2016-2017学年华东师大版九年级数学上册第24章解直角三角形检测题及答案

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于A. B. C. D.2、如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是( )A.1B.C.D.23、如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（）A.2B.C.D.4、在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA＝，则∠A的度数是A.30°B.45°C.60°D.90°5、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1，2，3B.3，4，5C.3，1，1D.3，4，76、已知等腰三角形的周长为20厘米，底边长为厘米，腰长为厘米，与的函数关系式为，那么自变量的取值范围是（）A. B. C. D.7、如图，AB切⊙O于点B，OA＝2 ，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）A. B. C.π D.8、在Rt△ABC中，如果，那么表示的( )A.正弦B.正切C.余弦D.余切9、如图，，是角平分线上一点，，垂足为，点是的中点，且，如果点是射线上一个动点，则的最小值是（）A.1B.C.2D.10、已知是锐角三角形，若，则（）A. B. C. D.11、如图，正方形ABCD的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C 重合），且∠DPE=90°，PE交AB于点E，设BP=x，BE=y，则y关于x的函数图象大致是（）A. B. C. D.12、如图，的直径垂直于弦，垂足是点，，，则弦的长为（）A. B. C. D.13、如图，半径为4的与含有角的直角三角板ABC的边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与相切时，该直角三角板平移的距离为A.2B.C.4D.14、如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（）A. B. C. D.15、在△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=，则边AC的长是( )A.2B.６C.D.2二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在直角坐标系中，四边形OACB为菱形，OB在x轴的正半轴上，∠AOB=60°，过点A的反比例函数y= 的图像与BC交于点F，则△AOF的面积为________.17、在△ABC中，AB＝2 ，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接CD，则线段CD的长为 ________．18、如图，在一次测绘活动中，小华同学站在点A的位置观测停泊于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为________米．19、如图，P为长方形外一点且.若长方形的面积为，那么的面积是________ .20、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，点D以每秒1cm的速度从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止。

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，，与相交于点.有下列结论：① ；② ；③ ；④.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.42、如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（）.A. B. C. D.3、如图，中，，，，若，则的长为（）A.6B.C.7.5D.104、如图，⊙O直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足M，OM：OD＝3：5，则AB 的长是（）A. cmB. cmC. cmD. cm5、等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( )A.16B.18C.20D.16或206、△ABC中，∠B=90°，AC=，tan∠C=，则BC边的长为（）A.2B.2C.D.47、以长为8cm、6cm、10cm、4cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、如图，小明站在某广场一看台C处，测得广场中心F的俯角为21°，若小明身高CD＝1.7米，BC＝1.9米，BC平行于地面FA，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝10.5米，则看台底端A点距离广场中心F点的距离约为（）米．（参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）A.8.9B.9.7C.10.8D.11.99、如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，对角线 OB、AC 相交于 D 点，已知 A点的坐标为（10，0），双曲线 y= （ x＞0 ）经过 D 点，交BC 的延长线于 E 点，且OB•AC=120（OB＞AC），有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E 点的坐标是（4，6）；③sin∠CO A= ；④EC= ；⑤AC+OB=8 ．其中正确的结论有（）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个10、如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A. B. C. D.11、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD、DE、BE,则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD=BE；④CD=BD.其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④12、两根木棒分别长5cm、7cm，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形．