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位值原理知识要点位值原理的定义：同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个“位置值"。
例如“2”,写在个位上,就表示2个一，写在百位上,就表示2个百,这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e ×10+f。
例题讲解【例 1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。
【例 2】（美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数）,新数比原数大8802．求原来的四位数．【巩固】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数"。
例如，99就是一个巧数,因为9×9＋(9＋9)＝99。
可以证明，所有的巧数都是两位数.请你写出所有的巧数。
【例 3】（第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数,如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少?【巩固】(迎春杯决赛）有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886,求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【巩固】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数,所有这些三位数的平均值是多少?【巩固】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
位值原理叁仟陆佰伍拾捌3 6 5 8加油站位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理.【例1】(★) 填空:⑴ 123＝1个（ ）＋2个（ ）＋3个（ ） ⑵234＝（ ）个100＋（ ）个10＋（ ）个1 ⑶24＝2×（ ）＋4×（ ）【例2】(★ ★):⑴ 30300 33⑵22030 2 2 3⑷657＝（ ）×100＋（ ）×10＋（ ）×12 3⑸ （ ）＝5×100＋7×10＋9×1 ⑹ 23＋45＝（ ）×10＋（ ）×1⑺ 234＋321＝（ ）×100＋（ ）×10＋（ ）×1＝（ ）×111⑶ abc 10010+ 1 ⑷ abcd abcd ⑸1【例3】（★★★）【例5】(★★★)(希望杯五年级一试试题）⑴三位数abc比三位数cba小99，若a,b,c彼此不同，则abc最大是_____。
⑵a bab98790807【例6】(★★★★)【例4】(★★★)计算：(123456＋234561＋345612＋456123＋561234＋612345)÷7 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数.若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小至少是多少？最大的至多是多少？【例7】(★★★★★)(希望杯四年级二试试题)本讲总结数abcd，abc，ab，a依次表示四位数、三位数、两位数及一位abcd abc ab a 1787，那么满足条件的是多少？abcd a c=a c重要应用：①计算——分位计算②代数化表示——分类讨论重点例题：例1、例2、例4、例72。
5-7位置原理与数的进制教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
进制间的转换：如右图所示。
八进制十进制二进制十六进制例题精讲模块一、位置原理【例 1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。
5-7-1.位值原理教學目標1.利用位值原理的定義進行拆分2.巧用方程解位值原理的題知識點撥位值原理當我們把物體同數相聯系的過程中，會碰到的數越來越大，如果這種聯繫過程中，只用我們的手指頭，那麼到了“十”這個數，我們就無法數下去了，即使象古代墨西哥尤裏卡坦的瑪雅人把腳趾也用上，只不過能數二十。
我們顯然知道，數是可以無窮無盡地寫下去的，因此，我們必須把數的概念從實物的世界中解放出來，抽象地研究如何表示它們，如何對它們進行運算。
這就涉及到了記數，記數時，同一個數字由於所在位置的不同，表示的數值也不同。
既是說，一個數字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。
例如，用符號555表示五百五十五時，這三個數字具有相同的數值五，但由於位置不同，因此具有不同的位置值。
最右邊的五表示五個一，最左邊的五表示五個百，中間的五表示五個十。
但是在奧數中位值問題就遠遠沒有這麼簡單了，現在就將解位值的三大法寶給同學們。
希望同學們在做題中認真體會。
1.位值原理的定義：同一個數字，由於它在所寫的數裏的位置不同，所表示的數值也不同。
也就是說，每一個數字除了有自身的一個值外，還有一個“位置值”。
例如“2”,寫在個位上，就表示2個一，寫在百位上，就表示2個百，這種數字和數位結合起來表示數的原則，稱為寫數的位值原理。
2.位值原理的表達形式：以六位數為例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
3.解位值一共有三大法寶：（1）最簡單的應用解數字謎的方法列豎式（2）利用十進位的展開形式，列等式解答（3）把整個數字整體的考慮設為x，列方程解答例題精講模組一、簡單的位值原理拆分【例 1】一個兩位數，加上它的個位數字的9倍，恰好等於100。
這個兩位數的各位數字的和是。
【例 2】學而思的李老師比張老師大18歲，有意思的是，如果把李老師的年齡顛倒過來正好是張老師的年齡，求李老師和張老師的年齡和最少是________？（注：老師年齡都在20歲以上）【例 3】把一個數的數字順序顛倒過來得到的數稱為這個數的逆序數，比如89的逆序數為98．如果一個兩位數等於其逆序數與1的平均數，這個兩位數是________．【例 4】幾百年前，哥倫布發現美洲新大陸，那年的年份的四個數字各不相同，它們的和等於16，如果十位數字加1，則十位數字恰等於個位數字的5倍，那麼哥倫布發現美洲新大陸是在西元___________年。
