武汉大学2011-2012高数B上期末考试题解

2000～2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180学时） 专业班级 学号_______________ 姓名一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a ，试写出此微分方程及通解。

（8分）二、 设幂级数∑∞=−0)1(n n n x a在x =3处发散，在x =1处收敛，试求出此幂级数的收敛半径。

（8分） 三、 求曲面323=+xz y x 在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程 。

（10分）四、 设)(,0x f x >为连续可微函数，且2)1(=f ，对0>x 的任一闭曲线L，有0)(43=+∫L dy x xf ydx x ，求)(x f 。

（10分） 五、 设曲线L （起点为A ，终点为B ）在极坐标下的方程为36(,2sin πθπθ≤≤=r ，其中θ=6π对应起点A ，3πθ=对应终点B ，试计算∫+−L xdy ydx 。

（10分） 六、 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z −−=与平面0=z 围成，其中0>a ，Σ为Ω的表面外侧，且假定Ω的体积V 已知，计算：∫∫Σ=+−.)1(2222dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x 。

（10分）七、 函数),(y x z z =由0),(=z yy x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，求dz 。

（12分） 八、 计算∫∫∫Ω+,)(22dxdydz y x 其中Ω是由平面z =2与曲面2222z y x =+所围成的闭区域。

（12分）九、 已知级数∑∞=1n n U 的部分和arctgn S n =，试写出该级数，并求其和，且判断级数∑∞=1n n tgU的敛散性。

（12分）十、 设)(x f 连续，证明∫∫∫−−=−AA D dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(，其中A 为正常数。

D ：2||,2||A y A x ≤≤。

（8分）。

武汉大学2008–2009学年第一学期《高等数学B》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算limn→∞[︃n−n3−1n(n+2)]︃.2.计算limx→0(sin x)·ln(1+2x)1−cos2x.3.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=t+sin ty=f(x−t)f二阶可导,求d2yd x2.4.计算π/2−π/2sin x(x+cos x)d x.5.设f′(ln x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1,0<x≤1x,x>1且f(0)=0,求f(x).6.计算反常积分+∞(1+2x)e−2x d x.二.(15分)已知函数y=(x−1)3(x+1)2,求:1.函数f(x)的单调增加、单调减少区间,极大、极小值;2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.三.(12分)设有点A(3,1,−2)和直线l:x−4=y+32=z1,1.试求过点A且通过直线l的平面方程;2.求点A到直线l的距离.四.(12分)设f(x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩e2x+b,x≤0sin ax,x>0问:1.a,b为何值时,f(x)在x=0处可导;2.若另有F(x)在x=0处可导,证明F[f(x)]在x=0处可导.五.(12分)一铅直倒立在水中的等腰三角形水闸门,其底为6米,高为3米,且底与水面相齐,求:1.水闸所受的压力(水的比重为1);2.作一水平线将此闸门分为上下两部分,使两部分所受的压力相等.六.(7分)设f(x)在区间[0,1]上连续,且1f(x)d x=0,证明:对于任意正整数k,在(0,1)内至少存在一点ξ,使kξf(x)d x=f(ξ).武汉大学2009–2010学年第一学期《高等数学B 》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算lim x →0x −arctan x e x 3−12.求解微分方程y ′′−6y ′+9y =0的通解.3.计算 1−1x 2(1+√1+x 2sin x )d x4.计算 +∞0e −√x d x .5.求曲线⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩x = t 1cos u u d u y = t 1sin u u d u 自t =1到t =π2一段弧的长度.6.设y =1x 2+3x +2,求y (n ).二.(8分)已知u =e xy ,其中y =f (x )由方程y 0e t 2d t = x 20cos t d t 确定,求d u d x .三.(8分)设x 1=1,x n =1+x n 1+x n(n =1,2,···),试证明数列{x n }收敛,并求lim n →∞x n .四.(8分)证明结论:可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数,并说明此结论的几何意义.五.(15分)已知函数y =x 3+4x 2,求1.函数f (x )的单调增加,单调减少区间,极大、极小值.2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.六.(12分)已知函数y =y (x )满足微分方程y ′′−y ′=2(1−x ),且x 轴为曲线y =y (x )的过原点的一条切线,在曲线y =y (x )(x ≥0)上某B 点处作一切线,使之与曲线、x 轴所围成平面图形的面积为112,试求:1.曲线y =y (x )的方程;2.切点B 的坐标;3.由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积.七.(7分)若f (x )在[a ,b ]上连续,且f (a )=f (b )=0及f ′(a )f ′(b )>0,则f (x )在(a ,b )内至少存在一点ξ,使f (ξ)=0.武汉大学2010–2011学年第一学期《高等数学B 》试题一.计算题:(每题7分,共56分)1.求由方程ln xy =e x +y 所确定的隐函数y =y (x )的导数d y d x .2.求lim x →0√2−√1+cos x √1+x 2−1.3.求lim x →0+ x0sin t 3d tx 0cos t 2d t .4.(7分)求lim n →∞1n [︃(︃x +2n )︃+(︃x +4n )︃+···+(︃x +2n n )︃]︃.5.求不定积分 1√1+e 2xd x .6.求定积分 π/2x (1−sin x )d x .7.求方程y ′+2xy =xe −x 2的通解.8.设f ′(x )=e −x 2,lim x →+∞f (x )=0,求 +∞0x 2f (x )d x .二.(7分)证明当0<x <π2时,sin x >2πx .三.(10分)设抛物线y =ax 2+bx +c 过原点,当0≤x ≤1时,y ≥0.又已知该抛物线与x 轴及直线x =1所围成的图形的面积为13,试确定a ,b ,c 使此图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V 最小.四.(7分)试判断函数f (x )=lim n →∞x 2n −1−1x 2n +1的间断点及其类型.五.(10分)设函数f (x ),g (x )满足f ′(x )=g (x ),g ′(x )=2e x −f (x ),且f (0)=0,g (0)=2,求f (x ),g (x )的表达式.六.(10分)设函数f (x )在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f (0)+f (1)+f (2)=3,f (3)=1,试证:必存在ξ∈(0,3),使f ′(ξ)=0.武汉大学2011–2012学年第一学期《高等数学B》试题一.计算题:(每题8分,共56分)1.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=arcsin√1−t2y=1+t2,求d2yd x2.2.求limx→0e x−e sin x(x+x2)ln(1+x)arcsin x.3.已知limx→∞(︂x−ax+a)︂x=+∞a2xe−2x d x,求常数a的值.4.计算不定积分d x√ax+b+d(a 0).5.求定积分1x(1−x4)32d x.6.求解微分方程d yd x=x3y3−xy.7.设ϕ(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2xxe t2d tx,x 0a,x=0求a的值使得ϕ(x)在x=0处连续,并用导数的定义求ϕ′(0).二.(5分)设a n=(︃1+1n)︃sinnπ2,证明数列{a n}没有极限.三.(10分)设y=y(x)c满足微分方程y′′−3y′+2y=2e x,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2−x+1在该点的切线重合,求y=y(x).四.(11分)已知函数y=x−1x2+1,求函数的增减区间，凹凸区间，极值、拐点和渐近线.五.(10分)求曲线y=e x,y=sin x,x=0,x=1所围成的平面图形的面积S,并求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积.六.(8分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使f′′(ξ)=g′′(ξ).武汉大学2012–2013学年第一学期《高等数学B 》试题一.(5分)若lim x →x 0g (x )=0,且在x 0的某去心邻域内g (x ) 0,lim x →x 0f (x )g (x )=A ,则lim x →x 0f (x )必等于0,为什么？二.(8分)设f (x )=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ae x +be −x −c sin 2x ,x ∈(︁−π2,−π2)︁且x 0,1,x =0.试确定a ,b ,c 的一组值,使得f (x )在x =0处连续.三.(6分)设f (x )在x =a 处二阶可导,且f (a )=f ′(a )=0,f ′′(a )=1,求极限limx →a f (x )sin(x −a )(e x −e a )3.四.(5分)指出f (x )=11+e 1x 的间断点及其类型.五.(5分)设u ,v 均是x 的可微函数,y (x )=ln √u 2+v 2,求d y .六.(5分)求函数I (x )=x e ln t t 2−2t +1d t 在区间[e ,e 2]上的最大值.七.(5分)求 −1−2d xx √x 2−1.八.(5分)求微分方程y ′′+3y ′=cos 2x 的通解.九.(5分)若在x 0的某去心邻域内|f (x )|≤α(x ),且lim x →x 0α(x )=0,试证明:lim x →x 0f (x )=0.十.(5分)设y =y (x )由方程y =f [2x +ϕ(y )]所确定,其中f 与ϕ都是可微函数,求y ′.十一.(6分)设f (x )=lim t →∞x (︃1+1t)︃4xt ,求f ′′(x ).十二.(6分)求函数y =(x −1)3√x 2的极值.十三.(8分)求由不等式sin 3x ≤y ≤cos 3x ,0≤x ≤π4所确定的区域的面积.十四.(8分)设f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=0,对任意x ∈(0,1)有f (x ) 0,证明存在c ∈(0,1)使得n f ′(c )f (c )=f ′(1−c )f (1−c ).(n 为自然数).十五.(8分)设f (x )在[0,+∞)上连续,0<a <b .若 +∞0f (x )x d x 收敛,证明 +∞0f (ax )−f (bx )x d x =f (0)ln b a.十六.(10分)设位于第一象限的曲线y =f (x )过点⎛⎜⎜⎜⎜⎝√22,12⎞⎟⎟⎟⎟⎠,其上任意一点P (x ,y )处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分.(1)求曲线y =f (x )的方程.(2)已知曲线y =sin x 在[0,π]上的弧长为l ,试用l 表示曲线y =f (x )的弧长.。

