数列的通项与求和经典教案

通项与求和（2）一、教学目标1、 熟练掌握等差、等比数列的求和公式，会把一些特殊数列转化为等差、等比数列来求和2、 掌握非等差、等比数列求和的常用方法：裂项相消、错位相减、倒序相加 二、基础知识回顾与梳理1、 已知等差数列{}n a 的通项公式12+=n a n ，则{}n a 的前n 项和n S =_______,设2n S nnb =，则数列{}n b 的前n 和=n T ______________．【教学建议】本题主要是帮助学生复习等差、等比数列的前n 项和公式，教学时建议（1）让学生说出公式中字母的含义（2）教师引导学生观察等差数列的通项公式和前n 项和公式的特征以及等比数列的通项公式和前n 项和的特征（3）教学时特别强调公比为1的等比数列的前n 项和，如：求和：n x x x ++++Λ21 2、 已知数列11111,2,3,424816，...,请写出此数列的一个通项公式n a = ； 由此，该数列的前n 项和n S = .【教学建议】本题主要是让学生明白数列求和先看数列的通项，考察学生的观察能力，把通项转化为等差的通项与等比的通项的和与差，从而把和转化为等差与等比数列的和与差．帮助学生复习数列求和的一种常用方法———分组求和法.教学时强调要注意等差、等比数列的基本量． 3、 求和=+⋅++⋅+⋅+⋅)1(1431321211n n Λ ． 【教学建议】本题主要是帮助学生复习裂项相消法，本题的通项既非等差，也非等比，也不是等差加减等比，教学时建议（1）可以引导学生如何将此题无限项的和转化为有限项的和，发现通项的特点。

从而引出求和的一种常用方法——裂项相消法（2）注意通项裂项的等价性如：)111(21)2(1+-=+⋅n n n n （3）注意观察最终前后保留的项．4、求和：n n 223222132⋅++⋅+⋅+⋅Λ= ．【教学建议】本题主要是帮助学生复习错位相消法，教学时建议（1）引导学生观察通项的特点是等差⨯等比，引导学生如何从中得到等差数列或等比数列的求和，从而得到求和的一种常用方法——错位相减法；（2）教学时强调书写格式及步骤即先两边同乘公比再错位书写再相减，且注意尾巴不能漏减（3）相减之后要注意所产生的等比数列的项数不能数错（4）强调不能遗忘将左边的n S 前的系数移到右边来作为分母（5）最后的结果一定要化简到位．5、 【教学建议】本题主要是帮助学生复习回顾倒序相加法，教学时建议（1）可先回顾一下等差数列前n 项和的推倒过程；（2）明确用此方法的数列的特点：kn k n n n a a a a a a a a ----+==+=+=+Λ332211（),0*∈<<N k n k ．三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并将解答过程写在学习笔记栏。

高中数学数列通项教案教学内容：高中数学-数列的通项公式教学目标：1. 理解数列的概念和基本性质；2. 掌握等差数列和等比数列的通项公式；3. 能够根据题目给出的数列，求出其通项公式；4. 能够利用数列的通项公式解决实际问题。

教学准备：1. 教材：高中数学教材；2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪等。

教学步骤：一、引入1. 引导学生回顾数列的定义和性质。

2. 提问：什么是数列？数列有哪些特点？二、讲解等差数列的通项公式1. 概念：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。

2. 通过例题讲解如何求等差数列的通项公式。

三、讲解等比数列的通项公式1. 概念：等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)。

2. 通过例题讲解如何求等比数列的通项公式。

四、综合练习1. 老师出示一些题目，让学生尝试求解数列的通项公式。

2. 学生互相讨论，互相纠错。

五、拓展应用1. 老师出示实际问题，让学生利用数列的通项公式解决问题。

2. 学生展示解题过程并与老师讨论。

六、总结1. 总结本节课学习的内容，强调数列通项公式的重要性。

2. 鼓励学生多做练习，掌握数列的应用技巧。

七、作业布置1. 布置相关数列通项公式的练习题，加深学生对知识点的理解。

2. 鼓励学生独立思考和解题。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握等差数列和等比数列的通项公式，并且能够应用数列的通项公式解决实际问题。

在教学过程中，要注重引导学生思考、独立解题，培养其数学思维和解决问题的能力。

同时，要及时检查学生的学习情况，帮助他们解决学习难题，确保教学效果。

高中数学难点解析教案13 数列的通项与求和高中数学难点解析教案13数列的通项与求和高中数学概论中的难点分析与13难序列的求和数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和sn可视为数列{sn}的通项。

通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.● 强磁场(★★★★★)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于sn与2的等比中项.（1）写出序列{an}的前三项(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)(3)令bn=(21an?1an?anan?1)(n∈n)，求lim(b1+b2+b3+?+bn－n).n*●案例探究[示例1]已知序列{an}是公差为D的等差序列，序列{BN}是具有公共比率Q（Q）的序列∈ R和Q≠ 1)2如果函数f（x）=（x-1），A1=f（D-1），A3=f（D+1），B1=f（Q+1），B3=f（Q-1），(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设序列{CN}的前n项之和为Sn，其对所有n项具有相同的值∈ n*c1b1?c1b2cncn=an+1成立，求画s2n？1s2n。

命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.知识支持：很明显，该问题使用函数思想将问题设置条件转化为方程，并且（2）中条件方程的左侧可以被视为某个序列的前n项之和，这本质上是序列的前n项之和与序列{an}之间的关系。

利用广义项与前n项之和的关系求解CN，是这种条件变换的突破错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.技巧和方法：这个问题（1）使用函数思想转化为方程问题，这个思想更自然，（2）要求“借鸡和蛋”构造一个新的数字序列{DN}，并使用和和和通项之间的关系来计算DN，这是非常准确的解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d－2=2d∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴b3b1？（问题2）q2222=q，由q∈r，且q≠1，得q=－2，二∴bn=bqn－1=4(－2)n－1（2）命令cnbn=dn，则d1+d2+?+dn=an+1,(n∈n*),∴dn=an+1－an=2，∴cnbn=2,即cn=2bn=8(－2)1212n－1；∴sn=83［1－(－2)］.n∴s2n?1s2n?1?(?2)2n?12n(??(?))2n?2,lim?1n??s2n?1s2n321?(?2)??22n[例2]设an为序列{an}的前n项之和，an=（1）求序列{an}的一般项公式；(an－1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;（2）序列{an}和{BN}的公共项从小到大排列成一个新序列。

数列求和的通项公狪一、课程目标知识目标：1. 理解数列求和的概念，掌握通项公式的推导和应用；2. 学会运用通项公式解决等差数列和等比数列的求和问题；3. 了解数列求和在现实生活中的应用，提高数学思维。

技能目标：1. 能够运用数列求和的通项公式，快速准确地计算等差数列和等比数列的和；2. 能够分析实际问题，将其转化为数列求和问题，并运用通项公式进行解决；3. 培养逻辑思维能力和解题技巧，提高解题速度。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队合作精神，学会倾听、交流、分享；3. 培养学生严谨、细致的学习态度，提高自我要求。

