高三数学纠错练习(7)

数学纠错练习（7）1．我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = . 34VS2.如图，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角θ＝2°，若θ的弧度数很小时，可取sinθ＝θ，由此可估计该气球的高BC 约为______．863.设f (x )奇函数，当x ≥0时， f (x )＝2x －x 2，若函数f (x )(x ∈[a ，b ])的值域为[1b ，1a]，则b 的最小值为 .–14.若不等式2210843≥kx y xy+对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是[),k m ∈+∞，则正整数m 只能取_______ ． 1或25．设2()|4|,0,()(),f x x m n f m f n m n =-<<=+若且则的取值范围是_____ .（22，4）6．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{}()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为 . 17．设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤，则22y x u xy -=的取值范围是 ．83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 8．设函数()y f x =在(),-∞+∞上满足()(4),(4)(10)f x f x f x f x -=+-=+，且在闭区间[]0,7上，()0f x =仅有两个根1x =和3x =，则方程()0f x =在闭区间[]2011,2011-上根的个数有 805 .9． 函数f (x )＝sin(ωx ＋3π)（ω＞0）在[0，2]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是．713[,)1212ππ 10．已知22()|1|f x x x kx =-++． （I ）若2k =，求方程()0f x =的解；（II ）若关于x 的方程()0f x =在(02)，上有两个解12x x ，，求k 的取值范围，并证明12114x x +<． （Ⅰ）解：（1）当k ＝2时， 22()|1|20f x x x x =-++=① 当210x -≥时，x ≥1或x ≤－1时，方程化为22210x x +-=解得132x -±=13012-+<<，舍去，所以132x --=．②当210x -<时，－1＜x ＜1时，方程化为210x +=，解得12x =-， 由①②得当k ＝2时，方程()0f x =的解所以132x --=12x =-． (II)解：不妨设0＜x 1＜x 2＜2，因为22 1 ||1() 1 ||1x kx x f x kx x ⎧+->=⎨+≤⎩所以()f x 在（0,1］是单调函数，故()f x ＝0在（0,1］上至多一个解， 若1＜x 1＜x 2＜2，则x 1x 2＝－12＜0，故不符题意，因此0＜x 1≤1＜x 2＜2． 由1()0f x =得11k x =-， 所以1k ≤-； 由2()0f x =得2212k x x =-， 所以712k -<<-； 故当712k -<<-时，方程()0f x =在(0，2)上有两个解． 因为0＜x 1≤1＜x 2＜2，所以11k x =-，22221x kx +-＝0 消去k 得 2121220x x x x --=即212112x x x +=， 因为x 2＜2，所以12114x x +<． 11．已知椭圆E ：22184x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点. （1）求圆C 的方程；（2）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长； （3）在平面上是否存在一点P ，使得12GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.解．（1）由椭圆E ：22184x y +=，得l ：4x =-，(4,0)C -，(2,0)F -，又圆C 过原点，所以圆C 的方程为22(4)16x y ++=．………………………………4分 （2）由题意，得(3,)G G y -，代入22(4)16x y ++=，得15G y =±所以FG 的斜率为15k =FG 的方程为15(2)y x =+， …………………8分 （注意：若点G 或FG 方程只写一种情况扣1分） 所以(4,0)C -到FG 的距离为15d =，直线FG 被圆C 截得弦长为215216()72-=．故直线FG 被圆C 截得弦长为7．…………………………………………………………10分（3）设(,)P s t ，00(,)G x y ，则由12GF GP =22002200(2)12()()x y x s y t ++=-+-，整理得222200003()(162)2160x y s x ty s t +++++--=①，…………………………12分又00(,)G x y 在圆C ：22(4)16x y ++=上，所以2200080x y x ++=②，②代入①得2200(28)2160s x ty s t -++--=， …………………………14分又由00(,)G x y 为圆C 上任意一点可知，22280,20,160,s t s t -=⎧⎪=⎨⎪--=⎩解得4,0s t ==．所以在平面上存在一点P ，其坐标为(4,0)．。

