22 导数概念

5.1.2 导数的概念及其几何意义课标解读课标要求素养要求1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达;⒉.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 1.数学抽象——能通过瞬时变化率了解导数的概念;2.直观想象——能根据图形和导数的几何意义求切线斜率.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一 平均变化率对于函数y =f(x) ,设自变量x 从x 0 变化到x 0+Δx ,相应地,函数值y 就从f(x 0) 变化到f(x 0+Δx) .这时,x 的变化量为Δx ,y 的变化量为① Δy =f(x 0+Δx)−f(x 0) .我们把比值ΔyΔx ，即ΔyΔx =f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx叫做函数y =f(x) 从x 0 到x 0+Δx 的平均变化率.要点二 导数的概念与表示如果当Δx →0 时,平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个 确定的值 ,即ΔyΔx有极限,则称y =f(x) 在 x =x 0 处的②导数(也称为瞬时变化率),记作③ f ′(x 0) 或y ′|x=x 0 ，即f ′(x 0)=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx.要点三 切线如图,在曲线y =f(x) 上任取一点P(x,f(x)) ,如果当点P(x,f(x)) 沿着曲线y =f(x) 无限趋近于点P 0(x 0,f(x 0)) 时,割线P 0P 无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P 0T 称为曲线y =f(x) 在点P 0 处的④ 切线 .自主思考1.自变量的变化量Δx 能否为0?答案：提示由平均变化率的定义可知,|Δx|可以很小,但是Δx≠0.2.已知函数y=2x2,当x=a,Δx→0时，ΔyΔx无限趋近于多少?答案：提示当x=a时，ΔyΔx =2(a+Δx)2−2a2Δx=2(Δx)2+4aΔxΔx=2Δx+4a∵Δx→0,∴ΔyΔx无限趋近于4a名师点睛1.关于导数的概念的理解基于瞬时速度与切线斜率的计算公式具有共同点,即瞬时速度是平均速度的极限,切线斜率是割线斜率的极限,所以导数概念是瞬时速度与切线斜率的数学抽象与概括,表示为f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.2.导数的物理意义与几何意义（1）导数的物理意义就是位移时间函数s=s(t)在t=t0时刻的瞬时速度,同理也是速度时间函数v=v(t)在t=t0时刻的瞬时加速度.（2）导数的几何意义就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率.割线斜率k(P0(x0,f(x0)),P(x0+Δx,f(x0+Δx))切线斜率k0（切点P0(x0,f(x0))）k=ΔyΔx =f(x0+Δx)−f(x0)Δxk0=f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx3.导数定义公式的两种等价形式导数的定义公式为f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx若令x=x0+Δx,得Δx=x−x0,于是f′(x0)=lim x→x0f(x)−f(x0)x−x0互动探究·关键能力探究点一变化率与导数的概念精讲精练例1已知函数f(x)=2x+3,则f(−1)=1，的值为( )A.1B.2C.3D.-3答案：C解析：因为f(x)=2x+3,所以f(−1)=1,f′(−1)=limΔx→0f(−1+Δx)−f(−1)Δx=limΔx→02(−1+Δx)+3−1Δx=limΔx→02=2,所以f(−1)+f′(−1)=3.例2 （多选）下列关于函数f(x)=x2的变化率的叙述正确的是( )A.f(x)在[1,2]的平均变化率为1B.f(x)在x=1处的导数为2C.f(x)在x=1处的瞬时变化率为1D.f(x)在[x1,x2]的平均变化率为x1+x2答案：B; D解析：因为函数y=f(x)在[x1,x2]的平均变化率为ΔyΔx =y2−y1x2−x1=x22−x1x2−x1=x1+x2所以函数f(x)=x2在[1,2]的平均变化率为1+2=3,故A错误,D正确;函数f(x)在x=1处的瞬时变化率即f′(1)=limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=limΔx→0(2+Δx)=2，故B正确，C错误，故选BD解题感悟导数是瞬时速度与切线斜率的数学抽象,其本质是极限思想.解决导数问题运用了由“平均变化率"逼近“瞬时变化率”的思想方法.迁移应用1.（2020辽宁省实验中学高二质检）函数y=1x在x=1到x=3之间的平均变化率为( )A.23B.−23C.−13D.13答案：C解析：当x=1时,y=11=1;当x=3时,y=13,所以函数y=1x在x=1到x=3之间的平均变化率为ΔyΔx =13−13−1=−13.故选C.2.(★)（山东菏泽一中高二质检）已知曲线y=13x3+1上一点A(1,43),则点A处的切线斜率等于,切线方程为. 答案：1 ; 3x−3y+1=0解析：由Δy=13(1+Δx)3−13×13=13[1+3Δx+3(Δx)2+(Δx)3]−13=Δx+(Δx)2+13(Δx)3,得ΔyΔx =1+Δx+13(Δx)2,则limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0[1+Δx+13(Δx)2]=1,切线方程为y−43=x−1,即3x−3y+1=探究点二求函数在某点处的导数精讲精练例求y=2x2+4x在x=3处的导数.答案：∵Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)−(2×32+4×3)=2(Δx)2+16Δx,∴ΔyΔx=2Δx+16,即y′|x=3=16.变式求f(x)=2x2+4x在x=x0处的导数,并解方程f′(x0)=0.答案：∵Δy=2(x0+Δx)2+4(x0+Δx)−(2x02+4x0)=2(2x0+Δx)Δx+4Δx, ΔyΔx=2(2x0+Δx)+4,∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0[2(2x0+Δx)+4]=4x0+4，即f′(x0)=4x0+4由f′(x0)=0,得x0=−1.解题感悟计算函数y=f(x)在x=x0处的导数通常有下列三个步骤:（1）先计算函数值的增量：Δy=f(x0+Δx)−f(x0)（2）再计算函数的平均变化率：ΔyΔx =f(x0+Δx)−f(x0)Δx（3）最后计算极限：f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx迁移应用1.求函数y=x2+1在x=−3处的导数．答案：∵Δy=(−3+Δx)2+1−[(−3)2+1]=(Δx)2−6Δx，ΔyΔx=Δx−6，∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(Δx−6)=−6，∴y′|x=−3=−6.探究点三导数的几何意义与应用精讲精练类型1 求函数的图象在某点处的切线斜率与切线方程例1 函数y=x2+x的图象在点P(1,2)处的切线斜率为,切线方程为.答案：3; 3x−y−1=0解析：解法一：根据导数的几何意义,曲线y=x2+x在点P(1,2)处的切线斜率k=y′|x=1=limΔx→0(1+Δx)2+(1+Δx)−2Δx=limΔx→0(3+Δx)=3所以切线方程为y−2=3(x−1),即3x−y−1=0.解法二：设曲线y=x2+x在点P(1,2)处的切线斜率为k,则切线方程为y−2=k(x−1),即y=kx+2−k,将其代入y=x2+x,整理得x2+(1−k)x+k−2=0,依题意,Δ=(1−k)2−4(k−2)=(k−3)2=0,解得k=3,所以切线方程为y−2=3(x−1),即3x−y−1=0.变式若本例函数不变,如何求此抛物线在顶点处的切线方程？过此抛物线顶点的切线有什么特点？答案：函数y=x2+x的图象是抛物线,顶点坐标为(−12,−14),解法一：函数y=x2+x的图象在顶点(−12,−14)处的切线斜率k=y′|x=−12=limΔx→0(−12+Δx)2+(−12+Δx)−(−14)Δx=limΔx→0(Δx)=0，所以抛物线在顶点处的切线方程为y=−14.过此抛物线顶点的切线是水平的直线.解法二：结合图象(图略)可知,抛物线在顶点处的切线是水平的直线,切线方程为y=−14.解题感悟导数的几何意义及其应用1.曲线的切线与曲线至少有一个公共点,其中必有一个公共点是切点,所以曲线必过切点,切线必过切点,斜率等于切点处的导数值.2.若曲线的切线方程与曲线方程联立所得的方程组可以化为一元二次方程,则可以运用一元二次方程的根的判别式等于0求切线斜率.类型2 求函数的图象过某点的切线斜率与切线方程例2 已知函数y=x3−x的图象为曲线C.（1）求曲线C在点(1,0)处的切线方程;（2）求曲线C过点(1,0)的切线方程.答案：（1）函数y=x3−x的图象在点(1,0)处的切线斜率为k=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(1+Δx)3−(1+Δx)−0Δx=limΔx→0(1+Δx)[2Δx+(Δx)2]Δx=limΔx→0(1+Δx)(2+Δx)=2,所以曲线C在点(1,0)处的切线方程为y=2x−2.（2）设函数y=x3−x图象上切点的坐标为P(x0,x03−x0),则切线斜率为k=limΔx→0[(x0+Δx)3−(x0+Δx)]−(x03−x0)Δx=limΔx→0Δx[3x02+3x0⋅Δx+(Δx)2]−ΔxΔx=limΔx→0[3x02+3x0⋅Δx+(Δx)2−1]=3x02−1.所以切线方程为y−(x03−x0)=(3x02−1)(x−x0),由于切线经过点(1,0),所以0−(x03−x0)=(3x02−1)(1−x0)，整理得2x03−3x02+1=0,即2(x03−1)−3(x02−1)=0,所以2(x0−1)(x02+x0+1)−3(x0+1)(x0−1)=0,所以(x0−1)2(2x0+1)=0,解得x0=1或x0=−12.所以P(1,0)或P(−12,38),所以切线方程为y=2x−2或y=−14x+14.解题感悟过点P(x1,y1)求曲线的切线方程步骤：（1）设切点坐标为Q(x0,y0);（2）求出函数y=f(x)在x=x0。

