高一数学苏教版必修5教师用书：第2章 2.2.3 等差数列的前n项和

2．2.3 等差数列的前n 项和1.掌握等差数列的求和公式在解题中的运用．2.理解等差数列前n 项和公式的性质并会简单运用．3．初步体会等差数列前n 项和公式在实际问题中的运用．, [学生用书P26])1．数列前n 项和S n 与a n 的关系(1)S n 的记法：数列{a n }中，前n 项的和记为S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n .(2)a n 与S n 的关系：若数列的前n 项和为S n ，则通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列的前n 项和公式 (1)公式1：S n ＝n （a 1＋a n ）2．(2)公式2：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ．3．倒序相加法如果一个数列{a n }，与首末两项等距离两项之和等于首末两项之和，可采用正着写和与倒着写和的两个式子相加，就得到数列{a n }的前n 项和．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和．( ) (2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式．( ) (3)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.( ) 解析：(1)正确．由前n 项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又因为a 1＝S 1＝3，所以a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . ★答案☆：(1)√ (2)× (3)×2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则其前n 项和S n ＝________． 解析：因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n （n －1）2×1＝2n ＋n 2－n2＝n 2＋n 2＝n （n ＋1）2.★答案☆：n （n ＋1）23．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32×d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，所以S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.★答案☆：484．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝________． 解析：法一：因为{a n }是等差数列，设其公差为d ， 所以S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又因为a 10＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1. 所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.法二：因为{a n }是等差数列，所以S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，所以a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98. ★答案☆：98与等差数列前n 项和S n 有关的基本运算[学生用书P26]在等差数列{a n }中．(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ；(3)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n . 【解】 (1)由题意，得n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，所以d ＝－16.(2)由已知，得S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（4＋a 8）2＝172，解得a 8＝39，又因为a 8＝4＋(8－1)d ＝39，所以d ＝5.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋（n －1）d ，S n＝na 1＋n （n －1）2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2（n －1）＝11，na 1＋n （n －1）2×2＝35， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2结合使用．1.已知等差数列{a n }中：(1)a 1＝32，d ＝－12，S m ＝－15，求m 及a m ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d ； (3)S 5＝24，求a 2＋a 4.解：(1)因为S m ＝m ×32＋m （m －1）2×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理，得m 2－7m －60＝0，解得m ＝12或m ＝－5(舍去)， 所以a m ＝a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ·（－512＋1）2＝－1 022，得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.(3)法一：设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋5×（5－1）2d ＝24，得5a 1＋10d ＝24，a 1＋2d ＝245.所以a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485.法二：由S 5＝5（a 1＋a 5）2＝24，得a 1＋a 5＝485.所以a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝485.等差数列前n 项和性质的应用[学生用书P27]等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，求S 110.【解】 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知得 ⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10.②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，所以S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110×⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110. 法二：设S n ＝an 2＋bn . 因为S 10＝100，S 100＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.所以S n ＝－11100n 2＋11110n .所以S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.法三：数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设其公差为D ，则此数列前10项的和为10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22) ＝－120.所以S 110＝－120＋S 100＝－110.法四：因为S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90（a 11＋a 100）2＝90（a 1＋a 110）2，又S 100－S 10＝10－100＝－90，所以a 1＋a 110＝－2. 所以S 110＝110（a 1＋a 110）2＝－110.法五：由S n ＝na 1＋n （n －1）2·d ，得S n n ＝a 1＋(n －1)·d 2. 所以可建立n 与S n n 的函数关系，则点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 是直线y ＝d2·(x －1)＋a 1上的一串点，即这些点共线，从而每两点连线的斜率相等，所以点(10，10)、⎝⎛⎭⎫100，110、⎝⎛⎭⎫110，S 110110共线， 所以S 110110－110110－100＝10－11010－100，解得S 110＝－110.本题运用了等差数列前n 项和性质：S n ＝An 2＋Bn 和S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，使运算简化，同时也要注意应用函数思想．