武汉大学2009—2010学年上学期期末考试试卷《微积分（上）》解答（总学时216）一、填空题：1、!2004dx ；2、32e 3、21；4、e 1；5、1)1()!(2)1(++⨯-n n x n 。

二、选择题：1、D ；2、B ；3、D ；4、A ；5、D 。

三、讨论函数⎩⎨⎧>≤=-00)(2x xe x x x f x的单调性，并求其单调区间和极值。

解：函数的定义为),(+∞-∞，且0=x 为函数的分段点，当0<x 时，x x f 2)(='；当0>x 时，x e x x f --=')1()(；当0=x 时，1)1(lim )0(,02lim )0(0=-='=='-→+→-+-xx x e x f x f 故)0(f '不存在，令0)(='x f ，得1=x ，点1,0==x x 将),(+∞-∞分成三部份：),1(),1,0(),0,(+∞-∞在各区间内的符号如下表所示：0=x 处函数取得极小值0)0(=f ；在1=x 处函数取得极大值1)1(-=e f 。

四、当a 为何值时，函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=00])1([)(11x e x e x x f a x x 在0=x 处的连续。

解：由ae f =)0(，)0()(lim 0f e x f a x ==-→，故)(x f 在0=x 处左连续， 又记xxe x y 11]/)1[(+=，则2)1ln(]1)1[ln(1ln 1x xx x x y -+=-+=而21])1(1[lim 2121lim ln lim 201100-=+-=-=+++→+→→x x y x x x x ，故a x e f e y ===-→+)0(lim 210 所以21-=a ，故当21-=a 时)(x f 在0=x 处连续。

五、计算下列各题： 1、解:2ln 2cos 2cos 2sin 2x x xy ⋅+=';x x y x d 2d )2ln 22cos cos 2(d 2sin 22=⋅+==ππππ2、解：由：⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-x x x x x x x x x x x x x x sin cos sin sin cos sin sin cos sin 222222， 而2cos sin 1sin cos sin →+=+x xxx x x x （0→x ）。

