2019_2020学年新教材高中数学第10章概率单元质量测评新人教A版必修第二册

高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为16．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A+B（B表示事件B的对立事件）发生的概率为( )A．13B．12C．23D．562.若事件A与B为互斥事件，则下列表示正确的是( )A．P(A∪B)>P(A)+P(B)B．P(A∪B)<P(A)+P(B)C．P(A∪B)=P(A)+P(B)D．P(A)+P(B)=13.某医院治疗一种疾病的治愈率为15．那么，前4个患者都没有治愈，第5个患者治愈的概率是( )A．1B．15C．45D．04.抛掷一枚骰子，观察向上的点数，则该试验中，基本事件的个数是( )A．1B．2C．4D．65.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C= {抽到三等品}，且已知P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)=0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A．0.7B．0.65C．0.35D．0.56.甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A．0.95B．0.6C．0.05D．0.47.甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发 1 个球．若在某局比赛中，甲发球贏球的概率为 12，甲接发球赢球的概率为 25，则在比分为 10:10 后甲先发球的情况下，甲以 13:11 赢下此局的概率为 ( ) A ． 225B ． 310C ． 110D ． 3258. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为 ( ) A ．521B ．1021C ．1121D ．19. 从 1，2，3，4，5 这五个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为奇数的概率是 ( ) A ． 15B ． 25C ． 12D ． 3510. 我们记事件 P 为明天会下雨，事件 Q 为明天会下暴雨，则有 ( ) A ． P ⊆Q B ． Q ⊆PC ． P =QD ．事件 P 与事件 Q 没有关系二、填空题（共6题）11. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数分别为 x ，y ，则 xy 是整数的概率是 ．12. 思考辨析 判断正误某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．( )13. 设集合 A ={1,2}，B ={1,2,3}，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ，确定平面上的一个点 P (a,b )，记“点 P (a,b ) 落在直线 x +y =n 上”为事件 C n （2≤n ≤5，n ∈N ），若事件 C n 的概率最大，则 n 的所有可能值为 ．14. 从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ．15. 某班有 42 名学生，其中选考物理的学生有 21 人，选考地理的学生有 14 人，选考物理或地理的学生有 28 人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ．16. 袋中 12 个小球，分别有红球、黑球、黄球各若干个（这些小球除颜色外其他都相同），从中任取一球，得到红球的概率为 13，得到黑球的概率比得到黄球的概率多 16，则得到黑球、黄球的概率分别是．三、解答题（共6题）17.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利润50元，若供大于求，则剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．(1) 若商店一天购进商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；(2) 商店记录了该商品50天内的日需求量n（单位：件，n∈N），将数据整理后得到下表：日需求量(单位:件)89101112频数(单位:天)91115105若商店一天购进10件该商品，以记录的50天内各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润（单位：元）在[400,550]内的概率．18.甲、乙两人各掷一枚质地均匀的骰子，如果向上的面的点数之和为偶数，则甲赢，否则乙赢．(1) 求两枚骰子向上的面的点数之和为8的概率；(2) 这种游戏规则公平吗？试说明理由．19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．(1) 求甲连胜四场的概率；(2) 求需要进行第五场比赛的概率；(3) 求丙最终获胜的概率．20.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．高校相关人员抽取人数A18xB362C54y(1) 求x，y；(2) 若从高校B，C抽取的人中选2人做专题发言，求这2人都来自高校C的概率．21. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 29．(1) 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；(2) 从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．22. 海关对同时从 A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测．地区A B C 数量50150100(1) 求这 6 件样品中来自 A ，B ，C 各地区商品的数量；(2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意知，B表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件B互斥，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A+B)=P(A)+P(B)=26+26=46=23．【知识点】互斥事件的概率计算2. 【答案】C【知识点】事件的关系与运算3. 【答案】B【解析】每一个患者治愈与否都是随机事件，故第5个患者被治愈的概率仍为15．【知识点】频率与概率4. 【答案】D【知识点】事件与基本事件空间5. 【答案】C【解析】因为“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率P=1−P(A)=0.35．【知识点】事件的关系与运算6. 【答案】A【解析】方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故事件的概率为0.8×(1−0.75)+(1−0.8)×0.75+0.8×0.75=0.95．方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故事件的概率为1−0.2×0.25=0.95．【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】C【解析】在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为P1=12×35×12×25=350；②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为P2=12×25×12×25=125．所以甲以13:11赢下此局的概率为P1+P2=110．【知识点】事件的相互独立性8. 【答案】B【解析】方法一：从袋中取出2个球的方法有C152=105（种），取出1个白球的方法有C101=10（种），取出1个红球的方法有C51=5（种），故取2个球，1白1红的方法有C101C51=50（种），所以P=50105=1021．方法二（间接法）：从袋中取出2个球的方法有C152=105（种），若取出的2个球是同色的，则取出的方法有C102+C52=55（种）．记“取出的2个球同色”为事件A，则P(A)=55105=1121．因此，取出的2个球不同色的概率为P=1−P(A)=1021．【知识点】古典概型9. 【答案】B【知识点】古典概型10. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】718【知识点】古典概型12. 