有效数字修约与计算48页PPT

在运算过程中，为减少舍入误差，其它数值的修约可以暂时多保留一位，等运算 得到结果时，再根据有效位数弃去多余的数字。
遇到收尾数字为8或9时，可多算以为有效数字，中间算式中可多保留以为。
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例如： 14.131 × 0.07654 ÷ 0.78 = ? 分析：在三个数值中，0.78的有效位数最少，仅为两位有效位数，因此各数值
四舍六入五成双，即当尾数≤4时舍去，尾数≥6时进位。当尾数为5时，其后跟有 并非全部为0的数字，则进一；5后面为0，则应看5前面的数字是奇数还是偶数，5前为偶 数应将5舍去，5前为奇数则将5进位。
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进舍规则口诀：四舍六入五成双，五后非零则进一； 五后全零看五前，五前偶舍奇进一； 不论数字多少位，都要一次修约成。
均应暂保留三位有效位数进行运算，最后结果再修约为两位有效位数。 最后对计算结果进行修约，应只保两位有效位数，故： 14.131 × 0.07654 ÷ 0.78 = 14.1 × 0.0765 ÷ 0.78 = 1.4
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三、有效数字的应用实例
例1 异戊巴比妥钠的干燥失重，规定不得过4.0%，今取样1.0042g，干燥失重量 0.0408g，请判断是否符合规定？ 解析：
例如： 0.6000g、20.05%、6.325×103 0.0450g、6.32×103 、63.2×102
-------四位有效数字 -------三位有效数字
pH值等对数值，其有效数字是由其小数点后的位数决定的，其整数部分只表明其 真数的乘方次数。如pH=11.26（[H]+=5.5×10-12mol/L），其有效位数只有两位。
应修约成0.17%，0.6%；在抽样时根据取样规则确定取样件数时也采取“只进不舍” 规则。
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④ 若第一位数（不为零数）8，在使用时可多看 作一位有效数字，如8.93可看做四位有效数字。
第三节 有效数字及其运算规则
二．有效数字的表示规则
① 一切直接测量值或由此计算的数值都是有效数 字，有效数字的位数与仪器的准确度相适应。
使用仪器 精度 正确记录 有效数字
移液管 ±0.01ml 25.00ml
b.乘除法 在几个数据的乘除运算中，所得结果
的有效数字的位数取决于相对误差最大的 那个数。
ห้องสมุดไป่ตู้
第三节 有效数字及其运算规则
例如：
3.261×10 -5 ×) 1.78
5.804 58×10 -5
↓
5.804×10 -5
相对误差 ／%
0.03 0.6 0.0002
0.2
第三节 有效数字及其运算规则 三．有效数字的运算规则
在运算中弃去多余数字时，应以“四舍六入五 成双”的原则决定进位或弃去。
几个数相加减时，保留有效数字的位数，决定 于小数点后位数最少的一个数，也就是绝对误 差最大的一个数。
第三节 有效数字及其运算规则 三．有效数字的运算规则
几个数相乘除时，保留有效数字的位数，决定 于有效数字位数最少的一个数，也就是相对误 差最大的一个数。
c.计算过程中应注意
1.自然数、分数、倍数不是测量来的，其有效数字位 数可看作不确定。如n(Fe)=6n(K2Cr2O7)中的6倍或 其有效数字可看成任意位的。
2.某一数据中第一位有效数字大于或等于8，则有效 数字可多算一位。如8.34虽只3位，但可看作4位有 效数字。
第三节 有效数字及其运算规则 三．有效数字的运算规则
如10.06 mL，两个零都是测量得来的，这个 数字含有4位有效数字。

有效数字修约及运算目的●正确地进行有效数字判定、修约及运算●规范取样规则依据●药典“凡例”●国家标准《数值修约规程》●《中国药品检定标准操作规范》●适用于药检工作中除生物检定统计法以外的各种测量或计算而得的数值。

主要内容1、有效数位的判断1.1有效数字的基本概念有效数字系指在药检工作中所能得到有实际意义的数值。

是由可靠数字和最后一位不确定数字组成的。

最后一位数字的欠准程度通常只能是上下差1单位。

1.2有效数位的判断1.2.1从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零。

例：350×102 保留三位有效数,两个无效零。

35×103 保留二位有效数,三个无效零。

1.2.2从非零数字最左一位向右数而得到的位数。

例： 3.2 两位有效数字0.032 两位有效数字0.0320 三位有效数字1.2.3有效位数可视为无限多位的1.2.3.1 非连续型数值（如个数、分数、倍数）1.2.3.2 常数π，e和系数√21.2.3.3 (0.1 mol/L)滴定液的名义值1.2.3.4 规格、标示量1.2.4 pH值，其有效位数是由其小数点后的位数决定的，其整数部分只表明其真数的乘方次数。

