练4_反比例函数(沪科版)(解析版)

初中数学沪科版九年级上册第二十一章21.5反比例函数练习题一、选择题1.如图，一次函数y1=ax+b和反比例函数y2=k的图x象相交于A，B两点，则使y1>y2成立的x取值范围是()A. −2<x<0或0<x<4B. x<−2或0<x<4C. x<−2或x>4D. −2<x<0或x>42.反比例函数y=k−3的图象中，当x>0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是x()A. k<3B. k≤3C. k>3D. k≥33.如图，点A(a,1)，B(b,3)都在双曲线y=−3上，点xP，Q分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABQP周长的最小值为()A. 4√2B. 6√2C. 2√10+2√2D. 8√24.已知点M(−1,6)在双曲线y=k上，则下列各点一定在该双曲线上的是()xA. (3,−2)B. (−2,−3)C. (2,3)D. (3,2)5.如图所示，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y=k的图象过点A，则k=()xA. 3B. −1.5C. −3D. −66.已知在同一直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=c的图象如图所xx−b的图象可能是()示，则一次函数y=caA. B.C. D.7.对于反比例函数y=k2+1，下列说法正确的个数是()x①函数图象位于第一、三象限；②函数值y随x的增大而减小③若A(−1,y1)，B(2,y2)，C(1,y3)是图象上三个点，则y1<y3<y2；④P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积是定值．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.在下列函数图象上任取不同两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，一定能使y2−y1x2−x1<0成立的是()A. y=3x−1(x<0)B. y=−x2+2x−1(x>0)C. y=−√3x(x>0) D. y=x2−4x−1(x<0)9.已知(1,a)，(2,b)，(−3,c)是反比例函数y=kx(k<0)上三点，则()A. c<b<aB. c<a<bC. a<b<cD. a<c<b10.若反比例函数的图象经过点(−1,4)，则它的函数表达式是()A. y=−4x B. y=−14xC. y=4xD. y=14x二、填空题11.如图，已知点A、B分别在反比例函数y=−3x(x<0)与y=6x(x>0)图象上，且OA⊥OB，若AB=6，则△AOB 的面积为______．12.如图，在反比例函数的图象y=4x(x>0)上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+⋯+S n=______．13.直线y=12x与双曲线y=kx在第一象限的交点为(a,1)，则k=______．14.若一个反比例函数的图象经过点A(a,a)和B(3a,−2)，则这个反比例函数的表达式为______．15.已知y与x+1成反比例函数，且当x=1时，y=2，则当x=0时，y=______．16.下列y关于x的函数中，y随x的增大而增大的有______.(填序号)①y=−2x+1，②y=1x，③y=(x+2)2+1(x>0)，④y=−2(x−3)2−1(x< 0)三、解答题17.如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=kx (k≠0)的图象与AD边交于E(−4,12)，F(m,2)两点．(1)求k，m的值；(2)写出函数y=kx图象在菱形ABCD内x的取值范围．18.设△ABC中BC边的长为x(cm)，BC上的高线AD为y(cm)，现一探究小组测得两个变量x(x>0)，y(y>0)的一组对应值如表：x123456y6 2.9 2.1 1.5 1.21(1)在如图的坐标系中，用描点法画出相应函数的图线；(2)求y关于x的函数解析式；(3)如果三角形BC边的长不小于8cm，求高线AD范围．19.已知两点A(−4,2)，B(n,−4)是一次函数y=kx+b和反比图象的两个交点．例函数y=mx(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)观察图象，直接写出不等式kx−b>m的解集．x答案和解析1.【答案】B【解析】解：观察函数图象可发现：当x<−2或0<x<4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴使y1>y2成立的x取值范围是x<−2或0<x<4．故选：B．根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标即可找出不等式的解集，此题得解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标找出不等式的解集是解题的关键．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质解题．(k≠0)，(1)k>0，反比例函数图象在一、三象限，在每一根据对于反比例函数y=kx个象限内，y随x的增大而减小；(2)k<0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大，进行解答．【解答】解：∵当x>0时，y随x的增大而增大，∴函数图象位于第二、四象限，∴k−3<0，∴k<3．故选A．3.【答案】B上，【解析】解：∵点A(a,1)，B(b,3)都在双曲线y=−3x∴a×1=3b=−3，∴a=−3，b=−1，∴A(−3,1)，B(−1,3)，如图，作A点关于x轴的对称点D(−3,−1)，B点关于y轴的对称点C(1,3)，连接CD，分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形ABPQ的周长最小，∵QB=QC，PA=PD，∴四边形ABQP周长=AB+BQ+PQ+PA=AB+CD，∴AB=√(−3+1)2+(1−3)2=2√2，CD=√(1+3)2+(3+1)2=4√2，∴四边形ABQP周长最小值为2√2+4√2=6√2，故选：B．先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于x轴的对称点D，B点关于y轴的对称点C，根据对称的性质得到C点坐标为(1,3)，D点坐标为(−3,−1)，CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形ABQP的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．4.【答案】A【解析】【解答】上，解：∵点M(−1,6)在双曲线y=kx∴6=k，解得k=−6．−1A.∵3×(−2)=−6，∴此点一定在双曲线上，故本选项符合题意；B.∵(−2)×(−3)=6≠−6，∴此点不在双曲线上，故本选项不符合题意；C.∵2×3=6≠−6，∴此点不在双曲线上，故本选项不符合题意；D.∵3×2=6≠−6，∴此点不在双曲线上，故本选项不符合题意．【分析】将M(−1,6)代入求出k的值，再将各项代入函数解析式看是否满足，满足则在，不满足则不在．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．5.【答案】C【解析】【分析】此题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.根据反比例函数中比例系数k的几何意义，得出等量关系|k|=3，再根据图象所在的象限即可求出k的值．【解答】解：依题意，有|k|=3，∴k=±3，又∵图象位于第二象限，∴k<0，∴k=−3．故选C6.【答案】B【解析】解：观察函数图象可知：a<0，b>0，c>0，∴ca<0，−b<0，∴一次函数y=cax−b的图象经过二三四象限．故选：B．根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a<0、b>0、c>0，由此即可得出ca <0，−b<0，即可得出一次函数y=cax−b的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，找出a<0、b>0、c>0是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：反比例函数y=k2+1x，因为k2+1>0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故①说法正确，②的说法错误．若A(−1,y 1)，B(2,y 2)，C(1,y 3)是图象上三个点，则y 1<0<y 2<y 3；故说法③错误； P 为图象上任一点，过P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，则△OPQ 的面积为12(k 2+1)，故④说法正确； 故选：B ．利用反比例函数的性质用排除法解答．本题考查了反比例函数的性质：①、当k >0时，图象分别位于第一、三象限；当k <0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k >0时，在同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k <0时，在同一个象限，y 随x 的增大而增大．8.【答案】D【解析】解：A 、∵k =3>0∴y 随x 的增大而增大，即当x 1>x 2时，必有y 1>y 2 ∴当x <0时，y 2−y 1x 2−x 1>0， 故A 选项不符合； B 、∵对称轴为直线x =1，∴当0<x <1时y 随x 的增大而增大，当x >1时y 随x 的增大而减小， ∴当0<x <1时：当x 1>x 2时，必有y 1>y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1>0， 故B 选项不符合；C 、当x >0时，y 随x 的增大而增大， 即当x 1>x 2时，必有y 1>y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1>0， 故C 选项不符合；D 、∵对称轴为直线x =2， ∴当x <0时y 随x 的增大而减小， 即当x 1>x 2时，必有y 1<y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1<0， 故D 选项符合； 故选：D ．根据各函数的增减性依次进行判断即可．本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，需要结合图象去一一分析，有点难度．9.【答案】C【解析】解：反比例函数y=kx(k<0)图象在二、四象限，(1,a)(2,b)在第四象限，在第四象限y随x的增大而增大，因此a<b<0，(−3,c)在第二象限，因此c>0，故a<b<0<c，即：a<b<c，故选：C．根据反比例函数图象所在的象限，再根据点所在象限图象上，依据反比例函数的增减性进行判断．考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标的特点，用图象法是比较直观的方法．10.【答案】A【解析】解：∵反比例函数的图象经过点(−1,4)，∴k=(−1)×4=−4，∴反比例函数的关系式是y=−4x．故选：A．先根据反比例函数中k=xy的特点求出k的值，故可得出结论．本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的关键．11.【答案】6√2【解析】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠CAO=90°，∴∠BOD=∠CAO，∵∠ACO=∠BDO=90°，∴△ACO∽△ODB，∵点A，B分别分别在反比例函数y=−3x (x<0)与y=6x(x>0)图象上，∴S△AOC=12×|−3|=32，S△BOD=12×6=3，即S△AOC：S△BOD=1：2，∴OA：OB=1：√2，在Rt△AOB中，设OA=x，则OB=√2x，AB=6，根据勾股定理得：AB2=OA2+OB2，即36=x2+2x2，解得：x=2√3，∴OA=2√3，OB=2√6，则S△AOB=12OA⋅OB=6√2．故答案为：6√2．过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ACO与三角形ODB相似，由A、B分别在反比例函数y=−3x (x<0)与y=6x(x>0)图象上，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOC与三角形BOD面积，进而得到面积之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为OA与OB之比，设出OA=x，OB=√2x，在直角三角形AOB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OA 与OB的长，即可求出三角形AOB的面积．此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数k 的几何意义，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．12.【答案】4−4n+1【解析】解：如图，过点P1、点P n作y轴的垂线段，垂足分别是点B、点C，过点P1作x轴的垂线段，垂足是点E，P1E交CP n于点A，则点A的纵坐标等于点P n的纵坐标等于42n ，AC=2，AE=42n，故S1+S2+S3+⋯+S n=S矩形P1EOB−S矩形AEOC=2×42−2×42(n+1)=4−4n+1．故答案为4−4n+1．易求得P1的坐标得到矩形P1AOB的面积；而把所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形P1ACB的面积，即可得到答案．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，也考查了图形的平移以及矩形的性质，难度适中．13.【答案】2【解析】解：把(a,1)代入y=12x得12a=1，解得a=2，把(2,1)代入y=kx得a=2×1=2．故答案为2．先把(a,1)代入y=12x中求出a得到交点坐标，然后把交点坐标代入y=kx中可求出k的值．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．14.【答案】y=6x【解析】解：设反比例函数的表达式为y=kx，∵反比例函数的图象经过点A(a,a)和B(3a,−2)，∴k=a2=−6a，解得m1=6，m2=0(舍去)，∴k=6，∴反比例函数的表达式为y=6x．故答案为：y=6x．设反比例函数的表达式为y=kx，依据反比例函数的图象经过点A(a,a)和B(3a,−2)，即可得到k的值，进而得出反比例函数的表达式．本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题时注意：反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．15.【答案】4【解析】解：设反比例函数解析式为y=kx+1(k≠0)，∵当x=1时，y=2，∴2=k1+1， 解得k =4，∴反比例函数解析式为y =4x+1， 把x =0代入y =4x+1得：y =4， 故答案为：4．首先设反比例函数解析式为y =kx+1(k ≠0)，再把当x =1时，y =2代入反比例函数解析式即可算出k 的值，进而得到函数解析式，然后再把x =0代入函数解析式即可算出答案．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．16.【答案】③④【解析】解：y 随x 的增大而增大的函数有③④， 故答案为③④．根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质即可一一判断；本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，注意自变量的取值范围．17.【答案】解：(1)∵点E(−4,12)在y =kx 上，∴k =−2，∴反比例函数的解析式为y =−2x ， ∵F(m,2)在y =−2x上，∴m =−1．(2)∵菱形ABCD 和反比例函数y =−2x的图象是中心对称图形，E(−4,12)，F(−1,2)，)，点N的坐标为(1,−2)，∴点M的坐标为(4,−12图象在菱形ABCD内x的取值范围为：−4<x<−1或1<x<4．函数y=kx【解析】本题考查反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．(1)利用待定系数法即可解决问题；)，F(−1,2)，再得出点M及N的坐标，便可得出反比例函数的图象在(2)先得出E(−4,12菱形内部的自变量的取值范围．18.【答案】解：(1)利用描点法画出图形即可．(2)由图象可知，y是x的反比例函数，设y=k，x得到，k=6，把(1,6)代入y=kx∴y关于x的函数解析式为y=6．x(3)∵x≥8，y=6，x∴0<y ≤34．【解析】(1)利用描点法即可解决问题．(2)由图象可知，y 是x 的反比例函数，设y =kx ，利用待定系数法即可解决问题． (3)问题转化为已知x ≥8，求出y 的取值范围即可．本题考查描点法画函数图象、反比例函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键掌握描点法作图，学会利用图象得出函数的性质解决问题，属于中考常考题型． 19.【答案】解：(1)∵A(−4,2)，在反比例函数y =mx 图象上， ∴k =−4×2=−8，故反比例函数解析式为：y =−8x ， 把B(n,−4)代入y =−8x 得：n =2， 故B (2,−4)，把A ，B 代入y =kx +b 得： {2k +b =−4−4k +b =2， 解得：{k =−1b =−2，故一次函数解析式为：y =−x −2；(2)y =−x −2中，令y =0，则x =−2， 即直线y =−x −2与x 轴交于点C(−2,0)，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×2×2+12×2×4=6；(3)由图可得，不等式kx +b −m x >0的解集为：x <−4或0<x <2．【解析】(1)先把点A 的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m =−8，再把点B 的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n =2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；(2)先求出直线y =−x −2与x 轴交点C 的坐标，然后利用S △AOB =S △AOC +S △BOC 进行计算；(3)观察函数图象得到当x <−4或0<x <2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．。

