解直角三角形(4)

2019版中考数学三角形分类训练四解直角三角形鲁教版典例诠释：考点一勾股定理及其逆定理的应用例1 (xx·大兴一模)《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图1-10-95，我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度OA是尺.图1-10-95【答案】【名师点评】本题是以古代数学著作为背景，首先要读懂题目，哪些线段是已知，哪些线段是未知：OB=3，OA+AB=10，求OA的长，利用勾股定理即可得解.考点二求三角函数值例2 (xx·延庆一模)如图1-10-96，在4×4的正方形网格中，tan α的值等于( )图1-10-96A.2B.C.D.【答案】A【名师点评】求三角函数方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法．常用的方法有：①根据特殊的三角函数值求值；②直接应用三角函数定义;③借助变量之间的数量关系求值;④根据三角函数关系求值;⑤构造直角三角形求值.例3 (xx·怀柔二模)如图1-10-97，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为( )图1-10-97A．7sin α米B．7cos α米C．7tan α米D．(7+α)米【答案】C【名师点评】此题考查三角函数的定义和仰角的知识，已知∠A、AC，求BC，利用∠A 的正切值即可.考点三特殊三角函数值的计算例4 (xx·怀柔一模)2sin 45°－．【答案】 2【名师点评】此题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则是关键，另外要求我们熟练记忆一些特殊角的三角函数值．考点四解直角三角形例5 如图1-10-98，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的长.图1-10-98【答案】3+【名师点评】将斜三角形转化为直角三角形是解决三角形中有关计算的重要思想方法，解决的方法是作三角形的高．例6 (xx·东城二模)如图1-10-99，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF ⊥AM，垂足为F，交AD于点E．(1)求证：∠BAM=∠AEF；(2)若AB=4，AD=6，cos∠BAM=，求DE的长.图1-10-99(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAD=90°.∵EF⊥AM，∴∠AFE=∠B=∠BAD=90°.∴∠BAM+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°.∴∠BAM=∠AEF.(2)【解】在Rt△ABM中，∠B=90°，AB=4，cos∠BAM=，∴AM=5.∵F为AM中点，∴AF=.∵∠BAM=∠AEF，∴cos∠BAM=cos∠AEF=.∴sin∠AEF=.在Rt△AEF中，∠AFE=90°，AF=，sin∠AEF=，∴AE=，∴DE=AD－AE=6－=.【名师点评】(1)通过“同角的余角相等”易证；(2)在△ABM中，知AB和∠BAM的余弦值可以得到AM的长，再利用相似或三角函数求AE的长，从而求出DE的长.考点五解直角三角形的应用例7 (xx·门头沟一模)如图1-10-100，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔，，分别为130米，400米，1 000米．由点A测得点B的仰角为30°，由点B测得点C的仰角为45°，那么AB和BC 的总长度是( )图1-10-100A.1 200+270B.800+270C.540+600D.800+600【答案】C基础精练：1.(xx·平谷一模)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个边长为1丈(1丈=10尺)的正方形水池，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”如图1-10-101，设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为．图1-10-101【答案】2.(xx·顺义一模)《算法统综》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大伟，在《算法统综》有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”如图1-10-102，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程.【答案】图1-10-1023.如图1-10-103，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．图1-10-103【答案】104.(xx·通州一模)在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理. 如图1-10-104是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理. 图1-10-105是由图1-10-104放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为.图1-10-104 图1-10-105【答案】1106.(xx·丰台二模)如图1-10-106所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC= 5 m，则坡面AB的长度是( )图1-10-106A.10 mB.10 mC.15 mD.5 m【答案】A7.(xx·平谷二模)如图1-10-107，为测量一棵与地面垂直的树BC的高度，在距离树的底端4米的A处，测得树顶B的仰角∠α=74°，则树BC的高度为( )图1-10-107A.米B.4sin 74°米C.4tan 74°米D.4cos 74°米【答案】C8.(xx·西城一模)某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图1-10-108，通过直升机的镜头C观测水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB 的长度为( )图1-10-108A．