如果第三根木棒的长是偶数（单位：cm），则一共可以构成不同的三角形有（）A.4个B.5个C.8个D.10个13、三角形两条边分别为3和7，则第三边可以为（）A.9B.3C.2D.1014、下列长度的各组线段中可组成三角形的是( )A.1，2，3B.2，3，5C.3，3，6D. ，，15、以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四条线段中的三条线段为边可以画出三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A 时，则点M运动路径的长为________．17、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为________．18、如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶AD宽5米，坝高10米，斜坡CD的坡角为45°，斜坡AB的坡度i=1：1.5，那么坝底BC的长度为________米．19、如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为________米.20、如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC= ，则BC的长为________．21、已知三角形的两边长是3和4，周长是偶数，则这样的三角形的第三边是________．22、如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.25m，则玲玲的身高约为________ m．（精确到0. 01m）（参考数据：sin55°≈0.8192，cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）.23、将一张长方形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在点，已知，，则折痕DE的长为________（用含a的式子表示）．24、如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上。

第24章 解直角三角形检测题（本检测题满分:120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题2分，共24分） 1.计算:tan 45° + Sin 30° =（ ）2. 在直角三角形ABC 中，已知ZC = 9O% ZA = 40o, BC = 3,则AC = （） A. 3sin 40oB. 3sin 50oC. 3taιι 40oD. 3tail 50°3. （2013 <江温州中考）如图，在ZMBC 中，ZC=903AB = 5,3C = 3,则Sin A 的値是（）c∙l4•如图•四边形個S 是梯形，AD//BC. Ci 是Z 万C 的平分线，且ABLAa ZIg1, Q6,则 tan B≡（ ） 5.如图.Rt △遊中，ΛB = 9,BC = 6,ZB = 90o,将△磁折叠，使月点与庞的中点Q 重合. 折痕为MV,则线段Ey 的长为（）7.已知AD//BC^ AB 丄AP ，点E,点尸分别在射线初，射线兀上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于对称，AC 与3D 相交于点G •则（） A. 1+ tan ZADB = V∑C. ZAEB+22? = ZDEFA-2C. 一l + √3 2β∙iA. 2y 3B. 2vr2c∙τ第3題图C.4D. 56.在△/!恭中, 若三边 BU CA,曲满足 BC ： CA ： AB=5 : 12 : 13,则 COS 庆（12 13 D.Z13B. 2BC = 5CF D. 4cosZAGB = >∕62第5题图B第8题图第9题图8•河堤横断面如图所示，堤高於6 m,迎水坡曲的坡比为1 : v J,则曲的长为（A. 12 InB. 4√3 mC. 5√3 mD. 6√3 m9•如图∙ 一个小球由地而沿着坡度/=1：2的坡面向上前进了 10 m,此时小球距离地面的髙 度为（ ）•310.如图，在菱形ABCD 中，DE 丄ΛB ∙ cosA = - , BE=2,贝IJtanZDBE 的值是（）第17题图16. 已知等腰三角形的腰长为2,腰上的A. 5 mB. 2A /5 mA. 1B-2 c∙T11.已知直角三角形两直角边长之和为7,而积为6,则斜边长为（A. 5B- √37C. 712•如图•已知：45o<ZJ<90o,则下列各式成立的是（ ）A. Sin A=COS AB. Sin A>cos AC. Sin Λ>tan A->填空题（每小题3分，共18分）D. Sin A<cos A13•比较大小：8cos 31° _______ 届.（填“>—二”或 “V”）14. 如图，在△月氏中，Z 血¢30° , AB^Aa 肋是證边上的中线，Z M 决丄ZBAC 9CE 交朋于点E …交AD 于点氏若Be=‰则前的长 2 为 ___________ ・ 15. 如图，小兰想测量南塔的髙度，她在A 处仰望塔顶，测得仰角为 30° ,再往塔的方向前进50 m 至B 处，测得仰角为60° ,那么塔髙约为 ____________ 血（小兰身髙忽略不计，≈ 1.732）第Iel 题)高为1,则它的底角等于 ___________ ・17.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的宜角三角形围成的，^AC =6, SC = 5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ________________________________ •18•在Rt△遊中，ZC二90° , AB^2BG现给出下列结论：①Sin A=—:②COS 5=1 ：③tan A=—:④tan 5=75 ,2 2 3苴中正确的结论是 ____________ •（只需填上正确结论的序号）三、解答题（共78分）19 （8分）计算下列各题:ω√2(2cos45β-s in60β)+^; (2) (-2)° -3tan30β+1√3 - 24 I21.（10分）如图.在一笔直的海岸线2上有乩万两个观测站，月在万的正东方向，AB-2 （单位：加）・有一艘小船在点P处，从E测得小船在北偏西60°的方向，从万测得小船在北偏东45°的方向・（1）求点P到海岸线』的距离：（2）小船从点尸处沿射线汕的方向航行一段时间后，到达点Q处，此时，从万测得小船在北偏西15°的方向•求点Q与点万之间的距离.（上述2小题的结果都保留根号）22.（10分）如图，为了测量某建筑物切的髙度，先在地面上用测角仪自月处测得建筑物顶部的仰角是30° ,然后在水平地而上向建筑物前进了 IoOllb此时自万处测得建筑物顶部的仰角是45°・已知测角仪的高度是1. 5 m,请你计算出该建筑物的髙度•（取√323.（8 分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC. AB = CD = AD. BDLCD.（1）求SinZDBC的值：（2）若BC长度为4 cm,求梯形ABCD的而积.24.（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点Q处测得树的顶端川的仰角为37° ,Q20 m,求树的高度月3（参考数据：Sin 37 ≈0.60, COS 37 ≈0.80, tan 37 ≈0.75 ）25.（10分）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟30 m的速度沿着仰角为60。

