2018届高三数学理科纠错训练(7)

漳州市2018届高中毕业班调研测试数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝，B ＝{x |2x ＞4}，则A ∩B ＝( )A.(2，＋∞)B.(4，＋∞)C.[4，＋∞)D.[－3，2) 2.若复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则|z |＝( )A. 5B.10C.2 2D.2 3.函数f(x )＝x －2cosx 在[－π，π]上的图象大致为( )A B C D 4.已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.1 B. 2 C.12 D.225.等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项均为1，公差与公比均为3，则ab 1＋ab 2＋ab 3＝( )A.64B.32C.38D.336.执行如图所示的程序框图，若输入的p 为16，则输出的n ，S 的值分别为( )A.4，18B.4，30C.5，30D.5，45 7.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A.193B.203C.163 D.6 8.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则＝( )A.－22 B.22C. 2D.－ 2 9.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f(x)为减函数，则不等式f (log38)的解集为( )A. B.C.D.10.在区间[0，1]上随机取三个数a ，b ，c ，则事件“a 2＋b 2＋c 2≤1”发生的概率为( ) A.π8 B.π6 C.π4 D.π211.已知直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，l 与C 交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线，交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A.x ＝－1B.x ＝－2C.y 2＝4(x ＋1)D.y 2＝4(x ＋2) 12.已知不等式(ax ＋3)e x －x ＞0有且只有一个正整数解，则实数a 的取值范围是( )A.B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知展开式中常数项为1 120，则正数a ＝________.14.已知实数x ，y 满足若z ＝x ＋y 的最大值为4，则z 的最小值为________.15.设F 为双曲线C ：＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F 且斜率为的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且，则双曲线C 的离心率为________.16.数列{a n }为单调递增数列，且，则t 的取值范围是________.三、解答题：共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分. 17.(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(b －c )2＝a 2－32bc .(Ⅰ)求sin A ；(Ⅱ)若a ＝2，且sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，求△ABC 的面积.18.(12分)随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视.为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如下表所示：平均每天使用手机超过3小时平均每天使用手机不超过3小时合计男生25 5 30女生9 11 20合计34 16 50 (Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？(Ⅱ)在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人.从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X的分布列和数学期望.参考公式：P(K2≥k0) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519.(12分)如图，在多面体ABCDNPM中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，AB＝AP ＝2，PM∥AB，PN∥AD，PM＝PN＝1.(Ⅰ)求证：MN⊥PC；(Ⅱ)求平面MNC与平面APMB所成锐二面角的余弦值.20.(12分)已知椭圆C：的一个焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，且过点.过点P(1，0)的直线l交椭圆C于M，N两点，A为椭圆的左顶点.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)求△AMN面积的最大值，并求此时直线l的方程.21.(12分)已知函数f(x)＝2e x＋3x2－2x＋1＋b，x∈R的图象在x＝0处的切线方程为y＝ax＋2.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间与极值；(Ⅱ)若存在实数x，使得f(x)－2x2－3x－2－2k≤0成立，求整数k的最小值.(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(α为参数)，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为＝ 2.(Ⅰ)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，求|P A |·|PB |.23.[选修4—5：不等式选讲](10分) 已知函数f(x)＝|2x －1|＋2|x ＋2|. (Ⅰ)求函数f(x)的最小值； (Ⅱ)解不等式f(x)<8.漳州市2018届高中毕业班调研测试数学(理科) 答案详解1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B D D D A B C C B A A 1.B 【解析】本题考查分式不等式及指数不等式的解法、集合的交集运算．A ＝(－∞，－3]∪(4，＋∞)，B ＝(2，＋∞)，所以A ∩B ＝(4，＋∞)，故选B.2.B 【解析】本题考查复数的除法运算及复数的模．因为z ＝1＋7i 2－i ＝（1＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－1＋3i ，所以|z |＝10，故选B.3.D 【解析】本题考查函数的图象和基本性质．由题易得函数f (x )是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除B ，C ，当x ∈(0，π]时，f (x )>0，排除A ，故选D.4.D 【解析】本题考查向量的基本概念和运算．设a 与b 的夹角为θ，则a ⊥(a －b )a ·(a －b )＝0a 2－a ·b ＝0a 2－|a |·|b |cos θ＝0，所以cos θ＝22，所以向量a 在b 方向上的投影为|a |cosθ＝22，故选D. 5.D 【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式．依题意，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，b n ＝3n －1，则b 1＝1，b 2＝3，b 3＝9，所以a b 1＋a b 2＋a b 3＝a 1＋a 3＋a 9＝1＋7＋25＝33，故选D.6.A 【解析】本题考查含有当型循环结构的程序框图．执行程序框图，依次可得n ＝1，S ＝0，S<16，进入循环；S ＝0＋3＝3，n ＝2，S ＝3<16，进入循环；S ＝3＋6＝9，n ＝3，S ＝9<16，进入循环；S ＝9＋9＝18，n ＝4，S ＝18>16，跳出循环，输出n ＝4，S ＝18，故选A.7.B 【解析】本题考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积．这个几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个三棱锥而成的，其直观图如图所示，则这个几何体的体积V ＝23－13×12×2×2×2＝203，故选B.8.C 【解析】本题考查三角函数的图象与性质．由题图可知，A ＝2，T ＝2πω＝2×⎝⎛⎭⎪⎫5π8－π8＝π，所以ω＝2，＝2，解得2×π8＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以，故选C.9.C 【解析】本题考查函数的基本性质．由题知10.B 【解析】本题考查几何概型.满足条件的概率是以1为半径的球的体积的18除以以1为棱长的正方体的体积，即43π×18÷1＝π6，故选B.11.A 【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系与轨迹方程的求法．不妨将抛物线翻转为x 2＝4y ，设翻转后的直线l 的方程为y ＝k x ＋1，翻转后的A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1得x 2－4k x －4＝0 ①，易得抛物线C 在点A 处的切线方程为y －14x 21＝12x 1·(x －x 1)，同理可得抛物线C 在点B 处的切线方程为y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．联立⎩⎨⎧y －14x 21＝12x 1（x －x 1），y －14x 22＝12x 2（x －x 2）得y ＝14x 1x 2，再由①可得x 1x 2＝－4，所以y ＝－1.故原抛物线C 相应的点P 的轨迹方程为x ＝－1，故选A.12.A 【解析】本题考查导数的应用.当a ≥0时，1，2都是不等式(a x ＋3)e x －x >0的解，不符合题意；当a<0时，(a x ＋3)e x－x >0化为a x ＋3>x e x ，设f (x )＝xe x ，则f ′(x )＝1－x ex ，所以函数f (x )在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，因为不等式(a x ＋3)e x－x >0有且只有一个正整数解，则⎩⎨⎧a ×1＋3>1e1，a ×2＋3≤2e2，解得1e －3<a ≤1e 2－32，故选A.13.1 【解析】本题考查二项式定理的通项.