历年高考数学真题精选48 线性相关

4.考试结束后，将本试题和答题卡 并交绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）数学注意事项:1 .本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至3页，第II 卷 3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

一、填空题（本大题共有14题，满分48分.）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格埃对4分，否则一律得零分.1. (4 分)(2015-)设全集 U = R.若集合 A ={1, 2, 3, 4}, B ={x|2WxW3}, 则 A nCuB=.2. （4分）（20159若复数Z 满足3z+三二1 + i,其中i 是虚数单位，则Z=2 3 cA『炉33. （4分）（2015）若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则G-0 1 c 2 （ y=5 x. J JC2=•4. （4分）（2015）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16店，则 a=•5. （4分）（20159抛物线y 2=2px （p>0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1, 则 p=.6. （4分）（2015）若圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n ,则其母线与轴 的夹角的大小为.7. (4 分)(2015)方程 log 2 (9x-1-5) =log 2 (3x-1-2) +2 的解为8. （4分）（2015）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.9. （20159已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线G和C2.若G的渐近线方程为y二±、/^x,则C2的渐近线方程为.10. （4 分）（2015）设 L （x）为千（x）=x e [0, 2]的反函数，贝"y=f2（x） +" （x）的最大值为.11. （4分）（2015）在（l+x+弟岸）”的展开式中，x，项的系数为________ （结2015X果用数值表示）.12. （4分）（2015）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1, 2,3, 4, 5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量八和& 2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E&L E&2=（元）.13. （4分）（2015）已知函数千（x）=sinx.若存在x- x2,…，乂…,满足0Wx〔VX2<・・・ VxmW6rt ,且|f （Xi） - f （x2） | + |f （x2） - f （x3） |+・・・+|f （x ra-i） - f （xQ |=12 （m\12, mGN*）,则m 的最小值为.14. （2015）在锐角三角形ABC中，tanA=l, D为边BC上的点，AA BD与AACD2的面积分别为2和4.过D作DE1AB于E,DF±AC于F,则瓦=.二、选择题（本大题共有4题，满分15分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. （5分）（2015）设乙，z2ec,则“乙、Z2中至少有一个数是虚数”是“ZLZ2是虚数"的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件）C. _11 ~2D. 13 ~216. （5分）（20159已知点A的坐标为（4/, 1）,将0A绕坐标原点0逆时针旋转_2£至0B,则点B的纵坐标为（3A. 3V3B.蛛F F17. （2015）记方程①：x2+a lX+1=0,方程②：x2+a2x+2=0,方程③：x2+a3x+4=0,其中印，a2, a’是正实数.当司，a2, a’成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根18. （5 分）（20159 设P n（x n, y n）是直线2x - v二工（nEN*）与圆x2+y2=2 在n+1y _ 1第一象限的交点，则极限lim-n二二（）n—8% 1A・-1 B. _1 C. 1 D. 2三、名师解答题（本大题共有5题，满分74分）名师解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （12 分）（2015）如图，在长方体ABCD-ABC0 中，AA户1, AB=AD=2, E、F 分别是AB、BC的中点，证明用、G、F、E四点共面，并求直线CD】与平面A.C.FE 所成的角的大小.BC=4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f (t)(单位：千米).甲的路线是AB,速度为5千米/小时，乙的路线是ACB,速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t二七时乙到达C 地.(1) 求b与千(七)的值；(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求千(t)的表达式，并判断f (t)在［七，1］上的最大值是否超过3?说明理由.21. (14分)(2015)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线L和I?分别于椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S.(1) 设A (Xl, y(, C (x2, y2),用A、C的坐标表示点C到直线L的距离,并证明S=21 Xiy2 - x2yi |:(2) 设L与12的斜率之积为-上求面积S的值.222. (16 分)(2015)已知数列｛aj 与｛b』满足a^-a户2 (b n+1-b n), nEN*.(1) 若b=3n+5,且aB,求数列｛aj的通项公式;(2) 设｛aj的第n°项是最大项，即a . ^a n (nGN*),求证：数列｛bj的第n。