2.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之和的比为32∶27，则公差为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶S 奇＝3227，⇒⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162，由S 偶－S 奇＝6d ⇒d ＝5.★答案☆：5等差数列前n 项和的最值问题[学生用书P27]已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，前多少项的和最大，最大值为多少？ 【解】 法一：(函数法)因为a n ＝40－4n ， 所以a 1＝40－4＝36，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝36＋40－4n2·n ＝－2n 2＋38n＝－2⎣⎡⎦⎤n 2－19n ＋⎝⎛⎭⎫1922＋1922 ＝－2⎝⎛⎭⎫n －1922＋1922. 令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，所以S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2⎝⎛⎭⎫10－1922＋1922＝180. 法二：(通项法)因为a n ＝40－4n ，所以a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，所以d ＝32－36＝－4<0， 数列{a n }为递减数列．令⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎪⎨⎪⎧40－4n ≥0，40－4（n ＋1）≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.所以当n ＝9或n ＝10时，S n 最大． 所以S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 若本例中a n ＝40－4n 变为a n ＝2n －14，求该数列前n 项和S n 的最小值．解：法一：因为a n ＝2n －14，所以a 1＝－12，d ＝2. 所以a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….所以当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值． 易求S 6＝S 7＝－42， 所以(S n )min ＝－42.法二：因为a n ＝2n －14， 所以a 1＝－12.所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694.所以当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42.求等差数列前n 项和S n 的最值常用的两种方法(1)运用配方法．将S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 配方．转化为二次函数的最值问题，借助函数的单调性来解决．(2)根据项的正负来定．若a 1>0，d <0，则数列的所有正数项之和最大；若a 1<0，d >0，则数列的所有负数项之和最小．3.若等差数列5，427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的项数n的值．解：法一：根据等差数列前n 项和的公式可求得S n ＝75n －5n 214＝－514⎝⎛⎭⎫n －1522＋1 12556，所以S n 最大时，n ＝7或8.又S 7＝S 8＝20.故S n 最大时，n ＝7或8.法二：由题意知，等差数列5，427，347…的公差d ＝－57，所以a n ＝5＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－57＝40－5n 7， 令a n ＝0，得n ＝8， 又因为d ＝－57<0，所以{a n }是一个递减数列．所以n ＝7或n ＝8时， S n 取得最大值．等差数列前n 项和公式的实际应用[学生用书P27]某市在某年4月份发生疫情．据资料统计，4月1日，该市的新感染者为20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者多10人．由于该市各部门通力合作，采取隔离措施(还没有特效药问世)，使疫情的传播得到了控制．从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者少8人，到4月30日止，该市在这30天内感染该病的患者共有2 196人．问：4月几日该市新感染该病的人数最多？并求这一天的新感染人数．【解】 设从4月1日起的第n (n ∈N *，1≤n ≤30)天，感染此病的新患者人数最多．则从4月1日到4月n 日，每天的新患者人数构成一个等差数列，这个数列的首项为20，公差为10，所以，前n 天的感染者总人数就是这个数列的前n 项和S n ＝20n ＋n （n －1）2×10＝5n 2＋15n ；从4月n ＋1日开始，至4月30日，每天新感染人数也构成一个等差数列，其首项为20＋10(n －1)－8＝10n ＋2，项数为30－n ，公差为－8.故这后30－n 天的新感染人数为T 30－n ＝(30－n )(10n ＋2)＋（30－n ）（29－n ）2×(－8)＝－14n 2＋534n －3 420.从而，这个月的感染者总人数为S n ＋T 30－n ＝5n 2＋15n ＋(－14n 2＋534n －3 420)＝2 196. 化简得n 2－61n ＋624＝0， 解得n ＝13或48，因为n ∈N *，1≤n ≤30，所以n ＝13. 即该市4月13日的新感染者人数最多，这一天的新感染人数为20＋(13－1)×10＝140人．本题是一道等差数列求和的应用题，首先要根据问题给出的已知条件建立数学模型，此题是把每天新感染人数的变化规律抽象为两个等差数列问题，再用等差数列的求和公式来解决．4.沙尘暴是由于土地沙漠化引起的，根据调查，某县2011年已有一定面积的沙漠，以后每年被沙漠化的土地面积相同；该县从2012年起在沙漠上植树，改造沙漠为林地，以后每年都比上一年多植相同面积的树木，据统计，沙漠面积及每年植树面积(单位：亩)如下表：年份 沙漠面积 每年植树面积2012 25 200 1 000 201324 0001 400问：到哪一年底可以将所有沙漠改造完？解：设2011年有沙漠m 亩，以后每年被沙漠化的土地面积有y 亩，从2012年起在沙漠上每年植树面积构成等差数列为{a n }，a 1＝1 000，a 2＝1 400，公差d ＝400，则第n 年底植树面积为T n ＝1 000n ＋n （n －1）2×400＝200n 2＋800n .则第n 年底沙漠总面积为S n ＝m ＋ny －T n ＝m ＋ny －200n 2－800n .所以⎩⎪⎨⎪⎧25 200＝m ＋y －200－800，24 000＝m ＋2y －800－1 600，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝26 000，y ＝200.所以S n ＝－200n 2－600n ＋26 000，由S n ≤0，得S n ＝－200n 2－600n ＋26 000≤0， 即n 2＋3n －130≥0，解得n ≥10或n ≤－13(舍去)．故到2021年年底可以将所有沙漠改造完．1．等差数列前n 项和公式的特点(1)两个公式共涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n 项和．(2)当已知首项、末项和项数时，用公式1较为简便；当已知首项、公差和项数时，用公式2较好．(3)等差数列的五个基本量包含于三个公式(两个前n 项和公式、一个通项公式)中，简称“五量三式”知其中三个量可求另外两个量，共有10种情形，进行基本量计算时，一要注意选用公式，其中已知a n ，S n ，d 求a 1和n 时需选两个公式联立方程组求解，二要恰当运用等差数列的性质进行转化和快速计算．(4)当公差不为零时，等差数列的通用公式是关于n 的一次函数，前n 项和公式是关于n 的没有常数项的二次函数，因此前n 项和必有最大值或最小值．2．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m－S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ，①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.求{|a n |}的前n 项和． [解] 记{a n }的前n 项和为S n ，{|a n |}的前n 项和为T n . 由a 10＝23，a 25＝－22可得a 1＝50，d ＝－3. 