空间几何体的内切球与外接球问题

空间球体的外接球和内切球问题在几何学中，空间球体是一个三维的球形体，有许多有趣的性质和问题。

其中，外接球和内切球问题是一种经典的几何学问题。

外接球问题给定一个空间球体，外接球问题是要找到能够刚好包围该球体的最小球体，即外接球。

这个问题可以通过寻找球心和半径来解决。

外接球必须满足以下三个条件：1. 外接球的球心与原球体的球心在同一直线上；2. 外接球的球心到原球体表面的任意一点的距离等于外接球的半径；3. 外接球的半径最小。

解决外接球问题的关键是找到外接球的球心和半径的数学表达式。

该问题的解决方案可以通过推导和几何推理来得到。

内切球问题内切球问题是要找到能够刚好被该空间球体包围的最大球体，即内切球。

与外接球问题类似，解决内切球问题也需要找到内切球的球心和半径的数学表达式。

内切球必须满足以下三个条件：1. 内切球的球心与原球体的球心在同一直线上；2. 内切球的球心到原球体表面的任意一点的距离等于内切球的半径；3. 内切球的半径最大。

解决内切球问题的方法和外接球问题类似，需要进行几何推导和推理。

应用和意义外接球和内切球问题在许多领域有着广泛的应用。

在工程学和建筑学中，解决外接球和内切球问题可以帮助设计具有最佳空间利用和结构稳定性的建筑物和零件。

在计算机图形学和计算几何学中，外接球和内切球问题是渲染和碰撞检测等算法的基础。

此外，外接球和内切球问题还与球体的包络问题和球体堆积问题等相关。

总结外接球和内切球问题是空间球体的经典几何学问题。

通过寻找最小外接球和最大内切球的球心和半径，可以解决这两个问题。

外接球和内切球问题在工程学、建筑学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

几何体的外接球与内切球的有关问题一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心O 的位置问题，其中球心的确定是关键． （一） 由球的定义确定球心球的定义：在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论． 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOO Rt ∆中，21212OO BO BO +=，即222)2(hr R +=.） 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得． （以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面△ABC 的边长为a ，高为h ，外接球球心为O ，半径为R . 在1AOO Rt ∆中，21212OO AO AO +=，即222)(33R h a R -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.） 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜3R a=222a b c R ++=BC边的一半就是其外接球的半径．（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处． 1.可构造正方体的类型：①正四面体：棱长对应正方体的面对角线.① ② ③②三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长. ③四个面都是是直角三角形的三棱锥：最长的棱长对应正方体的体对角线. 2.可构造长方体和正方体的类型①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体；②三个侧面两两垂直的三棱锥；③有三个面是直角三角形的三棱锥；①与②与③ ④④相对的棱相等的三棱锥：设对应长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则BC 2=a 2+b 2，AC 2=a 2+c 2，AB 2=b 2+c 2.所以对应长方体的体对角线为2222222AB AC BC c b a ++=++.⑤含有其它线面垂直关系的棱锥. （三） 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O’的连线垂直于截面圆，确定球心． 记球的半径为R ，截面圆的半径为r ，球心O 与截面圆圆心O’A BC DA BCPABCP的距离为d，则有R2=r2+d 2.（四） 圆柱外接球模型计算球的半径一个底面半径为r ，高为h 的圆柱，求它的外接球半径. 222)2(h r R +=（1） （2） （3）变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图（1）所示.我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型. 在这里棱柱的高就是公式中的h ，而棱柱底面△ABC 外接圆的半径则是公式中的r .变形二：如果把三棱柱上面的C 1去掉，如图（2）所示，我们得到有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥，其中r 为垂直底面的侧面△ABC 的外接圆半径，h 为垂直于那个侧面的底面边长AA 1.变形三：如果把上面的那个三棱柱上面的B 1,C 1两点去掉，如图（3）所示，我们得到一根侧棱⊥底面的三棱锥，其中r 为底面△ABC 外接圆半径，h 为垂直于底面的那条侧棱AA 1.二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.结论1：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. 结论2：正多面体的内切球和外接球的球心重合.结论3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合. 结论4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理. 结论5：体积分割是求内切球半径的通用做法. （一）正方体的的内切球设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径.Rr2h A BC1A 1B 1C A BC1A 1B A BC1A（1）内切球：截面图为正方形的内切圆，得2a R =. （2）棱切球：切点为正方体各棱的中点，截面图为为正方形的外接圆，得22a R =. （二）棱锥的内切球(分割法)将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径的方程.设三棱锥的棱长为a ，内切球半径为r.V V V V VPAB O PBC O PAC O ABC O ABCP -----+++=r S r S r S r S PAB PBC PAC ABC 31313131+++= r S S S S PAB PBC PAC ABC )(31+++= 内切球r S ABC P -=31所以ABCP ABCP S V r --=3内切球一般地，记棱锥的体积为V ，表面积为S ，则内切球的半径为SV r 3=. （三）圆柱、圆锥的内切球(截面法)（1）圆柱的内切球：圆柱的轴截面为正方形，记圆柱的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，则R =r . （2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为三角形的内切圆，记圆锥的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，由于在△ABC 中，所以CS R 2=.备注：1.三角形内切圆的半径S S S S AO BAO C BO C ABC ∆∆∆∆++=r c b a cr br ar )(21212121++=++= 内切圆r C ABC ∆=21所以三角形内切圆的半径为CSr 2=，其中S 为△ABC 的面积，C 为△ABC 的周长. 2. 三角形外接圆的半径利用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===，CcB b A a R sin 2sin 2sin 2===. ①正三角形：a a R 3360sin 2=︒=，其中a 为正三角形的边长.②直角三角形：290sin 2cc R =︒=，其中c 为直角三角形的斜边.3. 正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”. 设正三角形的边长为a ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R.由于a a R 3360sin 2=︒=，a a a a a a C S r 6360sin 2122=++︒⋅⋅⋅⨯==， 所以1:2:=r R ，即圆心O 为正三角形高h 的三等分点.4. 正四面体的内切球与外接球的半径之比正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”. 设正四面体A-BCD 的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球 半径为R ，则OA=OB=R ，OE=r.∵底面△BCD 为正三角形，∴BE=a 33 在BEO Rt ∆中，222OE BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得a R 46= ∴1:3:=r R ，即球心O 为正四面体高h 的四等分点. 5.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的，过侧棱1AA 和它们的球心O 作截面如下图所示：设正三棱柱底面边长为a . 由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆，所以a R 632=，从而正三棱柱的高为a R h 3322==. 在O D A Rt 11∆中，得22222211211256333a a a R D A R =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=，a R 1251=∴因此1:5:21=R R .。

