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2019新人教A版必修第二册第十章概率单元总结

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1 第十章 概率单元知识总结

一、有限样本空间与随机事件

1.随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示，特点如下：

（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次实验会出现哪一个结果，像这样的试验是一个随机试验。

例如：掷一次骰子，打一次靶、投一次篮、作一次天气预报等。

2.有限样本空间

（1）样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用表示；

（2）样本空间：全体样本点的集合，用表示；

（3）有限样本空间：在本书中，我们只讨论为有限集的情况，如果一个随机试验有n个可能结果123,,,,n则称样本空间123,,,,n为有限样本空间。

3.基本事件

（1）随机事件：随机试验中的每个随机事件都可以用这个实验的样本空间的子集来表示。为了叙述方便，将样本空间的子集成为随机事件，简称事件。

（2）基本事件：把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母,,,ABC表示。

（3）事件发生：在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。

（4）必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，称为必然事件。

（5）不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称为不可能事件。

（6）必然事件与不可能事件不具有随机性，可以作为随机事件的两个极端情形，即每个事件都是样本空间的一个子集。

二、事件的关系和运算

事件的关系或运算 含义（发生与否） 符号表示（试验结果） 图形表示

包含 A发生导致B发生 AB

相等 A与B同时发生或同时不发生 AB，BA

并事件（和事件） A与B至少一个发生 AB或AB

交事件（积事件） A与B同时发生 AB或AB 2 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 AB

互为对立 A与B有且仅有一个发生 AB，AB

相互独立 A与B发生与否互不影响 ()()()PABPAPB

三、古典概型

1.判定（特点）：

（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；

（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等

2.计算：（1）确定样本点总个数n;（2）确定事件A包含的样本点个数k;(3)计算事件A的概率()()()nAkPAnn。

四、概率的基本性质

1.对任意的事件A，都有0()1PA；

2.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即()1,()0PP，反之

不一定成立。

3. 如果事件A与事件B互斥，那么()()()PABPAPB（可以推广到多

个事件的情况）；

4. 如果事件A与事件B互为对立事件，那么()1(),()1()PBPAPAPB；

5. 如果AB，那么()()PAPB；

6. 设,AB是一个随机试验中的两个事件，我们有()()()()PABPAPBPAB

五、事件的相互独立性

1. 定义：对任意两个事件A与B，如果()()()PABPAPB成立，则称事件

A与事件B相互独立，简称为独立。

2. 判断：（1）定量计算：定义法；（2）定性分析：A与B发生与否互不影响

3.性质：①必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.

②若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:

.ABABAB与；与；与 3 4.互斥事件与相互独立事件的区别

(1)互斥事件:两个事件不可能同时发生

(2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响

二者之间没有必然联系

5.相互独立事件同时发生的概率计算公式

①相互独立事件A、B 同时发生的概率：()()()PABPAPB

②对于n个相互独立的事件12,,,nAAA，则有

1212()()()()nnPAAAPAPAPA

③解题步骤：1.用字母表示事件. 2.把所求事件用已知事件表示. 3.根据公式解答

6.较复杂事件概率的求法：

求直接间接较复杂事件概率法法对立事件的概率分类分步P(A∪B)= P(A) + P (B)P(A∩B)= P(A) ·P (B)( 互斥事件)( 互独事件)

A，B关系 概率记法 A，B互斥

A，B相互独立

至少一个发生 P（A∪B） P（A）+P(B) 1()()PAPB

同时发生 P（AB） 0 ()()PAPB

都不发生 ()PAB 1()()PAPB ()()PAPB

恰有一个发生 ()PABAB P(A)+P(B) ()()()()PAPBPAPB

至多一个发生 ()PABABAB 1 1()()PAPB

六、随机事件的频率与概率

1.频数与频率：在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数An为事件A出现的频数，称事件A出现的比例 4 ()AnnfAn为事件A出现的频率。

2.频率的取值范围：01Ann

3.频率的稳定性：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率()nfA逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，称为频率的稳定性。

（1）我们可以用频率()nfA估计概率P(A)；

（2）频率与概率的联系与区别

区别：频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同。概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关。

联系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，它们的取值范围相同，均为[0,1]。

（3）小概率事件很少发生，大概率事件经常发生。

（4）概率的意义：概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量。

判断：“用事件A发生的频率()nfA估计概率P(A)，重复试验次数n越大，估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例明。

答案：说法不确切。反例：抛掷一枚硬币，正面朝上的频率可能为0.5；抛掷两次硬币，正面朝上的频率可能为0.5，抛掷99次硬币，正面朝上的频率可能为0.49。确切的说法是“当试验次数足够多时，频率与概率差异较小的可能性大”。

4.随机模拟

以上概念要求熟练背诵！

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2019_2020学年新教材高中数学第10章概率10.3频率与概率课时作业50随机模拟新人教A版必修第二册

2019_2020学年新教材高中数学第10章概率10.3频率与概率课时作业50随机模拟新人教A版必修第二册

- 1 - 课时作业50 随机模拟

知识点一 随机数产生的方法

1.下列不能产生随机数的是( )

A．抛掷骰子试验

B．抛硬币

C．利用计算器

D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体

答案 D

解析 D项中，出现2的概率为13，出现1,3,4,5的概率均是16，故不能产生随机数．

2．试用随机数把a，b，c，d，e五位同学排成一排．

解 用计算器的随机函数RANDI(1,5)或计算机的RANDBETWEEN(1,5)产生5个不同的1到5之间的取整数值的随机数，即依次为a，b，c，d，e五位同学的座位号.

