置换群与对称群

群论是数学中研究群结构和性质的一个分支，而群作用和置换群是群论中的两个重要概念。

群作用是指群的元素在某个集合上的一种作用方式，而置换群则是指一种特殊的群作用，其中群的元素排列集合中的元素。

首先，让我们来探讨群作用。

群作用定义了群的元素是如何作用于某个集合上的。

具体来说，给定一个群G和一个集合S，如果对于群G的每个元素g和集合S的每个元素s，都存在一个新的元素gs满足群的封闭性（即乘法运算仍然属于群G），并且满足以下条件：对于群G的单位元素e，有es=s，以及对于群G的任意元素g1和g2，以及集合S的任意元素s，有(g1g2)s=g1(g2s)，那么我们称此为群G在集合S上的一个作用。

群作用的一个重要特点是同一元素的不同群作用结果不相同。

也就是说，对于群G的元素g和集合S的元素s1和s2，如果g(s1)=s2，则必然有g(s2)≠s1。

这反映了群作用的可逆性，即通过群的元素作用可以互相转换集合S中的元素。

接下来，我们来了解置换群。

置换群是一种特殊的群作用，其中群的元素是对一个集合进行排列的操作。

换句话说，置换群是由对集合中元素的排列所生成的群。

设集合S={1,2,...,n}，我们可以定义任意一个对集合S的排列为一个置换。

举个例子，对于集合S={1,2,3}，可以有置换（1,2,3），表示将元素1映射到2，元素2映射到3，元素3映射到1。

而置换群则是由所有这样的置换所生成的群。

置换群具有很多重要的性质。

首先，置换群是有限群，其元素的个数是n的阶乘n!。

其次，置换群是可逆的，每个置换都有一个逆置换。

此外，置换群的运算是可交换的和可结合的。

通过群论中的群作用和置换群的研究，我们可以探索很多有趣的数学问题。

例如，通过群作用，我们可以研究对称群和平凡群等抽象代数结构，从而深入探讨集合、函数和变换等数学概念之间的联系。

而通过置换群的研究，我们可以解决排列和组合等数学问题，为深入理解对称性和对称性破缺提供理论基础。

在离散数学中，置换群和对称多项式是两个重要的概念。

置换群是代数学中的一个重要概念，用来描述对某个集合进行置换操作的全部可能。

对称多项式则是数学中重要的一类多项式，具有对称性质。

在研究多项式的性质和解的时候，对称多项式起到了重要的作用。

首先，我们来了解一下置换群。

置换群是指对一个集合进行重新排列的所有可能形成的群结构。

例如，对于集合{1, 2, 3}，可以得到六个不同的置换：(1, 2, 3)，(2, 1, 3)，(3, 2, 1)，(1, 3, 2)，(3, 1, 2)，(2, 3, 1)。

这六个置换将集合中的元素重新排列，形成新的集合。

将这些置换操作进行组合，就可以形成一个群结构，称为置换群。

置换群中的操作可以进行组合，形成新的置换。

例如，将置换(1, 2, 3)与(2, 1, 3)进行组合，可以得到(2, 1, 3)(1, 2, 3) = (1, 3, 2)，即先进行置换(1, 2, 3)，再进行置换(2, 1, 3)。