高中数学中立体几何的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 24368936 ⎪⎩⎪⎨⎧==213x h∴正六棱柱的底面圆的半径21=r，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

空间几何体的外接球与内切球问题高考分析： 球与几何体的切接问题是近几年高考的高频考点，常以选择题和填空题的形式出现，以中档题和偏难题为主. 一、几种常见几何体的外接与内切球 1.长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点；(2)半径：R ＝a 2＋b 2＋c 22(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径R ＝32a(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝2a(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径=2r a (a 为正方体的棱长)． 3.正四面体的外接球与内切球(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径R (a 为正四面体的棱长)；(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r (a 为正四面体的棱长)．求外接球问题常用方法：1.补体法。

将几何体补形成长方体正方体等常见模型去求解2.外接球的球心都在过底面外接圆圆心的垂线上（注意球体可以滚动所以可以选择较为方便计算的那一面作为底面）3.利用外接球球心到几何体各顶点距离都等于半径4.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆求外接球的关键是确定球心位置，进而计算出外接球半径。

题型一：柱体的外接球1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________．2.已知三棱柱111ABC A B C －的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12 ，则该三棱柱的体积为_________．3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π4.已知圆柱的底面半径为12，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4 C.π2 D.π4题型二：锥体的外接球5.求棱长为1的正四面体外接球的体积为_________．6.已知正四棱锥P －ABCD 内接于一个半径为R 的球，则正四棱锥P －ABCD 体积的最大值是( )A.16R 381B.32R 381C.64R 381 D ．R 3 7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝π3，则三棱锥P －AOB 的外接球的体积是_________．8.已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A.B.C. 1D.9.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π10.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均是直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝5，AB ＝3，BC ＝4，则阳马C 1－ABB 1A 1的外接球的表面积是( )A ．25πB ．50πC ．100πD ．200π11.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π12.已知正三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E,F ,G 分别为为侧棱AB,AC,AD 的中点.若O 在三棱锥A -BCD 内，且三棱锥A -BCD 的体积是三棱锥O -BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为微专题 球与几何体的切接问题——内切球1.半径为R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为_________，体积为_________．2.若正四面体的棱长为a ，则其内切球的半径为_________．3.已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( ) A ．18 B ．12 C ．6 3 D ．434.将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为( )A.2π3 B.3π3 C.4π3D ．2π 5.如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3 C.π6 D.33π题型三 最值问题6.已知底面是正六边形的六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为_________．7.四棱锥S －ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，则球O 的体积等于( )A.32π3B.322π3 C ．16π D.162π38.已知SAB 是边上为2的等边三角形，045ACB ∠=，则三棱锥体积最大时，CA = ;其外接球的表面积为。