（2011年高考必备）湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解六51．已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当（1，3）时，有成立。

（1）证明：。

（2）若的表达式。

（3）设，若图上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围。

52．（1）数列{a n}和{b n}满足（n=1，2，3…），求证{b n}为等差数列的充要条件是{a n}为等差数列。

（8分）（2）数列{a n}和{c n}满足，探究为等差数列的充分必要}为条件，需说明理由。

[提示：设数列{bn53．某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行. 根据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不受影响. 若甲第n局赢、平、输的得分分别记为、、令 .(Ⅰ)求的概率；（Ⅱ）若随机变量满足（表示局数），求的分布列和数学期望.54．如图，已知直线与抛物线相切于点P(2, 1)，且与轴交于点A，定点B的坐标为(2, 0) .（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（II）若过点B的直线（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E 在B、F之间），试求OBE与OBF面积之比的取值范围.55.已知A、B是椭圆的一条弦，M(2，1)是AB中点，以M为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于N(4，—1).(1)设双曲线的离心率e，试将e表示为椭圆的半长轴长的函数.(2)当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程.(3)求出椭圆长轴长的取值范围.56已知：在曲线（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的前n项和为T n，且满足，设定b1的值，使得数列{b n}是等差数列；（3）求证：57、已知数列{an }的前n项和为Sn，并且满足a1＝2,nan＋1＝Sn＋n(n＋1).（1）求数列；（2）设58、已知向量的图象按向量m平移后得到函数的图象。

高三数学纠错训练21已知集合{1,3}M =，2{|30,}N x x x x Z =-<∈，又N M P =，那么集合P 的真子集共有___个。

2 设2:f x x →是非空集合A 到B 的映射，如果{1,2}B =，则A B ⋂只可能是 __________3 已知函数2()f x x=,集合{|(1),}A x f x ax x R =+=∈，且(0,)(0,)A ⋃+∞=+∞，则实数a 的取值范围是_________4定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上是增函数，若(31)(25)f a f a ->-，则a 的取值范围是_________3182aa <>或()f x 在(,0]-∞上是减函数，若(31)(25)f a f a ->-，则a的取值范围是_________5 已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2),(3)f p f q ==，则(36)f ＝____6 从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液，又用水填满，这样继续进行，如果倒第(1)k k ≥时共倒出纯酒精x 升，倒第1k +次共倒出纯酒精()f x 升，则函数()f x 的表达式是__________7 已知R 上的函数()f x 的反函数为1()f x -，如果函数1()f x a -+与()f x a +互为反函数，且()f a b =，则(2007)f a ＝__________8 若曲线b kx y x y +=+=与直线1||2没有公共点，则k 应满足的条件是 . b 应满足的条件是9 若)(x f 是R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点A （0，4）和点B （3，－2），则当不等式3|1)(|<-+t x f 的解集为（－1，2）时，t 的值为 __________ 10若函数()log (4)(0,1)a a f x x a a x=+->≠的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______11 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图像恰好通过*()k k N ∈个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数。

