高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.3函数模型的应用教师用书新人教A版必修第一册

人教A版（2023）高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用教学设计第四章指数函数与对数函数4.5 函数模型的应用（一）一、内容与内容解析1.内容教科书例3 和例4，利用已知函数模型解决实际问题的基本过程。

2.内容解析函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。

本节课是函数模型的应用的第1课时，是在学生学习了函数的概念和性质，学习了幂函数、指数函数、对数函数后的综合应用。

通过比较指数函数、对数函数、线性函数等函数模型的增长速度的差异，进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此利用合适的函数模型、刻画现实问题的变化规律。

本节课的学习，既是前面学习过的函数有关知识的综合应用，也可以让学生体会利用数学函数模型解决实际问题的一般过程。

在此过程中，激发应用数学的意识，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等素养。

本节课的教学重点：利用已知函数模型解决实际问题，初步体验数学建模的基本步骤。

二、目标与目标解析1.目标能将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图像及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数函数的变化差异，正确利用合适的函数模型解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等素养。

2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能明确教科书例3 中的数学关系，认识指数增长模型；（2）能利用教科书中的例题数据，求解模型中的年平均增长率；（3）检验求得的模型并作出预测，提升学生的数学建模素养。

三、教学问题诊断分析首先，学生在本节课之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图像和性质，并应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题。

教学时可以多从两个方面帮助学生克服困难：一是根据实际问题的条件建立等量关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是从数和形出发，定性和定量地分析实际问题的变化规律。