⎝⎛⎭⎫2x －ax 8展开式的通项为 T k ＋1＝C k 8(2x )8－k ⎝⎛⎭⎫－a x k ＝C k 828－k (－a)k x 8－2k .令8－2k ＝0，得k ＝4.由，得正数a ＝1.14.－2 【解析】本题考查含有参数的线性规划问题.作出可行域，如图所示，经计算，A(－2k ，k)，B(k ，k).由图可知，当直线y ＝－x ＋z 过点B 时，z 取最大值，即k ＋k ＝4，解得k ＝2，当直线y ＝－x ＋z 过点A(－4，2)时，z 取最小值，即z m i n ＝－4＋2＝－2.15.2或233 【解析】本题考查双曲线的几何性质．若AF →＝－2BF →，则由图1可知，渐近线OB的斜率为－b a ，l ⊥OB ，在Rt △OBA 中，由角平分线定理可得|OA||OB|＝|FA||FB|＝2，所以∠AOB ＝60°，∠x OA ＝30°，所以b a ＝33，e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝233.若AF →＝2BF →，则由图2可知，渐近线OB 为△AO F边A F 的垂直平分线，故△AO F 为等腰三角形，故∠AOB ＝∠BO F ＝60°，b a ＝3，e ＝ca＝2.16.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 【解析】本题考查数列与分段函数的性质．要使数列{a n }为单调递增数列，则a 1<a 2<a 3<a 4<a 5<….当n <4时，a n ＝(2t －3)n －8t ＋14必须单调递增，∴2t －3>0，即t>32①.当n ≥4时，a n ＝log t n 也必须单调递增，∴t>1 ②.另外，由于这里类似于分段函数的增减性，因而a 3<a 4，即3(2t －3)－8t ＋14<log t 4，化简得log t 4＋2t>5 ③.方法一：当32<t ≤2时，log t 4＋2t>5；当2<t ≤52时，log t 4＋2t>5；当t>52时，log t 4＋2t>5，故③式对任意t>32恒成立，综上，解得t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞.方法二：由①②得t>32，在此前提下，构造f (t)＝log t 4＋2t －5⎝⎛⎭⎫t>32，则f ′(t)＝2－ln4tln 2t，令g(t)＝tl n 2t ⎝⎛⎭⎫t>32，则g′(t)＝l n 2t ＋2l n t ＝l n t(l n t ＋2)>0，∴g(t)＝tl n 2t 在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上单调递增，且g(t)>0，从而f ′(t)是⎝⎛⎭⎫32，＋∞上的增函数，可验证f ′⎝⎛⎭⎫32＝2－ln432ln 232＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 34ln 232<0⎝⎛证明如下：要证f′⎝⎛⎭⎫32<0，即证l n 34>l n 232，即证l n 4>3l n 32×l n 32，即证l n 4>l n 278×l n 32，∵l n 4>l n 278，0<l n 32<1，∴l n 4>l n 278×⎭⎫ln 32，得证，f ′(2)＝2－ln42ln 22＝2－2ln4>0.∴f ′(t)＝2－ln4tln 2t 在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上有唯一零点，设为m ，m ∈⎝⎛⎭⎫32，2，易知m 为f (t)的极小值点，也是最小值点．∴f (t)m i n ＝f (m )＝log m 4＋2m －5.当m ∈⎝⎛⎭⎫32，2时，log m 4>log 24＝2，2m >2×32＝3.∴f (t)m i n ＝f (m )>log 24＋3－5＝0，即当t ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (t)>0恒成立．综上，t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 17.【名师指导】本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列以及三角形面积的计算．解：(Ⅰ)由(b －c )2＝a 2－32bc ，得b 2＋c 2－a 2＝12bc ，(2分)即b 2＋c 2－a 22bc ＝14，由余弦定理得cosA ＝14，(4分)因为0<A<π，所以si n A ＝154.(6分)(Ⅱ)由si n B ，si n A ，si n C 成等差数列，得si n B ＋si n C ＝2si n A ，(7分) 由正弦定理得b ＋c ＝2a ＝4，所以16＝(b ＋c )2，所以16＝b 2＋c 2＋2bc .(8分)由(Ⅰ)得16＝a 2＋52bc ，所以16＝4＋52bc ，解得bc ＝245，(10分)所以S △ABC ＝12bc si n A ＝12×245×154＝3155.(12分)18.【名师指导】本题考查独立性检验．解：(Ⅰ)K 2＝50×（25×11－5×9）230×20×16×34≈8.104>6.635.(2分)所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．(4分) (Ⅱ)X 可取0，1，2，3.(5分)P(X ＝0)＝C 36C 39＝521，(6分)P(X ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，(7分)P(X ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，(8分)P(X ＝3)＝C 33C 39＝184，(9分)所以X 的分布列为X 0 1 2 3P 521 1528 314 184(10分)E (X)＝0×521＋1×1528＋2×314＋3×184＝1.(12分)19.【名师指导】本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的求法．(Ⅰ)证明MN ⊥平面PAC ，从而证得MN ⊥PC ；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求出平面MNC 与平面APMB 的法向量，利用空间向量夹角公式求解．解：(Ⅰ)证明：作M E ∥PA 交AB 于E ，N F ∥PA 交AD 于F ，连接EF ，BD ，AC.由PM ∥AB ，PN ∥AD ，易得M E 綊N F ， 所以四边形M EF N 是平行四边形， 所以MN ∥EF ，(2分)因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又易得EF ∥BD ，所以AC ⊥EF ，所以AC ⊥MN ，(3分) 因为PA ⊥平面ABCD ，EF 平面ABCD ，所以PA ⊥EF ，所以PA ⊥MN ，因为AC ∩PA ＝A ，(4分) 所以MN ⊥平面PAC ，故MN ⊥PC.(5分)(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示，则C(0，1，0)，M ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，N ⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，A(0，－1，0)，P(0，－1，2)，B(3，0，0)，所以CM →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，2，CN →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，2，AP →＝(0，0，2)，AB →＝(3，1，0)，(7分)设平面MNC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧32x －32y ＋2z ＝0，－32x －32y ＋2z ＝0，令z ＝1，得x ＝0，y ＝43，所以m ＝⎝⎛⎭⎫0，43，1；(9分) 设平面APMB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2z 1＝0，3x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，得y 1＝－3，z 1＝0，所以n ＝(1，－3，0)，(10分)设平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角为α，则cos α＝|m ·n ||m |·|n |＝43302＋⎝⎛⎭⎫432＋12×12＋（－3）2＋02＝235，(11分)所以平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角的余弦值为235.(12分)20.【名师指导】本题考查椭圆的方程、性质、直线与椭圆位置关系的综合问题． 解：(Ⅰ)因为抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)，所以椭圆C 的半焦距c ＝3，即a 2－b 2＝3. ①把点Q ⎝⎛⎭⎫－3，12代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得3a 2＋14b2＝1. ②由①②解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(Ⅱ)设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24＋y 2＝1， 得(t 2＋4)y 2＋2ty －3＝0.(5分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－2t t 2＋4，y 1y 2＝－3t 2＋4.(7分) 则|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t t 2＋42－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－3t 2＋4＝4t 2＋3t 2＋4＝4t 2＋3t 2＋3＋1＝4t 2＋3＋1t 2＋3.(9分) 令t 2＋3＝m (m ≥3)．易知函数y ＝m ＋1m在[3，＋∞)上单调递增， 则t 2＋3＋1t 2＋3≥3＋13＝433， 当且仅当m ＝3，即t ＝0时，取等号．(10分) 所以|y 1－y 2|≤ 3.所以△AMN 的面积S ＝12|AP||y 1－y 2|≤12×3×3＝332，(11分) 所以S m a x ＝332，此时直线l 的方程为x ＝1.(12分) 21.【名师指导】本题考查导数的综合应用．解：(Ⅰ)f ′(x )＝2e x ＋6x －2，因为f ′(0)＝a ，所以a ＝0，易得切点(0，2)，所以b ＝－1.(1分)易知函数f ′(x )在R 上单调递增，且f ′(0)＝0.则当x <0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)；单调递增区间为(0，＋∞)．