沪科版九年级上册数学第21章二次函数与反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，图中虚线为抛物线的对称轴，则下列正确的是( )A.a＜0B.b＜0C.c＞0D.b 2-4ac＜02、若A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y= 的图象上，则y1与y2的大小关系是（）A.y1＜y2B.y1=y2C.y1＞y2D.无法确定3、直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B. C. D.4、如图，将直线y=x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2=10，则k 的值是（）A.5B.10C.15D.205、若是反比例函数，则必须满足（）A. B. C. 或 D. 且6、小明从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④2a-3b=0；⑤c-4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个7、若点A（a，b）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab﹣4的值为（）A.0B.-2C.2D.-68、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A. B. C.D.9、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C.D.10、将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y＝2（x+4）2+1，下列平移正确的是（）A.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位C.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位11、将抛物线y＝（x﹣2）2+2向左平移2个单位，得到的新抛物线为（）A.y＝（x﹣2）B.y＝（x﹣2）+4C.y＝x +2D.y＝（x﹣4）+212、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（）A.b＞0，c＞0B.b＞0，c＜0C.b＜0，c＜0D.b＜0，c＞013、如图，△ABC．的三个顶点分别为A（1，2），B（5，2），C（5，5）．若反比例函数在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A.2≤k≤25B.2≤k≤10C.1≤k≤5D.10≤k≤2514、将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A.y=（x-1）2+2B.y=（x+1）2+2C.y=（x-1）2-2D.y=（x+1）2-215、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-2，3）、（0，1），将线段AB沿x轴的正方向平移m（m>0）个单位，得到线段A' B'。