武汉大学考研高数试卷真题武汉大学作为中国著名的高等学府，其考研数学试卷真题通常具有较高的难度和严谨性。

以下是一份模拟的武汉大学考研高数试卷真题内容，供参考：一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，且\( f'(x_0) \neq 0 \)，则在\( x_0 \)处曲线的切线斜率为：A. 0B. \( f'(x_0) \)C. \( -f'(x_0) \)D. \( f(x_0) \)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)的值为：A. 1B. 2C. 4D. 不存在3. 以下哪项不是连续函数的性质？A. 有界性B. 可积性C. 可微性D. 保号性4. 根据泰勒公式，函数\( e^x \)在\( x = 0 \)处的泰勒展开式为：A. \( 1 + x \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)C. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \)D. \( 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots \)5. 若函数\( g(x) = \ln(x) \)，则\( g^{-1}(x) \)的导数为：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( \frac{1}{1-x} \)C. \( \frac{1}{1+x} \)D. \( \frac{1}{x-1} \)二、填空题（每题5分，共20分）6. 若\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值为______。

7. 设\( y = x^3 - 3x \)，求\( y' \)的值为______。

x 2 + x x 2 + 1 x - x2y '',y ⎩⎰11武汉大学 2019-2020 第一学期高等数学 B1 期末试题 A1、（6 分）求极限lim n ⎛1 - 1 ⎫ .n →∞ n 2⎪⎝ ⎭2、（8 分） 求极限 lim ⎛- sin x ⎫ .x →+∞ x ⎪ ⎭3、（10 分）设隐函数 y (x ) 满足 y (1) = 1，由方程arctan x = ln y- 1ln 2 + π确定，2 41) 计算 ;x =1x =1 2) 函数 y (x ) 在 x = 1处是否取极值，若是，是极大值还是极小值？4、（8 分）计算不定积分 2x(x 2 + 1)(x + 1)d x .⎧⎪x = e t + t 3 5、（10 分）已知曲线⎨⎪ y = cos t 3 + sin t ，求t =0 以及t = 0 对应的点处此曲线的切线方程. 6、（9 分）计算抛物线 y = x (2 - x ) 与 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周而成的立体体积. 7、（9 分）已知如下常微分方程 y ' - 4y ' + 5y = f (x ) 有特解 y * = e x ，求此方程的通解. 8、（7 分）设可微函数 y = f (x ) 满足 f (x ) - 2 xtf (t ) d t = e x 2，求函数 f (x ) .9、（10 分）设 f (x ) = x 4 + 2kx 3 + 6x 2 + ax + b ，其中k , a ,b ∈ 为常数：1) 讨论曲线 y = f (x ) 的凸性；2) 证明：当k ∈[-2, 2]时，对任意t , s ∈ 有 f (t ) + f (s ) ≥ 2 f ⎛ t + s ⎫.2 ⎪10、（7 分）计算反常积分⎰⎝ ⎭x .11、（5 分）计算定积分 ⎰-x .12、（6 分）1）已知 f (x ) = ln(1- x 4 ) ，计算 f (2020) (0) .2）已知 g (x ) = ln(1+ x + x 2 + x 3) ，计算 g( 2020)(0) .13、（5 分）设函数 f ( x ), g (x ) 在区间[0,1]上连续，在(0,1) 内 f ( x ) 可导，且 f (0) = f (1) = 0 . 证明： 至少存在一点ξ ∈(0,1) 使得f '(ξ ) +g (ξ ) f (ξ ) = 0 .x 2 + y 2 d y d x 2 + 1 + x 2 )1 + x2⎰x 2+ x x 2 + 1 x 2+ x x 2 + 1 1+ x -1 + 1+ x -2 ( y ' -1)( y + x ) - ( y - x )( y ' +1) ( y + x )2 y ' ',y y x 1 ⎩武汉大学 2019-2020 第一学期高等数学 B1 期末试题 A 解答⎛1 ⎫ 1、（6 分）求极限lim n 1 - n ⎪ .n →∞ ⎝2 ⎭ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2n-1⎪ln 2 解： lim n 1 - n 2 ⎪ = lim n n 2 ⎪ = lim n n = ln 2 6 分n →∞ ⎝ ⎭ n →∞ ⎪ ⎝ ⎭n →∞2、（8 分） 求极限 lim ⎛- sin x ⎫ .x →+∞ x ⎪ ⎭解 ： lim - + sin x ⎫= lim- x + 1+ 0 4 分x →+∞ x ⎪ x →+∞ ⎭⎛ x -1 ⎫ ⎛ 1 - x -1⎫ 1 = lim = lim =8 分 x →+∞ x 2 + x + x 2 + 1 x →+∞ 23、（10 分）设隐函数 y (x ) 满足 y (1) = 1，由方程arctan x = ln y - 1 ln 2 + π确定，2 41) 计算 ;x =1 x =1 2) 函数 y (x ) 在 x = 1处是否取极值，若是，是极大值还是极小值？解：1) 对方程两边求导得1y - xy ' 1 2x + 2 y y ' x + yy '1 + ( x )2= y 2 2 x 2 + y 2 = 4 分x 2 + y 2整理解得： y ' x =1 =( x , y ) =(1,1)= 06 分 再次求导可得令 y ''= = - 18 分 x =1 x =12 2) 由 y ' x =1 = 0, y ' x =1= - 1 < 0 可知 x = 1 为函数的极值点，取极大值 y (1)=1. 10 分2 4、（8 分）计算不定积分 2x(x 2 + 1)(x + 1) d x .解： 2x d x = ⎛ x +1 - 1 ⎫d x = x +1 d x - 1 d x 4 分⎰ (x 2 +1)(x +1) ⎰ x 2 +1 x +1⎪ ⎰ x 2 +1 ⎰ x +1 ⎝ ⎭= ⎰ x 2 + 1 d x + ⎰ x 2 + 1d x -1 d xx + 1 = 1ln(x 2 + 1) - arctan x - ln(x + 1) + C8 分2⎧⎪x = e t+ t 35、（10 分）已知曲线⎨⎪ y = cos t 3 + sin t ，求t =0以及t = 0 对应的点处此曲线的切线方程. x 2 + xx 2 + y 2 y - xy + x d yd x ⎰ ⎰d y d xd t d t -3t 2 sin t 3 + cos te t + 3t 2-k k 2 - 4 -k + k 2- 4 ⎰ ⎰1 2 ⎰⎰1 2⎰ ⎪ 1解：由d x =e t + 3t 2 ,d y = -3t 2 sin t 3 + cos t 可得：4 分d td t= = = 1. 