高等代数北大版第章习题参考答案
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高等代数(北大版第三版)习题答案I
高等代数(北大版第三版)习题答案I篇一：高等代数(北大版)第3章习题参考第三章线性方程组1．用消元法解以下线性方程组：?x1?x?1?1)?x1x1x13x25x34x413x22x32x42x2x3x4x54x2x3x4x52x2x3x4x5 x12x23x42x51x5??1?x1x23x3x43x523 2)2x?3x?4x?5x?2x?72345?139x9x6x16x2x252345?11x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44x3?x2?0?x2?x3?x4??3?2x1?3x2?343)?4)?4x?11x?13x?16x?0x?3x??x?123424?1?17x?3x?x3?7x?2x?x?3x0234234??1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1?3x1?2x2?x3?x4?13x1?2x2?2x3?3x4?25)? 6)?2x1?3x2?x3?x4?12x2x2xx15x1x2x32x4123412xxx3x4234?15x1?5x2?2x3?2解1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有111111000033?2?420000?1521112?3?20?1?4?2?11?1?1200101?1?11010001??110??30??3??01?011?200?0000030?5?7?10000?15?3?4?4?400?200423581200001?1?11010001?2?2? ?221?2?0? ?0?0由于rank(A)?rank(B)?4?5，因此方程组有无穷多解，其同解方程组为x1x412x1x52，?2x03x?x?0?24解得x1x2x3x4x51kk0k22k其中k为任意常数。
2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有112910 ??002?1?3?920?3463151632?3221??120?0725022?3?7?27120?346341110?2?5?2?1631?1 5161334512529?8?011??333033?2529??72?10??334?512529? 8001?1?3330000??01?由于rank(A)?4?rank(A)?3，因此原方程无解。
高等代数北大版第章习题参考答案精修订
高等代数北大版第章习题参考答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
。
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析
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第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数北大版(第三版)答案
令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3
北京大学数学系《高等代数》(第3版)课后习题-第一章至第三章(上册)【圣才出品】
所以 q（x）＝2x4－6x3＋13x2－39x＋109，r（x）＝－327． （2）q（x）＝x2－2ix－（5＋2i），r（x）＝－9＋8i．
4．把 f（x）表成 x－x0 的方幂和，即表成 c0＋c1（x－x0）＋c2（x－x0）2＋…的形式． （1）f（x）＝x5，x0＝1；
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6．求 u（x），v（x）使 u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x））： （1）f（x）＝x4＋2x3－x2－4x－2，g（x）＝x4＋x3－x2－2x－2． （2）f（x）＝4x4－2x3－16x2＋5x＋9，g（x）＝2x3－x2－5x＋4． （3）f（x）＝x4－x3－4x2＋4x＋1，g（x）＝x2－x－1． 解：（1）用辗转相除法进行计算．
所以 x5＝（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）＋1．
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（2）应用综合除法
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所以 f（x）＝（x＋2）4－8（x＋2）3＋22（x＋2）2－24（x＋2）＋11． （3）f（x）＝（x＋i）4－2i（x＋i）3－（1＋i）（x＋i）2－5（x＋i）＋7＋5i． 5．求 f（x）与 g（x）的最大公因式： （1）f（x）＝x4＋x3－3x2－4x－1，g（x）＝x3＋x2－x－1． （2）f（x）＝x4－4x3＋1，g（x）＝x3－3x2＋1．
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第二部分 课后习题
第 1 章 多项式
1．用 g（x）除 f（x），求商 q（x）与余式 r（x）： （1）f（x）＝x3－3x2－x－1，g（x）＝3x2－2x＋1； （2）f（x）＝x4－2x＋5，g（x）＝x2－x＋2． 解：（1）用分离系数的竖式进行计算
4．把 f（x）表成 x－x0 的方幂和，即表成 c0＋c1（x－x0）＋c2（x－x0）2＋…的形式． （1）f（x）＝x5，x0＝1；
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6．求 u（x），v（x）使 u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x））： （1）f（x）＝x4＋2x3－x2－4x－2，g（x）＝x4＋x3－x2－2x－2． （2）f（x）＝4x4－2x3－16x2＋5x＋9，g（x）＝2x3－x2－5x＋4． （3）f（x）＝x4－x3－4x2＋4x＋1，g（x）＝x2－x－1． 解：（1）用辗转相除法进行计算．
所以 x5＝（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）＋1．
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（2）应用综合除法