同样地，置换群还满足封闭性、结合律、单位元和逆元等群的性质。

对称多项式是指对于多项式中的变量进行任意置换操作后，多项式的值保持不变的多项式。

例如，对于多项式f(x, y) = xy + x + y + 1，可以将x和y进行置换，得到f(y, x) = xy + y + x + 1。

可以看到，无论对x和y如何置换，多项式f(x, y)的值都保持不变。

对称多项式是研究代数学中一个重要的问题。

它们在很多领域中都有广泛的应用。

例如，对称多项式在组合数学中有着重要的作用，可以用来计算组合数、排列数等。

对称多项式还在代数几何、群论、多元函数论等领域中有着深入的研究和应用。

对称多项式的研究还涉及到一些基本的概念和定理。

例如，斯奈克列 (Schur functions) 是一类重要的对称多项式，它们由杨图 (Young Diagram) 来定义。

斯奈克列具有一些重要的性质，例如完全正性、具有幂级数展开等。

置换群2接着上⼀节，为了研究置换群的结构,我们来考虑对称群S n和交错群A n的的⽣成元系.定理1 对称群S n可以由(12),(13),⋯,(1n)⽣成，即S n=<(12),(13),⋯,(1n)>.证明⾸先<(12),⋯,(1n)>⊂S n,同时注意到每个置换都可以分解成⼀些对换的乘积,⽽对换(i j),(i≠j)可以被表⽰成(i j)=(1 i)(1 j)(1 i)这说明S n⊂<(12),⋯,(1n)>,从⽽S n=<(12),⋯,(1n)>.定理2 交错群A n可以由全体3−轮换⽣成.证明注意到任意的3−轮换(i j k)=(1 k)(1 j)(1 i),这说明3−轮换必然是偶置换,从⽽乘积也是.另⼀⽅⾯两个对换的乘积σ=(ij)(st)可被⼀些3−轮换表⽰即可.1)若i=s,j=t,那么σ=(1)=(123)(123)(123),结论成⽴;2）若i=s,j≠t,则σ=(i t j),结论也成⽴;3)若i≠j,s≠t,那么σ=(i j)(s t)=(1 i s)(1 i j)(1 s t)注意此处默认i,i,s,t均不为1.这说明偶置换可被表⽰成3−轮换的乘积.所以定理成⽴.即A n可由全体3−轮换⽣成.要注意的是群的⽣成元并不唯⼀,例如我们还有S n=<(12),(23),⋯,(n−1,n)>=<(12),(12⋯n)>以及A n=<(123),(124),⋯,(12n)>,n≥3另⼀个问题,S n中任意的置换σ=(a b⋯c)⋯(αβ⋯γ),我们考虑与之共轭的置换δ=τστ−1,注意到δ(τ(a))=τσ(a)=τ(b)同理δ(τ(b))=τ(c),不难看出δ=τστ−1=(τ(a) τ(b) ⋯τ(c))⋯(τ(α) τ(β) ⋯τ(γ))可以看出σ与δ具有相同的形式,这⾥的形式指的是分解成不相交的轮换的结果中,轮换的长度以及轮换的个数对应相等,某些书中也将这个称为置换的型：例如在S13中的置换(1234)(567)(89)(10,11),那么称他的型为1222314150⋯130,其原理就是置换分解成不相交轮换在不考虑次序情况下是唯⼀的.⼀般的在S n中如果某个置换的型为1r12r2⋯n r n,那么必然有n∑i=1ir i=n借助于型的概念,我们可以说S n中置换σ的共轭置换⼀定与之具有相同的型,那么反之是否成⽴呢？答案是肯定的,我们有定理S n中两个置换σ,δ共轭的充要条件是他们的型相同.证明必要性已然说明,再证充分性,设σ=(a b⋯c)⋯(αβ⋯γ),δ=(a′b′⋯c′)⋯(α′β′⋯γ′),那么取置换τ=a b⋯γa′b′⋯γ′可以验证δ=τστ−1,说明σ,δ是共轭的.按照置换的型可以很容易写出对称群S n中的全部共轭类,以S5为例,我们知道|S5|=5!=120,其全部的共轭类如下: 15型:仅有⼀个,即为(1);1321型:共\binom{5}{2}=10个;1^23^1型:共A_{5}^{3}/3=20个,即在5个元素中选取3个元素的圆排列(轮换对称性);1^14^1型:共A_{5}^{4}/4=30个;1^12^2型:共\binom{5}{1}\binom{4}{2}/2=15个;()2^13^1型:共\binom{5}{2}A_{3}^{3}/3=20个;5^1型:共A_{5}^{5}/5=24个.