8 分 t =0 t =0 t =0因此， t = 0 对应的点(1,1) 处此曲线的切线方程为： y = x .10 分 6、（9 分）计算抛物线 y = x (2 - x ) 与 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周而成的立体体积.解：显然抛物线 y = x (2 - x ) 与x 轴的焦点为(0,0) 与(2,0) ，因而所求体积为： 2 分 V =2π y 2(x ) d x = 2π x 2 (2 - x )2 d x6 分= ⎰ π (x 4- 4x 3+ 4x 2) d x = π ( x - x 4+ 4x 3 ) = 16 π9 分0 5 3 0 157、（9 分）已知如下常微分方程 y ' - 4y ' + 5y = f (x ) 有特解 y * = e x ，求此方程的通解.解：该方程为常系数线性微分方程，其特征方程为：λ2- 4λ + 5 = 0 ，4 分有特征根： λ =2 ± i . 因此，对应齐次方程的通解为： Y = e 2 x(C cos x + C sin x )7 分由于非齐次方程已有特解 y * = e x ，因此原方程的通解为： y = e 2x (C cos x + C 8、（7 分）设可微函数 y = f (x ) 满足 f (x ) - 2 xtf (t ) d t = e x 2，求函数 f (x ) .解：由等式 f (x ) - 2 xtf (t ) d t = e x2可知 f (0) = 1, 对原等式两边求导可得：sin x ) + e x . 9 分 f '(x ) - 2xf (x ) = 2x e x 23 分 此等式为一阶线性微分方程，由其求解公式可得： f (x ) = e ⎰ 2 x d x⎛ e -⎰ 2 x d x (2x e x 2 )d x + C ⎫⎝ ⎭= ex 2(⎰e - x 22x e x 2d x + C )= e x 2(x 2+ C ) 5 分 由 f (0) = 1可知C = 1，即有 f (x ) = e x 2(x 2+ 1) .7 分9、（10 分）设 f (x ) = x 4 + 2kx 3 + 6x 2 + ax + b ，其中k , a ,b ∈ 为常数：1) 判断曲线 y = f (x ) 的凸性；2) 证明：当k ∈[-2, 2]时，对任意t , s ∈ 有 f (t ) + f (s ) ≥ 2 f ⎛ t + s ⎫.2 ⎪ ⎝ ⎭解： 1) f '(x ) = 4x 3 + 6kx 2 +12x + a ,f ''(x ) =12x 2 +12kx +12,4 分a) 当k 2> 4 时， f ''(x ) = 0 有根 x = , 2x = , 2 2在区间(-∞, x 1) 及区间(x 2 , +∞) 内 f ''(x ) > 0 ，因此在区间(-∞, x 1] 及区间[x 2 , +∞) 上 y = f (x ) 下凸；在区间(x 1, x 2 ) 内 f ''(x ) < 0 ，因此在区间[x 1, x 2 ] 上 y = f (x ) 上凸.d y d x 25 2x - x 2x - x 21- (x - 1 )2 42 1 - (2x -1)2x 2 + ln(x + 1 + x 2)1 + x21 + x22 1110 b) 当k 2≤ 4 时， f ''(x ) ≥ 0 ，因此在区间(-∞, +∞) 上 y = f (x ) 下凸.8 分2) 由于当k ∈[-2, 2]时，在区间(-∞, +∞) 上 y = f (x ) 下凸，由下凸的定义可知：f (t ) + f (s ) ≥ f ⎛ t + s ⎫ ，22 ⎪ ⎝ ⎭从而要证明的不等式成立.10 分1 10、（7 分）计算反常积分⎰d x .解：⎰1 d x = ⎰1d x = ⎰1d(2x -1)4 分= arcsin(2x - 1) 1-= π - ⎛ - π ⎫= π7 分22 ⎪11、（5 分）计算定积分 ⎰-1⎝⎭ d x .1解：容易验证 ln(x + 1 + x 2) 为奇函数，因此-1d x = 03 分11x 2 111 所以，⎰-1d x = 2⎰0 1 + x2d x = 2⎰0 d x - 2⎰0d x= (x - ln(x + 1+ x 2 )) |1 = - ln(1+ 2)5 分12、（6 分）1）已知 f (x ) = ln(1- x 4 ) ，计算 f (2020) (0) .2）已知 g (x ) = ln(1+ x + x 2 + x 3) ，计算 g ( 2020)(0) .解：由麦克劳林公式可知，f '(0) f '(0) f (x ) = f (0) + x + 1! 2!x 2+ x n + o (x n ) .2 分另一方面，利用ln(1 + u ) = u - 1 u 2 + + (-1)k -1 1 u k+ o (u k ) 可得2 ln(1 - x 4 ) = -x 4 - 1x 8 - 2k+ o (x 4k ) .比较 x2020的系数可得：f (2020) (0) = -1 ，即得 f (2020) (0) = -4 ⋅ 2019!. 4 分2020! 5052）由于 g (x ) = ln(1+ x + x 2 + x 3 ) = ln(1- x 4 ) - ln(1- x )，因此+x 2 + ln(x + 1 + x 2 )1 + x2ln(x + 1 + x 2 )1+ x2 1+ x 21+ x 2 + f (n )(0) n ! - 1 x 4k k 11⎰g (2020) (0) = f (2020) (0) + 2019! = -3⋅ 2019!6 分13、（5 分）设函数 f ( x ), g (x ) 在区间[0,1]上连续，在(0,1) 内 f ( x ) 可导，且 f (0) = f (1) = 0 . 证明：至少存在一点ξ ∈(0,1) 使得f '(ξ ) +g (ξ ) f (ξ ) = 0 .证明：因为 g (x ) 在区间[0,1] 上连续，因此 g (x ) 在该区间上存在原函数G (x ) (如G (x ) =⎰xg (t ) d t )，有G '(x ) = g (x ) . 做辅助函数ϕ(x ) = f (x )e G ( x ) .3 分显然ϕ(x ) 在区间[0,1] 上连续，在(0,1) 内可导，且有ϕ(0) = ϕ(1) = 0 . 由罗尔定理， 至少存在一点ξ ∈(0,1) 使得ϕ'(ξ ) = 0 ，即f '(ξ)e G (ξ ) + f (ξ)e G (ξ ) G '(ξ) = 0 ⇔ f '(ξ) +g (ξ) f (ξ) = 0.5 分。