防错纠错7 解析几何一、填空题1．过点21P （，－）且倾斜角的正弦值为513的直线方程为 ． 【解析】设所求直线的倾斜角为α，则由题设知135sin =α，因为πα<≤0， 所以1312sin 1cos 2±=-±=αα，所以125cos sin tan ±==ααα，则所求直线方程为51(2)12y x +=±-， 即51222051220x y x y --=++=或．【易错、易失分点点拨】本题易错在丢掉直线方程51(2)12y x +=--，即02y 12x 5=++，产生错误的原因是对直线倾角范围α（πα<≤0）不明确，由于本题给出的sin α为正值，因此满足过21P （，－）的直线倾角有两个，故所求直线的方程应有两个，若结果只有一个显然是不对的．点拨：倾斜角的概念及直线方程形式等相关知识如斜率存在性，截距等，考虑需缜密，思维需严谨．2.已知抛物线的方程为22(0)y ax a =<，则它的焦点坐标为________． 【解析】)0a (ax 2y 2<=可化为212x y a =，则焦点坐标为108a（，）. 【易错、易失分点点拨】本题易错如下：由抛物线方程为22y ax =，知抛物线的对称轴为y 轴，22p a =-，所以p a =-，22p a =-，所以它的焦点坐标为(0,).2a-点拨：首先要准确理解概念，正确识记抛物线的标准方程为22y px =、22y px =-、22x py =、22x py =-，拿到与抛物线标准方程有关的题目后要首先将方程变为标准形式，然后在此基础上正确求出抛物线的焦参数p ．在求焦参数时要注意0p >，标准方程中一次项系数的绝对值为2p ，求出p 后再研究抛物线的几何性质，结合图形去考虑．3.椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 ． 【解析】短轴长为2，即1,b =所以2a =433【易错、易失分点点拨】本题易错原因：短轴长误认为是b ．点拨：在处理有关圆锥曲线几何性质问题时，应准确把握曲线位置及基本量．4．过定点12（，）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是 ．【解析】把圆的方程化为标准方程得：222311624kx y k +++=-（）（），所以231604k ->，解得：k 又点（1，2）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：2144150k k ++++-＞，即230k k -+（）(）＞，解得32k k <->或，综上k 的取值范围是3k k <-或2＜ 【易错、易失分点点拨】本题易错在于：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->．点拨：把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k 的取值范围． 5．设双曲线的渐近线为32y x =±，则其离心率为 ．【解析】由题意可得23=a b 或32=a b ，从而213122=+==ab ac e 或3 【易错、易失分点点拨】本题易错在于：由双曲线的渐近线为x y 23±=，可得23=a b ，从而213122=+==a b a c e ．点拨：由双曲线的渐近线为x y 23±=是不能确定焦点的位置在x 轴上的，当焦点的位置在y 轴上时，32=a b ，故本题应有两解，即：213122=+==ab ac e 或313． 6.在圆225x y x +=内过点（25，23）有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首项1a ,最长弦长为n a ，若公差d ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛31,61，那么n 的取值集合为 ．【易错、易失分点点拨】本题易错在于：学生对圆内过定点的弦何时最长、最短不清楚，不能借助d 的范围来求n .点拨：圆内过定点的直径最长，过定点垂直于过定点的直径所在直线的弦最短.7.直线L ：)5(-=x k y 与圆O ：1622=+y x 相交于A 、B 两点，当k 变动时，弦AB 的中点M 满足的曲线方程为 .【解析】易知直线恒过定点P （5,0），再由AP OM ⊥，得：222MP OM OP +=∴25)5(2222=+-++y x y x ，整理得：4252522=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 16(0).5x ≤<【易错、易失分点点拨】本题易错在于忽视点M 应在圆内这一隐含条件，遗漏5160<≤x . 点拨：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性. 8.已知曲线C ：2202x y -=与直线L ：m x y +-=仅有一个公共点，则m 的范围为. 【解析】2202x y -=可化为22420(0)x y y +=≥， 转化为直线与椭圆的上半部分的公共点问题，（如图），结合图形易求得m 的范围为5m m =-≤<或【易错、易失分点点拨】本题学生易错解如下：曲线C ：2202x y -=可化为20422=+y x （1），联立22420y x mx y =-+⎧⎨+=⎩（*），得：02048522=-+-m mx x，由Δ＝0,得5±=m .点评：方程（*）与原方程并不等价，应加上[)+∞∈,0y ，注意在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错. 二、解答题9．设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程.【解析】 依题意可设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则43122222222=-=-==ab a b a ac e ，所以4122=a b ，即.2b a =设椭圆上的点),(y x 到点P 的距离为d ，则222)23(-+=y x d 22222291(1)33()4 3.42y a y y y b b =-+-+=-+++若21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值.于是,)23()7(22+=b 从而解得311,222b b =><与矛盾.