正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据．一、 正比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是yk x =，或表示为y kx =，k 是不等于零的常数．2、解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数；正比例函数y kx =的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．3、一般地，正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是经过（0，0），（1，k ）这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =．4、正比例函数图像的性质：（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 值也随着逐渐增大．正反比例函数综合知识结构模块一：正反比例函数图像和性质知识精讲内容分析（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y 值反而逐渐减小．二、反比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是xy k=，或表示为kyx=，其中k是不等于零的常数．2、解析式形如kyx=（k是常数，0k≠）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例系数．反比例函数kyx=的定义域是不等于零的一切实数．3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的图像．反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支．4、反比例函数图像的性质：（1）当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小；（2）当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大；（3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交．【例1】函数25(1)my m x-=+：（1）当m为_______时，它是正比例函数，且y随x的增大而增大；（2）当m为_______时，它是反比例函数，且在各个象限中，y随x的增大而增大．【答案】（1）6；（2）2-．【解析】（1）因为函数为正比例函数，则有251m-=，解得：6m=±，又函数y随着增大而增大，即可得10k m=+>，得：6m=；（2）因为函数为反比例函数，则有251m-=-，解得：2m=±，又函数y随着增大而增大，即可得10k m=+<，得：2m=-．【例2】（1）函数2y x=与3yx=的图像的交点坐标是_______________；例题解析（2）函数121y x y x=-=与的图像的交点坐标是___________．【答案】（1）⎝，⎛- ⎝；（2）122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，()11，．【解析】（1）令32x x=，解得1x =2x =，对应函数值分别为1y =2y =，即两函数图像交点坐标为⎝和⎛ ⎝； （2）令121x x -=，解得112x =-，21x =，对应函数值分别为12y =-，21y =，即两函数图像交点坐标为122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和()11，． 【总结】考查函数图像交点的求取，让两函数相等解方程即可，注意对应纵坐标．【例3】 已知直线2y mx =与双曲线1k y x-=的一个交点A 的坐标为(12)--，，则m k +=________；它们的另一个交点坐标是___________．【答案】4，()12，． 【解析】2y mx =和1k y x-=过点()12A --，，则有22m -=-，12k -=-，解得：1m =，3k =，则4m k +=，正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点对称，可知另一交点坐标为()12，． 【总结】考查根据正反比例函数图像上一点求对应的函数解析式及交点坐标．【例4】 若y 与1x成正比例关系，z 与x 成正比例关系，则y 与z 成___________关系． 【答案】反比例． 【解析】依题意可设()1110y k k x =⋅≠，()220z k x k =≠，则有12k k y z=，可知y 与z 成反比 例关系．【总结】考查几个变量的相互关系的推导，设比例系数转化即可．【例5】 若正比例函数和反比例函数的图像经过点A （-2，1）和点B (312)a b -+，，则2a b 的值为 ___________． 【答案】9．【解析】正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点中心对称，即()21B -，，即得：31221a b -=⎧⎨+=-⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩，则()2239a b =-=．【总结】考查平面直角坐标系中正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点对称．【例6】 若直线1100x y =-与双曲线2(0)my m x=≠的图像有两个交点，则m 的取值范围是___________． 【答案】0m <． 【解析】因为1100x y =-与2(0)m y m x =≠有两个交点，即方程100x m x-=有两个不相等的实数根，由此可得：20100x m =-<．【总结】考查交点问题，转化为方程根的问题，实际上，本题考虑函数所在象限相同即可．【例7】 如图，正比例函数1(0)y kx k =≠和反比例函数2(00)k y k x x=≠>，的图像在同一平面直角坐标系中大致是（ ）．【答案】D【解析】比例系数k 决定正反比例函数所在象限，0k >时，相应的正反比例函数图像都在 一、三象限，0k <时，相应的正反比例函数图像都在二、四象限，正反比例函数图像必有交点，符合0x >的条件，满足条件选项为D ．【总结】考查根据比例系数与0的大小关系确定正反比例函数图像所在象限解决问题，也可直接进行分类讨论．A xyO By xODyxOCyxO【例8】 若A 、B 两点关于y 轴对称，点A 在双曲线14y x=上，点B 在2y x =-上，则B 点坐标是_________． 【答案】()22-，或()22-，． 【解析】设点4A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为A 、B 关于y 轴对称，则有4B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，又B 在2y x =-上，则有4x x=，解得：2x =±，即得()22B -，或()22B -，． 【总结】考查正反比例函数性质的综合应用．【例9】 正比例函数1(0)y kx k =>和反比例函数21y x=的图像交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B 点，连接BC ，若△ABC 的面积是S ，求S 的值． 【答案】1．【解析】根据反比例函数的几何意义，可知12AOB S ∆=，正反比例函数两交点坐标关于原点对称，由此可知12BOC AOB S S ∆∆==，则有1AOB BOC S S S ∆∆=+=． 【总结】考查反比例函数的几何意义和正反比例函数两交点关于原点中心对称的综合应用．【例10】 已知正比例函数1(1)y k x =+与反比例函数21m y x-=交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是-1，点B 的纵坐标是2，求这两个函数的解析式．【答案】2y x =，2y x=．【解析】正反比例函数两交点关于原点中心对称，由此可知()12A --，，()12B ，，两函数 过点()12B ，，则有1212k m +=⎧⎨-=⎩，即两函数解析式分别为2y x =和2y x =．【总结】考查正反比例函数两交点关于原点中心对称的应用．【例11】 已知反比例函数11k y x=和正比例函数22y k x =的图像交于点（2，3）， （1） 求这两个函数解析式；（2） 判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上；（3） 求两个函数图像的另一个交点．【答案】（1）反比例函数：6y x =，正比例函数：32y x =；（2）在；（3）()23--，． 【解析】（1）因为正、反比例函数交于点（2，3），则有132k =，223k =，解得：16k =，232k =，即得两个函数解析式分别为6y x=和32y x =；（2）由166⨯=，可知点（1，6）在反比例函数图像上；（3）正反比例函数图像两交点坐标关于原点中心对称，可知另一交点坐标为()23--，． 【总结】考查正反比例函数两交点关于原点中心对称的应用．【例12】 已知函数(1)y k x =-的图像上一点A (03)-，，并且它和反比例函数的图像交于点B （2，m ）求反比例函数的解析式．【答案】6y x=．【解析】函数(1)y k x =-过点A (03)-，，则有3k -=-，解得：3k =，则函数解析式为()31y x =-，令2x =，得3m y ==，即()23B ，， 设反比例函数解析式为a y x =，则有32a=，解得：6a =，即反比例函数解析式为6y x=． 【总结】考查正反比例函数的结合应用，由函数图像上一点坐标即可确定相应函数解析式．【例13】 已知函数124my mx y x-==，的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标是1，求这两个函数图像的交点坐标．【答案】()12，和()12--， 【解析】令1x =，则有1y m =，24y m =-，两函数相交，令12y y =，即4m m =-， 解得：2m =，此时122y y ==，则一个交点坐标为()12，，两函数交点坐标关于原点 中心对称，可知另一交点坐标为()12--，． 【总结】考查正反比例函数的结合应用，由函数图像上一点坐标即可确定相应函数解析式．【例14】 已知直角坐标系内一个正方形的边长为2，中心位于点（2，2），各边与坐标轴平行，双曲线ky x =与正方形有公共点，求k 的取值范围．【答案】19k ≤≤．【解析】因为正方形边长为2，中心位于点（2，2），可得正方形四个顶点坐标分别为()11，， ()31，，()13，，()33，，反比例函数与正方形由公共点，临界情况分别为过点()11，和 ()33，，对应k 值分别为1111k =⨯=，2339k =⨯=，由此可得19k ≤≤． 【总结】考查确定相应变量取值范围，找准对应的临界值情况即可．【例15】 已知12y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y且当1x =时，5y =，当4x =时，18y =，求： （1）y 与x 的函数解析式； （2）当2x =时，y 的值． 【答案】（1）317y x =+2）627+ 【解析】（1）令111(0)y k x k =≠，220)y k =≠，则有121y y y k x =+=+，根据题意则有122154182k k k k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：1231747k k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则317y x =+ （2）令2x =，则有3127y =⨯． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程组即可．【例16】 已知：1223y y y =-，1y 与3x -成正比例，2y 与x+8成反比例，且当1x =和5x =-时，y 的值分别是3和-11，求y 和x 之间的函数关系式． 【答案】()2071038y x x =-++． 【解析】令()113y k x =-，228k y x =+，则有()2121323238ky y y k x x =-=--+，根据题意则有21213439316113k k k k ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩，解得：12569k k =⎧⎨=-⎩，则()2071038y x x =-++．【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程组即可．【例17】 在同一平面直角坐标系中，已知正比例函数12y x =-和正反比例函数26y x=-的图像相交于P 、Q 两点，点A 在x 轴的负半轴上，且与原点的距离是4， （1）求P 、Q 两点的坐标； （2）求△APQ 的面积． 【答案】（1）P-，(Q或(P，Q-；（2）【解析】（1）令12y y =，即62x x -=-，解得：1x =2x =，对应y值分别为-即得P 、Q两点坐标分别为-和(或(和-；（2）点A 在x 轴负半轴，且与原点距离为4，可得()40A -，，则有4OA =，直线PQ 过 原点，即可得：()11422APQ AOP AOQ P Q S S S OA y y ∆∆∆=+=⋅+=⨯⨯=．【总结】考查正反比例函数两交点坐标关于原点中心对称的综合应用．A BC OEFGPy x【例18】 A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别过A 、B 两点向x 、y 轴作垂线段，重叠部分的面积为1S =阴，如图所示，求空白部分的面积之和，即12S S +的值．【答案】4．【解析】根据反比例函数的几何意义，可得过点A 和 点B 与坐标轴围成的矩形面积为3，则有123312S S S ==-=-=阴，故124S S +=．【总结】考查反比例函数的几何意义，过反比例函数图像上一点作垂线与坐标轴形成的矩形面积为k ．【例19】 如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C在y 轴上，点B 是双曲线ky x=上的点，P （m ，n ）是图像上任意一点，过点P 分别作x 、y 轴的垂线段，垂足分别为E 、F ，若矩形OEPF 和正方形OABC 重合的部分的面积是S ，求出S 和m 的函数关系式． 【答案】()()303273m m S m m⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩【解析】由9OABC S AB BC =⋅=正方形，又AB BC =， 即得3AB BC ==，()33B ，，可得339k =⨯=，即可得以下分类讨论：当03m <≤时，3S S m ==重；当3m >时，3S S n ==重，点P （m ，n ）在双曲线上，即可得9n m =，则有273S n m==；综上所述，()()303273m m S m m⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩．AB OxyABC PQxy O A B CDOxy【总结】考查反比例函数几何意义的应用，注意求面积时候要进行分类讨论．【例20】 已知函数2(0)a y x x =>的图象与13(0)y x x-=<的图象关于y 轴对称．在2(0)ay x x =>的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2)，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足是Q ，若存在两点B 、C ，且B (0，2)，C (2，0)，使得四边形BCQP 的面积等于2，求P 点的坐标．【答案】5625P ⎛⎫⎪⎝⎭，．【解析】因为函数2(0)a y x x =>与13(0)y x x-=<关于y 轴对称，可得3a =，设3P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，依题意可得131222222BCQP BOQP BCOS S S x x ∆⎛⎫=-=+⋅-⨯⨯= ⎪⎝⎭，解得：52x =，即得5625P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【总结】考查平面直角坐标系中的图形面积计算，注意把点坐标转化为相应的线段长度，用割补法进行图形面积计算．【例21】 如图，正比例函数1y kx =（k >0）与反比例函数21y x=的图像交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连接BC ．若△ABC 的面积是S ，试指出S 是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】1．【解析】设点1A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，则有11122AOB S x x ∆=⋅⋅=，正比例函数和反比例函数两交点关于原点中心对 称，由此可得BOC AOB S S ∆∆=，故1AOB BOC S S S ∆∆=+=．【总结】考查反比例函数的几何意义和正反比例函数两交点关于原点中心对称的综合应用．【例22】 如图，直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ， 设△AOC 面积是1S ，△BOD 面积是2S ，△POE 面积是3S ，试比较123S S S ，，的大小 关系．FABP yABCDOxy【答案】312S S S >=．【解析】设线段PE 与双曲线相交于点F ，连接OF ．因为点A 、F 、B 均在双曲线(0)ky k x=>上，所以根据反比例函数图像的面积不变性，可得，122OEF kS S S ===，又易知3OEF S S >，所以312S S S >=．【总结】考查反比例函数的几何意义，本题中要特别注意3S 的大小判定．【例23】 已知：关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k +-+=的两根12x x ，满足22120x x -=，双曲线4(0)ky x x=>经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于点C ，求OBC S ∆． 【答案】32． 【解析】由22120x x -=，可得：12x x =或120x x +=． ①当12x x =时，对方程22(21)0x k x k +-+=，则有()22214410k k k ∆=--=-+=，得14k =， 则双曲线解析式为1y x =，设1D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则有22B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，122C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由此可得12111322222222OBC OAB OAC S S S x x x x ∆∆=-=⋅⋅-⋅⋅=-=；②当120x x +=时，对方程22(21)0x k x k +-+=，则有210k -=，得12k =， 此时方程无解，不满足题意．综上所述，32OBC S ∆=．【总结】考查平面直角坐标系中的图形面积计算，注意把点坐标转化为相应的线段长度，用割补法进行图形面积计算．【例24】 已知：在矩形AOBC 中，OB =4，OA =3，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过F点的反比例函数ky x =的图像与AC 边交于点E ．（1）求出满足题意的k 的取值范围；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求S 关于k 的函数解析式； （3）是否存在这样的实数k ，使△OEF 和△ECF 面积相等？ 若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）012k <<；（2）2112S k k =-+；（3）不存在．【解析】（1）因为反比例函数上一点F 是BC 上一动点，又44k F ⎛⎫⎪⎝⎭，，可得：034k <<，即得012k <<；（2）由点E 、F 在反比例函数图像上，得：12AOE BOF S S k ∆∆==，又33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫⎪⎝⎭，，则43k CE =-，34k CF =-，由此可得：2111436223424CEF k k S CE CF k k ∆⎛⎫⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由此可得：2OACB AOE BOF CEF S S S S S ∆∆∆=---2211113426222412k k k k k k ⎛⎫=⨯----+=-+ ⎪⎝⎭；（3）若CEF OEF S S ∆∆=，则有21012S k k =-+=，解得：10k =，212k =， 不在题目相应取值范围之内，即不存在这样的实数k ．【总结】考查与反比例函数相关联的图像面积问题，根据点在函数图像上进行求解．【例25】 如图，11POA ∆、212PA A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数9(0)y x x=<的图像上，斜边1OA 、ky x=都在x 轴上，则点2P 的坐标为_________．【答案】()332332---，．【解析】作1PM 、2P N x ⊥轴分别交x 轴于 点M 、点N ，11POA ∆是等腰直角三角形，可得11PMOM MA ==．由点1P 在9(0)y x x=<上，可得：()133P --，，则16OA =．OM Ny A B xO P又212P A A ∆是等腰直角三角形，则有12A N P N =．设2P 横坐标为a ()6a <-，则2116P N A N ON OA a ==-=--，即()26P a a +，在函数9(0)y x x =<上，则有96a a =+， 解方程得：332a =-±，取332a =--．则点2P 坐标为()332332---，．