高中数学人教A版选修1-1优化练习：章末检测(三) 导数及其应用 含解析

第三章 章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1. 已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定2．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x －11 D ．y ＝－4x ＋74．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎦⎤0，π2 ∪2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎡⎦⎤0，2π3 5．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)6．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －27．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋110. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．函数f (x )＝x1－x的单调增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.036 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________________________________________________________________________.14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________________________________________________________________________．15. 如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个．③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？20．(12分)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .(1)当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； (2)设f (x )在[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．21.(12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．第三章 导数及其应用(B) 答案1．B [f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )．] 2．B [物体的初速度即为t ＝0时物体的瞬时速度，即函数s (t )在t ＝0处的导数． s ′(0)＝s ′|t ＝0＝(3－2t )|t ＝0＝3.]3．B [∵曲线过点(a ，3)，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1， ∴切点为(1,3)．由导数定义可得y ′＝4ax ＝4x ， ∴该点处切线斜率为k ＝4，∴切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.] 4．B5．B [f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0， 则a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3.]6．A [∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.] 7．C8．A [f ′(x )＝a cos x －13sin x ，由题意f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0， 即a ·12－13×32＝0，∴a ＝33.]9．C [y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数．∴当x ＝π时， y max ＝π.]10．A [由图象看，在图象与x 轴的交点处左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0的点才满足题意，这样的点只有一个B 点．]11．C [∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1， ∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B [由题意知，存款量g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2， x ∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2.于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024，依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]13．3解析 由切点(1，f (1))在切线y ＝12x ＋2上，得f (1)＝12×1＋2＝52.又∵f ′(1)＝12，∴f ′(1)＋f (1)＝12＋52＝3.14．4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；当x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4； 当x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间[－1,0)上单调递增． 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上所述，a ＝4. 15.439解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，0. 点B 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，1－⎝⎛⎭⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22 ＝－x34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， 当x ＝23时，f (x )取最大值439.16．①③解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 由题意得f (0)＝0，f ′(－1)＝f ′(1)＝tan 3π4＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝03－2a ＋b ＝－13＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233.根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.x ＝233是极小值点也是最小值点．f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确． 17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立， 且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立． 由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0， 即x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ① 由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0， 即x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ② ∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验a ＝5或a ＝7都符合题意， ∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7. 18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2.f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－23或x >1，令f ′(x )<0，得－23<x <1.所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值， 要使f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.19．解 设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元．令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%，y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%.令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．20．解 (1)对函数f (x )求导数，得 f ′(x )＝(x 2－2ax )e x ＋(2x －2a )e x ＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x .令f ′(x )＝0，得[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ＝0， 从而x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化如下表：12当a ≥0时，x 1<－1，x 2≥0.f (x )在(x 1，x 2)为减函数，在(x 2，＋∞)为增函数． 而当x <0时，f (x )＝x (x －2a )e x >0；当x ＝0时，f (x )＝0，所以当x ＝a －1＋1＋a 2时，f (x )取得最小值．(2)当a ≥0时，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.综上，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥34.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.21．(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0， 即e x －x 2＋2ax －1>0， 故e x >x 2－2ax ＋1.22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x.∵x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明 令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝12x 2－23x 3＋ln x ， ∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x.∵x >1，∴F ′(x )<0，∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴F (x )<F (1)＝12－23＝－16<0.∴f (x )<g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