所以必有21≥b ，此时当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值，所以22)7(34=+b ，解得.4,122==a b 于是所求椭圆的方程为.1422=+y x 【易错、易失分点点拨】本题学生易错在于求最值时忽视b 的范围而没有加以讨论，导致解题过程出错.点评：解决解析几何问题需优先考虑涉及圆锥曲线的几何性质如本题y 的取值范围等，同时需强化求函数最值或值域定义域优先的意识.10．已知椭圆E ：22184x y +=的左焦点为E ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点. (1)求圆C 的方程；(2)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长； (3)在平面上是否存在定点P ， 使得12GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由椭圆E ：22184x y +=，得l ：4x =-，(4,0)C -，(2,0)F -， 又圆C 过原点，所以圆C 的方程为22(4)16x y ++=．（2）由题意，得(3,)G G y -，代入22(4)16x y ++=，得G y = 所以FG的斜率为k =，FG的方程为2)y x =+，所以(4,0)C -到FG的距离为d =FG 被圆C截得弦长为7=． 故直线FG 被圆C 截得弦长为7．（3）设(,)P s t ，00(,)G x y ，则由12GF GP =12=， 整理得222200003()(162)2160x y s x ty s t +++++--=①，又00(,)G x y 在圆C ：22(4)16x y ++=上，所以2200080x y x ++=②， ②代入①得2200(28)2160s x ty s t -++--=，又由00(,)G x y 为圆C 上任意一点可知，22280,20,160,s t s t -=⎧⎪=⎨⎪--=⎩解得4,0s t ==． 所以在平面上存在一点P ，其坐标为(4,0)．【易错、易失分点点拨】本题学生易错在于求出半弦长后忘乘以2；第三问忽视00(,)G x y 在圆C ：22(4)16x y ++=上这一条件的使用．点评：此题第一问关键是要知道椭圆的左准线方程；第二问要利用圆心到直线的距离公式求出d 再利用半径，d ，弦长的一半构成直角三角形再采用勾股定理即可求解．对于第三问较难但思路较简单即假设存在00P s t G x y （，），（，）使得12GF GP =成立，关键是得出2200282160s x ty s t -++--=（）后怎么办是难点．实质上这是恒成立的问题只需系数和常数项为0即可求出s t ，．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为F ，右顶点为A ，动点M 为右准线上一点（异于右准线与x 轴的交点），设线段FM 交椭圆C 于点P ，已知椭圆C 的离心率为23，点M 的横坐标为92． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线PA 的斜率为1k ，直线MA 的斜率为2k ， 求12k k ⋅的取值范围． 【解析】（1）由已知，得 22,39,2c a a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得3,2.a c =⎧⎨=⎩ ∴ 229,5.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22195x y +=．（2）设点11(,)P x y （123x -<<），点M 29(,)2y ，∵点F 、P 、M 三点共线，12x ≠-，∴1211322y y x =+，121132(2)y y x =+，故点M 11139(,)22(2)y x +．∵1113y k x =-，121133(2)y k x =+， ∴12k k ⋅=11111333(2)y y x x ⨯-+=2111133(2)(3)y x x +-．又∵点P 在椭圆C 上， ∴2211195x y +=，∴22115(9)9y x =--． 故12k k ⋅=2111513()(9)93(2)(3)x x x ⨯--+-=11365272x x +-⨯+=1651(1)272x -⨯++．∵123x -<<， ∴12269k k ⋅<-． ∴12k k ⋅的取值范围是26(,)9-∞-． 【易错、易失分点点拨】本题学生易错在于第（2）问中误认为①1-3,3x ∈（），②目标式12k k ⋅化简为关于1x 的一次分式函数时出错．点评：解题时要认真审题，如本题需注意到“线段FM ”； 注重思想方法的训练，强化运算，基本函数的整合．12．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>椭圆短轴的一个端点与两个焦点构(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点的横坐标为12-,求斜率k 的值；②若点7(,0)3M -,求证:MA MB ⋅u u u r u u u r 为定值. 【解析】(1)因为22221(0)x y a b a b+=>>满足222a b c =+, c a =,1223b c ⨯⨯=解得2255,3a b ==,则椭圆方程为221553x y += (2)将(1)y k x =+代入221553x y +=中得 2222(13)6350k x k x k +++-= 4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>，2122631k x x k +=-+因为AB 中点的横坐标为12-,所以2261312k k -=-+,解得3k =±.(2)由于2122631k x x k +=-+,21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++u u u r u u u r2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++42223165494.3199k k k k ---=++=+【易错、易失分点点拨】本题学生易错在第（2）问目标式MA MB u u u r u u u rg 的代数化变形不到位，无法运用韦达定理；学生不习惯MA MB u u u r u u u rg 代数化所得的关于k 的表达式不能直接得到定值. 点评：在处理直线与圆锥曲线的位置关系时仍需注意一下韦达定理的运用；定值问题也要防一下目标式不能通过相抵或相约而直接得解的题型.。