专题22 导数的概念及其意义、导数的运算一、单选题1．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）A ．1B ．-1C ．3D ．132．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））设函数()f x 在1x =处存在导数为2，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆（ ）.A ．23B ．6C ．13D ．123．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））函数()ln xf x e x =在1x =处的切线方程是( ) A ．()1y e x =-B ．1y ex =-C ．()21y e x =-D ．e y x =-4．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.A ．2eB ．eC ．2D ．15．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））若f ′(x 0)＝－3，则()()0003limh f x h f x h h→+--等于( )A ．－3B ．－6C ．－9D ．－126．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））已知()y f x =的导函数为()y f x '=，且在1x =处的切线方程为3y x =-+，则()()11f f '-=( ) A ．2B ．3C ．4D ．57．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<8．（2020·湖北省高二期中）若函数()cos f x a x =与()23g x x bx =++图象在交点()0,m 处有公切线，则a b m ++=（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2二、多选题9．（2020·江苏省高二期中）直线12y x b =+能作为下列（ ）函数的图像的切线. A ．1()f x x=B ．4()f x x =C ．()cos f x x =D ．()ln f x x =10．（2019·山东省高二期中）设点P 是曲线23xy e =+上的任意一点，P 点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含下列哪些（ ） A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭11．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）已知点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，则过点A 的曲线():C y f x =的切线方程是（ ）A ．640x y --=B ．470x y -+=C ．470x y -+=D ．3210x y -+=12．（2020·江苏省高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线1(0)y x x x=+>上，则点P 到直线3420x y --=的距离可以为（ ）A ．45B ．1C ．65D ．75三、填空题13．（2020·江西省石城中学高二月考（文））曲线32()44f x x x =-+在点(1,1)处的切线方程为__________．14．（2020·横峰中学高二开学考试（文））曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．15．（2020·甘肃省高三二模（文））已知曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，则tan()6a ππ-=______．16．（2020·浙江省高三其他）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线y x b =+是函数()ln f x x =的切线，也是函数()x kg x e +=的切线，则实数b =____，k =_____． 四、解答题17．（2020·江苏省邗江中学高一期中）求下列函数的导数：（1）()2cos f x x x =+ （2）2(2)()1x f x x -=+ 18．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）求下列函数的导数： （1）2(ln sin )y x x x =+； （2）2cos x xy x -=；（3）y x =.19．（2020·阳江市第三中学高二月考）已知函数()2ln f x x x x =+ （Ⅰ）求这个函数的导数()f x '； （Ⅱ）求这个函数在1x =处的切线方程.20．（2020·定远县育才学校高二月考（理））已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0,2)P ，且在点(1;(1))M f --处的切线方程为670x y -+=.（I ）求(1)f -和(1)f 的值. （II ）求函数()f x 的解析式.21．（2020·江苏省高二期中）设()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，()2()()f x h xg x +=.（1）求()5h 及()5h '； （2）求曲线()sin6y h x π=+在5x =处的切线方程.22．（2020·攀枝花市第十五中学校高二期中（文））设函数()bf x ax x-=，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.。