⼀般的我们有,在对称群S_n中,型为1^{r_1}2^{r_2}\cdots n^{r_n}的置换的个数为\frac{n!}{\prod\limits_{i=1}^{n}r_i!i^{r_i}}(在数字较⼤时⽤词结论计算是⽅便的,但是在数字较⼩时⽤前⾯排列组合的思路更快捷)⽤数学归纳法来证明是可⾏的,我们更希望给出如下的直接求法.记集合A:=表⽰n个元素1,2,\cdots,n的所有重排的集合,⽽集合B:=表⽰型为1^{r_1}2^{r_2}\cdots n^{r_n}的置换的全体.作映射\pi:A\to B,具体⽅式如下:对于重排a_1,a_2,\cdots,a_n,将前r_1个当做r_1个1-轮换,接下来的2r_2个每2个⼀组作为r_2个2-轮换,接下来的3r_3个每3个⼀组作为r_3个3-轮换……这样就构造出了型为1^{r_1}2^{r_2}\cdots n^{r_n}的置换,显然\pi是个满射但是并⾮单射.对于任意的\sigma\in B,那么\pi^{-1}(\sigma)便是n个元素的⼀个重排.我们把\sigma写成按照轮换长度递增的顺序的形式,显然这种表⽰并不唯⼀,因为每个r-轮换(a_1~a_2~\cdots~a_r)有r种不同的表⽰,并且每⼀种表⽰对应的在\pi下的原象均不同.另⼀⽅⾯不相交轮换是可换的,因此在保持长度递增情况下,r_i个i-轮换可以有r_{i}!种表⽰,结合起来可以看出\pi^{-1}(\sigma)共有\prod_{i=1}^{n}r_{i}!i^{r_i}种不同情况.⽽|A|=n!,因此|B|=\frac{n!} {\prod\limits_{i=1}^{n}r_i!i^{r_i}}利⽤置换的型,我们可以确定对称群的正规⼦群,例如我们考虑S_4的共轭类：1^5型:仅1个,即为(1)；1^22^1型:\binom{4}{2}=6个,分别是(12),(13),(14),(23),(24),(34)；1^13^1型:A_{4}^{3}/3=8个,分别是(123),(124),(132),(134),(142),(143),(213),(234)；2^2型:\binom{4}{2}/2=3个,分别是(12)(34),(13)(24),(14)(23)；4^1型:仅⼀个,即为(1234).设H是S_4的正规⼦群,根据Lagrange定理|H|只能是1,2,3,4,6,8,12,24,如果H是⾮平凡的,那么|H|只能是2,3,4,6,8,12,注意正规⼦群是⼀些共轭类组成的⼦群:1)显然|H|\neq 2,3,6,8,因为这些元素不可能是完整的若⼲共轭类;2)⽽|H|=4是可能的,此时H中的元素为:(1),(12)(34),(13)(24),显然此时H同构于Kelin四元群\mathbb K_4=\{1,a,b,ab\},其中a^2=b^2=(ab)^2=1;3)同样的|H|=12也是可以的,此时H由⼳元,8个1^13^1型置换以及3个2^2型置换构成,即为全体偶置换,此时H同构于A_4.以上分析说明S_4只有4个正规⼦群\{1\},K_4,A_4,S_4.类似的分析可以得到A_4的正规⼦群只有\{1\},K_4,A_4.更进⼀步的我们还有S_4/K_4\simeq S_3证明我们可以将S_3视作S_4的⼦群,将\sigma\in S_3看成\sigma(4)=4即可.由前⾯的结论K_4\triangleleft S_4,从⽽K_4S_3\leq S_4,注意到K_4\cap S_3=\{1\},那么|K_4S_3|=\frac{|S_3|\cdot|k_4|}{|K_4\cap S_3|}=24=|S_4|这说明S_4=K_4S_3,根据第⼀同构定理S_3/K_4\cap S_3\simeq S_4/K_4,即S_4/K_4\simeq S_3另⼀种证法是直接分析6阶群S_4/K_4的结构,事实上6阶群仅有2个,他们是\mathbb Z_6和S_3\simeq D_3.Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js。