【总结】主要利用点在反比例函数图像上和等腰三角形的特殊性质，数形结合，建立横纵坐标之间的关系，进行求解计算．【例26】 在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过点A (1，0)且与y 轴平行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于P ．点E 为直线2l 一点，反比例函数(0)ky x x =>的图象过点E 且与直线1l 相交于点F . （1）若点E 与点P 重合，求k 的值；（2）连接OE 、OF 、EF ，若2k >，且△OEF 的面积为△PEF 的面积2倍，求点E 的坐标． 【答案】（1）2；（2）()32E ，． 【解析】（1）依题意可得()12P ，，当点E 与点P 重合时， 则有()12E ，，所以122k =⨯=； （2）因为点E 、F 在反比例函数上，得12BOE AOF S S k ∆∆==，且22k E ⎛⎫⎪⎝⎭，，()1F k ，，则12k EP =-，2CF k =-， 由此可得：()21111212224PEF k S PE PF k k k ∆⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭， 又OEF OAPB BOE AOF PEF S S S S S ∆∆∆∆=---， 则2211111122244OEF k S k k k k k k ∆⎛⎫=⋅----+=- ⎪⎝⎭， 若2OEF PEF S S ∆∆=，即得：221112144k k k ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，解得：12k =（舍），26k =，E ABxyOP FABOxy即得()32E ，． 【总结】本题综合性较强，主要考查与反比例函数相关联的图像面积问题，根据点的坐标与函数解析式间的关系进行求解．【例27】 如图，已知直线112y x =与双曲线2(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是4，过原点O 的另一条直线L 交双曲线2(0)ky k x =>于P 、Q 两点（点P 在第一象限），若由点A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形的面积是24，求点P 的坐标．【答案】()24，或()81，． 【解析】因为点A 在直线上112y x =，令4x =，则有11422y =⨯=，得()42A ，， 则428k =⨯=，设点8P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，根据反比例函数与正比例函数两交点关于原点对称，易得四边形ABPQ 为平行四边形， 则有6AOP S ∆=，即可得以下分类讨论：①04x <<时，()81816484262AOP S x x x x x ∆⎛⎫=⋅----=-= ⎪⎝⎭，解得：18x =-（舍），22x =，即得()24P ，； ②当4x >时，()1816284262AOP S x x x x x ∆⎛⎫=----=-+= ⎪⎝⎭， 解得：12x =-（舍），28x =，即得()81P ，．综上所述，点P 的坐标为()24，或()81，． 【总结】考查正比例函数和反比例函数两交点关于原点中心对称，利用类似【例26】求面积的方法即可把所求面积表示出来再进行解题计算．【习题1】 已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点()215-，，那么这两个函数的另一个交点的坐标为________，两个函数解析式分别是_________________________． 【答案】()125--，，()525y x =+和525y x-=． 【解析】根据正反比例函数两交点关于原点中心对称，可知另一交点坐标为()125--，， 设正比例函数解析式为1y k x =，反比例函数解析式为2k y x =， 因为函数图像过点()215-，，即可得()1215k -=，2521k =-， 解得：1525k =+，2525k =-，即得两个函数解析式分别为()525y x =+和525y x-=． 【总结】考查正反比例函数两交点坐标关于原点中心对称，由函数图像上一个点的坐标即可确定相应正反比例函数的函数解析式．【习题2】 若正比例函数和反比例函数都经过1(0)y mx m =≠和2(0)n y n x=≠都经过点（2，3）则m =___________，n =__________．随堂检测【答案】32，6． 【解析】因为函数1y mx =和2n y x=都过点（2，3），则有23m =，32n =，解得：32m =，6n =． 【总结】考查通过正反比例函数上一个点的坐标即可确定相应函数解析式．【习题3】 已知：221(+2)mm y m m x +-=：（1）如果y 是x 的正比例函数，则m ______，函数解析式为_________； （2）如果y 是x 的反比例函数，则m ______，函数解析式为_________．【答案】（1）m = 1，3y x =；（2）m 1=-，1y x=-．【解析】（1）函数为正比例函数，则有221120m m m m ⎧+-=⎪⎨+≠⎪⎩，可得：1m =，函数解析式为3y x =；（2）函数为反比例函数，则有221120m m m m ⎧+-=-⎪⎨+≠⎪⎩，解得：1m =-，此时函数解析式即为1y x =-． 【总结】考查正反比例函数解析式及与其相关的比例系数的结合应用．【习题4】 点P 是反比例函数图像2y x=-上的一点，PD ⊥x 轴，则△POD 的面积为_______． 【答案】1．【解析】设2P x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则有112122POD S DO PD x x ∆=⋅=-=． 【总结】考查反比例函数的几何意义，过反比例函数图像上任一点向坐标轴作垂线，垂足与原点构成的三角形面积为12k ．【习题5】 如图，A 是反比例函数ky x=图像上的一点，过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为P 、C ，若矩形ACOP 的面积是3，则反比例函数的解析式是________．【答案】3y x=．P OxDy AxCO P y【解析】设k A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，则有3ACOP k S PO AP x x =⋅==，即得：3k =±，点A 在第三象限，可知0k >，得反比例函数解析式为3y x=．【总结】考查反比例函数的几何意义，过反比例函数图像上任一点向两坐标轴作垂线，垂足与原点构成的矩形面积为k ．【习题6】 已知函数1y ax =与反比例函数2by x=的图像在同一直角坐标系中无交点，则a 和b 的关系式（）． A ．0ba >B ．0a b ->C ．0a b +=D ．0ab <【答案】D【解析】因为1y ax =与2b y x =无交点，即方程b ax x=无实数根，由此可得：20bx a =<，即a 、b 异号，由此0ab <，故选D ．【总结】考查交点问题，转化为方程根的问题，实际上，本题考虑函数所在象限不同即可．【习题7】 已知函数1(0)y x x =>与反比例函数24(0)y x x=>的图像在如图所示，下列结论正确的是（）．① 两函数的交点坐标为（2，2）； ② 当212x y y >>时；③ 直线x=1分别与两函数的图像交于B 、C 两点，则线段BC 的长为3； ④ 当x 逐渐增大时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小． A ．只有①② B ．只有①③C ．只有②④D ．只有①③④【答案】D 【解析】令4x x=，解得：2x =±，由0x >，则有2x =， 此时2y x ==，即得交点坐标（2，2），①正确；对同一x 值而言，函数图像在上方即相应函数值越大， 当2x >时1y 在2y 上方，即12y y >，②错误；令1x =，得：()11B ，，()14C ，，则有3BC =，③正确；ABC Oxy根据正比例函数和反比例函数的增减性，0x >时，10k =>，正比例函数1y 随x 增大而 增大，40k =>，反比例函数2y 随x 增大而减小，可知④正确； 综上所述，①③④正确，故选D ．【总结】考查正反比例函数性质和交点的结合应用．【习题8】 已知12y y y =-，1y 与2x 成正比例，2y 与2x -成反比例，当x = 1时，1y =-；当x = 3时，y = 5；（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x =-y 的值．【答案】（1）22y x x =+-；（2）1-． 【解析】（1）设11122y k x k x =⋅=，222k y x =-，则212122ky y y k x x =-=--，依题意可得：12122165k k k k +=-⎧⎨-=⎩，解得：12122k k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，由此即得：22y x x =+-； （2）令x =-11y =-=-=-．【总结】考查利用待定系数法求解函数关系式，根据题意即可两个条件即可转化为关于两个系数的二元一次方程组即可进行求解．【习题9】 点P 是反比例函数与正比例函数2y x =-的图像的交点，PQ ⊥x 轴于点Q （2，0）．（1） 求这个反比例函数的解析式；（2） 如果点M 在这个反比例函数的图像上，且△MPQ 的面积是6，求M 点的坐标．【答案】（1）8y x =-；（2）855⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()18-，． 【解析】（1）由Q （2，0），可得P 点横坐标为2，令2x =，得：24y x =-=-， 设反比例函数解析式为k y x=，则有42k=-，解得：8k =-，即得反比例函数解析式为8y x=-； （2）由（1）可得4PQ =，6MPQ S ∆=，即得1142622M P M PQ x x x -=⨯-=，解得：5M x =或1M x =-，即得：M 855⎛⎫- ⎪⎝⎭，或M ()18-，．ABCDP xyO【总结】考查与反比例函数相关的图形面积计算．【习题10】 已知：如图，等腰Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴的正半轴上，斜边AC 上的中线BD 的反向延长线交y 轴的负半轴于点E ，且B 恰好是DE 的中点，双曲线(0)ky k x=>经过点A ，若△BEC 的面积为5，求k 的值． 【答案】10【解析】设k A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，因为ABC ∆为等腰直角三角形，依题意可得：45OBE CBD ∠=∠=︒，则有OE OB x ==，k BC AB x ==，则有11522BEC kS BC OE x x ∆=⋅=⋅⋅=，得10k =．【总结】考查反比例函数几何意义与特殊图形面积的结合应用．【习题11】 两个反比例函数1k y x =和21y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在1ky x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交21y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点，交21y x=的图象于点B ，当点P 在1ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是( )．A ．①②③④B ． ①②③C ．①②④D ． ①③④【答案】C【解析】根据反比例函数的几何意义，可得12ODB OCA S S ∆∆==，则①正确；又1ODB OCA OCPD PAOB S S S S k ∆∆=--=-矩形四边形，②正确；由122OPD OPC OCPD kS S S ∆∆===矩形，可得OPD ODB OPC OCA S S S S ∆∆∆∆-=-，即OPB OPA S S ∆∆=，点P 移动过程中不能确保OC OD =，即P A 、PB 不是始终相等，③错误； A 是PC 中点 时，则有OCA OPA OPB ODB S S S S ∆∆∆∆===，则有OP PB =，可知④正确； 综上所述，①②④正确，故选C ． 【总结】考查反比例函数的几何意义的应用．ABCDExyO【习题12】 已知：正方形1112A B PP 的顶点12P P ，在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点11A B ，分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2223A B P P ，顶点3P 在反比例函数2(0)y x x =>的图象上，顶点2A 在x 轴的正半轴上，则点3P 的坐标为______．【答案】()3131+-，【解析】设12P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，则有1211P P OB x x x OA ===-， 12112P P OA y OB x y x =-=-=，即得点222P x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在 反比例函数2(0)y x x =>上，则有222x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：1x =，即得()112P ，，()221P ，． 根据正方形的性质，可得：22232P B B P A x x y x x -==-，22322P B P A B y y y x x -==-， 则有323P P P x x y -=，设32''P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则有2'2'x x -=，解得：'13x =+或'13x =-（舍），则有()33131P +-，．【总结】考查正方形的特殊性质和反比例函数上点坐标结合的应用．【作业1】 已若y 与3x -成反比例，x 与4z成正比例，则y 是z 的__________． 【答案】正比例函数． 【解析】依题意可设()1103k y k x =≠-，()2240x k k z=⋅≠，则有1212k y z k =-，12012k k -≠，可知y 是z 的正比例函数．【总结】考查几个变量的相互关系的推导，设比例系数转化即可．【作业2】 正比例函数113y x =和反比例函数2ky x=的图像都经过A (m ，1)，则m =课后作业xOy_________，反比例函数的解析式为______________．【答案】3，3y x=．【解析】函数113y x =过点A (m ，1)，依题意则有113m =，解得：3m =，即点A (3，1)．反比例函数2k y x =过点A (3，1)，则有13k =，解得：3k =，即反比例函数解析式为3y x=． 【总结】考查根据正反比例函数上一点坐标确定相应函数解析式．【作业3】 A 是反比例函数ky x=图像上的一点，AB ⊥x 轴于点B ，若3AOB S ∆=，则k 的值是__________． 【答案】6±．【解析】设点k A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，则有11322AOB k S x k x ∆=⋅==，解得：6k =±．【总结】考查反比例函数的几何意义，三角形面积为12k ．【作业4】 设直线(0)y kx k =<与双曲线5y x=-相交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，则12213x y x y -的值为() A ．-10B ．-5C ．5D ．10【答案】A【解析】因为正反比例函数两交点坐标关于原点中心对称，则有21x x =-，21y y =-，由此可得：()()()12211111113322510x y x y x y x y x y -=⋅---⋅==⨯-=-，故选A ．【总结】考查正反比例函数两交点坐标关于原点中心对称．【作业5】 在同一坐标系中函数1y kx =和2-1k y x=的大致图像是（ ）-11-1 1 1-11xyxyx yxy-1ABCD【答案】D 【解析】令1k kx x -=，即得：2111k x k k-==-，可知0k <时，正反比例函数都经过二、四象限，且有2111x k=->，由此可得1x <-，故选D ． 【总结】考查正反比例函数在同一坐标系中的图像问题，根据相应字母取值范围确定函数图像的情况．【作业6】 如图，正比例函数y x =与反比例函数1y x=的图象相交于点A 、C 两点， AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，求四边形ABCD 的面积．【答案】2．【解析】根据正反比例函数两交点坐标关于原点 对称，易得四边形ABCD 为平行四边形，根据反比例函数的几何意义，可得12AOB S ∆=，则有14422ABCDAOB SS ∆==⨯=． 【总结】考查正反比例函数两交点关于原点对称和反比例函数几何意义的结合应用．【作业7】 已知12y y y =+，1y 与22x 成正比例，2y 与x 成反比例，当x =1时，y 的值为5；当x =4时，y 的值为18，求当x =9时，y 的值．【答案】2473．【解析】设2211122y k x k x =⋅=1(0)k ≠，22k y x =2(0)k ≠，则2212ky k x x=+，ABCD O xyA F BCDExyO根据题意代值计算，可得：12212532182k k k k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：12124k k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，由此即得：24y x x =+．当9x =时，24247939y =+=． 【总结】考查利用待定系数法求解函数关系式，根据题意即可两个条件即可转化为关于两个系数的二元一次方程组即可进行求解．【作业8】 如图，直线(0)x t x =>与反比例函数1221y y x x ==-，的图象分别交于B ，C 两点，A 为y 轴上的任意一点，求△ABC 的面积．【答案】32．【解析】依题意可得：2 B t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1 C t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则有3BC t=，1133222ABC A S BC x t t ∆=⋅=⋅⋅=．【总结】考查反比例函数几何意义的应用．【作业9】 如图所示，正方形OABC 、ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数1(0)y x x =>的图像上，求点E 的坐标．【答案】155122 ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，． 【解析】由1OABC S AB BC =⋅=，四边形为正方形，ABCx=txyO则有AB BC =，即得：1AB BC ==，所以() 11B ，．设点E 横坐标为x ，则纵坐标为1x -，即点()1E x x -，在函数1(0)y x x =>上，则有11x x -=，解得：x x所以点E 坐标为：E ⎝⎭．【总结】考查反比例函数几何意义的应用，用点在函数图像上进行解题．【作业10】 如图所示，已知正比例函数1y ax =的图像和反比例函数2ky x=的图像交于A （3，2）．（1） 试确定正比例函数和反比例函数的解析式；（2） 根据图像回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3） M （m ，n ）是反比例函数上的动点，其中03m <<，过点M 坐MN ∥x 轴，交y轴于点B ，过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线BM 于点D ，当四边ABM D C xyO 形OADM 的面积是6时，请判断BM 与DM 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）正比例函数解析式23y x =， 反比例函数解析式6y x =；（2）03x <<；（3）BM DM =．【解析】（1）反比例函数与正比例函数相交，交点同时在两函数上，由此可得32a =，23b=，解得：23a =，6b =，即得正比例函数解析式为23y x =，反比例函数解析式为6y x=；（2）函数值大，从图像上判断即为函数图像在上方，由此可判断在第一象限内反比例函数值大于正比例函数值，对应自变量取值范围即为03x <<； （3）连结OD ，根据反比例函数的几何意义，可得1632BOM OCA S S ∆∆==⨯=，OBM OCA OCDB OADM S S S S ∆∆=--矩形四边形，由6OADM S =四边形，可得：12OCDB S =矩形，由1112622OBD OCD OCDB S S S ∆∆===⨯=矩形，可得：OBD OBM OCD OCA S S S S ∆∆∆∆-=-，即3OAD OMD S S ∆∆==，则3OBM OMD S S ∆∆==，两三角形同高，即可得：BM DM =．【总结】（1）两函数的交点同时在两个函数上，分别满足两个函数关系式（2）根据函数图像判断对应函数值大小，图像在上方的位置即为函数值较大，（3）考查反比例函数的几何意义，反比例函数任上一点向任一坐标轴作垂线和原点所得三角形面积为12k ，向两条坐标轴作垂线所得矩形面积为k ．【作业11】 如图（a )双曲线1(0)ky k x=>与直线`2y k x =交于A 、B 两点，点A 在第一象限，试回答一下问题（1）若点A 的坐标为（4，2），则点B 的坐标为______________；若A 的横坐标为m ，则点 B 的坐标可以表示为______________；（2）如图（b ）所示，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线1(0)ky k x=>于P 、Q 两点，点P 在第一象限，①说明四边形APBQ 一定是平行四边形②设点A 、P 的横坐标分别是m 、n 四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出m 、n 应满足的条件；若不可。