22年新课标二数学导数导数是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在2022年的新课标中，导数部分的内容主要包括以下几个方面：1. 导数的定义：导数描述了函数在某一点处的瞬时变化率。

如果函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处的极限存在，那么这个极限就被称为函数在\( x_0 \)处的导数，记作\( f'(x_0) \)或\( \frac{df}{dx}\bigg|_{x=x_0} \)。

2. 导数的几何意义：在几何上，导数表示了函数图像在特定点处切线的斜率。

3. 导数的基本公式：对于基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，有对应的导数公式。

例如，\( (x^n)' = nx^{n-1} \)，\( (e^x)' = e^x \)，\( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)，\( (\sin x)' = \cos x \)等。

4. 导数的运算法则：包括和差法则、乘积法则、商法则和链式法则。

这些法则使得我们可以计算复合函数的导数。

5. 高阶导数：如果函数的一阶导数本身也是一个函数，那么这个一阶导数的导数被称为二阶导数，记作\( f''(x) \)。

类似地，可以定义更高阶的导数。

6. 导数的应用：导数在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，速度是位置关于时间的导数，加速度是速度的导数。

7. 导数在优化问题中的应用：导数可以用来找到函数的最大值和最小值。

如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上一定有最大值和最小值。

8. 导数的经济意义：在经济学中，导数可以用来分析成本、收入和利润等经济量的变化趋势。

在学习导数时，重要的是理解其概念和几何意义，掌握基本的导数公式和运算法则，并能够灵活运用导数解决实际问题。

通过大量的练习，可以加深对导数概念的理解，并提高解题能力。

导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。

如果xy ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x ex'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。