华东师大版九上数学24章《解直角三角形》单元测试题（含答案）解直角三角形测试题一. 选择题：（每小题2分，共20分）1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（） A.43 B.34 C. 53 D. 352. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（） A. 21 B. 33 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（）A.EGEF G =sin B. EF EH G =sin C. FGGH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（）A. sin65°<cos26°< p="">B. sin65°>cos26°C. sin65°=cos26°D. sin65°+cos26°=16. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（）A. B. C. D.7. 在△ABC 中，∠C=90°，52sin =A ，则sinB 的值是（） A.32 B.52 C.54 D. 521 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（）米2A. 150B.375C. 9D. 79. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）A. 7米B. 9米C. 12米D. 15米10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. αsin 1B. αcos 1 C. αsin D. 1 二. 填空题：（每小题2分，共10分） 11. 已知0°<α<90°，当α=__________时，21sin =α，当α=__________时，Cota=3.12. 若，则锐角α=__________。

第24章《解直角三角形》单元测试参考答案一．选择题（每小题3分，共24分）1答案：D．解：由α为锐角，且sinα=，得cosα===，tanα===，故选：D．2．答案：D．解：在直角△OAC中，OC=2，AC=3，则OA===，则sin∠AOB===．故选D．3．答案：A．解：在Rt△BDC中，BF=CF，∴DF=BC，Rt△ABC中，AE=CE，∴BE=AC，∵BC＜AC，∴BE＞DF，故选：A．4．答案：D．解：A、==3，是无理数；B、4π是无理数；C、sin45°=是无理数；D、==2，是有理数；故选D．5．答案：C．解：∵sin∠CAB===，∴∠CAB=45°．∵==，∴∠C′AB′=60°．∴∠CAC′=60°﹣45°=15°，鱼竿转过的角度是15°．故选：C．6．答案：C．解：作ME⊥OB于E，∵MD⊥OB，∠OMD=75°，∴∠MOD=15°，∵OM平分∠AOB，∴∠AOB=2∠MOD=30°，∵MC∥OB，∴∠ECM=∠AOB=30°，∴EM=MC=4，∵OM平分∠AOB，MD⊥OB，ME⊥OB，∴MD=ME=4，故选：C．7．答案：B．解：连接AH，CH，∵在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中点，∴AH=CH=BD．∵点G时AC的中点，∴HG是线段AC的垂直平分线，∴∠EGH=90°．∵∠BEC=80°，∴∠GEH=∠BEC=80°，∴∠GHE=90°﹣80°=10°．故选B．8．答案：C．解：如图：过点M作MN⊥AC于点N，根据题意得：∠MAN=60°﹣30°=30°，∠BCM=75°，∠DCA=60°，∴∠MCN=180°﹣75°﹣60°=45°，设MN=x米，在Rt△AMN中，AN==x（米），在Rt△CMN中，CN==x（米），∵AC=1000米，∴x+x=1000，解得：x=500（﹣1），∴AN=x≈634（米）．故选C．二．填空题（每小题3分，共24分）9．答案：55°．解：∵sinα=cos35°，∴α=90°﹣35°=55°，故答案为55°．10．答案：．解：∵A（﹣1，3），∴OA=，∴角α的余弦值为=；故答案为：．11．答案：0°＜∠A＜45°．解：∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵sinA＜，∴0°＜∠A＜45°．12．答案：．解：∵AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，∴∠BDA=∠ADC=90°，∴∠CBE=∠DAC，∵∠ADC=90°，AD=4，AC=6，∴CD=，∴sin，∴sin∠EBC=，故答案为：．13．答案：．解：令α=45°，β=30°，则sin15°=×﹣×，=．故答案为：．14．答案：1﹣．解：∵30°＜α＜β＜90°，∴cosβ＜cosα，cosβ＜．∴原式=|cosβ﹣cosα|+cosβ﹣+1﹣cosα=﹣cosβ+cosα+cosβ﹣+1﹣cosα=1﹣．故答案为：1﹣．15．答案：150a.解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m，∵AB=20m，∴S△ABC=AB×CD=×20×15=150m2，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格为150a 元．故答案为：150a．16．答案：．解：如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F．∵∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，∴CF=DF=m，EF=DFtan60°=（m）．∵，∴（m）．三．解答题（８个小题，共72分）17. 解：（1）原式=4×﹣×+×=1+3；（2）原式=•+（）2﹣+2×=+﹣+=1+．18. 解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB=10，sinB==，∴=，∴AD=6，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2，∴CD2=（2）2﹣62=16，∴CD=4，∴tanC===；（2）在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，∴由勾股定理得BD=8，由（1）得CD=4，∴BC=BD+CD=12．19. 解：∵点E是Rt△ABC，Rt△ACD斜边AC的中点，∴BE=DE=AC=CE，DE⊥AC，∴∠ACB=∠EBC，∠BDE=∠EBD，又∵∠ACB=30°，∴∠AEB=∠EBC+∠ECB=30°+30°=60°∴∠BED=∠BEA+∠DEA=60°+90°=150°∴∠BDE=（180°﹣∠BED）=（180°﹣150°）=15°．