数学冲刺复习创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日数学精练〔48〕1．复数z=1－2i ，那么=-+11z z 〔 〕A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i2．在用二分法求方程22=x 的一个近似解时，如今已经将其一根锁定在区间〔1,2〕内，假设要求准确到小数点后第3位，那么在此根底上至少需要重复操作 〔 〕A ．4次B ．10次C ．16次D ．1000次3．如下图，图中曲线方程为12-=x y ，借助定积分表达围成的封闭图形的面积 〔 〕 A ．dx x ⎰-202)1(B ．|)1(|22dx x ⎰-C ．dx x⎰-22|1|D ．⎰⎰-+-212202)1()1(dx x dx x4．函数x x x f ωωcos sin )(+=，假如存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有)2011()()(11+≤≤x f x f x f 成立，那么ω的最小值为〔 〕A ．20111 B ．2011πC ．40221D ．4022π5．设递增数列{}n a 满足a 1=6，且1-+n n a a =19--n n a a ＋8〔2≥n 〕，那么70a = 〔 〕A ．29B ．25C ．630D ．96．OAB ∆内有一动点C 满足OB y OA x OC +=，那么ABC ∆面积小于OAB ∆面积一半的概率是〔 〕A ．21B ．41C ．43D ．161 7．如右图所示程序框图表示：输入的实数x 经过循环构造的一系列运算后，输出满足条件“x>2021？〞的第一个结果。

但是程序不是对于所有的实数都适用，为了保证程序可以执行成功，输入实数x 时需要提示 〔 〕 A ．1>x B ．2>xC ．0>xD ．*N x ∈8．函数)cos 20111)(cos sin 20111(sin )(2222xx x x x f ++=的最小值是〔 〕A ．20114B ．)12012(20112- C ．20112D ．)12012(20112-9．如图，在平面斜坐标系xOy 中∠xOy =60°，该平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：假设21e y e x OP +=〔其中21,e e 分别为与x 轴、y 轴方向一样的单位向量〕，那么P 点的斜坐标为〔x ，y 〕。

历年高三数学高考考点之<平面向量的线性问题>必会题型及答案体验高考1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2.已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m 等于( ) A.－8 B.－6 C.6 D.8 答案 D解析 由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.3.已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0， 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.4.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.高考必会题型题型一 平面向量的线性运算及应用例1 (1)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 (2)已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →， CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝_____.答案 (1)D (2)23解析 (1)设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. ∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. (2)因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.点评 平面向量的线性运算应注意三点 (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB →＋kAC →，则λ＋k 等于( )A.1＋ 2B.2－ 2C.2D.2＋2(2)在△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.答案 (1)A (2)6解析 (1)根据向量的基本定理可得， AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋(ED →－EC →) ＝AC →＋(2AC →－22BC →)＝AC →＋2AC →－22(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22·AC →＋22AB →， 所以λ＝22，k ＝1＋22， 所以λ＋k ＝1＋ 2.故选A.(2)由GA →＋GB →＋GC →＝0，知点G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA→＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知点A (－3，0)，B (0，3)，点O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________.答案 1解析 由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°，知∠xOC ＝150°，∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.(2)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解 ①由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.②a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.③设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2，4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5，3).点评 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 变式训练2 (1)如图所示，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋2y的最小值为( )A.8＋2 2B.8C.6D.6＋2 2(2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 答案 (1)B (2)m ≠12解析 (1)因为点D 为AB 的中点，所以AB →＝2AD →，因为AF →＝x a ＋y b ，所以AF →＝2xAD →＋yAC →.因为点F 在线段CD 上，所以2x ＋y ＝1，又x ，y ＞0，所以1x ＋2y＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4xy＝8， 当且仅当y ＝2x ＝12时取等号，所以1x ＋2y的最小值为8.(2)因为OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，所以AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m ).由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以AB →与BC →不共线，而当AB →与BC →共线时，有3－m －1＝1－m ，解得m ＝12，故当点A 、B 、C 能构成三角形时，实数m 满足的条件是m ≠12.高考题型精练1.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a | D.|－λa |≥|λ|a答案 B解析 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小.2.设点M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，点D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( )A.13B.12 C.1 D.2 答案 A解析 ∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ， ∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →).∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A. 3.已知点A (－3，0)，B (0，2)，点O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.23答案 D解析 过点C 作CE ⊥x 轴于点E (图略). 由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →， 即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.4.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 答案 C解析 由已知，得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形.5.设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C解析 若a ＝(4，2)，则|a |＝25，且a ∥b 都成立； ∵a ∥b ，设a ＝λb ＝(2λ，λ)，由|a |＝25，知4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2， ∴a ＝(4，2)或a ＝(－4，－2).因此“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的充分不必要条件.6.在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，点E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 答案 A解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →.7.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.①② C.③④ D.④⑤ 答案 A解析 ①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b ＝0，则不对.8.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)答案 12(5e 1＋3e 2)解析 在矩形ABCD 中，因为点O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2).9.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.答案 45解析 依题意得，AM →＝AB →＋BC →＋CM →＝AB →＋BC →－14AB →＝34AB →＋BC →，AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12BC →.又AB →＝λAM →＋μAN →，于是有AB →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →＋BC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2BC →.又AB →与BC →不共线，因此有⎩⎪⎨⎪⎧34λ＋μ＝1，λ＋μ2＝0，由此解得λ＝－45，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝45.10.已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，点O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________.答案 2解析 因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角.又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧.又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.11.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值.(1)证明 由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →. 又∵AB →与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 由(1)可知BD →＝e 1－4e 2， ∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF →＝λBD →(λ∈R )， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.12.已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时，a 的值. (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2). 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明 当t 1＝1时， 由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2). ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →， 又∵AM →与AB →有公共点A ，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线.(3)解 当t 1＝a 2时， OM →＝(4t 2，4t 2＋2a 2).又AB →＝(4，4)，OM →⊥AB →， ∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2). |AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12， 解得a ＝±2， 故所求a 的值为±2.。

