2019届高考数学总复习第二单元函数第8讲二次函数检测

二次函数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = 2x + 1B. y = x^2 + 3x + 2C. y = 3x^3 - 5D. y = 4/x答案：B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为（h, k），那么h的值为：A. -b/2aB. -b/aC. b/2aD. b/a答案：C3. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴方程是：A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案：A4. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，那么a的值：A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 可以是任意实数答案：A5. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (3, 4)答案：C6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的图象与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C7. 二次函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A8. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的图象开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A9. 二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图象与y轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (0, -3)C. (0, 5)D. (0, -5)答案：A10. 二次函数y = 5x^2 - 10x + 8的图象与x轴的交点坐标是：A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (1, 0)D. (-1, 0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且经过点（2, 0），则a的值至少为______。

答案：02. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是（______, ______）。

2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试08 函数 二次函数及其性质【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握二次函数的图象与性质,2.会求二次函数的最值(值域)、单调区间. 二、知识概述：二次函数1.一元二次方程的相关知识：根的判别式： ；判别式与根的关系：________________________； 求根公式：_____________________；韦达定理：____________________.；；；2.二次函数的相关知识：定义域：________________________； 值域：________________________； 对称轴方程：____________________； 顶点坐标：____________________； 与y 轴的交点坐标：______________. 二次函数的顶点式：______________.二次函数的零点式：__________________；与x 轴的交点坐标：_______________________；定义域：R ； 值域：；对称轴方程：abx 2-=； 顶点坐标：；与y 轴的交点坐标：),0(c .二次函数的顶点式：.二次函数的零点式：；与x 轴的交点坐标：；3.二次函数的单调性：当0a >时，单调增区间是___________；单调减区间是__________. 当0a <时，单调增区间是___________；单调减区间是__________.0>a 时),2(+∞-a b ；)2,(a b --∞．0<a 时)2,(a b --∞；),2(+∞-ab4.二次函数在某一闭区间上的最值：首先确定二次函数的顶点：_______________ ①若顶点的横坐标在给定的区间上，则：0a >时，在顶点处取得最____值，为_______，在离对称轴较远的端点取得最____值. 0a <时，在顶点处取得最____值，为_______，在离对称轴较远的端点取得最____值.②若顶点的横坐标不在给定的区间上，则：0a >时，最___值在离对称轴较近的端点处取得，最___值在离对称轴较远的端点处取得. 0a <时，最___值在离对称轴较近的端点处取得，最___值在离对称轴较远的端点处取得.；①小，a b ac 442-，大；大，ab ac 442-，小 ②小 大 大 小5.考点探析：从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质.6.温馨提示：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论； （2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．7.根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：（1）已知三个点的坐标，可选用一般式；（2）已知顶点坐标、对称轴、最大或最小值，可选用顶点式；（3）已知抛物线与x 轴的两交点坐标，可选用两点式. 【常见题型】1.二次函数的解析式：（1）已知二次函数的图象经过三点01A （，），12B （，），21C -（，）那么这个二次函数的解析式为______．【答案】（2）已知：抛物线与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过点为（1，-29），则函数解析式为______．【解析】设二次函数解析式为，因为二次函数图象交x 轴于（-2，0），（4，0）两点，且过点（1，-29），设，∴， ∴12a =．∴ 所求函数解析式为：, ．【答案】(3)已知二次函数()f x 的图象经过点()4,3，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x R ∈，都有，求f (x )的解析式．【解析】由题意对R x ∈恒成立可知，二次函数的对称轴是直线2=x .并且函数()x f 的图象被x 轴截得的线段的长为2，所以可知方程()0=x f 的两个根为1，3.根据题意可设函数()x f 的解析式为，题中给出函数的图象过点（4，3），将点坐标代入解析式中可以求得1=a ，所以函数的解析式为.2.二次函数的图象和性质(1)（2010安徽）设0>abc，二次函数的图象可能是 （ ）并且要明确的是当b a ,同号函数图象的对称轴位于y 轴左侧，b a ,异号函数图象的对称轴位于y 轴的右侧.c 表示的是函数图象与y 轴的交点位置，当0>c 时，图象与y 轴交于正半轴，当0<c 时，图象与y 轴交于负半轴.结合题意可知符合题意的图象是D ，此时⎪⎩⎪⎨⎧<<>000c b a .【答案】D (2)函数的图象关于直线1x =对称，则.【解析】由题意可知二次函数的对称轴为直线，解得4-=a ，又因为[]b a x ,∈是关于1=x 对称，所以有12=+ba ，解得6=b .【答案】（3）设二次函数在区间[]0,1上单调递减，且，则实数m 的取值范围是 .( )【答案】[]20，法二：因为二次函数在区间[]0,1上单调递减，则0a ≠，函数的对称轴是直线1x ＝，可知函数的图象是开口向上的，所以有，当时一定有02m ≤≤.【答案】[]20，3.二次函数的单调性：（1）【2014江苏，理10】已知函数，若对于任意的都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .【解析】据题意可知对于任意的都有()0f x <，等价于函数在这个区间上的两个边界处的函数值恒小于零，即为解得．【答案】2(,0)2-（2）若关于x 的不等式在区间()1,4内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A . 2a <-B . 2a >-C . 6a >-D . 6a <-【解析】试题分析：不等式在区间()1,4内有解等价于，令， ()1,4x ∈，所以，所以2a <-.【答案】A 【真题分析】1.【2016全国Ⅰ卷】函数的最大值为（ ） （A ）4（B ）5（C ）6（D ）7【答案】B2. 【2018年浙江卷】已知R ∈λ，函数，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【解析】本题考点是两类函数的零点的应用.由题意可得⎩⎨⎧<-≥042x x 或，所以有42<≤x 或41<<x ，不等式的()0<x f 的解集为()41，.当4>λ时，，此时，可以得到3,1=x，即在()λ，∞-上有两个零点.当4≤λ时，，由在()λ，∞-上只能有一个零点，31≤<λ，综上所述，λ的取值范围为【答案】 ()41，，3.【2018年天津卷文】已知R a ∈，函数，若对任意，()x x f ≤恒成立，则a 的取值范围是__________．②当时，()x x f ≤也就是，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则2≤a ；综合①②可得a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡281，.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡281， 4.【2018福建省厦门市二模文】设函数若恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.[]21， B .[]20， C . [)∞+，1 D . [)∞+，2【解析】本题考点是二次函数的性质与恒成立问题.由题意可知()1f 是函数()x f 的最小值.结合题意可得二次函数的对称轴不直线a x=，所以有1≥a，所以有，可得2≤a，所以有21≤≤a .【答案】A5.【2017浙江，5】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B6.【2017课标II ，文8】函数的单调递增区间是（ ）A.(,2)-∞-B. (,1)-∞-C. (1,)+∞D. (4,)+∞【解析】本题考点是复合函数的单调区间，如果函数有意义，那么就有，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ .故选D. 【答案】D【变式】【2014天津，理4】函数的单调递增区间是（ ）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥ （D ）(),2-?【解析】函数的定义域为，由于外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，只要求的单调递减区间，结合函数的定义域，得单调递增区间为(),2-∞-，故选D ．【答案】A 7．对于二次函数()f x =ax 2– bx +c , 若函数(1)f x +是偶函数,则ba的值为( ) A. 0 B.1 C.2 D.-2 【解析】：令(1)y f x =+的一次项系数为0，可得2ba=． 【答案】：C8.已知函数，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B.(0,8)C.(2,8)D. (,0)-∞【答案】B9.已知函数,,其中x R ∈,,a b 为常数，则方程的解集为 .【解析】：令0x =得，故无实数根，所以亦无实数根．【答案】：∅10. 已知二次函数则下列结论：①a +b >0; ②a +c >0;③a – b – c <0，其中正确的结论序号为 ．【解析】：，，即0a b +>；，由0a b c -+=有；同理有0c >，．【答案】：①， ②，③。

二次函数测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = x + 2B. y = x^2 + 3x + 1C. y = 2x^3D. y = 1/x答案：B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标是：A. (-b, a)B. (-b/a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2/4a)D. (-b/2a, 4ac + b^2/4a)答案：C3. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，那么a、b、c之间的关系是：A. b^2 - 4ac > 0B. b^2 - 4ac < 0C. b^2 - 4ac = 0D. b^2 - 4ac ≠ 0答案：A二、填空题4. 二次函数y = -3x^2 + 6x - 5的顶点坐标是______。

