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【最新整理，下载后即可编辑】《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生 B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk k nk k A P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk k nk k A P A P 11)()( （n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥（iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ §4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A 包含k 个基本事件，即}{}{}{2]1ki i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑=§5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率 （2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
目录前言第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件§1.2 概率§1.3 条件概率§1.4 独立性习题一第二章随机变量及其分布§2.1 随机变量及其分布函数§2.2 离散型随机变量及其分布律§2.3 连续型随机变量及其概率密度§2.4 随机变量的函数的分布习题二第三章多维随机变量及其分布§3.1 二维随机变量§3.2 边缘分布§3.3 随机变量的独立性*§3.4 条件概率分布§3.5 二维随机变量的函数的分布习题三第四章数字特征§4.1 数学期望§4.2 方差§4.3 几种常见分布的期望与方差§4.4 协方差、相关系数与矩习题四第五章大数定律与中心极限定理§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理习题五第六章数理统计的基本概念§6.1 样本与统计量*§6.2 经验分布函数与直方图§6.3 抽样分布习题六第七章参数估计§7.1 点估计§7.2 估计量的评价标准§7.3 区间估计习题七第八章假设检验§8.1 假设检验的基本概念§8.2 单个正态总体参数的假设检验§8.3 两个正态总体参数的假设检验§8.4 非参数假设检验习题八第九章回归分析与方差分析§9.1 回归分析的一般概念§9.2 一元线性回归§9.3 多元线性回归§9.4 单因素的方差分析习题九。
概率论与数理统计电子版教材概率论与数理统计是一门重要的数学学科，是大多数理工科专业中必修的一门课程。
概率论与数理统计的研究对象是随机现象和随机变量，其中概率论研究随机现象的概率计算问题，数理统计研究随机变量的统计分析问题。
本文将详细介绍概率论与数理统计的相关内容。
一、概率论概率论是研究随机现象中不同结果发生的可能性和概率分布的数学理论。
在概率论中，事件是指任何可能发生的结果，而样本空间是所有可能结果的集合。
概率是事件发生的可能性大小的度量，一般用0到1之间的实数表示。
1.基本概念在概率论中，有一些基本概念需要了解和掌握，包括事件、样本空间、概率与概率分布等。
事件：在随机现象中，任何一种可能发生的结果称为事件，用大写字母表示，比如事件A、事件B等。
样本空间：在随机现象中，所有可能结果的集合称为样本空间，用Ω表示。
比如掷一枚硬币，样本空间为{正面，反面}。
概率：概率是事件发生的可能性大小的度量，用P(A)表示，范围为0到1之间的实数。
如果一个事件A发生的概率是0，那么称该事件为不可能事件；如果一个事件A发生的概率是1，那么称该事件为必然事件。
概率分布：指各种可能结果的概率，是随机变量的概率分布函数，也是描述随机变量性质的核心概念。
2.条件概率与独立性条件概率是指在已知一些相关信息的条件下，某事件发生的概率。
设A、B是两个事件，并且P(B)>0，那么事件A在事件B发生的条件下发生的概率为：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)其中A∩B表示事件A和事件B同时发生的结果集合。
独立性是指两个事件的发生没有任何联系，也就是说一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
设A、B是两个事件，如果P(A|B)=P(A)，那么称事件A和事件B是相互独立的。
3.随机变量随机变量是概率论中的重要概念，是定义在样本空间Ω上的实值函数X，即X(ω)，其中ω∈Ω。
通常用大写字母X、Y、Z等变量表示。
在概率论中，随机变量是指取值不确定的变量，它的值取决于随机现象的结果。
第一章思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2) ()()A B A B 解:(1)()()A B AB AB AB B B ==, (2) ()()A B A B ()A B A B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 解：51050.302410P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
概率论与数理统计人大版本
一、概率论与数理统计的概述
概率论是研究随机现象的理论体系，它通过对随机现象的规律性进行研究，为我们预测和决策提供依据。
数理统计则是一种基于数据的研究方法，它通过对数据的分析和处理，提取出数据背后的信息，为实际问题的解决提供支持。
二、概率论与数理统计的基本概念
在概率论中，随机事件是指在一定条件下可能发生的事件，而样本空间则包含了所有可能的结果。
概率分布描述了随机变量取值的概率规律，而概率密度函数则用于描述连续型随机变量的概率分布。
三、常见概率分布及其应用
常见的概率分布有二项分布、泊松分布和正态分布等。
二项分布用于描述一系列伯努利试验的结果，泊松分布用于描述单位时间内随机事件的次数，正态分布则广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术领域。
四、数理统计的基本方法
数理统计的基本方法包括描述性统计、推断性统计等。
描述性统计用于概括和描述数据的集中趋势、离散程度等信息，而推断性统计则通过抽样数据对总体参数进行估计和检验。
五、参数估计与假设检验
参数估计是通过对样本数据的研究，估计总体参数的值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计等，区间估计则通过构建置信区间来估计参数。