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所以 f（x）＝（x＋2）4－8（x＋2）3＋22（x＋2）2－24（x＋2）＋11． （3）f（x）＝（x＋i）4－2i（x＋i）3－（1＋i）（x＋i）2－5（x＋i）＋7＋5i． 5．求 f（x）与 g（x）的最大公因式： （1）f（x）＝x4＋x3－3x2－4x－1，g（x）＝x3＋x2－x－1． （2）f（x）＝x4－4x3＋1，g（x）＝x3－3x2＋1．
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第二部分 课后习题
第 1 章 多项式
1．用 g（x）除 f（x），求商 q（x）与余式 r（x）： （1）f（x）＝x3－3x2－x－1，g（x）＝3x2－2x＋1； （2）f（x）＝x4－2x＋5，g（x）＝x2－x＋2． 解：（1）用分离系数的竖式进行计算
高等代数(北大版)第3章习题参考答案
第三章 线性方程组1． 用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-+=-⎪⎪-+--=⎨⎪-++-=⎪⎪++-+=-⎩ 124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨+++=⎪⎪-++=-⎩ 123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=-⎩ 123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=-⎪⎪-+-=⎩ 12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎪⎪+++=⎨⎪++-=⎪⎪++=⎩ 解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→------⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦10210110010100321200021200200000200000000000000001110010000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦因为()()45rank A rank B ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1415324122200x x x x x x x -=⎧⎪+=-⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩， 解得123451022x k x k x x k x k=+⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=--⎩ 其中k 为任意常数。
0701205_高等代数 北大版 课后习题答案
39
26 2 x；
99
2）同理可得 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 。
2． m, p, q 适合什么条件时，有
1） x2 mx 1 | x3 px q ，
2） x2 mx 1 | x 4 px2 q 。
解 1）由假设，所得余式为 0，即 ( p 1 m2 ) x (q m) 0 ，
g( x) q2( x)r1(x) r2 ( x)
解得 r2 ( x) g( x) q2( x)r1(x) g( x) q2( x)[ f ( x) q1( x) g( x)] ， [ q2( x)] f ( x) [1 q1(x)q2 ( x)] g( x)
u( x)
于是
q2( x)
x1
。
v( x) 1 q1(x)q2 ( x) 1 1 ( x 1) x 2
９．证明： ( f (x)h( x), g(x)h( x)) ( f (x), g (x)) h( x) ， (h( x) 的首系数为１） 。
证 因为存在多项式 u( x), v( x) 使 ( f (x), g (x)) u(x) f ( x) v( x)g( x) ，
式，求 t, u 的值。
解
f (x)
因为
q1(x)g( x)
r1( x)
( x3
tx2
u)
( x2
2x u)
，
g( x) q2 ( x)r1( x) r2 (x)
(x (t 2))( x2 2x u) (u 2t 4)x u(3 t ) ，
且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余得 ( f (x), g( x)) x 1，且 u(x)
11
22 2
高等代数北大编第1章习题参考答案
第一章多项式一、习题及参考解答1 .用g(x)除了(x),求商g(x)与余式r(x)：1 ) f (x) = x3 - 3x2 - x -1, g(x) = 3x2 - 2x +1;2 ) f(x) = x4 -2x + 5,g(x) = x2 - x + 2。
解1)由带余除法,可得q(x) =L-Z,“x) =-竺x-2 ；2)同理可得g(x) = / +x-l,r(x) = -5x + 7。
2. 〃?,PM适合什么条件时，有1 ) X2 +/?1¥-1 I X3 + px + c/ 92) x2 + nix + 11 x4 + px2 +q。
解1 )由假设,所得余式为0,即(〃 + l + 〃?2)x + (q-〃?) = O,所以当 1 + 。
时有 /+〃a-11 X* + px +g 0q _ in = 0 .2)类似可得= 于是当〃? = 0时，代入(2)可得〃=夕+ 1;q + 1 —〃一" = 0而当2- 〃 -J = 0时，代入(2)可得4 = 1 04 = ] _, 时，皆有 / + + 1 I X，+ px2 + 9。
综上所诉，当p + nr = 23 .求g(x)除f(x)的商q(x)与余式:1 ) /(x) = 2«?-5x3-8x,g(x) = x + 3 ;2) f(x) = x3-x2 - xg(x) = x-l + 2i o解[)q(x) = 2x4 - 6x3 +13x2 - 39A+ 109 ,r(x) = -327 '2)= x2 -2LV-(5+2/)r(x) = -9 + 8/ °4 .把/1(X)表示成x-%的方幕和，即表成c()+ G(X —“0)+。
2(X — X。
)~ + …+ C n(X — X。
)” + …的形式：1)/(x) = x',x()= 1 ；2) /(X)= X4-2X2+3,X0 =-2 ;3) f (x) = x4 + 2汉3 -(1 + i)x2 -3x + 7 + i,x0 =-i o解 1 ) 由综合除法，可得f(x) = l + 5(x-l) + 10(x-l)2 + 10(x-1)3+5(X-1)4 + (x-1)5 ;2 ) 由综合除法，可得X4-2X2+3=11-24(X + 2) + 22* + 2)2 -8(.r + 2)3 + (x + 2)，;3）由综合除法，可得『+2立3_（1 +82_3工+ （7 +，）= (7 + 5i)-5(x + i) + (-l-i)(x + i)2 -2i(x + i)3 + (x + i),。