答案：(1, -2)5. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，那么a的值是______。

答案：> 0三、解答题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求其图像与x轴的交点。

解：令y = 0，得到方程2x^2 - 4x + 3 = 0。

通过求解这个方程，我们可以得到x的值。

首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 2 * 3 = 16 - 24 = -8。

因为Δ < 0，所以这个二次方程没有实数解，即二次函数的图像与x轴没有交点。

7. 已知二次函数y = 3x^2 + 6x - 5，求其图像的对称轴。

解：二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴是x = -b/(2a)。

将a= 3, b = 6代入公式，得到对称轴为x = -6 / (2 * 3) = -1。

四、应用题8. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 100x + 1000，其中x表示产品的数量。

二次函数经典测试题附答案二次函数经典测试题附答案一、选择题1.小明从如图所示的二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像中，观察得出了下面五条信息：①$c0$，③$a-b+c>0$，④$b^2>4ac$，⑤$2a=-2b$，其中正确结论是（）．A。

①②④B。

②③④C。

③④⑤D。

①③⑤解析】本题考查了二次函数图像与系数关系，观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。

由抛物线的开口方向判断 $a$ 的符号，由抛物线与 $y$ 轴的交点判断 $c$ 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 $x$ 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。

详解】①由抛物线交 $y$ 轴于负半轴，则 $c0$；由对称轴在 $y$ 轴右侧，对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，又 $a>0$，故$b0$，故②错误；③结合图像得出 $x=-1$ 时，对应 $y$ 的值在 $x$ 轴上方，故 $y>0$，即 $a-b+c>0$，故③正确；④由抛物线与 $x$ 轴有两个交点可以推出 $b^2-4ac>0$，故④正确；⑤由图像可知：对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，则 $2a=-2b$，故⑤正确；故正确的有：③④⑤。

故选：C。

点睛】本题考查了二次函数图像与系数关系，观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。

2.二次函数 $y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）图像如图所示，下列结论：①$abc>0$；②$2a+b^2=2$；③当 $m\neq1$ 时，$a+b>am^2+bm$；④$a-b+c>0$；⑤若$ax_1+bx_1=ax_2+bx_2$，且 $x_1\neq x_2$，则 $x_1+x_2=2$。

其中正确的有（）A。

①②③B。

②④C。

②⑤D。

考点集训(八) 第8讲 二次函数1．在下列图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x的图象只可能是2．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于 A ．－b 2a B ．－b aC ．c D.4ac －b 24a3．已知关于x 的方程x 2－2mx ＋m －3＝0的两个实数根x 1，x 2满足x 1∈(－1，0)，x 2∈(3，＋∞)，则实数m 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，65 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23 4．若方程|x 2＋4x |＝m 有实数根，则所有实数根的和可能是A ．－2、－4、－6B ．－4、－5、－6C ．－3、－4、－5D ．－4、－6、－85．设f (x )＝|1－x 2|，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是A ．(0，1)B ．(0，1]C ．(0，2)D ．(0，2]6．函数f (x )＝x 2－λx ，若f (n ＋1)>f (n )对任意正整数n 均成立，则λ的取值范围是A ．λ>0B ．λ>－3C ．λ<1D ．λ<37．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2，1)，且方程f (x )＝0有且只有一个实根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．8．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于任意x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．第8讲 二次函数【考点集训】1．A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D7．【解析】(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，即Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，即a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－（k －2）24. 所以当k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0时，g (x )是单调函数． 8．【解析】(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以m 的取值范围是(－4，0]．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1，3]上恒成立，就是要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：方法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]． 当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，所以m <67，则0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67. 方法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67， 所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.。

二次函数单元测试题一、选择题1、二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）2、如图为抛物线的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）A．a＋b=－1 B．a－b=－1 C．b<2a D．ac<03、已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A. B. C.且 D.且4、抛物线C1：y=x2+1与抛物线C2关于轴对称，则抛物线C2的解析式为A. y=-x2B. y=-x2+1C. y=x2-1D. y=-x2-15、将抛物线y=2x2向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到的抛物线,其解析式是A. y=2(x+3)2+1B. y=2(x－3)2－1C.y=2(x+3)2－1D. y=2(x－3)2+16、根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x 轴…………………………………………………【】X ……-1 0 1 2 ……Y ……-9 -3 -1 -3 ……A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在y轴两侧C.有两个交点，且它们均在y轴同侧D.无交点7、如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞58、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个9、二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（）A．B．3 C．D．910、如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是11、如图，已知□ABCD中，AB=4,AD=2,E是AB边上的一动点（与点A、B不重合），设AE=,DE的延长线交CB的延长线于点F，设BF=，则下列图象能正确反映与的函数关系的是12、若二次函数（为常数）的图象如下，则的值为（）A． B． C．或 D．13、如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D （F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与 x之间函数关系的图象是（）14、如图所示，二次函数的图像经过点（－1，2），且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15、抛物线的部分图像如图所示，若y>0，则的取值范围是( )A． B． C． D．二、填空题16、已知二次函数x+2的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为．17、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，（1）给出三个结论：①b2-4ac>0；②c>0；③b>0，其中正确结论的序号是： .（2）给出三个结论：①9a+3b+c<0；②2c>3b；③8a+c>0，其中正确结论的序号是： .18、如图7，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面_____________．19、已知直线（p＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，过B点的抛物线的顶点为C，如果△ABC恰为等边三角形，则b的值为．20、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－＞0．其中正确的结论有。