【答案】×【知识点】频率与概率13. 【答案】3或4【解析】点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，点P(a,b)落在直线x+y=n上（2≤n≤5，n∈N），则当n=2时，P点是(1,1)，当n=3时，P点可能是(1,2)，(2,1)，当n=4时，P点可能为(1,3)，(2,2)，当 n =5 时，P 点是 (2,3)，即事件 C 3，C 4 的概率最大，故 n =3 或 4． 【知识点】古典概型14. 【答案】13【解析】一次随机抽取两个数共有 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4) 这六组，一个数是另一数的 2 倍的有 2 种， 故所求概率为 13．【知识点】古典概型15. 【答案】 16【解析】设选考物理的学生为集合 A ，选考地理的同学为集合 B ， 由题意得：Card (A ∪B )=Card (A )+Card (B )−Card (A ∩B )， 即 28=21+14−Card (A ∩B )， 解得：Card (A ∩B )=7，所以该班有 7 人既选考物理又选考地理，所以从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 742=16， 故答案为：16． 【知识点】古典概型16. 【答案】 512，14【解析】因为得红球的概率为 13， 所以黑球或黄球的概率为 23．记“得到黄球”为事件 A ，“得到黑球”为事件 B ， 则 {P (A )+P (B )=23,P (B )−P (A )=16.所以 P (A )=14，P (B )=512． 【知识点】事件的关系与运算三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 当 n ≥10 时，y =50×10+(n −10)×30=30n +200； 当 n <10 时，y =50×n −(10−n )×10=60n −100，所以当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式为 y ={30n +200,n ≥10,n ∈N60n −100,n <10,n ∈N ．根据题意求出当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式，应用了函数与方程思想． (2) 记录的 50 天内有 9 天获得的利润为 380 元，有 11 天获得的利润为 440 元，有 15 天获得的利润为 500 元，有 10 天获得的利润为 530 元，有 5 天获得的利润为 560 元． 若当天的利润在 [400,550] 内，则该商品的日需求量可以为 9 件、 10 件、 11 件，其对应的频数分别为 11，15，10，则当天的利润在 [400,550] 内的概率 P =11+15+1050=3650=1825．【知识点】古典概型、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) 若用 (x,y ) 表示甲得到的点数为 x ，乙得到的点数为 y ， 则样本空间可记为 Ω={(x,y )∣ x,y =1,2,3,4,5,6}， 则两人的投掷结果共有 36 个基本事件，两枚骰子向上的面的点数之和为 8 的基本事件有 (2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)，共 5 个， 所以两枚骰子向上的面的点数之和为 8 的概率 P =536． (2) 这种游戏规则公平． 理由如下：设“甲胜”为事件 A ，“乙胜”为事件 B ．甲胜即点数之和为偶数，所包含的基本事件有 (1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共 18 个， 所以 P (A )=1836=12，P (B )=1−1836=12，所以 P (A )=P (B )，故此游戏规则公平． 【知识点】古典概型19. 【答案】(1) 甲连胜四场的概率为116．(2) 根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为 116；乙连胜四场的概率为 116；丙上场后连胜三场的概率为 18．所以需要进行第五场比赛的概率为 1−116−116−18=34． (3) 丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况；胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 116，18，18．因此丙最终获胜的概率为 18+116+18+18=716． 【知识点】事件的相互独立性、古典概型20. 【答案】(1) 由题意可得x 18=236=y54，所以 x =1，y =3．(2) 记从高校B 抽取的 2 人为 b 1，b 2，从高校C 抽取的 3 人为 c 1，c 2，c 3，则从高校B ，C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 (b 1,b 2)，(b 1,c 1)，(b 1,c 2)，(b 1,c 3)，(b 2,c 1)，(b 2,c 2)，(b 2,c 3)，(c 1,c 2)，(c 1,c 3)，(c 2,c 3) 共 10 种，设选中的 2 人都来自高校C 的事件为 X ，则 X 包含的基本事件有 (c 1,c 2)，(c 1,c 3)，(c 2,c 3) 共 3 种，因此 P (X )=310，故选中的 2 人都来自高校C 的概率为 310． 【知识点】古典概型、分层抽样21. 【答案】(1) 设 A 、 B 、 C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有 { P(A ⋅B)=14,P(B ⋅C)=112,P (A ⋅C )=29, 即 { P (A )⋅(1−P (B ))=14, ⋯⋯①P (B )⋅(1−P (C ))=112, ⋯⋯②P (A )⋅P (C )=29. ⋯⋯③ 由①、③得P (B )=1−98P (C ).代入②得 27[P (C )]2−51P (C )+22=0． 解得 P (C )=23 或119（舍去）．将 P (C )=23 分别代入 ③、② 可得 P (A )=13,P (B )=14. 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是 13,14,23．(2) 记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则P (D )=1−P(D)=1−(1−P (A ))(1−P (B ))(1−P (C ))=1−23⋅34⋅13=56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 56. 【知识点】事件的关系与运算22. 【答案】(1) A ，B ，C 三个地区商品的总数量为 50+150+100=300，抽样比为 6300=150， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×150=1，150×150=3，100×150=2， 所以 A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1，3，2．(2) 方法一：设 6 件来自 A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2． 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为：{A,B 1}，{A,B 2}，{A,B 3}，{A,C 1}，{A,C 2}，{B 1,B 2}，{B 1,B 3}，{B 1,C 1}，{B 1,C 2}，{B 2,B 3}，{B 2,C 1}，{B 2,C 2}，{B 3,C 1}，{B 3,C 2}，{C 1,C 2}，共 15 个．每个样品被抽到的机会相等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件 D ：“抽取的这 2 件商品来自相同地区”，则事件 D 包含的基本事件有：{B 1,B 2}，{B 1,B 3}，{B 2,B 3}，{C 1,C 2}，共 4 个． 所以 P (D )=415，即这 2 件商品来自相同地区的概率为415．方法二：这 2 件商品来自相同地区的概率为 C 32+C 22C 62=3+115=415．【知识点】分层抽样、古典概型。