数学纠错练习（3）1. 函数y ＝sin x 和y ＝tan x 的图象在[－2π，2π]上交点的个数为 .52. 已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )·cos x ＜0的解集为 .(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3)3. 已知函数f (x )＝x －33x ＋1，设f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f [f n (x )](n ∈N *)，若集合M ＝{x ∈R |f 2009(x )＝2x ＋3}，则集合M 中的元素个数为 . 1个4. 在单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP ＋D 1P 取得最小值，则此最小值为 .2＋ 25. 已知向量OB ＝(2，0)， OC ＝(2，2)， CA ＝(cos α，sin α)( α∈R)，则OA 与OB 夹角的取值范围是 [15°,75°]6. 将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器底面边长为 时，其容积最大。

327. 动点(,)P a b 在不等式2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则31a b w a +-=-的取值范围是 。

(－∞,－1]∪[3,＋∞)8．设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ． 21(,]e e-∞+9. 已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,,n x x x 和12,,,n y y y ，（ n N *∈，且2)n ≥，使得,a 12,,,,n x x x b 成等差数列，12,,,,n a y y y b ,成等比数列．老师给出下列四个式子：①1()2nkk n a b x=+=∑；②2112nkk x n=>∑；<=>．其中一定成立的是▲ ①② ．（只需填序号）10.已知关于x 的函数158)532()(--+-+-=b a x b a x f .如果[]1,1-∈x 时,其图象恒在x 轴的上方,则ab 的取值范围是 ),3()23,(+∞-∞ _11.当θ取遍所有值时，直线cos sin )4x y πθθθ⋅+⋅=++4所围成的图形面积为 。