分析课程性质、学生特点和教学要求：1. 课程性质：本章节为数列求和的通项公式，是高中数学的重点内容，具有较强的理论性和实用性；2. 学生特点：高一学生具备一定的数列知识基础，但可能对通项公式的推导和应用存在一定难度；3. 教学要求：注重理论联系实际，通过实例讲解和练习，使学生掌握数列求和的通项公式，提高解题能力。

1. 熟练掌握数列求和的通项公式；2. 快速准确计算等差数列和等比数列的和；3. 将实际问题转化为数列求和问题，并运用通项公式进行解决；4. 提高数学思维和逻辑思维能力，形成严谨、细致的学习态度。

二、教学内容1. 理论知识：- 数列求和的概念与意义；- 等差数列求和的通项公式推导；- 等比数列求和的通项公式推导；- 特殊数列（如调和级数、平方数列等）的求和公式。

2. 实例分析：- 结合实际例子，展示数列求和的应用；- 分析不同类型数列求和问题的解题思路与方法。

3. 练习与巩固：- 设计不同难度层次的练习题，涵盖等差数列、等比数列及特殊数列的求和问题；- 针对练习题，进行解题步骤的讲解和总结。

4. 教学大纲：- 第一课时：数列求和的概念与意义，等差数列求和通项公式的推导；- 第二课时：等比数列求和通项公式的推导，特殊数列求和公式的介绍；- 第三课时：实例分析，展示数列求和在实际问题中的应用；- 第四课时：练习与巩固，针对不同类型的数列求和问题进行训练。

数列的通项与求和（教学案）【热身训练】1．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则该数列的第6项为________．解析：由递推关系式a n ＋2＝a n ＋1－a n 以及对n 分别取1,2,3,4即可得到a 6＝－3.2．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析：由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)可知，(n ＋1)a n ＋1＝na n ，所以{na n }为常数列，即a n ＝1n.3．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 的前21项和为________．解析：由等差数列的性质可知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为等差数列，且首项为－2，公差为12，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 的前21项和为63.4．已知数列a n ＝4n2－1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 和为________．解析：因为1a n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以由裂项法求和可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为n2n ＋1.【热点追踪】在高考数学中，数列问题一直占有较大的分量，数列的通项与求和是研究数列问题的基本内容，涉及的内容和方法较多，也常融入以数列为压轴题的高考试题中，此时，数列的通项与求和往往作为解决此类压轴题的基础.（一）数列中的通项与求和基本问题 例1. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋2(n 为正整数)．(1)令b n ＝2na n ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝n ＋1na n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n.令b n ＝2na n ，所以b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 于是b n ＝n ，所以a n ＝n2n .(2)由(1)得c n ＝n ＋1n a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n，所以 T n ＝2×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ① 12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1②由①－②得12T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1＝1＋－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1 所以T n ＝3－n ＋32n变式1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n ，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式．将这n －1个等式相加，得b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －11－12＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1.又因为b 1＝1，所以b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1(n ＝1,2,3，…)．变式2：设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.求数列{a n }的通项公式．（二）数列中的常见的裂项求和问题例2. (2017·扬州期末)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立． (1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＜13成立，求正实数b 1的取值范围．解析：(1)因为A n ＝n 2，所以当n ≥2，a n ＝A n －A n －1＝2n －1，又a 1＝1符合a n ，所以a n ＝2n －1.故b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1，所以数列B n 是以2为首项，1为公差的等差数列．所以B n ＝n ＋1.(2)依题意B n ＋1－B n ＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1b n＝2，所以数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝B n ＝1－2n1－2×b 1＝b 1(2n－1)，所以b n ＋1a n a n ＋1＝2nb 1n－n ＋1－，即b n ＋1a n a n ＋1＝b 1·2nb 1n－b 1n ＋1－＝1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1－1所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121－1－12n ＋1－1，所以1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121－1－12n ＋1－1＜13恒成立，即b 1＞3⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1－1，所以b 1≥3.变式1 正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1n ＋2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564.变式2已知数列{a n }，{b n }中，a 1＝1，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－a 2n a 2n ＋1·1a n ＋1，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n .(1)若a n ＝2n －1，求S n ；(2)若a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，求证：0≤S n ＜2. 解析：(1)当a n ＝2n －1时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14·12n ＝32n ＋2.所以，S n ＝38⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋12＋…＋12n －1＝34－32n ＋2. (2)因1＝a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，故a n ＞0,0＜a n a n ＋1≤1，于是0＜a 2na 2n ＋1≤1.所以，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－a 2n a 2n ＋1·1a n ＋1≥0，n ＝1,2,3，….所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ≥0.又，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－a 2n a 2n ＋1·1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a n a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－a n a n ＋1·1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a n a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a n －1a n ＋1·a n a n ＋1≤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a n －1a n ＋1. 故S n ＝b 1＋b 2＋...＋b n ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－1a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 2－1a 3＋ (2)⎛⎭⎪⎪⎫1a n－1a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝2(1－1a n ＋1)＜2.所以，0≤S n ＜2. （三）有关等差数列的通项探究问题例3. 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N *都成立．(1)若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)求λ的值，使数列{a n }是等差数列．由归纳假设a k ＝2k －1，且S k ＝2k－1同时成立．则当n ＝k ＋1时，(S k ＋1＋1)a k ＝(S k ＋1)a k ＋1，(S k ＋a k ＋1＋1)a k ＝(S k ＋1)a k＋1，(2k －1＋a k ＋1＋1)2k －1＝(2k －1＋1)a k ＋1，解得a k ＋1＝2k.从而S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝2k－1＋2k＝2k ＋1－1.(2)S n ＋1a n ＝(S n ＋1)a n ＋1由题意知λ＝0时，a 1＝1，a 2＝1，a 3＝1，下面用数学归纳法证明a n ＝1.①n ＝1时，a n ＝1成立．②假设n ＝k 时，a n ＝1成立，即a k ＝1， 则有S k ＋1a k ＝(S k ＋1)a k ＋1， (S k ＋a k ＋1)＝(S k ＋1)a k ＋1S k ＝S k ·a k ＋1 a k ＋1＝1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝1也成立． 由①②易知，a n ＝1，所以为等差数列．变式1 已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋1a n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项a n .变式2 已知数列{a n }满足a 1＝1， a 2＝－1，当n ≥3，n ∈N *时，a nn －1－a n －1n －2＝3n －n －.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得n ≥k 时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4对任意实数λ∈[0,1]恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．把上面n －1个等式左右两边分别相加，得a n －1n －1－a 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n －1，整理，得a n ＝2n －5.当n ＝2时，满足． 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－4n ＋4，n ≥2.当n ＝1时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为λ≥25，不满足条件．当n ≥2时，S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5≥0.令f (λ)＝2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5，由已知得，f (λ)≥0对于λ∈[0,1]恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f ，f化简得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－6n ＋5≥0，n 2－2n ＋3≥0.解得，n ≤1或n ≥5.所以满足条件的k 存在，k 的最小值为5.【乘热打铁】1．若数列{a n }满足a n －(－1)na n －1＝n (n ≥2)，S n 是{a n }的前n 项和，则S 40＝________.解析：当n ＝2k 时，即a 2k －a 2k －1＝2k ①，当n ＝2k －1时，即a 2k －1＋a 2k －2＝2k －1 ②，当n ＝2k ＋1时，即a 2k ＋1＋a 2k ＝2k ＋1③，①＋②得a 2k ＋a 2k －2＝4k －1，③－①得a 2k ＋1＋a 2k －1＝1，S 40＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 39)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 40)＝1×10＋(7＋15＋23＋…＋79)＝10＋＋2＝440.2．若数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1＋S n ＝1a n ＋1，则a 25＝________.3．已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，若S 1＝2,3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1，则a n ＝________.解析：利用数列中S n 与a n 的关系求解a n .由3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1得3S 2n －2(S n＋1－S n )·S n ＝(S n ＋1－S n )2，整理得S 2n ＋1＝4S 2n ，又数列{a n }各项为正，故S n ＞0，所以S n ＋1＝2S n ，即S n ＋1S n ＝2为常数，所以数列{S n }是以S 1为首项，2为公比的等比数列，故S n ＝2·2n －1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，n ＝1不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝12n －1，n ≥2. 4．若数列{a n }中不超过f (m )的项数恰为b m (m ∈N *)，则称数列{b m }是数列{a n }的生成数列，称相应的函数f (m )是数列{a n }生成{b m }的控制函数．已知a 2＝2n ，且f (m )＝m ，则{b m }的前m 项和S m ＝________. 解析：当m 为偶数时，则2n ≤m ，则b m ＝m 2；当m 为奇数时，则2n ≤m －1，则b m ＝m －12；所以b m ＝⎩⎪⎨⎪⎧m －12，m 为奇数，m 2，m 为偶数. 当m 为偶数时，则S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝12(1＋2＋…＋m )－12×m 2＝m 24；当m 为奇数时，则S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝S m ＋1－b m ＋1＝m ＋24－m ＋12＝m 2－14；所以S m＝⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－14，m 为奇数，m 24，m 为偶数.。