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的根底知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。

课程名称：?高等数学?一、单项选择题〔共15分，每题3分〕1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，那么 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．假设xyz ln =，那么dz 等于〔 〕．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y yB xln ln ln .ln x xy yC y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，那么(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f 〕． 2120cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 21200cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21202cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．假设1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，那么此级数在2x =处〔 〕．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点〔1，1，2〕处的一个切线方向向量为〔 〕. A. 〔-1，3，4〕 B.〔3，-1，4〕 C. 〔-1，0，3〕 D. 〔3，0，-1〕二、填空题〔共15分，每题3分〕1．设220x y xyz +-=，那么'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，那么u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 0!n xn x e n ∞==∑，那么xxe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题〔共54分，每题6--7分〕1.〔本小题总分值6分〕设arctany z y x=, 求z x ∂∂,z y ∂∂.2.〔本小题总分值6分〕求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. 〔本小题总分值7分〕求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。

高数1(2)12级B 卷+答案制卷份数 专 业 2012级工科,本科 B 班级编号江汉大学 2012——2013 学年第 2 学期考 试 试 卷）2（Ⅰ 学 数 等 高 课程名称： 课程编号：分钟120 考试时间：卷卷一、选择题（本大题共5小题,每题3分,共15分）1. 过点(1,3)且切线斜率为2x 的曲线方程y=y(x)应满足的关系式是 ( A ) A. 'y =2x, y(1)=3 ; B. 'y =2x ; C. "y =2x ; D. "y =2x, y(1)=3. 2. 设f(x+y,x y )=x 2—y 2,则f(x,y)= ( A ) A. y y x +-1)1(2 ; B. y y x -+1)1(2 ;C. x x y +-1)1(2 ;D. xx y -+1)1(2 .3.⎰⎰≤+122),(y x dxdy y x f =4⎰⎰-1102),(x dy y x f dx 在下列情况下成立的是 ( D )A. f(-x,y)=-f(x,y) ;B. f(-x,y)=f(x,y) ;C. f(-x,-y)=f(x,y) ;D.. f(-x,y)=f(x,y)且f(x,-y)=f(x,y) .4. 设L 为圆周222a y x =+在第一象限部分,则第一类曲线积分⎰+Ly x ds e22= ( B )A.a ae π41; B.aae π21; C.a π21 ; D. a π41. 5. 下列级数中绝对收敛的有 ( C )A. ∑∞=-+-121)5()1(n n n n ; B; ∑∞=-1!2)1(2n nn n ; C. ∑∞=--1312)1(n nn n ; D. ∑∞=-+-113)1(n n n n .二、填空题（本大题共7小题,每题3分,共21分） 1. 微分方程-dx dy x2y=x 的通解为y= cx 2+x 2lnx . 2. 过点(1,1,2)且与平面x —2y+5z —1=0平行的平面方程为 x —2y+5z —9=0 .3. 设z x =y z ln ,则dz= zx z+dx -)(2z x y z +dy .4. 函数yxe z 2=在点P(1, 0)处沿从点P(1, 0)到点Q(2, —1)方向的方向导数 22-. 5. I=⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(,交换积分次序得I=⎰⎰10),(eey dx y x f dy .6. 设∑为锥面)(322y x z +=被z=0和平面z=3所截得的部分,则对面积的曲面积分⎰⎰∑+ds y x )(22= π9 . 7. 函数f(x)=ln(1+x)展开成x-2的幂级数为f(x)= ln3+∑∞=---11)32(1)1(n nn x n .三、计算题（本大题共6小题,每题8分,共48分）1. 求微分方程x y y 2sin "=+的通解.解:特征方程012=+r 解为i r i r -==21,,对应齐次方程的通解为 x c x c Y sin cos 21+=x x f 2s i n)(=,由观察法可设x a y 2sin *=,代人原方程得31-=a , 特解x y 2sin 31*-=,故所求通解为*y Y y +==x c x c sin cos 21+x 2sin 31-.2. 求过点（－3,2,5）且与两平面54=-z x 和752=--z y x 的交线平行的直线方程.解:)34(51240121k j i kj in n s ++-=---=⨯=故所求直线方程为 153243-=-=+z y x .3. 设u=f(x,y x ),其中f 具有二阶连续导数,求x u ∂∂,22x u∂∂.解: xu ∂∂=1'f +y 12'f 22x u ∂∂=)(1'f x∂∂+)1('2f y x ∂∂=……=11"f +12''2f y +22"21f y . 4. 计算I=⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω由锥面z=22y x +与z=1所围成的闭区域. 解: 用柱面坐标计算I=⎰⎰⎰πθ20101rzdz rdr d =……=41π .5. 计算曲线积分⎰-+Ly ydx dy e x 2)(sin ,其中L 是从A(1,0)沿y=221x -上到点B(－1,0)的上半椭圆.解: 由于y P ∂∂=―2,xQ ∂∂=1, 故可补线路BA 用格林公式计算. ⎰L=⎰+BAL ―⎰BA=⎰⎰--Ddxdy )]2(1[―⎰-+BAy ydx dy e x )(sin=3⎰⎰Ddxdy +0=3⨯21(21⋅⋅π)=3π .6. 求级数∑∞=1n nnx 在收敛域内的和函数并求∑∞=12n n n . 解:∑∞=1n nnx =x ∑∞=-11n n nx ,nn n a a 1lim+∞→=1收敛域为)1,1(-,令S(x)=∑∞=-11n n nx,积分得⎰xdx x S 0)(=∑∞=1n n x =x x -1=―1+x-11,求导得 ∑∞=1n n nx =2)1(x x -,―1<x<1, ∑∞=12n nn =2)211(212=-.四、应用题（6分）求原点到曲面21)(22=--z y x 上的最短距离. 解:目标函数:d 2=x 2+y 2+z 2,约束条件为: ),,(z y x ϕ=(x ―y)2―z 2―21=0 作L(x,y,z,λ)= x 2+y 2+z 2+λ[(x ―y)2―z 2―21] ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---==-==--==-+=021)(0220)(220)(2222z y x L z z L y x y L y x x L z yx λλλλ 解得 (42,―42,0)或(―42,4221,0), 故d 2=41,即d=21五、证明题（本大题共2小题,每题5分,共10分） 1. 设)(22y x xf z +=,f 为可导函数,证明：z x y x z y y z x =∂∂-∂∂. 证明：xz ∂∂= '2222)(f x y x f ++,y z ∂∂='2xyf ,代人左=z xy y x yf x z y y z x=+=∂∂-∂∂)(22=右 .六.综合题（5分）验证在区域{}0),(22>+=y x y x D ,2222222)()2()2(y x dyy xy x dx x xy y +-+--+为某函数),(y x u 的全微分,并求),(y x u .解:计算得xQ y P ∂∂=∂∂ ),(y x u ⎰+=),()0,1(y x QdyPdx =⎰⎰+yxdyy x Q dx x P 01),()]0,(=⎰-xdx x x 142+⎰+-+-ydy y x y xy x 022222)()2(=⎰⎰+-++--y y y x d y x dy y x x 0220221)(111…=122---y x y x （或),(y x u =c yx yx +--22）注：将试题答案或解答过程写在答题纸上 常用公式：1.)('"x f qy py y =++:)()(x P e x f m x λ=,可令特解xm k e x Q x y λ)(*=k=0,1,2；]sin )(cos )([)()2()1(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=,可令特解]sin )(cos )([)2()1(*x x R x x R e x y m m x k ωωλ+=, k=0,1,{}n l m ,m ax =2. 拉格朗日乘数法：目标函数：),,(z y x f u =,条件：0),,(=z y x ϕ, 求可能的极值点时,可作拉格朗日函数),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x L λϕλ+=3. 第一类曲线积分：))((),(),(βαωψϕ≤≤===t t z t y t x ,则dt t t t t t t f ds z y x f ⎰⎰Γ++=βαωψϕωψϕ)()()()](),(),([),,(2'2'2'第一类曲面积分：dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f y x D xy),(),(1)],(,,[),,(''++=⎰⎰⎰⎰∑4. 格林公式：⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(5.)11(,110<<-=-∑∞=x x x n n,)11(,)1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x x n x n n n高 等 数 学 Ⅰ（2）B 卷答 题 纸一、选择题（本大题共5小题,每题3分,共15分）1. （ ）2. （ ）3. （ ）4. （ ）5. （ ）二、填空题（本大题共7小题,每题3分,共21分）1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. .三、计算题（本大题共6小题,每题8分,共48分）1.2.3.4.5.6.四、应用题（6分）五、证明题（5分）六、综合题（5分）。