<<高等数学>>教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业§1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令tt 0®0, 取比值00)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即0)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令x x x 0, 则y f (x 0x )f (x 0) f (x )f (x 0), x ®x 0相当于x ®0, 于是00)()(lim0x x x f x f x x --→ 成为 x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.导数的定义 设函数y f (x )在点x 0及其近旁有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量x时, 相应地函数y 取得增量y f (x 0x )f (x 0)， 如果当x ®0时，xy∆∆的极限存在, 则称这个极限为函数y f (x )在点x 0处的导数, 记作,0()f x , 即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000,也可记作0|x x y =',0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处有导数（即极限xyx ∆∆→∆0lim 存在），有时也说成f (x )在点x 0可导.如果极限x yx ∆∆→∆0lim不存在, 就说函数yf (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于x ®0时,xy∆∆®∞也往往说函数y f (x )在点x 0处的导数为无穷大. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果函数y f (x )在开区间（a ，b ）内的每一点都可导, 就称函数y=f (x )在开区间（a ，b ）内可导, 这时, 对于开区间（a ，b ）内的任一点x , 都对应着一个确定的导数,()f x . 这样就构成了一个以（a ，b ）为定义域的新函数, 这个新函数叫做原来函数f (x )的导函数, 简称导数，记作)(x f ',y ',dx dy , 或dxx df )(. 即 )(x f '=x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000f ¢(x 0)与f ¢(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f ¢(x )就是导函数f ¢(x )在点x x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f ¢(x )简称导数, 而f ¢(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f ¢(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f (x )在0x 的左导数:0,()fx -=lim 0x -∆→00()()f x x f x x +∆-∆; f (x )在0x 的右导数:0,()fx +=lim 0x +∆→00()()f x x f x x+∆-∆. 左导数和右导数统称为单侧导数.导数与左右导数的关系函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ¢(x 0) 和右导数f ¢(x 0)都存在且相等. 如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f ¢(a ) 和左导数f ¢(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导. .3、求导数举例例1．求函数f (x )C （C 为常数）的导数.解: hx f h x f x f h )()(lim )(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即(C ) ¢0.例2 求xx f 1)(=的导数解 h xh x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(limx x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→例3 求x x f =)(的导数 解 hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim)( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim00=++=++=→→例2．求函数f (x )x n(n 为正整数)在x a 处的导数. 解: f ¢(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n 1ax n2× × ×a n 1)nan 1.把以上结果中的a 换成x 得 f ¢(x )nx n 1, 即 (x n )¢nx n 1. (C )¢=0, 21)1(x x -=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .更一般地, 有(x )¢x 1, 其中为常数.例3．求函数f (x )sin x 的导数. 解: f ¢(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim0hh x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )¢cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )¢sin x . 例4．求函数f (x ) a x (a >0, a ¹1) 的导数. 解: f ¢(x )h x f h x f h )()(lim 0-+=→ha a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim0t t a a t x +→ a a ea x a xln log 1==. 特别地有(e x)e x.例5．求函数f (x )log a x (a >0, a ¹1) 的导数.解: hx h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim)(00-+=-+='→→ h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==.解:h xh x x f a a h log )(log lim)(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→h xa h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 a x x a ln 1)(log ='. :特殊地 xx 1)(ln ='. a x x a ln 1)(log ='xx 1)(ln ='.例6．求函数f (x )x |在x 0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h hf h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h ,因为f ¢(0)¹ f ¢(0), 所以函数f (x )|x |在x 0处不可导.二、导数的几何意义设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C 就是函数y f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x ®x 0. 如果当x ® 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即00)()(lim 0x x x f x f k x x --=→存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k tan ,其中是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.函数y f (x )在点x 0处的导数f ¢(x 0)在几何上表示曲线y f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即f ¢(x 0)tan , 其中是切线的倾角.如果y f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x x 0为极限位置, 即曲线y f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x x 0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y y 0f ¢(x 0)(x x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y f (x )在点M 处的法线如果f ¢(x 0)¹0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为 )()(1000x x x f y y -'-=-.例8. 求等边双曲线xy 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解: 21x y -=', 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121-=-==x x k , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4x y 40.所求法线方程为)21(412-=-x y , 即2x 8y 150.例9 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为x 0 则切线的斜率为0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为 )(230000x x x x x y -=-. 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--, 解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y 即3x y 40三、函数的可导性与连续性的关系定理1 如果函数y f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.设函数y f (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f xyx '=∆∆→∆存在. 则00)(lim lim limlim 00000=⋅'=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x y x x y y x x x x .这就是说, 函数y f(x)在点x0处是连续的.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7．函数3)(xxf=在区间(, )内连续, 但在点x0处不可导. 这是因为函数在点x0处导数为无穷大h fhfh )0()0(lim0-+→+∞=-=→hhhlim3.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

导数的概念与导数的四则运算2 导数与微分2.1 导数的概念与导数的四则运算⼀、导⼊新课：导数与微分是微分学的两个最基本、最重要的概念。

导数刻画的是函数相对于⾃变量的变化快慢程度，即变化率。

本节主要研究导数的概念、性质和基本求导公式。

下⾯，我们先通过两个经典实例引出导数的概念，进⽽研究导数的计算⽅法。

⼆、讲授新课： 2.1.1两个引例引例2.1.1（变速直线运动的瞬时速度）设物体作变速直线运动，路程s 关于时间t 的运动⽅程为()s s t =，试求物体在0t 时刻的瞬时速度0()v t 。

解：对于匀速运动来说，我们有速度公式：=st速度（s 表⽰经过的路程，t 表⽰所⽤的时间）。

当时间t 由0t 获得增量t ?时，路程s 有相应的增量 00()()s s t t s t ?=+?- ⽐值00()()s t t s t s t t+?-?=就是物体在0t 到0t t +?这段时间内的平均速度，记作v ，即00()()s t t s t s v t t+?-?==?? 显然，t ?越⼩，平均速度v 就越接近于物体在0t 时刻的瞬时速度。

当t ?⽆限⼩时，平均速度v 就⽆限接近于物体在0t 时刻的瞬时速度，即00000()()()lim limlim t t t s t t s t sv t v t t→?→?→+?-?===?? 引例2.1.2（平⾯曲线的切线斜率）设函数()y f x =的图像为曲线L ，考察曲线L 上某点的切线的斜率。