离散数学中的置换群与对称性是一个重要的概念，它们
在许多数学领域都有着重要的应用。

置换群是一类结构，它由一组元素和一组置换操作组成，它们满足一定的结构性质。

置换群的元素可以是任何类型的对象，比如数字、字母、图形等。

置换操作是一种操作，它可以把一组元素中的一个元素替换成另一个元素，从而改变置换群中的元素的排列顺序。

对称性是一种特殊的置换群，它满足一定的对称性质。

对称性的定义是：如果一个置换群中的元素满足某种特定的对称性，那么这个置换群就是对称的。

比如，如果一个置换群中的元素满足“任何两个元素之间的距离都是相等的”，那么这个置换群就是对称的。

置换群和对称性在许多数学领域都有着重要的应用，比
如在几何学中，它们可以用来描述图形的对称性；在抽象代数中，它们可以用来描述群的结构；在组合学中，它们可以用来描述排列的结构；在统计学中，它们可以用来描述数据的分布。

总之，离散数学中的置换群与对称性是一个重要的概念，它们在许多数学领域都有着重要的应用。

它们可以用来描述图形的对称性，也可以用来描述群的结构，排列的结构，以及数据的分布。

关于对称群和置换群的数学原理和应用案例数学中的对称群和置换群是两个重要的概念，它们是研究代数结构的基本工具之一。

对称群描述的是一个几何图形、集合或其他对象在变换下不变的性质，而置换群则是指一个集合上所有置换构成的群。

这两个概念在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。

一、对称群的数学原理对称群是指一个几何图形或其他对象在变换下不变的群。

比如，一个正方形在旋转、翻转、反射等变换下仍保持不变，它的对称群就可以描述为D4（四面体群）。

这个群中包含了所有对正方形产生不同变换的对称性质。

对于任意一个几何图形或集合，其对称群都可以表示成一个置换群的形式。

其中，置换群是指在一个集合上所有置换构成的群。

一个置换是指将这个集合的元素排列的映射，它可以对这个集合进行置换或排列。

具体来说，一个置换群可以由若干个置换所组成，每个置换都可以表示为一个从这个集合的元素到它本身的一一映射。

二、置换群的数学原理置换群描述的是一个集合上所有置换构成的群。

一个置换是指将这个集合的元素排列的映射，它可以对这个集合进行置换或排列。

置换群中的元素是置换操作本身，而不是任何一个置换操作所作用的对象。

置换群是一个重要的概念，它可以用来表示很多算法的计算复杂度。

一个算法的复杂度通常是指该算法的计算时间增长率。

置换群可以用来描述算法运行的时间，因为一个算法的某些循环结构可以看作是集合置换所形成的置换群的元素。

三、对称群和置换群的应用案例对称群和置换群在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。

其中，对称群在物理学中有着重要的应用，它可以描述物体在空间中的对称性，同时也可以用来推导物理定律。

置换群可以在计算复杂度分析中应用，比如在排序算法中。

对于一个由n个元素组成的序列，总的置换个数为n!个。

通过对置换群的分析，可以得到各种排序算法的计算复杂度，从而帮助我们选择最优算法。

此外，对称群和置换群还可以在密码学中应用，比如用置换密码来加密消息。

在置换密码中，将明文转换成一个置换群中的元素，并将该元素用作密钥对密文进行加密。

在群论中，置换群和对称群是两个基本的概念。

它们在数学中起着重要的作用，尤其是在代数学和几何学中。

本文将探讨这两个概念的定义、性质和应用。

首先，我们来介绍一下置换群。

所谓置换群，就是由一个集合上的所有置换所构成的群。

这里的置换是指对集合进行重新排列的操作。

形式上，一个置换可以理解为集合上的一个双射函数。

在群论中，我们通常将置换群表示为S(n)，其中n是集合的元素个数。

例如，S(3)表示一个有3个元素的集合上的置换群。

置换群有一些重要的性质。

首先，它是一个群，即满足封闭性、结合律、单位元、逆元等群公理。

其次，置换群的阶等于集合中元素的个数。

例如，如果一个集合有n个元素，那么相应的置换群S(n)的阶为n!，即n的阶乘。

最后，置换群的乘法操作是置换的复合。

即，如果f和g是两个置换，那么它们的乘积可以表示为fg(x)=f(g(x))，其中x是集合中的一个元素。

对称群是置换群的一个特殊子群。

它由一个集合上的所有自同构置换所构成。

自同构是指保持集合上所有结构和关系的变换。

形式上，自同构置换可以理解为一个集合上的双射，且保持集合中元素间的相对次序不变。

在群论中，我们通常将对称群表示为Sym(n)，其中n是集合的元素个数。

例如，Sym(3)表示一个有3个元素的集合上的对称群。

对称群也有一些重要的性质。

首先，它是一个置换群，因此也满足群的一些性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。

其次，对称群的阶等于置换群S(n)的阶。

换句话说，对称群Sym(n)是置换群S(n)的一个子群。

最后，对称群的乘法操作也是置换的复合。

置换群和对称群在数学中有着广泛的应用。

例如，在代数学中，它们被用于研究多项式的根和对称性。

在几何学中，置换群和对称群可以用来描述几何体的对称性和对称操作。

此外，在密码学和计算机科学中，它们被用于设计密码算法和图像处理。

总之，群论中的置换群和对称群是两个基本的概念。

置换群是由一个集合上的所有置换构成的群，而对称群是由一个集合上的所有自同构置换构成的群。

抽象代数重点解析——群（三）1.6变换群与置换群定义1.6.1：设A是非空集合，A的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群，称为A的全变换群，记为S_{A}，S_{A}的一个子群称为A的一个变换群；当S_{A}为含有n个元素的有限集时，S_{A}也叫作n元对称群，记作S_{n}，S_{A}中的一个元素称为一个n元置换，S_{n}的一个子群称为一个n元置换群。