反比例函数一. 教学要求1、理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。

2、会画反比例函数的图像，掌握反比例函数的性质3、会用反比例函数的图像、性质解决实际问题二. 重点及难点重点：1、示范反比例函数的概念，2、反比例函数的性质3、反比例函数的定义、图像的应用 难点：1、试用待定系数法求反比例函数的表达式。

2、反比例函数的性质应用。

三. 课堂教学 ［知识要点］知识点1、反比例函数的概念定义：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成x ky =（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

说明：（1）等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且x 的指数是1，若写成1-=kx y ，则x 的指数是－1。

（2）比例系数k ≠0时反比例函数定义的一个重要组成部分。

（3）自变量ｘ的取值范围是ｘ≠0的一切实数。

（4）函数ｙ的取值范围也是一切非零实数。

知识点2、用待定系数法求反比例函数的表达式 由于在反比例函数x ky =中，只有一个待定系数，因此只需要一组对应值，即可求出ｋ的值，从而确定其表达式。

知识点3、反比例函数的图像和画法1、反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量ｘ≠0，函数ｙ≠0，所以它们的图像与ｘ轴，ｙ轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴。

2、反比例函数的图像的画法：（描点法） （1）列表： （2）描点： （3）连线：知识点4、反比例函数的性质1、关于反比例函数的性质主要研究它的图像的位置和函数值随ｘ的变化而变化的情况： 反比例函数 0,≠=k x kyｋ的符号ｋ＞0ｋ＜0图像性质（1）ｘ的取值范围是ｘ≠0，ｙ的取值范围是ｙ≠0（2）当ｋ＞0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小（1）ｘ的取值范围是ｘ≠0，ｙ的取值范围是ｙ≠0（2）当ｋ＜0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而增大 探究交流：已知一次函数42+=x y 和反比例函数)0(≠=k x ky ，若这两个函数的图像在同一坐标系中有两个交点A ，B ，试求k 的取值范围，并判断∠AOB 与90°的大小关系。

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】专题21.16反比例函数的几何综合问题大题专练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共25小题）1．（2021•江川区模拟）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2=kx的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 ；（3）点P是x轴上一点，当S△PAC=45S△AOB时，请直接写出点P的坐标为 ．2．（2021•靖江市模拟）如图，平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=k x（k≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）请直接写出y1＞y2时x的取值范围；（3）过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AD＝3CD，求点C的坐标．3．（2017秋•黄埔区期末）已知反比例函数y=w+3x的图象的一支位于第一象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求w的取值范围；（2）点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O 对称，若△ABC的面积为4，求w的值．4．（2020春•慈溪市期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A，B，与x轴交于点C，与y轴交于点D，其中点A（1，3）和点B（3，n）．（1）求一次函数的表达式．（2）求证：BC＝AD．（3）根据图象回答：当x为何值时，kx+b−mx＞0（请直接写出答案） ．5．（2020春•海陵区期末）如图，A、B是反比例函数y=kx的图象上关于原点O对称的两点，点C是y轴负半轴上一点，直线AC与x轴交于点D，且点C是线段AD的中点，连接BD．（1）求证：BD⊥OD；（2）若点C的坐标是（0，﹣2），且△ABD的面积为5，求k的值和B点坐标．6．（2020春•扬中市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，2）在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点B在OA的延长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD．（1）求该反比例函数的解析式；（2）当点B（6，4）时，求S△ABD；（3）若S△ACD=52，则线段BD＝ ．7．（2020春•洪泽区期末）如图，一次函数y＝kx+1与反比例函数y=mx的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C，请根据上述条件，解答下列问题：求：（1）k，m的值；（2）一次函数y＝kx+1图象与x轴交点D的坐标；（3）△ABC的面积．8．（2019秋•沈河区校级期中）如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线y2=mx分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E，tan∠BAO=12，OA＝4，OE＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出使y1＞y2的x取值范围；（3）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEP？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2021•东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，EF垂直平分对角线AC，垂足为D．点E、点F分别在BC、OA上，连接CF、AE，反比例函数y= kx的图象恰好经过点D，交线段AE于点G，点D的坐标为（4，2）．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）求直线AE的解析式；（3）求G的坐标．10．（2021•广州模拟）如图，直线AB：y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若双曲线y=kx（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k的取值范围．11．（2020春•偃师市期末）如图，一次函数y=43x+b的图象与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y=kx（x＜0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A、C落在x轴上（点A在点C的右边），BD与AC交于点E．（1）求一次函数的解析式；（2）求点D的坐标和反比例函数的解析式；（3）求点A的坐标．12．（2020春•瑞安市期末）如图，菱形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（2，0），点D在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点C．（1）求反比例函数的表达式．（2）将菱形ABCD向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求点E的坐标．13．（2019春•东海县期末）如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点A（﹣1，0），并与反比例函数y=k1 x（x＞0）的图象交于B（m，4）（1）求k1的值；（2）以AB为一边，在AB的左侧作正方形ABCD，求C点坐标；（3）将正方形ABCD沿着x轴的正方向，向右平移n个单位长度，得到正方形A1B1C1D1，线段A1B1的中点为点E，若点C1和点E同时落在反比例函数y=k2x的图象上，求n的值．14．（2021•东莞市模拟）如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=m x（x＞0）的图象的两个交点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标；（3）从下面A，B两题中任选一题作答．A．在（2）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．B．设直线AB交y轴于点C，点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，以点A，C，Q，M为顶点的四边形能构成菱形吗？若能，请直接写出点Q的坐标；若不能，说明理由．15．（2021•郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象与反比例函数y=k x（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）求△OAM的面积S．（3）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小并求出此时点P的坐标．16．（2020秋•禅城区期末）如图，直线AB与双曲线y=12x在第一象限内交于点P，点P的横坐标为6，直线AB与x轴、y轴分别交于A、B两点，且∠BAO＝45°；（1）求直线AB的解析式；（2）C为线段AB上一点，过C作CD∥y轴交双曲线y=12x于D点，连接DP，当△CDP是等腰直角三角形时，求点C的坐标．17．（2020春•温州期末）如图，点A，B分别在反比例函数y=kx（k≠0），y=4x在第一象限的图象上，点C是y轴正半轴上一点，连接AB，OB，AC．已知四边形ABOC是平行四边形，且A，B两点的纵坐标之比为9：4．（1）求k的值．（2）当▱ABOC是菱形时，求AB的长．18．（2020春•东阳市期末）如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数y=kx的图象过点A．（1）求k的值．（2）点P为反比例图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P 的坐标．（3）点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2019春•海陵区校级期末）如图，在直角坐标系xOy中，矩形ABCD的DC边在x轴上，D点坐标为（﹣6，0）边AB、AD的长分别为3、8，E是BC的中点，反比例函数y=kx的图象经过点E，与AD边交于点F．（1）求k的值及经过A、E两点的一次函数的表达式；（2）若x轴上有一点P，使PE+PF的值最小，试求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF、PE、PF，在直线AE上找一点Q，使得S△QEF＝S△PEF直接写出符合条件的Q点坐标．20．（2021•芜湖模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象上有一点D（m，43），过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB＝4．（1）点A的坐标为 （用含m的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式；（3）设直线AD的解析式为y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）．则不等式kx−（ax+b）＞0的解集是 ．21．（2021•济南二模）如图，一次函数y＝mx+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D（1，﹣2），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；（3）设点P是直线AB上一动点，且S△OAP=12S菱形OACD，求点P的坐标．22．（2020秋•昌图县期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=6x的图象交于A（2，m），B（n，1）两点，连接OA，OB．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求△OAB的面积；（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2021春•连云港期末）如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，4）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y=kx（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y=kx的另一个交点，（1）点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（2）动点P在第一象限内，且满足S△PBO=89S△ODE．①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；②连接PO、PE，当PO﹣PE的值最大时，求点P的坐标；③若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．24．（2020•绵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y=kx（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．25．（2020秋•丹东期末）如图，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y＝mx﹣2相交于A（6，1），B（n，﹣3），直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求k，m的值；（2）求出B点坐标，再直接写出不等式mx﹣2＜kx的解集；（3）点M在函数y=kx（k≠0）的图象上，点N在x轴上，若以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出N点坐标．。

一对一辅导授课讲义年 级:初三辅导科目:数学 课 题 反比例函数专题授课时间：备课时间：教学目标 反比例函数典型题型分析探究重点、难点反比例函数典型题型分析探究考点及考试要求 反比例函数典型题型分析探究教 学 内 容第一课时定义：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可表示成xky =（k 为常数，K≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

注意：反比例函数的自变量x 不能为零。

反比例函数图像： 反比例函数xky =的图象是由两支曲线组成的。

当0>k 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0<k 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