高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。

例1：1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。

解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。

2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。

解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =4πR^2 = 9π。

3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接球的表面积。

解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。

连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。

由AM⊥MN，SB//MN，可得AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。

因此，三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。

类型二、棱台模型棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。

通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。

例2：1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。

解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。

8.16作业 空间几何体外接球与内切球问题
1. 已知正四面体棱长为2，分别求该正四面体的外接球与内切球的半径.
2. 已知圆柱的内切球（圆柱的上、下底面及侧面都与球相切）的体积为43
π，求该圆柱的体积．
3. O 内切于该圆锥. （1）求该圆锥的高；
（2）求内切球O 的体积.
4.
5. 在长方体1111ABCD A B C D −中，AB =6，BC =8，16AA =.
（1）求三棱锥1D ABC −的体积；
（2）在三棱柱111ABC A B C −内放一个体积为V 的球，求V 的最大值.
6. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体
现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长2，
（1）求其体积；
（2）若其各个顶点都在同一个球面上，求该球的表面积.。

简单几何体的外接球与内切球问题简单几何体的外接球与内切球问题定义1：如果一个多面体的所有顶点都在一个球的表面上，那么这个多面体就是这个球的内接多面体，这个球就是这个多面体的外接球。

定义2：如果一个多面体的所有面都与一个球的表面相切，那么这个多面体就是这个球的外切多面体，这个球就是这个多面体的内切球。

1.内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2.正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4.基本方法：利用相似比和勾股定理构造三角形。

5.体积分割是求内切球半径的通用方法。

一、直棱柱的外接球1.长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a、b、c，则体对角线长为l = √(a^2 + b^2 + c^2)，几何体的外接球直径2R为体对角线长l，即R = (a^2 + b^2 + c^2) / 2.2.正方体的外接球：正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为3a，其外接球的直径2R为3a。

3.其它直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。

例如：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为V，底面周长为3，则这个球的体积为V/2.二、棱锥的外接球1.正棱锥的外接球：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。

例如：正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为(8/3)π。

补体方法的应用1.正四面体2.三条侧棱两两垂直的三棱锥3.四个面均为直角三角形的三棱锥例如：如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6 cm²、4 cm²和3 cm²，那么它的外接球的体积是(8/3)π。

