(教师用书)高中数学 2.2.3 等差数列的前n项和教案 苏教版必修5

2.2.3 等差数列的前n项和

(教师用书独具)

●三维目标

1.知识与技能

(1)掌握等差数列前n项和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题；

(2)掌握等差数列前n项和的常用性质，并会用它们解决一些相关问题；

(3)会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值，从而提高学生分析问题、解决问题的能力；

(4)在探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力．

2.过程与方法

(1)通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究；

(2)通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通项公式推导的过程教学是对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平．

3．情感、态度与价值观

(1)通过公式的推导过程，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高数学推理的能力；

(2)培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力；

(3)通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并解决问题．

●重点、难点

重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用，等差数列前n项和的常用性质及应用．

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系．

为了突破重点，化解难点，在教学时要从特例出发，抓住知识的切入点，结合学生原有的知识水平和所需知识，引导学生思考：如何求等差数列的前n项和？等差数列的前n项和有何特点？通过观察、分析、比较，采取从特殊到一般的方法推证出等差数列的前n项和公式．对于等差数列前n项和的常用性质，应先引导学生回答所提问题，采取从特殊到一般的思想，发现并归纳出等差数列前n项和的常用性质；再通过例题强化学生对性质的理解和记忆．

(教师用书独具)

●教学建议

1．求等差数列前n项和是我们在实际生活中经常遇到的一类问题，同时也是数列研究的基本问题．学生对等差数列前n项和公式的学习既是重点又是难点．为此，首先从“高斯算法”和“钢管堆放”两个实际问题出发，引导学生去观察探寻与等差数列首末两端“等距离”的两项之和有何特点？这样做，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面，使学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律．

也为接下来求一般等差数列前n项和做铺垫．由于这里的思路和算法比较巧妙，蕴涵有求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列内在的规律．

2．在推导等差数列前n项和公式时，由于已在前面做好铺垫，就可以引导学生自己去推导求和公式，推导结束后要注意引导学生认识公式本身结构特征．前者反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质．后者反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两者从不同角度反映了等差数列的性质．对于这两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．

教师应引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．譬如说，两个公式的共同点是需知a1和n，不同点是前者还需知an，后面还需知d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式．

教学时，可以用熟知的梯形面积公式(给出图形)帮助学生理解和记忆．

●教学流程 错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!

(对应学生用书第25页)

课标解读

1.掌握等差数列前n项和的公式，并能运用公式解决一些简单问题．(重点)

2.体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系．(难点)

等差数列的前n项和公式

【问题导思】

200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：

1＋2＋3＋…＋100＝？

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案．

(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050.

高斯的算法实际上解决了求等差数列 1,2,3，…，n，…

前100项的和的问题．人们从这个算法中受到启发，用下面的方法计算1,2,3，…，n，…的前n项和．由

1＋2＋…＋(n－1)＋n＋n＋(n－1)＋…＋2＋1

＝(n＋1)＋(n＋1)＋…＋(n＋1)

可知1＋2＋3＋…＋n＝n＋n2.

这种方法能够推广到求一般等差数列的前n项和吗？若能，试求之．

【提示】 能．

∵Sn＝a1＋a2＋…＋an，

Sn＝an＋an－1＋…＋a1，

∴2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)，

＝n(a1＋an)．

∴Sn＝12n(a1＋an)

等差数列的前n项和公式

Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－2d

等差数列前n项和的性质

【问题导思】

1．若数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m有何关系？

【提示】 设等差数列的首项为a1，公差为d.则ak＋1＝a1＋kd，a2k＋1＝a1＋2kd.

Sk＝ka1＋kk－2d.

又S2k－Sk为数列第k＋1项到第2k项这k项的和，

∴S2k－Sk＝k(a1＋kd)＋kk－2d

＝ka1＋kk－2d＋k2d.

同理，S3k－S2k＝k(a1＋2kd)＋kk－2d

＝ka1＋kk－2d＋2k2d.

∴Sk，S2k－Sk，S3k－S2k构成等差数列，且公差为k2d.