章末综合检测(十)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；2xx”是不可能事件；②“当≤为某一实数时，可使0 ③“明天天津市要下雨”是必然事件；个全是次品”是随机事件．个，5个次品)中取出5④“从100个灯泡(含有10) ( 其中正确命题的个数是1 ．B ．0 A3．DC．2C.①④正确．解析：选个，从中任取123个、白球个、黑球2．(2019·黑龙江省大庆中学月考)袋中装有红球)2个，则互斥而不对立的两个事件是(A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．至少有一个白球；红、黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球个，逐一分析所给的23解析：选C.袋中装有红球个、白球2个、黑球1个，从中任取选项：在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；BB中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故在不成立；中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是在C 成立；互斥而不对立的两个事件，故CD在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故C.不成立；故选种花种在一个花坛中，余下的2．为美化环境，从红、黄、白、紫34种颜色的花中任选)2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(11 A. B.2352 C.D. 63．解析：选C.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古42典概型的概率计算公式，所求的概率为＝.故选C.63cm)分别为(单位： 4．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高162，153，148，154，165，168，172，171，173，150，151，152，160，165，164，179，149，158，159，175在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )21B. A. 2512D.C. 33解析：选A.从已知数据可以看出，在随机抽取的20位学生中，身高在155.5～170.5cm2之间的有8人，其频率为，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽取一人，其身高在52155.5～170.5cm之间的概率约为.55．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是( )33B. A.451412D.C. 252547解析：选D.由题意知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，两人打靶相互独立，同时中5104714靶的概率为×＝.510256．一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是( )34B. A. 5532D. C.43Abbbhh，则所有可能的情况有只灰兔分别为，，，解析：选2.设3只白兔分别为，22311bhbhbhbhbhbhhbhbhb)，，，，，)()，，)((，，)((，，)(，，)(，，)(，，)(，211121122132311221hbhbhbbbbbbbbbbbbb，，，，，，，，，，，，，，，，，，()()()()()()()()()231332123121323122．hhhh种，其中符合一只是白兔，另一只是灰兔的情况有)，共2012(，)，(，种，1122312.＝所以所求概率为520NN) ，则对数．任取一个三位正整数( log是一个正整数的概率是7231 A.B.89922511 D.C. 45030078logNN有2，为正整数的999，共900个，而满足2，～解析：选C.三位正整数有1002319＝个，故所求事件的概率为. ，共23900300A，“骰子向上8．抛掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件BAB中至少有一件发生的概率是( ，的点数为奇数”为事件，则事件)51B.A. 21237D. C. 4121111－－PAPBPAPBAB中至少有一件发生的概率为，)＝()＝，D.解析：选.(()＝，(1)＝，2222113－－PAPB)＝1－×)·＝(，故选D.－(2249．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( )12B. A. 5511D. C. 86ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，解析：选B.如图，在正六边形ABEFBCDEABCFCDEFABCDADEF，共6，，，种情况，故构成，其中构成的四边形是梯形的有，62的四边形是梯形的概率为＝.1551ABABBA不发和，都不发生的概率为发生发生不发生的概率与10．设两个独立事件9APA)( 是)(发生的概率生的概率相同，则事件．21 B.A.18921D. C. 33－－AABBPP，)＝()解析：选D.由 (－－APPBPAPB (，)())(()得＝ABPAPPBP )[1－)](()]＝，即(()[1－BAPP )＝)(所以．(1－－BAP，()又＝91－－BPPA.(＝则＝())32AP.)(＝所以3A)的概．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件1111BCD)事件的概率和取到黑色牌，则取到红色牌(事件(，取到方片牌率为(事件))的概率是43的概率分别是( )7557，A.B. ，121212121132D.， C.，4322CABABABPCPA)(不会同时发生，即(，解析：选A.因为)＝＋是互斥事件，，且所以，＝117PB)＝＋(＝.＋4312CDCD是必然事件，＋是互斥事件，且又，75CDPDPC)＝1－＝1－所以＝，(互为对立事件，则.()121212．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )13 A.B. 101093C.D. 510aaabb.从3，个红球分别为个红球、，2，，2个白球分别为个白球解析：选D.记321312aaaaabaabaaba，(，)，，，)，(，，，)，个，则所包含的结果有中任取3(，(，)，(1221131211213abaabaababbabbabb个．由10，()，，，()，，，()，，，)(，，，)(，，，，共)21321221123213223．于每个结果发生的机会均等，因此这些结果的发生是等可能的．－AA表示“所取的3个白球”，则其对立事件个球中表示“所取的3个球中至少有1用－Aaaa)．个：(，，没有白球”，则事件包含的结果有13121－PA)＝(所以.1019－PAPA)＝1(－故＝(－)＝1.1010二、填空题：本题共4小题，每小题5分．AB两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，213．小莉与小明一起用，，AxB立方体朝上的数字为玩游戏，以小莉掷的，小明掷的立方体朝上的数字为43，，5，6)2xyxPxyyPxy 上＝－，4，来确定点)(，落在已知抛物线)，那么他们各掷一次所确定的点＋(的概率为________．xy)的情况有，36解析：根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有6种可能性，则(种，222yxxPyxx，易得在抛物线上的－2)＋4＝－(－2)＋4，即即(点有36种可能，而＝－＝＋413.33)共个，因此满足条件的概率为＝，4)，(1，3)，(3，点有(212361 答案：12 14．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．乙，丙，)，(，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙) 6种．)，(丙，乙，甲)，共)甲，(丙，甲，乙4，共，(丙，乙，甲)))甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙种．24.所以甲，乙两人相邻而站的概率为＝362 答案：3个球，至少得个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2．袋中含有大小相同的总数为1559 ．