课后限时集训（四十八)（建议用时：60分钟)A组基础达标1。

(2019·泉州模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若｜AO|＝|AF｜＝错误!。

（1）求C的方程；(2)设直线l与C交于P,Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1,求△OPQ的面积的最大值．[解] (1)∵点A在抛物线C上，｜AO｜＝｜AF|＝错误!，∴错误!＋错误!＝错误!，∴p＝2，∴C的方程为x2＝4y.(2）设直线方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b ＝0，设P(x1，y1）,Q（x2，y2）,则x1＋x2＝4k，∴y1＋y2＝4k2＋2b,∵线段PQ的中点的纵坐标为1,∴2k2＋b＝1，△OPQ的面积S＝错误!·b·错误!＝b错误!＝错误!·错误!（0＜b≤1）,设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b＞0，故函数单调递增，∴b＝1时，△OPQ的面积的最大值为2。

2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(1)若错误!＝2错误!，求直线AB的斜率;（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．[解］（1）依题意知F(1,0），设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0.设A（x1，y1）,B(x2,y2），所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4。

①因为错误!＝2错误!，所以y1＝－2y2.②联立①和②，消去y1，y2，得m＝±错误!。

所以直线AB的斜率是±2 2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AO B.因为2S△AOB＝2·错误!·|OF|·|y1－y2｜＝错误!＝4错误!，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4。

2021高考数学填空题型精选精练1.,2||=OA ,2||=OB OB y OA x OC +=且1=+y x ，∠AOB 是钝角，||)(OB t OA t f -=的最小值为3，那么||OC 的最小值为__________．2、向量c b a ,,满足c a b R x c x b x a ⋅=∈=++4),(022，那么向量a 与b 的关系是__________．〔填“一共线〞或者“不一共线〞〕3、设函数3)1ln(2)(2+++-=x e x x x f 的定义域为区间[]a a ,-，那么函数)(x f 的最大值与最小值之和为__________．4．f (3x )=4x log 23+1，那么101(2)i i f =∑=__________．5．函数f (x )=2x ，对x 1,x 2∈R +，x 1≠x 2，1λαλ+=+12x x ，1λβλ+=+21x x (1λ>)，比拟大小：f (α)+f (β)__________f (x 1)+f(x 2).6、函数f 〔x 〕=|x 2－2|，假设f 〔a 〕≥f 〔b 〕，且0≤a ≤b ，那么满足条件的点〔a ，b 〕所围成区域的面积为__________．7.设函数)(x f 的定义域为D ,假设存在非零常数l 使得对于任意)(D M M x ⊆∈有D l x ∈+且)()(x f l x f ≥+,那么称)(x f 为M 上的l R 的奇函数)(x f ,当22)(,0a a x x f x --=≥,假设)(x f 为R 上的4高调函数,那么实数a 的取值范围为__________．8、定义在R 上的函数()f x 满足f (4)=1,()y f x '=的图像如下图，假设两个正数a 、b 满足f (2a +b )<1，那么11b a ++的取值范围是9．在ABC △中，BD 2DC =，AD mAB nAC =+，那么m n=__________． 10．实数x ，y 满足3221423x x ,y y≤≤≤≤，那么xy 的取值范围是__________．11．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，假设曲线C 上存在点P 满足1122::PF F F PF =6:5:4，那么曲线C 的离心率等于__________．12．假设)(x f 是R 上的减函数，且1)3(,3)0(-==f f ，设},2|1)(||{<-+=t x f x P }1)(|{-<=x f x Q ，假设“Q x ∈〞是“P x ∈〞的必要不充分条件,那么实数t 的取值范围是__________．13．数列{a n }满足a 1＝1，a i ＋1＝⎩⎨⎧2a i ，a i ≤m －12，2(m －a i )＋1，a i ＞m －12．，其中m 是给定的奇数．假设a 6＝6，那么m =__________．14．ω是正实数，设})](cos[)(|{是奇函数θωθω+==x x f S ，假设对每个实数 a ，ωS ∩)1,(+a a 的元素不超过２个，且存在实数a 使ωS ∩)1,(+a a 含有２个元素，那么ω的取值范围是__________．参考答案1.12、一共线3、68】4. 2305. <6．2π7．11a -≤≤8.)5,31(9. 12 10. [13,2] 11. 12或者5212. 3t ≤- 13. m ＝9． 14．]2,(ππ四季寄语情感寄语在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地燕子声声里,相思又一年朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊没有你在身边,我的生活永远是冬天!让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.落红不是无情物,化作春泥更护花.愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。