解：记点M 坐标为00(,())x f x ，设1(,())M x f x 为曲线L 上另⼀点，M 与1M 到x 轴的垂⾜分别为A 和B ，作MN 垂直1BM 并交1BM 于N ，则0MN x x x =?=-10()()NM y f x f x =?=- ⽽⽐值0000()()()()f x f x f x x f x y x x x x-+?-?==?-? 便是割线1MM 的斜率tan ?，当0x ?→时，1M 沿曲线L ⽆限接近于M ，割线1MM ⽆限接近于切线MT ，从⽽得到切线的斜率10000()()tan lim tan limlimM Mx xα?→?→?→+?-?===?? 2.1.2 导数的定义1）导数的定义定义 2.1.1 设函数()y f x =在点0x 的某⼀领域内有定义，当⾃变量x 在0x 处有增量x ?（0x ?≠，0x x +?仍在该领域内）时，相应地，函数有增量00()()y f x x f x ?=+?-，如果当0x ?→时，极限0000()()limlim x x f x x f x yx x ?→?→+?-?=?? 存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称该极限值为函数()y f x =在点0x 处的导数，记作0()f x '，也记为00(),x x x x df x y dx =='或x x dy dx=即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→?→+?-?'==?? 若极限不存在，则称函数()y f x =在点0x 处不可导。