20. 解：如图，PQ⊥AB于点C．∵在Rt△QBC中，QC：BC=5：12，∴设QC=5x米，BC=12x米，∵BQ=13米，∴（5x）2+（12x）2=132，∴x=±1（负值舍去），∴QC=5米，BC=12米．∵AB=8米，∴AC=AB+BC=20米．∵tanα=0.75，∴=0.75，即=0.75，∴PC=15．∴PQ=PC﹣QC=15﹣5=10米．答：香樟树PQ的高度为10米．21.解：如图，作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．在Rt△ABE中，sin，∴mm在Rt△ADF中，cos，∴mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．22．解：（1）作AD⊥OC，易知台风中心O与A市的最近距离为AD的长度，∵由题意得：∠DOA=45°，OA=60km，∴AD=DO=60÷=60km，∵60＞50，∴A市不会受到此台风的影响；（2）作BG⊥OC于G，∵由题意得：∠BOC=30°，OB=80km，∴BG=OB=40km，∵40＜50，∴会受到影响，如图：BE=BF=50km，由题意知，台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，∴EG==30km，∴EF=2EG=60km，∵风速为40km/h，∴60÷40=1.5小时，∴影响时间约为1.5小时．23. 解：过点N作NF⊥AE于点F，则四边形NDEF为矩形，ND=EF，设BF=x米，在Rt△BMF中，∵∠BMF=30°，∴MF=BF=x，∵MN=10米，∴NF=x﹣10，∵∠ANF=45°，∴AF=NF=x﹣10，∴x﹣10+1.7=18.7，解得：x=9，则AB=AF﹣BF=17﹣9．即广告屏幕AB的长度为（17﹣9）米．24．解：（1）△A1A2B2是等边三角形，理由如下：连结A1B2．∵甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，∴A1A2=30×=10，又∵A2B2=10，∠A1A2B2=60°，∴△A1A2B2是等边三角形；（2）如图，∵B1N∥A1A2，∴∠A1B1N=180°﹣∠B1A1A2=180°﹣105°=75°，∴∠A1B1B2=75°﹣15°=60°．∵△A1A2B2是等边三角形，∴∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．在△B1A1B2中，∵A1B2=10，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，∠A2A1B2=60°，由阅读材料可知，=，解得B1B2==，所以乙船每小时航行：÷=20海里．。

华师大版九年级上册第２４章解直角三角形单元考试题姓名： ，成绩： ；一、选择题（4×12=48分）１、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）A ． 3cmB ．6cmC ．cm D ．cm２、如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）A ．12B ．5 C ．10 D ．253、在Rt △ABC 中，∠C=90°，则表示（ ）A ．sinAB ．cosA C．sinB D ．以上都不４、小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是（ ）C DA325５、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=512，则sinA=（ ） A 、1213 B 、512 C 、135 D 、513CBA６、已知∠A 为锐角，且sinA ≤21，则（ ） Ａ、0°≤A ≤60° B 、60°≤A ＜90° C 、0°＜A ≤30° D 、30°≤A ≤90° ７、在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A=55°，则直角边BC 的长是（ ）A ．msin55°B ．mcos55°C ．sin 55m︒D ．cos55m︒8、一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ） A ．米2B ．米2C ．（4+）米2D ．（4+4tan θ）米29、在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ）Ａ、锐角三角形; Ｂ、 直角三角形; Ｃ、钝角三角形; Ｄ、等腰三角形.10、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD ）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF 的坡比i=1：2．下列说法正确的是（ ）Ａ、ＡＢ的长为４００米； Ｂ、ＡＦ的长为１０米； Ｃ、填充的土石方为19200立方米； Ｄ、填充的土石方为384立方米１１、如图，△ABC 中AB=AC=4，∠C=72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE ⊥AB ，则cosA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12、如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB 的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4二、填空题（４×６＝２４分）１３、直角三角形斜边上的中线长是2.5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为．１４、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．15、若某人沿坡度i=3：4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的的位置升高 m。