假
设检验则是通过检验统计量与临界值之间的关系，对总体参数进行推断。
六、应用领域与发展趋势
概率论与数理统计在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
随着大数据时代的到来，概率论与数理统计的研究方法和技术也在不断发展，包括机器学习、数据挖掘等领域。
在我国，概率论与数理统计的研究和应用也取得了显著成果，为各个领域的创新发展提供了有力支持。
概率论与数理统计1. 前言概率论与数理统计是数学的一个重要分支，它是研究随机现象规律性的数学学科。
概率论是研究随机现象的规律性和数量关系的学科，而数理统计则是利用数学方法研究大量数据中的规律性和趋势的学科。
本文将介绍概率论与数理统计的基本概念、方法和应用。
2. 概率论概率论是研究随机现象的规律性和数量关系的数学学科。
随机现象是指在一定条件下，每次实验的结果无法预知，但在一系列相同实验中，某些现象出现的频率具有稳定的规律性。
概率论通过概率分布、概率密度函数、条件概率等概念来描述随机现象，并提供了一系列计算概率的方法。
2.1 基本概念•样本空间：样本空间是随机现象所有可能结果的集合，常用符号为S。
例如，抛一枚硬币的样本空间为$\\{H, T\\}$，其中H表示正面，T表示反面。
•事件：事件是样本空间的一个子集，表示随机现象的一个可能结果或一组可能结果组成的集合。
如果随机事件A中包含了样本空间S中的某些结果，则称事件A发生。
•概率：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示，表示事件A发生的可能性大小。
概率的取值范围在[0,1]之间。
•概率分布：概率分布是随机变量所有可能取值及其发生的概率的描述。
常见的概率分布包括二项分布、泊松分布、正态分布等。
2.2 概率计算概率计算是概率论的核心内容之一，常用的计算方法包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理等。
这些方法可以帮助我们计算复杂事件的概率，进行概率分布的推导和分析。
3. 数理统计数理统计是利用数学方法研究大量数据中的规律性和趋势的学科。
在现代社会中，大量的数据被广泛应用于科学研究、经济分析、医学诊断等领域，而数理统计提供了一系列工具和方法来处理和分析这些数据。
3.1 基本概念•总体与样本：总体是指研究对象的全部个体或事物的集合，样本是从总体中选取的一部分个体或事物。
数理统计的目标通常是通过对样本的统计量进行分析来进行对总体的推断。
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号 第五章 大数定律与中心极限定理、第六章 样本及其分布一、选择题：1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {}nn P p nμε→∞-≥ [ A ]（A ）0= （B ）1= （C ）0> （D ）不存在 2. 设,,,,n X X X 12为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λλ>(1)的指数分布，记()x Φ为正态分布函数，则 (考研题 2005) [ C ]（A）lim }()nin Xn P x x λ→∞-≤=Φ∑ （B）lim }()nin Xn P x x λ→∞-≤=Φ∑（C）lim }()ni n X nP x x λ→∞-≤=Φ∑ （D）lim }()nin XP x x λ→∞-≤=Φ∑3．设随机变量(,),(,),X N Y N 0101则 (考研题 2002) [ C ]（A ）X Y +服从正态分布 （B ）22X Y +服从χ2分布 （C ）22X Y 和服从χ2分布 （D ）22/X Y 服从F 分布 二、填空题：1．对于随机变量X ，仅知其1()3,()25E X D X ==，则可知{|3|3}P X -<≥ 2. 设总体X 服从参数为2的指数分布，,,,,n X X X 12是来自总体X 的简单随机样本，则当n →∞时，211i i Y X n ==∑n依概率收敛于 (考研题 2003)3．设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X 为其样本，记11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，则)/Y X S μ=-服从的分布是 .22422512(1)t n -分布三、计算题：1．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布。
问：（1）若将1500个数相加，误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？2. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。
某天售出300只蛋糕。
（1）求收入至少400元的概率； （2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。
1500150011(1)()1/2,()1/12.7501{|1500|15}{|| 1.34}2(1(1.34))0.180221500150.1802(2){||10}{|2i i i i i i ni nii X i E X D X X P X P X n P X P ====--⨯>=>≈≈-Φ=-<=∑∑∑∑若将个数相加，误差总和的绝对值超过的概率为解：随机变量表示第个数的舍入误差，则|210.90.95,100.510449n n -<≈Φ-≈∴Φ=⇒=最多可有441个数相加使得误差总和的绝对值小于的概率不小于，3003001(1)() 1.29,()0.0489.300 1.29{400} 3.39}1(3.39)=0.(2)~(300,0.2),()60,()484.{00.i i i i i i X E X D X X P X P Y Y B E Y D Y P ===-⨯>=>≈=-Φ==∑∑答解：设随机变量为出售一只蛋糕的收入，则设出；收入至少元的概率几乎为售1.2元的蛋0糕数量为，则6060}{0}(0)1.2600.0.548 5.Y Y P ->=>=Φ=答售出价格为元的蛋糕多于只的概率：3. 总体2(,)N μσ，在该总体中抽取一个容量为n =16的样本1216(,,)X X X 。
求：（1）22211{()2}2n i i P X n σμσ=≤-≤∑； （2）22211{()2}2n i i P X X n σσ=≤-≤∑。