2．若项数为偶数2n(n∈N*)的等差数列{an}的前n项和为Sn，则S偶与S奇有何关系？

【提示】 S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n ＝na2＋a2n2

＝nan＋1＋an＋12＝nan＋1，

S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1

＝na1＋a2n－12

＝n·2an2＝nan.

∴S偶－S奇＝nan＋1－nan＝nd，S偶S奇＝nan＋1nan＝an＋1an.

数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，则有如下性质：

(1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列，公差为m2d；

(2)若项数为偶数2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1.

(3)若项数为奇数2n＋1(n∈N*)，则S奇－S偶＝an＋1，S奇S偶＝n＋1n.

(4)若{an}、{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn和Tn，则ambm＝S2m－1T2m－1.

(对应学生用书第26页)

等差数列前n项和公式的应用

在等差数列{an}中，前n项和为Sn.

(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；

(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；

(3)已知a3＋a15＝40，求S17.

【思路探究】 (1)利用前n项和公式，建立关于a1、d的方程组，解方程组求a1、d.

(2)根据前n项和公式求a1、d，再求a8和S8. (3)先根据等差数列的性质求a1＋a17，再求S17.

【自主解答】 (1)由等差数列的前n项和公式，

得 8a1＋28d＝48，12a1＋66d＝168，解得 a1＝－8，d＝4.

(2)∵a6＝S6－S5，∴S6＝S5＋a6＝15.

∴a1＋a62×6＝15，即3(a1＋10)＝15，

∴a1＝－5，∴d＝a6－a15＝3，

∴a8＝a6＋2d＝16，S8＝a1＋a82×8＝44.

(3)根据等差数列的性质，有a3＋a15＝a1＋a17＝40，

∴S17＝a1＋a172＝17×402＝340.

1．本题第(3)问看似缺少条件，但注意到a3＋a15与a1＋a17的联系，便可以很容易地求出结果，所以应注意各元素之间的某些特殊联系．

2．对于两个求和公式Sn＝na1＋an2和Sn＝na1＋nn－2d，要根据题目的已知条件灵活选用．

等差数列{an}中，a10＝30，S20＝620.

(1)求an；

(2)若Sn＝242，求n.

【解】 (1)设{an}的公差为d，则由已知得

 a1＋9d＝30，20a1＋20×192d＝620，解得 a1＝12，d＝2.

∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋10.

(2)由(1)知，Sn＝a1＋ann2＝＋2n＋2·n＝n2＋11n.

∴由n2＋11n＝242，得n＝11或n＝－22(舍)．

故n＝11.

等差数列前n项和性质的应用

在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.

【思路探究】 思路一：利用Sn＝na1＋nn－2d→求a1，d→求S110

思路二：利用前n项和性质→连续10项和成等差数列→求S110

【自主解答】 法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则

 10a1＋－2d＝100，100a1＋－2d＝10，解得 a1＝1 099100，d＝－1150.

∴S110＝110a1＋－2d

＝110×1 099100＋110×1092×(－1150)＝－110.

法二 ∵{an}是等差数列，

∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列．

设其公差为D，前10项和10S10＋10×92·D＝S100＝10，得D＝－22，

∴S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120.

∴S110＝－120＋S100＝－110.

1．本题的两种解法中，法一为基本解法，运算量很大；法二利用前n项和的性质，在新的等差数列中研究，利于思考和计算．

2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也是等差数列，利用此性质解题，往往比直接利用最基本的前n项和公式要简捷．应当注意，在利用此性质解题时，不要误认为Sk，S2k，S3k，…是等差数列．

已知含2n＋1项的等差数列，求其奇数项的和与偶数项的和之比．

【解】 法一 设原数列为a1，a2，a3，…，a2n＋1，公差为d，

则a1，a3，a5，…，a2n＋1和a2，a4，a6，…，a2n分别也为等差数列，公差都为2d.

故S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝(n＋1)a1＋n＋n＋－1]2·2d＝(n＋1)(a1＋