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的一棵树的高度．下午课外活动时他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高（）m．A.3.04B.4.45C.4.75D.3.82、已知：如图，⊙O的半径为9，弦AB⊥半径OC于H，sin∠BOC＝，则AB 的长度为（）A.6B.9C.12D.33、如图为张小亮的答卷，每个小题判断符合题意得20分，他的得分应是（）A.100分B.80分C.60分D.40分4、如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）A.asinx+bsinxB.acosx+bsinxC.asinx+bcosxD.acosx+bcos x5、如图，已知一坡面的坡度i=：，则坡角α为（）A.15°B.20°C.30°D.45°6、在中，，若，则（）.A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，且E是AC的中点.若AD=6，DE=5，则CD的长等于（）A.5B.6C.7D.88、如果一个等腰三角形的两边长分别是4cm和6cm，那么此三角形的周长是（）A.14cmB.16cm或14cmC.17cmD.16cm9、如图，是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12m，∠A ＝30°，则立柱BC的长度为（）A.4 mB.6 mC.8 mD.12 m10、如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，则⊙O的半径为（）A.2B.C.2﹣D.111、如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A.2B.C.1D.12、如果三角形的两边长分别为3和5，则第三边L的取值范围是( )A.2<L<15B.L<8C.2<L<8D.10<L<1613、已知a＞b＞c＞0，则以a，b，c为三边组成三角形的条件是（）A.b+c＞aB.a+c＞bC.a+b＞cD.以上都不对14、一等腰三角形的底边长为5，周长被一腰上的中线分成的两部分的差为3，则腰长为（）A.2cmB.3cmC.8cmD.2cm或8cm15、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①作出AD的依据是SAS；②∠ADC=60°③点D在AB的中垂线上；④S△DAC ：S△ABD=1：2．A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，点为的AB边上的中点，点E为AD的中点，为正三角形，给出下列结论，① ,② ，③，④若，点是上一动点，点到、边的距离分别为，，则的最小值是3.其中正确的结论是________（填写正确结论的番号）17、若两个三角形的相似比为2∶3，则这两个三角形周长的比为________ ．18、如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY 上移动，其中AB=10，那么点O到顶点A的距离的最大值为________.19、如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则cosα＝________.20、如图，已知点B在数轴负半轴上，O为原点，点A在过O且垂直于数轴的直线上，∠BAO＝60°，AB＝4，点C在数轴上，当ΔABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C表示的数为________.21、方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________．22、如图，现有一张矩形纸片ABCD，其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点B′，那么B′、C两点之间的距离是________ cm．23、如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i= ，则AC的长度是________cm．24、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，若AB＝4，AC＝3，则cos∠BAD的值为________.25、在等腰三角形中，它的两边长分别为和则它的周长为________ ．三、解答题(共5题，共计25分)26、先化简，再求值：，其中.27、已知菱形ABCD的周长为48cm，两个邻角∠A与∠B的比是1：2，求这个菱形的面积．28、如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.29、如图，在某建筑物AC上，挂着“魅力湖州”的宣传条幅BC，小明站在点F 处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长（小明的身高不计）．30、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AB的垂直平分线DE交AB于D，交BC于E，若CE＝3cm，求BE的长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、B4、B5、C6、C7、D8、B9、B10、B11、A12、C13、A14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、30、。

九年级数学上学期：第24章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，若OP 与x 轴正半轴的夹角为α，下列结论正确的是( A )A ．tan α＝43B ．tan α＝45C ．sin α＝35D ．cos α＝542．(三明中考)如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( A )A ．m sin35°B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35° ,第2题图) ,第5题图),第7题图)3．计算6tan 45°－2cos 60°的结果是( D )A ．4 3B ．4C ．5 3D ．54．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为( D ) A.1213 B.512 C.1312 D.1255．如图，网格中的小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠A 的正弦值是( D )A.3510B.12C.255D.556．如果∠A，∠B 均为锐角，且2sin A －1＋(3tan B －3)2＝0，那么△ABC 是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 7．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，堤高BC ＝10 m ，则坡面AB 的长度是( C )A ．15 mB ．20 3 mC ．20 mD ．10 3 m8．如图，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C ，D ，且AC ＝3，BD ＝6，CD ＝11，则tan α的值为( D )A.113B.311C.911D.119,第8题图) ,第9题图),第10题图)9．