改写后的文章已经更加清晰，易于理解。

例10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()答案：无法确定。

第二章：外接球与内切球1．空间几何体的内切球几何体示例图像截面图对应性质圆柱r h 、分别为圆柱的底面圆半径和高，R 为内切球半径．R r =且2h R =；正三棱柱r h 、分别为柱体的底面三角形内切圆半径和高，R 为内切球半径．R r =且2h R =；正棱锥PE 为锥体的斜高，h r 、分别为锥体的高和底面内切圆半径，R 为内切球半径．1POF PEO △∽△可得R OP h R r PE PE -==“钻石”PE 为锥体的斜高，h r 、分别为锥体的高和底面内切圆半径，R 为内切球半径．在Rt POE △中，满足h rR PE⋅=一般三棱锥记R 为内切球半径，三棱锥的四个面面积分别为1234S S S S 、、、，则1234VR S S S S =+++【示例1】1．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V =__________．【解析】记内切球半径为R ，底面圆半径为r ，圆柱高为h ；则R r =且2h R =；则23122V h s r r r ππ=⋅=⋅=，3324433V R r ππ==；∴1232V V =2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为__________．【解析】轴截面如右图，记h r 、为圆锥的高和底面圆半径，R 为内切球半径；由题意，3h R =，同时由1POF PEO △∽△可得1OP OFPE EO =；即R r==，得r =，则PE =．∴在圆锥1O P 中，2212S PE r R ππ=⋅=侧，2=4S R π球；则:3:1S S =侧球【例1】1．已知正方体的内切球（球与正方体的六个面都相切）的体积是323π，则该正方体的表面积为__________．2．如果一个八面体各个面都是全等的正三角形，如图所示，则这个几何体叫正八面体，则棱长为4的正八面体的内切球半径是__________．3．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是__________．4．天津滨海文化中心地处天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程．其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图1所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图2所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为16π米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为立方米，你认为哪种方案好呢？课堂练习1：1．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32，那么3这个球的半径是，三棱柱的体积是．2．正四棱锥的高与底面边长相等且体积为83，（1）以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中点的球的表面积为__________；（2）该正四棱锥的内切球体积为__________．3．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为．2．柱体外接球问题概述具备外接球的柱体，一定是“直”的，即侧棱垂直于底面或圆柱体．其球心必在柱体上下底面外接圆圆心连线的中点．此时球心到柱体底面的距离d 等于柱体高h 的一半（即2h d =）．示例图像圆柱长方体直三棱柱计算公式222224h R d r r =+=+22224R a b c =++2sin ar A=，222R d r =+问题设计①．先求出柱体高和底面相关信息，再求外接球半径；②．已知外接球半径，求柱体的高或底面相关变量．【示例2】1．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为323π，点E 为棱AB 的中点，则三棱锥1D ACE -的体积是__________．【解析】Ⅰ．确定长方体的高→Ⅱ．求1D ACEV -3432233V R R ππ==→=球，则2222114222AB AD AA R AA AB AD ⎫++=⎪→=⎬==⎪⎭；∴在三棱锥1D ACE -中，122112ACE h AA S AE BC ⎧==⎪⎨=⋅=⎪⎩△；得112233D ACE ACE V h S -=⋅=△2．已知直三棱柱111ABC A B C -的外接球半径为4，同时BA BC ⊥，BA BC =则111ABC A B C -体积的最大值为__________．【解析】Ⅰ．找到侧棱和底面棱长的关系→Ⅱ．函数求最值显然Rt ABC △为等腰直角三角形，则22r AB =；此时212ABC S AB CB r =⋅=△；同时222224h R d r r =+=+可得22164h r =-；则()()23116640844ABCh V h S h h h h ⎛⎫=⋅=⋅-=-<< ⎪⎝⎭△；令()()36408f x x x x =-+<<，则()2364f x x '=-+；令()0f x '=得x =；∴()f x 在⎛ ⎝上递增，在⎫⎪⎭上递减，则()max 9f x f ==，则()max max14V f x ==【例2】1．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．2．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为，则正方体外接球的体积为__________．3．已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的体积为__________．4．如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为__________．5．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm ，外层底面直径为16cm ，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm 的球面上．此模型的体积为__________．课堂练习2：1．已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是__________．2．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为，则正方体外接球的体积为__________．3．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为__________．4．已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为__________．3．侧棱垂直于底面的锥体外接球问题阐述若锥体有一条侧棱PA 满足PA ⊥底面ABC ，则该锥体必可还原成一个直棱柱．即侧棱垂直于底面的棱锥与还原之后的直棱柱具有相同的外接球．示例图像还原至长方体还原至长方体还原至直三棱柱对应条件AP AB AC 、、两两垂直AP AB BC 、、两两垂直PA ⊥面ABC 计算公式22224R AP AB AC =++22224R PA AB BC =++12sin AB r C =⋅且12d h =222R d r =+备注当锥体有三条棱两两垂直时，记这三条棱的棱长分别为a b c 、、，则22224R a b c =++．若锥体的底面不含直角，仅有侧棱垂直于底面时，用222R d r =+求出外接球半径【示例3】在三棱锥P ABC -中，90ACB ∠=︒，8AB =，PC ⊥面ABC 且6PC =，则该三棱锥外接球的表面积为__________．【解析】由题意可知CA CB CP 、、两两垂直；则222222222464410041006R CP CB CA CA CB AB R S R CP ππ⎫=++⎪+==→=→==⎬⎪=⎭【例3】1．在三棱锥A BCD -中，AB AC AD 、、两两垂直，且ACB ACD ABD △、△、△的面积分别为22A BCD -的外接球的表面积为__________．2．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC △为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积__________．