武汉大学2011 —2012学年度第 一 学期 《工程随机数学》试卷（A ）答案学院 专业 班 学号 姓名 分数一、单项选择题（共15题，每题2分，共30分）1.（a ）2. (c)3.(b)4.(d)5.(a)6.(d)7.(d)8.(d)9.(c) 10.(c) 11.(a)12.(c) 13.(b) 14.(b) 15.(b)二、填空题（共10空，每空2分，共20分）1、 P(AUB)=___0.8______.2、f(z)=___. 3、P(0<Z<1)=__0.75__.4、P{Y=4}=___0.189__.5、≤≥-}2|4{|X P __1__.6、∧p =___.7、21n /Y n /X ~ __F （n1,n2）_. 2/n Y X ~ t(n2) 8、置信区间为____⎪⎪⎭⎫⎝⎛±2/ασz n X ___. 9、E [<X(t)>]= u x (t) 。

三、计算题（共5题，每题10分，共50分）1 设随机变量（X ，Y ）概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k 。

（2）求P {X <1, Y <3} （3）求P (X <1.5}（4）求P (X+Y ≤4}解：分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x2 设随机变量（X 1，X 2）具有概率密度。

（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案高等代数2011—2012第一学期期末试卷答案课程名称:《高等代数》参考答案及评分标准（A 卷）考试(考查）：考试 时间：200 年 月 日 本试卷共7页，满分100 分； 考试时间:120 分钟答题前请将密封线内的项目填写清楚一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填入题后的括号内)。

1．在[]F x 里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B 】 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k 【 C 】A ．4B ．3C ．2D ．13．A ,B 是n 阶方阵，则下列结论成立的是 【 C 】A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠ B 。

0A A O =⇔=C ．0AB A O =⇔=或B O =D . 1||=⇔=A I A4．设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个不可逆 【 B 】A 。