知识点二 随机模拟法估计概率

3.一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．

解 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：

330130 302220 133020 022011 313121

222330 231022 001003 213322 030032

100211 022210 231330 321202 031210

232111 210010 212020 230331 112000

102330 200313 303321 012033 321230

就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，共有4组数，由此可得该同学6道选择题至少答对3道的概率近似为425＝0.16.

易错点 用随机模拟估计概率时审题不清致误

2019新人教A版必修第二册第十章概率单元总结

2019新人教A版必修第二册第十章概率单元总结

1 第十章 概率单元知识总结

一、有限样本空间与随机事件

1.随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示，特点如下：

（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次实验会出现哪一个结果，像这样的试验是一个随机试验。

例如：掷一次骰子，打一次靶、投一次篮、作一次天气预报等。

2.有限样本空间

（1）样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用表示；

（2）样本空间：全体样本点的集合，用表示；

（3）有限样本空间：在本书中，我们只讨论为有限集的情况，如果一个随机试验有n个可能结果123,,,,n则称样本空间123,,,,n为有限样本空间。

3.基本事件

（1）随机事件：随机试验中的每个随机事件都可以用这个实验的样本空间的子集来表示。为了叙述方便，将样本空间的子集成为随机事件，简称事件。

（2）基本事件：把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母,,,ABC表示。

（3）事件发生：在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。

（4）必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，称为必然事件。

（5）不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称为不可能事件。

（6）必然事件与不可能事件不具有随机性，可以作为随机事件的两个极端情形，即每个事件都是样本空间的一个子集。

二、事件的关系和运算

事件的关系或运算 含义（发生与否） 符号表示（试验结果） 图形表示

包含 A发生导致B发生 AB

相等 A与B同时发生或同时不发生 AB，BA

并事件（和事件） A与B至少一个发生 AB或AB

交事件（积事件） A与B同时发生 AB或AB 2 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 AB

高中数学人教A版(2019)必修第二册知识点总结

高中数学人教A版(2019)必修第二册知识点总结

1 高中数学 必修2

第六章 平面向量

设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则

（1）为的外心.

（2）为的重心.

（3）为的垂心.

（4）为的内心.

【6.1】平面向量的概念

1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移）

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.

（2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；

①向量的表示：

2、向量的有关概念：相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量

向量名称 定义

零向量 长度为0的向量，记作0

单位向量 长度等于1个单位长度的向量

平行向量

（共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a①b，

规定：零向量与任一向量平行

相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b

【6.2】平面向量的运算

1、向量的加法

（1）定义：求两个向量和的运算.

（2）运算法则：

向量求和的法则 图示 几何意义

三角形法则

使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b，则向量𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ＋𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ＝𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

平行四边形法则

以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作①OACB，则以O为起点的向量𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ （OC是①OACB的对角线）就是向量a与b的和

（3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.

（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. ABC,,ABC,,abcOABC222OAOBOCOABC0OAOBOCOABCOAOBOBOCOCOAOABC0aOAbOBcOC 2 （5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立.

2021年人教A版(2019)必修第二册数学第十章_概率单元测试卷(1)

2021年人教A版(2019)必修第二册数学第十章_概率单元测试卷(1)

试卷第1页，总16页 2021年人教A版（2019）必修第二册数学第十章 概率单元测试卷（1）

一、选择题

1. 下列事件中，随机事件的个数为( )

①在学校运动会上，学生张涛获得100𝑚短跑冠军；

②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；

③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；

④在标准大气压下，水在 4∘𝐶时结冰.

A.1 B.2 C.3 D.4

2. 下列事件：

①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；

②明天下雨；

③某人买彩票中奖；

④从集合{1, 2, 3}中任取两个元素，它们的和大于2；

⑤在标准大气压下，水加热到90∘𝐶时会沸腾，其中是随机事件的个数有( )

A.1 B.2 C.3 D.4

3. 从0，1，2，3这四个数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为( )

A.12 B.15 C.14 D.25

4. 甲，乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为13，14，那么两人中恰有1人合格的概率是( )

A.712 B.512 C.12 D.112

5. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为𝑎，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为𝑏，其中𝑎，𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}，若|𝑎−𝑏|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )

A.19 B.29 C.718 D.49

6. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )

试卷第2页，总16页 A.56 B.25 C.16 D.13

7. 将一枚硬币连续抛掷𝑛次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于1516，则𝑛的最小值为( )