2019年高考数学总复习 2-7 一次函数、二次函数及复合函数但因为测试 新人教B 版1.(2018·汕头一检)若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－52)B ．(52，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－52，＋∞)[答案] B[解析] 设f(x)＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f(1)<0，即1－2m ＋4<0⇒m>52，故选B.2．(文)若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴右边，则函数f ′(x)的图象可能是( )[答案] B[解析] 由题意知对称轴x ＝－b2a >0，则ab<0，∴a>0，b<0或a<0，b>0，又f ′(x)＝2ax ＋b ，故选B.(理)函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 与其导函数f ′(x)在同一坐标系内的图象可能是( )[答案] C[解析] 若二次函数f(x)的图象开口向上，则导函数f ′(x)为增函数，排除A ；同理由f(x)图象开口向下，导函数f ′(x)为减函数，排除D ；又f(x)单调增时，f ′(x)在相应区间内恒有f ′(x)≥0，排除B ，故选C.3．(文)(2018·济南模拟)已知二次函数f(x)图象的对称轴是x ＝x 0，它在区间[a ，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则( )A ．x 0≥bB ．x 0≤aC ．x 0∈(a，b)D ．x 0∉(a ，b)[答案] D[解析] ∵f(x)在区间[a ，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，且f(x)为二次函数， ∴f(x)在[a ，b]上单调递减，又f(x)对称轴为x ＝x 0，开口方向未知， ∴x 0≤a 或x 0≥b，即x 0∉(a ，b)．(理)若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( ) A ．a<－1 B ．a>1 C ．－1<a<1 D ．0≤a<1[答案] B[解析] 令f(x)＝2ax 2－x －1，当a ＝0时，显然不合题意． ∵f(0)＝－1<0 f(1)＝2a －2∴由f(1)>0得a>1，又当f(1)＝0，即a ＝1时，2x 2－x －1＝0两根x 1＝1，x 2＝－12不合题意，故选B.4．函数f(x)对任意x∈R，满足f(x)＝f(4－x)．如果方程f(x)＝0恰有2018个实根，则所有这些实根之和为( )A ．0B ．2018C ．4022D ．8044[答案] C[解析] ∵x∈R 时，f(x)＝f(4－x)，∴f(x)图象关于直线x ＝2对称，实根之和为2×2018＝4022.5．已知方程|x|－ax －1＝0仅有一个负根，则a 的取值范围是( ) A ．a<1 B ．a≤1 C ．a>1 D ．a≥1[答案] D[解析] 数形结合判断．6．(2018·广东肇庆二模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x≤0－x ＋2，x>0，则不等式f(x)≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2][答案] A [解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x≤0x ＋2≥x2或⎩⎪⎨⎪⎧x>0－x ＋2≥x2⇒－1≤x≤0或0<x≤1⇒－1≤x≤1，故选A.[点评] 可取特值检验，如x ＝－2,2可排除B 、C 、D.7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x∈[－1，1]x ，x ∉[－1，1]，若f[f(x)]＝2，则x 的取值范围是________．[答案] {x|－1≤x≤1或x ＝2}[解析] 若x∈[－1,1]，则有f(x)＝2∉[－1,1]，∴f(2)＝2，∴－1≤x≤1时，x 是方程f[f(x)]＝2的解．若x ∉[－1,1]，则f(x)＝x ∉[－1,1]，∴f[f(x)]＝x ，此时若f[f(x)]＝2，则有x ＝2， ∴x＝2是方程f[f(x)]＝2的解．8．(2011·佛山二检)若函数f(x)＝ax ＋b(a≠0)的一个零点是1，则函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是________．[答案] 0或－1[解析] 由题意知ax ＋b ＝0(a≠0)的解为x ＝1，∴b＝－a ，∴g(x)＝－ax 2－ax ＝－ax(x ＋1)，令g(x)＝0，则x ＝0或x ＝－1.9．函数f(x)＝(a ＋1)x ＋2a 在[－1,1]上的值有正有负，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－13，1)[解析] 由条件知，f(－1)·f(1)<0， ∴(a－1)(3a ＋1)<0，∴－13<a<1.10．(文)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋3在[m,0]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．[答案] [－2，－1][解析] f(x)＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，对称轴x ＝－1，开口向上，f(－1)＝2，∴m≤－1.又f(0)＝f(－2)＝3，∴m≥－2，故m∈[－2，－1]．(理)设函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x ＋4，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0时，有f(x 1)>f(x 2)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a<12[解析] 由题意得1－2a 2>0，得a<12.11.已知函数f(x)＝2x 2＋(4－m)x ＋4－m ，g(x)＝mx ，若对于任一实数x ，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，4)D ．(－∞，－4)[答案] C[解析] 首先当m ＝0时，f(x)＝2x 2＋4x ＋4＝2(x ＋1)2＋2>0恒成立，故m ＝0满足条件，排除D ；当m ＝4时，f(x)＝2x 2，g(x)＝4x.当x ＝0时，f(x)＝g(x)＝0，故m≠4，排除A ；当m ＝－4时，f(x)＝2x 2＋8x ＋8＝2(x ＋2)2，g(x)＝－4x ，当x≠－2时，f(x)>0，当x ＝－2时，g(x)>0，故排除B.12．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数的解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{5,19,1}的“孪生函数”共有( )A ．4个B ．6个C ．8个D ．9个[答案] D[解析] 由2x 2＋1＝1得x ＝0； 由2x 2＋1＝5得x ＝±2， 由2x 2＋1＝19得x ＝±3，要使函数的值域为{5,19,1}，则上述三类x 的值都要至少有一个，因此x ＝0必须有，x ＝±2可以有一个，也可以有2个，共有三种情形，对于它的每一种情形，都对应x ＝±3的三种情形，即定义域可以是{0，2，3}，{0，2，－3}，{0，2，3，－3}，{0，－2，3}，{0，－2，－3}，{0，－2，3，－3}，{0，2，－2，3}，{0，2，－2，－3}，{0，2，－2，3，－3}共9种，故选D.13．(文)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋，π，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x 的解的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[答案] B[解析] 依题意得16－4b ＋c ＝c ，∴b＝4. 又∵4－2b ＋c ＝－2，∴c＝2，∴函数解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x≤0，π，x>0.则方程f(x)＝x 转化为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x≤0，π，x>0.解得x 1＝－2，x 2＝－1，x 3＝π.(理)(2018·福建质检)设二次函数f(x)＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2][答案] D[解析] 二次函数f(x)＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f ′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.14．(文)已知函数f(x)＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b 等于________． [答案] 2[解析] ∵f(x)＝(x －1)2＋1，∴f(x)在[1，b]上是增函数，f(x)max ＝f(b)，∴f(b)＝b ， ∴b 2－2b ＋2＝b ，∴b 2－3b ＋2＝0，∴b＝2或1(舍)．(理)(2018·江南十校联考)已知函数f(x)的自变量的取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f(x)的保值区间．函数f(x)＝x 2的形如[n ，＋∞)(n∈(0，＋∞))的保值区间是________．[答案] [1，＋∞)[解析] 因为f(x)＝x 2在[n ，＋∞)(n∈(0，＋∞))上单调递增，所以f(x)在[n ，＋∞)上的值域为[f(n)，＋∞)，若[n ，＋∞)是f(x)的保值区间，则f(n)＝n 2＝n ，解得n ＝1.15．(文)(2018·辽宁沈阳模拟)二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2.(1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)图象的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1.[解析] (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)，方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0. |x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4. 由韦达定理可知，x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a .代入上式可得4a 2＋4a －1＝0，解得a ＝－1＋22，a ＝－1－22(舍去)．(2)∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4， 设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧，，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋－＋1<016a ＋－＋1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a>14，b<14.∴2a－b>0.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b2a>－1.(理)已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x ，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，有f(x)≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122.(1)求f(1)的值； (2)证明a>0，c>0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx(x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1. [解析] (1)对x∈R，f(x)－x≥0恒成立， 当x ＝1时，f(1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝1，∴1≤f(1)≤1，∴f(1)＝1.(2)证明：∵f(1)＝1，f(－1)＝0，∴a＋b ＋c ＝1， a －b ＋c ＝0，∴b＝12.∴a＋c ＝12.∵f(x)－x≥0对x∈R 恒成立， ∴ax 2－12x ＋c≥0对x∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>0ac≥116，∴c>0，故a>0，c>0.(3)证明：∵a＋c ＝12，ac≥116，由a>0，c>0及a ＋c≥2ac ，得ac≤116，∴ac＝116，当且仅当a ＝c ＝14时，取“＝”．∴f(x)＝14x 2＋12x ＋14.∴g(x)＝f(x)－mx ＝14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m x ＋14＝14[x 2＋(2－4m)x ＋1]．∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，∴2m－1≤－1或2m －1≥1，∴m≤0或m≥1.*16.(2018·山东实验中学三诊)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax ，x∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x＋2.∵x≥1时，f′(x)＝1－12x2>0， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)解法1：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立⇔x 2＋2x ＋a>0恒成立⇔a>－x 2－2x 恒成立⇔a>(－x 2－2x)max ，x≥1.∵－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1， ∴当x ＝1时，(－x 2－2x)max ＝－3， ∴a>－3.解法2：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立⇔x 2＋2x ＋a>0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x∈[1，＋∞)， ∴y＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1递增， ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，当且仅当y min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立， ∴a>－3.1．(2018·平顶山模拟)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(－∞，2][答案] C [解析]如图所示．∵f(x)＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，∵f(0)＝3，f(1)＝2，且f(2)＝3，可知只有当m∈[1,2]时，才能满足题目的要求． 2．(2018·泉州模拟)设x ，y 是关于m 的方程m 2－2am ＋a ＋6＝0的两个实根，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值是( )A ．－1214B ．18C ．8 D.34[答案] C[解析] ∵x＋y ＝2a ，xy ＝a ＋6，∴(x－1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2－2(x ＋y)＋2＝(x ＋y)2－2(x ＋y)－2xy ＋2 ＝4a 2－4a －2(a ＋6)＋2 ＝4a 2－6a －10＝4(a －34)2－494.又∵x、y 是方程m 2－2am ＋a ＋6＝0的两根， ∴Δ＝4a 2－4(a ＋6)≥0， 即a≥3或a≤－2.∴当a ＝3时，(x －1)2＋(y －1)2的最小值为8.3．(2018·安徽)设abc>0，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a<0，则只能是A 或B 选项，A 中－b2a <0，∴b<0，从而c>0，与A 图不符；B 中－b2a >0，∴b>0，∴c<0，与B 图不符．若a>0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，当b>0时，有c>0与C 、D 图不符，当b<0时，有c<0，此时－b2a>0，f(0)＝c<0，故选D.4．已知f(x)＝(x －a)(x －b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )A ．α<a<b<βB ．a<α<β<bC ．a<α<b<βD ．α<a<β<b[答案] A[解析] 设g(x)＝(x －a)(x －b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.5．(2018·山东淄博一模)若a<0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a>(12)a >(0.2)aB ．(0.2)a >(12)a >2a C ．(12)a >(0.2)a >2a D ．2a>(0.2)a >(12)a [答案] B[解析] 若a<0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >(12)a >0.所以(0.2)a >(12)a >2a. 6．已知关于x 的函数f(x)＝x 2－2x －3，若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则f(x 1＋x 2)等于________．[答案] －3[解析] ∵二次函数f(x)＝x 2－2x －3中，a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，∴由f(x 1)＝f(x 2)得，x 1＋x 22＝－b 2a＝1， 所以x 1＋x 2＝2，则f(x 1＋x 2)＝f(2)＝－3.7．(2018·南京模拟)已知函数f(x)＝x 2＋abx ＋a ＋2b(a>0，b>0)，若f(0)＝4，则f(1)的最大值为________．[答案] 7[解析] ∵f(0)＝4，∴a＋2b ＝4，∴f(1)＝ab ＋a ＋2b ＋1＝ab ＋5，∵a>0，b>0，∴4＝a ＋2b≥22ab ，∴ab≤2，等号在a ＝2b ＝2，即a ＝2，b ＝1时成立．∴f(1)＝ab ＋5≤7.。