091550_高等代数(北大版第三版)习题答案
所以
f ( x) g ( x) , 1。 ( f ( x), g ( x)) ( f ( x), g ( x))
11 ． 证 明 ： 如 果 f ( x), g ( x) 不 全 为 零 ， 且 u ( x) f ( x) v( x) g ( x) ( f ( x), g ( x)) ， 那 么
解 1）由带余除法，可得 q ( x)
2
2）同理可得 q ( x) x x 1, r ( x) 5 x 7 。 2． m, p, q 适合什么条件时，有 1） x mx 1 | x px q ，
2 3
2） x mx 1 | x px q 。
2 4 2
(u ( x), v( x)) 1 。
证 由上题证明类似可得结论。 12．证明：如果 ( f ( x), g ( x)) 1, ( f ( x), h( x)) 1 ，那么 ( f ( x), g ( x) h( x)) 1 。 证 由假设，存在 u1 ( x), v1 ( x) 及 u2 ( x), v2 ( x) 使
3 2 2
多项式
1） f ( x) x 3 x x 1, g ( x) 3 x 2 x 1 ； 2）
f ( x) x 4 2 x 5, g ( x) x 2 x 2 。 1 7 26 2 x , r ( x) x ； 3 9 9 9
高等代数（北大*第三版）答案
目录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 多项式 行列式 线性方程组 矩阵 二次型 线性空间 线性变换
—矩阵
欧氏空间 双线性函数与辛空间
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第七章线性变换1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；则A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。
7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。
8)是，因任取二矩阵YX ,n n P ⨯∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，A (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X ，故A 是nn P⨯上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换，证明：A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2，并检验(AB )2=A 2B 2是否成立。
解任取一向量a=(x,y,z)，则有A B C (AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f 所以AB-BA=E 。
4.设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E ，证明：A kB-BA k=k A 1-k (k>1)。
证采用数学归纳法。
当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a ，结论成立。
归纳假设m k=时结论成立，即A m B-BA m =m A 1-m 。
则当1+=m k 时，有A1+m B-BA1+m =(A1+m B-A m BA)+(A m BA-BA1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A1-m A=)1(+m A m。
即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立。
5.证明：可逆变换是双射。
证设A 是可逆变换，它的逆变换为A1-。
若a ≠b ，则必有A a ≠A b ，不然设Aa=A b ，两边左乘A 1-，有a=b ，这与条件矛盾。
其次，对任一向量b ，必有a 使A a=b ，事实上,令A1-b=a 即可。
因此,A 是一个双射。
6.设1ε,2ε,K ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。
证明：A 是可逆变换当且仅当AA 可,Bε微分变换D 在基i ε(i=1,2,K ,6)下的矩阵；5) 已知P 3中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121011101，求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 6) 在P 3中，A 定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(321ηηηA A A ， 其中⎪⎩⎪⎨⎧-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(321ηηη，22）=⎪⎭ ⎝203）因为)!1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n K K εεεε， 所以A 0110=-=ε，A 01)1(εε=-+=x x ， A )!1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=-n n x x x n n x x x n K K ε=)!1()]3([)1(----n n x x x K {)]2([)1(---+n x x }=2-n ε，所以A 在基0ε,1ε,K ,1-n ε下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎪⎫⎛11010KK K。
45⎪⎭ ⎝-111(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211。
6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--012110301，所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--012110301,⎫⎛--5057所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121101-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--963110 =(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011101532。