小注：（1）这两支曲线通常称为双曲线。

（2）这两支曲线关于原点对称。

（3）反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点。

巩固练习：1. 已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是【】A．B．C．D．【考点】反比例函数的性质和图象。

2. 点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数6y=x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是【】A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C． y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，有理数的大小比较。

3. 已知反比例函数m1yx-=的图象如图所示，则实数m的取值范围是【】A、m>1B、m>0C、m<1D、m<0 【考点】反比例函数的性质。

4. 已知点A(－1，y1)、B(2，y2)都在双曲线y＝3＋2mx上，且y1＞y2，则m的取值范围是【】A．m＜0 B．m＞0 C．m＞－32D．m＜－32【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解一元一次不等式。

5. 已知反比例函数1yx=的图象上有两点A（1，m）、B（2，n）．则m与n的大小关系为【】A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定【考点】反比例函数图象上点的坐标特征6. 已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数k1y=x-的解析式为【】A．1y=xB．3y=x-C．1y=x或3y=x-D．2y=x或2y=x-【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。

1相关资料§21.5反比例函数一、判断题1．当与y 乘积一定时，就是的反比例函x y x 数，也是的反比例函数（ ） x y 2．如果一个函数不是正比例函数，就是反比例函数 （ ）3．与成反比例时与并不成反比例y 2x y x （ ）二．填空题 4．已知三角形的面积是定值S ，则三角形的高h 与底a 的函数关系式是h =__________,这时h 是a 的__________；5．如果与成反比例，z 与成正比例，则y x y z 与成____ ___； x 6．如果函数是反比例函数，那么222-+=k k kxy k =________，此函数的解析式是____ ____； 7． 有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的，若下底长为x ，高为y ，则y 与x 的函31数关系是______________ 三、选择题： 8．如果函数为反比例函数，则的12-=m x y m 值是 （）A B CD 1-02119．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校。

在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s 千米与行进时间t 的函数图像的示意图，同学们画出的示意图如下，你认为正确的是（ ）10、下列函数中，y 是x 反比例函数的是（ ）（A ） 12+=x y （B ）22x y =（C ）x y 51=（D ）x y =2四．辨析题（1）兄弟二人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如下表：①写出兄吃饺子数与弟吃饺子数x 之间的函y 数关系式（不要求写的取值范围）. xy ②虽然当弟吃的饺子个数增多时，兄吃的饺子数()在减少，但与x 是成反例吗？ y y（2）水池中有水若干吨，若单开一个出水口，水流速v 与全池水放光所用时t 如下表：①写出放光池中水用时t(小时)与放水速度v(吨/小时)之间的函数关系. ②这是一个反比例函数吗？③与（1）的结论相比，可见并非反比例函数有可能“函数值随自变量增大而减小”，反之，所有的反比例函数都是“函数值随自变量的增大而减小吗？这个问题，你可以提前探索、尝试，也可以预习下一课时”反比例函数的图象和性质，也可以等到下一节课我们共同解决. 五．已知□ABCD 中，AB = 4，AD = 2，E 是AB 边上的一动点，设AE=，DE 延长线交CB 的x 29 28 27 26 …… 3 2 1 兄（y ）——……→逐渐减少1 2 3 4 …… 27 28 29弟（x ）——……→逐渐增多用时t （小时） 10 5 31025 2 45 1——……→逐渐减少 出水速度乙（吨/小时） 1 2 34 5 8 10 ——……→逐渐增大 DC2延长线于F ，设CF =，求与之间的函数y y x 关系。

辅导资料No.4例4、在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >> 【知识点四、反比例函数与一次（正比例）函数图象的交点】 例1、如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积．（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围【知识点五、反比例函数y=kx（k≠0）中k 的几何意义】 过函数 y=kx（k≠0）的图像上任一点),(y x p 作PM⊥x 轴，PN⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S 矩形=∣xy ∣=∣k ∣, S △POM =21∣k ∣。

例1．如上图、反比例函数y=的图象如图所示，点A 是该函数图象上一点，AB 垂直于x 轴垂足是点B ，如果S △AOB =1，则k 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2例2、在矩形AOBC 中，OB=6，OA=4，分別以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数 ky x= (k>0) 的图象与AC 边交于点E 。

若△OEF 的面积为9，则k 的值为 .课堂练习：1、设有反比例函数y k x=+1，(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是___________2．已知点A （72m -,5m -）在第二象限，且m 为整数，则过A 的反比例函数的关系式为__________________.3．正比例函数(2)y m x =-的图象与反比例函数1m y x +=的图象的一个交点是A ，点A 的横坐标是2，则此反比例函数的关系式为_________________. 4．已知点P 1(a ，b )在函数xky =(k ≠0)的图象上，那么不在此图象上的点是（ ） A ．P1(b ，a)B ．P2(－a ，－b )C ．P ３(－b ，－a )D ．P 4(－a 1，－b1) 5.如图，函数y ＝k （x ＋k ）与xky =在同一坐标系中，图象只能是下图中的（ ）6、若点A （-1，y 1）,B(2,y 2)，C （3，y 3）都在反比例函数(0)k y k x=的图象上，则下列关系式正确的是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 2＜y 1D 、y 1＜y 3＜y 2 7、已知反比例函数y ＝xm21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）．A 、m ＜0B 、m ＞0C 、m ＜21 D 、m ＞21 8、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）．A 、x ＜－1B 、x ＞2C 、－1＜x ＜0或x ＞2D 、x ＜－1或0＜x ＜29、A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S >10、在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线3y x=（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，OAB △的面积将会A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小 11．已知反比例函数y=（k ≠0）过点A （a ，y 1），B （a +1，y 2），若y 2＞y 1，则a 的取值范围为（ ）A ．﹣1＜aB ．﹣1＜a ＜0C ．a ＜1D ．0＜a ＜112．已知点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）在反比例函数y=（k ＜0）的图象上，若x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 3＜y 1＜y 213．函数xky -=1与x y 2=的图象没有交点，则k 的取值范围为（ ） A ．0<k B ．1<kC ．0>kD ．1>k6、直线b kx y +=与反比例函数ky x=（x ＜0）的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（－2，4），点B 的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC 的面积.7、已知：如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数ky x=的图象交于点()32A ，． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MN x ∥轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．yxOADMCB。

沪教版八年级数学上册《18.3反比例函数》同步练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．在下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A ．21y x =+B ．2x y =C ．5y x-=D ．2yx= 2．下列哪个点在反比例函数4y x=的图像上？（ ） A ．()11,4P - B ．()24,1P - C ．()32,4PD ．()422,2P3．若反比例函数ky x=（0k ≠）的图象经过点2,1，则k 的值是（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-4．若点()23，是反比例函数ky x=图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ） A ．()16， B ．()16-， C ．()32-， D ．()3-2，5．函数21y x =的大致图像是( ) A ． B ． C ． D ．6．若点()()()123,5,,2,,5A x B x C x -都在反比例函数10y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．132x x x <<D ．312x x x <<7．反比例函数ky x=（k 为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A 的坐标为(2,1)，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4值范围是（ ） A ．1a <-B ．11a -<<C ．1a >D ．1a <-或1a >二、填空题2ky x的图象，1k x-的图象的每一支上，完全平方式，则该反比例函数的解析式为三、解答题15．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，化简：2216(1)444k k k k k -++---．16．某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y （单位：天）是每天完成的工程量x （单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点()24,50（如图）．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠15m ，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机?17．如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()1,4-，点B 的坐标为()4,n .（1）根据图象，直接写出满足21k k x b x+>的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且:1:2AOP BOP S S ∆∆=，求点P 的坐标.参考答案：1．C 2．D 3．B 4．A 5．A 6．C。

练习4 反比例函数一．选择题1．反比例函数，那么该反比例函数的图象经过哪几个象限A．一、二象限B．一、三象限C．二、三象限D．二、四象限【解答】解：反比例函数中，图象位于二、四象限，应选：．2．点，，都在反比例函数的图象上，那么与的大小关系是A．B．C．D．不能确定【解答】解：，函数的图象在一、三象限，根据函数性质，函数在一、三象限随的增大而减小，，，应选：．3．假设反比例函数的图象经过点，那么这个函数的图象一定经过点A．B．，C．D．，【解答】解：把代入得：，解得：，即，．把代入得：左边右边，即一次函数的图象不经过点，故本选项不符合题意；．把，代入得：左边右边，即一次函数的图象不经过点，，故本选项不符合题意；．把代入得：左边右边，即一次函数的图象不经过点，故本选项不符合题意；．把，代入得：左边右边，即一次函数的图象经过点，，故本选项符合题意；应选：．二．填空题4．如图，一次函数与反比例函数交于，两点，过，两点分别作轴、轴的平行线交于点，连结交于点．当是面积的2倍时，那么的值是．【解答】解：过点作轴交于点，与轴交点为，轴，轴，四边形是矩形，设、两点横坐标为、，一次函数与反比例函数交于，两点，，，的坐标为，，，直线的解析式为，轴交于点，，，又直线与直线交于点，，即，，，，是面积的2倍，，，，即，又，那么，，又，那么，，，又，，，，联立，解得，，故答案为．5．如图，双曲线经过，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，作于点，连接，如果，，那么的面积：．【解答】解：轴于，轴于，，而，，反比例函数的解析式为，轴，，点的横坐标为2，当时，，，．故答案为6．6．如图，函数在第一象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转后，和过点，，的直线相交于点、，假设的面积是，那么的值为．【解答】解：连接，，过作轴于，过作轴于，点，，，，，，，，同理得：，，，，函数在第一象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转，建立新的坐标系：为轴，为轴，那么旋转后的函数解析式为：，在新的坐标系中，，，设直线的解析式为：，那么，解得，直线的解析式为：，设，，，，由得：，，，，，，，，，，；故答案为：．三．解答题7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．〔1〕求的值；〔2〕求一次函数的表达式；〔3〕当一次函数的值小于反比例函数的值时，求出自变量的取值范围．【解答】解：〔1〕把代入得，所以反比例函数解析式为，把代入得，解得，，，；〔2〕把，代入得，解得，所以一次函数解析式为；〔3〕当一次函数的值小于反比例函数的值时，自变量的取值范围是或．8．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点．〔1〕求一次函数的表达式与反比例函数的表达式；〔2〕当，时，直接写出自变量的取值范围为；〔3〕点是轴上一点，当时，请直接写出点的坐标为．【解答】解：〔1〕将，代入得，解得，一次函数为，将代入得，解得，反比例函数的解析式为；〔2〕由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或，故答案为或；〔3〕由题意可知，，把代入得，，解得，，，，，，即，，或，故答案为或．9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于点．〔1〕求一次函数和反比例函数的表达式；〔2〕设是反比例函数图象上一点，是直线上一点，假设以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．【解答】解：〔1〕点在直线上，，一次函数的表达式为；点在直线上，，点，点在反比例函数的图象上，，反比例函数的表达式为；〔2〕由〔1〕知，直线的表达式为，反比例函数的表达式为，设点，，假设以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，那么①以和为对角线时，，，，或〔此时，点不在第一象限，舍去〕，，，，②以和为对角线时，，，或〔此时，点不在第一象限，舍去〕，，，③以和为对角线时，，，或〔此时，点不在第一象限，舍去〕，，，即满足条件的点的坐标为，或，或，．1．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，那么代数式的值为A．B．C．D．【解答】由题意得，函数与的图象交于点，，，；应选：．2．如图，函数的图象与函数的图象交于、两点，连接并延长交函数的图象于点，连接，假设的面积为12，那么的值为．【解答】解：如图，连接．由题意，可得，．设直线与轴交于点，那么，设，，那么，，①．过点作轴于点，过点作轴于点，那么，，，将①代入，得②，①②，得，，①②，得，，，，．故答案为．3．反比例函数的图象与直线相交于点，过直线上点作轴于点，交反比例函数图象于点，且．〔1〕求的值；〔2〕在轴上确定一点，使点到，两点距离之和最小，求点的坐标．【解答】解：〔1〕，轴，，，，，，将坐标代入反比例解析式得：；〔2〕作点关于轴的对称点，连接交轴于点，那么点为所求点，理由：为最小，设直线的表达式为，那么，解得，故的表达式为，当时，，故点的坐标为．4．如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，．〔1〕求，的值并写出反比例函数的表达式；〔2〕连接，在线段上存在一点，使的面积等于5，请求出点的坐标．〔3〕设是轴上的一个动点，是否存在点使得的的周长最小？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．【解答】解：〔1〕点，在反比例函数的图象上，，即，，，，，点，点，，反比例函数的表达式为；〔2〕设点，，，，，，，点；〔3〕的周长，又是定值，当的值最小是，的周长最小，如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时有最小值，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，当时，，点．。