江津四面山是国家5A 级风景区，里面有一个景点被誉为亚洲第一岩——土地神岩，土地神岩壁画高度从石岩F 处开始一直竖直到山顶E 处，为了测量土地神岩上壁画的高度，小明从山脚A 处，沿坡度i ＝0.75的斜坡上行65米到达C 处，在C 处测得山顶E 处仰角为26.5°，再往正前方水平走15米到达D 处，在D 处测得壁画底端F 处的俯角为42°，壁画底端F 处距离山脚B 处的距离是12米，A ，B ，C ，D ，E ，F 在同一平面内，A ，B 在同一水平线上，EB ⊥AB ，根据小明的测量数据，则壁画的高度EF 为(精确到0.1米，参考数据：sin 26.5°≈0.45，cos 26.5°≈0.9，tan 26.5°≈0.5，sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.9)(A)A ．49.5米B ．68.7米C ．69.7米D ．70.2米10．如图，从点A 处观测一山坡上的电线杆PQ ，测得电线杆顶端P 的仰角是45°，向前走6 m 到达B 点，测得电线杆顶端P 和底端Q 的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ 的高度(A) A ．6＋2 3 B ．6＋ 3 C ．10－ 3 D ．8＋ 3二、填空题(每小题3分，共24分)11．计算：tan 45°－13(3－1)0＝__23__． 12．如图，某山坡的坡面AB ＝200米，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC 的长为__100__米．13．如图，∠B ＝∠C，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AB 于F ，∠ADE 等于140°，∠FED ＝__50°__．,第12题图) ,第13题图),第14题图)14．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝6 cm ，sin A ＝35，则菱形ABCD 的面积是__60__cm 2.15．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，则BE EC 的值是__33__． 16．如图，△ABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(0，4)，(3，0)，且∠ACB＝90°，∠B ＝30°，则顶点B 的坐标是__(3＋43，33)__．,第15题图) ,第16题图),第18题图)17．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为__23＋5或23－5__．18．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5 米，宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(2≈1.4)三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1)(－12)0＋(13)－1·23－|tan 45°－3|； (2)24sin 45°＋cos 230°－12·tan 60°＋2sin 60°.解：2＋3 解：1＋53620．(8分)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．解：121321．(8分)(2018·岳阳)图1是某小区入口实景图，图2是该小区入口抽象成的平面示意图．已知入口BC 宽3.9米，门卫室外墙AB 上的O 点处装有一盏路灯，点O 与地面BC 的距离为3.3米，灯臂OM 长为1.2米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM ＝60°.(1)求点M 到地面的距离；(2)某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD 保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．(参考数据：3≈1.73，结果精确到0.01米)解：(1)如图，过M 作MN⊥AB 于N ，交BA 的延长线于N ，在Rt △OMN 中，∠NOM ＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝12OM＝0.6，∴NB＝ON＋OB＝3.3＋0.6＝3.9，即点M到地面的距离是3.9米．(2)取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9－2.55－0.65＝0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P.∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝GPOP＝33，∴GP＝33OP＝1.73×0.73≈0.404，∴GH＝3.3＋0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．22．(10分)(2018·铁岭)如图，某地质公园中有两座相邻小山．游客需从左侧小山山脚E处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶C处，然后既可以沿水平观光桥步行到景点P 处，也可以通过滑行索道到达景点Q处，在山顶C处观测坡底A的俯角为75°，观测Q处的俯角为30°，已知右侧小山的坡角为30°.(图中的点C，E，A，B，P，Q均在同一平面内，点A，Q，P在同一直线上)(1)求∠CAP的度数及CP的长度；(2)求P，Q两点之间的距离．(结果保留根号)解：(1)∵PC∥AB，∴∠APC＝∠PAB＝30°，∴∠CAP＝180°－75°－30°＝75°，∴∠CAP＝∠PCA，∴PC＝AP，过P作PF⊥AB于F，则PF＝CE＝100，∴PA＝2PF＝200米，∴PC＝PA＝200米．(2)∵∠PCQ＝∠QPC＝30°，∴CQ＝PQ.过Q作QH⊥PC于H，∴PH＝12PC＝100，∴PQ＝PHcos30°＝20033米．答：P，Q两点之间的距离是20033米．23．(8分)(2018·镇江)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度．(精确到0.1米，参考值：2≈1.41，3≈1.73)解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6 m，HF＝GE＝8 m，MF＝BE，HN＝GD，MN＝BD＝24 m，设AM＝x m，则CN＝x m，在Rt△AFM中，MF＝AMtan45°＝x1＝x，在Rt△CNH中，HN＝CNtan30°＝x33＝3x，∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋3x－24，即8＝x＋3x－24，解得x≈11.7，∴AB＝11.7＋1.6＝13.3 m，答：教学楼AB的高度AB长13.3 m.24.(12分)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A ，B 两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C 处海域．