当n ≤17，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－32n 2＋1032n ，当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 17－S n ＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. 所以当n ≤17，n ∈N *时，{|a n |}的前n 项和为－32n 2＋1032n ，当n ≥18，n ∈N *时，{|a n |}的前n 项和为32n 2－1032n ＋884.综上可知T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，32n 2－1032n ＋884，n ≥18.对于带有绝对值号的数列求和问题，应先弄清n 取什么值时a n ＞0或a n ＜0，然后求解，因此本类型题的易错点在于对n 在什么范围内取值时a n ＞0或a n ＜0的讨论．1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝________． 解析：因为{a n }是等差数列，所以a 2＋a 4＝2a 3＝1＋5，所以a 3＝3， 所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5×2a 32＝5a 3＝5×3＝15.★答案☆：152．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝__________． 解析：由题意知a 1＝2， 由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12. ★答案☆：123．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，2a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，d ＝－2，所以S 6＝6a 1＋12×6×5d ＝36＋15×(－2)＝6.★答案☆：64．在递减等差数列{a n }中，若a 1＋a 100＝0，则其前n 项和S n 取最大值时的n 的值为________．解析：因为a 1＋a 100＝a 50＋a 51＝0，且d <0，所以a 50>0，a 51<0，所以当n ＝50时，S n 取最大值．★答案☆：50, [学生用书P88(单独成册)])[A 基础达标]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，则{a n }的前n 项和S n ＝________． 解析：a 1＝2×1＋1＝3，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （3＋2n ＋1）2＝n 2＋2n . ★答案☆：n 2＋2n2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5知，6×(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. ★答案☆：133．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________． 解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.★答案☆：454．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了19层瓦片，则该斜面共铺了________块瓦片．解析：由题可知，每一层所铺瓦片数由上至下依次构成一个等差数列，设为{a n }，则a 1＝21，d ＝1，n ＝19.所以S 19＝（21＋21＋18）×192＝570，即该斜面共铺了570块瓦片． ★答案☆：5705．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .★答案☆：2A6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝________．解析：因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝210，得n ＝14. ★答案☆：147．某工厂去年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为20万元，上半年总产值为60万元，则去年全年总产值为________万元．解析：法一：设第一个月产值为a 1万元，每月产值增长d 万元，则⎩⎨⎧（a 1＋a 1＋2d ）×32＝20，（a 1＋a 1＋5d ）×62＝60，解得⎩⎨⎧a 1＝409，d ＝209. 所以全年产值为⎝⎛⎭⎫409＋409＋209×11×122＝200(万元)．法二：季度产值也按等差数列增长，且此时的公差为(60－20)－20＝20，所以全年总产值为（20＋20＋20×3）×42＝200(万元)． ★答案☆：2008．已知等差数列{a n }共有20项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为112，则公差d ＝________．解析：依题意：S 偶－S 奇＝10d ＝112－132＝－20，所以d ＝－2.★答案☆：－29．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若S n ＝242，求n .解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n （n －1）2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242， 得方程242＝12n ＋n （n －1）2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．解：(1)设{a n }的公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15， 解得a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12.(2)S n ＝n （a 1＋a n ）2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478， 所以当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.[B 能力提升]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10＝________． 解析：a n ＝2n －30，令a n <0，得n <15，即在数列{a n }中，前14项均为负数，所以S 10＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＝－102(a 1＋a 10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190. ★答案☆：1902．在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值时的自然数n 的值为________．解析：由题意得a 1＋2d ＝－a 1－8d ，所以a 1＝－5d ＞0，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－5nd ＋n （n －1）2d ＝d 2⎝⎛⎭⎫n －1122－1218d ， 又因为d ＜0，n ∈N *，所以当n ＝5或6时，S n 取最大值．★答案☆：5或63．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，所以4(a 1＋a n )＝280，所以a 1＋a n ＝70.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2×70＝210， 所以n ＝6.★答案☆：64．(选做题)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0.因为a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根．又公差d >0，所以a 3<a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， 所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ， 所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . 因为{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12(c ＝0舍去)． 经检验，c ＝－12符合题意， 所以c ＝－12.。

二、知识建构与应用
例 1 若数列 an 的前 n 项的和 S n 满足 Sn 5n2 3n ，
（1）写出它的前 3 项； （2）求数列 an 的通项公式；
例 2 已知等差数列 {an } 的项数为奇数，且奇数的和为 44 ，偶数项的和为 33 ，求此数列的 中间项及项数.