个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________1到10个球，解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出21xx，那么，可10种情况，没有得到白球的概率为，设白球个数为，则黑球个数为5－共有103.23知白球有个，黑球有个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为10．3答案：1016．(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________．解析：依题意知，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10×0.97＋20×0.98＋10×0.99＝0.98.40答案：0.98三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率．(1)所得的三位数大于400；(2)所得的三位数是偶数．解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数．42P＝＝，所以.(1)大于400的三位数的个数为463(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，21P＝＝所以相应的概率为.6318．(本小题满分12分)某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率311是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家4124庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．解：(1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事3ABCPA)＝，，，则件，(4－－?1?CAPP，）·）＝（（12?且有1?CPPB?.（（）·）＝41?CAPP?，）[1－]（）]·[1－＝（12?即1?PBPC?）＝（）·（.4．32PBPC)＝()＝所以，(.83(2)有0个家庭回答正确的概率为1515－－－－－－CBPCPAPPPAB.)＝×(＝()·)(＝)·×(＝039648 1个家庭回答正确的概率为有3511311527－－－－－－CABCABCPPAB.＝×＋×＝×(＝)×＋×＋×＋1324484834832157PPP.＝－＝所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为1＝1－－－10322496质量监督局检测某种产品的三本小题满分12分)(2019·河北省枣强中学期末考试)(19．QzxyyxzQ≤5，则核定该产品为＋，用综合指标核定该产品的等级．若个质量指标，＝，＋ 10一等品．现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A A A A A(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；B为“在取出的2件产品，设事件件产品中，每件(2)在该样品的一等品中，随机抽取2QB的概率．≤4”，求事件产品的综合指标均满足Q，如下表：件产品的综合指标解：(1)计算10QAAAAAA共6，，，件，其中，≤5的有，10269416故该样本的一等品率为＝0.6，10从而估计该批产品的一等品率为0.6.AAAAA，(，()，(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为(，，)11214AAAAAAAAAAAAAAAAAA，())，，((，)，(，，)，(，，)，(，)，(，)，(，)，(，)46621104921991062424AAAAAAA)共15，，(种．，)，( )，(，)1096610109QAAA，在该样本的一等品中，综合指标均满足的产品编号分别为≤4，，1019BAAAAAA种，3()()(则事件发生的所有可能结果为，，，，，共)10910191．13BP.＝)所以＝(515某研究机构为了了解各年龄层对高分)(2019·辽宁省凌源三校联考)20．(本小题满分12内的市民进行了调查，并将结果，45]考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，，35)[25，30)，[30第一～五组区间分别为绘制成如图所示的频率分布直方图([20，25)，45])．，40)，[40，[3545]内的人数；(1)求选取的市民年龄在[40，人在座2，4组用分层随机抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取3(2)若从第 内的概率．谈会中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35，40)P 45]内的频率为，＝0.02×5＝0.1解：(1)由题意可知，年龄在[40，20.200×0.1＝故年龄在[40，45]内的市民人数为 3∶2，4组人数都多于20，且频率之比为(2)易知，第3组的人数，第组中分45名参加座谈，应从第3，所以用分层随机抽样的方法在第3，4两组市民抽取 人．别抽取3人，2BAAAB ，，，，第4组的2名市民分别为记第3组的3名市民分别为，22311BABAAAAA ，，，)名中选取2名做重点发言的所有情况为(，，)，((，))，(则从521111132BBBBABABAAAA ，种．，))，(，共有，()，)，(，，)，((，)，(10221213132223BBAABABBAB ，，(，)2其中第4组的名，，(至少有一名被选中的有：，，()，)，()2112121221BABBBA 种，(，共有，(7，，)()，，)2211337所以至少有一人的年龄在[35，40)内的概率为.10AB 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，，本小题满分12分)(21．AB ，然后观察疗效，若在一个试只服用只服用2，另每个试验组由4只小白鼠组成，其中2AB 有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白验组中，服用有效的白鼠的只数比服用21AB 有效的概率为.有效的概率为鼠服用，服用32(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．AAiiB 2.10设解：(1)表示事件“一个试验组中，服用有效的小白鼠有只”，＝，，ii1BiiPA )＝(×0，1表示事件“一个试验组中，服用，有效的小白鼠有2.只”，据题意有：＝ 0311124224111111PAPAPBPB )＝2××＝，＝＝×＝，((. ＝，())＝2××＝，＝(×) 1120393393392242221414144PPBAPBAPBA )＝×＋×)所求概率为＋＝＋((×)＋＝(.220110494929934604????P －1.(2)所求概率＝′＝1－ ??9729改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大)本小题满分12分)(2019·高考北京卷．22(BA 两种移动支转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，BA 两种人，发现样本中，付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100BA 和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用支付金额元大于2 000不大于2 000元支付方式A人 3仅使用27人B24人仅使用人1AB两种支付方式都使用的人数；，(1)估计该校学生中上个月B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于(2)从样本仅使用2 000元的概率；B的学生中随机抽(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学(2)的结果，能否认为样本仅使用人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合查1生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．AB的学生有24＋1人，仅使用3＝30＝由题知，样本中仅使用解：(1)25的学生有27＋人，AB两种支付方式都不使用的学生有5人．，AB两种支付方式都使用的学生有100－30－25故样本中，－，5＝40人．估计该校学生中40AB两种支付方式都使用的人数为1 000＝上个月400. ，100CB的学生中随机抽取1为“从样本仅使用(2)记事件人，该学生上个月的支付金额大于1PC)＝＝(0.04.2 000元”，则25EB的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于(3)记事件为“从样本仅使用2000元”．B知，(2)元的人数没有变化，则由2 000的学生中，本月支付金额大于假设样本仅使用．PE)＝0.04.(答案示例1：可以认为有变化．理由如下：PE)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金(额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：EPE)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确事件是随机事件，(定有没有变化．。