九年级上学期数学课时练习题21.5 反比例函数（2）一、精心选一选1﹒关于反比例函数y ＝－，下列说法正确的是（ ）2xA .图象过（1，2）点B .图象在第一、三象限C .当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D .当x ＜0时，y 随x 的增大而增大2﹒在同一直角坐标系中，函数y ＝－与y ＝ax +1（a ≠0）的图象可能是（ ）axA .B .C .D .3﹒反比例函数y ＝（m 为常数），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（12mx）A .m ＜0B .m ＜C .m ＞D .m ≥1212124﹒一次函数y ＝－x +a －3（a 为常数）与反比例函数y ＝－的图象交于A 、B 两点，当A 、B 两点4x关于原点对称时，a 的值是（ ）A .0B .－3C .3D .45﹒反比例函数y ＝－的图象上有两点P 1（x 1，y 1）,P 2（x 2，y 2），若x 1＜0＜x 2，则下列结论正确2x的是（ ）A .y 1＜y 2＜0 B .y 1＜0＜y 2 C .y 1＞y 2＞0 D . y 1＞0＞y 26﹒如图，直线y ＝－x +3与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝（k ≠0）的图象交于点C ，过点Ckx作CB ⊥x 轴于点B ，AO ＝3BO ，则反比例函数的解析式为（ ）A .y ＝B .y ＝－ 4x 4xC .y ＝D .y ＝－2x 2x7﹒已知反比例函数y ＝的图象经过点P （－1，2），则这个函数的图象位于kx（ ）A .第二、三象限B .第一、三象限C .第三、四象限D .第二、四象限8﹒如图，直线y ＝mx 与双曲线y ＝（k ≠0）交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，kx连接BM ，若S △ABM ＝2，则k 的值是（ ）A .2B .m －2C .mD .4第8题图第9题图第10题图9﹒如图，点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，过点B 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别2x为A 、C ，则矩形OABC 的面积为（ ）A .1B .2C .3D .410.如图，已知四边形OABC 是菱形，CD ⊥x 轴，垂足为D ，函数y ＝的图象经过点C ，且与AB4x交于点E .若OD ＝2，则△OCE 的面积为（ ）A .2B .4C .D .二、细心填一填11.已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是__________________.12.反比例函数y ＝的图象有一支位于第一象限，则常数a 的取值范围是__________.21a x13.若函数y ＝－kx +2k +2与y ＝（k ≠0）的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____.kx14.如图，直线y ＝－x +b 与双曲线y ＝－（x ＜0）交于点A ，与x 轴交于点B ，则1xOA 2－OB 2＝__________.第14题图第15题图第16题图15.如图，双曲线y ＝与直线y ＝kx +b 相交于点M ，N ，且点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标mx为－1，根据图象信息可得关于x 的方程＝kx +b 的解为________________.mx16. 如图，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点A ，D 在x 轴的正半轴上，点B ，E在反比例函数y ＝－的图象上，OA ＝1，OC ＝6，则正方形ADEF 的边长为________.kx三、解答题17.已知反比例函数y ＝的图象的一支位于第一象.7m x（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m 的取值范围；（2）如图，O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B 与点A 关于x 轴对称，若△OAB 的面积为6，求m 的值.18.如图，已知反比例函数y ＝与一次函数y ＝k 2x +b 的图象交于A (1，8)，B (－4，m ).1k x（1）求k 1、k 2、b 的值；（2）求△AOB 的面积；（3）若M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)是反比例函数y ＝图象上的两点，且x 1＜x 2，y 1＜y 2，指出点1k xM 、N 各位于哪个象限，并简要说明理由.19.反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的图象与直线y ＝3x 相交于点C ，过直线上点A （1，3）作kxAB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图于点D ，且AB ＝3BD .（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d ＝MC +MD 最小，求点M 的坐标.20.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x （小时）之间的函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y 与x 成反比例）.（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系；（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？21.如图，已知一次函数y ＝x －3与反比例函数y ＝的图象相交于点A （4，n ），与x 轴相交于32kx点B .（1）填空：n 的值为______，k 的值为__________；（2）以AB 为边作菱形ABCD ，使点C 在x 轴正半轴上，点D 在第一象限，求点D 的坐标；（3）考察反比例函数y ＝的图象，当y ≥－2时，请直接写出自变量x 的取值范围.kx21.5 反比例函数课时练习题（2）参考答案一、精心选一选题号12345678910答案DBCCDBDABC1﹒关于反比例函数y ＝－，下列说法正确的是（ ）2xA .图象过（1，2）点B .图象在第一、三象限C .当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D .当x ＜0时，y 随x 的增大而增大【解答】当x ＝1时，y ＝－2，则反比例函数y ＝－图象不经过点（1，2），故A 错误；2x∵k ＝－2＜0，∴函数图象位于二、四象限，故B 错误；∵k ＝－2＜0，∴该反比例函数图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，∴当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故C 错误；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故D 正确，故选：D .2﹒在同一直角坐标系中，函数y ＝－与y ＝ax +1（a ≠0）的图象可能是（ ）axA .B .C .D .【解答】当a ＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a ＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．A .图中直线经过直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故A 选项错误；B .图中直线经过第第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，故B 选项正确；C .图中直线经过第二、三、四象限，故C 选项错误；D .图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故D 选项错误．故选：B ．3﹒反比例函数y ＝（m 为常数），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ 12mx）A .m ＜0B .m ＜C .m ＞D .m ≥121212【解答】∵当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴1－2m ＜0，则m ＞，12故选：C .4﹒一次函数y ＝－x +a －3（a 为常数）与反比例函数y ＝－的图象交于A 、B 两点，当A 、B 两点4x关于原点对称时，a 的值是（ ）A .0B .－3C .3D .4【解答】设A （t ，－），4t ∵A 、B 两点关于原点对称，∴B （－t ，），4t把A （t ，－），B （－t ，），分别代入y ＝－x +a －3得：，4t 4t 43 4 3t a tt a t⎧-=-+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②①+②得：2a －6＝0，则a ＝3，故选：C .5﹒反比例函数y ＝－的图象上有两点P 1（x 1，y 1）,P 2（x 2，y 2），若x 1＜0＜x 2，则下列结论正确2x的是（ ）A .y 1＜y 2＜0B .y 1＜0＜y 2C .y 1＞y 2＞0D . y 1＞0＞y 2【解答】∵反比例函数y ＝﹣中k ＝﹣2＜0，2x∴此函数图象在二、四象限，∵x 1＜0＜x 2，∴A （x 1，y 1）在第二象限；点B （x 2，y 2）在第四象限，∴y 1＞0＞y 2，故选：D ．6﹒如图，直线y ＝－x +3与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝（k ≠0）的图象交于点C ，过点C kx作CB ⊥x 轴于点B ，AO ＝3BO ，则反比例函数的解析式为（ ）A .y ＝B .y ＝－4x 4x C .y ＝ D .y ＝－2x 2x【解答】∵直线y ＝﹣x +3与y 轴交于点A ，∴A （0，3），即OA ＝3，∵AO ＝3BO ，∴OB ＝1，∴点C 的横坐标为﹣1，∵点C 在直线y ＝﹣x +3上，∴点C （﹣1，4），把C （﹣1，4）代入y ＝得：k ＝－4，kx∴反比例函数的解析式为：y ＝－．4x故选：B ．7﹒已知反比例函数y ＝的图象经过点P （－1，2），则这个函数的图象位于（ ）kxA .第二、三象限B .第一、三象限C .第三、四象限D .第二、四象限【解答】∵反比例函数y ＝的图象经过点P （－1，2），kx∴k ＝－1×2＝－2＜0，∴反比例函数的图象分布在二、四象限，故选：D .8﹒如图，直线y ＝mx 与双曲线y ＝（k ≠0）交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，kx连接BM ，若S △ABM ＝2，则k 的值是（ ）A .2B .m －2C .mD .4【解答】设A （x ，y ），∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝交于A 、B 两点，kx∴B （﹣x ，﹣y ），∴S △BOM ＝，S △AOM ＝，12xy 12xy ∴S △BOM ＝S △AOM ，∴S △ABM ＝S △AOM +S △BOM ＝2S △AOM ＝2，S △AOM ＝＝1，则k ＝±2．12k 又∵反比例函数位于一三象限，∴k ＞0，故k ＝2，故选：A ．9﹒如图，点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，过点B 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别2x为A 、C ，则矩形OABC 的面积为（ ）A .1B .2C .3D .4【解答】设B （m ，）（m ＞0），2m ∵BA ⊥x 轴，∴A （m ，0），∴OA ＝m ，AB ＝，2m∴S 矩形OABC ＝OA AB ＝m ×＝2， 2m故选：B .10.如图，已知四边形OABC 是菱形，CD ⊥x 轴，垂足为D ，函数y ＝的图象经过点C ，且与AB 4x交于点E .若OD ＝2，则△OCE 的面积为（ ）A .2B .4C .D .【解答】连接AC ，∵OD ＝2，CD ⊥x 轴，∴OD ×CD ＝xy ＝4，解得CD ＝2，由勾股定理，得OC＝，由菱形的性质，可知OA ＝OC ，∵OC ∥AB ，∵△OCE 与△OAC 同底等高，∴S △OCE ＝S △O AC ＝×OA ×CD ＝××2＝．1212故选：C ．二、细心填一填11.（－1，－3）；12. a ＞； 13. k ＞－且k ≠0； 121214. 2； 15. x 1＝1，x 2＝－3； 16. 2.11.已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是__________________.【解答】∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴所求点的坐标为（－1，－3），故答案为：（－1，－3）.12.反比例函数y ＝的图象有一支位于第一象限，则常数a 的取值范围是__________.21a x-【解答】∵反比例函数y ＝的图象有一支位于第一象限，21a x -∴2a －1＞0，解得：a ＞，12故答案为：a ＞.1213.若函数y ＝－kx +2k +2与y ＝（k ≠0）的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____.kx【解答】把方程组消去y 得：－kx +2k +2＝，22y kx k ky x =-++⎧⎪⎨=⎪⎩k x 整理得：kx 2－(2k +2)x +k ＝0，由题意得：△＝(2k +2)2－4k 2＞0，解得：k ＞－，12∴当k ＞－时，函数y ＝－kx +2k +2与y ＝（k ≠0）的图象有两个不同的交点，12kx故答案为：k ＞－且k ≠0.1214.如图，直线y ＝－x +b 与双曲线y ＝－（x ＜0）交于点A ，与x 轴交于点B ，则1xOA 2－OB 2＝__________.【解答】∵直线y ＝﹣x +b 与双曲线y ＝﹣（x ＜0）交于点A ，1x设A 的坐标（x ，y ），∴x +y ＝b ，xy ＝﹣1，而直线y ＝﹣x +b 与x 轴交于B 点，∴OB ＝b ，∴又OA 2＝x 2+y 2，OB 2＝b 2，∴OA 2﹣OB 2＝x 2+y 2﹣b 2＝(x +y )2﹣2xy ﹣b 2＝b 2+2﹣b 2＝2．故答案为：2．15.如图，双曲线y ＝与直线y ＝kx +b 相交于点M ，N ，且点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标mx为－1，根据图象信息可得关于x 的方程＝kx +b 的解为________________.mx【解答】∵点M （1，3）在反比例函数的图象上，∴m ＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝，3x∵点N 在反比例函数的图象上，且N 点的纵坐标为－1，∴x ＝3，∴点N 的坐标为（－3，－1），∵点M ，N 是一次函数图象与反比例函数图象的交点，∴关于x 的方程＝kx +b 的解为：x 1＝1，x 2＝－3，mx故答案为：x 1＝1，x 2＝－3.16. 如图，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点A ，D 在x 轴的正半轴上，点B ，E在反比例函数y ＝－的图象上，OA ＝1，OC ＝6，则正方形ADEF 的边长为________.kx【解答】∵OA ＝1，OC ＝6，∴点B 的坐标为（1，6），∴k ＝1×6＝6，∴反比例函数的解析式为y ＝，6x设AD ＝t ，则OD ＝1+t ，∴点E 的坐标为（1+t ，t ）,∴(1+t )t ＝6，解得：t 1＝2，t 2＝－3（舍去）∴正方形ADEF 的边长为2，故答案为：2.三、解答题17.已知反比例函数y ＝的图象的一支位于第一象.7m x（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m 的取值范围；（2）如图，O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B 与点A 关于x 轴对称，若△OAB 的面积为6，求m 的值.【解答】（1）根据反比例函数图象关于原点对称知，该函数图象的另一支位于第三象限，∴m －7＞0，∴m 的取值范围为m ＞7；（2）∵点B 与点A 关于x 轴对称，∴△AOC ≌△BOC ，∴S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝3，12设A （x ，），则x ×＝3，7m x -127m x -解得：m ＝13，故m 的值为13.18.如图，已知反比例函数y ＝与一次函数y ＝k 2x +b 的图象交于A (1，8)，B (－4，m ).1k x （1）求k 1、k 2、b 的值；（2）求△AOB 的面积；（3）若M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)是反比例函数y ＝图象上的两点，且x 1＜x 2，y 1＜y 2，指出点1kx M 、N 各位于哪个象限，并简要说明理由.【解答】（1）把A (1，8)，B (－4，m ) 分别代入y ＝，得k 1＝8，m ＝－2，1k x ∵A (1，8)，B (－4，m )在y ＝k 2x +b 图象上，∴，解得：k 2＝2，b ＝622842k b k b +=⎧⎨-+=-⎩（2）设直线y ＝2x +6与x 轴交于点C ，当y ＝0时，x ＝－3，∴OC ＝3，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝×3×8+×3×2＝15.1212（3）点M 在第三象限，点N 在第一象限.①若x 1＜x 2＜0，点M 、N 在第三象限分支上，则y 1＞y 2，不合题意；②若0＜x 1＜x 2，点M 、N 在第一象限分支上，则y 1＞y 2，不合题意；③若x 1＜0＜x 2，点M 在第三象限，点N 在第一象限，则y 1＜0＜y 2，符合题意.19.反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的图象与直线y ＝3x 相交于点C ，过直线上点A （1，3）作kx AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图于点D ，且AB ＝3BD .（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d ＝MC +MD最小，求点M 的坐标.【解答】（1）∵A （1，3），∴AB ＝3，OB ＝1，∵AB ＝3BD ，∴BD ＝1，∴D （1，1），将D （1，1）代入反比例函数解析式得：k ＝1；（2）由（1）知，k ＝1，∴反比例函数的解析式为：y ＝，1x由得：或，31y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩∵x ＞0，∴C），（3）如图，作C 关于y 轴的对称点C ′,连接C ′D 交y 轴于M ，则d ＝MC+MD 最小，∴C ′），设直线C′D 的解析式为y ＝kx +b ，∴，解得：，1bk b =+⎪=+⎩32k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴y ＝(3－)x+－2，当x ＝0时，y ＝－2，∴M （0，2）.20.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x （小时）之间的函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y 与x 成反比例）.（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系；（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？【解答】（1）当0≤x ＜4时，设直线解析式为：y ＝kx ，将（4，8）代入得：8＝4k ，解得：k ＝2，故直线解析式为：y ＝2x ，当4≤x ≤10时，设直反比例函数解析式为：y ＝，k x 将（4，8）代入得：8＝，4k 解得：k ＝32，故反比例函数解析式为：y ＝；32x因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y ＝2x （0≤x ＜4），下降阶段的函数关系式为y ＝（4≤x ≤10）．32x（2）当y ＝4，则4＝2x ，解得：x ＝2，当y ＝4，则4＝，解得：x ＝8，32x∵8﹣2＝6（小时），∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．21.如图，已知一次函数y ＝x －3与反比例函数y ＝的图象相交于点A （4，n ），与x 轴相交于32k x点B .（1）填空：n 的值为______，k 的值为__________；（2）以AB 为边作菱形ABCD ，使点C 在x 轴正半轴上，点D 在第一象限，求点D 的坐标；（3）考察反比例函数y ＝的图象，当y ≥－2时，请直接写出自变量k xx 的取值范围.【解答】（1）把点A （4，n ）代入一次函数y ＝x －3得：32n ＝×4﹣3＝3；32把点A （4，3）代入反比例函数y ＝得：3＝，k x 4k 解得k ＝12，故答案为：3，12；（2）∵一次函数y ＝x －3与x 轴相交于点B ，32∴x －3＝0，解得x ＝2，32∴点B 的坐标为（2，0），如图，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，∵A （4，3），B （2，0），∴OE ＝4，AE ＝3，OB ＝2，∴BE ＝OE ﹣OB ＝4﹣2＝2，在Rt △ABE 中，AB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ＝BC ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠DCF ，∵AE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°，在△ABE 与△DCF 中，，AEB DFC ABE DCF AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （ASA ），∴CF ＝BE ＝2，DF ＝AE ＝3，∴OF ＝OB +BC +CF ＝+2＝，∴点D 的坐标为（，3）．（3）当y ＝﹣2时，﹣2＝，解得x ＝﹣6．12x故当y ≥﹣2时，自变量x 的取值范围是x ≤﹣6或x ＞0．。