阶段质量检测（三） 导数及其应用(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sin α－cos x ，则f′(x)等于( ) A ．sin x B ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 解析：选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 3．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f(x)在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b)上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4．函数f(x)＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0， 22 D.⎣⎡⎭⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎤0，22 解析：选A ∵f′(x)＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x≤22时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，22. 5．函数f(x)＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0D ．－1解析：选A f′(x)＝3－12x 2，令f′(x)＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f(0)＝0，f(1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.6．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，∵f′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f(x)＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67 B.⎝⎛⎭⎫－85，－316 C.⎝⎛⎭⎫－83，－116 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 解析：选D f′(x)＝ax 2＋ax －2a ＝a(x ＋2)(x －1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a<－310或a>67. 故选D.8.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x －b)2＋c 的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A 、B ；当0<x<x 1时，f′(x)>0，函数f(x)递增．因此，当x ＝0时，f(x)取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>12，则满足2f(x)<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x|－1<x<1}B ．{x|x<1}C ．{x|x<－1或x>1}D ．{x|x>1}解析：选B 令g(x)＝2f(x)－x －1，∵f′(x)>12，∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数， ∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x<1时， g(x)<0，即2f(x)<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x(千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x(千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y′＝36x －6x 2，令y′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．11．已知定义在R 上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af(a)＜bf(b) B ．af(b)＜bf(a) C ．af(a)＞bf(b)D ．af(b)＞bf(a)解析：选C [x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＜0， ∴函数x·f(x)是R 上的减函数， ∵a ＜b ，∴af(a)＞bf(b)．12．若函数f(x)＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a>bB ．a<bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定解析：选A f′(x)＝xcos x －sin xx 2，令g(x)＝xcos x －sin x ，则g′(x)＝－xsin x ＋cos x －cos x ＝－xsin x.∵0<x<1，∴g′(x )<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f(x)＝13x 3－f′(1)x 2＋x ＋5，则f′(1)＝________.解析：f′(x)＝x 2－2f′(1)x ＋1，令x ＝1，得f′(1)＝23.答案：2314．曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线的方程为________________． 解析：由y ＝ln xx ，得y′＝1－ln x x 2，所以y′| x ＝1＝1，即切线l 的斜率为1.又切线l 过点(1,0)，所以切线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.答案：x －y －1＝015．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a ＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)， 因为f′(x)＝1＋cos x≥0， 故f(x)在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b. 答案：c<a<b 16．若函数f(x)＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f′(x)＝4－4x 22＋2，令f′(x)＞0，得－1＜x ＜1，即函数f(x)的增区间为(－1,1)． 又f(x)在(m,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． 解：(1)由题设知f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，且f′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x 3－3x. 因为f(x)＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g′(x)＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x ＜1时， g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g′(x)＞0， 故1不是g(x)的极值点． 所以g(x)的极值点为－2.18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f(x)＝x 22－kln x ，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点． 解：(1)由f(x)＝x 22－kln x(k>0)，得x>0且f′(x)＝x －k x ＝x 2－kx.由f′(x)＝0，解得x ＝k(负值舍去)． f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：所以，f(x)f(x)在x ＝k 处取得极小值f(k)＝k(1－ln k)2. (2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(k)＝k(1－ln k)2.因为f(x)存在零点，所以k(1－ln k)2≤0，从而k≥e.当k ＝e 时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0， 所以x ＝e 是f(x)在区间(1， e ]上的唯一零点．当k>e 时，f(x)在区间(1， e ]上单调递减，且f(1)＝12>0，f(e)＝e －k 2<0，所以f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．19．(本小题满分12分)某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1 024x ＋20)x 100＋2k 元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所以座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域． (2)当k ＝100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低． 解：(1)设摩天轮上总共有n 个座位，则x ＝kn ，则n ＝k x，y ＝8k k x ＋k x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1 024x ＋20)x 100＋2k ＝k 2⎝ ⎛⎪⎫10x ＋1 024x ＋20100， 定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x≤k 2，kx ∈Z . (2)当k ＝100时，则y ＝100⎝⎛⎭⎫1 000x ＋1 024x ＋20， 令f(x)＝1 000x＋1 024x ，则f′(x)＝－1 000x 2＋512×1x ＝－1 000＋512x32x 2， 令f′(x)＝0，所以x 32＝12564⇒x ＝⎝⎛⎭⎫1256423＝2516， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2516时，f′(x)<0， 即f(x)在x ∈⎝⎛⎭⎫0，2516上单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫2516，50时，f′(x)>0， 即f(x)在x ∈⎝⎛⎭⎫2516，50上单调递增，所以总造价y 的最小值在x ＝2516时取到，此时座位个数为1002516＝64个．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋ax (a>0)．(1)若a ＝1，求函数f(x)的单调区间．(2)若以函数y ＝f(x)(x ∈(0,3])图象上任意一点P(x 0，y 0)为切点的切线的斜率k≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝ln x ＋1x ，定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x －1x 2＝x －1x2，当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)由(1)知f′(x)＝x －ax 2(0<x≤3)， 则k ＝f′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立， 即a≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max . 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，所以a≥12，所以a 的最小值为12.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－mln x ，h(x)＝x 2－x ＋a. (1)当a ＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f(x)≥h(x)，得m≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x －12， 当x ∈(1，e)时，g′(x)＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g(x)的最小值为g(e)＝e. 所以m≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k(x)＝x －2ln x －a.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x)＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减， 当x ∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x)＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x －2)e x ＋a(x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f(x)的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解：(1)f′(x)＝(x －1)e x ＋2a(x －1)＝(x －1)(e x ＋2a)． ①设a ＝0，则f(x)＝(x －2)e x ，f(x)只有一个零点． ②设a>0，则当x ∈(－∞，1)时，f′(x)<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又f(1)＝－e ，f(2)＝a ，取b 满足b<0且b<ln a2，则f(b)>a2(b －2)＋a(b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－32b >0， 故f(x)存在两个零点．③设a<0，由f′(x)＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a)． 若a≥－e2，则ln(－2a)≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增． 又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点． 若a<－e2，则ln(－2a)>1，故当x ∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0； 当x ∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增． 又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x1<x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，又f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.设g(x)＝－xe2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x)．所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.。