(2分)所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝2.(3分)(Ⅱ)f (x )－2x 2－3x －2－2k ≤0e x ＋12x 2－52x －1－k ≤0k ≥e x ＋12x 2－52x －1， (*)(4分) 令h(x )＝e x ＋12x 2－52x －1， 若存在实数x ，使得不等式(*)成立，则k ≥h(x )m i n ，h ′(x )＝e x ＋x －52，易知h′(x )在R 上单调递增，(6分) 又h′(0)＝－32<0，h ′(1)＝e －32>0，h ′⎝⎛⎭⎫12＝e 12－2<0，h ′⎝⎛⎭⎫34＝e 34－74>2.5634－74＝1.632－74＝512125－74>2－74＝14>0， ⎝⎛或由e x ≥x ＋1当x ＝0时取等号，得e 34－74＝e 34－⎭⎫⎝⎛⎭⎫34＋1>0 所以存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，使得h′(x 0)＝0，(8分)且当x ∈(－∞，x 0)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h(x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，(9分)h(x )m i n ＝h(x 0)＝e x 0＋12x 20－52x 0－1， 又h′(x 0)＝0，即e x 0＋x 0－52＝0， 所以e x 0＝52－x 0. 因为x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34， 所以h(x 0)∈⎝⎛⎭⎫－2732，－18， 则k ≥h(x 0)，又k ∈Z .所以k 的最小值为0.(12分)22.【名师指导】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系．(Ⅰ)运用同角三角函数的平方关系即可得到C 的普通方程，运用x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ以及两角和的余弦公式，化简可得直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)写出直线l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用参数的几何意义即可得出|PA|·|PB|的值．解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)， 两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4；(3分)由直线l 的极坐标方程可得ρcos θcos π4－ρsi n θsi n π4＝2ρcos θ－ρsi n θ＝2，(4分) 即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(5分)(Ⅱ)由题意可得P(2，0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)．(6分) 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA|·|PB|＝|t 1|·|t 2|，将⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4， 得t 2＋2t －3＝0，(8分)则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3，(9分)所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.(10分)23.【名师指导】本题考查函数的最值与绝对值不等式的解法．(Ⅰ)利用绝对值三角不等式即可求解；(Ⅱ)分段解不等式或画出函数的图象，找出函数的图象与直线y ＝8的交点的横坐标即可求解．解：(Ⅰ)因为f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋2|≥|(2x －1)－2(x ＋2)|＝5，(4分)所以函数f (x )的最小值是5.(5分)(Ⅱ)解法一：f (x )＝⎩⎨⎧－4x －3，x<－2，5，－2≤x ≤12，4x ＋3， x>12，(6分)当x <－2时，由－4x －3<8，解得x >－114，即－114<x <－2； 当－2≤x ≤12时，5<8恒成立，即－2≤x ≤12； 当x >12时，由4x ＋3<8，解得x <54，即12<x <54，(9分) 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－114，54.(10分) 解法二(图象法)：f (x )＝⎩⎨⎧－4x －3，x<－2，5， －2≤x ≤12，4x ＋3， x>12，(6分) 函数f (x )的图象如图所示，(8分)令f (x )＝8，解得x ＝－114或x ＝54，(9分)所以不等式f (x )<8的解集为⎝⎛⎭⎫－114，54.(10分)。

2017—2018学年度高三第三次调研测试理科数学本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 若集合{|0}B x x =≥，且A B A =，则集合A 可以是A ．{1,2}B ．{|1}x x ≤C ．{1,0,1}-D ．R2． 已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①||z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33． 若1sin ,3α=且2παπ<<，则sin 2α=A ．B ．C ．D ． 4. 已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =A. (1)2n n +B. 2(1)2n +C. 212n + D. (3)4n n +5． 若1()n x x-的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ． 462-B ． 462C ． 792D ． 792-6． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.12018B. 12019C. 20172018D. 201820197． 10|1|x dx -=⎰A ．12B ． 1C ． 2D ． 38． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是 (0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)1,(,1,0)2,绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为 A.B.C.D.9． 设曲线()cos (*)f x m xm R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为10．平行四边形ABCD 中，2,1,1,AB AD AB AD ===-点M 在边CD 上，则MA MB 的 最大值为A. 2B. 1C. 5D.111． 等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n nS S -的最 大值与最小值的比值为A. 125-B. 107- C. 109D.12512．已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（ln x 是以e 为底的自然对数， 2.71828e =），若存在实数,()m n m n <，满足()()f m f n =，则n m -的取值范围为 A. 2(0,3)e +B. 2(4,1]e -C. 2[52ln2,1]e --D. [52ln2,4)-二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。

B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。

绝密★启用前2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）考试时间：120分钟；试卷整理：微信公众号--浙江数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）=（）A．iB．C．D．2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A 中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）（2018•新课标Ⅱ）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2018•新课标Ⅱ）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．14．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．16．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为．评卷人得分三．解答题（共7小题，满分80分）17．（12分）（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．18．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k （k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．20．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．21．（12分）（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．22．（10分）（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．23．（10分）（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）=（）A．iB．C．D．【考点】A5：复数的运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：==+．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A 中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可．【解答】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．3．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3A：函数的图象与图象的变换．