教学目标理解数列的概念学会计算数列的通项公式和求和公式教学目标：理解数列的概念，学会计算数列的通项公式和求和公式数列作为数学中的一个重要概念，在各个学科领域中都有广泛的应用。

本文将以教学目标为导向，介绍数列的概念，讲解计算数列的通项公式和求和公式，帮助读者深入理解数列并掌握相关计算方法。

一、数列的概念数列是指按照一定规律排列的一列数，其中的每个数称为该数列的项。

数列可以用括号表示，例如：(a₁, a₂, a₃, ..., aₙ)。

其中a₁为数列的首项，aₙ为数列的第n项。

数列可以分为等差数列和等比数列两种常见形式：1. 等差数列：等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。

如果数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d。

2. 等比数列：等比数列是指数列中每一项与前一项的比值都相等的数列。

如果数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)。

二、计算数列的通项公式和求和公式1. 计算等差数列的通项公式：对于已知等差数列的首项a₁和公差d，我们可以通过将数列展开，观察数列中每一项的变化规律，从而得到数列的通项公式。

例如，我们以等差数列(2, 5, 8, 11, 14)为例进行说明。

首先，观察数列中每一项与前一项之间的差值，可以发现每一项与前一项之差都为3。

因此，该数列的公差为3。

其次，我们可以计算数列的首项a₁与公差d。

根据等差数列的定义，a₁ = 2，d = 3。

接下来，我们可以得到等差数列的通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d。

代入已知值进行计算，得到 aₙ = 2 + 3(n-1)。

通过这个通项公式，我们可以计算出数列中任意一项的值。

例如，计算该等差数列的第10项的值，即将n取值为10代入通项公式中，得到 a₁₀ = 2 + 3(10-1) = 29。

2. 计算等差数列的求和公式：求和公式是用来计算等差数列中前n项和的公式。

数列、数列的通项公式教案（精选5篇）第一篇：数列、数列的通项公式教案目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。

重点：1数列的概念。

按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的每一个数叫做数列的项，数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）。

由数列定义知：数列中的数是有序的，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的。

2．数列的通项公式，如果数列{an}的通项an可以用一个关于n 的公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。

从映射、函数的观点看，数列可以看成是定义域为正整数集N*（或宽的有限子集）的函数。

当自变量顺次从小到大依次取值时对自学成才的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的解析式。

由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点。

难点：根据数列前几项的特点，以现规律后写出数列的通项公式。

给出数列的前若干项求数列的通项公式，一般比较困难，且有的数列不一定有通项公式，如果有通项公式也不一定唯一。

给出数列的前若干项要确定其一个通项公式，解决这个问题的关键是找出已知的每一项与其序号之间的对应关系，然后抽象成一般形式。

过程：一、从实例引入（P110）1．堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102．正整数的倒数 3． 4．-1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…二、提出课题：数列1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）2．名称：项，序号，一般公式，表示法3．通项公式：与之间的函数关系式如数列1：数列2：数列4：4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。

5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。

求数列的通项公式（教案+例题+习题）一、教学目标1. 理解数列的概念，掌握数列的基本性质。

2. 学会求解数列的通项公式，并能应用于实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

二、教学内容1. 数列的概念与基本性质2. 数列的通项公式的求法3. 数列通项公式的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念，数列的通项公式的求法及应用。

2. 教学难点：数列通项公式的推导和应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的概念、性质及通项公式的求法。

2. 利用例题，演示数列通项公式的应用过程。

3. 布置习题，巩固所学知识。

五、教学过程1. 引入数列的概念，讲解数列的基本性质。

2. 讲解数列通项公式的求法，引导学生掌握求解方法。

3. 通过例题，演示数列通项公式的应用，让学生理解并掌握公式。

4. 布置习题，让学生巩固所学知识，并提供解题思路和指导。

5. 总结本节课的重点内容，布置课后作业。

教案结束。

例题：已知数列的前n项和为Sn = n(n+1)/2，求该数列的通项公式。

解答：由数列的前n项和公式可知，第n项的值为Sn S(n-1)。

将Sn = n(n+1)/2代入上式，得到第n项的值为：an = Sn S(n-1) = n(n+1)/2 (n-1)n/2 = n/2 + 1/2。

该数列的通项公式为an = n/2 + 1/2。

习题：1. 已知数列的前n项和为Sn = n^2，求该数列的通项公式。

2. 已知数列的通项公式为an = 2n + 1，求该数列的前n项和。

3. 已知数列的通项公式为an = (-1)^n，求该数列的前n项和。

4. 已知数列的通项公式为an = n^3 6n，求该数列的前n项和。

5. 已知数列的通项公式为an = 3n 2，求该数列的前n项和。

六、教学目标1. 掌握数列的递推关系式，并能运用其求解数列的通项公式。

2. 学习利用函数的方法求解数列的通项公式。

3. 提升学生分析问题、解决问题的能力。

初中数学教案数列的通项与求和初中数学教案：数列的通项与求和一、引言数学中的数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成，研究数列的通项和求和是数学学习中的重要内容之一。