如图所示，AB ＝60(6＋2)海里，在B 处测得C 在北偏东45°的方向上，A 处测得C 在北偏西30°的方向上，在海岸线AB 上有一灯塔D ，测得AD ＝120(6－2)海里．(1)分别求出A 与C 及B 与C 的距离AC ，BC ；(结果保留根号)(2)已知在灯塔D 周围100海里范围内有暗礁群，我在A 处海监船沿AC 前往C 处盘查，途中有无触礁的危险？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)过点C 作CE⊥AB 于点E ，可得∠CBD ＝45°，∠CAD ＝60°，设CE ＝x ，在Rt△CAE 中，AE ＝CE·tan30°＝33x ，在Rt △BCE 中，BE ＝CE ＝x ，∵AB ＝60(6＋2)海里，∴x ＋33x ＝60(6＋2)，解得x ＝606，则AC ＝233x ＝1202，BC ＝2x ＝1203，答：A 与C 的距离为1202海里，B 与C 的距离为1203海里．(2)过点D 作DF⊥AC 于点F ，在△AD F 中，∵AD ＝120(6－2)，∠CAD ＝60°，∴DF ＝ADsin60°＝1802－606≈106.8＞100，故海监船沿AC 前往C 处盘查，无触礁的危险．25．(12分)如图，已知斜坡AB 长602米，坡角(即∠BAC)为45°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA 的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE.(1)若修建的斜坡BE 的坡比为3∶1，求休闲平台DE 的长是多少米？(2)一座建筑物GH 距离A 点33米远(即AG ＝33米)，小亮在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM)为30°，点B ，C ，A ，G ，H 在同一个平面内，点C ，A ，G 在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH 高为多少米？解：(1)∵FM∥CG ，∴∠BDF ＝∠BAC ＝45°.∵斜坡AB 长602，D 是AB 的中点，∴BD ＝30 2.在△BDF 中，DF ＝BD ·cos ∠BDF ＝30，BF ＝DF ＝30.∵斜坡BE 的坡比为3∶1，∴BF EF ＝31，∴EF ＝103，∴DE ＝DF －EF ＝30－103，即休闲平台DE 的长是(30－103)米． (2)设GH ＝x 米，则MH ＝GH －GM ＝x －30，DM ＝AG ＋AP ＝33＋30＝63.在Rt △DMH 中，tan30°＝MH DM ，即x －3063＝33，解得x ＝30＋213，则建筑物GH 的高为(30＋213)米．。

第24章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(2，1)，则tan α的值是( C ) A.55 B. 5 C.12D ．2(第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图)2．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比为1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( A )A ．53米B ．102米C ．15米D ．10米3．如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点M ，N 分别为OB ，OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为( B ) A.12 B.22 C.32D ．1 4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AC 的长为( C )A ．3 B.165 C.203 D.1635．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝( D )A ．4B ．5C ．2 3 D.833(第5题图) (第6题图) (第9题图) (第10题图)6．如图，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 7．式子2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的值是( B )A ．23－2B ．0C ．2 3D ．28．李红同学遇到了这样一道题：3tan (α＋20°)＝1，你认为锐角α的度数应是( D )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°9．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC.能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组10．如图，某人在大楼30米高(即PH ＝30米)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡角i 为1∶3，点P ，H ，B ，C ，A 在同一个平面上，点H ，B ，C 在同一条直线上，且PH ⊥HC.则A ，B 两点间的距离是( B )A ．15米B ．203米C ．202米D ．103米二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．若α为锐角，cos α＝35，则sin α＝__45__，tan α＝__43__． 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝512，△ABC 的周长为18，则S △ABC ＝__545__． 13．小志同学书桌上有一个电子相框，将其侧面抽象如图所示的几何图，已知AB ＝AC ＝15 cm ，∠BAC ＝40°，则点A 到BC 的距离为__14.1__cm.(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)(第13题图) (第15题图) (第16题图) (第17题图)14．在△ABC 中，若|2cos A －1|＋(3－tan B)2＝0，则∠C ＝__60°__．15．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若过点C作CD ⊥AB 于点D ，则∠BCD ＝15°，根据图形计算tan 15°＝．16．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB长13米，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE 为__12__米． 17．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分AC.