要注意全变换群，变换群；对称群，置换群。

这两对递进的概念的区别。

下面是一个奠定变换群地位的定理，只给出证明思路。

定理1.6.1（Cayley定理）：任何群都与一个变换群同构。

证明思路：设 G 是群， \forall a\in G ，定义映射 \forall g\in G ，f_{a}(g)=ag ，称为左平移变换。

不难验证左平移变换是 S_{G} 的一个子群，且能与 G 可以建立同构。

关于对称群 S_{n} 而言，我们把它的 n 个元素用前 n 个自然数表示，则置换 \sigma 可记作 \begin{pmatri某}1&2&...&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&...&\sigma(n) \end{pmatri某} ，可以看出\sigma(1),\sigma(2),...,\sigma(n) 对 n 个元素的一个排列，自然有下面结论。

定理1.6.2： \left， S_{n} \right，=n。

接下来深入研究置换，首先给出两个定义。

定义1.6.2：设集合 A 有 n 个元素，设I=\left\{ i_{1},i_{2}...i_{r} \right\}\subset A ， \sigma\inS_{A} ，有 \sigma(i_{j})=i_{j+1}(j<r) ， \sigma(i_{r})=i_{1} ，\sigma(k)=k(k\notin I) ，则称 \sigma 为一个r-轮换，或称r-循环置换，记为 \sigma=(i_{1}i_{2}...i_{r}) ， i_{1},i_{2}...i_{r} 称为\sigma 的文字， r 称为 \sigma 的长；特别地，2-轮换称为对换，1-轮换称为恒等置换。

置换群在密码学中的应用在密码学领域，置换群是一种重要的数学结构，它在密码算法的设计和分析中起到了关键作用。

置换群可以用来实现密码学中的许多基本操作，如加密、解密、签名和认证等。

本文将探讨置换群在密码学中的应用。

1. 置换群的基本概念和性质置换群是由一个有限集合上的置换操作构成的数学结构。

在密码学中，常用的置换群有对称群和置换群。

对称群是由有限集合上的所有置换组成的群，而置换群是由满足特定条件的置换组成的群。

置换群具有以下重要的性质：- 封闭性：对于任意两个置换，它们的复合仍然是一个置换，即置换群中的任意两个元素的乘积仍属于置换群。

- 结合律：置换群中的乘法运算满足结合律。

- 单位元：置换群中存在一个单位元，它与任意置换进行乘法运算得到的结果相同。

- 逆元：置换群中的每个元素都存在一个逆元，它与该元素进行乘法运算得到的结果为单位元。

2. 置换群在对称加密中的应用对称加密算法是现代密码学中常用的一种加密方式，它使用相同的密钥进行加密和解密操作。

置换群在对称加密中起到了关键作用。

置换群可以用来进行数据的置换和替换操作，从而实现加密和解密。

在加密过程中，将明文按照置换群中的置换规则进行置换，生成密文。

只有持有相应的密钥才能进行解密，通过逆向置换操作将密文还原为明文。

置换群的复杂性和性质保证了对称加密算法的安全性。

通过使用大型的置换群和复杂的置换规则，可以增加密钥空间的大小，提高密码算法的安全性。

3. 置换群在公钥密码学中的应用公钥密码学是另一种常用的密码学方法，它使用两个不同的密钥进行加密和解密操作。

置换群在公钥密码学中也有广泛的应用。

公钥密码学中的一种重要算法是RSA算法，它基于置换群的数论性质。

RSA算法利用置换群中的置换操作和数学运算实现了公钥和私钥的生成、加密和解密操作。

通过选择适当的置换群和运算规则，RSA算法能够保证公钥和私钥的一一对应性质，并且非常难以通过已知的公钥推导出对应的私钥。

这使得RSA算法成为了公钥密码学中的重要工具。