,222122222112222212211()~(16)11{()2}{8()32}0.950.010.942(1)1~(1),()11{8()32}0.920.0050.915ni i n ni i i i n i i n i i X P X P X n n S n S X X n P X X μχσσμσμσχσσ=====-∴≤-≤=≤-≤=-=--=--∴≤-≤=-=∑∑∑∑∑解：其中概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第七章 参数估计（一）一、选择题：1．矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计 （B ）总体矩的函数 （C ）样本矩的函数 （D ）极大似然估计 2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ）122433X X + （B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2290.98S =，则μ的极大似然估计值为 [ A ]（A ）31.06 （B ）(31.06-0.98 , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题：1．如果1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计量，称1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差一定满 足2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1~(,)X f x xθθθ-=，用最大似然法估计参数θ时，似然函数为()L θ=3．假设总体X 服从正态分布212(,),,,(1)n N X X X n μσ>为X 的样本，12211()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计，则C = 三、计算题：1．设总体X 具有分布律，其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ1212ˆˆˆˆ()(),()()E E D D θθθθ=<31123()x x x θθ-12n()12355641,2,1()2122.5()2(56)0.656x x x L L θθθθθθθθθθ====-=-'=-=⇒=解：当样本的最大似取然时，似然函数为所估计值以。
2．设12,,,n X X X 是来自于总体10~()0x X f x θθ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它(0)θ>的样本,试求：（1）θ的一个无偏估计1θ；（2）θ的极大似然估计2.θ3．设总体X 的概率密度为(1)01()0x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中1θ>-是未知参数，12,,,nX X X 为一个样本，试求参数θ的矩估计量和最大似然估计量。
*4. 设12,,,n x x x 为来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，2σ>0未知，X 和S 2分别表示样本均值和样本方差。
（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2），计算22E D σσ和。
(考研题 2002) 1111ˆ(1)(),2,221ˆ(2)2()2.22(2),,(;,,),0,1,,;,,( ,,112n nn i n n i X E X X X E X E X X n x x L x x x i n L L x x x i θθθθθθθθθθθθθθθ--=∴=⇒===⋅⋅=∴=⋯=<≤=⋯==解：总体服从均匀分布，是的无偏估计。
设为样本的一组观测值，于是似然函数为：显然是的一个单值递减函数.要使（）达到极大，就要使达到最小，但不能小于每一个212,),ˆmax{,,,}3n n x x x θθ⋯=所以的极大似然估计量为：11100121111121ˆ()(1)(1)..()221,,,()(1)()(ln ())ln ()ln(1)(ln ),ln 01ˆ=ln n n n i i n nii i i iX E X xx dx x x dx X X X X X L x d L n L n x x d n x θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+===++-=+=+=∴=⇒=++-=+=++=+=+-⎰⎰∏∑∑解：矩估计法设样本的极大似然估计函数为：取对数求导得所以的极大似然估计量为11.()ni =-∑极大似然估计法22221()()222221122212222224112,,(,;,)(2)()ln ln(2),22ln 111ˆ()0,()221ˆ()((1n i i i i n x x n n n i n i i nn i i i i x x L x x e x L L n x x X B n E E X n μμσσμσπσμπσσμσσσσσ=-----====⋯∑⋯==-=--∂=-+-==-=∂=∑∑∑解：设为样本的一组观测值，于是似然函数为：，两边取对数 22222222112422111))(()())(()()).ˆˆˆ()()()......n ni i i n X E X nE X n n n n n n D E E σσμμσσσσ==--=-=+-+==-=∑∑概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第七章 参数估计（二）一、选择题：1．设总体X 服从正态分布2~(,)X N μσ，其中μ未知,2σ已知，12,,,n X X X 为样本，11ni i X X n ==∑，则μ的置信水平为0.95的置信区间是 [ D ]（A）0.950.95(,X Z X Z -+ （B）0.050.05(,X Z X Z -+（C）0.9750.975(,X Z X Z -+ （D）0.0250.025(,X Z X Z -+2．设总体2~(,)X N μσ，对参数μ或2σ进行区间估计时，不能采用的样本函数有 [ D ]（AX （BX （C ）21ni i X X σ=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）1n X X -二、计算题：1．设总体X 的方差为2)3.0(，根据来自X 的容量为5的简单随机样本，测得样本均值为21.8，求X 的数学期望的置信度为0.95的置信区间。
2．设冷抽铜丝的折断力服从正态分布2~(,)X N μσ，从一批铜丝任取10根，测得折断力如下：578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求方差2σ的0.90的置信区间。