二次函数单元测试题及答案一、选择题1. 二次函数y = ax^2 + bx + c中，当a的值变为原来的2倍时，函数图像如何变化？A. 向上平移B. 向下平移C. 向左平移D. 向右平移答案：B2. 下列哪个选项是二次函数的标准形式？A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x^2 - 3x + 4C. y = 3x + 4D. y = x - 2答案：B3. 若二次函数y = -2x^2 + 3x + 1的顶点坐标为(1, 2)，则下列哪个选项是正确的？A. a = -2, b = 3, c = 1B. a = 2, b = -3, c = -1C. a = -2, b = -3, c = -1D. a = 2, b = 3, c = 1答案：A4. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 9的最小值是多少？A. 0B. 3C. 9D. 无法确定答案：C5. 如果二次函数y = x^2 + 4x + 4的图像与x轴相交于两点A和B，那么线段AB的长度是多少？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C二、填空题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 5x + 3，其顶点坐标为__________。

答案：(1, -1)7. 函数y = -x^2 + 4x - 3的最大值是__________。

答案：18. 若二次函数y = 3x^2 - 2x - 5的图像关于y轴对称，则新的函数表达式为y = __________。

答案：y = 3x^2 + 2x - 5三、解答题9. 已知二次函数y = -2x^2 + 6x + 3，求该函数在x = -1时的函数值。

答案：当x = -1时，y = -2*(-1)^2 + 6*(-1) + 3 = -2 - 6 + 3 =-5。

10. 给定二次函数y = x^2 - 6x + 9，求该函数的对称轴方程。

答案：对称轴为x = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3。

题组层级快练(八)1．若函数y ＝(x ＋4)2在某区间上是减函数，则这区间可以是( ) A ．[－4，0] B ．(－∞，0] C ．(－∞，－5] D ．(－∞，4]答案 C2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( ) A ．f(x)＝－x 2－x －1 B ．f(x)＝－x 2＋x －1 C ．f(x)＝x 2－x －1 D ．f(x)＝x 2－x ＋1答案 D解析 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x. 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1， 则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D.3．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图像上，则( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 1<y 3<y 2 D ．y 2<y 1<y 3答案 A4．(2018·杭州学军中学模拟)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图像过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为( ) A ．[0，12] B ．[－14，12]C ．[－12，12]D ．[34，12]答案 B解析 因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图像过坐标原点，所以f(0)＝0，所以b ＝0. 因为f(－x)＝f(－1＋x)，所以函数f(x)的图像的对称轴为x ＝－12，所以a ＝1，所以f(x)＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，所以函数f(x)在[－1，－12]上为减函数，在(－12，3]上为增函数，故当x ＝－12时，函数f(x)取得最小值－14.又f(－1)＝0，f(3)＝12，故函数f(x)在[－1，3]上的值域为[－14，12]，故选B.5．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．[0，4] C ．(0，4] D ．[0，4)答案 B解析 因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.6．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，2] C ．[－1，2] D ．[2，5) 答案 C解析 二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图像可知m 的取值范围是[－1，2]． 7．设abc ＞0，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )答案 D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a ＞0，函数f(x)的图像与y 轴的交点(0，c)在x 轴下方．故选D.8．(2018·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，（x ≤0），2，（x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．3答案 D解析 由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4. f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 （x ≤0），2 （x>0）.又f(x)＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．9．(2018·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈(0，12]恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( ) A ．0 B ．2 C ．－52D ．－3答案 C解析 设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈(0，12]，则g(x)≥0在x ∈(0，12]上恒成立，即a ≥－(x ＋1x )在x ∈(0，12]上恒成立．又h(x)＝－(x ＋1x )在x ∈(0，12]上为单调递增函数，当x ＝12时，h(x)max＝h(12)，所以a ≥－(12＋2)即可，解得a ≥－52.10．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________． 答案 9或25解析 y ＝8(x －m －116)2＋m －7－8·(m －116)2，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·(m －116)2＝0，∴m ＝9或25.11．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析 函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k8≥2，解得k ≥8或k ≤－16.(2)若函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5(x<2)不是单调函数，则实数b 的取值范围为________． 答案 (－4，＋∞)解析 函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图像是开口向上，以x ＝－b2为对称轴的抛物线，所以此函数在(－∞，－b 2)上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b2<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．12．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的范围是________． 答案 0≤a ≤1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.13．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 ①a<15 ②a<3解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<[f(x)]max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝3时，[f(x)]max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<[f(x)]min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝1时，[f(x)]min ＝3，故a 的取值范围为a<3. 14．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________． 答案 1解析 因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a>4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.15．(2018·邯郸一中月考)已知函数f(x)＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a]，并且函数f(x)的最大值为f(a)，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥5解析 ∵f(x)的对称轴为x ＝3，要使f(x)在[1，a]上最大值为f(a)，由图像对称性知a ≥5. 16．已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f(|x|)的单调区间． 答案 (1)最小值－1，最大值35 (2)a ≤－6或a ≥4(3)单调递增区间(0，6]，单调递减区间[－6，0]解析 (1)当a ＝－2时，f(x)＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， ∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f(x)＝x 2＋2x ＋3，∴f(|x|)＝x 2＋2|x|＋3，此时定义域为x ∈[－6，6]，且f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈（0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0].∴f(|x|)的单调递增区间是(0，6]， 单调递减区间是[－6，0]．17．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求实数k 的取值范围． 答案 (1)f(x)＝x 2＋2x ＋1，单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1] (2)(－∞，1)解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f(x)＝x 2＋2x ＋1.由f(x)＝(x ＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]． (2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立， 即k<x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立． 令g(x)＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g(x)＝(x ＋12)2＋34，知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数．则g(x)min ＝g(－1)＝1.所以k<1. 即k 的取值范围是(－∞，1)．18．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1，(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝－1＋22(2)略解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)． 方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0.|x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.由韦达定理，可知 x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a.代入上式，可得4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22，a ＝－1－22(舍去)．(2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4，设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎨⎧2a>14，b<14.∴2a －b>0.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0， ∴x 0＝－b2a>－1.1．已知函数f(x)＝x 2＋(a ＋1)x ＋ab ，若不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x ≤4}，则a ＋2b 的值为( ) A ．－2 B ．3 C ．－3 D ．2答案 A解析 依题意，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋4＝－（a ＋1），－1×4＝ab ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝1，所以a ＋2b 的值为－2，故选A. 2．(2018·湖北黄冈中学模拟)若函数f(x)＝dax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ，d ∈R )的图像如图所示，则a ∶b ∶c ∶d ＝( )A ．1∶6∶5∶8B ．1∶6∶5∶(－8)C ．1∶(－6)∶5∶8D ．1∶(－6)∶5∶(－8)答案 D解析 由图像可知，x ≠1，5，所以ax 2＋bx ＋c ＝k(x －1)(x －5)，所以a ＝k ，b ＝－6k ，c ＝5k ，根据图像可得当x ＝3时，y ＝2，所以d ＝－8k ，所以a ∶b ∶c ∶d ＝1∶(－6)∶5∶(－8)． 3．已知函数f(x)＝x 2－2tx ＋1在(－∞，1]上单调递减，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f(x 1)－f(x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[1，2]B ．[－2，2]C ．(1，2)D ．(－2，2)答案 A解析 因为函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，所以t ≥1，所以当x ∈[0，t ＋1]时，f(x)max ＝f(0)，f(x)min ＝f(t)．又对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f(x 1)－f(x 2)|≤2等价于f(x)max －f(x)min ≤2，即f(0)－f(t)≤2，所以1－(t 2－2t ×t ＋1)≤2，所以t 2≤2，又t ≥1，所以1≤t ≤2，所以实数t 的取值范围为[1，2]．4．已知函数f(x)＝a －x 2(1≤x ≤2)与g(x)＝x ＋2的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－94，＋∞)B ．[－94，0]C ．[－2，0]D ．[2，4]答案 C解析 若函数f(x)＝a －x 2(1≤x ≤2)与g(x)＝x ＋2的图像上存在关于x 轴对称的点，则方程a －x 2＝－(x ＋2)，即a ＝x 2－x －2在区间[1，2]上有解．令h(x)＝x 2－x －2，则h(x)的图像开口向上，且对称轴为x ＝12，又1≤x ≤2，故当x ＝1时，h(x)取得最小值－2，当x ＝2时，h(x)取得最大值0，所以实数a 的取值范围是[－2，0]．5．“a ＝－1”是“函数f(x)＝x 2－2ax －1在区间[－1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f(x)＝x 2－2ax －1在区间[－1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤－1，故“a ＝－1”是“函数f(x)＝x 2－2ax －1在区间[－1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．6．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2＋2x ，若f(2－a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2，1)解析 ∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x 2＋2x ，作出f(x)的大致图像如图中实线所示，结合图像可知f(x)是R 上的增函数，由f(2－a 2)>f(a)，得2－a 2>a ，即－2<a<1.7．设函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________． 答案 68．若函数f(x)＝x 2－2x ＋3在区间[0，m]上的最小值是2，最大值是3，则实数m 的取值范围是________． 答案 [1，2]解析 ∵f(x)＝(x －1)2＋2≥2， ∴x ＝1∈[0，m]．∴m ≥1.① ∵f(0)＝3，而3是最大值．∴f(m)≤3⇒m 2－2m ＋3≤3⇒0≤m ≤2.② 由①②知：1≤m ≤2，故应填[1，2]．9．已知函数f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，且f(x)在区间[－1，4]上的最大值为12.(1)求f(x)的解析式；(2)设函数f(x)在[t ，t ＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式． 答案 (1)f(x)＝2x 2－10x(2)g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2－6t －8，t ≤32，－252，32<t<52，2t 2－10t ，t ≥52.解析 (1)因为f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0，5)， 所以可设f(x)＝ax(x －5)(a>0)．所以f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a ＝12. 所以a ＝2.所以f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x ∈R )． (2)由(1)知f(x)＝2x 2－10x ＝2(x －52)2－252，图像开口向上，对称轴为x ＝52.①当t ＋1≤52，即t ≤32时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递减，所以g(t)＝2(t ＋1)2－10(t ＋1)＝2t 2－6t －8.②当t ≥52时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递增，所以g(t)＝2t 2－10t.③当t<52<t ＋1，即32<t<52时，f(x)在对称轴处取得最小值，所以g(t)＝f(52)＝－252.综上所述，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2－6t －8，t ≤32，－252，32<t<52，2t 2－10t ，t ≥52.。