位值原理知识框架位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会.1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理.2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f.3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答重难点（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100.这个两位数的各位数字的和是 .【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10.【答案】10【巩固】 一个两位数，加上它的十位数字的9倍，恰好等于100.这个两位数是 .【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 设为ab ，10a+b+9a=19a+b=100，a=5，b=5.【答案】55【例 2】 学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2010年，学而思杯，4年级，第5题【解析】 解设张老师年龄为ab ，则李老师的年龄为ba ，根据题意列式子为：18ba ab -=，整理这个式子得到：()918b a -=，所以2b a -=，符合条件的最小的值是1,3a b ==，但是13和31不符合题意，所以，答案为2a =与4b =符合条件的为：244266+=岁.【答案】66岁【巩固】 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009年，学而思杯，5年级，第3题【解析】 设为ab ，即101102b a a b +++=，整理得1981a b =+，3,7a b ==，两位数为37 【答案】37【例 3】 几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010年，第8届，希望杯，4年级，初赛，10题【解析】 肯定是1×××年，16－1＝15，百位，十位与个位和是15，十位加1后，数字和是15＋1＝16，此时十位和个位和是6的倍数，个位不是1，只能是2，十位原来是9，百位是4，所以是在1492年.【答案】1492【巩固】 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年多少岁?【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】1995年，第5届，华杯赛，初赛，第11题【解析】 设小明出生那年是，则1＋9＋a ＋b ＝95－10a －b从而11a ＋2b ＝85在a ≥8时，11＋2b ＞85；在a ≤6时，11a ＋2b ≤66＋2×9＝84，所以必有a ＝7，b ＝4.小明今年是1＋9＋7＋4＝21(岁).【答案】21岁【例 4】 一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的 倍.【考点】简单的位值原理拆 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，复赛，第4题，5分【解析】 令这个三位数为0a b ，则由题意可知，10067()a b a b +=+，可得2a b =，而调换个位和百位之后变为：0100102b a b a b =+=，而3a b b +=，则得到的新三位数是它的各位数字之和的102334b b ÷=倍.【巩固】 一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它们的差.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，复赛，第18题，10分【解析】 abc cba -个位是7，明显a 大于c ，所以10+c -a =7，a -c =3，所以他们的差为297【答案】297【例 5】 三位数abc 比三位数cba 小99，若,,a b c 彼此不同，则abc 最大是________【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，初赛，第7题，6分【解析】 由题意，99abc cba +=，有9a c =+，要abc 最大，如果9a =，那么0c =，与cba 为三位数矛盾；如果8a =，那么9c =，剩下b 最大取7，所以abc 最大是879.【答案】879【巩固】 一个三位数abc 与它的反序数cba 的和等于888，这样的三位数有_________个.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，六年级，二试，第4题，5分【解析】 显然a c +、b b +都没有发生进位，所以8a c +=、8b b +=，则4b =，a 、c 的情况有1+7、2+6、3+5、4+4、5+3、6+2、7+1这7种.所以这样的三位数有7种.【答案】7个【例 6】 将2，3，4，5，6，7，8，9这八个数分别填入下面的八个方格内（不能重复），可以组成许多不同的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是__________.-□□□□□□□□【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【解析】千位数差1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987，小的可以取234，所以这两个四位数应该是5987和6234，差为247.【答案】247【巩固】用1，2，3，4，5，7，8，9组成两个四位数，这两个四位数的差最小是___________.【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，四年级，复赛，第5题，5分【解析】千位数差1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987，小的可以取123，所以这两个四位数应该是4987和5123，差为136.【答案】136【例 7】xy，zw各表示一个两位数，若xy+zw=139，则x+y+z+w= .【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，希望杯，第一届，五年级，初赛，第5题，4分【解析】和的个位为9，不会发生进位，y+w=9，十位明显进位x+z=13，所以x+y+z+w=22【答案】22【巩固】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】解答【关键词】美国，小学数学奥林匹克【解析】设原来的两位数为ab，交换后的新的两位数为ba，根据题意，-=+--=-=，5ab ba a b b a a b(10)(10)9()45-=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a bb=，原来的两位数中最大的是94．9a=，4【答案】94【例 8】 一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原来两位数的8倍小1，原来的两位数是______.【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星 【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，初赛，第13题，6分【解析】 设这个两位数是ab ，则100a+b=8(10a+b)-1，化为20a+1=7b ，方程的数字解只有a=1，b=3，原来的两位数是13.