例 3 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为 40mm,满盘时直径 120 mm.已知卫生纸 的厚度为 0.1 mm,问:满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到 1m)?
例 4 教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款,它享受整存整取利率,利息免税.教育储蓄的对
象为在校四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取 3 年教育储蓄的月利率为 2.1 0 00 . (1) 欲在 3 年后一次支取本息合计 2 万元,每月大约存入多少元? (2) 零存整取 3 年期教育储蓄每月至少存入多少元?此时 3 年后本息合计约为多少(精确到 1 元)?
四、 【回顾反思】
五、作业批改情况记录及分析
【学习过程】 一、自主学习与交流反馈 问题 1 求下列等差数列的各项和： （1）1，5，9，…，401. 各项和为________； （2）- 3，- ，0，…，30. 各项和为_____； （3）0.7，2.7，4.7，…，56.7. 各项和为________； （4）-10，-9.9，-9.8，…，-0.1. 各项和为___________. 问题 2 求和：(其中
a
i 1
n
i
a1 a2 an )
（1）
(3 0.25k ) = ___________，
k 0
10
（2）
1 2n = ___________.

2019-2020学年苏教版数学精品资料课题：2.2.3 等差数列的前n 项和（1）总第____课时班级_______________姓名_______________【学习目标】1．掌握等差数列前n 项和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题.2．探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力. 【重点难点】教学重点：等差数列前n 项和公式的推导、理解及应用. 教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题. 【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题:一堆钢管共7层，第一层钢管数为4，第七层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？等差数列n a 的前n 项和公式2)(1n na a n S dn n na S n 2)1(1性质：在等差数列n a 中,m m m m m S S S S S 232,,，…成等差数列，公差为2m d ．二、知识建构与应用例1 在等差数列n a 中，(1)已知,101,3501a a 求50S ；(2)已知,21,31d a 求10S .例2 在等差数列n a 中,已知,215,23,21n n S a d 求1a 及n . 例3 在等差数列n a 中，已知第1项到第10项的和为310,第11项到第20项的和为910, 求第21项到第30项的和.三、【巩固练习】1．在等差数列n a 中(1)已知,43,7101a a 求10S ;(2)已知,2,1001d a 求50S .2．在等差数列n a 中（1）已知,15,2,11n d a 求n n S a 和；（2）已知,7,231-1n a d a ，求n S n 和;（3）已知,21,5,81n a n a 求n S d 和; （4）已知,90,12,2n n S n a 求da 和13．在等差数列,32,21,31,61中,(1)求前20项的和;(2)已知前n 项的和为2155,求n 的值. 4．在等差数列n a 中，已知，，392100168S S 试求24S . 四、【回顾反思】五、作业批改情况记录及分析。

2.2.3 等差数列的前n项和(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)掌握等差数列前n项和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题；(2)掌握等差数列前n项和的常用性质，并会用它们解决一些相关问题；(3)会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值，从而提高学生分析问题、解决问题的能力；(4)在探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力．2.过程与方法(1)通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究；(2)通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通项公式推导的过程教学是对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平．3．情感、态度与价值观(1)通过公式的推导过程，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高数学推理的能力；(2)培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力；(3)通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并解决问题．●重点、难点重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用，等差数列前n项和的常用性质及应用．难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系．为了突破重点，化解难点，在教学时要从特例出发，抓住知识的切入点，结合学生原有的知识水平和所需知识，引导学生思考：如何求等差数列的前n项和？等差数列的前n项和有何特点？通过观察、分析、比较，采取从特殊到一般的方法推证出等差数列的前n项和公式．对于等差数列前n项和的常用性质，应先引导学生回答所提问题，采取从特殊到一般的思想，发现并归纳出等差数列前n项和的常用性质；再通过例题强化学生对性质的理解和记忆．(教师用书独具)●教学建议1．求等差数列前n项和是我们在实际生活中经常遇到的一类问题，同时也是数列研究的基本问题．学生对等差数列前n项和公式的学习既是重点又是难点．为此，首先从“高斯算法”和“钢管堆放”两个实际问题出发，引导学生去观察探寻与等差数列首末两端“等距离”的两项之和有何特点？这样做，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面，使学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律．也为接下来求一般等差数列前n项和做铺垫．由于这里的思路和算法比较巧妙，蕴涵有求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列内在的规律．2．