项目内容课题21.5 反比例函数（4）修改与创新教学目标1．知识与技能利用反比例函数的知识分析、解决实际问题.2．过程与方法经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程．3．情感态度与价值观体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力.教学重、难点重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式．教学准备小黑板或PPT教学过程一、回顾交流、情境导入某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境。

问题思考：（1）请你解释他们这样做的道理。

（2）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（2m）的变化，人和木板对地面的压强P（Pa）将如何变化？（3）如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么：①用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？②当木板面积为0.22m时，压强是多少？③如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？④在直角坐标系中，作出相应的函数图象。

⑤请利用图象对（2）和（3）作出直观解释，并与同伴交流。

学生分四人小组进行探讨、交流。

二、探索新知例1：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p Pa 是它的受力面积S m 2的反比例函数，其图象如图22-27所示。

（1）求p 与S 之间的函数关系。

（2）当S=0.5 m 2时，求物体承受的压强p 。

解：（1）根据题意，设：p=k S函数图像经过（0.1，1000），代入上式，得10000.1k 即 k=100.因此，所求的函数关系为p=100S（2）当S=0.5m 2时，p=100S =200(Pa) 三、巩固提高例2：某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气体体积V （立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？分析：题中已知变量P 与V 是反比例函数关系，并且图象经过点A ，利用待定系数法可以求出P 与V 的解析式，得VP 96=，（3）问中当P 大于144千帕时，气球会爆炸，即当P 不超过144千帕时，是安全范围。

函数（反比例函数）反比例综合问题：1. 下列函数，①y=2x ，②y=x ，③y=x 1﹣，④y=1x 1是反比例函数的是____________; 2. 函数y=﹣ax+a 与y=a（a ≠0）在同一坐标系中的图像可能是（）D3. 如图，过原点的直线l 与反比例函数y=﹣1的图像交于M ，n ，两点，根基图像猜想线段MN 的长最小值是___________.4. 如图，点A 在反比例函数y=x3（x>0）的图像上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，点C 在轴上，则△ABC 的面积为____________.5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A,B 两点的纵坐标分别是4,2.反比例函数y=xk （x>0）的图像经过A,B 两点，若菱形ABCD 的面积为25，则k 的值为______________.6. 如图，在菱形ABOC 中，∠ABO=120°，它的一个顶点C 在反比例函数y=xk的图像上，若将菱形向下平移2个单位，点A 恰好落在函数图像上，则该反比例函数的表达式是_______________;7. 如图，△0A 1B 1,△A 1A 2B 2,△A 2A 3B 3，...，是分别以A 1,A 2,A 3,...为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C 1（x 1，y 1），C 2（x 2，y 2），C 3（x 3，y 3），...,均在反比例函数y=x4（x ＜0）的图像上，则y＋y ＋y ＋...＋y 的值为____________.8. 如图：已知点A,B 在双曲线y=xk（x>0）上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为4，则9. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（-4,0）,点D 的坐标为（-1，-4），反比例函数Y=XK(x ＞0）的图像恰好经过点c,则k 的值为_____________Y10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点0落在坐标原点上，点A 、C 分别位于x 轴、y 轴的正半轴，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，点0恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数y=x12经过点B ，二次函数y=ax ²＋bx ＋c （a ≠0）的图像经过点C （0,3）、G 、A 三点，则该二次函数的解析式为______________11. 如图，已知点（1，3）在函数y=xk（x>0）的图像上，正方形ABCD 的边BC 在X 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数y=xk（x>0）的图像又经过A 、E 两点，则点E 的横坐标为_____________.12. 如图，RT 三角形AOB 中，∠OAB=90°，∠OBA=30°，顶点A 在反比例函数y=﹣x4的图像上，若RT △AOB 的面积恰好被y___________13. 如图，△0AP ，△ABQ 是等腰直角三角形，点P ，Q 在反比例函数Y=x4（x ＞0）上，直角顶点A ，B 均在x 轴上，则点Q 的坐标为14.如图，在平面直角坐标系中函数Y=－4x+4的图像与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点。