描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

章末质量评估(三)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为( )．A ．－135°B ．45°C ．－45°D ．135° 解析 y ′＝x －2，所以斜率k ＝1－2＝－1，因此，倾斜角为135°. 答案 D2．下列求导运算正确的是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1＋3x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1－3x 2，所以A 不正确；(3x )′＝3x ln 3，所以C 不正确；(x 2cosx )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln 2，所以B 正确．故选B. 答案 B3．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( )． A ．(－∞，－1)及(0，1) B ．(－1，0)及(1，＋∞) C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)及(1，＋∞)解析 y ′＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)，令y ′<0得x 的范围为(－∞，－1)，(0，1)． 答案 A4．函数y ＝1＋3x －x 3有( )． A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值3解析 y ′＝－3x 2＋3，令y ′＝0得，x ＝1或x ＝－1， f (1)＝3，f (－1)＝－1. 答案 D5．函数f(x)＝x2x－1()．A．在(0，2)上单调递减B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增C．在(0，2)上单调递增D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减解析f′(x)＝2x（x－1）－x2（x－1）2＝x2－2x（x－1）2＝x（x－2）（x－1）2.令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.∴x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0.x∈(0，1)∪(1，2)时，f′(x)<0.答案 B6．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2，3]上的最小值为()．A．72 B．36 C．12 D．0解析y′＝4x3－4，令y′＝0，4x3－4＝0，x＝1，当x<1时，y′<0；当x>1时，y′>0得y极小值＝y|x＝1＝0，而端点的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，得y min＝0.答案 D7．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()．A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析因为f(x)有极大值和极小值，所以导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)有两个不等实根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，得a＜－3或a＞6.答案 D8．已知f(x)的导函数f′(x)图象如右图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()．解析 ∵x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数；同理f (x )在(－2，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数． 答案 A9．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( )． A.827π B.1627π C.89π D.169π解析 设圆柱的半径为R ，圆柱的高为h ，则2R ＋h ＝2.∵V ＝πR 2h ＝πR 2(2－2R )＝2πR 2－2πR 3，∴V ′＝2πR ·(2－3R )＝0.令V ′＝0，则R ＝0(舍)或R ＝23.经检验知，R ＝23时，圆柱体积最大，此时h ＝23，V max ＝π·49×23＝827π. 答案 A10．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009的值为()． A ．－log 2 0102 009 B ．－1 C ．(log 2 0102 009)－1D ．1解析 ∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1. 所以log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009＝ log 2 010(x 1·x 2·…·x 2 009)＝log 2 010⎝ ⎛⎭⎪⎫12·23·…·2 0092 010＝log 2 01012 010＝－1. 答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 11．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值为________． 解析 f ′(x 0)＝3x 20＝3，∴x 0＝±1. 答案 ±112．曲线y ＝ln x 在点M (e ，1)处的切线的斜率是________，切线的方程为________．解析 由于y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e ，故切线的方程为y －1＝1e (x －e)，故y ＝1e x . 答案 1e x －e y ＝013．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________． 解析 由y ′＝3x 2＋2x －5>0得x <－53，或x >1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35，(1，＋∞)14．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________．解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4＝－2a 3，－2×4＝b3⇒⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－24.∴a －b ＝－3＋24＝21. 答案 21三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1，16)处的切线方程． 解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，解得a ＝3. ∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8. (2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18，f ′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y ＝16.16．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，试讨论函数f (x )的单调区间．解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1， Δ＝(2a )2－4×3×1＝4(a 2－3)，①若Δ≤0即－3≤a ≤3，f ′(x )≥0恒成立， 此时f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； ②若Δ>0即a <－3或a >3时， 令f ′(x )＝0得x ＝－a ±a 2－33，f ′(x )>0得x <－a －a 2－33或x >－a ＋a 2－33，f ′(x )<0得－a －a 2－33<x <－a ＋a 2－33，∴此时f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a ＋a 2－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，－a ＋a 2－33. 17．(10分)给定函数f (x )＝x 33－ax 2＋(a 2－1)x 和g (x )＝x ＋a 2x . (1)求证：f (x )总有两个极值点；(2)若f (x )和g (x )有相同的极值点，求a 的值．(1)证明 因为f ′(x )＝x 2－2ax ＋(a 2－1)＝[x －(a ＋1)]·[x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝a ＋1，x 2＝a －1. 当x <a －1时，f ′(x )>0； 当a －1<x <a ＋1，f ′(x )<0.所以x ＝a －1为f (x )的一个极大值点． 同理可证x ＝a ＋1为f (x )的一个极小值点． 所以f (x )总有两个极值点．(2)解 因为g ′(x )＝1－a 2x 2＝（x －a ）（x ＋a ）x 2.令g ′(x )＝0，则x 1＝a ，x 2＝－a . 因为f (x )和g (x )有相同的极值点， 且x 1＝a 和a ＋1，a －1不可能相等，所以当－a ＝a ＋1时，a ＝－12； 当－a ＝a －1时，a ＝12. 经检验，当a ＝－12和a ＝12时， x 1＝a ，x 2＝－a 都是g (x )的极值点．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－1与x ＝2处都取得极值． (1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－2，3]，不等式f (x )＋32c <c 2恒成立，求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得⎩⎨⎧f ′（－1）＝0，f ′（2）＝0，即⎩⎨⎧3－2a ＋b ＝0，12＋4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－6. ∴f (x )＝x 3－32x 2－6x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－3x －6. 令f ′(x )<0，解得－1<x <2； 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >2. ∴f (x )的减区间为(－1，2)， 增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在(－∞，－1)上单调递增； 在(－1，2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增． ∴x ∈[－2，3]时，f (x )的最大值即为 f (－1)与f (3)中的较大者． f (－1)＝72＋c ，f (3)＝－92＋c . ∴当x ＝－1时，f (x )取得最大值． 要使f (x )＋32c <c 2，只需c 2>f (－1)＋32c ， 即2c 2>7＋5c ，解得c <－1或c >72. ∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞.19．(12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式．(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围． 解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝12a －b ＝0，f （2）＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4. (2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283， 当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.。