300米B．1 502米C．900米D．(300+300)米【答案】D9.(xx·顺义二模)如图1-10-109，为了使电线杆稳固的垂直于地面，两侧常用拉紧的钢丝绳索固定，由于钢丝绳的交点E在电线杆的上三分之一处，所以知道BE的高度就可以知道电线杆AB的高度了．要想得到BE的高度，需要测量出一些数据，然后通过计算得出.请你设计出要测量的对象：；请你写出计算AB高度的思路：.图1-10-109【解】∠BCE和线段BC；思路：①在Rt△BCE中，由tan∠BCE=，求出BE=BC·tan∠BCE，②由AE=AB，可求得BE=AB，AB=BE=BC·tan∠BCE．10.(xx·延庆一模)如图1-10-110，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P．乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．(结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236)图1-10-110【解】依题意，设乙船速度为每小时x海里，2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，PC=2x，如图1-10-111,过P作PD⊥BC于D，∴BP=86－2×15=56.图1-10-111在Rt△PDB中，∠PDB=90°,∠BPD=60°，∴P D=PB·cos 60°=28.在Rt△PDC中，∠PDC=90°，∠DPC=45°，∴PD=PC·cos 45°=·2x=x，∴x=28，即x=14≈20．答：乙船的航行速度为每小时20海里．11.(xx·通州二模)如图1-10-112，在ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，EF∥AD，请直接写出与AE相等的线段(两条即可)，写出满足勾股定理的等式.(一组即可)图1-10-112【答案】AD，DF12.(xx·平谷二模)已知：如图1-10-113，∠ACB=90°，AC=BC , AD = BE, ∠CAD=∠CBE,(1)判断△DCE的形状，并说明你的理由；(2)当BD∶CD=1∶2，∠BDC=135°时，求sin∠BED的值.图1-10-113【解】(1)如图1-10-114.图1-10-114∵AC=BC,AD=BE,∠CAD=∠CBE,∴△ADC≌△BEC,∴DC=EC,∠1=∠2.∵∠1+∠BCD=90°，∴∠2+∠BCD=90°.∴△DCE是等腰直角三角形.(2)∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠CDE=45°.∵∠BDC=135°，∴∠BDE=90°.∵BD∶CD=1∶2,设BD=x，则CD=2x，DE=2x，BE=3x.∴sin∠BED==.13.如图1-10-115所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于．图1-10-115【答案】14.(xx·丰台二模)将两个直角三角板按图1-10-116中方式叠放，BC=4，那么BD= .图1-10-116【答案】215.(xx·石景山一模)如图1-10-117，在四边形ABCD中，AB=2,∠A=∠C=60°,DB⊥AB于点B，∠DBC=45°，求BC的长.图1-10-117【解】如图1-10-118,过点D作DE⊥BC于点E.图1-10-118∵DB⊥AB,AB=2，∠A=60°，∴BD=AB·tan 60°=2.∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴BE=DE=BD·sin 45°=.∵∠C=∠A=60°，∠DEC=90°，∴CE==，∴BC=+.16.(xx·昌平一模)如图1-10-119，已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC=3+，CD=2.(1)求tan∠ABD的值；(2)求AD的长.图1-10-119【解】(1)如图1-10-120,作DE⊥BC于点E.∵在Rt△CDE中，∠C=60°，CD=2，∴CE=,DE=3.∵BC=3+，∴BE=BC－CE=3+=3.∴DE=BE=3.∴在Rt△BDE中，∠EDB=∠EBD=45°.∵AB⊥BC，∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC－∠EBD=45°.∴tan∠ABD=1.图1-10-120(2)如图1-10-120,作AF⊥BD于点F.在Rt△ABF中，∠ABF=45°,AB=1，∴BF=AF=.∵在Rt△BDE中，DE=BE=3，∴BD=3.∴DF=BD－BF=3=.∴在Rt△AFD中，AD==.17.(xx·西城一模)如图1-10-121，在ABCD中，过点A作AE⊥DC交DC的延长线于点E，过点D作DF∥EA交BA的延长线于点F．(1)求证：四边形AEDF是矩形；(2)连接BD，若AB=AE=2，tan∠FAD=，求BD的长．图1-10-121(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，即AF∥ED.∵DF∥EA,∴四边形AEDF是平行四边形.∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴四边形AEDF是矩形.(2)【解】如图1-10-122.精品-图1-10-122∵四边形AEDF是矩形，∴FD=AE=2，∠F=90°.∵在Rt△AFD中，tan∠FAD==，∴AF=5.∵AB=2，∴BF=AB+AF=7.∴在Rt△BFD中，BD==.真题演练：1.(xx·北京)计算：+4sin 45°－+|1－|.【答案】2.(xx·北京)如图1-10-123，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2.求CD的长和四边形ABCD的面积.图1-10-123【解】如图1-10-124,过点D作DH⊥AC，图1-10-124∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1.又∵∠DCE=30°，∴HC=，DC=2.∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴=×2×(3+)+×1×(3+)=.-精品。