第十章 概率 章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x 为某一实数时，可使x 2≤0”是不可能事件； ③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.①④正确．2．(2019·黑龙江省大庆中学月考)袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球解析：选C.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立； 在B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C 成立；在D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D 不成立；故选C.3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56解析：选C.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为46＝23.故选C.4．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm )分别为 162，153，148，154，165，168，172，171，173，150，151，152，160，165，164，179，149，158，159，175在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm 之间的概率约为( )A.25B.12C.23D.13解析：选A.从已知数据可以看出，在随机抽取的20位学生中，身高在155.5～170.5cm 之间的有8人，其频率为25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽取一人，其身高在155.5～170.5cm 之间的概率约为25.5．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是( )A.35B.34C.1225D.1425解析：选D.由题意知甲中靶的概率为45，乙中靶的概率为710，两人打靶相互独立，同时中靶的概率为45×710＝1425.6．一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是( )A.35B.45C.23D.34解析：选A .设3只白兔分别为b 1，b 2，b 3，2只灰兔分别为h 1，h 2，则所有可能的情况有(b 1，h 1)，(b 1，h 2)，(b 2，h 1)，(b 2，h 2)，(b 3，h 1)，(b 3，h 2)，(h 1，b 1)，(h 2，b 1)，(h 1，b 2)，(h 2，b 2)，(h 1，b 3)，(h 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 1)，(b 2，b 3)，(b 3，b 1)，(b 3，b 2)，(h 1，h 2)，(h 2，h 1)，共20种，其中符合一只是白兔，另一只是灰兔的情况有12种，所以所求概率为1220＝35.7．任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300D.1450解析：选C.三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300.8．抛掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数为奇数”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析：选D.P (A )＝12，P (B )＝12，P (A －)＝12，P (B －)＝12.A ，B 中至少有一件发生的概率为1－P (A －)·P (B －)＝1－12×12＝34，故选D.9．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A.15 B.25 C.16D.18解析：选B.如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率为615＝25.10．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.23解析：选D.由P (A B －)＝P (B A －)，得P (A )P (B －)＝P (B )P (A －)， 即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]， 所以P (A )＝P (B )． 又P (A － B －)＝19，则P (A －)＝P (B －)＝13.所以P (A )＝23.11．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件A )的概率为14，取到方片牌(事件B )的概率是13，则取到红色牌(事件C )的概率和取到黑色牌(事件D )的概率分别是( )A.712，512B.512，712C.12，12D.34，23解析：选A.因为C ＝A ＋B ，且A ，B 不会同时发生，即A ，B 是互斥事件，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝14＋13＝712.又C ，D 是互斥事件，且C ＋D 是必然事件，所以C ，D 互为对立事件，则P (D )＝1－P (C )＝1－712＝512.12．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910解析：选D.记3个红球分别为a 1，a 2，a 3，2个白球分别为b 1，b 2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的结果有(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10个．由于每个结果发生的机会均等，因此这些结果的发生是等可能的．用A 表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件A －表示“所取的3个球中没有白球”，则事件A －包含的结果有1个：(a 1，a 2，a 3)．所以P (A －)＝110.故P (A )＝1－P (A －)＝1－110＝910.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．小莉与小明一起用A ，B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A 立方体朝上的数字为x ，小明掷的B 立方体朝上的数字为y ，来确定点P (x ，y )，那么他们各掷一次所确定的点P (x ，y )落在已知抛物线y ＝－x 2＋4x 上的概率为________．解析：根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有6种可能性，则(x ，y )的情况有36种，即P 点有36种可能，而y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，即(x －2)2＋y ＝4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满足条件的概率为336＝112.答案：11214．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种．甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共4种． 所以甲，乙两人相邻而站的概率为46＝23.答案：2315．袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x ，则黑球个数为5－x ，那么，可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为310.