心尺引州丑巴孔市中潭学校数学纠错练习〔2〕1. 不等式(x －1)02≥+x 的解集为 [1,＋∞) 或{}2-2. 函数)3||(log )(31+-=x x f 定义域是],[b a ),(z b a ∈，值域是]0,1[-，那么满足条件的整数数对),(b a 有 5 对3. 观察以下各式9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20…，这些等式反映了正整数间的某种规律，设n表示正整数，用关于n 的等式表示为 .∈22*(n+2)-n =4(n+1)(n N )4. 设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，以下条件中能保证“假设x z ⊥，且y z ⊥，那么//x y 〞▲ .〔填所正确条件的代号〕③①,,x y z 为直线； ②,,x y z 为平面； ③,x y 为直线，z 为平面； ④x 为直线，,y z 为平面.5.设首项不为零的等差数列{}n a 前n 项之和是n S ，假设不等式22212n n S a a nλ+≥对任意{}n a 和正整数n恒成立，那么实数λ的最大值为 ▲ . 156.图为函数()1)f x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N 〔0，1〕，假设△PQN 的面积为b时的点M 恰好有两个，那么b 的取值范围为 ▲ . 18,427⎛⎫⎪⎝⎭7. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．假设BC AB 21=，那么双曲线的离心率是； 8．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC 〔端点除外〕上一动点．现将AFD ∆沿AF折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，那么t 的取值范围是 ．答案：1,12⎛⎫⎪⎝⎭9. 如果执行下面的程序框图，那么输出的S值为 .2046204710. .定义：关于x 的两个不等式()0<x f 和()0<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫⎝⎛a b 11，，那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式022cos 342<+-θx x 与不等式012sin 422<++θx x 为对偶不等式，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么=θ .56π 11. 函数bx ax x x f -+=2331)(〔R b a ∈,〕，假设)(x f y =在区间[]2,1-上是单调减函数，那么b a +的最小值为 . 2312. 连续*21()n n N +∈个正整数总和为a 后n 个数的平方和与前n 个数的平方和之差为b ．假设1160a b =，那么n 的值为 ．5 13．设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M 〔3，0〕的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF=2，那么∆BCF 与∆ACF 的面积之比BCF ACFS S ∆∆=4514. 定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，那么不等式()221f x x <+的解集为_ __；()(),11,-∞-+∞15. 函数()()22ln 0f x x a xx x=++>，()f x 的导函数是()'f x ，对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：〔Ⅰ〕当0a ≤时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭〔Ⅱ〕当4a ≤时，()()''1212f x f x x x ->- 证明：〔Ⅰ〕由()22ln f x x a x x=++ 得()()()()1222121212111ln ln 222f x f x ax x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭而()()22222212121212112242x x x x x x x x +⎛⎫⎡⎤+>++= ⎪⎣⎦⎝⎭① 又()()2221212121224x x x x x x x x +=++>∴1212124x x x x x x +>+ ②122x x +<∴12ln2x x +< ∵0a ≤∴12ln2x x a a +< ③ 由①、②、③得即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭〔Ⅱ〕证法一：由()22ln f x x a x x =++，得()'222af x x x x=-+ ∴()()''12122211222222a a fx f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()121222121222x x a x x x x x x +=-⋅+- 下面证明对任意两个不相等的正数12,x x ,有()12221212221x x ax x x x ++->恒成立 即证()1212122x x a x x x x +<+成立∵()121212122x x x x x x x x ++>设()()240tu x t t==+>，那么()'242u x t =-令()'0ux =得t =，列表如下：()4u t a ≥=>≥ ∴()1212122x x x x a x x ++>∴对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有()()''1212f x f x x x ->-。

2018届高三数学理科纠错训练（9）1、已知,a b 为非零向量,则“0⋅>a b ”是“a 与b 夹角为锐角”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2、庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”;乙说:“丁能中奖”;丙说:“我或乙能中奖”;丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是（A ）甲（B ）乙 （C ）丙 （D ）丁3、在平面直角坐标系xOy 中,已知点(3,0)A ,(1,2)B ,动点P 满足OP =OA OB λμ+,其中,[0,1],[1,2]λμλμ∈+∈,则所有点P 构成的图形面积为（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）234、下列命题为真命题的个数为（ ）⑴ 33ππ<<e e ⑵ e e ππ<<33 ⑶ ππ33<<e e ⑷ 33e e <<ππ 其中π为圆周率， 718282.e =为自然对数的底数，A ．4B ．3C ．2D ．15、已知,a ∈R 函数211(1),0π()sin 2,022x x x a x xf x x --+⎧++<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩+当0x >时,函数()f x 的最大值是______;若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称,则a 的取值范围是______.6、对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，已知正数数列{}n a 满足()*N n ,a a S n n n ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=121，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则._________________S S S =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++121211117、已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于的函数321()3n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为 ．8、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2,且过点(1,2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点,直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数.若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合,设直线AE 与x 轴所成的锐角为1θ,直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ,判断1θ与2θ的大小关系并加以证明.9、已知 718282.e =为自然对数的底数．（1）求函数()x ln x x f 2=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡e ,e 21上的最值； （2）当210<<m 时，设函数()()x ln mx m x f x G 442-+=（其中m 为常数）的3个极值点为,c ,b ,a 且,c b a <<将102,,c ,b ,a 这5个数按照从小到大的顺序排列，并证明你的结论．10、已知函数32+1,0(),()ln ,0x x x x f x g x x ax m e ax x ⎧-+<⎪==-+⎨-≥⎪⎩. （1）当3=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若不等式)()(x g x f >对任意的正实数x 都成立，求实数m 的最大整数；（3）当0>a 时，若存在实数,[0,2],||1,()(),m n m n f m f n ∈-≥=且使得求证：e e a e -≤≤-21。