《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（理科）专题8二次函数与二次方程本专题特别注意： 1.二次函数中定于域陷阱； 2.最值得应用陷阱； 3.隐含条件陷阱； 4.数形结合和陷阱； 5．参数讨论陷阱；【学习目标】1．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质； 2．会求二次函数的值域与最值；3．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式“三个二次”之间的联系去解决有关问题． 知识要点】1．函数y ＝___ __________________叫做二次函数，它的定义域是________，这是二次函数的一般形式．另外，还有顶点式：___________________________，其中(h ，k )是抛物线顶点的坐标；两根式：_______________________________，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标．2．二次函数的图象和性质ax 2＋bx ＋c (a ≠0) R y ＝a(x －h)2＋k(a≠0) y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)若a ＞0，二次函数f (x )在闭区间[p ，q ]上的最大值为M ，最小值为N .令x 0＝12(p＋q )，①若－b 2a<p ，则M ＝f (q )，N ＝________； ②若－b 2a>q ，则M ＝f (p )，N ＝________； ③若p ≤－b 2a≤x 0，则M ＝f (q )，N ＝__________； ④若x 0<－b2a ≤q ，则M ＝f (p )，N ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2af ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a f (p ) f (q )4．根与系数的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1，0)，M 2(x 2，0)，这里的x 1，x 2是方程f (x )＝0的两根，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－b a，x 1·x 2＝ca ，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |. 考点训练：一、单选题1．【海南省2018届高三第二次联合考试】已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】C解题思路：涉及函数的周期性及对称性问题，一般要关注条件中的以及函数的奇偶性，通过变形处理都可以转化为函数的对称性及周期性问题，结合对称性及周期性可研究函数零点个数及图像交点个数问题. 2．【浙江省温州市十五校联合体联考数学试题】在等差数列中，，那么方程的根的情况是（ ）A. 没有实根B. 两个相等实根C. 两个不等的负根D. 两个不等的正根 【答案】C【解析】由题意，根据等差数列通项公式的性质，得，则，又，由方程的差别式，则方程有两个不等的实根，且，，故正解答案为C.3．【安徽省池州市贵池区2018期中检测 】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】二次函数的对称轴为；∵该函数在上是增函数；∴，∴，∴实数的取值范围是，故选B.4． 【衡水金卷】已知函数()2110sin 10sin 2f x x x =---， ,2x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是（ ） A. ,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. ,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. ,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B5．（2017湖北荆州）规定：如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论：①方程2280x x +-= 2280x x +-=是倍根方程；②若关于x 的方程220x ax ++= 2x ax 20++=是倍根方程，则a=±3；③若关于x 的方程()2600ax ax c a -+=≠ ()260?ax ax c a?-+=是倍根方程，则抛物线26y ax ax c =-+26y ax ax c=-+与x轴的公共点的坐标是(2,0)和（4,0）；④若点（m，n）在反比例函数4yx=4yx=的图象上，则关于x x的方程250mx x n++=250mx x n++=是倍根方程上述结论中正确的有（）A. ①②B. ③④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】①由x2﹣2x﹣8=0，得（x﹣4）（x+2）=0，解得x1=4，x2=﹣2，∵x1≠2x2，或x2≠2x1，∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．故①错误；②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，∴设x2=2x1，∴x1•x2=2x12=2，∴x1=±1，当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，∴x1+x2=﹣a=±3，∴a=±3，故②正确；③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，∴x2=2x1，∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确；④∵点（m，n）在反比例函数4yx=的图象上，∴mn=4，解mx2+5x+n=0得x1=﹣2m，x2=﹣8m，∴x 2=4x 1，∴关于x 的方程mx 2+5x+n=0不是倍根方程； 故选：C ．6．【海南省2018届高三第二次联合考试】已知()f x 为偶函数，对任意x R ∈， ()()2f x f x =-恒成立，且当01x ≤≤时， ()222f x x =-.设函数()()3log g x f x x =-，则()g x 的零点的个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】C7．【衡水金卷】已知函数()()2211f x x a x =---（其中0a >，且1a ≠）在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，则函数()g x =的定义域为（ ）A. (),a -∞B. ()0,aC. (]0,a D. (),a +∞ 【答案】B【解析】因为函数()()2211f x x a x =---（其中0a >，且1a ≠）在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以2110,10 1.22a a a a -≤>≠∴<<令log 100,a x x a ->∴<< 选B.8．【河北省保定市2018届高三第一次模拟】令11t x dx -=⎰，函数()()12241332{1log 2x x f x x t x ⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭=⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，()()()21422{ 12xx ax a x g x x -+≤=->满足以下两个条件：①当0x ≤时， ()0f x <或()0g x <；②(){}0A f x x =， (){}0B g x x =， A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ） A. 11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】11t x dx -=⎰ ()1022100101| | 122x x xdx x dx --=+-=-=⎰⎰,当20x -≤≤时， ()0f x ≥,所以当20x -≤≤时， ()0g x <，21402x ax a -+<,所以()401{ ,1322402a a a a <∴<-⨯-++<因为(){}()0,0A f x x ==-∞， A B R ⋃=，所以当02x <≤时， 21y 42x ax a =-+值域包含[]0,1，所以()2401111{ 0,1232322412a a a a a a ≤∴-≤≤<-∴-≤<-⨯-+≥，选B. 解题思路：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦（A ⊆,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭）即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 9．【云南省昆明市2018届高三教学质量检查（二统）】设函数()24,1{1,1x x a x f x lnx x -+<=+≥的最小值是1，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],4-∞B. [)4,+∞C. (],5-∞D. [)5,+∞ 【答案】B 【解析】1x ≥时， ln 1x +的最小值为1,∴要使()24,1{1,1x x a x f x lnx x -+<=+≥的最小值是1，必有1x <时，24y x x a =-+的最小值不小于1，因为24y x x a =-+在(),1-∞ 上递减，所以1x <时， 3y a >-，则31,4a a -≥≥，实数a 的取值范围是[)4,+∞，故选B.10．【北京市人大附中2017-2018学年高三十月月考】已知函数()()ln ln 2,f x x x =+-则 A. ()f x 在()0,2单调递增 B. ()f x 在()0,2单调递减C. ()y f x =的图像关于直线1x =对称D. ()y f x =的图像关于点()1,0对称 【答案】C11．若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数的取值范围是（ ）．A. B.C. D.【答案】B【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，函数有解即可， 即，∴，即有解即可，设，则， ∴方程等价为在时有解， 设，对称轴，①若，则，即，∴，此时．思路:研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论；研究二次方程在定义区间有解，一般从开口方向，对称轴位置，判别式正负，以及区间端点函数值正负四个方面进行考虑.12．【湖北省武汉市2018届高中毕业生二月调研测试】如果函数在区间上单调递减，那么的最大值为（）A. 16B. 18C. 25D. 30【答案】B【解析】因为，所以抛物线开口向下，所以，也即是，也即是，故，当且仅当等号成立，故选B.解题思路：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.13．【山西省联考】在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是3的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解题思路】本题主要考查几何概型概率公式、函数的最值以及分类讨论思想. 属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.14．已知集合A={t | t2–4 ≤ 0}，对于满足集合A的所有实数t, 则使不等式x2 +tx- t＞2x-1恒成立的x的取值范围是（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】由t2–4 ≤ 0解得，即时，恒成立，即恒成立，故只需即恒成立，因为，所以，故选A.二、填空题15．【山东师范大学附属中学2018学年下学期期中考试】已知，函数，若在上是单调减函数，则实数的取值范围是_________________．【答案】【解析】分析：先求导，得到在上恒成立，再列出a 满足的不等式组，解不等式组即可.点睛：本题考查了导数研究函数的性质，考查了二次函数的图像和性质，属于中档题. 16．【云南省曲靖市第一中学2018届高三4月高考复习质量监测卷】若，，，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】由题意，，则，由，则，即函数在上单调递增，则恒有，所以，又，所以，即，从而问题可得解.17．函数()2122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈. （1）求()g a ； （2）若()12g a =，求a 及此时()f x 的最大值.