【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键．4．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．0【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；91：向量的概念与向量的模．【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题5．（5分）（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】KC：双曲线的性质．【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．6．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．7．（5分）（2018•新课标Ⅱ）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4【考点】EH：绘制程序框图解决问题；E7：循环结构．【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T，由此知空白处应填入的条件．【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．故选：B．【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．8．（5分）（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有=45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P==，故选：C．【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键．9．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA 1=，∴A（1，0，0），D 1（0，0，），D（0，0，0），B 1（1，1，），=（﹣1，0，），=（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．11．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．50【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．12．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=（x+a），由∠F 1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴题意的离心率e==．故选：D．【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2018•新课标Ⅱ）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=2ln（x+1），∴y′=，当x=0时，y′=2，∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为9．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，由，解得A（5，4），目标函数有最大值，为z=9．故答案为：9．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果．【解答】解：sinα+cosβ=l，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．16．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为40π．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得sin∠AMB==．△SAB的面积为5，可得sin∠AMB=5，即×=5，即SA=4．SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：=2．则该圆锥的侧面积：π=40π．故答案为：40π．【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．三．解答题（共7小题，满分80分）17．（12分）（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）根据a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数列{a n}的公差，然后求出a n即可；（2）由a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，得S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，由此可求出S n以及S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题．18．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据模型①计算t=19时的值，根据模型②计算t=9时的值即可；（2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，即可得出模型②的预测值更可靠些．【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t，计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1；利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；根据模型②：=99+17.5t，计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；．利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；（2）模型②得到的预测值更可靠；因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以，利用模型②的预测值更可靠些．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．19．（12分）（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k （k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，∴θ=，则直线的斜率k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，则D（3，2），过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．20．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可；（2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论．【解答】解：（1）证明：∵AB=BC=2，O是AC的中点，∴BO⊥AC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，∴PO⊥AC，PO=2，则PB2=PO2+BO2，则PO⊥OB，∵OB∩AC=O，∴PO⊥平面ABC；（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），=（﹣2，2，0），设=λ=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1则=﹣=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面MPA的法向量为=（x，y，z），则=（0，﹣2，﹣2），则•=﹣2y﹣2z=0，•=（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0令z=1，则y=﹣，x=，即=（，﹣，1），∵二面角M﹣PA﹣C为30°，∴cos30°=|=，即=，解得λ=或λ=3（舍），则平面MPA的法向量=（2，﹣，1），=（0，2，﹣2），PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos＜，＞|=||==．【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．21．（12分）（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，（2）分离参数可得a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．结合图象即可求得a．【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=e x﹣x2．则f′（x）=e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，则g′（x）=e x﹣2，令g′（x）=0，得x=ln2．当∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）≥h（ln2）=e ln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程e x﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，⇔a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．G，当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．22．（10分）（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用．23．（10分）（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，（2）由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题。