若BD ＝8，AC ＝6，∠BOC ＝120°，则四边形ABCD 的面积为__．(结果保留根号)18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，tan A ＝43.点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，且∠EDC ＝∠A.将△ABC 沿DE 所在直线对折，若点C 恰好落在边AB 上，则DE 的长为__12548__． 三、用心做一做(共66分)19．(10分)解下列各题：(1)先化简，再求代数式(1x ＋x ＋1x )÷x ＋2x 2＋x 的值，其中x ＝3cos 30°＋12； 解：原式＝x ＋1，当x ＝2时，原式＝3(2)已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32.计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(13)－1的值． 解：α＝45°，原式＝320．(8分)解下列各题：(1)已知∠A ，∠B ，∠C 是锐角三角形ABC 的三个内角，且满足(2sin A －3)2＋tan B －1＝0，求∠C 的度数；解：75°(2)(原创题)已知tan α的值是方程x 2－x －2＝0的一个根，求式子3sin α－cos α2cos α＋sin α的值． 解：∵方程的根为x 1＝2，x 2＝－1.又∵tan α＞0，∴tan α＝2，∴原式＝3tan α－12＋tan α＝3×2－12＋2＝5421．(10分)如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．解：(1)∵AD 是BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∠ADC ＝90°，在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tanB ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC，又tanB ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝AD AC ，∴AC ＝BD (2)在Rt △ADC 中，sinC ＝1213，故可设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k.∵BC ＝BD ＋CD ，AC＝BD ，∴BC ＝13k ＋5k ＝18k ，∴18k ＝12，∴k ＝23，∴AD ＝12k ＝12×23＝822．(8分)如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°.若坡角∠FAE ＝30°，求大树的高度．(结果保留整数．参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73)解：延长BD 交AE 于点G ，过点D 作DH ⊥AE 于点H.由题意知∠DAE ＝∠BGA ＝30°，DA ＝6，∴GD ＝DA ＝6，∴GH ＝AH ＝DA ·cos30°＝33，∴GA ＝6 3.设BC 的长为x 米．在Rt △GBC 中，GC ＝BC tan ∠BGC＝x tan30°＝3x.在Rt △ABC 中，AC ＝BC tan ∠BAC ＝x tan48°∵GC －AC ＝GA ，∴3x －x tan48°＝63，∴x ≈13，即大树的高度约为13米23．(8分)如图，登山缆车从点A 出发，途经点B 后到达终点C.其中AB 段与BC 段的运行路程均为200 m ，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离．(参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)解：根据题意可知∠BAD ＝30°，∠CBE ＝42°，AB ＝BC ＝200 m ．在Rt △ABD 中，BD ＝AB ·sin30°＝200×12＝100(m )．在Rt △BCE 中，CE ＝BC ·sin42°≈200×0.67＝134(m )，∴BD ＋CE ≈100＋134＝234(m )，因此，缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离约为234 m24．(10分)如图是我国某海域内的一个小岛，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，CD ＝32千米，请据此解答如下问题：(1)求该岛的周长和面积；(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449)(2)求∠ACD 的余弦值．解：连结AC ，∵AB ＝BC ＝15千米，∠B ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝152千米，又∵∠D ＝90°，∴AD ＝AC 2－CD 2＝（152）2－（32）2＝123(千米)，∴周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ≈55(千米)，面积＝S △ABC ＋S △ADC ≈157(平方千米)(2)cos ∠ACD ＝CD AC ＝32152＝1525．(12分)如图，甲、乙只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时15 2 km 的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15 km 的速度沿东北方向前进．甲船航行2 h 到达C 处，此时甲船发现渔具丢在了乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶乙船，结果两船在B 处相遇．问： (1)甲船从C 处出发追赶上乙船用了多少时间？(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？解：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，如图，(1)设甲船从C 处出发追赶上乙船用了x h ，则乙船从A 到B 用了(x ＋2)h.在Rt △ACM 中，AC ＝152×2＝302(km )，∴MC ＝AM ＝AC ·sin ∠ACB ＝302×22＝30(km )．在Rt △ABM 中，AM ＝12AB ，∴30＝12×15×(x ＋2)，解得x ＝2，答：甲船从C 处出发追赶上乙船用了2 h (2)在Rt △ABM 中，AM ＝30 km ，AB ＝60 km ，∴BM ＝AB 2－AM 2＝602－302＝303(km )，∴BC ＝MC ＋BM ＝30(1＋3)(km )，∴甲船追赶乙船的速度是30（1＋3）2＝15(1＋3)km/h.答：甲船追赶乙船的速度是每小时15(1＋3)千米。