例：pH=11.26([H+]=5.5×10－12 mol／L)，其有效位数只有两位。

1.2.5有效数字的首位数字为8或9时，其有效位数可以多计一位。

例：85% 三位有效位数115% 三位有效位数99.0% 四位有效数字101.0% 四位有效数字。

2、数值的修约及取舍规则进舍规则：四舍六入五考虑。

五后非零则进一，五后全零看五前，五前偶舍奇进一，不论数字多少位，都要一次修约成。

RSD修约：只进不舍例：0.163% 修约成2位有效数位→0.17%不许连续修约：拟修约数字应在确定修约位数后一次修约获得结果，而不得多次连续修约。

例：修约15.4546，修约间隔为 1正确的做法为：15.4546—15；不正确的做法为：15.4546→15.455→15.46→15.5→16修约间隔为0.5(熔点值修约)50.8、50.9 修约值为5150.1、50.2 修约为50。

1 有效数字的定义有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。

它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。

例如：用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23 cm。

显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有±0.01cm的误差。

我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。

在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。

例如：分析天平称得的物体质量为7.1560g滴定时滴定管读数为20.05mL这两个数值中的“0”都是有效数字在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字有效位数及数据中的“0 ”：1.0005，五位有效数字0.5000，31.05% 四位有效数字0.0540， 1.86 三位有效数字0.0054，0.40% 两位有效数字0.5，0.002% 一位有效数字2 有效数字的计算规则2.1 有效数字的修约规则在运算时，按一定的规则舍入多余的尾数，称为数字的修约。

2.1.1 四舍六入五六双。

即测量数值中被修订的那个数，若小于等于4，则舍弃；若大于等于6，则进一；若等于5（5后无数或5后为0），5前面为偶数则舍弃，5前面为奇数则进一，当5后面还有不为0的任何数时，无论5前面是偶数还是奇数一律进一。

例如，将下列测量值修约为四位数：3.142 45 3.1423.215 60 3.2165.623 50 5.6245.624 50 5.6243.384 51 3.3853.384 5 3.3842.1.2 修约数字时，对原测量值要一次修约到所需位数，不能分次修约。

例如，将3.314 9 修约成三位数，不能先修约成3.315，再修约成3.32；只能一次修约为3.31。

般来讲，有效数字的运算过程中，有很 多规则。为了应用方便，我们本着实用的 原则，加以选择后，将其归纳整理为如下 两类，即一般规则和具体规则。

2.2.1一般规则
可靠数字之间运算的结果为可靠数字。 可靠数字与存疑数字，存疑数字与存疑数字之间 运算的结果为存疑数字。 测量数据一般只保留一位存疑数字。
例如: 用米尺测量一物体的长度时，物体的长 度在7.4～7.5厘米之间。那么首先直读，可以 直接读出的部分——准确数字应为7.4cm；然 后估读，估计余下部分约为0.5mm，物体的长 度即为7.45cm。其中7.4cm部分为可靠数字， 0.05cm部分为存疑数字。


2.1.3.说明
实验中的数字与数学上的数字是不一样的。

乘(除)运算后的有效数字的位数与参与运算的数字 中有效数字位数最少的相同。 2.5×1.26=3.15，取 3.2； 4.60÷0. 25=18.4，取18。
例如：
有效数字具体应用

有效数字的位数，不仅表示数值的大小，还反映 测定的精确程度。
例如：一支刻度到0.1ml的滴定管读数最多只能读
数字修约规则

数字修约规则
有效数字及其运算 有效数字具体应用


数字修约规则
我国科学技术委员会正式颁布的《数字修 约规则》，通常称为“四舍六入五成双”法 则。四舍六入五考虑，即当尾数≤4时舍去， 尾数为6时进位。当尾数4舍为5时，则应是末 位数是奇数还是偶数，5前为偶数应将5舍去， 5前为奇数应将5进位。
到0.01ml，如2.52ml，但一支刻度到0.01ml的微 量滴定管读数就可读到0.001ml，如2.524ml，这 两个读数的末位数字2和4均是估计数。