选修1-1第三章3.3一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是导学号 92600712 ( )A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案] A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴y max＝12，y min＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)导学号 92600713( )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)<0，即函数在(－1,1)上是减少的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)的最大值为导学号 92600714( )A．18 B．2C．0 D．－18[答案] B[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－3≤x<－1时，f′(x)<0，－1<x<1时，f′(x)>0,1<x≤3时，f′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为导学号 92600715( )A ．2B ．4C ．18D ．20[答案] D[解析]f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.f (0)＝－a, f (1)＝－2－a, f (3)＝18－a ，∴f (x )max ＝18－a ，f (x )min ＝－2－a ， ∴18－a －(－2－a )＝20.5．下列说法正确的是导学号 92600716( ) A ．函数的极大值就是函数的最大值 B ．函数的极小值就是函数的最小值 C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 [答案] D[解析] 根据最大值、最小值的概念可知选项D 正确．6．函数f (x )＝ln x －x 在区间[0，e]上的最大值为导学号 92600717( ) A ．－1 B ．1－e C ．－e D ．0[答案] A[解析]f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0，得0<x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <e ，∴f (x )在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x ＝1时，f (x )取极大值，这个极大值也是最大值．∴f (x )max ＝f (1)＝－1.二、填空题7．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2e x 的值域是________.导学号 92600718[答案] [0，e][解析]f ′(x )＝2x ·e x －x 2·e x e x 2＝2x －x2e x ， 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.f (－1)＝e, f (0)＝0, f (1)＝1e，∴f (x )max ＝e, f (x )min ＝0， 故函数f (x )的值域为[0，e]． 8．若函数f (x )＝3x －x 3＋a ，－3≤x ≤3的最小值为8，则a 的值是________.导学号 92600719[答案] 26[解析]f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.f (1)＝2＋a ，f (－1)＝－2＋a .又f (－3)＝a ，f (3)＝－18＋a .∴f (x )min ＝－18＋a .由－18＋a ＝8.得a ＝26. 三、解答题9．(2016·某某某某市高二检测)已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋3ax 在x ＝1时取得极值.导学号 92600720(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立，某某数k 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－4ax ＋3a ， 由题意得f ′(1)＝3－4a ＋3a ＝0，∴a ＝3. 经检验可知，当a ＝3时f (x )在x ＝1时取得极值． (2)由(1)知， f (x )＝x 3－6x 2＋9x ， ∵f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立， ∴k ≥f (x )max 即可．f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)＝3(x －1)(x －3)，令f ′(x )>0，得3<x <4或0<x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <3.∴f (x )在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，∴当x ＝1时， f (x )取极大值f (1)＝4，当x ＝3时， f (x )取极小值f (3)＝0. 又f (0)＝0，f (4)＝4， ∴f (x )max ＝4，∴k ≥4.一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为导学号 92600721( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析]f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239.2．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上图象连续不断且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为导学号 92600722( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )[答案] A[解析] 令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为单调减少的， ∴u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．3．设在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a ，b ]上存在导数，有下列三个命题：①若f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b ]上的极大值； ②若f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b ]上的极小值； ③若f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值必在x ＝a 或x ＝b 处取得． 其中正确的命题个数是导学号 92600723( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] 由于函数的最值可能在区间[a ，b ]的端点处取得，也可能在区间[a ，b ]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．4．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为导学号 92600724( ) A ．[f (0)，f (5)] B ．[f (0)，f (23)]C ．[f (23)，f (5)]D ．[c ，f (5)][答案] C[解析]f ′(x )＝6x －4，令f ′(x )＝0，则x ＝23，0<x <23时，f ′(x )<0，x >23时，f ′(x )>0，得f (23)为极小值，再比较f (0)和f (5)与f (23)的大小即可．二、填空题5．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是________.导学号 92600725[答案] －10[解析]f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2.但x ∈[0,3]，∴x ＝－1舍去，∴x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表，知f (x )max ＝5，f (x )min ＝－15， 所以f (x )max ＋f (x )min ＝－10.6．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.导学号 92600726[答案]103[解析]f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3.1<x <3时，f ′(x )<0,3<x <4时，f ′(x )>0，故x ＝3为极小值点． ∵f (3)＝b －27a ，f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，∴f (x )的最小值为f (3)＝b －27a ，最大值为f (4)＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.导学号 92600727(1)求a 、b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－22a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4.∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )、 f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.8．设f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5.导学号 92600728(1)求函数f (x )的单调递增、递减区间；(2)当x ∈[－1,2]时， f (x )<m 恒成立，某某数m 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0⇒x ＝1或x ＝－23.所以当x ∈(－∞，－23)时f ′(x )>0, f (x )为增函数；当x ∈(－23，1)时， f ′(x )<0, f (x )为减函数．当x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )>0, f (x )为增函数．所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，f (x )的递减区间为(－23，1)．(2)当x ∈[－1,2]时， f ′(x )<m 恒成立，只需使f (x )在[－1,2]上的最大值小于m 即可．由(1)知f (x )极大值＝f (－23)＝5＋2227，f (x )极小值＝f (1)＝72.又f (－1)＝112， f (2)＝7，所以f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 所以m >7.。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 第三章 导数及其应用综合例题例1. 求下列函数的导数：（1）32x 3x 2y +=；（2）()()2x 33x 2y 2-+=；（3）2xcos 2x sinx y ⋅-=。