【答案】(1) ()()21(2){2122 214(2)a a g a a a a a <-=----≤≤->；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况：①2a 小于﹣1时②2a大于﹣1而小于1时③2a大于1时，根据二次函数求最小值的方法求出f （x ）的最小值g （a ）的值即可；（2）把12代入到第一问的g （a ）的第二和第三个解析式中，求出a 的值，代入f （x ）中得到f （x ）的解析式，利用配方可得f （x ）的最大值． 试题解析：（1）由()()22122cos 2sin 122cos 21cos f x a a x x a a x x =---=----()2222cos 2cos 212cos 2122a a x a x a x a ⎛⎫=--+=---- ⎪⎝⎭.这里1cos 1.x -≤≤①若11,2a -≤≤则当cos 2ax =时， ()2min 21;2a f x a =--- ②若1,2a>当cos 1x =时， ()min 14;f x a =- ③若1,2a<-则当cos 1x =-时， ()min 1.f x =因此()()21? (2){2122 214? (2)a a g a a a a a <-=----≤≤->（2）()1.2g a =∴①若2a >，则有114,2a -=得18a =，矛盾； ②若22a -≤≤，则有2121,22a a ---=即2430,1a a a ++=∴=-或3a =-（舍）. ∴ ()12g a =时， 1.a =-此时()2112cos ,22f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当cos 1x =时， ()f x 取得最大值为5.解题思路：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值. 18．【德阳市2018届高三二诊】如图，在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为__________．【答案】【解析】因为点共线，所以由，有又因为、分别是边、的中点，所以原题转化为：当时，求的最小值问题，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值为故答案为.【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点共线，由，有”的应用19．【北京海淀北京19中期中考试数学试题】已知函数y=R，求参数k的取值范围__________．0,1【答案】[]20．【北京市西城13中2018期中考试数学试题】已知函数()()22435f x mx m x =+-+是在区间(),3-∞上的减函数，在区间()3,+∞上的增函数，则m 的值是__________． 【答案】34【解析】函数()()22435f x mx m x =+-+是在区间(),3-∞上的减函数，在区间()3,+∞上的增函数，所以二次函数()f x 开口向上，得： 0{ 33m mm<-=，解得34m =. 故答案为：34. 解题思路：本题主要考查了二次函数的单调性的应用.二次函数的单调性以对称轴为分界线，易错点：忽视抛物线的开口方向，本题中抛物线开口向上，对称轴左侧区间对应的为函数的减区间，对称轴右侧区间对应函数的增区间.21．已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81【解析】根据题意， ()222,442{6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知， 126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅ ()()2111166x x x x =⋅-⋅-+= ()22116x x -+= ()22139x ⎡⎤--+⎣⎦， ()()21123,398,9x x <<∴--+∈， ()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81.22．【浙江省嵊州市2018学年高三第一学期期末教学】已知函数()()22411f x x a x x ax =+-++-+的最小值为12，则实数a 的值为__________. 【答案】52【解析】（1）当240a -≤时， ()()22411f x x a x x ax =+-++-+ 2242x x =-+， ()min 102f x =≠；(2)当240a ->时，①若2a <-时，12x x == ()()()221121,,{ 24,x x x x x f x a x x x x -≥≤=-<<， ()()2min 12f x f x ==， ()2{ 1242a a <--，无解. ②2a >时， ()()()2121221,,{22,x x x x x f x a x x x x -≤≥=-<<， ()()1minf x f x =， ()122{ 22a a -=>，解得52a =，综上所述，实数a 的值为52，故答案为52.三、解答题 23．已知函数，其中，记函数的定义域为.(1)求函数的定义域；(2)若函数的最大值为2，求的值；(3)若对于内的任意实数,不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）定义域为;(2) ;(3) .【解析】试题分析：（1）根据函数的解析式，列出不等式组，即可求解函数的定义域；（2）根据对数的运算，得，再利用二次函数的性质，即可得到函数的最大值，进而求解实数的值；（3）由题意在恒成立，转化为在恒成立，设，再利用换元法和基本不等式，即可求解函数的最小值，进而得到实数的取值范围.试题解析：（1）要使函数有意义：则有，解得－2＜x＜1∴ 函数的定义域为.（3）由在恒成立，得因为，所以所以在恒成立设，令则即，因为，所以（当且仅当时，取等号所以 所以.解题思路：本题主要考查了对数函数的图象与性质的综合应用，不等式的恒成立问题的求解，及基本不等式求最值，着重考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，解答中牢记对数函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题的处理方法是解答的关键.24．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=.（1）求,a b 的值；（2）若不等式()220x xf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1) 1{a b == (2) 0k ≤ 【解析】试题分析：（1）由()()211g x a x b a =-+--，得()g x 在[]2,3上为增函数，由题意，列出方程组，即可求得,a b 的值；（2）化简不等式，分离参数得2112122x x k ⎛⎫≤-⋅+ ⎪⎝⎭，设12x t =，利用换元法得出()221h t t t =-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，即可求解k 的取值范围. 试题解析：（1）()()211g x a x b a =-+--∵0a >，∴()g x 在[]2,3上为增函数， ∴()()21{34g g ==，∴1{ 0a b ==（2）由（1）知()221g x x x =-+，∴()12f x x x=+- ∴不等式()220x xf k -≥可化为12222x xx k +-≥， ∴2112122x x k ⎛⎫≤-⋅+ ⎪⎝⎭令12x t =，∵[]1,1x ∈-，∴1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴221k t t ≤-+， 1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()221h t t t =-+，则()()21h t t =-， 1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由题意可得221k t t ≤-+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于()()min 10k h t h ≤==∴0k ≤.解题思路：本题考查了函数的最值问题及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及到二次函数的图象与性质的综合应用，着重考查了恒成立问题中分类参数思想和换元思想的考查，对于恒成立问题的求解，利用分离参数法，转化为函数的最值问题是解答的关键，考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 25．已知函数，x ∈[－1,1]，函数,a ∈R 的最小值为h （a ）.（1）求h （a ）的解析式；（2）是否存在实数m ，n 同时满足下列两个条件：①m >n >3；②当h （a ）的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)为关于的二次函数,可用换元法,转化为二次函数在特定区间上的最值问题,定区间动轴; (2)由(1)可知时,为一次函数且为减函数,求值域,找关系即可.试题解析：（1）由,知, 令,设,则,则的对称轴为,故有:当时,的最小值,②当时,的最小值,③当时, 的最小值,综上所述, h （a ）＝（2）当a ≥3时，h （a ）＝－6a ＋12，故m >n >3时，h （a ）在[n ，m ]上为减函数， 所以h （a ）在[n ，m ]上的值域为[h （m ），h （n ）]. 由题意，则有⇒，两式相减得6n －6m ＝n 2－m 2，又m ≠n ，所以m ＋n ＝6，这与m >n >3矛盾，故不存在满足题中条件的m ，n 的值.26．已知()()4log 41xf x mx =++是偶函数.（1）求m 的值; （2）已知不等式()()41log 22x f x x a +≥⋅对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12m =-；（2）(]0,2. 【解析】试题分析：（1）根据偶函数定义得()()f x f x =-,利用对数性质以及指数性质化简可得m 的值;（2）先根据函数单调性化简不等式为412x xa +≥⋅，再变量分离得122x x a ≤+，最后根据基本不等式求122xx+最小值，即得实数a 的取值范围.又因为20xa ⋅>,所以0a >,即a 的取值范围是(]0,2.27．对于区间[],()a b a b <，若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[],a b 上是单调函数；②函数()y f x =， [],x a b ∈的值域是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间．（1）求函数2y x =的所有“保值”区间．（2）函数()20y x m m =+≠是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）[]0,1；（2）311,0,44⎡⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）2y x =在[],a b 的值域是[],a b ，且20x ≥，所以0a >，所以[][),0,a b ⊆+∞，从而结合单调性列方程求解即可；（2）分0a b <≤和0b a >≥两种情况分别在定义域上求值域列方程求解即可.（2）若函数()20y x m m =+≠存在“保值”区间，则有： ①若0a b <≤，此时函数2y x m =+在区间[],a b 上单调递减，所以 22{ a m bb m a +=+=，消去m 得22a b b a -=-，整理得()()10a b a b -++=．因为a b <，所以10a b ++=，即1a b =--．又0{ 1b b b≤--<， 所以102b -<≤． 因为22213110242m b a b b b b ⎛⎫⎛⎫=-+=---=-+--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以314m -≤<-． ②若0b a >≥，此时函数2y x m =+在区间[],a b 上单调递增， 所以22{ a m a b m b+=+=，消去m 得22a b a b -=-，整理得()()10a b a b -+-=． 因为a b <，所以10a b +-=，即1b a =-．又0{ 1a a a≥<-，所以102a ≤<．因为221110242m a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+=--+≤< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以104m <<． 综合①、②得，函数()20y x m m =+≠存在“保值”区间，此时m 的取值范围是311,0,44⎡⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭． 28．定义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x y 、均有()()()=2f x y f x f y +++，且()22f =，又当1x >时， ()0f x >.（1）求()0f 、()1f -的值，并证明：当1x <时， ()0f x <；（2）若不等式()()()222221240f a a x a x ----++<对任意[]1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）0a <或1a >。