8．在P22⨯中定义线性变换A 1(X )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a X,A 2(X )=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ,A 2(X )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ,求A 1,A 2,A 3在基E 11,E 12,E 21,E 22下的矩阵。
解因A 1E 11=a E 11+c E 12,A 1E 12=a E 12+c E 22,A 1E 21=b E 11+d E 21,A 1E 22=b E 21+d E 22,A 故A 3在基E 11,E 12,E 21,E 22下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎝=2223d bdcd bc cd ad c ac bd b adab A 。
9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ， 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵；2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵，其中且； 3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵。
解1)因A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε，A 2ε=+332εa +222εa 112εa ， A 1ε=+331εa +221εa 111εa ，故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----+-=333232311323122212112221131212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 。
10.设A 是线性空间V 上的线性变换，如果Aε1-k ≠0,但A εk =0，求证：ε,A ε,,ΛA ε1-k (k >0)线性无关。
证设有线性关系0121=+++-εεεk k Al A l l Λ，用A1-k 作用于上式,得1l A ε1-k =0(因A 0=εn 对一切n k ≥均成立)，又因为Aε1-k ≠0,所以01=l ,于是有01232=+++-εεεk k A l A l A l Λ，再用A2-k 作用之,得2l Aε1-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101010O O 。
12．设V 是数域P 上的维线性空间，证明：与V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。
证因为在某组确定的基下，线性变换与n 级方阵的对应是双射，而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE ，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K 。
13.A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换，证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。
证 设A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵为A=(ij a )，只要证明A 为数量矩阵即可。
设X 为任一非退化方阵，且(n ηηη,,21)=(n εεε,,,21Λ)X ，则12,,,n ηηηL 也是V 的一组基，且A 在这组基下的矩阵是AX X 1-，从而有AX=XA ，这说明A 与一切nn a a a ===Λ2211。
故A 为数量矩阵，从而A 为数乘变换。
14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换A 在这组基下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201， 1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下的矩阵；2) 求A 的核与值域；3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵； 4) 在A 的值域中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵。
解1)由题设,知(4321,,,ηηηη)=(321,,εεε,4ε)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2111011000320001，=⎩⎨⎧=+++-=++032024321431x x x x x x x ， 可求得基础解系为X 1=)0,1,23,2('--,X 2=)1,0,2,1('--。
若令1α=(321,,εεε,4ε)X 1，2α=(321,,εεε,4ε)X 2， 则12,αα即为A1-(0)的一组基，所以A1-(0)=12(,)L αα。
再求A 的值域A V 。
因为A 1ε=43212εεεε++-， A 2ε=432222εεε-+， A 3ε=432152εεεε+++， A 4ε3ε=4321253εεεε-++，A V 的⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫0000(A 1ε,A 2ε,43,εε)=(321,,εεε,4ε)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021012100210001，故A 在基A 1ε,A 2ε,43,εε下的矩阵为C=11021012100210001-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021012100210001=⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛00002231291225。
A(321,,ηηη)=(1e ,2e ,3e )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122=(1e ,2e ,3e )B=(1e ,2e ,3e )A 1-B ， 故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为X=A 1-B=1101110121-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122221=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232。