解：由函数的和（或差）与积的求导法则，可得（1）()()43433232x 9x 4x 9x 4x 3x 2x 3x 2y --=--='+'='⎪⎭⎫⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛='----。

（2）方法1：()()()()'-++-'+='2x 33x 22x 33x 2y 22()()33x 22x 3x 42⋅++-=9x 8x 182+-=。

方法2：∵()()6x 9x 4x 62x 33x 2y 232-+-=-+=， ∴9x 8x 18y 2+-='。

（3）∵x sin 21x 2x cos 2x sin x y -=⋅-=， ∴x cos 211y -='。

点拨：在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则，所以，在求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可减少运算量。

例2. 求函数()11x y 32+-=的单调区间。

分析：先化成基本初等函数后再利用求导法则求导。

解：()24632x 3x 3x 11x y +-=+-=，所以()()2224351x x 61x 2x x 6x 6x 12x 6y -=+-=+-='，令0y ='，则0x =或1x ±=。

由上表可得函数()11x y 32+-=的递减区间为()0,∞-；递增区间为（0，∞+）。

点拨：有多个极值时，可用列表的方法求极值或单调区间。

例3. （2005·湖北）在函数x 8x y 3-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 A. 3 B. 2C. 1D. 0解：由1y 0<'<得，18x 302<-<，即3x 362<<。