(1)其次，在利用函数模型解决问题的过程中，大多数学生还没有养成利用信息技术根据函数模型进行运算求解的良好习惯。

第4章 指数函数与对数函数4.5.3 函数模型的应用学 习 任 务核 心 素 养1．会利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)通过本节内容的学习，认识函数模型的作用，提高数学建模、数据分析的素养.兔子是一种可爱的动物，尤其很受小朋友的喜爱．但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量为对数增长.知识点 常见函数模型 (1)一次函数模型 y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0) (2)二次函数模型 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)(3)指数函数模型 y ＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) (4)对数函数模型 y ＝m log a x ＋n (m ，a ，n 为常数，m ≠0，a >0且a ≠1) (5)幂函数模型 y ＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)(6)分段函数模型y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b (x <m )，cx ＋d (x ≥m ) 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．( )(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．( ) (3)在不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．( ) 〖答案〗 (1)√ (2)√ (3)√2.某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：x 1 2 3 … y138…则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x 2－1C ．y ＝2x －1D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2D 〖逐一检验可知D 选项符合．故选D.〗类型1 利用已知函数模型解决实际问题〖例1〗 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述，设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )×⎝⎛⎭⎫12th ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？〖解〗 先设定半衰期h ，由题意知 40－24＝(88－24)×⎝⎛⎭⎫1220h ， 即14＝⎝⎛⎭⎫1220h ， 解得h ＝10，故原式可化简为 T －24＝(88－24)×⎝⎛⎭⎫12t 10 ， 当T ＝32时，代入上式，得 32－24＝(88－24)×⎝⎛⎭⎫12t 10 ， 即⎝⎛⎭⎫12t10 ＝864＝18＝⎝⎛⎭⎫123，∴t ＝30.因此，需要30 min ，可降温到32 ℃.已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．[跟进训练]1．声强级L (单位：dB)由公式L ＝10lg ⎝⎛⎭⎫I10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m 2，能听到的最低声强为10－12W/m 2，求人听觉的声强级范围；(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB ，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？〖解〗 (1)由题知10－12≤I ≤1， ∴1≤I10－12≤1012， ∴0≤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12≤12，∴0≤L ≤120，故人听觉的声强级范围是〖0,120〗(单位：dB)．(2)设该女高音的声强级为L 1，声强为I 1，该男低音的声强级为L 2，声强为I 2， 由题知L 1－L 2＝20，则10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 110－12－10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 210－12＝20，∴lg I 1I 2＝lg 100，∴I 1＝100I 2. 故该女高音的声强是该男低音声强的100倍． 类型2 自建确定性函数模型解决实际问题〖例2〗 一种放射性元素，最初的质量为500 g ，按每年10%衰减． (1)求t 年后，这种放射性元素的质量w 的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)． 〖解〗 (1)最初的质量为500 g.经过1年，w ＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得lg 0.9t＝lg 0.5，即t lg 0.9＝lg 0.5，∴t＝lg 0.5lg 0.9≈6.6.即这种放射性元素的半衰期为6.6年．自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．[跟进训练]2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加．(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)〖解〗(1)依题意，一年后这种鸟类的个数为，1 000＋1 000×8%＝1 080(只)，两年后这种鸟类的个数为1 080＋1 080×8%≈1 166(只)．(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N(3)令1 000×1.08x ≥3×1 000，得：1.08x ≥3两边取常用对数得： lg 1.08x ≥lg 3，即x lg 1.08≥lg 3， 考虑到lg 1.08>0，故x ≥lg 3lg 1.08， 故x ≥lg 3lg 108100＝lg 3lg 108－2，因为lg 108＝lg(33×22)＝3lg 3＋2lg 2，所以x ≥lg 33lg 3＋2lg 2－2≈0.477 13×0.477 1＋2×0.301－2≈14.3.约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上．类型3 拟合数据构建函数模型解决实 际问题〖例3〗 某企业常年生产一种出口产品，自2016年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2016年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示：x 1 2 3 4 f (x )4.005.587.008.44(1)画出2016～2019年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2020年(即x ＝5)因受新型冠状病毒的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2020年的年产量为多少？借助散点图，联想常见函数模型的变化趋势，思考选用哪种函数模型解题？〖解〗 (1)画出散点图，如图所示． (2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.5，b ＝2.5，∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1， f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2020年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2020年的年产量为7万件．函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．[跟进训练]3．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入我国．现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为18 m 2，经过3个月其覆盖面积为27 m 2.现水葫芦的覆盖面积y (单位：m 2)与经过的时间x (单位：月，x ∈N )的关系有两个函数模型y ＝ka x (k >0，a >1)与y ＝px 12＋q (p >0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1 000倍．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)〖解〗 (1)∵y ＝ka x (k >0，a >1)的增长速度越来越快，y ＝px ＋q (p >0)的增长速度越来越慢，∴函数模型y ＝ka x (k >0，a >1)更合适， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ka 2＝18，ka 3＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，k ＝8，∴y ＝8×⎝⎛⎭⎫32x(x ∈N )．(2)设经过x个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的1 000倍．当x＝0时，y＝8，则有8×⎝⎛⎭⎫32x＝8×1 000，∴x＝log321 000＝lg 1 000lg32＝3lg 3－lg 2≈17.04.∴原先投放的水葫芦的面积为8 m2，约经过17个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1 000倍.1．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是()A B C D〖答案〗B2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()A．y＝0.95x50·mB．y＝(1－0.05x50)·mC．y＝0.9550－x·mD．y＝(1－0.0550－x)·mA〖设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.95150，所以从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95x 50·m.〗3．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是()A．600元B．50%C.32－1 D ．32＋1C 〖设6年间平均年增长率为x ，则有1 200(1＋x )6＝4 800，解得x ＝32－1.〗 4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．4 〖设至少要洗x 次，则⎝⎛⎭⎫1－34x≤1100， 所以x ≥1lg 2≈3.322，所以至少需4次．〗回顾本节知识，自我完成以下问题： 解决函数应用问题的基本步骤是什么？〖提示〗 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图：。