答案：31016．(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________．解析：依题意知，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10×0.97＋20×0.98＋10×0.9940＝0.98.答案：0.98三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率． (1)所得的三位数大于400； (2)所得的三位数是偶数．解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数． (1)大于400的三位数的个数为4，所以P ＝46＝23.(2)三位数为偶数的有156，516，共2个， 所以相应的概率为P ＝26＝13.18．(本小题满分12分)某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．解：(1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝34，且有⎩⎨⎧P （A －）·P （C －）＝112，P （B ）·P （C ）＝14.即⎩⎨⎧[1－P （A ）]·[1－P （C ）]＝112，P （B ）·P （C ）＝14.所以P (B )＝38，P (C )＝23.(2)有0个家庭回答正确的概率为P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)·P (B －)·P (C －)＝14×58×13＝596.有1个家庭回答正确的概率为P 1＝P (A B －C －＋A －B C －＋A －B －C )＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724.所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132.19．(本小题满分12分)(2019·河北省枣强中学期末考试)质量监督局检测某种产品的三个质量指标x ，y ，z ，用综合指标Q ＝x ＋y ＋z 核定该产品的等级．若Q ≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q ≤4”，求事件B 的概率．解：(1)计算10件产品的综合指标Q ，如下表：1246910故该样本的一等品率为610＝0.6，从而估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 4)，(A 1，A 6)，(A 1，A 9)，(A 1，A 10)，(A 2，A 4)，(A 2，A 6)，(A 2，A 9)，(A 2，A 10)，(A 4，A 6)，(A 4，A 9)，(A 4，A 10)，(A 6，A 9)，(A 6，A 10)，(A 9，A 10)共15种．在该样本的一等品中，综合指标均满足Q ≤4的产品编号分别为A 1，A 9，A 10， 则事件B 发生的所有可能结果为(A 1，A 9)，(A 1，A 10)，(A 9，A 10)共3种， 所以P (B )＝315＝15.20．(本小题满分12分)(2019·辽宁省凌源三校联考)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(第一～五组区间分别为[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40)，[40，45])．(1)求选取的市民年龄在[40，45]内的人数；(2)若从第3，4组用分层随机抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35，40)内的概率．解：(1)由题意可知，年龄在[40，45]内的频率为P ＝0.02×5＝0.1， 故年龄在[40，45]内的市民人数为200×0.1＝20.(2)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3∶2，所以用分层随机抽样的方法在第3，4两组市民抽取5名参加座谈，应从第3，4组中分别抽取3人，2人．记第3组的3名市民分别为A 1，A 2，A 3，第4组的2名市民分别为B 1，B 2，则从5名中选取2名做重点发言的所有情况为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共有10种．其中第4组的2名B 1，B 2至少有一名被选中的有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共有7种，所以至少有一人的年龄在[35，40)内的概率为710.21．(本小题满分12分)A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A 有效的白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12.(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．解：(1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0，1，2.B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0，1，2.据题意有：P (A 0)＝13×13＝19，P (A 1)＝2×13×23＝49，P (A 2)＝23×23＝49，P (B 0)＝12×12＝14，P (B 1)＝2×12×12＝12. 所求概率为P ＝P (B 0A 1)＋P (B 0A 2)＋P (B 1A 2)＝14×49＋14×49＋12×49＝49.(2)所求概率P ′＝1－⎝⎛⎭⎫1－493＝604729. 22．(本小题满分12分)(2019·高考北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30人，仅使用B的学生有24＋1＝25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中，A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40人．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为40100×1 000＝400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝125＝0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．。

第十章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．以下事件是随机事件的是( ) A ．下雨屋顶湿 B ．秋后柳叶黄 C ．有水就有鱼 D ．水结冰体积变大【答案】C2．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若是肉馅包子的概率为25，不是豆沙馅包子的概率为710，则素馅包子的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C3．据天气预报：在春节假期湖北武汉地区降雪的概率为0.2，湖南长沙地区降雪的概率为0.3.假定这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，则0.44等于( )A ．两地都降雪的概率B ．两地都不降雪的概率C ．至少有一地降雪的概率D ．恰有一地降雪的概率 【答案】C4．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法( )A ．公平，每个班被选到的概率都为112B ．公平，每个班被选到的概率都为16C ．不公平，6班被选到的概率最大D ．不公平，7班被选到的概率最大 【答案】D5．集合A ＝{2，3}，B ＝{1，4，5}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和为偶数的概率是( )A ．23B ．12C ．13D ．16【答案】B6．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为23，34.只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为( )A ．12B ．56C ．89D ．1516【答案】B7．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x 为这种商品每天的销售量，y 为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )A ．