【答案】13【巩固】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数.又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设第一个2位数为10a +b ；第二个为10b +a ；第三个为100a +b ；由题意：(100a +b )-（10b +a ）=( 10b +a )-（10a +b ) ；化简可以推得b =6a ，0≤a ,b ≤9，得a =1，b =6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.【答案】11小时【例 9】 abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd —abc —ab —a =1787，则这四位数abcd = 或 .【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，初赛，16题【解析】 原式可表示成：8898991787a b c d +++=，则知a 只能取：1或2，当1a =时，b 无法取，故此值舍去.当2a =时，0b =，0c =或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.【答案】2009或2010【巩固】 已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 原式：1111a ＋111b ＋11c ＋d ＝1370，所以a ＝1， 则111b ＋11c ＋d ＝1370－1111＝259，111b ＋11c ＋d ＝259推知b ＝2；则222＋11c ＋d ＝259，11c ＋d ＝37进而推知c ＝3，d ＝4所以abcd ＝1234.【答案】1234【例 10】 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【关键词】第五届，希望杯，培训试题【解析】 设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ， 因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ⨯++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【答案】1，2，4【巩固】 有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数的最小值．【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛【解析】 设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++⨯+++⨯+++=⨯++ 所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位 数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所 有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【答案】139【例 11】 有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数.【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法三：设两位数为x ，则有（10x ＋1）－（100＋x ）＝414，解得：x ＝57.【答案】57【巩固】 有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数.【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设三位数为x ，则有（6000＋x ）＋（10x ＋6）＝9999，解得：x ＝363.【答案】363课堂检测【随练1】 在下面的等式中，相同的字母表示同一数字， 若abcd dcba -=□997，那么□中应填 .【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛，第3题，10分【解析】 由题意知，a ≥d ,由差的个位为7可知，被减数个位上的d 要向十位上的c 借一位，则10+d －a =7,即a －d =3.又因为差的十位及百位均为9，由分析可知b =c ，故被减数的十位要向百位借一位，百位要向千位借一位，即()12a d --=,因此□内应填入2.【答案】2【随练2】 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数.若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这三个数字分别为a 、b 、c .由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的它们组成的三位数最小为159，最大为951.【答案】最小为159，最大为951【随练3】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加1111A，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A.【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答【解析】设这个数为x，则10x+5-x＝1111A，化简得9x＝1106A，等号右边是9的倍数，试验可得A＝1，x＝1234.【答案】A＝1，x＝1234复习总结（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答家庭作业【作业1】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”.例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99.可以证明，所有的巧数都是两位数.请你写出所有的巧数.【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】设这个巧数为ab，则有ab+a+b＝10a+b，a(b+1)＝10a，所以b+1＝10，b＝9.满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99.【答案】巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99.【作业2】a，b，c分别是09中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】由a，b，c组成的六个数的和是222()⨯++．因为223422210a b c++>．