新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.5函数的应用（二）4.5.3函数模型的应用第1课时用函数模型解决实际问题教学案新人教A版必修第一册(教师独具内容)课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．教学重点：用函数刻画实际问题．教学难点：准确理解题意，理清变量间的关系．【知识导学】知识点函数模型应用的两个方面01已知函数模型解决问题．(1)利用□03解释有关现象，对某些发展趋势□04进(2)建立恰当的□02函数模型，并利用所得函数模型□行预测．【新知拓展】(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数刻画的方法可以用图象法，也可以用解析式法．( )(2)某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的关系为y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000，x∈Z)．( )(3)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是y＝2x.( )答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为( )A ．17B ．18C ．19D ．20(2)某物体一天内的温度T 是时间t 的函数T (t )＝t 3－3t ＋60，时间单位是h ，温度单位为℃，t ＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃.答案 (1)C (2)8题型一 利用已知函数模型求解实际问题例1 一种放射性元素，最初的质量为500 g ，按每年10%衰减． (1)求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1年，已知lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)[解] (1)最初的质量为500 g.经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91； 经过2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92； 由此推知，t 年后，ω＝500×0.9t. (2)解方程500×0.9t ＝250，则0.9t＝0.5， 所以t ＝lg 0.5lg 0.9＝－lg 22lg 3－1≈6.6(年)，即这种放射性元素的半衰期约为6.6年． 金版点睛在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．[跟踪训练1] 某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x 年后，该城市人口总数y (万人)与x (年)的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口将超过120万人(精确到1年)．(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg1.012≈0.005)解 (1)2009年底人口总数为100万人，经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3；……所以经过x 年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x， 所以y ＝100×(1＋1.2%)x ，x ∈N *.(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)由题意得100×(1＋1.2%)x＞120，两边取常用对数，得lg [100×(1＋1.2%)x]＞lg 120， 整理得2＋x lg 1.012＞2＋lg 1.2，得x ≥16， 所以大约16年以后，该城市人口将超过120万人. 题型二 自建函数模型解决实际问题例2 渔场中鱼群的最大养殖量为m (m >0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 小于m ，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值． [解] (1)根据题意知，空闲率是m －x m ，故y 关于x 的函数关系式是y ＝kx ·m －xm，0<x <m . (2)由(1)知，y ＝kx ·m －x m ＝－k m x 2＋kx ＝－k m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋mk4，0<x <m . 则当x ＝m 2时，y max ＝mk4.所以，鱼群年增长量的最大值为mk4.金版点睛建立数学模型应注意的问题用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意，把实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关：(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口． (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系．(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．[跟踪训练2] 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14.已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 110 .(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即，所以m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍伐了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 所以，所以n 10≤32，解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年．1．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )答案 A解析 设镭的衰变率为a ，则(1－a )100＝0.9576，得1－a ＝0.95761100，则y ＝0.9576x 100，故选A ．2．有一组试验数据如表所示：则最能体现这组数据关系的函数模型是( ) A ．y ＝2x ＋1－1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2log 2x D ．y ＝x 3答案 B解析 根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y ＝x 2－1.3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2019年的湖水量为m ，从2019年起，经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系为________．答案 y ＝0.9x50m解析 设淡水湖的湖水的年平均变化率为p ，则p 50＝0.9，∴p ＝0.9 150 .设2019年的湖水量为m ，则经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系是y ＝m ·0.9x50，即y ＝0.9 x50 m .4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.3010)．答案 4解析 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，解得x ≥1lg 2≈3.322，所以至少要洗4次．5．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售员为公司赚取的销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%奖励给该销售员；当销售员为公司赚取的销售利润超过15万元时，若超出部分为A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)奖励给该销售员，没超出部分仍按销售利润的10%奖励给该销售员．记奖金总额为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出y 关于x 的函数表达式；(2)如果销售员老张获得5.5万元的奖金，那么他为该公司赚取的销售利润是多少万元？解 (1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ，0＜x ≤15，1.5＋2log 5(x －14)，x ＞15.(2)∵x ∈(0,15]时，0.1x ≤1.5， 又y ＝5.5>1.5，∴x >15，∴1.5＋2log 5(x －14)＝5.5，解得x ＝39. ∴老张为该公司赚取的销售利润是39万元．。