在推导等差数列前n项和公式时，由于已在前面做好铺垫，就可以引导学生自己去推导求和公式，推导结束后要注意引导学生认识公式本身结构特征．前者反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质．后者反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两者从不同角度反映了等差数列的性质．对于这两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．譬如说，两个公式的共同点是需知a1和n，不同点是前者还需知a n，后面还需知d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式．教学时，可以用熟知的梯形面积公式(给出图形)帮助学生理解和记忆．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案．(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050.高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3，…，n ，…前100项的和的问题．人们从这个算法中受到启发，用下面的方法计算1,2,3，…，n ，…的前n 项和．由1＋2＋…＋(n －1)＋n ＋n ＋(n －1)＋…＋2＋1 ＝(n ＋1)＋(n ＋1)＋…＋(n ＋1) 可知1＋2＋3＋…＋n ＝n ＋n2.这种方法能够推广到求一般等差数列的前n 项和吗？若能，试求之． 【提示】 能． ∵S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，∴2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)， ＝n (a 1＋a n )． ∴S n ＝12n (a 1＋a n )等差数列的前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d1．若数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 有何关系？ 【提示】 设等差数列的首项为a 1，公差为d .则a k ＋1＝a 1＋kd ，a 2k ＋1＝a 1＋2kd .S k ＝ka 1＋k k －2d .又S 2k －S k 为数列第k ＋1项到第2k 项这k 项的和， ∴S 2k －S k ＝k (a 1＋kd )＋k k －2d＝ka 1＋k k －2d ＋k 2d .同理，S 3k －S 2k ＝k (a 1＋2kd )＋k k －2d＝ka 1＋k k －2d ＋2k 2d .∴S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 构成等差数列，且公差为k 2d .2．若项数为偶数2n (n ∈N *)的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 偶与S 奇有何关系？ 【提示】 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n＝n a 2＋a 2n2＝n a n ＋1＋a n ＋12＝na n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝n a 1＋a 2n －12＝n ·2a n2＝na n .∴S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝nd ，S 偶S 奇＝na n ＋1na n ＝a n ＋1a n. 数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则有如下性质： (1)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列，公差为m 2d ； (2)若项数为偶数2n (n ∈N *)，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (3)若项数为奇数2n ＋1(n ∈N *)，则S 奇－S 偶＝a n ＋1，S 奇S 偶＝n ＋1n. (4)若{a n }、{b n }均为等差数列，前n 项和分别为S n 和T n ，则a mb m＝S 2m －1T 2m －1.(对应学生用书第26页)在等差数列{a n }中，前n 项和为S n .(1)已知S 8＝48，S 12＝168，求a 1和d ； (2)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (3)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.【思路探究】 (1)利用前n 项和公式，建立关于a 1、d 的方程组，解方程组求a 1、d . (2)根据前n 项和公式求a 1、d ，再求a 8和S 8.(3)先根据等差数列的性质求a 1＋a 17，再求S 17. 【自主解答】 (1)由等差数列的前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋28d ＝48，12a 1＋66d ＝168，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝4.(2)∵a 6＝S 6－S 5，∴S 6＝S 5＋a 6＝15. ∴a 1＋a 62×6＝15，即3(a 1＋10)＝15，∴a 1＝－5，∴d ＝a 6－a 15＝3，∴a 8＝a 6＋2d ＝16，S 8＝a 1＋a 82×8＝44.(3)根据等差数列的性质，有a 3＋a 15＝a 1＋a 17＝40， ∴S 17＝a 1＋a 172＝17×402＝340.1．本题第(3)问看似缺少条件，但注意到a 3＋a 15与a 1＋a 17的联系，便可以很容易地求出结果，所以应注意各元素之间的某些特殊联系．2．对于两个求和公式S n ＝n a 1＋a n2和S n ＝na 1＋n n －2d ，要根据题目的已知条件灵活选用．等差数列{a n }中，a 10＝30，S 20＝620. (1)求a n ；(2)若S n ＝242，求n .【解】 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，20a 1＋20×192d ＝620，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10. (2)由(1)知，S n ＝a 1＋a n n2＝＋2n ＋2·n ＝n 2＋11n .∴由n 2＋11n ＝242，得n ＝11或n ＝－22(舍)． 故n ＝11.在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10.求S 110.