5.2.1 基本初等函数的导数课标解读课标要求 素养要求1.能用导数定义求初等函数的导数；2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.1.数学运算——能计算简单函数的导数； 2.直观想象——能根据图形研究导数的几何意义.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一 常用函数的导数1.函数y =f(x)=c 的导数 因为ΔyΔx =f(x+Δx)−f(x)Δx=c−c Δx=0 ，所以y ′=limΔx→0ΔyΔx=lim Δx→00= ① 0 .2.函数y =f(x)=x 的导数 因为Δy Δx=f(x+Δx)−f(x)Δx=(x+Δx)−xΔx=1 ，所以y ′=limΔx→0ΔyΔx=lim Δx→01= ② 1 .3.函数y =f(x)=x 2 的导数 因为ΔyΔx =f(x+Δx)−f(x)Δx=(x+Δx)2−x 2Δx=x 2+2x⋅Δx+(Δx)2−x 2Δx=2x +Δx ，所以y ′=limΔx→0ΔyΔx=lim Δx→0(2x +Δx)= ③ 2x .4.函数y =f(x)=x 3 的导数 因为ΔyΔx =f(x+Δx)−f(x)Δx =(x+Δx)3−x 3Δx=x 3+3x 2⋅Δx+3x⋅(Δx)2+(Δx)3−x 3Δx=3x 2+3x ⋅Δx +(Δx)2 ，所以y ′=limΔx→0ΔyΔx=lim Δx→0[3x 2+3x ⋅Δx +(Δx)2]= ④ 3x 2 .5.函数y =f(x)=1x 的导数 因为ΔyΔx =f(x+Δx)−f(x)Δx =1x+Δx −1xΔx =x−(x+Δx)x(x+Δx)Δx =−1x 2+x⋅Δx ，所以y ′=limΔx→0ΔyΔx=lim Δx→0(−1x 2+x⋅Δx )= ⑤ −1x 2 .6.函数y =f(x)=√x 的导数 因为ΔyΔx =f(x+Δx)−f(x)Δx=√x+Δx−√xΔx=√x+Δx−√x)(√x+Δx+√x)Δx(√x+Δx+√x)=√x+Δx+√x，所以y ′=lim Δx→0ΔyΔx=lim√x+Δx+√x⑥ 2√x . 要点二 基本初等 函数的导数公式1.若f(x)=c（c为常数），则f′(x)=0；2.若f(x)=xα(α∈Q，且α≠0)，f′(x)=⑦αxα−1；3.若f(x)=sin x，则f′(x)=⑧cos x；4.若f(x)=cos x，则f′(x)=⑨−sin x；5.若f(x)=a x(a>0，且a≠1)，则f′(x)=⑩a x lna；特别地，若f(x)=e x，则f′(x)=⑪e x；6.若f(x)=loga x(a>0，且a≠1)，则f′(x)=⑫1xlna；特别地，若f(x)=lnx，则f′(x)=⑬1x.自主思考1.由y=x的导数猜想y=kx（k是常数）的导数是什么.答案：提示y=kx（k是常数）的导数为y′=k.2.求正弦曲线y=sin x在x=0处的切线方程.答案：提示由f′(x)=cos x，得f′(0)=1，故曲线y=sin x在x=0处的切线方程为y= x.名师点睛1.导函数概念：一般地，如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点处都有导数，导数值记为f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.2.关于导数的有关概念的辨析注意“函数f(x)在x=x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系：（1）导函数也简称导数.（2）函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)是一个数值，不是变量.3.对于基本初等函数的导数公式不要求推导证明，只要求记住基本初等函数的导数公式并能用于解题，如能运用导数公式求位移时间函数的瞬时速度和切线斜率等.互动探究·关键能力探究点一简单函数的导数公式与应用1.下列关于常数函数的导数的叙述正确的是( )A.若y=3，则y′=3B.若y′=3，则y=3C.若y=3，则y′=0D.若y′=0，则y=3答案：C2.已知函数f(x)=2−3x，则f′(0)的值为( )A.1B.2C.3D.-3答案：D3.函数y=x3的图象在原点处的切线方程为( )A.y=xB.y=−xC.y=0D.x=0答案：C4.函数y=1x的图象在x=1处的切线斜率为，切线与坐标轴围成的三角形的面积为.答案：-1; 2解析：函数y=1x 的导数为y′=−1x2，函数y=1x的图象在x=1处的切线斜率为k=−1x2|x=1=−1，切线方程为y−1=−(x−1)，即y=−x+2，切线与坐标轴围成的三角形的面积为S=12×2×2=2.解题感悟简单函数的导数公式及其应用（1）利用常用函数的导数公式可以计算函数在任意一点处的瞬时变化率，即导数.（2）利用常用函数的导数公式可以计算函数的图象在任意一点处的切线斜率与切线方程.（3）求函数f(x)在x=x0处的导数时，先计算导数f′(x)，再将x=x0代入，求值得到f′(x0).探究点二三角函数的导数公式与应用精讲精练例正弦曲线y=sin x在x=π2处的切线斜率为，切线方程为.答案：0; y=1解析：因为y=sin x的导数为y′=cos x，所以正弦曲线y=sin x在x=π2处的切线斜率为y′|x=π2=cosπ2=0，切线方程为y=1.变式1（2021山东烟台一中高二质检）余弦曲线y=cos x在x=π2处的切线斜率为，切线方程为.答案：-1; y=−x+π2解析：因为y=cos xy′|x=π2=−sinπ2=−1的导数为y′=−sin x，所以余弦曲线y=cos x在x=π2处的切线斜率为，所以余弦曲线在点(π2,0)处的切线方程为y=−x+π2.变式2如何求正弦曲线y=sin x的切线斜率的取值范围？答案：因为y=sin x的导数为y′=cos x，所以正弦曲线y=sin x在任意一点处的切线斜率的取值范围是y′=cos x的值域，即[−1,1].解题感悟1.掌握三角函数的导数公式(sin x)′=cos x，(cos x)′=−sin x，注意符号是易错点.2.记住特殊角的三角函数值，理解三角函数图象在某一点处的切线斜率等于对应导数在该点处的函数值.迁移应用1.计算limΔx→0sin(π3+Δx)−√32Δx=.答案：122.（2021山东枣庄高二质检）已知余弦曲线y=cos x在x=x0处的切线为l，切线l的斜率的最大值为；若l平行于x轴，则x0的值为.答案：1; kπ,k∈Z解析：因为y=cos x的导数为y′=−sin x，且−1≤−sin x≤1，所以切线l的斜率k=−sin x0的最大值为1，若l平行于x轴，则切线斜率为0，即−sin x0=0，x0的值为kπ,k∈Z.探究点三指数函数与对数函数的导数公式与应用精讲精练类型1 指数函数的导数公式与应用例1函数y=e x的图象在点P(0,1)处的切线斜率为，切线方程为. 