3．如图，PA ⊥面ABCE ，其中ABCD 为正方形，2AD =，1ED =．若三棱锥P ADE -的外接球的体积为92π．则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为__________．课堂练习3：1．在边长为2的等边三角形ABC 中，点D 是BC 的中点．以AD 为折痕，将ABC △折成直二面角B AD C --，则过A B C D 、、、四点的球的表面积为__________．2．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，3SA =，则该四面体外接球面积为__________．3．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥M ABCD -为阳马，侧棱MA ⊥底面ABCD ，且1MA =，2BC =，3AB =．若该四棱锥的顶在都在同一球面上，则该球的表面积为__________．4．正棱锥和圆锥的外接球补充：问题阐述①．正四面体内嵌于正方体，则两者具有相同的外接球．记正四面体的边长为a ，正方体的边长为b ，外接球半径为R ；②．两个具有相同底面，且顶点（P Q 、）在底面的射影均为底面外接圆圆心的锥体的外接球．记底面外接圆半径为r ，两个锥体的高分别为12h h 、，外接球半径为R示例图像对应计算①．2a b =且2243R b =；②．22342R a =①．122h h R +=且PA QA ⊥（PQ 为球的直径）；②．212r h h =⋅（直角三角形内射影定理）；【示例4】1．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则其外接球的体积为__________．【解析】Ⅰ．确定正棱锥的高和底面外接圆半径ABC △是边长为3的等边三角形，则333r AB ==；在Rt POA △中，3360OA r OP h PAO ⎫==⎪→==⎬∠=︒⎪⎭；Ⅱ．求外接圆半径，并求其体积则2231243222633h r R V R h ππ+===→==2．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为__________．【解析】Ⅰ．求出12R h h r→→、3432233V R R ππ==→=球，显然PQ 是球O 的直径，则PA QA ⊥，则212r h h =⋅；121122243331h h R h r h h h +===⎫⎧→→=⎬⎨==⎭⎩Ⅱ．求锥体的体积则()21211233V h S h h r ππ=⋅=+⋅=【例4】1．若一个四面体的所有棱长均为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为__________．2．如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为3，则该半球的体积为__________．3．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为3π，则球O 的表面积等于__________．4．以ABC 为底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球，并且正三棱锥P ABC -的侧面与底面ABC 所成的角为45︒，记正三棱锥P ABC -和正三棱锥Q ABC -的体积分别为1V 和2V ，则12V V =__________．5．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有很多对几何体体积的研究，已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π，高为h 的圆柱，上面是一个底面积为32π，高为h 的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为__________．6．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E F 、分别是PA AB 、的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为__________．课堂练习4：1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为__________．2．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为__________．3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，其各面中心分别为E F G H M N 、、、、、，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为__________．4．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为__________．5．在正三棱锥P ABC -中，6AB BC AC ===，点D 是PA 的中点．若PB CD ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为__________．5．其他模型问题阐述①．面ABC ⊥面BCD ；②．记12r r 、分别为ABC BCD △、△的外接圆半径，R 为三棱锥A BCD -外接球半径．①．三棱锥D ABC -中，AD 为外接球直径；②．记球面距1OO d =，ABC △的外接圆半径为r ，D ABC -的高为h ．示例图像对应性质①．2h d =；②．2222124BC R r r =+-（BC 为交线长）；①．AB DB AC DC ⊥⊥、（直径所对圆周角）；②．222R d r =+且2h d =；解题步骤①．确定三棱锥A BCD -中的两个垂直平面；②．求出对应的外接圆半径和交线长；③．求外接球的半径；①．确定外接球的直径；②．求出底面三角形外接圆半径r ；③．22D ABC R r d h V --→→→；【示例5】1．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，得到四面体A BCD -，则四面体A BCD -的外接球的表面积为__________．【解析】由题意，面ACD ⊥面ACB 且5AC =而ACD ACB △、△都是直角三角形，则12522AC r r ===；则2222122544AC R r r =+-=；得2425S R ππ==2．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此三棱锥的体积为__________．【解析】在ABC △中，2sin 3AB r C ==；同时112R SC ==，则d ==，则2h d ==∴111sin 33326V hS AB AC C ==⨯⋅⋅=【例5】1．已知三棱维A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC △是边长为6的正三角形，BCD ∆是直角三角形，且2BCD π∠=，4CD =，则此三棱锥外接球的表面积为__________．2．在三棱锥A BCD -中，BA AD ⊥，BC CD ⊥，且AD ==A BCD -外接球的体积为__________．3．已知球的直径4SC =，A ，B 是该球球面上的两点，AB =，30ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S ABC -的体积为__________．4．已知球的直径4SC =，A ，B 是该球球面上的两点．2AB =，45ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S ABC -的体积为__________．5．已知三棱锥S ABC -外接球的球心O 在线段SA 上，若ABC △与SBC △均为面积是的等边三角形，则三棱锥S ABC -外接球的体积为__________．6．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为__________．课后作业：1．已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为__________．2．已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上、下底面的圆周均在球面上，若球的体积为323π，则圆柱的体积为__________．