求解∫(2x+1)cos(x^2+3x+2)dx。

解：设u=x^2+3x+2，那么我们有du=(2x+3)dx，或者dx=du/(2x+3)，将dx代入原积分得到∫(2x+1)cos(u)du/(2x+3)。

接下来，我们可以注意到du/(2x+3)是一个较为简单的基本积分函数，即ln，2x+3、因此，我们可以将原积分进一步转化为∫(2x+1)cos(u)ln，2x+3，du。

最后，我们可以通过分部积分来求解这个积分，从而得到最终的结果。

二、复合函数积分的运算法则：在进行复合函数积分的过程中，我们可以应用一些常用的运算法则来简化求解，例如常见的线性代换、三角代换和递推法等。

1.线性代换：线性代换是指通过将复合函数中的变量进行线性变换来简化积分的过程。

具体地，设y=f(ax+b)，那么我们可以进行线性代换u=ax+b，其中a 和b为常数。

通过变量替换，我们可以将原复合函数转化为∫f(u)du的形式进行求解。

举例说明：例2：求解∫(2x+1)cos(3x+4)dx。

解：这个积分可以通过线性代换来简化。

设u=3x+4，那么我们有du=3dx，或者dx=du/3、将dx代入原积分得到∫(2x+1)cos(u)du/3、此时，我们可以将原积分进一步转化为∫(2/3)xcos(u)du+(1/3)cos(u)du。

二重积分黎曼积分写法
二重积分的黎曼积分写法如下：
设函数f(x, y) 在一个有界闭区域 D 上定义，其中 D 的边界可以用有限条平行于坐标轴的直线段表示。

我们将 D 的边界记为∂D。

黎曼积分的定义是将 D 分割成若干个小区域，然后在每个小区域上取一点(ξi, ηi)，其中(ξi, ηi) 属于该小区域，并计算函数在该点的值乘以该小区域的面积ΔA，最后对所有小区域的贡献进行求和。

数学上可以用如下的形式表示二重积分的黎曼积分：
∬D f(x, y) dA = lim(Δx,Δy→0) Σ[f(ξi, ηi) ΔA]
其中，Δx 和Δy 分别表示x 轴和y 轴上的分割数，ξi 和ηi 分别表示每个小区域内的任意一点，ΔA 表示小区域的面积。

需要注意的是，这里的极限表示当分割数无限增大、小区域的面积无限趋近于零时的情况。

黎曼积分是对一个有界闭区域上的函数进行积分的一种定义方式，可以用于计算函数在该区域上的平均值、总量等相关性质。

二重积分黎曼和形式在数学中，黎曼和是二重积分的一种形式，用于计算曲线围成的面积或者曲面围成的体积。

黎曼和的计算方法可以通过将二维区域划分成许多小矩形，然后对每个小矩形的面积进行求和来近似计算。

为了更好地理解二重积分黎曼和的形式，我们首先来看一个具体的例子。

假设有一个二维区域D，我们想要计算D内某个函数f(x,y)的积分。

为了简化问题，我们可以将D划分成许多小矩形，每个小矩形的边长分别为Δx和Δy。

然后，在每个小矩形内选择一个点(xi,yi)，并计算该点对应的函数值f(xi,yi)。

最后，将每个小矩形的面积ΔA乘以对应点的函数值f(xi,yi)，再对所有小矩形的结果求和，即可得到对函数f(x,y)在区域D上的黎曼和。

具体而言，黎曼和的计算公式可以表示为：S = ∑∑ f(xi,yi)ΔA其中，ΔA表示每个小矩形的面积，f(xi,yi)表示在每个小矩形内选取的点(xi,yi)对应的函数值，S表示对所有小矩形的结果求和后得到的黎曼和。

黎曼和的计算方法可以通过不断增加小矩形的数量来提高计算的精度。

当我们将小矩形的数量趋于无穷大时，黎曼和的计算结果将趋近于二重积分的精确值。

需要注意的是，黎曼和的计算方法在实际应用中可能存在一定的局限性。

由于需要将区域划分成许多小矩形，并对每个小矩形进行计算，这样的计算过程可能会非常繁琐且耗时。

此外，在某些情况下，区域的形状复杂或者函数f(x,y)的性质特殊，可能无法通过黎曼和来准确计算二重积分的值。

在这种情况下，我们可能需要借助其他数值方法或者解析方法来求解。

总结起来，二重积分黎曼和形式是一种用于计算二维区域上函数积分的方法。

通过将区域划分成许多小矩形，并对每个小矩形进行计算，可以近似得到二重积分的值。

然而，黎曼和的计算方法在实际应用中可能存在一定的局限性，需要根据具体情况选择适当的计算方法。