图25.3.5图25.3.6 25.3解直角三角形4－－ 坡度问题课时学习目标1．掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。

2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.学习重点难点重点: 灵活应用解直角三角形知识解决实际问题。

难点:由实际问题转化为几何问题(建模)。

课前预习导学 （ 自学课本完成下列问题）1.坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即=i ．(坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6．)2.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有tan α＝ ．3.坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 ．4.计算: ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 22225．如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．（结果保留根号）课堂学习研讨例1如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）例2、 一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽6米，坝高20米，斜坡 AB 的坡度1i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度2i ＝1∶2．5．求：（1） 斜坡AB 与坝底AD 的长度；（精确到0．1米）（2） 斜坡CD 的坡角α．（精确到1°）A B CA AB B CC 30° 第3题 课达标堂检测1. 如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是 。

2.如图，坡角为30 的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为（ ）A ．4mB ．3mC ．43m 3D ．43m3. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。

专题训练(八) 解直角三角形常见的七种方法►方法一已知两边解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形．(1)b＝6，c＝2 2；(2)a＝4，b＝4 3.2．如图8－ZT－1，已知AD为△BAC的角平分线，且AD＝2，AC＝3，∠C＝90°，求BC的长及AB的长．图8－ZT－1►方法二已知一边和一个锐角解直角三角形3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)∠A＝60°，a＝6；(2)∠A＝30°，b＝10 3.4．已知：如图8－ZT －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长．(结果保留根号)图8－ZT －2► 方法三 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形5．2018·自贡改编如图8－ZT －3，在△ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，BC ＝12，tan A ＝34，∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．图8－ZT －36．如图8－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E .(1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值．图8－ZT －4►方法四“化斜为直法”解三角形7．如图8－ZT－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3.求AB的长．图8－ZT－58．如图8－ZT－6，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝22，tan A＝12，AC＝3 5.(1)求∠B的度数及AB的长；(2)求tan∠CDB的值．图8－ZT －6► 方法五 “参数法”解直角三角形9．2018·马鞍山一模如图8－ZT －7，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，E 是AB的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．图8－ZT －7► 方法六 “等角代换法”解直角三角形10．2018·当涂县六校联考如图8－ZT －8，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，相交于点O ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD 是锐角，BD ＝BC .求证：sin ∠BCD ＝BD AC.图8－ZT －8► 方法七 “等比代换法”解直角三角形11．如图8－ZT －9所示，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点B ，A ，与反比例函数的图象交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4，OE ＝2.(1)求该反比例函数的表达式；(2)求直线AB对应的函数表达式．图8－ZT－9教师详解详析1．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得a ＝c 2－b 2＝8－6＝ 2. ∵tan B ＝b a ＝62＝3，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.(2)∵在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.∵sin A ＝a c ＝48＝12，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.2．解：∵AD ＝2，AC ＝3，∠C ＝90°， ∴cos ∠CAD ＝AC AD ＝32，∴∠CAD ＝30°.∵AD 为△BAC 的角平分线， ∴∠BAC ＝2∠CAD ＝60°，∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝3×tan60°＝3×3＝3. ∵△ABC 是直角三角形，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝9＋3＝2 3.3．解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝6sin60°＝632＝4 3.∵sin B ＝bc，∴b ＝4 3×sin30°＝4 3×12＝2 3.(2)∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°. ∵tan A ＝ab，∴a ＝10 3×tan30°＝10 3×33＝10. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝10sin30°＝1012＝20.4．解：在Rt △ADC 中，∵sin ∠ADC ＝ACAD ，∴AD ＝AC sin ∠ADC ＝3sin60°＝2，∴BD ＝2AD ＝4. ∵tan ∠ADC ＝ACDC ，∴DC ＝AC tan ∠ADC ＝3tan60°＝1，∴BC ＝BD ＋DC ＝5.在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝2 7，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝2 7＋5＋ 3. 5．解：在Rt △BCH 中，∵BC ＝12，∠B ＝30°， ∴CH ＝12BC ＝6，BH ＝BC 2－CH 2＝6 3.在Rt △ACH 中，tan A ＝34＝CHAH ，∴AH ＝8，∴AC ＝AH 2＋CH 2＝10，6．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝45.又∵BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，∴BE ＝6×82×5＝245.在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD ＝2455＝2425.7．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3， ∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝3，答：AB 的长是3＋ 3.8．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .设CE ＝x .在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3，∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22，∴∠B ＝45°， ∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3，∴AB ＝AE ＋BE ＝9. (2)∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5， ∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2. 9．解：∵AC ⊥BD ， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32， ∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD＝2， ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝2 5x ＝2 5×25＝4 55.10．证明：如图，过点B 作AD 的垂线BE 交DA 的延长线于点E ，延长CB 与DA 交于点F .∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∠FBA ＝∠FDC ， ∴∠BCD ＋∠BAD ＝180°， ∠EAB ＝∠BCD .∵∠F ＝∠F ，∠FBA ＝∠FDC ， ∴△FBA ∽△FDC ，∴FB FD ＝F AFC ，∴FB F A ＝FD FC. ∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△F AC ，∴∠FDB ＝∠BCA . ∵∠BED ＝∠ABC ＝90°， ∴△BED ∽△ABC ，∴BD AC ＝BEAB＝sin ∠EAB ＝sin ∠BCD ， 即sin ∠BCD ＝BDAC.11．解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2， ∴EB ＝OB ＋OE ＝6. ∵tan ∠ABO ＝AO OB ＝12＝CEEB ，∴CE ＝3，AO ＝2，∴A (0，2)，B (4，0)，C (－2，3)． 设反比例函数的表达式为y ＝kx .∵点C 在反比例函数的图象上， ∴将点C (－2，3)代入，得k ＝－6， 即反比例函数的表达式为y ＝－6x.(2)设直线AB 对应的函数表达式为y ＝k 1x ＋b .将A (0，2)，B (4，0)代入y ＝k 1x ＋b ，可得b ＝2，k 1＝－12，∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝－12x ＋2.。