本教案将带领学生探索数列的通项和求和公式，让学生能够理解和应用数列的相关概念。

二、教学目标1. 理解数列的概念，了解数列的通项和求和的意义；2. 能够根据给定的数列规律得出其通项公式；3. 能够根据给定的数列规律求解数列的前n项和；4. 能够灵活运用数列的通项和求和公式解决问题。

三、教学过程1. 导入引导学生回顾数列的概念和相关性质，例如等差数列和等比数列的定义，并举例说明它们在现实生活中的应用。

2. 探究数列的通项公式将学生分成小组，每个小组通过观察数列的前几项，尝试找出数列的通项规律，并给出相关的解释。

鼓励学生在小组中进行讨论和思考，引导他们逐步发现数列的通项与数列项数之间的关系，进而得出通项公式。

3. 发展数列求和公式引导学生思考如何根据数列的通项公式求解数列的前n项和。

通过实例演示，引导学生分析数列项之和与项数之间的关系，推导出数列求和的通用公式。

4. 进一步应用通过举一些具体的例子，引导学生将所学的数列的通项和求和公式运用到实际问题的解决中。

例如，计算买票问题、购物清单问题等。

5. 综合评价设计一些综合性的题目，让学生利用所学的数列的通项和求和公式解答问题，并通过个人作业、小组讨论等形式进行评价。

四、教学资源和评价1. 教学资源- 数列的示例（等差数列和等比数列）- 小组讨论指导问题- 数列的通项和求和公式彩页- 实际问题练习题彩页2. 教学评价- 学生在小组讨论中的积极性和表现- 学生个人作业的完成情况和答案正确性- 学生在综合性问题解答中的运用能力和思维逻辑五、拓展应用通过介绍一些高中数学中更复杂数列的应用，如等差中项、等差数列前n项和的推导等，引导学生了解数列的更深层次内容，培养学生的数学思维能力和创造性思维。

六、教学反思在教学过程中，教师要注重引导学生探索数列的通项和求和公式的过程，注重学生发现和思考的能力培养。

等差数列的通项与求和公式教案一、引言等差数列是数学中常见而重要的数列之一。

在学习等差数列时，了解其通项与求和公式是十分关键的。

本教案旨在帮助学生全面理解等差数列的通项与求和公式，并能够熟练运用于实际问题中。

二、基本概念1. 等差数列：数列中任意两个连续的项之差都相等，这个公差称为等差数列的公差，通常用d表示。

2. 通项：等差数列中第n项的公式，我们称其为通项，通常用an 表示。

3. 求和：等差数列前n项和的公式，我们称其为求和公式，通常用Sn表示。

三、等差数列的通项公式要找到等差数列的通项公式，我们首先要知道数列的首项和公差。

我们可以通过观察数列中的规律或者已知的条件来确定首项和公差。

1. 已知首项和公差的情况下：设首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d2. 已知任意两项的情况下：设第m项为am，第n项为an，等差数列的通项公式为：an = am+ (n - m)d四、等差数列的求和公式针对等差数列的前n项和，我们可以通过求和公式进行计算，而无需逐项相加。

1. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则有：Sn = (n/2) * (a1 + an)= (n/2) * (2a1 + (n - 1)d)= (n/2) * (a1 + a1 + (n - 1)d)= (n/2) * (2a1 + (n - 1)d)2. 根据求和公式，我们可以计算等差数列的前n项和。

五、案例分析下面通过一个具体的案例来帮助学生理解等差数列的通项与求和公式的应用。

案例：某商场每天销售的商品数量呈等差数列，第一天销售10件，公差为5，求第30天的销售数量以及前30天的销售总量。

解析：根据已知条件，可得首项a1为10，公差d为5。

根据通项公式，我们可以计算得到第30天的销售数量为：a30 = a1 + (n-1)d= 10 + (30-1) * 5= 155根据求和公式，我们可以计算出前30天的销售总量：S30 = (n/2) * (a1 + an)= (30/2) * (10 + 155)= 30 * 165= 4950六、总结等差数列的通项与求和公式在数学中有着广泛的应用。

数列的通项与求和一、教学目标⑴理解数列通项与前n 项和的关系；⑵掌握利用⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n s s n s a n n n求数列通项公式的方法； ⑶学会用分类讨论的思想分析数列。

重点：学会利用数列通项与前n 项和的关系求数列通项公式。

难点：如何利用数列通项与前n 项和的关系解决条件是n s 与n a 关系的问题。

二、教学过程⑴知识点回顾等差数列：=n a ；=n s 。

等比数列：=n a ；=ns 。

已知前n 项和n s 求通项na 公式： ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n s s n s a n nn ⑵例题及变式训练一、已知sn 表达式：例1：已知数列{an}的前n 项和Sn ＝－n 2＋n (n ∈N*)．求{an}的通项公式； 解：n ＝1时，a 1＝S 1＝0.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋n+(n －1)2－(n －1)＝－2n ＋2.经验证，a 1＝0符合a n ＝－2n ＋2故a n ＝－2n ＋2【变式】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋n +1(n ∈N *)．求{a n }的通项公式； 解：n ＝1时，a 1＝S 1＝1.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋n+1+(n －1)2－(n －1)-1＝－2n ＋2.经验证，a 1＝1不符合a n ＝－2n ＋2故1,122,2nn a n n ⎧=⎨+≥⎩＝－巩固练习1：已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： S n ＝n 2－3n ；解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－3n )－[(n －1)2－3(n －1)]＝2n －4，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝2n －4.三、已知an 与Sn 的关系求通项an【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝4a n －3,n ∈N *.求{a n }的通项公式． 解 n=1时由a 1＝S 1＝4a 1－3得a 1＝1n ≥2时1111434344n n n n n n n n n s a s a a s s a a ----=-=-=-=-做差得3a n ＝4a n-1 143n n a a -=即所以数列{}n a 是首项为1，公比为43的等比数列． 11143n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭巩固练习2：已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和32n n S a -=，（1）求证数列{a n }为等比数列（2）求数列{a n }的通项公式． 解 当n ＝1时，a 1＝S 1 ＝123a -，∴a 1＝3.当n ≥2时，1132n n S a -=－－，作差得a n ＝S n －S n －1＝122n n a a -- ∴解得a n =2a n -1 .21=-n n a a ∴数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列．∴11123--⨯==n n n q a a四：小结11,2n n n s a s s n -⎧=⎨-≥⎩ , n=1一、已知sn 表达式求an （注意并项问题）二、已知an 与sn 关系式1、转化为an 的递推关系2、转化为sn 的递推关系五、课后练习：已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和21()2n n S a +=， （1）求证数列{a n }为等差数列（2）求数列{a n }的通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝S 1 ＝2112a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴a 1＝1. 当n ≥2时，2111()2n n S a +=－－，作差得 a n ＝S n －S n －1＝221(1)(1)4n n a a -+-+ ∴整理得（a n +a n -1）(a n -a n -1-2)=0.由于{a n }>0∴a n -a n -1-2=0.∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n ＝2n-1。

