(人教B版)高二数学必修5课件：2.2.2等差数列的前n项和(一)

课题 2.3等差数列的前n项和（一）

课型

新授课 [来源:]

课时：

1

授课时间：

教 学

目 标

知识与技能：

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其获取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

过程与方法：

通过对等差数列前n项和公式的学习，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

情感态度与价值观：

会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

教学

重点 等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学

难点 灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．

教学

手段 多媒体辅助教学

教学方法 先学后教，讲练结合

教 二次备课 学

过

程 一、复习引入：1．等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：（1） （2） （3）

=pn+q (p、q是常数)3．几种计算公差d的方法：① － ② ③

4．等差中项：成等差数列5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )

6．数列的前n项和：数列中，称为数列“小故事”1、2、3目,老师说: “现在给大家出道题目:过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法． 二、讲解新课：

1．等差数列的前项和公式1：

4.2.2等差数列的前n项和公式（2）

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（2）

数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。

数列是培养学生数学能力的良好题材。等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。

课程目标 学科素养

A.等差数列掌握等差数列前n项和的性质及应用.

B.会求等差数列前n项和的最值. 1.数学抽象：等差数列前n项和公式

2.逻辑推理：等差数列前n项和公式与二次函数

3.数学运算：等差数列前n项的应用

4.数学建模：等差数列前n项的具体应用

重点： 求等差数列前n项和的最值

难点： 等差数列前n项和的性质及应用

多媒体

教学过程 教学设计意图

核心素养目标

一、 课前小测

1．思考辨析

(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也是等差数列．( )

(2)若a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大．( )

(3)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)√

2．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )

A．9 B．10 C．11 D．12

B [∵S奇S偶＝n＋1n，∴165150＝n＋1n.∴n＝10.故选B项．]

3．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________.

15 [由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)解得S6＝15.]

2.3 等差数列的前n项和

一、教学目标：

知识技能目标：1.掌握等差数列前n项和公式； 2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;

3.会简单运用等差数列前n项和公式.

过程与方法： 1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；

2. 通过公式的运用体会方程的思想。

情 感 态 度： 结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.

二、教学重点难点：

教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用.

教学难点：在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.

三、教学策略及设计

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

四. 教法、学法

本课采用“探究——发现”教学模式． 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.

学生的学法突出探究、发现与交流.

五.教学过程

教学过程设计为六个教学环节：（如下图）

指导思想：就是从特殊到一般，由具体到抽象，类比归纳总结出指导等差数列前n项和公式的倒序相加法，然后引导学生认识和熟记公式并活应用，同时在应用过程中体会方程的思想方法。

四、教学过程： 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图

复习旧知识，引入新知

归纳抽象形成概念

温故知新，提出问题

1.明确数列前n项和的定义，开门见山确定本节课中心任务:

对于数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用sn表示，记 sn=a1+a2+a3+…+an，

如 S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+……+a7

学生回答，引导温故知新。 由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。

2.2.2 等差数列的前n项和(二)

[学习目标] 1.把握等差数列与其前n项和Sn有关的一些性质，能娴熟运用这些性质解题.2.把握可以转化为等差数列的数列求和问题.3.会用等差数列的相关学问解决简洁的实际问题．

[学问链接]

假如已知数列{an}的前n项和Sn的公式，如何求它的通项公式？假如一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列肯定是等差数列吗？

答 若n＝1时，a1＝S1，

若n≥2时，an＝Sn－Sn－1，

对于Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，

当c＝0时，{an}是等差数列，当c≠0时，{an}不是等差数列．

[预习导引]

等差数列前n项和的性质

(1)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋)是等差数列，其公差等于k2d.

(2)若在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值．若在等差数列{an}中，a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

(3)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，

则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1.

(4)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，S奇S偶＝nn－1.

要点一 等差数列前n项和性质的应用

例1 已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，求S3m.

解 方法一 设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有：  ma1＋mm－12d＝30， ①2ma1＋2m2m－12d＝100， ②

②－①，得ma1＋m3m－12d＝70，

所以S3m＝3ma1＋3m3m－12d

＝3[ma1＋m3m－12d]＝3×70＝210.