2A I +B 。

A I +C ．A I -D .A5．设A 为3阶方阵，且1)(=A r ，则 【 A 】 A 。

武汉大学2020-2021第一学期高等数学B1期末试卷 A 卷1、（9分） 求极限: 011lim e 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2、（9分）已知曲线满足方程2e 0xy x y ++=，求曲线在点(0,1)-处的法线方程. 3、（10分）求由曲线e ,ln ,1,2x y y x x x ====所围成的图形的面积. 4、（10分）（1）求齐次线性微分方程20y y y ''''''--=的通解；（2）求该方程满足初始条件(0)0,(0)(0)3y y y '''===的特解.（3）对于非齐次方程221e x y y y x ''''''--=+，用待定系数法给出特解的形式（无需求出其中的待定系数的数值）.5、（9分）求极限lim nn →∞⎝⎭.6、（7分）求不定积分x .7、（7分）设2()ln(1)f x x =+，计算反常积分2()d ()+2()5f x x f x f x +∞'+⎰. 8、（7分） 求极限:2cos 1e d lim(sin )xt x tx x x -→+⎰.9、（7分）等角螺线的极坐标方程为e θρ=，在0θ=附近，其在直角坐标系下可由函数()y y x =表示，试求d d yx θ=以及220d d y x θ=. 10、（7分）计算星形线33cos ,sin x a t y a t⎧=⎪⎨=⎪⎩的弧长，其中0,[0,2]a t π>∈. 11、（7分）计算函数231sin ,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数；并讨论：是否存在0δ>，使得函数()f x 在区间(,)δδ-内单调递增？说明理由. 12、（6分）求解常微分方程：532e 0x xy y x y '++=.13、（5分）设函数()f x 在区间[],a b 上有连续的二阶导数，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈使得3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+-⎛⎫''=-+⎪⎝⎭⎰.武汉大学2019-2020第一学期高等数学B1期末试卷 A 卷 参考解答1、（9分） 求极限011lim e 1xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 解： 200011e 1e 1lim lim lim e 1(e 1)x xx x x x x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5分e 11lim 22xx x →⎛⎫-== ⎪⎝⎭ 9分2、（9分）已知曲线满足方程2e 0xy x y ++=，求曲线在点(0,1)-处的法线方程. 解：对方程2e 0xy x y ++=两边关于x 求导得：212e ()0xy y y xy ''+++=，4分 代入0,1x y ==-解得0,11x y y ==-'=.7分 因此，法线的斜率为1-,在点(0,1)-处的法线方程为：1y x =--.9分3、（10分）求由曲线e ,ln ,1,2x y y x x x ====所围成的图形的面积. 解：显然当[1,2]x ∈时有e ln x x >，因此面积()21e ln d x S x x =-⎰5分22221111e d ln d e ln d x x x x x x x =-=-⎰⎰⎰8分 222211e e ln d ln e e 2ln 21x x x x =--+=--+⎰10分4、（10分）（1）求齐次线性微分方程20y y y ''''''--=的通解；（2）求该方程满足初始条件(0)0,(0)(0)3y y y '''===的特解.（3）对于非齐次方程221e x y y y x ''''''--=+，用待定系数法给出特解的形式（无需求出其中的待定系数的数值）.解：(1) 该微分方程的特征方程为：3220λλλ--=， 4分它有特征根：00,λ=21,λ=-32,λ=故而该齐次线性微分方程的通解为：2123e e x x y C C C -=++6分 （2）代入初值条件得方程组：12323230,23,43C C C C C C C ++=-+=+=，解得：1230,1,1C C C ==-=，得微分方程的特解为：2e e x x y -=-.8分 （3）特解的形式为：2123()e x y C x C C x *=++.10分5、（9分）求极限lim nn →∞⎝⎭.解： lim ln lim 1lim een n nn n n →∞→∞⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭→∞==⎝⎭5分12eee n n n===9分6、（7分）求不定积分x .解：()21d arcsin arcsin x x x =⎰4分 1arcsin C x=-+7分7、（7分）设2()ln(1)f x x =+，计算反常积分20()d ()+2()5f x x f x f x +∞'+⎰.解： 2200()1d d ()()+2()5(()+1)4f x x f x f x f x f x +∞+∞'=++⎰⎰ 3分 2001()11ln(1)1arctan arctan2222f x x +∞+∞+++== 5分 11arctan 222π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7分8、（7分） 求极限:2cos 1e d lim(sin )xt x tx x x -→+⎰.解：22cos cos 112e d e d lim lim(sin )2xxt t x x ttx x x x--→→=+⎰⎰3分2cos 0e sin lim 4x x xx-→-= 5分11e 4-=-7分 9、（7分）等角螺线的极坐标方程为e θρ=，在0θ=附近，其在直角坐标系下可由函数()y y x =表示，试求d d yx θ=以及220d d y x θ=. 解：可以将方程改写成参数方程e cos e sin x y θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则 d d d 0d 0e cos e sin cos sin e co 1s e sin cos d n d si y xyx θθθθθθθθθθθθθθθθθθ=======+--=+4分()()222(cos sin )(cos sin )cos sin (cos sin )2s d d d 2d d d d d d d co s n 0i d c =2e os e sin d y x x x yx θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ====-+++--=-== 7分10、（7分）计算星形线33cos ,sin x a t y a t⎧=⎪⎨=⎪⎩的弧长，其中0,[0,2]a t π>∈. 解：曲线弧长220s t t ππ==⎰⎰4分220312cos sin d 6a t a t t t a ππ===⎰⎰7分11、（7分）计算函数231sin ,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数；并讨论：是否存在0δ>，使得函数()f x 在区间(,)δδ-内单调递增？说明理由.解：当0x ≠时，323131()12sincos f x x x x x'=+-，另一方面， 2301sin(0)lim1x x x x f x→+'==，因此32313112sin cos ,0()1,0x x f x x x x x ⎧+-≠⎪'=⎨⎪=⎩ 3分对任意0δ>，取0x =，显然00x δ<<且01x <，代入()f x '可得： 003()10f x x '=-<，由于导函数()f x '在0x 处连续，存在0ε>使得00[,](,)x x εεδδ-+⊂-，且()f x '在区间00[,]x x εε-+内小于0，即有()f x 在区间00[,]x x εε-+单调递减，因此，不存在0δ>，使得函数()f x 在区间(,)δδ-内单调递增.7分12、（6分）求解常微分方程：532e 0x xy y x y '++=.解：显然0y ≡是方程的特解；当0y ≠时方程两边同除以3xy 的方程：3242e 0x y y y x x--'++=， 令2z y -=，有3d d 2d d z yy x x-=-，原方程就可化为如下线性方程： 3分2442e x z y x x-'=+，用一阶线性微分方程的求解公式得：24(2e )x y z x C -==+6分13、（5分）设函数()f x 在区间[],a b 上有连续的二阶导数，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈使得3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+-⎛⎫''=-+⎪⎝⎭⎰. 证明：令()()d xaF x f t t =⎰，由于()f x 在区间[],a b 上有连续的二阶导数，因此()F x 在区间[],a b 上有连续的三阶导数，取02a bx +=，由泰勒公式得： 23010000010()()()()()()()(),(,)2!3!F x F F a F x F x a x a x a x a x ξξ''''''=+-+-+-∈23020000020()()()()()()()(),(,)2!3!F x F F b F x F x b x b x b x x b ξξ''''''=+-+-+-∈3分利用00()b x a x -=--，上述两式相减得：31201020()()()()()(),(,),(,)3!2F F b a F b F a F x b a a x x b ξξξξ''''''+-⎛⎫'-=-+∈∈ ⎪⎝⎭即有：312()()()()d ()2242baf f a b b a f x x b a f ξξ''''++-⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 由于()f x ''在区间[],a b 上连续，由介值定理可知至少存在一点(,)a b ξ∈使得12()()()2f f f ξξξ''''+''=. 因此3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+-⎛⎫''=-+⎪⎝⎭⎰. 5分。