【思路探究】 思路一：利用S n ＝na 1＋n n －2d →求a 1，d →求S 110思路二：利用前n 项和性质→连续10项和成等差数列→求S 110 【自主解答】 法一 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋－2d ＝100，100a 1＋－2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.∴S 110＝110a 1＋－2d＝110×1 099100＋110×1092×(－1150)＝－110.法二 ∵{a n }是等差数列，∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列． 设其公差为D ，前10项和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.1．本题的两种解法中，法一为基本解法，运算量很大；法二利用前n 项和的性质，在新的等差数列中研究，利于思考和计算．2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…也是等差数列，利用此性质解题，往往比直接利用最基本的前n 项和公式要简捷．应当注意，在利用此性质解题时，不要误认为S k ，S 2k ，S 3k ，…是等差数列．已知含2n ＋1项的等差数列，求其奇数项的和与偶数项的和之比． 【解】 法一 设原数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ＋1，公差为d ，则a 1，a 3，a 5，…，a 2n ＋1和a 2，a 4，a 6，…，a 2n 分别也为等差数列，公差都为2d . 故S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)a 1＋n ＋n ＋－1]2·2d ＝(n ＋1)(a 1＋nd )，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝na 2＋n n －2·2d＝n (a 1＋d )＋n (n －1)d ＝n (a 1＋nd )． 故S 奇S 偶＝n ＋a 1＋nd n a 1＋nd ＝n ＋1n. 法二 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋a 1＋a 2n ＋12，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n 2，且a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n.已知等差数列{a n }中，a 1＝13且S 3＝S 11，那么n 取何值时，S n 取得最大值？并求出S n 的最大值．【思路探究】 先根据前n 项和公式求公差d ，再求出S n 的表达式，转化成二次函数在N *上的最值问题；也可求出公差d 后，利用通项公式a n 的符号解决．【自主解答】 法一 设公差为d ，由S 3＝S 11得3×13＋－2d ＝11×13＋－2d ，d ＝－2，又a 1＝13，∴S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49.∴当n ＝7时，S n 取得最大值，最大值是S 7＝49. 法二 同法一得d ＝－2，a n ＝13－2(n －1)＝15－2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧15－2n ≥0，15－n ＋，解得6.5≤n ≤7.5，∴当n ＝7时，S n 取得最大值． ∴Sn 的最大值是S 7＝a 1＋a 72＝＋15－2＝49.法三 同法一得d ＝－2又由S 3＝S 11知a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝4(a 7＋a 8)＝0.∵a 1＝13＞0，∴a 7≥0，a 8≤0，知数列的前7项和最大． ∴S 7＝7×13＋7×62×(－2)＝49.1．本题中法一利用二次函数的最值确定n 值；法二利用等差数列的通项公式确定n 值；法三利用等差数列的性质，由条件本身的特点确定n 值．2．求等差数列前n 项和的最值的常见方法： (1)方法一：利用通项公式确定n 值①若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1＜0来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1＞0来确定．(2)方法二：利用二次函数的最值确定n 值等差数列的前n 项和为S n ，当d ≠0时，点(n ，S n )是二次函数y ＝ax 2＋bx (a ≠0)上的间断点．因此可利用二次函数的最值确定n 值．本题条件改为“a 1＝25，S 17＝S 9”，结果如何？【解】 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25S 17＝S 9得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2. 则S n ＝25n ＋n n －2(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169，∴数列的前13项和最大． ∴S 13＝169.法二 同法一得d ＝－2，又a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－n －，a n ＋1＝25－2n ≤0得12.5≤n ≤13.5.∴当n ＝13时，S n 有最大值，最大值为S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169. 法三 同法一得d ＝－2， ∵a 1＝25，S 9＝S 17，∴公差d ＜0. 又S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，设a ＝d 2，b ＝a 1－d2，则S n ＝an 2＋bn (a ＜0)，其图象是二次函数f (x )＝ax 2＋bx 图象上一群孤立的点．∵S 9＝S 17，即f (9)＝f (17)，∴二次函数f (x )的图象的对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口向下，∴当x ＝13时，f (x )取得最大值． ∴数列的前13项和最大，∴S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169(对应学生用书第27页)等差数列前n 项和公式的结构特征未弄清致误两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝5n ＋134n ＋5，求a 10b 10的值． 【错解】 设S n ＝(5n ＋13)k ，T n ＝(4n ＋5)k ， 则a n ＝S n －S n －1＝5k ，b n ＝T n －T n －1＝4k ，所以a n b n ＝54，于是a 10b 10＝54.【错因分析】 由等差数列的前n 项和公式知S n ＝12n ×[2a 1＋(n －1)d ]，故S n 与n 不一定是一次函数关系，由S n T n ＝5n ＋134n ＋5可知比值S n 5n ＋13＝T n4n ＋5随着序号n 的变化而变化，不能设为常数k .