19B ．110C ．15 D ．18【答案】B【解析】日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a ，b ，c ，日销售量为21个的2天记为A ，B ，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率p ＝110.故选B ．8．甲、乙、丙三个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站、丙站预报的准确率分别为0.8、0.7和0.6，那么在一次预报中甲、乙两站预报准确，丙站预报错误的概率为( )A ．0.336B ．0.024C ．0.036D ．0.224 【答案】D【解析】甲、乙、丙三个气象站同时作气象预报，甲站、乙站、丙站预报的准确率分别为0.8、0.7和0.6，∴在一次预报中甲、乙两站预报准确，丙站预报错误的概率为p ＝0.8×0.7×(1－0.6)＝0.224.故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列事件中是随机事件的是( )A ．明年8月18日，北京市不下雨B ．在标准大气压下，水在4℃时结冰C ．从标有1，2，3，4的四张号签中任取一张，恰为1号签D ．向量的模不小于0 【答案】AC【解析】A ，C 为随机事件，B 为不可能事件，D 为必然事件．故选AC ． 10．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是( ) A ．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B ．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互斥 C ．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互斥D ．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 【答案】CD【解析】对于A ，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中”，所以不是对立事件，A 错误；对于B ，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，B 错误；对于C ，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”，它与事件“两次均击中”是互斥事件，C 正确；对于D ，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D 正确．故选CD ．11．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是( ) A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D ．“至少有一个黑球”与“都是红球” 【答案】AB【解析】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A 正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B 正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C 不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D 不正确．故选AB ．12．某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车，假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的，则( )A ．甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种B ．甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为19C ．甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为13D ．甲、乙两人在不同的车站下车的概率为23【答案】ABD【解析】甲、乙两人下车的所有可能的结果为(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共9种，A 正确，甲、乙两人同时在第2号车站和第4号车站下车的概率都是19，B 正确，C 错误．甲、乙两人在不同的车站下事的概率为1－3×19＝23，D 正确．故选ABD ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：【答案】0.25【解析】“年降水量在[200，300](mm)范围内”由“年降水量在[200，250)(mm)范围内”和“年降水量在[250，300](mm)范围内”两个互斥事件构成，因此概率为0.13＋0.12＝0.25.14．从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，下列说法正确的有________(填序号)．①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不互斥； ②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”互斥且对立； ③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”对立； ④“取出3只红球”与“取出3只白球”互斥． 【答案】③④【解析】从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，对于①，“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”是互斥事件，故①错误；对于②，“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”是互斥但不对立事件，故②错误；对于③，“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”是对立事件，故③正确； 对于④，“取出3只红球”与“取出3只白球”是互斥事件，故④正确．15．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点出现”，则事件A ∪B 发生的概率为________(B 表示B 的对立事件)．【答案】23【解析】事件A 包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；B 表示“大于等于5的点出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A 与B 是互斥的，故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.16．随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园．某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这些网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下：择，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为________．【答案】29【解析】①选儿童公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲丙、乙丁；乙丙、甲丁；②选儿童公园和下沙公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丙、乙丁；③选湖连潮头中央公园和下沙公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丁、乙丙；④选3个公园时，有以下几种情况：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙丙、甲、丁；丙、甲乙、丁；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；甲、乙丁、丙；甲、丁、乙丙；丙、甲、乙丁；甲、乙、丙丁；乙、甲、丙丁；共有18种选择，其中甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的有4种，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为418＝29.