长春市普通高中届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．. 设为虚数单位，则（）. . . .【答案】【解析】由题意可得：.本题选择选项.. 集合的子集的个数为（）. . 7 . .【答案】【解析】集合含有个元素，则其子集的个数为.本题选择选项.. 若图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（）. . . .【答案】【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选.. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）. . . .【答案】【解析】因为等差数列中，，所以，有，所以当时前项和取最小值.故选....................... 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（）. ， . ，86 . ， . ，【答案】【解析】由茎叶图可知，中位数为，众数为. 故选.. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（）. .. .【答案】【解析】因为直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为或者.故选.. 已知，且，则的最小值为（）. . 9 . .【答案】【解析】由题意可得：，则：，当且仅当时等号成立，综上可得：则的最小值为.本题选择选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为丈），那么该刍甍的体积为（）. 立方丈 . 立方丈 . 立方丈 . 立方丈【答案】【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，则刍甍的体积为.故选.. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（）. . . .【答案】【解析】由题意可知球心到平面的距离，矩形所在圆的半径为，从而球的半径 .故选.. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）. 求首项为，公差为的等差数列前项和. 求首项为，公差为的等差数列前项和. 求首项为，公差为的等差数列前项和. 求首项为，公差为的等差数列前项和【答案】【解析】由题意可知，为求首项为，公差为的等差数列的前项和.故选.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（）. . . .【答案】【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选. 点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化. . 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）. . . .【答案】【解析】,作图如下：，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每题分，满分分，将答案填在答题纸上）. 已知角满足，，则的取值范围是．【答案】【解析】结合题意可知：，且：，利用不等式的性质可知：的取值范围是.点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．. 已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，，则．【答案】【解析】因为平面内三个不共线向量两两夹角相等，所以由题意可知，的夹角为，又知，，所以，，故答案为.. 在中，三个内角的对边分别为，若，且，面积的最大值为．【答案】【解析】由可得，，得，由余弦定理，面积的最大值为，当且仅当时取到最大值，故答案为.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.. 已知圆锥的侧面展开图是半径为的扇形，则圆锥体积的最大值为．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，由题意可得其体积为：当且仅当时等号成立.综上可得圆锥体积的最大值为.三、解答题:共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第～题为必考题，每个试题考生都必须作答．第、题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共分．. 已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式；（Ⅱ）化简，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：(Ⅰ)由，则.当时，，综上.（Ⅱ）由.. 得证.. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：（Ⅰ）现从节云课中采用分层抽样的方式选出节，求选出的点击量超过的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费分钟进行剪辑，点击量超过，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的节课中随机取出节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)因为节云课中采用分层抽样的方式选出节，所以节应选出节；（Ⅱ）的所有可能取值为，根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果..试题解析：(Ⅰ)根据分层抽样，选出的节课中有节点击量超过.（Ⅱ）的可能取值为，，，则的分布列为即 .. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ) )连接交于点，连接，根据中位线定理可得，由线面平行的判定定理即可证明平面；（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：(Ⅰ)连接交于点，连接在中，（Ⅱ），设菱形的边长为，则.取中点，连接.以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系.，，，，，，，即二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（）将空间位置关系转化为向量关系；（）根据定理结论求出相应的角和距离.. 已知椭圆的两个焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，求直线的斜率的取值范围．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：()由题意可得，，，则椭圆方程为.()联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是.试题解析：()由椭圆定义，有，，，从而.()设直线，有，整理得，设，，有，，，，由于，所以，，解得.，，由已知.. 已知函数，．（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）证明：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)求出与，由且解方程组可求的值；（Ⅱ）恒成立等价于恒成立，先证明当时恒成立，再证明时不恒成立，进而可得结果；（Ⅲ））由，令，即，即，令，各式相加即可得结果. 试题解析：(Ⅰ)由题意可知，和在处有相同的切线，即在处且，解得.（Ⅱ）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证.由题意，当时，且，即，即时，成立.当时，，即不恒成立.因此整数的最大值为.（Ⅲ）由，令，即，即由此可知，当时，，当时，，当时，，……当时，.综上：.即.（二）选考题：请考生在、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．. 选修：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，为半径．（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．【答案】(Ⅰ)为参数），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程（）利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为 .（Ⅱ）把代入，得，，设点对应的参数分别为，则,. 选修：不等式选讲设不等式的解集为．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明试题解析：（）由已知，令由得.（）要证，只需证，只需证，只需证只需证，由，则恒成立.点睛：()分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.()利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。

四川省成都2018届高三数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q2．已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）3．若，则a=（）A．﹣5﹣i B．﹣5+i C．5﹣i D．5+i4．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π6．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．7．执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A．2016 B．1024 C．D．﹣18．已知M（x0，y0）是函数C： +y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若•＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）9．等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，则log2（a2•a2017•a4032）=（）A．B．4 C．D．10．函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B． C．πD．2π11．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（）A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士12．设集合，C={（x，y）|2|x ﹣3|+|y﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠ϕ，则实数λ的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．14．二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是．