【防范措施】 弄清等差数列前n 项和的函数特征，当d ≠0时，S n 是关于n 的一元二次函数(无常数项)．【正解】 设S n ＝(5n ＋13)nk ，T n ＝(4n ＋5)nk ， 则a n ＝S n －S n －1＝(10n ＋8)k ，b n ＝T n －T n －1＝(8n ＋1)k ， 所以a n b n ＝10n ＋88n ＋1，其中n ≥2.所以a 10b 10＝10×10＋88×10＋1＝43.1．基础知识：(1)数列的前n 项和概念； (2)等差数列前n 项和公式；(3)等差数列前n 项和公式与函数关系； (4)等差数列前n 项和的性质． 2．基本技能：(1)等差数列前n 项和公式的应用； (2)等差数列前n 项和性质的应用； (3)等差数列前n 项和最值的求法． 3．思想方法： (1)方程思想； (2)转化思想；(3)数形结合思想.(对应学生用书第28页)1．等差数列{a n }中，a 11＝10，则S 21＝________. 【解析】 S 21＝a 1＋a 212＝21a 11＝210.【答案】 2102．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n (n ∈N *)，则{a n }的前n 项和S n 等于________． 【解析】 由a n ＝2－3n ，得a 1＝－1，则Sn ＝n a 1＋a n 2＝n －1＋2－3n 2＝n －3n ＋2＝－32n 2＋n 2【答案】 －32n 2＋n 23．在等差数列{a n }中，a 4＝10，a 10＝－2.若S n ＝60，则n 的值为________．【解析】 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝10，a 1＋9d ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，d ＝－2.∴S n ＝n ×16＋n n －2×(－2)＝60，整理得n 2－17n ＋60＝0，∴n ＝5或n ＝12. 【答案】 5或124．已知在等差数列中，前n 项和为S n ，且S m ＝3，S 2m ＝6，求S 3m . 【解】 ∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， ∴2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，∴2×3＝3＋(S 3m －6)，∴S 3m ＝9.(对应学生用书第87页)一、填空题1．已知等差数列{a n }中，a 7＝3，则数列{a n }的前13项之和为________． 【解析】 S 13＝13a 7＝13×3＝39. 【答案】 392．(2013·汉中高二检测)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋5，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝________.【解析】 由S n ＝n 2＋2n ＋5，得S 2＝13，S 6＝53， ∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 2＝53－13＝40. 【答案】 403．(2013·微山高二检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式为a n＝________.【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2也适合上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)． 【答案】 2n (n ∈N *)4．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，则公差d ＝________. 【解析】 ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －2d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －d ＝－512，n ＋n n －2d ＝－1 022.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝4，d ＝－171.【答案】 －1715．(2013·徐州检测)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________.【解析】 设S 3＝k ，则S 6＝3k ，∴S 6－S 3＝2k .由等差数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9也成等差数列． ∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k . ∴S 9＝6k ，S 12＝10k .∴S 6S 12＝310. 【答案】3106．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 【解析】 由S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝72，∴a 5＝8.∴a 2＋a 4＋a 9＝(a 2＋a 9)＋a 4＝(a 5＋a 6)＋a 4＝a 5＋(a 6＋a 4)＝3a 5＝24. 【答案】 247．(2013·扬州检测)已知首项为正数的等差数列{a n }满足：a 2011＋a 2012＞0，a 2011a 2012＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．【解析】 ∵a 2011a 2012＜0，∴数列{a n }的项有正有负． ∵a 1＞0，∴等差数列{a n }为递减数列． ∴a 2011＞0，a 2012＜0. ∴S 4022＝a 1＋a 40222＝a 2011＋a 20122＞0，S 4023＝a 1＋a 40232＝4023×2a 20122＜0.【答案】 4 0228．(2013·无锡检测)在等差数列{a n }中，若任意两个不等的正整数k ，p ，都有a k ＝2p －1，a p ＝2k －1，设数列{a n }的前n 项和为S n ，若k ＋p ＝m ，则S m ＝________(结果用m 表示)．【解析】 ∵d ＝a k －a pk －p＝p －－k －k －p＝－2，又a k ＝a 1－2(k －1)，∴a 1＝a k ＋2(k －1)＝2p －1＋2k －2＝2(k ＋p )－3＝2m －3， ∴S m ＝ma 1＋m m －2d ＝m (2m －3)－m (m －1)＝m (m －2)＝m 2－2m . 【答案】 m 2－2m 二、解答题9．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，求S 10. 【解】 设首项为a 1，公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16， ①20a 1＋12×20×19d ＝20. ②由②得2a 1＋19d ＝2. ③ ③－①×2得15d ＝－30，∴d ＝－2. ∴a 1＝16－2d ＝20.