课时规范练48 变量间的相关关系、统计案例

基础巩固组 1.(2019湖南长郡中学一模,6)相关变量的样本数据如下表 x 1 2 3 4 5 6 7 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 a 5.9

经回归分析可得y与x线性相关,并由最小二乘法求得回归直线方程为𝑦^=0.5x+2.3,下列说法正确的是( )

A.x增加1时,y一定增加2.3 B.变量x与y负相关 C.当y为6.3时,x一定是8 D.a=5.2 2.(2019山东临沂三模,6)某产品近期销售情况如下表: 月份x 2 3 4 5 6

销售额y(万元) 15.1 16.3 17.0 17.2 18.4

根据上表可得回归方程为𝑦^=b^x+13.8,据此估计,该公司8月份该产品的销售额为( ) A.19.05 B.19.25 C.19.5 D.19.8 3.(多选)为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两同学各自独立地做100次和150次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为t1和t2,已知两个人在试验中发现对变量x的观测值的平均值都是s,对变量y的观测值的平均值都是t,下列说法正确的是( )

A.t1和t2有交点(s,t) B.t1和t2相交,但交点不是(s,t) C.t1和t2必定重合 D.t1和t2可能重合 综合提升组

4.已知具有线性相关的变量x,y,设其样本点为Ai(xi,yi)(i=1,2,…,8),回归直线方程为𝑦^=12x+a,若OA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+OA8

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=(6,2)(O为原点),则a=( )

A.18 B.-18 C.14 D.-14 5.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y^=𝑏^x+𝑎^.已知∑𝑖=110xi=225,∑𝑖=110yi=1 600,𝑏^=4.该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为 厘米.

课时规范练48 变量间的相关关系、统计案例 基础巩固组 1.(2019湖南长郡中学一模,6)相关变量的样本数据如下表 x 1 2 3 4 5 6 7

y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 a 5.9

经回归分析可得y与x线性相关,并由最小二乘法求得回归直线方程为𝑦^=0.5x+2.3,下列说法正确的是( )

A.x增加1时,y一定增加2.3 B.变量x与y负相关 C.当y为6.3时,x一定是8 D.a=5.2 2.(2019山东临沂三模,6)某产品近期销售情况如下表: 月份x 2 3 4 5 6

销售额y(万

元)

15.1 16.3 17.0 17.2 18.4 根据上表可得回归方程为𝑦^=b^x+13.8,据此估计,该公司8月份该产品的销售额为( ) A.19.05 B.19.25 C.19.5 D.19.8 3.(多选)为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两同学各自独立地做100次和150次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为t1和t2,已知两个人在试验中发现对变量x的观测值的平均值都是s,对变量y的观测值的平均值都是t,下列说法正确的是( )

A.t1和t2有交点(s,t) B.t1和t2相交,但交点不是(s,t) C.t1和t2必定重合 D.t1和t2可能重合 综合提升组 4.已知具有线性相关的变量x,y,设其样本点为Ai(xi,yi)(i=1,2,…,8),回归直线方程为𝑦^=12x+a,若OA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+OA8⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2)(O为原点),则a=( )

A.18 B.-18 C.14 D.-14 5.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y^=𝑦^x+𝑦^.已知∑𝑦=110xi=225,∑𝑦=110yi=1 600,𝑦^=4.该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为 厘米. 6.(2019山东德州高三一模,19)改革开放以来,我国经济持续高速增长.如图给出了我国2003年至2012年第二产业增加值与第一产业增加值的差值(以下简称为:产业差值)的折线图,记产业差值为y(单位:万亿元).