二次函数单元测试题及答案The document was prepared on January 2, 2021二函数单元测试一含答案一、选择题：1．下列函数中,是二次函数的是 A. 28xy =B.18+=x yC.x y 8=D. 182+=x y2. 二次函数12)12(2+--=x k x y ,当1>x 时,y 随着x 的增大而增大,当1<x 时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取A ．12B ．11C ．10D ．93.2A. B. C. D.4.在函数,自变量x 的取值范围是 A. x ≥-2且x ≠±3 B. x ≥-2且x ≠3 C. x >-2且x ≠-3 D. x >-2且x ≠35.无论m 为何实数,二次函数m x m x y +--=)2(2的图象总是过定点A.-1,3B.1,0C.1,3D.-1,06.在直角坐标系中,坐标轴上到点P-3,-4的距离等于5的点共有 个 个 个 个7. 下列四个函数中,y 的值随着x 值的增大而减小的是A ．x y 2=B ．()01>=x x y C ．1+=x y D ．()02>=x x y 8．抛物线c bx ax y ++=2的图象如图,OA=OC,则 A ．b ac =+1 B ．c ab =+1 C ．a bc =+1 D ．以上都不是9.在同一坐标系中,一次函数和二次函数c ax y +=2的图象大致为10．若0>b ,则二次函数12-+=bx x y 2的图象的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：11．已知二次函数解析式为562+-=x x y ,则这条抛物线的对称轴为直线x = ,满足y ＜0的x 的取值范围是 ,将抛物线562+-=x x y 向 平移 个单位,则得到抛物线962+-=x x y .12．请写出一个开口向上,对称轴为直线2=x ,且与y 轴的交点坐标为0,3的抛物线的解析式 .13. c bx ax y ++=2中,0<a ,抛物线与x 轴有两个交点A2,0B-1,0,则02>++c bx ax 的解是____________,02<++c bx ax 的解是____________.14．已知抛物线y ax bx c =++2经过点A-2,7,B6,7,C3,-8,则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是________.15．如右图所示,长方体的底面是边长为x cm 的正方形,高为6cm,请你用含x 的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=________,长方体的体积为V=__________,各边长的和L=__________,在上面的三个函数中,_______是关于x 的二次函数.16.抛物线22++=x x y 与直线4=y 有___个交点,交点坐标是_________________.三、解答题： 17.当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是1,321=-=x x ,且与y 轴交点为0,-2,求这个二次函数的解析式.18.求抛物线3522--=x x y 与坐标轴的交点坐标,并求这些交点所构成的三角形面积.19. 一男生推铅球,铅球出手后运动的高度)(m y ,与水平距离)(m x 之间的函数关系是35321212++-=x x y ,那么这个男生的铅球能推出几米20.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m 件与每件的销售价x 元满足一次函数关系x m 3162-=,请写出商场卖这种商品每天的销售利润y 元与每件销售价x 元之间的函数关系式.21. 心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x单位：分钟之间满足函数关系-+=xxy,y的值越大,表示接受能力越强.+x30)≤0(431.02≤6.21若用10分钟提出概念,学生的接受能力y的值是多少2如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了通过计算来回答.22．如图有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位是AB宽20米,水位上升3m就达到警戒线CD,这是水面宽度为10米,1在如图的坐标系中求抛物线的解析式；2若洪水到来时,水位以每小时米的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到拱桥顶参答案一、选择题：；；；；；；；；； .二、填空题：新课标第一网xkb11. 3 , 51<<x ,上 , 4 ； 12. 342+-=x x y 答案不唯一；13. 21<<-x , 1-<x 或2>x ； 14. )8,1(-；15. x 24,26x ；248+x ,26x V =； 16. 两,-2,4和1,4.三、解答题：新 课标 第一 网 17. 234322-+=x x y . 18. )0,3( ,),(021- ,)3,0(- , 面积421. 19. 10米.提示：令0=y ,横坐标正值即为所求.20. )5430(486025232≤≤-+-=x x x y . 21.159=y ；2用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了；用15分钟与用10分钟相比,接受能力增强了.新 课 标第 一网x kb 22. 1 2251x y -=；25小时 .。