4.5 函数的应用（二）最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．4．5.1 函数的零点与方程的解知识点一函数的零点1．零点的定义对于函数y＝f(x)，把f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．状元随笔定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.[教材解难]1．教材P142思考能．先构造函数f(x)＝ln x＋2x－6，再判断函数f(x)是增函数，又f(2)＜0，f(3)＞0，∴方程ln x＋2x－6＝0的根在2,3之间．[基础自测]1．函数y ＝3x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A.23；23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0；23 C ．－23；－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0；－23 解析：令3x －2＝0，则x ＝23，∴函数y ＝3x －2的图象与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，函数零点为23.答案：B2．函数f (x )＝ln (x ＋1)－2x的零点所在的一个区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0， ∴f (1)·f (2)＜0，∴函数f (x )的一个零点区间为(1,2)． 答案：B3．函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D4．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型一函数零点的概念及求法例1 (1)下列图象表示的函数中没有零点的是( )(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．①f(x)＝－x2－4x－4.②f(x)＝4x＋5.③f(x)＝log3(x＋1)．【解析】(1)由图观察，A中图象与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．(2)①令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2.②令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．③令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.【答案】(1)A (2)见解析状元随笔 1.由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点．2．求函数对应方程的根即为函数的零点．方法归纳函数零点的求法求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1 若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a.题型二确定函数零点的个数[教材P143例1]例2 求方程ln x＋2x－6＝0的实数解的个数．【解析】设函数f(x)＝ln x＋2x－6，利用计算工具，列出函数y＝f(x)的对应值表(表)，并画出图象(图)．表x y1－42－1.306 93 1.098 64 3.386 35 5.609 467.791 879.945 9812.079 4914.197 2图由表和图可知，f(2)＜0，f(3)＞0，则f(2)f(3)＜0.由函数零点存在定理可知，函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内至少有一个零点．容易证明，函数f(x)＝ln x＋2x－6，x∈(0，＋∞)是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程ln x＋2x－6＝0只有一个实数解．状元随笔可以先借助计算工具画出函数y＝ln x＋2x－6的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象．根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．答案：(1)B (2)一个状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图象，依据图象与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．题型三判断函数的零点所在的大致区间例3 设x0是函数f(x)＝ln x＋x－4的零点，则x0所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)【解析】因为f(2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞ln e－1＝0，f(2)·f(3)＜0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为(2,3)．【答案】 C状元随笔根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：f(2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2)·f(3)＜0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：Cf(x)单调的条件下，利用f(a)·f(b)＜0求零点区间．解题思想方法数形结合思想例已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．解析：如图，由图象知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图象有三个交点，则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.答案：1【反思与感悟】求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解．课时作业 25一、选择题1．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤0)，x －1 (x ＞0) D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)，x －1 (x ＜0)解析：令y ＝0，得A 中函数的零点为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；C 中函数的零点为1，－1；只有D 中函数无零点．答案：D2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.答案：C3．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，18D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝π4＋log 214＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π2＋log 212＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，故函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：本题主要考查函数的零点及函数的图象．g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点等价于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0与h (x )＝－x －a 的图象存在2个交点，如图，当x ＝0时，h (0)＝－a ，由图可知要满足y ＝f (x )与y ＝h (x )的图象存在2个交点，需要－a ≤1，即a ≥－1.故选C.答案：C 二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． 解析：方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又 f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上的图象是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 方法二 令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 答案：存在6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0零点的个数为________．解析：x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0， 解得：x ＝－3.x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增， f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0，∵f (1)f (e 3)＜0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 总之，f (x )在R 上有2个零点． 答案：27．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＜0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________． 解析：由题意f (1)·f (0)＜0.∴a (2＋a )＜0.∴－2＜a ＜0. 答案：(－2,0) 三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x； (2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； (3)f (x )＝2x－3； (4)f (x )＝1－log 3x . 解析：(1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点. (3)令2x －3＝0，解得x ＝log 23，所以函数f (x )＝2x－3的零点是log 23. (4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3，所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3.9．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝log n (mx ＋1)的零点． 解析：由题可知，f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2. 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.所以函数y ＝log n (mx ＋1)的解析式为y ＝log 2(－2x ＋1)，要求其零点，令log 2(－2x ＋1)＝0，解得x ＝0. 所以函数y ＝log 2(－2x ＋1)的零点为0.[尖子生题库]10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得 103＜a ＜174.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。