数列的通项与求和教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一．体验高考1.(2012年高考辽宁卷,理6)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11等于( B )(A)58 (B)88 (C)143 (D)176解析:法一:∵a 4+a 8=16,∴S 11=2111a a +×11=284a a +×11=216×11=88.故选B.法二:设数列{a n }的公差为d,∵a 4+a 8=16,∴a 1+3d+a 1+7d=16,a 1+5d=8.S 11=2111a a +×11=21021d a +×11=(a 1+5d)×11=88.故选B.2.(2012年高考福建卷,理14)数列{a n }的通项公式a n =ncos 2πn +1,前n 项和为S n ,则S 2012= .解析:∵a n =ncos 2πn +1,∴S 2012=(1×0-2×1+3×0+4×1+…+2012×1)+2012 =(-2+4-6+…-2010+2012)+2012 =2×503+2012=3018. 答案:30183.(2012年高考江西卷,理16)已知数列{a n }的前n 项和S n =-21n 2+kn(其中k ∈N *),且S n 的最大值为8. (1)确定常数k,并求a n ;(2)求数列{nna 229-}的前n 项和T n . 解:(1)当n=k ∈N *时,S n =-21n 2+kn 取最大值,即8=S k =-21k 2+k 2=21k 2,故k 2=16,因此k=4,∴S n =-21n 2+4n.从而a n =S n -S n-1=29-n(n ≥2).又a 1=S 1=27满足上式,所以a n =29-n.(2)设b n =nn a 229-=12-n n, T n =b 1+b 2+…+b n =1+22+223+…+221--n n +12-n n,①21T n =21+222+323+…+121--n n +n n2,②①-②得21T n =1+21+221+…+121-n -n n 2=2(1-n 21)-n n 2, ∴T n =4(1-n 21)-12-n n =4-122-+n n .二．感悟备考等差数列和等比数列的通项公式、中项性质及求和公式的每两个知识点的综合是高考客观题命题的热点,在备考中,要理解、熟记并能灵活运用等差数列和等比数列的通项公式、中项性质及求和公式,灵活运用方程(组)的思想和整体代入的思想提高解题速度,该类题目在平时练习中要达到在1~2分钟内准确无误的解决.而等比数列求和公式的推导方法(错位相减法)是高考解答题命题的热点,在复习时,不但要熟练掌握此类问题的求解方法,并且还要保证结果准确无误. 三．热点考向突破考向一 求数列的通项1.热点内容根据数列的递推关系式求数列的通项的解题思路通常是先将所给递推关系式进行适当变形整理(如分解因式,待定系数,同除或者累加、累乘等)构造或转化为等差数列、等比数列,然后求其通项. 2.问题引领下面数列{a n }的条件关系式如何转化才能求通项?(1)2n a -21-n a =a n +a n-1(n ≥2);(2)a n a n-1+3a n =3a n-1(n ≥2); (3)a n =2a n-1+2n (n ≥2); (4)a n =2a n-1+2(n ≥2);(5)a n+1=c 2n a (c>0).答案:(1)分解因式法;(2)两边同除a n a n-1;(3)两边同除2n;(4)构造等比数列;(5)两边取对数转化为(4)的形式.【例1】 (2011年浙江四校联考)已知数列{a n }的首项a 1=t>0, a n+1=123+n na a ,n ∈N *. (1)若t=53,求证{n a 1-1}是等比数列,并求出{a n }的通项公式;(2)若a n+1>a n 对一切n ∈N *都成立,求t 的取值范围. 解:(1)由题意知a n >0,11+n a =n n a a 312+=n a 31+32, 11+n a -1=31(n a 1-1),又11a -1=32,所以数列{n a 1-1}是首项为32,公比为31的等比数列. n a 1-1=32(31)n-1=n 32,即a n =233+n n . (2)由(1)知11+n a -1=31(n a 1-1),n a 1-1=(t1-1)(31)n-1,由a 1>0,a n+1=123+n n a a 知a n >0,故由a n+1>a n 得11+n a <n a 1,即(t 1-1)(31)n +1<(t 1-1)(31)n-1+1,得t1-1>0,又t>0,则0<t<1. 即t 的取值范围为(0,1). 细节关注：形如a n+1=bda ca n n+(cd ≠0,b 为常数)型数列通项公式常用两边取倒数的方法将其转化为b n+1=kb n +t 型后求解变式训练1:已知数列{a n }的首项a 1=1,a 2=3,前n 项和为S n ,且11-+--n n n n S S S S =nn a a 12+(n ≥2,n ∈N *),设b 1=1,b n+1=log 2(a n +1)+b n .(1)判断数列{a n +1}是否为等比数列,并证明你的结论; (2)求{b n }的通项公式.. 解:(1)数列{a n +1}是等比数列.证明如下: 由题意得11-+--n n n n S S S S =nn a a 12+⇒a n+1=2a n +1(n ≥2,n ∈N *),∴a n+1+1=2(a n +1)(n ≥2,n ∈N *),又a 2+1=4,a 1+1=2,∴a n+1+1=2(a n +1)(n ∈N *),∴数列{a n +1}是以a 1+1=2为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)知a n +1=2n ,∴a n =2n -1(n ∈N *),由a n =2n -1及b n+1=log 2(a n +1)+b n 得b n+1=b n +n, b n -b n-1=n -1, b n-1-b n-2=n-2,…, b 2-b 1=1, 以上式子相加,∴b n =1+2)1(-n n (n ∈N *,n ≥2),n=1也适合, ∴b n =1+2)1(-n n (n ∈N *).考向二 求数列的前n 项和问题引领下面数列{a n }的通项公式具有什么结构特点?分别采用什么方法求数列{a n }的前n 项和?(1)a n =(2n-1)3n ;(2)a n =)2(1+n n ;(3)a n =2n+(21)n .答案:(1)一个等差数列与一个等比数列的积,错位相减法;(2)可分解成两项差的形式,裂项相消法;(3)一个等差数列与一个等比数列的和,分组求和法.【例2】 (2012年安徽省第一次联考)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=4a n -3n+1,n ∈N *.(1)证明:数列{a n -n}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)记b n =na nn -,数列{b n }的前n 项和为S n , 求证:S n +b n >916. 证明:(1)由题设a n+1=4a n -3n+1,得a n+1-(n+1)=4(a n -n),n ∈N *, 又a 1-1=1.∴数列{a n -n}是首项为1,且公比为4的等比数列. ∴a n -n=1×4n-1,a n =4n-1+n. (2)由(1)可知b n =n a n n -=14-n n. ∴S n =1+2×41+3×241+…+(n-1)×241-n +n ×141-n . 则41S n =1×41+2×241+…+(n-1)×141-n +n ×n 41, 相减得43S n =(1+41+241+…+141-n )-n ×n 41 =34(1-n 41)-n ×n 41, ∴S n =916(1-n 41)-143-⨯n n , ∴S n +b n =916-916×n 41-143-⨯n n +14-n n=916+1431-⨯n ·(2n-34). ∵n ≥1,∴2n-34>0, ∴S n +b n >916.变式训练2:(2012年福建省普通高中毕业班质检)等差数列{a n }的公差为-2,且a 1,a 3,a 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =)12(2n a n - (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)由已知得a 3=a 1-4,a 4=a 1-6, 又a 1,a 3,a 4成等比数列, 所以(a 1-4)2=a 1(a 1-6), 解得a 1=8, 所以a n =10-2n. (2)由(1)可得b n =)12(2n a n -=)1(1+n n =n 1-11+n ,所以S n =b 1+b 2+…+b n=(1-21)+(21-31)+…+(n 1-11+n )=1-11+n =1+n n . 高考新动向 分类讨论思想在数列求和中的应用【典例】 (2012年高考新课标全国卷,理16,5分)数列{a n }满足a n+1+(-1)n a n =2n-1,则{a n }的前60项和为 .解析:当n=2k(k ∈N *)时,a 2k+1+a 2k =4k-1,① 当n=2k-1(k ∈N *)时,a 2k -a 2k-1=4k-3,② ①-②得a 2k+1+a 2k-1=2,∴(a 1+a 3)+(a 5+a 7)+…+(a 57+a 59)=2×15=30; n=2k+1(k ∈N *)时,a 2k+2-a 2k+1=4k+1,③ ①+③得a 2k+2+a 2k =8k,∴(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+…+(a 58+a 60)=8×(1+3+5+…+29)=8×215)291(⨯+=1800,∴a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 59+a 60=30+1800=1830. 答案:1830小结：数列求和,高考一般考查转化化归的思想,而该题主要考查了分类讨论的思想和整体代入的思想.高考如果在数列求和不设置解答题,而在选择题或填空题的最后一题呈现时,会有新的命题视角. 对于条件式中含有(-1)n ,对n 要进行分类讨论,项数n 分别要用奇数2k-1(k ∈N *)和偶数2k(k ∈N *)表示,求出相邻奇数项之间的关系和相邻偶数项之间的关系,观察规律,求出奇数项的和与偶数项的和,问题得到解决.第2讲 数列的通项与求和一、选择题1.