二次函数复习(附参考答案)1．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a 0)在给定区间上的值域若a 0，①当时. .②当时.③当时.在比较的大小时亦可以与对称轴的距离而比较。

若a0，可得类似的结论。

但无论如何的最值必在中取到。

2．二次函数与一元二次方的根、与一元二次不等式的关系二次函数 △情况一元二次方程一元二次不等式解集Y=ax 2+bx+c(a>0) △=b 2-4ac ax 2+bx+c=0 (a>0) ax 2+bx+c>0 (a>0)Ax 2+bx+c<0 (a>0)图象与解△>0△=0△<0方程无解R根oxym n xy om no xym n例1、（1）函数是单调函数的充要条件是（）（2若函数）的图象关于对称则．(3)取何值时，方程的一根大于，一根小于．(4)方程的两根均大于1，则实数a的取值范围是＿＿＿。

(5)设是关于m的方程的两个实根，则的最小值是（）(A)(B)18 (C)8 (D)(6)若函数在区间上为减函数，则a的取值范围为（）(A) (0,1) (B)((C)(D)(7)方程有正数解，则的取值范围为。

例2、已知函数在区间[0,2]上有最小值3，求a的值。

例3、若函数在上恒为正值，求实数的取值范围。

例4、已知二次函数为常数，且a≠0)，满足条件:且方程有等根．⑴求的解析式;⑵问是否存在实数m，n(m<n)，使的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]．如果存在求出m，n的值;如果不存在，说明理由．例5、已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）.（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；（2）若的最大值为正数，求a的取值范围.例6、设二次函数，方程的两根和满足．（1）求实数的取值范围；（2）试比较与的大小，并说明理由．例7、已知函数，且方程有实根.（1）求证：且；（2）若是方程的一个实根，判断的正负，并说明理由.例8、设，，．（Ⅰ）求证：函数与函数的图象有两个交点；（Ⅱ）设与的图象的交点、在轴上的射影为、，求的取值范围；（Ⅲ）求证：≤时，恒有．例9．设a为实数，记函数的最大值为g(a)。

第8讲 函数与方程课时作业1．(2019·某某质检)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x －1与y ＝ln x 的图象(图略)，由图象可知有两个交点．2．(2019·某某模拟)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1，e)和(3,4)D ．(e ，＋∞)答案 B解析 因为f ′(x )＝1x ＋2x2>0(x >0)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln 3－23>0，f (2)＝ln 2－1<0，所以f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )唯一的零点在区间(2,3)内．故选B ．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为()A ．12，0 B ．－2,0 C ．12 D ．0答案 D解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.4．函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)答案 C解析 因为y ＝1x与y ＝log 2x 的图象只有一个交点，所以f (x )只有一个零点．又因为f (1)＝1，f (2)＝－1，所以函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是(1,2)．故选C ．5．函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 f (x )＝x cos2x ＝0⇒x ＝0或cos2x ＝0，又cos2x ＝0在[0,2π]上的根有π4，3π4，5π4，7π4，共4个，故原函数有5个零点． 6．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13 的解，则x 0属于区间()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 答案 C解析 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 13 ，则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 ，所以由图象关系可得13<x 0<12.7．(2019·某某模拟)f (x )＝3x－log 2(－x )的零点的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 f (x )的定义域为(－∞，0)，且f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝13>0，f (－2)＝－89<0，所以函数f (x )＝3x－log 2(－x )有且仅有1个零点，故选B ．8．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2019－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是()A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d答案 D解析 f (x )＝2019－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2019，又f (a )＝f (b )＝2019，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D ．9．(2019·某某某某模拟)已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0答案 C解析 如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝－1x 的图象，由图象可知，当x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >－1x ，当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0，故选C ．10．(2019·某某质检)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有两个不同的交点，故选B ．11．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是()A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x 并上下移动，可以发现当直线y ＝－x 过点A 时，直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C ．12．(2019·某某正定模拟)已知f (x )为偶函数且f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的解的个数是()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析 画出函数f (x )和y ＝log 3|x |的图象(如图所示)，由图象可知方程f (x )＝log 3|x |的解有4个．故选C ．13．已知函数y ＝f (x )的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有________个． 答案 3解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x >0，x 2－x －2，x ≤0，则其零点为________.答案 1，－1解析 当x >0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，也就是(x ＋1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数的零点为1，－1.15．(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值X 围是________. 答案 (0,1)解析 函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )和y ＝m 的图象有3个交点．画出函数y ＝f (x )的图象，由图可知要使函数y ＝f (x )和y ＝m 的图象有3个交点，m 应满足0<m <1，所以实数m 的取值X 围是(0,1)．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，则m 的取值X 围是________.答案 (3，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，只需4m －m 2<m ，解得m >3或m <0，又m >0，所以m >3.17．(2019·某某模拟)函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，－1≤x <0，log 2(x ＋1)，0≤x <3，对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)．若在区间[－5,3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 恰好有三个不同的零点，某某数m 的取值X 围．解 因为对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)，所以函数f (x )的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 有三个不同的零点，知函数f (x )与函数h (x )＝mx －m 的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f (x )与h (x )在区间[－5,3]上的图象，如图所示．由图可知1－0－1－1≤m <1－0－5－1，即－12≤m <－16.。

二次函数单元测试题及答案一、选择题1. 已知二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)，当\( a < 0 \)时，抛物线的开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：B2. 对于二次函数\( y = -2x^2 + 3x + 1 \)，其顶点的横坐标是：A. \( -\frac{1}{2} \)B. \( -\frac{3}{2} \)C. \( \frac{3}{4} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：C3. 若二次函数\( y = x^2 + 2x + 1 \)与x轴有交点，则交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题4. 二次函数\( y = 3x^2 - 6x + 5 \)的对称轴方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

答案：\( x = 1 \)5. 当\( x = 2 \)时，二次函数\( y = x^2 - 4x + 3 \)的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

答案：-1三、解答题6. 已知二次函数\( y = -x^2 + 2x + 3 \)，求其与x轴的交点坐标。

解：令\( y = 0 \)，得\( -x^2 + 2x + 3 = 0 \)。

解此方程，我们可以使用求根公式：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]代入\( a = -1, b = 2, c = 3 \)，得：\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} = \frac{-2 \pm\sqrt{16}}{-2} = 1 \pm 2 \]因此，与x轴的交点坐标为\( (-1, 0) \)和\( (3, 0) \)。

7. 已知抛物线\( y = 2x^2 - 4x + 1 \)，求其顶点坐标。

解：顶点的横坐标可以通过公式\( x = -\frac{b}{2a} \)求得，代入\( a = 2, b = -4 \)，得：\[ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 \]将\( x = 1 \)代入原方程求得\( y \)值：\[ y = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \]因此，顶点坐标为\( (1, -1) \)。

第8讲 二次函数1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)函数f (x )的最小值是f (－b2a)＝f (x 0)，等价于∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，所以C 错误．2．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是(D)A ．[0,4]B ．[32，4]C ．[32，＋∞) D．[32，3]二次函数的对称轴为x ＝32，且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合图象可知m ∈[32，3]．3．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意x 都有f (x ＋1)＝f (－x )，那么(D) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (2)<f (0)<f (－2) D ．f (0)<f (2)<f (－2)由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又抛物线开口向上，所以f (0)<f (2)<f (－2)．4．(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m (B) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关(方法一)设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．(方法二)由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．5．(2017·北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是 [12，1] .(方法一)由x ＋y ＝1，得y ＝1－x .又x ≥0，y ≥0，所以0≤x ≤1，x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2(x －12)2＋12.由0≤x ≤1，得0≤(x －12)2≤14，即12≤x 2＋y 2≤1.所以x 2＋y 2∈[12，1]． (方法二)x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ， 已知x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1，所以x 2＋y 2＝1－2xy .因为1＝x ＋y ≥2xy ，所以0≤xy ≤14，所以12≤1－2xy ≤1，即x 2＋y 2∈[12，1]．(方法三)依题意，x 2＋y 2可视为原点到线段x ＋y －1＝0(x ≥0，y ≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x 2＋y 2)min ＝(|－1|2)2＝12，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝|OB |2＝1.故x 2＋y 2∈[12，1]．6．设f (x )＝x 2－2ax ＋1.(1)若x ∈R 时恒有f (x )≥0，则a 的取值范围是 [－1,1] ；(2)若f (x )在[－1，＋∞)上递增，则a 的取值范围是 (－∞，－1] ； (3)若f (x )的递增区间是[1，＋∞)，则a 的值是 1 .(1)由Δ≤0，得4a 2－4≤0，所以a ∈[－1,1]． (2)a ≤－1.(3)由对称轴x ＝1知a ＝1.7．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．(1)因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)， 所以f (x )在[1，a ]上是减函数， 又定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝a ，f a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)因为f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，因为对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， 因为f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3. 又a ≥2，所以2≤a ≤3.故实数a 的取值范围为[2,3]．8．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋(D)(方法一)对于A 选项，因为a <0，－b2a<0，所以b <0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，矛盾，故A 错．对于B 选项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0，又因为abc >0，所以c <0，由图知f (0)＝c >0，矛盾，故B 错．对于C 选项，因为a >0，－b2a<0，所以b >0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，矛盾，故C 错． 故排除A 、B 、C ，选D.(方法二)当a >0时，b ，c 同号，C 、D 两图中c <0，故b <0，所以－b2a>0，选D.9．(2014·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 (－22，0) .作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm ，f m ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，m ＋2＋m m ＋－1<0，解得－22<m <0. 10．已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ，图象开口向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，所以f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a，1]上递增，所以f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，所以f (x )在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2， a <1，－1a， a ≥1.。