3.2.2 导数的运算法则自主预习·探新知情景引入如何求得下列函数的导数呢？ 1．y ＝x 5＋x 3－x 2＋3； 2．y ＝e x－sin x ＋ln x ； 3．y ＝cos 2x2－sin 2x2.新知导学 导数的运算法则和差的导数 [f (x )±g (x )]′＝__f ′(x )±g ′(x )__积的导数[f (x )·g (x )]′＝__f ′(x )g (x )＋f (x )·g ′(x )__ 商的导数[f xg x]′＝__f ′xg x －f x g ′xg 2x__(g (x )≠0)预习自测1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( A ) A ．1 B ． 2 C ．－1D ．0[解析] ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 2．已知f (x )＝e xln x ，则f ′(x )＝( C ) A ．e xxB ．e x＋1xC ．e xx ln x ＋1xD ．1x＋ln x[解析] f ′(x )＝(e x)′ln x ＋e x(ln x )′＝e xln x ＋exx＝exx ln x ＋1x.3．(2020·全国卷Ⅰ理，6)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( B )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1[解析] ∵f (x )＝x 4－2x 3，∴f ′(x )＝4x 3－6x 2，∴f ′(1)＝－2，又f (1)＝1－2＝－1， ∴所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B ．4．(2020·全国卷Ⅲ文，15)设函数f (x )＝e xx ＋a .若f ′(1)＝e 4，则a ＝__1__.[解析] 由于f ′(x )＝exx ＋a －e x x ＋a 2，故f ′(1)＝e a1＋a2＝e4，解得a ＝1.5．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x －2x 2； (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝excos x.[解析] (1)y ′＝(sin x －2x 2)′ ＝(sin x )′－(2x 2)′ ＝cos x －4x .(2)y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3) ＝12x 2－8x ＋6x 2＋9 ＝18x 2－8x ＋9.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xcos x ′＝ex′·cos x －cos x ′·excos 2x ＝excos x ＋sin xcos 2x互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶导数的四则运算法则的应用典例1 求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x. [解析] (1)解法一：y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1.解法二：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1.(2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x 2＋3x 3′＝(x －1＋2·x －2＋3·x －3)′＝－x －2－4x －3－9x －4＝－1x 2－4x 3－9x4.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x －2cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x －2cos x ′＝x sin x －2′cos x ＋x sin x －2sin xcos 2x＝sin x ＋x cos xcos x ＋x sin 2x －2sin xcos 2x＝sin x cos x ＋x －2sin x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2 x －2tan xcos x. 『规律方法』 1.符合导数运算法则形式特点的函数求导可直接用公式，注意不要记错用混积商的导数运算法则．①[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )；②⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′≠f ′x g ′x .2．公式[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )的推广为[f 1(x )·f 2(x )·f 3(x )…f n (x )]′＝f 1′(x )f 2(x )f 3(x )…f n (x )＋f 1(x )f 2′(x )f 3(x )f 4(x )…f n (x )＋…＋f 1(x )f 2(x )…f n ′(x )3．较为复杂的求导运算，一般要先将函数化简，再求导． ┃┃跟踪练习1__■ 求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1. [解析] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2xcos 2x ＝sin x cos x ＋xcos 2x. (2)解法一：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；解法二：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11； (3)解法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12；解法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝2x ＋12.命题方向❷利用导数求参数典例2 (2020·云南昆明高二调研)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．[思路分析] 本题主要考查利用导数求解参数问题，观察y ＝f ′(x )的图象可知y ＝f ′(x )过点(1,0)、(2,0)，即f ′(1)＝0，f ′(2)＝0.[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(1)＝0、 f ′(2)＝0、 f (1)＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝012a ＋4b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－9c ＝12.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .『规律方法』 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解． ┃┃跟踪练习2__■偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)， ∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.命题方向❸导数的综合应用典例3 已知曲线y ＝f (x )＝x 2a－1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．[解析] ∵f (1)＝1a －1，∴切点坐标为(1，1a－1)．由已知，得f ′(x )＝(x 2a －1)′＝2xa，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝2a，∴切线l 的方程为y －(1a －1)＝2a(x －1)，即2x －ay －a －1＝0. 令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a. ∴切线l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a＝14(a ＋1a )＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，∴S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.『规律方法』 求曲线的切线方程要注意分清点是否是切点．若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点．┃┃跟踪练习3__■函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.学科核心素养 综合应用问题灵活运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题．典例4 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[思路分析] (1)由f (x )在点P 处的切线方程可知f ′(2)，及f (2)＝－6，得到a 、b 的方程组，解方程组可求出a 、b ；(2)由曲线y ＝f (x )的切线与l 垂直，可得切线斜率k ＝f ′(x 0)，从而解出x 0，求得切点坐标和k .[解析] (1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ， 由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13, f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6， 解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14，或y 0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.『规律总结』 处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解．┃┃跟踪练习4__■(天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为__1__.[解析] ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.易混易错警示 准确应用公式典例5 若f (x )＝cos xx，求f ′(π)．[错解] ∵f (x )＝cos xx，∴f ′(x )＝cos x ′x ＋cos x ·x ′x 2＝－x sin x ＋cos xx2，∴f ′(π)＝－πsin π＋cos ππ2＝－1π2.[错解分析] 应用商的求导法则时，分子应是“分子的导数乘分母－分子乘分母的导数”，解题时错误的写成了“＋”．[正解]∵f (x )＝cos xx，∴f ′(x )＝cos x ′x －cos x ·x ′x 2＝－x sin x －cos xx2， ∴f ′(π)＝－πsin π－cos ππ2＝1π2.。