a b c>⨯，所以10若11a b c ++=，则所求数为222112234208⨯-=，但2081011++=≠，不合题意．若12a b c ++=，则所求数为222122234430⨯-=，但430712++=≠，不合题意．若13a b c ++=，则所求数为222132234652⨯-=，65213++=，符合题意．若14a b c ++=，则所求数为222142234874⨯-=，但8741914++=≠，不合题意．若15a b c ++≥，则所求数2221522341096≥⨯-=，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有13a b c ++=时符合题意，所求的三位数为652．【答案】652【作业3】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍.求出所有这样的三位数.【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5.如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5.设原两位数是ab ，则b =5，变成的三位数为5ab ，由题意有100a ＋10b ＋5＝（10a ＋5）×9，化简得a ＋b ＝4.变成的三位数只能是405，315，225，135.【答案】三位数只能是405，315，225，135【作业4】 如果70ab a b ⨯=，那么ab 等于几？【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将70ab a b ⨯=，展开整理得：(10)71000a b a b ⨯+⨯=⨯++，707100a b a b +=+，306a b =，5a b =，由于位值的性质，每个数位上的数值在0 ～9之间，得出1a =，5b =.【答案】15【作业5】 如果把数码3加写在某自然数的右端，则该数增加了12345A ，这里A 表示一个看不清的数码，求这个数和A .【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这个数码为x ，则有：（10x ＋3）－x ＝123450＋A ,解得，9x ＝123447＋A ，右边是9的倍数，根据被9整除的数字的特点知道，A ＝6，故：x ＝13717.【答案】6。
5-7-1.位值原理教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。
既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。
这个两位数的各位数字的和是。
【例 2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【例 3】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【例 4】几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年。
5-7-1.位值原理教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。
既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。
这个两位数的各位数字的和是。
【例2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【例3】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【例4】几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年。
数论是什么？ 可以理解为是关于整数的一些结论、论断、定论、推论，比如： 一个数的末尾数如果能被 2 或者 5 整除，那么这个数就能被 2 或者 5 整除， 偶数加偶数一定等于偶数，奇数乘以奇数一定等于奇数， 如果两个数除以同一个数得到的余数相同，那么这两个数的差一定能被这个数整除， ……， 等等。
数论在数学中的地位是很独特的，享有“数学王子”之称的德国著名数学家高斯就曾说过 “如果说数学是科学的皇后，那么数论就是数学中的皇冠”，历史上的一些悬而未决的数论疑 难问题，常被人们称为“皇冠上的明珠”，而“摘取”这些明珠的人往往会获得极其崇高的荣 誉并名载史册。
数论是数学的一个重要分支，位值原理（有的书称为位值原则）属于数论的一部分。
位值原理是什么咱们暂且不用理会，咱们从一道例题开始。
例题 ：有三个不同的数（都不为 0）组成的所有的三位数的和是 1332，这样的三位数中最大的数是多少？（2001 年·小学数学奥林匹克预赛试题）临□题□分□析□试题中只有一个数字，是什么样的三位数是未知的，那么要计算出每位数字吗？信息似乎太 少了，可能不是的。
关键在于试题给出的信息，“三个不同数组成的所有三位数字的和是 1332”、 “三位数中最大数”，主要是这两个条件，你能从这两条信息中提炼出什么？可能因此要得出 三位数字之间的关系，进而要做一些推导才能得到答案。
从题目得信息中理出解题头绪，需要靠你平时的训练积累，一般的数论试题都需要做一些推 导和推理才能得出所要的答案。
解□题□过□程□_____ _____假设这三个不为零的不同的数分别是 a、b、c，根据题目描述所有的三位数的和 a b c + a c b_____ _____ _____ _____+ b a c + b c a + c a b + c b a = 1332。
即 （100×a + 10×b + c） + （100×a + 10×c + b） + （100×b + 10×a + c） + （100×b + 10×c + a） + （100×c + 10×a + b） + （100×c + 10×b + a）=1332进一步 222×a + 222×b + 222×c=1332222×（a + b + c）=1332所以a + b + c=6因为 a、b、c 各不相同，所以 a、b、c 只能是 1、2、3 这三个数，那么组成的最大三位数就是 321。
小学奥数位值原理
小学奥数-位值原理
位值原理是指一个数的每一位在数中所代表的意义。
在十进制数中，一个数的每一位可以表示从个位到千位的数值；在二进制数中，一个数的每一位可以表示从个位到二的幂次方位的数值。
例如，在十进制数295中，第三位(百位)为9，可以表示900；第二位(十位)为9，可以表示90；第一位(个位)为2，可以表
示2。
在二进制数1011中，第四位(八位)为1，可以表示8；第三位(四位)为0，可以表示0；第二位(二位)为1，可以表示2；第
一位(个位)为1，可以表示1。
位值原理在奥数中经常用于解决数字运算和问题推理等题目。
理解位值原理有助于孩子们更好地理解数的组成和运算规律，提高算术和逻辑思维能力。
除了十进制和二进制，还有其他进制的数，如八进制、十六进制等。
每一种进制的位值原理都遵循相同的规律，只是对应的基数不同而已。
通过训练和实际操作，孩子们可以进一步掌握不同进制下的位值原理，丰富数学知识和解题技巧。