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1.,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x xxx f d cos )(则 .2.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnnππππ.3.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)4.　）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小 （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.5.)(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.6. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

7.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdx x f x F 0)()(）高数期末考试解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.c x x +2)cos (21　.7. 2π.8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+ 0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c=-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰030()x xd e --=-+⎰⎰ 00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令 3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

武汉大学2007-2008第一学期《高等数学》期末考试试题(数统)一．试解下列各题（每小题6分，共48分） 1．计算().21ln arctan lim 30x xx x +-→2．计算()().21ln 12⎰-+dx x x3．计算积分.arctan 12⎰+∞dx xx4．已知两曲线由()x f y =与1=++y x e xy 所确定，且在点()0,0处的切线相同，写出此切线方程，并求极限.2lim 0⎪⎭⎫⎝⎛→n nf x5．设⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰.cos 21cos ,cos 2122t udu u t t y t x 试求,dx dy .|222π=t dx y d6．确定函数xt xx t x t sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛的间断点，并判断间断点的类型.7．设(),11x x y -=求().n y8．求位于曲线()0≥=-x xe y x 下方，x 轴上方之图形的面积.二．（12分）设()x f 具有二阶连续导数，且().0=a f()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.,,,a x A a x a x x f x g（1）试确定A 的值，使()x g 在a x =处连续.（2）求()x g '. （3）证明：()x g '在a x =处连续三．（15分）设()y x P ,为曲线⎩⎨⎧==.sin 2,cos :2t y t x L ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πt 上一点，作过原点()0,0O 和点P 的直线OP ， 由曲线L 、直线OP 以及x 轴所围成的平面图形记为A .（1）将y 表示为x 的函数.（2）求平面图形A 的面积()x S 的表达式. （3）将平面图形A 的面积()x S 表示成t 的函数()t S S =，并求dtdS取得最大值时 点P 的坐标.四．（15分）已知函数(),352--=x x x f 求 （1）函数()x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； （2）函数图形的凸性区间、拐点、渐进线.五．（ 10分）设函数()x f 在[]l l ,-上连续，在0=x 处可导，且().00≠'f （1）证明：对于任意()l x ,0∈，至少存在一个()1,0∈θ，使得()()()()[].0x f x f x dt t f dt t f xx θθ--=+⎰⎰-（2）求极限.lim 0θ+→x 武汉大学2008-2009第一学期《高等数学》期末考试试题一、试解下列各题：（''⨯=8756）1、求极限： 2201lim(cot )x x x→-2、已知04x →=，求极限0lim ()→x f x3、试证:若()f x 是可导的周期为l 的函数，则'()f x 也是以l 为周期的周期函数.4、求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型。

武汉理工大学考试试卷（A 卷）2011 ~2012 学年 1 学期 高等数学(A)（上） 课程 时间120分钟一、选择题（本题共5小题，每题3分） （A ；B ；D ；A ；D.） 1、当0→x 时，()f x x 的( ) 无穷小。

()A 等价 ()B 同阶 ()C 高阶 ()D 低阶解：()f x 22111()28x x o x =+-+2211[1()]()28x x o x x o x ---+=+选A 另：0000()1(1)(1)limlim 12x x x x f x x x x x →→→→+--==== 附：22(1)(1)1()2x x x o x αααα-+=+++1/22211(1)1()28x x x o x +=+-+，2211(1)1()28x x x o x α-=--+ 2、设()f x 在[1,1]-上连续，0x =是函数0()()x f t dt g x x=⎰的( ) 间断点。

()A 跳跃 ()B 可去 ()C 无穷 ()D 振荡解：0()()lim ()limlim(0)1x x x x f t dt f x g x f x→→→===⎰，而(0)g 无意义。

选B 3、设()f x 在0(,)U x δ(0)δ>内有三阶连续导数，且000()()0,()0f x f x f x ''''''==>，则下列结论正确的是（ ）。

()A 0()f x '是()f x '的极大值 ()B 0()f x 是()f x 的极大值()C0()f x 是()f x 的极小值 ()D ()00,()x f x 是曲线()y f x =的拐点解：由泰勒公式23300000000()()()()()()()()(())23!f x f x f x f x f x x x x x x x O x x ''''''=+-+-+-+- 0(,)x U x δ∈，330000()()()()(())3!f x f x f x x x O x x '''-=-+-符号由第一项决定 当0x x <时，0()()0f x f x -<，0()();f x f x <当0x x >时，0()();f x f x >0()f x 不是极值 由泰勒公式0000()()()()()f x f x f x x x O x x '''''''=+-+-， 000()()()()f x f x x x O x x '''''=-+-符号由第一项决定当0x x <时，()0f x ''<；当0x x >时，()0f x ''>0()f x 。