15．成都七中112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加．若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3 个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有种．（用数字作答）16．已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．如图，设抛物线C1：y2=﹣4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：的右焦点F2，F1为C2的左焦点．椭圆的离心率为e=，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动．（1）当取最小值时，求C1和C2的方程；（2）若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程．21．已知函数f（x）=x﹣a x（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．四川省成都2018届高三数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的意义即可得出．【解答】解：￢P，表示“甲抛的硬币正面向下”，￢q表示“乙抛的硬币正面向下”．则（￢p）∨（￢q）表示“至少有一人抛的硬币是正面向下”．故选：A．2．已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）【考点】1D：并集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣1＜1，解得：0＜x＜2，即A=（0，2）∵B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）∴A∪B=（﹣1，2）故选：B．3．若，则a=（）A．﹣5﹣i B．﹣5+i C．5﹣i D．5+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵，∴1+ai=（2+i）（1+2i）=5i，∴a===5+i．故选：D．4．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A．B．C．D．【考点】3L：函数奇偶性的性质；31：函数的概念及其构成要素．【分析】根据题意，由函数的周期性以及奇偶性分析可得=﹣f（）=﹣f（），又由函数在解析式可得f（）的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，则=﹣f（）=﹣f（），又由当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则f（）=（）2﹣（）=﹣，则=，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选C．6．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出【解答】解：∵D为△ABC中BC边上的中点，∴=（+），∵O为AD边上靠近点A的三等分点，∴=，∴=（+），∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣（+）=﹣+．故选：A．7．执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A．2016 B．1024 C．D．﹣1【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y=1024时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2，y=0满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1满足条件y＜1024，执行循环体，x=，y=2满足条件y＜1024，执行循环体，x=2，y=3满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=4…观察规律可知，x的取值周期为3，由于1024=341×3+1，可得：满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1024不满足条件y＜1024，退出循环，输出x的值为﹣1．故选：D．8．已知M（x0，y0）是函数C： +y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若•＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，）D．（﹣，）【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，利用向量的数量积公式，结合椭圆的方程，即可求出x0的取值范围．【解答】解：椭圆C： +y2=1，的焦点坐标F1（﹣，0），F2（，0），=（﹣﹣x0，﹣y0），=（﹣x0，﹣y0）则•=x02﹣3+y02=﹣2，∵•＜0，∴﹣2＜0，解得：﹣＜x0＜，故答案选：C．9．等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，则log2（a2•a2017•a4032）=（）A．B．4 C．D．【考点】84：等差数列的通项公式；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求出f′（x）=x2﹣8x+6，由等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，利用韦达定理得a2+a4032=8，a2•a4032=6，从而=4，由此能求出log2（a2•a2017•a4032）的值．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣8x+6，∵等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，∴a2+a4032=8，a2•a4032=6，∴=4，∴log2（a2•a2017•a4032）=log2（4×6）==3+log23．故选：C．10．函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B． C．πD．2π【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）化简可得：f（x）=4sinx•cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故选：B．11．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（）A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，根据已知构造不等式组，推理可得结论．【解答】解：设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，则有：①a+b≥c+d②c＞a，③a＞b④d≥2得出：c＞a＞b＞d≥2，假设：d=2，仅有：a=5，b=4，c=6，d=2时符合条件，又因为使abcd中一个数减一人符合条件，只有b﹣1符合，即女医生．假设：d＞2则没有能满足条件的情况．综上，这位说话的人是女医生，故选：C12．设集合，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y ﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠ϕ，则实数λ的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】集合A、B是表示以（3，4）点为圆心，半径为和的同心圆；集合C在λ＞0时表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形；结合题意画出图形，利用图形知（A∪B）∩C≠∅，是菱形与A或B圆有交点，从而求得实数λ的取值范围．【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心，半径为的圆；集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心半径为的圆；集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，如下图所示：若（A∪B）∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，当λ＜时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与小圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=2；当2＜λ＜时，菱形在大圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=6，故λ＞6时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案；综上实数λ的取值范围是[，2]∪[，6]，即[，2]∪[，6]．故选：A．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．【解答】解：∵•（2+）=1，∴，∵，∴，化为．∴==﹣．故答案为：．14．二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是．【考点】7C：简单线性规划；DB：二项式系数的性质．【分析】首先求出a，然后画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．【解答】解：二项式（x+y）5的展开式中，x2y3的项的系数是a==10，所以，对应的可行域如图：由目标函数变形为n=，当此直线经过C（）时u最小为，经过B（4，0）时u最大为4，所以u的取值范围为；故答案为：．15．成都七中112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加．若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3 个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有150 种．（用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，②、将分好的3组全排列，对应3 个社团，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，若分成2、2、1的三组，有=15种分组方法，若分成3、1、1的三组，有=10种分组方法，则共有15+10=25种分组方法，②、将分好的3组全排列，对应3 个社团，有A33=6种情况，则不同的选择方案有25×6=150种；故答案为：150．