∴S 10＝10a 1＋12×10×9d ＝200－90＝110.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n . (1)求证{a n }是等差数列；(2)求使100＜a n ＜200成立的所有项的和．【解】 (1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2×1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1. 因为n ＝1时，适合a n ＝2n ＋1，所以此数列的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 因为a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋1－(2n ＋1)＝2，所以{a n }是以a 1＝3为首项，d ＝2为公差的等差数列． (2)因为100＜a n ＜200，又由(1)得a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 所以100＜2n ＋1＜200，所以992＜n ＜1992(n ∈N *)，即50≤n ≤99(n ∈N *)，所以它们的和为S ＝S 99－S 49＝992＋2×99－(492＋2×49)＝7 500. 故满足条件的各项之和为7 500.11．数列{a n }是等差数列，a 1＝50，d ＝－0.6. (1)从第几项开始有a n ＜0?(2)求此数列前n 项和S n 的最大值．【解】 (1)因为a 1＝50，d ＝－0.6，所以a n ＝50－0.6(n －1)＝－0.6n ＋50.6(n ∈N *)． 令－0.6n ＋50.6≤0，则n ≥50.60.6≈84.3. 由于n ∈N *，故当n ≥85时，a n ＜0，即从第85项起，以后各项都小于0. (2)法一 因为d ＝－0.6＜0，a 1＝50＞0， 由(1)知a 84＞0，a 85＜0，所以S 1＜S 2＜…＜S 84，且S 84＞S 85＞S 86＞….所以S n 的最大值为S 84＝50×84＋84×832×(－0.6)＝2 108.4.法二 S n ＝50n ＋n n －2×(－0.6)＝－0.3n 2＋50.3n ＝－0.3(n －5036)2＋5032120.当n 等于最接近5036的自然数，即n ＝84时，S n 达到最大值，为S 84＝2108.4.(教师用书独具)有两个等差数列{a n }，{b n }，满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nb 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5.【思路探究】 a 1＋a 2＋…＋a n ，b 1＋b 2＋…＋b n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，因此可用等差数列前n 项和公式或其他相关性质解答．【自主解答】 法一 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2， 则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n ＝na 1＋n n －2d 1nb 1＋n n －2d 2＝a 1＋n －12d 1b 1＋n －12d 2， 则有a 1＋n －12d 1b 1＋n －12d 2＝7n ＋2n ＋3，① 又由于a 5b 5＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2，②观察①②，在①中取n ＝9， 得a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝7×9＋29＋3＝6512，故a 5b 5＝6512. 法二 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 则有A n B n ＝7n ＋2n ＋3，其中A n ＝a 1＋a n n2，B n ＝b 1＋b n n2.由于a 1＋a 9＝2a 5，即a 1＋a 92＝a 5，故A 9＝a 1＋a 92＝9a 5.同理B 9＝9b 5.故A 9B 9＝9a 59b 5，故a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512. 法三 若设两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ， 则由等差数列的性质得a n ＝a 1＋a 2n －12，b n ＝b 1＋b 2n －12，∴a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝n －a 1＋a 2n －12n －b 1＋b 2n －12＝A 2n －1B 2n －1. ∴A 2n －1B 2n －1＝a n b n ，从而a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512.等差数列的项随着序号n 的变化而变化，这是等差数列的最本质特征，而等差数列的性质则是这一特征的具体反映．利用等差数列的性质解题，就要从等差数列的本质特征入手去思考，分析题目，这样做必定获得事半功倍的效果．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使a nb n为整数的正整数n 有________个．【解析】 a nb n ＝n －a n n －b n ＝A 2n －1B 2n －1＝n －＋452n －1＋3＝7n ＋19n ＋1＝n ＋＋12n ＋1＝7＋12n ＋1. ∴n ＝1,2,3,5,11，共有5个． 【答案】 5 拓展生活中，银行存款时的零存整取问题整存整取及活期存款利息是：每期存款利息＝本金×期数×每期利率．存款到期实际所得为：本利和＝本金＋利息－应纳税额．零存整取的储蓄方式是：每月定时存入一笔相同数目的现金，到约定日期，可以取出全部本利和．规定每次存入的钱不计复利.(1)若每月存入x 元，月利率r 不变，存期为n 个月，试求到期后的本利和(不考虑利息税)．(2)若每月初存入500元，月利率为0.3%，则到第36个月末整取时的本利和是多少？【解】 (1)根据题意，第1个月存入的x 元，到期利息为x ·r ·n 元；第2个月存入的x 元，到期利息为x ·r ·(n －1)元；……；第n 个月存入的x 元，到期利息为x r 元．不难看出这是一个等差数列求和问题．各月利息之和为x r (1＋2＋3＋…＋n )＝n n ＋2xr (元)，而本金为nx 元，这样就得到本利和公式y ＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n n ＋r 2. (2)根据(1)中的公式，本利和y ＝500×⎝ ⎛⎭⎪⎫36＋36×372×0.3%＝18 999(元).。