答案：1; y=x+1解析：因为函数y=e x的导数为y′=e x，所以曲线y=e x在点P(0,1)处的切线斜率为k= y′=e x|x=0=1，切线方程为y=x+1.变式1-1函数y=2x的图象在点P(0,1)处的切线斜率为，切线方程为.答案：ln2; y=xln2+1解析：因为函数y=2x的导数为y′=2x ln2，所以曲线y=2x在点P(0,1)处的切线斜率为k=y′=2x ln2|x=0=ln2，切线方程为y−1=(ln2)(x−0)，即y=xln2+1.变式1-2e x与x+1的大小关系为.答案：e x≥x+1解析：易知函数y=e x的图象在点(0,1)处的切线方程为y=x+1，作出函数图象，如图所示，显然e x≥x+1.解题感悟1.掌握指数函数y=a x(a>0,a≠1)的导数公式y′=a x lna. 特别地，指数函数y=e x的导数公式是其本身，即(e x)′=e x.2.指数函数为单调函数，根据函数图象可知，指数函数的图象在任意一点的切线与指数函数的图象只有一个公共点，即切点.类型2 对数函数的导数公式与应用例2已知函数y=lnx的图象为曲线C.（1）求曲线C在点(1,0)处的切线方程；（2）求经过原点且与曲线C相切的直线的方程.答案：（1）函数y=lnx的导数为y′=1x，函数图象在点(1,0)处的切线斜率为k=1，所以切线方程为y=x−1.（2）设曲线C:y=lnx上切点的坐标为P(x0,lnx0)，则切线斜率为k=y′|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0(x−x0)，由于切线经过原点，所以−lnx0=1x0(−x0)=−1，解得x0=e，所以切线方程为y−lne=1e (x−e)，即y=1ex.变式2-1若本例函数不变，函数图象是否存在倾斜角是30∘的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，请说明理由.答案：假设函数y=lnx的图象存在倾斜角是30∘的切线，切点的坐标为(x0,lnx0)，依题意，得k=1x0=√33，解得x0=√3，切点坐标为(√3,ln√3)，所以切线方程为y−ln√3=√33(x−√3)，即y=√33x+ln√3−1.解题感悟（1）注意对数函数的定义域是(0,+∞)，所以对数函数图象的切点都在y轴右侧；（2）自然对数函数f(x)＝lnx的导数是有理函数，该函数图象的切线以及单调性问题是考查的重点.迁移应用1.（2021山东东营一中高二质检）已知f(x)=log2x，则f(3)+f′(1)=( )A.2B.ln2C.log23+ln2D.log2(3e)答案：D解析：已知f(x)=log2x，则f′(x)=1xln2，所以f(3)+f′(1)==log23+1ln2=log23+log2e=log2(3e).2.求经过原点且与函数y=e x的图象相切的直线方程.答案：设函数y=e x图象上的切点坐标为(x0,e x0)，切线斜率为k=e x0，切线方程为y−e x0=e x0(x−x0)，因为切线经过原点，所以0−e x0=e x0(0−x0)，解得x0=1，所以切线方程为y−e=e(x−1)，即y=ex.评价检测·素养提升课堂检测1.函数f(x)=log3x的导数为A.f′(x)=1x B.f′(x)=1xlog3eC.f′(x)=1xlge D.f′(x)=1xln3答案：D2.（2021辽宁锦州高二质检）已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)的图象经过点(e,1)（e是自然对数的底数），则f(1)+f′(1)=( )A.0B.1C.2D.e答案：B3.（多选）下列导数运算正确的是( )A.(3)′=3B.(3x)′=3C.(x3)′=3x3D.(√x)′=2√x＞0)答案：B; D4.函数y=sin x的图象在x=x0处的切线的倾斜角为45∘，则x0=.答案：2 kπ,k∈Z5.已知函数f(x)=1x，且f′(a)−f(a)=−2，则a=.答案：1或−12解析：由f(x)=1x，得f ′(x)=−1x2 ，∴f ′(a)=−1a2 ，∴f ′(a)−f(a)=−1a 2−1a ， ∴1a2+1a=2 ，解得a =1 或−12. 素养演练直观想象——利用数形结合法求参数的取值范围1.（2021海南海口高二检测）已知k 为常数，函数f(x)={x+2x−1,x ≤0,|lnx|,x ＞0, 若关于x 的函数g(x)=f(x)−kx −2 有4个零点，则实数k 的取值范围为 . 答案：(0,1e 3)解析：审：已知分段函数以及函数的零点个数，求参数的取值范围.联：将函数的零点转化为方程的根，再构造函数，结合函数的图象，由曲线的切线确定直线的位置，从而求得参数的解.因为函数g(x)=f(x)−kx −2 有4个零点，所以方程f(x)−kx −2=0 即f(x)=kx +2 有4个不等实根，所以曲线y =f(x) 与直线y =kx +2 有4个不同的交点，在同一坐标系中作出y =f(x) 与y =kx +2 的图象，如图，结合图象可知k ① ＞0 .当x ≤0 时，y =x+2x−1=1+3x−1 单调递减，其图象与直线y =kx +2 有② 1 个交点，所以当x＞0时，函数f(x)的图象与直线有3个交点，当x＞1时，若函数f(x)的图象与直线相切，设切点坐标为P(x0,lnx0)，则k=f′(x0)=1x0，所以切线方程为y−lnx0=③1x0(x−x0)，又因为点(0,2)在切线上，所以2−lnx0=1x0(0−x0)，解得x0=e3，所以k=④1e3，由函数的图象知g(x)=f(x)−kx−2有4个零点，则需满足0＜k＜1e3，故答案为(0,1e3).思：解决函数的零点个数与参数问题的方法技巧：（1）如果对应的方程可解，通过解方程即可得出参数的值或取值范围.（2）若方程不易解或不可解，则将问题转化为两个函数，利用两个函数图象的公共点求解，这样会使得问题变得直观、简单，体现了数形结合的思想方法.（3）直观想象既是一种重要的数学素养，也是常用的解题途径和方法.迁移应用1.（2021山东聊城一中高二质检）已知曲线C：y=x2，点A(0,−1)及点B(2，a），从点A观察点B，为了让视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )A.a＜1B.a＜2C.a＜3D.a＜4答案：C解析：在曲线C：y=x2上取一点D(x0,x02)(x0＞0)，∵y=x2,∴y′=2x,y′|x=x=2x0.令k AD=x02+1x0=2x0，得x0=1，此时AD所在直线与曲线C相切，点D(1,1)为切点，k AD= 2，所以AD所在直线的方程为y=2x−1.如图，要满足视线不被曲线C挡住，则实数a＜2×2−1=3.课时评价作业 基础达标练1.下列导数运算正确的是( ) A.(cos x)′=sin x B.(sin x)′=−cos x C.(log 2x)′=1x D.