(2012年东北三省三校第二次联考)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n -1,则其通项公式a n 等于( B ) (A)3·2n-1 (B)2·3n-1 (C)2n (D)3n 解析:∵a n =S n -S n-1=3n -3n-1=2·3n-1(n ≥2), 又n=1时,S 1=a 1=2适合,∴a n =2·3n-1.2.(2012年惠州高三模拟)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4是a 3与a 7的等比中项,S 8=32,则S 10等于( C ) (A)18 (B)24 (C)60 (D)90解析:设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),由24a =a 3a 7得(a 1+3d)2=(a 1+2d)(a 1+6d),得2a 1+3d=0,再由S 8=8a 1+256d=32得2a 1+7d=8,则d=2,a 1=-3, 所以S 10=10a 1+290d=60.故选C.3.(2012年山东省威海高三第一次模拟)数列{a n }中,已知对任意n ∈N *,a 1+a 2+a 3+…+a n =3n -1,则232221a a a +++…+2n a 等于( B )(A)(3n -1)2 (B)21(9n -1) (C)9n -1(D)41(3n -1)解析:a 1=2,a 1+a 2+…+a n =3n -1,① n ≥2时,a 1+a 2+…+a n-1=3n-1-1,②①-②得a n =3n-1·2(n ≥2),n=1时,a 1=2适合上式,∴a n =2·3n-1.∴21a +22a + (2)a =91)91(21--n a =91)91(4--n =21(9n -1).4.已知数列{a n }中,a 1=1,2na n+1=(n+1)a n ,则数列{a n }的通项公式为( B )(A)a n =n n 2 (B)a n =12-n n (C)a n =12-n n(D)a n =n n 21+解析:由2na n+1=(n+1)a n 得nn a a 1+=n n 21+,于是有 12a a =122⨯,23a a =223⨯,34a a =324⨯,…,1-n n a a =)1(2-n n (n ≥2), 将以上n-1个式子相乘得1a a n =12-n n(n ≥2), 又a 1=1,所以a n =12-n n ,故选B.5.(2012年泉州四校联考)已知数列{a n }满足a 1=1,且a n =31a n-1+(31)n (n ≥2,且n∈N *),则数列{a n }的通项公式为( B )(A)a n =23+n n (B)a n =n n 32+(C)a n =n+2 (D)a n =(n+2)3n 解析:a n =31a n-1+(31)n (n ≥2且n ∈N *)得,3n a n =3n-1a n-1+1, 3n-1a n-1=3n-2a n-2+1,…,32a 2=3a 1+1,相加得3n a n =n+2,a n =n n 32+.故选B. 6.(2012年浙江省高三联考)已知数列{a n }满足:a 1=a 2-2a+2,a n+1=a n +2(n-a)+1,n ∈N *,当且仅当n=3时,a n 最小,则实数a 的取值范围为( D )(A)(-1,3) (B)(25,3) (C)(2,4)(D)(25,27)解析:∵a n+1-a n =2(n-a)+1=2n+(1-2a).∴a n -a n-1=2(n-1)+(1-2a). a n-1-a n-2=2(n-2)+(1-2a), …a 3-a 2=2×2+(1-2a), a 2-a 1=2×1+(1-2a), a 1=a 2-2a+2.∴a n =2[1+2+3+…+(n-1)]+(n-1)(1-2a)+a 2-2a+2=(n-a)2+1. 对称轴为n=a.又∵当且仅当n=3时,a n 最小. ∴运用二次函数的对称思想易得25<a<27. 二、填空题7.(2012年唐山高三第一次模拟)在数列{a n }中,a 1=1,a n+1-a n =2n+1,则数列的通项a n = .解析:∵a n+1-a n =2n+1, ∴a 2-a 1=2×1+1, a 3-a 2=2×2+1, …a n -a n-1=2(n-1)+1, a n+1-a n =2n+1,将以上各式左、右两边分别相加得 a n+1-a 1=2(1+2+…+n)+n=n 2+2n. ∴a n+1=n 2+2n+1=(n+1)2, ∴a n =n 2. 答案:n 28.正项数列{a n },定义H n =nna a a a n++++ 32132为{a n }的“光阴”值,现已知某数列的“光阴”值为H n =22+n ,则数列{a n }的通项公式为 . 解析:由H n =nna a a a n++++ 32132可得a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n H n =2)2(+n n ,① a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=2)1)(1(+-n n (n ≥2),② ①-②得na n =2)2(+n n -2)1)(1(+-n n =212+n (n ≥2),所以a n =n n 212+ (n ≥2). 又a 1=23满足a n =n n 212+,所以a n =n n 212+.答案:a n =nn 212+9.(2012年福州高三联考)设S n 是正项数列{a n }的前n 项和,且a n 和S n 满足:4S n =(a n +1)2(n=1,2,3,…),则S n = . 解析:由题意知S n =(2n a +21)2, 当n=1时,易得a 1=1. 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(2n a +21)2-(21-n a +21)2=(2n a +21-n a +1)·(2n a -21-n a) =(4212--n n a a )+(2n a -21-n a ).整理得21-+n n a a =4212--n n a a ⇒a n -a n-1=2.所以a n =2n-1,所以S n =n 2.答案:n 2三、解答题10.(2012年福州高三质量检测)在数列{a n }中,a 1=2,点(a n ,a n+1)(n ∈N *)在直线y=2x 上.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =log 2a n ,求数列{11+⋅n n b b }的前n 项和T n .解:(1)由已知得a n+1=2a n ,又a 1=2,所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 所以a n =a 1·2n-1=2n (n ∈N *).(2)由(1)知a n =2n,所以b n =log 2a n =n, 所以11+⋅n n b b =)1(1+⋅n n =n 1-11+n ,所以T n =(11-21)+(21-31)+(31-41)+…+(n 1-11+n )=1-11+n =1+n n . 11.(2012年黄山高三第二次质量检测)已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=3,a n+1=4a n -3a n-1(n ∈N *且n ≥2).(1)证明数列{a n+1-a n }是等比数列,并求出数列{a n }的通项公式; (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ,且对一切n ∈N *,都有11a b +222a b +…+nn na b =2n+1成立,求S n .解:(1)由a n+1=4a n -3a n-1可得a n+1-a n =3(a n -a n-1), 又a 2-a 1=2,所以数列{a n+1-a n }是以2为首项,3为公比的等比数列. 故有a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=31)31(21---n +1=3n-1(n ≥2),又a 1=1适合上式,∴a n =3n-1. (2)由11a b +222a b +…+nn na b =2n+1可知 当n=1时,11a b =3,b 1=3,S 1=3. 当n ≥2时,nnna b =2n+1-(2n-1)=2, b n =2n ×3n-1,S n =b 1+b 2+…+b n=3+2×2×3+2×3×32+…+2×n ×3n-1 =2(1×30+2×31+3×32+…+n ×3n-1)+1,设x=1×30+2×31+3×32+...+n ×3n-1, 3x=1×31+2×32+...+(n-1)×3n-1+n ×3n , 2x=n ×3n -(3n-1+3n-2+ (30)=n ×3n-213-n , 所以S n =(n-21)×3n +23. 而当n=1时S 1=3适合上式, 故S n =(n-21)×3n +23,n ∈N *. 12.(2012年福建长汀一中高三模拟)若数列{a n }满足21+n a -2n a =d,其中d 为常数,则称数列{a n }为等方差数列.已知等方差数列{a n }满足a n >0,a 1=1,a 5=3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =n 2n a ,则当实数k 大于4时,不等式kb n >n(4-k)+4能否对于一切的n ∈N *恒成立?请说明理由.解:(1)由21a =1,25a =9得25a -21a =4d,∴d=2.2n a =1+(n-1)×2=2n-1,∵a n >0, ∴a n =12-n ,故数列{a n }的通项公式为a n =12-n . (2)法一:由(1)知b n =n(2n-1),不等式kb n >n(4-k)+4恒成立,即kn 2-2n-2>0对于一切的n ∈N *恒成立. 设g(n)=kn 2-2n-2(n ≥1,n ∈N *) 当k>4时,由于对称轴n=k1<1,且g(1)=k-2-2>0,而函数g(n)在[1,+∞)是增函数, 故g(n)>0恒成立,即不等式kb n >n(4-k)+4恒成立,即当k>4时,不等式kb n >n(4-k)+4对于一切的n ∈N *恒成立. 法二:由(1)知b n =n(2n-1),不等式kb n >n(4-k)+4恒成立, 即kn 2-2n-2>0对于一切的n ∈N *恒成立. ∴k>n 2+22n. 又n ≥1,∴n 2+22n≤4. 而k>4,∴k>n 2+22n恒成立.故当k>4时,不等式kb n >n(4-k)+4对于一切的n ∈N *恒成立.。