四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1，2，3，4.现从盒子中随机抽取卡片．(1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上的数字之和大于7的概率；(2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求至少有一次抽到数字3的概率． 解：(1)设A 表示事件“抽取的3张卡片上的数字之和大于7”，任取3张卡片，3张卡片上的数字的全部可能结果是(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共4个．其中数字之和大于7的是(1，3，4)，(2，3，4)，共2个，故P (A )＝12.(2)设B 表示事件“至少有一次抽到数字3”，第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片的全部可能结果有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．至少有一次抽到数字3的结果有(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，共7个．故所求事件的概率为P (B )＝716.18．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率．解：(1)由题意可知n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)记标号为2的两个小球分别为21，22，不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个，所以P (A )＝412＝13.19．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．(1)列举出所有可能的抽取结果；(2)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．解：(1)由题意，设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x 、y ，用(x ，y )表示抽取结果，可得所有可能结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．(2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件A ，则A ＝{(1，3)，(3，1)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)}，事件A 由7个基本事件组成，故取出的两个球上标号之积能被3整除的概率P (A )＝716.20．如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为元件1，元件2，元件3，元件4，电流能通过元件1，元件2的概率都是p ，电流能通过元件3，元件4的概率都是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知元件1，元件2中至少有一个能通过电流的概率为0.96.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．解：(1)根据题意，电流能通过元件1，元件2的概率都是p ，而元件1，元件2中至少有一个能通过电流的概率为0.96.设元件1，元件2中至少有一个能通过电流的概率为P 1，则有1－(1－p )2＝0.96，解可得p ＝0.8.(2)电流能通过元件3，元件4的概率都是0.9，则元件3，元件4中至少有一个能通过电流的概率P 2＝1－(1－0.9)2＝0.99，故电流能在M 与N 之间通过的概率P ′＝P 1P 2＝0.950 4.21．第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市5G 手机用户对5G 网络的满意程度，随机抽取了本市300名5G 手机用户进行了调查，所得情况统计如下：满意程度 25岁以下 26岁至50岁 50岁以上 男 女 男 女 男 女 满意 20 21 35 196 25 6 一般 20 20 25 19 12 16 不满意159101588(1)若从样本中任取1人，求此用户年龄不超过50岁的概率；(2)记满意为5分，一般为3分，不满意为1分，根据表中数据，求样本中26岁至50岁5G 手机男用户满意程度的平均分；(3)若从样本中26岁至50岁对5G 网络不满意的5G 手机用户中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中不放回地依次随机挑选2人咨询不满意的原因，求第2次才挑选到了女用户的概率．解：(1)超过50岁的5G 手机用户有25＋6＋12＋16＋8＋8＝75人，则所求概率p ＝300－75300＝34. (2)由题意，样本中26岁至50岁5G 手机男用户满意程度的平均分为35×5＋25×3＋10×135＋25＋10＝267.(3)由题意，用分层抽样的方法抽取的5人中男用户有2人，分别记为a ，b ；女用户有3人，分别记为1，2，3.从这5人中不放回地依次随机挑选2人，样本空间Ω＝{(a ，b )，(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)，(b ，a )，(b ，1)，(b ，2)，(b ，3)，(1，a )，(1，b )，(1，2)，(1，3)，(2，a )，(2，b )，(2，1)，(2，3)，(3，a )，(3，b )，(3，1)，(3，2)}，n (Ω)＝20，设事件A ＝“第2次才挑选到了女用户”，则A ＝{(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)，(b ，1)，(b ，2)，(b ，3)}，n (A )＝6，故第2次才挑选到了女用户的概率为310.22．“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某组织进行了一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：年龄/岁[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]调查人数 4 6 14 12 8 6 参与的人数3412632(1)补全如图所示有关调查人数的频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计这50名居民年龄的中位数和平均数(结果精确到0.1)；(2)在被调查的居民中，若从年龄在[10，20)，[20，30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率．解：(1)补全频率分布直方图，如图所示：这50名居民年龄的平均数约为(15×0.008＋25×0.012＋35×0.028＋45×0.024＋55×0.016＋65×0.012)×10＝41.4.设中位数为x ，则0.08＋0.12＋0.28＋0.024(x －40)＝0.5，解得x ≈40.8，所以这50名居民年龄的中位数约为40.8.(2)记年龄在[10，20)内的居民为a 1，A 2，A 3，A 4(其中居民a 1没有参与抢红包活动)，年龄在[20，30)内的居民为b 1，b 2，B 3，B 4，B 5，B 6(其中居民b 1，b 2没有参与抢红包活动)．从年龄在[10，20)，[20，30)内的居民中各选取1人的情形有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，B 3)，(a 1，B 4)，(a 1，B 5)，(a 1，B 6)，(A 2，b 1)，(A 2，b 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 2，B 5)，(A 2，B 6)，(A 3，b 1)，(A 3，b 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 3，B 5)，(A 3，B 6)，(A 4，b 1)，(A 4，b 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，(A 4，B 5)，(A 4，B 6)，共24种．其中仅有1人没有参与抢红包活动的情形有10种，所以选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率p ＝1024＝512.。