在不同情况下，应该根据具体情况选 择合适的修约方式和精度要求。
例如，在进行数据分析时，如果数据 精度要求不高，可以将数字修约为整 数；如果数据精度要求较高，则应该 保留适当的小数位数。
05
数字修约的软件工具
Excel的数字修约功能
总结词
Excel是一款常用的电子表格软件，它提供了数字修约功能，方便用户对数字进行四舍五入、向上取整或向下取 整等操作。
错误一：不恰当的修约方法
总结词
不恰当的修约方法是指在进行数字修 约时，没有遵循正确的修约规则，导 致结果不准确。
详细描述
在进行数字修约时，应遵循四舍五入 、进一法或舍去法的规则，根据实际 情况选择合适的修约方法。如果随意 选择或误用修约方法，会导致结果偏 离正确值。
错误二：忽视修约规则的一致性
总结词
详细描述
在Excel中，可以使用“ROUND”函数进行数字修约。例如，要将数字2.3456修约到小数点后两位，可以使用 “=ROUND(2.3456, 2)”，得到结果2.35。此外，还可以使用“INT”或“CEILING”函数进行向上或向下取整 。
Python的数字修约库
总结词
Python是一种通用编程语言，它有许多第三方库可以用于数字修约。
循环修约是指在进行数字修约时，由于修约规则的限制，导致被修约数字不断变 化，无法得到稳定的结果。为了避免这种情况，应该先了解修约规则，并确保修 约前后数值的一致性。
例如，在四舍五入修约中，0.5是一个临界点，如果被修约数字是0.5或以上，则 向上取整；如果是0.4999999，则向下取整为0.4。如果先对0.5进行向下取整， 得到0，再对0进行向上取整，又回到了0.5，这就形成了循环修约。
详细描述

不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
例：7.5克
用的是粗天平
7.52克
用的是扭力天平
7.5187克 用的是分析天平
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5
2、确定有效数字位数的原则： ①一个量值只保留一位不确定数字，在记录
测量值时必须记一位不确定的数字，且只 能记一位；
②数字0～9都是有效数字，当0只是作为定小 数点位置时不是有效数字。
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尾数等于5而后面的数都为0时，5前面为偶数 则舍，5前面为奇数则入；尾数等于5而后面 还有不为0的任何数字，无论5前面是奇或是 偶都入。
例：将下列数字修约为4位有效数字。
修约前
修约后
10.23500--------10.24
250.65000-------250.6
18.085002--------18.09
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习题：滴定管的读数误差为±0.02mL。如果滴定中用去标 准溶液的体积分别为2mL和20mL左右，读数的相对误差各 是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？
解：因滴定管的读数误差为±0.02mL，故读数的绝对误差 E=0.02mL
根据
r
XT
100%
r2m L0 2 .0 m m 2L L 10 % 01%
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例2：0.0121×25.64×5 =？ 5是一个有效数字位数不确定数字，或是一 个准确数字，则有效数字位数最少的数是0.0121 三位有效数字，则把25.64也修约位三位有效数 字，即25.6。 0.0121×25.64×5=0.0121×25.6×5 =1.55
有效数字虽经修约，可是运算结果只能用
一、有效数字 1、定义 有效数字就是实际能测到的数字。有效数

• 拟舍弃数字的最左一位数字大于5；或者 是5，而其后跟有并非全部为0的数字时， 则进一，即保留的末位数字加1。
例1：将10.502修约到个数位，得11
数值修约规则
举例：
• 拟舍弃数字的最左一位数字为5，而右面无数字 或皆为0时，若所保留的末位数字为奇数（1，3， 5，7，9）则进一，若所保留的末位数字为偶数 （2，4，6，8，0）则舍弃。
数值修约规则
数值修约规则
GB/T8170-2008
数值修约规则
术语定义
• 一.有效数字: 是在分析工作中实际测量到 的数字,除最后一位是可疑的外,其余的数字 都是确定的。它一方面反映了数量的大小, 同时也反映了测量的精密程度。
• 二. 数字修约 :各测量值有效数字位数可能 不同,因此计算前要先对各测量值进行修约。 应保留的有效数字位数确定之后,其 余尾数 一律舍弃的过程称为修约。 修约应一次到 位,不得连续多次修约。
例1： 1.42＝1.96 1.233=1.861
• 对数运算 ： 所取对数位数应与真数有效数字位数相等。
例1：lg12.3=1.09
数值修约规则
பைடு நூலகம்
参考标准：
• GB/T8170-2008《数值修约规则与极限数 值的表示和判定》
数值修约规则
•
拟修约数字应在确定修
约位数后一次修约获得结果，而不得多次
按进舍规则连续修约。
例1：修约15.4546，修约到个位 正确的做法：15.4546→15
不正确的做法：15.4546→15.455→15.46→15.5→16
数值修约规则
数字的运算：
• 加减运算： 应以各数中有效数字末位数的数位最高者为准 （小数即以小数部分位数最少者为准），其余 数均比该数向右多保留一位有效数字。

10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
பைடு நூலகம்
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
有效数字修约规则 PPT 课件-文档资料28页
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯

• 拟舍弃数字的最左一位数字小于5时， 那么舍去，即保存的各位数字不变。
• 例1：将12.1498修约到一位小数，得 12.1。
• • 例2：将12.1498修约成两位有效位数，
得12。
• 拟舍弃数字的最左一位数字大于5；或者是 5，而其后跟有并非全部为0的数字时，那 么进一，即保存的末位数字加1。
F—检验法是检验两个正态随机变量的总
体方差是否相等的一种假设检验方法。设
两个随机变量X、Y的样本分别为X1， x2，……，xn与y1，y2，……，yn，其样 本方差分别为s1^2与s2^2。现检验X的总体 方差DX与Y的总体方差DY是否相等。假设 H0：DX=DY=σ^2。根据统计理论，如果X、 Y为正态分布，当假设成立时，统计量(如 右图)服从第一自由度为n1—1、第二自由 度n2—1的F—分布。预先给定信度α。查 F—分布表，得Fα/2。假设计算的F值小于 Fα/2，那么假设成立，否那么假设不合理。 F—检验法还可用于两个以上随机变量平均 数差异显著性的检
例如：
1. 分子式“H2S04〞中的“2〞和“4〞是 个数；
2. 含量测定项下“每1ml的××××滴定 液〔0.1mol/L〕〞中的“0.1〞为名义浓度 ，其有效位数均为无限多位；
3. 规格项下的“0.3g〞或“1ml 〞， “25mg〞中的“0.3〞、“1〞和“25〞的有 效位数也均为无限多位。
例2：3.2，0.32，0.032，0.0032均为两位有 效位数；0.0320为三位有效位数。
• 0.5单位修约〔半个单位修约〕：指修约间隔为指 定数位的0.5单位，即修约到指定数位的0.5单位。
• 修约方法：将拟修约数值乘以2，按指定数位依数 字修约规那么修约，所得数值再除以2

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3、有效数字位数的确定
（1）记录测量值时必须且只能保留一位不确定的数字
（2）非零数字都是有效数字
（3）非零数字前的0不是有效数字：
0.00268 3位
非零数字之间的0是有效数字：
0.20068 5位
对小数，非零数字后的0是有效数字：0.26800 5位
（4）数字后的0含义不清楚时,最好用指数形式表示：
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（2）乘除法: 以相对误差最大的数为准，积或商只保留一 位可 疑数字，即按有效数字位数最少的数进 行修约和计算。
计算：0.0235 × 20.03 ÷3.1816 = 0.147946002 ？ 解：三个数的最后一位都存在±1的绝对误差，相对误差各为：
(±1／235)× 100％ = ±0.4％ 0.0235相对误差最大，修 (±1／2003)× 100％ = ±0.05％ 约时按3位有效数字计算 (±1／31816) × 100％ = ±0.003％
1、下列数据各包括几位有效数字？ （1） 1.025 （2）0.034 （3）0.0020 （4）10.045
4
2
2
5
（5）8.6×10-3 （ 6）PH = 2.0 （7）113.0 （8）39.23%
2 （9）0.05%
1
4
4
1
2、根据有效数字修约规则，将下列数据修约到小数点后 第三位。 3.1415825 3.142 0.51949 0.519 15.454046 15.454
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10.1 有效数字
练习
将下列数据修约为四位有效数字 2.4374 2.4376 2.4365 2.4375 2.43651
2.437 2.438 2.436 2.438 2.437

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▪ “四舍六入五成双” ▪ 1、 当尾数≤4时将其舍去；尾数≥6时就进一位； ▪ 2、等于5则看其前一位,加1后为奇数则舍,为偶数则入. ▪ 2.596 取三位有效数字 ▪ = 2.60 ▪ 2.594 取三位有效数字 ▪ = 2.59 ▪ 2.595 取三位有效数字 ▪ = 2.60 ▪ 2.585 取三位有效数字 ▪ = 2.58 ▪ 注意：进行数字修约时只能一次修约到指定的位数，
字。
▪ 记录为：0.0121 × 25.6 × 1.06 = 0.328 ▪ 注意：用计算器计算结果后，要按照运算规则对结果
进行修约.
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有效数字及其运算规则
三. 有效数字的运算规则 ▪ 2. 乘除运算 ▪ 例：计算2.5046×2.005×1.52 =? ▪ 修约为：2.50×2.00×1.52 =? ▪ 计算器计算结果显示为 7.6，只有两位有效数字，但我
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有效数字及其运算规则
三. 有效数字的运算规则 2. 乘除运算
几个数据的乘除运算中，所得结果的有效数字的位数 取决于有效数字位数最少的那个数，即相对误差最大 的那个数。
例：（ 0.0325 5.103 ）/ 139.8 = 0.00119
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有效数字及其运算规则
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有效数字及其运算规则
二、有效数字修约原则： 在取舍有效数字位数时，应注意以下几点） （1）在分析化学计算中，经常会遇到一些分数、整数、倍 数等，这些数可视为足够有效。
（2）若某一数据第一位有效数字等于或大于8，则有效数 字的位数可多算一位。如：9.98，按4位算。
（3）在计算结果中，采用“四舍六入五成双” 原则进行修约。