16．已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣} ．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】画出图象f（x）=转化为函数f（x）与y=mx﹣2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点；②当y=mx+2与y=相切，结合导数求解即可，求解相切问题；③y=mx+2过（1，2﹣e）（0，2），动态变化得出此时的m的范围．【解答】解：∵f（x）=∴f（x）=∵函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，∴f（x）与y=mx+2有一个公共点∵直线y=mx+2过（0，2）点①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点②当y=mx+2与y=相切即y′=切点（x0，），m=﹣=﹣+2，x0＞1x0=（舍去），x0=3∴m==③y=mx+2过（1，2﹣e），（0，2）m=﹣e当m≤﹣e时，f（x）与y=mx+2有一个公共点故答案为：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据二倍角公式即可求出A，再根据三角形的内角和定理即可求出C，（2）根据余弦定理和b2+c2=a﹣bc+2，求出a，再根据两角差的正弦公式即可求出sinC，再由正弦公式和三角形的面积公式即可求出【解答】解：（1）因为cosA﹣cos2A=0，所以2cos2A﹣cosA﹣1=0，解得cosA=﹣，cosA=1（舍去）．所以，又，所以．（2）在△ABC中，因为，由余弦定理所以a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，又b2+c2=a﹣bc+2，所以a2=a+2，所以a=2，又因为，由正弦定理得，所以．18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X 的分布列和数学期望．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）返券金额不低于30元包括指针停在A区域和停在B区域，而指针停在哪个区域的事件是互斥的，先根据几何概型做出停在各个区域的概率，再用互斥事件的概率公式得到结果．（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．做出各种情况的概率，写出分布列，算出期望．【解答】解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．∴即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．；；；；．所以，随机变量X的分布列为：其数学期望．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；M7：空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为20．如图，设抛物线C1：y2=﹣4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：的右焦点F2，F1为C2的左焦点．椭圆的离心率为e=，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动．（1）当取最小值时，求C1和C2的方程；（2）若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）用m表示出a，b，根据基本不等式得出m的值，从而得出C1和C2的方程；（2）用m表示出椭圆方程，联立方程组得出P点坐标，计算出△PF1F2的三边关于m的式子，从而确定m的值，求出PQ的距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数性质得出△MPQ面积的最大值．【解答】解：（1）∵，∴，∴=m+≥2，当且仅当m=即m=1时取等号，当m=1时，a=2，b=，∴抛物线C1的方程为：y2=﹣4x，椭圆C2的方程为．（2）因为，则，∴椭圆的标准方程为，设P（x0，y0），Q（x1，y1），由得3x2﹣16mx﹣12m2=0，解得或x0=6m（舍去），代入抛物线方程得，即，于是，又△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，∴m=3．∴抛物线方程为y2=﹣12x，，∴直线PQ的方程为．联立，得或x1=﹣2（舍去），于是．∴，设到直线PQ的距离为d，则，∴当时，，∴△MPQ的面积最大值为．此时M（﹣，﹣），∴直线MP的方程为y=﹣x﹣．21．已知函数f（x）=x﹣a x（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）问题转化为恒成立，令g（x）=x2+x﹣e x，根据函数的单调性求出b的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最小值即可．【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=x﹣e x，原题分离参数得恒成立，令g（x）=x2+x﹣e x，g′（x）=x+1﹣e x，g″（x）=1﹣e x＜0，故g′（x）在22．在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）圆O的极坐标方程化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O的直角坐标方程；直线l的极坐标方程化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）圆O与直线l的直角坐标方程联立，求出圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l的公共点的极坐标．【解答】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣y=0，直线，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：x﹣y+1=0．（2）由（1）知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得．即圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点为（0，1），转化为极坐标为．23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）让绝对值内各因式为0，求得x值，再由求得的x值把函数定义域分段化简求解，取并集得答案；（2）由（1）可得函数f（x）的最小值，把不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空转化为|m﹣2|大于f（x）的最小值求解．【解答】解：（1）原不等式为：|2x+3|+|2x﹣1|≤5，当时，原不等式可转化为﹣4x﹣2≤5，即；当时，原不等式可转化为4≤5恒成立，∴；当时，原不等式可转化为4x+2≤5，即．∴原不等式的解集为．（2）由已知函数，可得函数y=f（x）的最小值为4，∴|m﹣2|＞4，解得m＞6或m＜﹣2．。

1．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是( )A．3 B．4C．5 D．6答案 B解析由[t]＝1，得1≤t<2.由[t2]＝2，得2≤t2<3.由[t4]＝4，得4≤t4<5，所以2≤t2< 5.由[t3]＝3，得3≤t3<4，所以6≤t5<4 5.由[t5]＝5，得5≤t5<6，与6≤t5<45矛盾，故正整数n的最大值是4.2．若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A.ac>bdB.ac<bdC.ad>bcD.ad<bc答案 D解析∵c<d<0，∴－c>－d>0，∴0<1－c<1－d.则1－d>1－c>0.又∵a>b>0，∴a－d>b－c，∴ad<bc.3．若对任意的x∈[0,1]，不等式1－kx≤11＋x≤1－lx恒成立，则一定有( )A．k≤0，l≥13B．k≤0，l≤12＋2C．k≥14，l≤13D．k≥12，l≤12＋2答案 D解析 当k ＝－1且x ∈[0,1]时，1－kx ＝1＋x ∈[1,2]，11＋x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，不等式1－kx ≤11＋x 不恒成立，可排除A 、B ；当k ＝13且x ∈[0,1]时，1－kx ＝1－13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，11＋x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，不等式1－kx ≤11＋x 不恒成立，排除C ，故选D.4.已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A ，B ，C 的大小关系为( )点击观看解答视频A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <BD ．B <C <A 答案 B解析 解法一(作差法)：由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－aa 2＋a ＋1＋a＝－a⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，所以B <A <C .解法二(特殊值法)：令a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，因此得B <A <C ，故选B.5．若1a <1b <0，则下列不等式中：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号)答案①③解析由1a<1b<0，得b<a<0.①∵a＋b<0，ab>0，∴1a＋b<0，1ab>0，∴1a＋b<1ab成立，即①正确；②∵b<a<0，∴－b>－a>0，则－b>|a|，即|a|＋b<0，∴②错误；③∵b<a<0，且1a<1b<0，∴a－1a>b－1b，故③正确；④∵b<a<0，∴b2>a2，∴ln b2>ln a2成立．∴④错误，故正确的是①③.。

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