目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章 常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 第三章 导数及其应用单元测试（时间：120分钟 分值：150分）一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 已知()x f 在0x x =处可导，()[]()[]0202x x x x x f x f lim 0--→等于A. ()0x f 'B. ()0x fC. ()()00x f x f '⋅D. ()()00x f x f 2'⋅2. 物体运动的方程为3t 41s 4-=，则5t =的瞬时速度为 A. 5 B. 25 C. 125 D. 6253. 设()x f 为可导函数，且满足()()x2x 1f 1f lim 0x --→1-=，则过曲线()x f y =上点()()1f ,1处的切线斜率为 A. 2 B. –1 C. 1 D. –24. 抛物线2x 41y =在Q （2，1）处的切线方程为A. 01y x =++-B. 03y x =-+C. 01y x =+-D. 01y x =-+5. 函数()x ax x g 3-=在（∞+∞-,）内是减函数，则A. 0a <B. 1a <C. 2a <D. 31a <6. 函数()b 3bx 6x x f 3+-=在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是A. ()1,0B. （1,∝-）C. ()∝+,0D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,07. 设()x f 、()x g 在[]b ,a 上可导，且()()x g x f '>'，则当b x a <<时，有A. ()()x g x f >B. ()()x g x f <C. ()()()()a f x g a g x f +>+D. ()()()()b f x g b g x f +>+8. 已知函数()()1xf 2x x f 2'+=，则()1f -与()1f 的大小关系是A. ()()1f 1f =-B. ()()1f 1f <-C. ()()1f 1f >-D. 无法确定9. 函数4x x 4y -=在[]2,1x -∈上的最大值、最小值分别是A. ()1f 与()1f -B. ()1f 与()2fC. ()1f -与()2fD. ()2f 与()1f -10. ()x f 与()x g 是定义在R 上的两个可导函数，若()x f 、()x g 满足()()x g x f '='，则()x f 与()x g 满足A. ()()x g x f =B. ()()x g x f -为常数函数C. ()()0x g x f ==D. ()()x g x f +为常数函数 11. 已知()x lg x x f =，那么()x fA. 在()e ,0上单调递增B. 在（0，10）上单调递增C. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛101,0上减，⎪⎭⎫⎝⎛∞+,101上增D. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上减，⎪⎭⎫⎝⎛∞+,e 1上增12. （2006·四川）曲线3x x 4y -=在点（-1，-3）处的切线方程是A. 4x 7y +=B. 2x 7y +=C. 4x y -=D. 2x y -=二、填空题（每小题4分，共16分）13. 曲线10x 6x 3x y 23-++=的切线中，斜率最小的切线方程为__________。