数列的通项与求和教案数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按照一定规律排列的数构成。

在数列中，通项和求和是两个基本的概念和问题。

本教案将介绍数列的通项和求和的概念及求解方法，以帮助学生更好地理解和应用相关知识。

一、数列的通项数列的通项是指根据数列中的位置n，通过一个公式或规律来表示数列中的第n项。

通项是数列的核心概念，它不仅能描述数列中的每一项，还可以帮助我们求解其他与数列相关的问题。

在数列的通项的求解中，最常见的情况是等差数列和等比数列。

1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差值都相等的数列。

设数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示数列中的第n项。

2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与前一项之间的比值都相等的数列。

设数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项。

二、数列的求和数列的求和是指将数列中的所有项相加得到的结果。

数列的求和可以帮助我们更好地理解数列的性质，进一步推导出一些重要的结论。

同样地，在数列的求和中，最常见的情况是等差数列和等比数列。

1. 等差数列的求和对于等差数列，我们可以通过以下公式求解其前n项和Sn：Sn = (n/2) * (a₁ + an)其中，Sn表示等差数列的前n项和。

2. 等比数列的求和对于公比不为1的等比数列，我们可以通过以下公式求解其前n项和Sn：Sn = (a₁ * (1 - r^n)) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。

三、练习与应用在学习了数列的通项和求和的概念及求解方法后，学生可以通过多做题目来加深对相关知识的理解和掌握。

可以安排一些练习题，帮助学生在熟练掌握数列的通项和求和求解方法后，能够灵活应用于实际问题中。

例如，给定一个等差数列的首项a₁为2，公差d为3，求该数列的第10项和前10项的和。

高中数学数列求和的教案
教学目标：学生能够理解数列的概念，能够通过已知数列的通项公式求和，并能够通过数列的性质推导出求和公式。

教学重点和难点：数列的求和公式的推导及应用。

教学准备：
1. 知识点讲解：数列、等差数列、等比数列、通项公式、求和公式。

2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、课件、习题。

教学步骤：
Step 1：引入
通过引入一个简单的数列例子开始本节课的教学，让学生理解数列的概念和特点。

Step 2：等差数列求和公式的推导及应用
1. 讲解等差数列的性质和通项公式，引导学生通过对数列进行分组求和，推导等差数列求和的公式。

2. 给出练习题让学生尝试应用等差数列求和公式进行计算。

Step 3：等比数列求和公式的推导及应用
1. 讲解等比数列的性质和通项公式，引导学生通过求和两个等比数列的公式，推导等比数列求和的公式。

2. 给出练习题让学生尝试应用等比数列求和公式进行计算。

Step 4：总结与拓展
1. 总结本节课所学内容，强化数列的概念和求和公式的应用。

2. 给出拓展练习题，加深学生对数列求和公式的理解和应用能力。

Step 5：作业布置
布置作业，要求学生完成相关练习题并检查答案。

教学反馈：通过课堂练习和作业检查，检查学生对数列求和公式的掌握情况并及时进行反馈。

教学延伸：引导学生进一步理解数列的性质和应用，拓展更多数列求和的相关知识。

教学评价：通过课堂教学和作业完成情况评估学生对数列求和公式的掌握情况，及时调整教学方法和内容，帮助学生提高数学能力。

高中数学备课教案数列的通项与求和【高中数学备课教案】数列的通项与求和一、引言数列作为高中数学重要的内容之一，是初步学习数学分析的重要基础。

在高中数学学习中，掌握数列的通项公式和求和公式是必须掌握的基本知识。

本文将从数列的定义、数列的分类、数列的通项公式和数列的求和公式四个方面进行论述。

二、数列的定义数列是指由一列数字构成的有序集合。

其中，每一项的数值均可用公式表示出来，称为数列的通项公式。

数列的一般表示形式为：$$a_1,a_2,...,a_n,...$$其中，$a_n$表示数列中第n项的值。

三、数列的分类数列可以分为等差数列和等比数列两类。

1. 等差数列一般地，如果一个数列的相邻两项之差等于同一个常数$d$，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的通项公式为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$其中，$a_1$表示数列的第一项，$d$表示公差。