高考数学专项复习《数列中错位相减法求和问题》真题练习【高考真题】2022年没考查【方法总结】错位相减法求和错位相减法：错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 两边同乘以相应等比数列的公比q ，得到qS n ＝a 1q ＋a 2q ＋…＋a n q ，两式错位相减即可求出S n ．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n ＋1的式子应进行合并．【题型突破】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且S 1010＝S 55＋5． (1)求a n ；(2)若b n ＝a n ·4S n a n求数列{b n }的前n 项的和T n ．2．(2020·全国Ⅰ)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．3．(2017·天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0， b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝(n ＋1)a n －2．(1)求a 2，a 3和通项a n ；(2)设数列{b n }满足b n ＝a n ·2n －1，求{b n }的前n 项和T n ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n －n ＝2(a n －2)(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n －1}为等比数列；(2)若b n ＝a n ·log 2(a n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．6．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．数列{b n }是公差d 不等于0的等差数列，且满足：b 1＝32a 1，b 2，b 5，b 14成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．7．已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ． 8．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n 2a n ＋1． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝12n ·a n，求数列{b n }的前n 项和S n ． 9．(2020·全国Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．10．在等差数列{a n }中，已知a 6＝16，a 18＝36．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n ．在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2a n ·a n 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11．在①b n ＝na n ，②b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数，③b n ＝1(log 2a n ＋1)(log 2a n ＋2)这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2＋1，a 3＋1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记________，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．12．在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ．公差不等于0的等差数列{b n }满足________，________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n ．注：如果选择不同方案分别解答，按第一个解答计分．13．在①已知数列{a n }满足：a n ＋1－2a n ＝0，a 3＝8；②等比数列{a n }中，公比q ＝2，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题：(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n，数列{b n }的前n 项和为T n ，若2T n ＞m －2 022对n ∈N *恒成立，求正整数m 的最大值． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．14．(2021·全国乙)设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n 3．已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列． (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n <S n 2． 15．已知数列{a n }的首项a 1＝3，前n 项和为S n ，a n ＋1＝2S n ＋3，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ，并证明：13≤T n ＜34． 16．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12． (1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2．17．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)设K n 为数列{a n b n }的前n 项和，若不等式λS n T n ≥K n ＋n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．18．(2021·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n ．若T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．19．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n 12log a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值．20．已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝12log n n a a ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ×2n ＋1＞30成立的正整数n 的最小值．。