章末评估验收(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数f(x)＝α2－cos x，则f′(α)等于()A．sin αB．cos αC．2α＋sin αD．2α－sin α解析：f′(x)＝(α2－cos x)′＝sin x，当x＝α时，f′(α)＝sin α.答案：A2．曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线方程为()A．y＝－3x＋3 B．y＝－3x＋1C．y＝－3 D．x＝2解析：由于y′＝f′(x)＝3x2－6x，则曲线y＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k＝f′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y－(－3)＝0×(x－2)，即y＝－3.答案：C3．函数f(x)＝x3－3x＋1的单调递减区间是()A．(1，2) B．(－1，1)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＜0，可得－1＜x＜1.答案：B4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2 B．3 C．4 D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，所以a＝5.答案：D5．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，归纳可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝() A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)解析：观看可知，偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．答案：D6．若函数f(x)＝13x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为()A．0 B．2 C．1 D．－1解析：f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.答案：A7．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且Q与P有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28 000元D．23 000元解析：设毛利润为L(P)元，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8 300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150 P2＋11 700 P－166 000，所以L′(P)＝－3P2－300P ＋11 700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．当20≤P＜30时，L′(P)＞0，L (P )为增函数；当P ＞30时，L ′(P )＞0，L (P )为减函数，故P ＝30为L (P )的极大值点，也是最大值点，此时L (30)＝23 000，即最大毛利润为23 000元．答案：D8．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1(1，e)内均无零点C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 解析：由题意得f ′(x )＝x －33x ，令f ′(x )＞0得x ＞3；令f ′(x )＜0得0＜x ＜3；f ′(x )＝0得x ＝3，故知函数f (x )在区间(0，3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x ＝3处有微小值1－ln 3＜0；又f (1)＝13＞0，f (e)＝e3－1＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1＞0.答案：C9．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)＜2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)＞2f (1)解析：当x ＜1时，则f ′(x )≤0；当x ＞1时，f ′(x )≥0，故f ′(1)＝0.由f (x )的任意性知f (x )在[0，2]上有唯一的微小值f (1)，即f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，所以f (0)＋f (2)≥2f (1)．答案：C10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得微小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：由于f (x )在x ＝－2处取得微小值，所以在x ＝－2四周的左侧f ′(x )＜0，当x ＜－2时， xf ′(x )＞0；在x ＝－2四周的右侧f ′(x )＞0， 当－2＜x ＜0时，xf ′(x )＜0. 答案：C11．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( )A ．0≤a ≤21B ．a ＝0或a ＝7C ．a ＜0或a ＞21D ．a ＝0或a ＝21解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＋7a ＝0，对于此方程，Δ＝4a 2－84a ，当Δ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．答案：A12．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：函数的导数为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f ′(x )在x ＝1处的导数值为0，即12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若曲线y ＝x a ＋1(a ∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则a ＝________． 解析：由题意，知y ′＝ax a －1，故在点(1，2)处的切线的斜率a ，又由于切线过坐标原点，所以a ＝2－01－0＝2.答案：214．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a ＞0，1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a ＝________，b ＝________．解析：y ′＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)，令y ′＝0，解得x 1＝0(舍)，x 2＝2，x 3＝－2(舍)．又f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ， f (2)＝b －4a .所以 ⎩⎨⎧b －4a ＝－5，b ＝3.所以 a ＝2，b ＝3.答案：2 315．当x ∈[－1，2]时，x 3－x 2－x ＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：记f (x )＝x 3－x 2－x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.又由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527，f (2)＝2，f (－1)＝－1，f (1)＝－1，所以当x ∈[－1，2]时，(f (x ))max ＝2，所以m ＞2. 答案：(2，＋∞)16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x (x ＞0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．解析：设P (m ，e m )(m 是变量，且m ＞0)，则在点P 处切线l 的方程为y －e m＝e m (x －m )，令x ＝0，得y ＝(1－m )e m ，故得M (0，(1－m )e m )． 过点P 作l 的垂线，则该垂线的直线方程为y －e m ＝ －e －m (x －m )，令x ＝0，得y ＝e m ＋m e －m ，故得N (0，e m ＋m e －m )． 所以t ＝12[(1－m )e m ＋e m ＋m e －m ]＝e m ＋12m (e －m －e m )， t ′＝12(e m ＋e －m)(1－m )．令t ′＝0，得到m ＝1.当0＜m ＜1时，t ′＞0； 当m ＞1时，t ′＜0.所以t 在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以t max ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e .答案：12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0，1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．解：由于f (x )的图象过点P (0，1)，所以 e ＝1. 又f (x )为偶函数，所以 f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e ，所以 b ＝0，d ＝0，所以 f (x )＝ax 4＋cx 2＋1. 由于函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， 所以 切点为(1，－1)． 所以 a ＋c ＋1＝－1.由于f ′(x )＝4ax 3＋2cx ，所以 f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ， 所以 4a ＋2c ＝1，所以 a ＝52，c ＝－92.所以 函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.18．(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5在x ＝32与x ＝－1处有极值．(1)写出函数的解析式；(2)指出函数的单调区间； (3)求f (x )在[－1，2]上的最值．解：(1)y ′＝12x 2＋2ax ＋b ，由题设知当x ＝32与x ＝－1时函数有极值，则x ＝32与x ＝－1满足y ′＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2a ·32＋b ＝0，12×（－1）2＋2a ·（－1）＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－18， 所以 y ＝4x 3－3x 2－18x ＋5.(2)y ′＝12x 2－6x －18＝6(x ＋1)(2x －3)，列表如下： ↗↘↗由上表可知(－∞，－1)和(32，＋∞)为函数的单调递增区间，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32为函数的单调递减区间．(3)由于f (－1)＝16，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－614，f (2)＝－11，所以f (x )在[－1，2]上最小值是－614，最大值为16.19．(本小题满分12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P 万元和Q 万元，它们与投入资金x 万元的关系有阅历公式：P ＝x5，Q ＝35x .现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？解：设对乙种商品投资x 万元，则甲种商品投资为(3－x )万元，总利润为y 万元．依据题意，得y ＝3－x 5＋35x (0≤x ≤3)，y ′＝－15＋310·1x .令y ′＝0，解得x ＝94.由实际意义知x ＝94即为函数的极大值点，也是最大值点，此时3－x ＝34.因此为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元．20．(本小题满分12分)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在[－12，12]上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？解：f ′(x )＝12x 2－a ，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上为单调增函数，则f ′(x )≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立，即12x 2－a ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立．所以 a ≤12x 2在[－12，12]上恒成立，所以 a ≤(12x 2)min ＝0.当a ＝0时，f ′(x )＝12x 2≥0恒成立[只有x ＝0时f ′(x )＝0]．所以 a ＝0符合题意．若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上为单调减函数，则f ′(x )≤0，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立，即12x 2－a ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立，所以 a ≥12x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立，所以 a ≥(12x 2)max ＝3.当a ＝3时，f ′(x )＝12x 2－3＝3(4x 2－1)≤0恒成立(且只有x ＝±12时f ′(x )＝0.因此，a 的取值范围为a ≤0或a ≥3.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)． (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x ＞0)．所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1.所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax(x ＞0)知，①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，得x ＝a . 当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得微小值，且微小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上可得，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得微小值a －a ln a ，无极大值． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围； (3)过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切(只需写出结论)?解：(1)由f (x )＝2x 3－3x ，得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22.由于f (－2)＝－10，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，f (1)＝1，所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎪⎫－22＝ 2.(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)， 整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0.设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同的零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化状况如下：所以g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的微小值．当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (0)＞0且g (1)＜0，即－3＜t ＜－1时，由于g (－1)＝t －7＜0，g (2)＝t ＋11＞0，所以g (x )分别在区间[－1，0]，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点．由于g (x )在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g (x )分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞]上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切，过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．。