课时作业(七) [第7讲 指数与对数运算][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1． 化简：(log 23)2－4log 23＋4＋log 213，得( ) A ．2 B ．2－2log 23 C ．－2 D ．2log 23－22．下列命题中，正确命题的个数为( )①n a n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③3x 4＋y 3＝x 43＋y ； ④3－5＝6(－5)2.A ．0B ．1C ．2D ．33．下列等式能够成立的是( )A.⎝⎛⎭⎫n m 7＝m 17n 7 B.12(－2)4＝3－2 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D.39＝33 4． 下列四个数中最大的是( )A ．lg2B ．lg 2C ．(lg2)2D ．lg(lg2)能力提升5．在对数式b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <46． 设a ＞1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n ＞m ＞pB ．m ＞p ＞nC ．m ＞n ＞pD ．p ＞m ＞n7．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a8． 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10C ．20D ．1009． 作为对数运算法则：lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2.那么，对于所有使lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)成立的a ，b 应满足函数a ＝f (b )的表达式为________．10． 已知0<x <π2，则lg ⎝⎛⎭⎫cos x tan x ＋1－2sin 2x 2＋lg ⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－lg(1＋sin2x )＝________.11．定义a b ＝a 12＋b －13，a *b ＝lg a 2－lg b 12，若M ＝948125，N ＝2*125，则M ＋N ＝________.12．(13分)计算： (1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(2)lg5·lg8000＋(lg23)2lg600－12lg0.036－12lg0.1.难点突破13．(12分)设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .(1)求证：1x ＋12y ＝1z； (2)比较3x,4y,6z 的大小．课时作业(七)【基础热身】1．B [解析](log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝|log 23－2|＝2－log 23，而log 213＝－log 23，则两者相加即为B.2．B [解析] 只有②正确．注意运算的限制条件． 3．D [解析] ⎝⎛⎭⎫n m 7＝n 7·m －7，12()－24＝32，4x 3＋y 3＝()x 3＋y 314≠(x ＋y )34. 4．A [解析] 由对数函数的增减性可知lg 2<lg2<1，∴(lg2)2<lg2，lg(lg2)<lg1＝0，lg2>lg1＝0，∴lg2最大．【能力提升】5．C [解析] 要使对数式有意义，只要a －2≠1且a －2>0且5－a >0，解得2<a <3或3<a <5.6．B [解析] ∵a >1，a 2＋1>2a ，∴m >p ；∵2a >a －1，∴p >n .故选B.7．C [解析] 由x ∈(e －1,1)，得－1<ln x <0，所以a －b ＝－ln x >0⇒a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2x )<0，a <c ，因此有b <a <c .8．A [解析] 在2a ＝m 的两边取以m 为底的对数，得a log m 2＝1，∴1a＝log m 2，同理，有1b＝log m 5，∴log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，∴m ＝10. 9．a ＝b b －1(b >1) [解析] ∵lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，∴lg(a ＋b )＝lg(ab )，∴a ＋b ＝ab ，∴a ＝b b －1.又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b >0，b b －1>0，解得b >1，∴a ＝b b －1(b >1)． 10．0 [解析] ∵cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2＝cos x ·sin x cos x＋cos ⎝⎛⎭⎫2×x 2＝sin x ＋cos x ， 2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2·⎝⎛⎭⎫22cos x ＋22sin x ＝sin x ＋cos x ，1＋sin2x ＝(sin x ＋cos x )2， ∴原式＝lg (sin x ＋cos x )(sin x ＋cos x )(sin x ＋cos x )2＝lg1＝0. 11．5 [解析] 由题意，M ＝⎝⎛⎭⎫9412＋⎝⎛⎭⎫8125－13＝32＋52＝4， N ＝lg[(2)2]－lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12512＝lg2＋lg5＝1，所以M ＋N ＝4＋1＝5.12．[解答] (1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3，分母＝(lg6＋2)－lg 361 000×110＝lg6＋2－lg 6100＝4， 所以原式＝34. 【难点突破】13．[解答] 设3x ＝4y ＝6z ＝k ，∵x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴k >1，取对数得x ＝lg k lg3，y ＝lg k lg4，z ＝lg k lg6. (1)证明：1x ＋12y ＝lg3lg k ＋lg42lg k ＝2lg3＋lg42lg k ＝2lg3＋2lg22lg k ＝lg6lg k ＝1z. (2)3x －4y ＝lg k ⎝⎛⎭⎫3lg3－4lg4＝lg k ·lg64－lg81lg3·lg4＝lg k ·lg 6481lg3·lg4<0，∴3x <4y . 又∵4y －6z ＝lg k ⎝⎛⎭⎫4lg4－6lg6＝lg k ·lg36－lg64lg2·lg6＝lg k ·lg 916lg2·lg6<0， ∴4y <6z .∴3x <4y <6z .。

2018年普通高考模拟考试理科数学2018.5本试卷共5页，23题(含选考题)．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={}x x a >，B={}232x x x -+>0，若A ∪B=B ，则实数a 的取值范围是(A) (),1-∞ (B) (],1-∞ (C) ()2,+∞(D) [)2,+∞2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+ (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e 表示的复数在复平面中位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3．给出以下三种说法：①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+<”； ②已知,p q 为两个命题，若p q ∨为假命题，则()()p q ⌝∧⌝为真命题； ③命题“,a b 为直线，α为平面，若//,//,a b αα，则//a b ”为真命题． 其中正确说法的个数为 (A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个4．已知4cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α= (A) 725- (B) 15- (C) 15 (D) 7255．直线40x y m ++=交椭圆2116x y +=于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为l ，则，m= (A)－2 (B)－1 (C)1 (D)2 6．执行如图所示的程序框图，则输出的a = (A)6.8 (B)6.5 (C)6.25 (D)67．已知定义域为R 的奇函数()f x 在(0，+∞)上的解析式为()()()23log 5,0233,,2x x f x f x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩则()()32018f f +=(A)－2(B)－1 (C)1(D)28．一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“▂”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A ，点A 落在深色区域内的概率为12，若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B ，则点B 落在深色区域内的概率为(A)67(B)37 (C) 34 (D) 389．记不等式组10,330,10x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，所表示的平面区域为D ，若对任意点(00,x y )∈D ，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是 (A) (],4-∞- (B) (],1-∞-(C) [)4,-+∞(D) [)1,-+∞10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A) 13π+(B) 223π+(C) 23π+(D) 123π+11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线C 虚轴的一个端点，若线段AF 2与双曲线右支交于点B ，且112::AF BF BF =3：4：2，则双曲线C 的离心率为(A)(B)10(C)(D) 1012．在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且满足∠DAC=90°，sin ∠BAD=13，若S △ADC =3S △ABD ，则cosC=(A)(B)6 (C)23(D)23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。