高三新课标纠错卷8数学在高三新课标纠错卷8数学中，我们重点关注学生在数学学习过程中常犯的错误，并提供相应的纠正方法。

以下是一些常见的错误类型及其纠正策略：1. 理解概念错误：学生可能对某些数学概念理解不准确，例如混淆了函数的奇偶性、连续性等概念。

纠正策略是重新讲解这些概念，并提供清晰的实例和反例。

2. 计算错误：在进行数学运算时，学生可能会犯一些基本的计算错误，如加减乘除运算错误。

纠正策略是通过大量的练习来提高计算准确性，并教授检查和验证结果的方法。

3. 公式应用错误：学生可能在应用数学公式时出现错误，如错误地应用了三角函数公式或积分公式。

纠正策略是强调公式的适用范围和条件，并通过例题来加深理解。

4. 逻辑推理错误：在解决证明题时，学生可能会在逻辑推理上出现漏洞。

纠正策略是教授逻辑推理的基本方法，如归纳法、演绎法，并强调证明过程中的每一步都要有充分的依据。

5. 解题方法选择错误：面对复杂问题时，学生可能会选择不恰当的解题方法，导致解题效率低下。

纠正策略是教授多种解题策略，并训练学生根据问题的特点选择合适的方法。

6. 审题不清：学生在阅读题目时可能会忽略关键信息，导致解题方向错误。

纠正策略是训练学生仔细阅读题目，标记关键信息，并在解题前复述题目要求。

7. 时间管理不当：在考试中，学生可能会因为时间管理不当而无法完成所有题目。

纠正策略是教授时间管理技巧，如合理分配时间、先易后难等。

8. 答题不规范：学生在答题时可能会因为书写不规范或表达不清晰而失分。

纠正策略是强调答题的规范性，包括清晰的书写、准确的数学符号使用和逻辑清晰的表达。

为了帮助学生纠正这些错误，教师可以设计针对性的练习题，提供及时的反馈，并鼓励学生在解题过程中进行自我检查和反思。

通过这些方法，学生可以逐步提高数学解题能力，减少错误，从而在高考中取得更好的成绩。

高三数学纠错训练31 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12312315,80a a a a a a ++==，则111213a a a ++＝_____2 已知数列}{n a 满足),2(113121,1*13211N n n a n a a a a an n ∈≥-++++==- ，若2007=n a ，则n =___3若数列{}n a 的通项公式是*8111()()3()()()3842n n n na n N =-+∈，且该数列中的最大项是ma 则m＝_____4 已知1是2a 与2b 的等比中项，又是a1与b1的等差中项，则22ba b a ++的值是_________5 设函数2*21()(,,)12x x n n f x x R x x N x x -+-=∈≠∈++，)(x f 的最小值为n a ，最大值为n b ，记)1)(1(n n n b a c --=，则数列}{n cA 是公差不为0的等差数列B 是公比不为1的等比数列C 是常数列D 不是等差数列，也不是等比数列6 过圆01022=-+x y x 内一点P （5，3）的k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为数列的末项k a ，若公差∈d11,32[]，则k 的取值不可能是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）77 等差数列}{n a 中，公差d 是自然数，等比数列}{n b 中，111==a b ，22a b =．现又数据：①2，② 3，③ 4，④ 5，当}{n b 中所有的项都是数列}{n a 中的项时，d 可以取 ．（填上你认为正确的序号）8 数列{a n }中，11a =，545a =，且1(1)n n na n a t +=++，则常数t ＝ ． 9 设数列{}n a 中，nna a nb c=+，且,,a b c 都是正数，则n a 与1n a +的大小关系是_______10 已知两个等差数列{},{}n n a b 的前n 项的和分别为,n n S T ，且723n nS n T n +==+，则55a b ＝_____11 若4sin()25θπ+=，3sin()225πθ+=，则θ的终边在第______象限。

高三数学练习5.261、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .周长为l(1) 求函数()y f x =的解析式和定义域；(2) 求y 的最大值； （3）求l 的取值范围。

2、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边分别为,,a b c ，且1cos 3A =． (1)求2sin cos 22B C A ++的值； (2)若a =bc 的最大值．3、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，；2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．4、ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积满足22()S c a b =--，且a + b=2,求面积S 的最大值5、如图，两座建筑物AB 、CD 的高度分别是m 9和m 15，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角︒=∠45CAD ，求建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD 。

A B C DE6、如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2=OA ，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ∆，问点B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？7、已知函数)6cos()2sin(x x y -+=ππ，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值。

（3）求函数的单调减区间；（4）求函数在区间]6,6[ππ-的值域8、如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥DC ，2DC AB =，AP AD =，PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，E 为PD 的中点． 求证：（1）AE ∥平面PBC ； （2）PD ⊥平面ACE ．9、如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2，1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积.D C B A EP（第8题图）第9题 A B C D EF M O10、如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xoy 中，设圆C ：()()()222141,1,0x y a a A ++=>,记点N 的轨迹为曲线E . ⑴证明曲线E 是椭圆，并写出当2a =时该椭圆的标准方程；⑵设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率12e ⎡∈⎢⎣⎦，求点Q 的纵坐标的取值范围.11、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E 的方程；（2）若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M ．（ⅰ）设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；（ⅱ）设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．12、自极点O 作射线与直线cos 3ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得12OM OP ⋅=，求点P 的轨迹方程，并判断点P 的轨迹与直线221x t l y t =+⎧⎨=+⎩:（t 是参数）的位置关系．13、（Ⅰ）设()(1)()n f x x f x =+，展开式中2x 的系数是10，求n 的值；（Ⅱ）利用二项式定理证明：11(1)C 0nk k nk k +=-=∑．。