3．已知在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2a =，6A π=，又点A B C 、、都在球O 的球面上，且点O 到平面ABC ，则球O 的体积为__________．4．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为__________．5．正四面体A BCD -的棱长为4，点E 为BC 边上的中点，过点E 做其外接球的截面，则截面圆的面积最小值为__________．6．已知一个正三棱柱所有棱长均为3，若该正三棱柱内接于半球体，即正三棱柱的上底面的三个顶点在球面上，下底面的三个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体的体积为__________．7．所有棱长都是3的直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________．8．已知圆柱1OO 的两底面圆周上的所有点都在球C 的表面，且圆柱1OO 的底面半径为1，高为，则球C 的表面积为__________．9．已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为__________．10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若1AB =，AC =，AB AC ⊥，14AA =，则球O 的表面积为__________．11．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．12．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为__________．13．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若A ，B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为__________．14．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于__________．15．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为2的球O 的球面上，且AB =，BC =，过点D作DE 垂直于平面ABCD ，交球O 于点E ，则棱锥E ABCD -的体积为__________．16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________．17．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC-为鳖臑，PA⊥平面ABC，2==，4PA AB-的四个顶点都在球O的球AC=，三棱锥P ABC面上，则球O的表面积为__________．18．已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若2==，则四面体ABCD的AB CD体积的最大值为（）．A B C．D19．已知四棱锥P ABCD=====，且底面ABCD为正方形，则-满足2PA PB PC PD AB该四棱锥的外接球的体积为__________．20．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，PA PC ⊥，则球O 的体积为__________．21．高为1的圆锥内接于半径为1的球，则该圆锥的体积为__________．22．已知正四棱锥P ABCD -的高为2，AB =，过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为1111A B C D ，若底面ABCD 与截面1111A B C D 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为__________．23．已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3l ≤≤，则该正四棱锥体积的取值范围是__________．24．已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为__________．25．已知四棱锥S ABCD -的所有棱长均相等，且底面是边长为的正方形，其5个顶点都在直径为10的球面上，则该四棱锥的体积为__________．26．已知1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点1111S A B C D 、、、、在同一球面上，则该球的表面积为__________．27．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC AB ====，设S ，A ，B ，C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则O 到平面ABC 的距离为__________．28．现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（）．A B C D 29．已知三棱锥A BCD -的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，BC CD ⊥，AC ⊥平面BCD ，且AC =，2BC CD ==，则球O 的表面积为__________．30．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是__________．31．已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB=，BC=，过点D 作DE垂直于平面ABCD，交球O于点E，则棱锥E ABCD-的体积为（）．32．已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面2体的外接球，则此正四面体的棱长a为__________．33．设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且3PB=，PA=，6三棱锥P ABC-的体积为18，则球O的体积为__________．34．已知六棱锥P ABCDEFPA=，PA⊥底面-的七个顶点都在球O的表面上，若2ABCDEF，且六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，则球O的体积为__________．35．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为__________．36．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、∆分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三E、F为圆O上的点，DBC∆，ECA∆，FAB角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC∆，使得D、∆，FAB∆，ECAcm的最大E、F重合，得到三棱锥．当ABC△的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3)值为__________．37．已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为__________．38．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 的表面积等于__________．39．已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的最大值为__________．40．已知点P A B C D 、、、、是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为正方形．若PA =，则OAB ∆的面积为__________．41已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且OP ⊥面ABC ，2AC =．若32P ABC V -=，则该球的体积为__________．。