2. 等比数列一般地，如果一个数列的相邻两项之比等于同一个常数$q$，那么这个数列就是等比数列。

等比数列的通项公式为：$$a_n=a_1q^{n-1}$$其中，$a_1$表示数列的第一项，$q$表示公比。

四、数列的通项公式和求和公式1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$其中，$a_1$表示数列的第一项，$d$表示公差。

2.等差数列的求和公式设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，共有$n$项，则该等差数列的前$n$项和为：$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$其中，$a_n$表示数列的第$n$项。

3.等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：$$a_n=a_1q^{n-1}$$其中，$a_1$表示数列的第一项，$q$表示公比。

4.等比数列的求和公式设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，共有$n$项，则该等比数列的前$n$项和为：$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中，$q\neq 1$。

初中数学数列求值问题教案教学目标：1. 理解数列的概念，掌握数列的通项公式。

2. 学会使用数列的求和公式，解决数列求值问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 数列的概念和通项公式2. 数列的求和公式3. 数列求值问题的解决方法教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入数列的概念，让学生回顾已学的数列知识。

2. 提问：什么是数列？数列有什么特点？二、讲解数列的通项公式（15分钟）1. 讲解数列的通项公式的定义和意义。

2. 通过示例，让学生理解并掌握通项公式的应用。

三、讲解数列的求和公式（15分钟）1. 讲解数列的求和公式的定义和意义。

2. 通过示例，让学生理解并掌握求和公式的应用。

四、解决数列求值问题（15分钟）1. 讲解数列求值问题的解决方法。

2. 通过示例，让学生理解并掌握解决数列求值问题的方法。

五、练习和巩固（10分钟）1. 给学生发放练习题，让学生独立完成。

2. 讲解练习题的解题思路和方法。

六、总结和布置作业（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生巩固所学知识。

2. 布置作业，让学生进一步巩固和提高。

教学评价：1. 课后收集学生的练习作业，评估学生对数列求值问题的掌握程度。

2. 在下一节课开始时，进行数列求值问题的课堂测试，评估学生对数列求值问题的掌握情况。

教学反思：本节课通过讲解数列的通项公式和求和公式，让学生掌握了数列求值问题的解决方法。

在教学过程中，要注意引导学生理解和掌握通项公式和求和公式的应用，通过示例和练习题，让学生巩固所学知识。

同时，要培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高他们解决数列求值问题的能力。

数列的通项公式的教案教案标题：探索数列的通项公式一、教学目标：1. 理解数列的概念及数列的通项公式的意义；2. 能够根据已知数列的前几项推导出数列的通项公式；3. 能够应用数列的通项公式解决实际问题。

二、教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔、教学PPT等；2. 学生准备：课本、笔、纸。

三、教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入数列的概念，通过例子向学生展示数列的特点和规律；- 引发学生对数列通项公式的思考，提问：如何根据已知数列的前几项推导出通项公式？2. 理解数列的通项公式（10分钟）- 讲解数列的通项公式的定义和意义，强调通项公式可以用来计算数列中任意一项的值；- 通过多个例子，向学生展示如何根据已知数列的前几项推导出通项公式； - 强调数列的通项公式的重要性和应用价值。

3. 探索数列的通项公式（15分钟）- 提供一个数列的前几项，引导学生思考数列的规律；- 让学生根据已知数列的前几项，尝试推导出数列的通项公式；- 引导学生讨论推导的过程，帮助他们理解如何使用递推关系和数学归纳法来推导通项公式。

4. 讲解数列的通项公式的应用（10分钟）- 通过实际问题，向学生展示数列的通项公式在解决实际问题中的应用；- 强调数列的通项公式可以帮助我们快速计算数列中任意一项的值；- 提供一些练习题，让学生应用通项公式解决问题。

5. 拓展与巩固（10分钟）- 提供一些更复杂的数列问题，让学生运用所学知识解决；- 鼓励学生互相交流和讨论解题思路，加深对数列通项公式的理解。

6. 总结与反思（5分钟）- 总结数列的通项公式的定义、推导方法和应用；- 让学生回顾本节课所学内容，思考是否达到了教学目标；- 鼓励学生提问和解答疑惑。

四、课堂作业：1. 完成课堂上未完成的练习题；2. 自主选择一个数列，根据已知数列的前几项，推导出它的通项公式。

五、教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解数列的概念和通项公式的意义，掌握根据已知数列的前几项推导出通项公式的方法，并能够应用通项公式解决实际问题。

数列的通项与求和教案引言:数列是数学中重要的概念之一，在各个领域都有广泛的应用。

了解数列的通项和求和公式对于解决各种问题具有重要意义。

本文将介绍数列的概念，探讨数列的通项和求和公式的推导方法，以及对应用数列求和的实例分析。

一、数列的概念与分类数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成的序列。

数列中的每个数称为该数列的项，每个数列都有一个确定的首项和通项。

根据数列中的项与项之间的关系不同，可以将数列分为等差数列、等比数列和其他类型的数列。

二、等差数列的通项与求和公式等差数列是一种最简单、最常见的数列。

在等差数列中，每一项与前一项的差值（公差）保持不变。

等差数列的通项和求和公式如下：通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。

求和公式：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中，Sn表示等差数列的前n项和。

三、等比数列的通项与求和公式等比数列是一种与等差数列相似但乘法关系更加密切的数列。

在等比数列中，每一项与前一项的比值（公比）保持不变。

等比数列的通项和求和公式如下：通项公式：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项，a1表示首项，r表示公比。

求和公式：Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。

四、其他类型数列的通项与求和公式除了等差数列和等比数列，还存在其他类型的数列。

这些数列可能没有明确的通项公式，但仍然可以通过计算求得前n项和。

对于这类数列，需要根据具体情况进行分析和计算。

五、数列的应用实例数列在实际应用中有许多重要的应用，例如金融领域的复利计算、物理学中的运动问题等。

下面通过一个实例来说明数列的应用：例：某人每天存钱，第一天存1元，从第二天开始，每天存的钱都比前一天多10元。

到第30天时，共存了多少钱？解：根据题意可以得知，这是一个等差数列，首项a1=1，公差d=10，共有30项。