(lgx)′=lge x答案：D2.已知函数f(x)=3x 的导数为f ′(x) ，则f ′(log 32)= ( ) A.ln9 B.log 32 C.ln3 D.2 lg3 答案：A3.（2021北京海淀高二质检）计算lim Δx→0sin(Δx)Δx= ( )A.0B.1C.-1D.±1 答案：B4.（2021辽宁营口高二检测）曲线y =1x 的切线的倾斜角的取值范围是( ) A.(0,π2) B.(π4,π2)C.(π2,π) D.(π4,3 π4)答案：C5.下列函数的导数与函数y =x 2 的导数相等的是( ) A.y =2x B.y =x +2 C.y =x 2+1 D.y =x 2+x 答案：C6.（多选）下列命题正确的是( ) A.若f(x)=sin x ，则f ′(π2)=0B.若f(x)=sin π6 ，则f ′(x)=√32C.若f(x)=cos x ，则f ′(π6)=−12D.若f(x)=cos π6 ，则f ′(x)=−12 答案：A ; C解析：若f(x)=sin x ，则f ′(x)=cos x,f ′(π2)=0 ，选项A 正确； 若f(x)=sin π6=12 ，则f ′(x)=0 ，选项B 错误；若f(x)=cos x，则f′(x)=−sin x,f′(π6)=−12，选项C正确；若f(x)=cosπ6=√32，则f′(x)=0，选项D错误.故选AC.7.（多选）（2021山东泰安一中高二质检）已知f(x)=cos x,g(x)=x，下列满足f′(x)+ g′(x)=0的x的值为( )A.π2B.πC.3 π2D.5 π2答案：A; D解析：由f(x)=cos x,g(x)=x，得f′(x)=−sin x,g′(x)=1，结合题意得sin x=1，解得x=2kπ+π2,k∈Z，故选项A、D符合题意.8.（2021辽宁沈阳一中高二质检）若函数y=x n在x=2处的导数为12，则整数n的值为.答案：39.（2020天津河东高二质检）已知函数f(x)=2x，f(0)+f′(0)=a，则e a的值为. 答案：2e10.（2021山东淄博高二模拟）已知直线3x−y−b=0与函数f(x)=lnx的图象相切，则切点的横坐标为，实数b=.答案：13; ln(3e)解析：设直线3x−y−b=0与函数f(x)=lnx的图象相切于点P(x0,lnx0)，则切线斜率为k=f′(x0)=1x0=3，得x0=13，点P(13,ln13)，故切线方程为y−ln13=3(x−13)，即3x−y−ln(3e)=0，所以b=ln(3e).素养提升练11.下列说法不正确的是( )A.常数函数的导数都是0B.常数函数图象的切线平行于x轴C.正比例函数图象上不同两点处的切线斜率不相等D.在正比例函数图象上任意一点处的切线都是原直线答案：C解析：常数函数的图象都是水平直线，导数都是0，选项A 说法正确；由导数的几何意义知，选项B 说法正确；正比例函数图象上任意一点处的切线斜率都相等，且切线都是直线本身，选项C 说法错误，选项D 说法正确.12.（2021辽宁抚顺一中高二质检）若曲线y =x 4 的一条切线l 与直线x +4y −8=0 垂直，则l 的方程为( )A.4x −y +3=0B.x +4y −5=0C.4x −y −3=0D.x +4y +3=0答案：C解析：设切线l 与曲线的切点坐标为(x 0,y 0) ，得切线斜率为k =y ′|x=x 0=4x 03 ，由直线l 与直线x +4y −8=0 垂直，得4x 03=4 ，解得x 0=1 ，故切点坐标为(1,1)，则l 的方程为y −1=4(x −1) ，即4x −y −3=0 .故选C.13.计算lim Δx→03Δx −1Δx = .答案：ln3解析：由导数的意义，得lim Δx→03Δx −1Δx =lim Δx→030+Δx −30Δx =(3x )′|x=0=3x ln3|x=0=ln3 .14.（2021天津和平高二质检）设曲线y =x n+1(n ∈N ∗) 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+⋯+a 99 的值为 .答案：-2解析：∵y =x n+1,∴y ′=(n +1)x n ,y ′|x=1=n +1 ，∴ 曲线在点(1,1)处的切线方程为y −1=(n +1)(x −1) .令y =0 ，得x n =1−1n+1=n n+1 ，故a n =lgx n =lg n n+1=lgn −lg(n +1) ，∴a 1+a 2+⋯+a 99=(lg1−lg2)+(lg2−lg3)+⋯+(lg98−lg99)+(lg99−lg100)=lg1−lg100=−2 .15.试比较曲线y =x 2 与y =1x 在它们交点处的切线的倾斜角的大小，并说明理由.答案：解方程组{y =x 2,y =1x ,.得{x =1,y =1, 即两条曲线的交点坐标为(1,1). 对于函数y =x 2,y ′=2x ，所以曲线y =x 2 在交点(1,1)处的切线l 1 的斜率k 1=2 ； 对于函数y =1x ,y ′=−1x 2 ，所以曲线y =1x 在交点(1,1)处的切线l 2 的斜率k 2=−1 . 由于k 1＞0,k 2＜0 ，所以切线l 1 的倾斜角α1 是锐角，切线l 2 的倾斜角α2=135∘ ，所以α1＜α2 .创新拓展练16.（2021山东济宁梁山一中高二质检）已知函数f(x)=lnx的图象与y=g(x)的图象关于直线y=x对称.（1）求f′(1)+g′(0)的值；（2）分别求函数y=f(x),y=g(x)的图象经过原点的切线方程.解析：命题分析本题考查对数函数与指数函数的对称关系，考查导数的运算和几何意义，是高考考查的重点内容之一.答题要领（1）先求出函数y=g(x)的解析式，再计算导数.（2）先设出切点坐标，求导数得到切线斜率，再表示出切线方程.答案：（1）因为函数f(x)=lnx的图象与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，所以f(x)=lnx与y=g(x)互为反函数，所以g(x)=e x.由于f′(x)=(lnx)′=1x,g′(x)=(e x)′=e x，所以f′(1)+g′(0)=2.（2）设函数y=f(x)=lnx的图象的切点坐标为P(x0,lnx0)，则切线斜率为k=1x0，切线方程为y−lnx0=1x0(x−x0)，由于切线经过原点，所以−lnx0=−1，解得x0=e，故切点P(e,1)，所以切线方程为y=1ex.同理，求得函数y=g(x)=e x的图象经过原点的切线方程为y=ex.方法感悟指数函数与对数函数的关系与导数运算：1.指数函数y=a x与对数函数y=log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，二者图象关于直线y=x对称.2.求指数函数和对数函数图象上任意一点处的切线方程的方法步骤：先设出切点的坐标，再计算函数的导数，得到切线斜率，最后利用点斜式方程表示出切线方程.。