高一新生入学考试数学试卷参考答案及评分标准

2024-2025学年四川省成都市成都七中八一学校高一新生入学分班质量检测数学试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若a b ＝25，则a b b 的值是（）A ．75B ．35C ．32D ．572、（4分）如图，在▱ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝7，EF ＝3，则BC 的长为()A ．9B ．10C ．11D ．123、（4分）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（）．A ．50元，30元B ．50元，40元C ．50元，50元D ．55元，50元4、（4分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（3），则三角板的最大边的长为（）学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………A ．3cmB ．6cmC ．32cmD ．62cm 5、（4分）如图，四边形OABC 是矩形，(2,1)A ，(0,5)B ，点C 在第二象限，则点C 的坐标是()A ．(1,3)-B ．(1,2)-C ．(2,3)-D ．(2,4)-6、（4分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，CE 垂直平分DO ，AB 1=，则BE 等于()A ．32B ．43C ．23D ．27、（4分）化简2b a b a a a⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的结果是()A ．a-b B ．a+b C ．1a b -D ．1a b+8、（4分）下面哪个点不在函数y=-2x+3的图象上（）A．（-5,13）B ．（0.5,2）C ．（1,2）D ．（1,1）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知一元二次方程2x 2﹣5x+1=0的两根为m ，n ，则m 2+n 2=_____．10、（4分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=8，BD=6，则该菱形的周长是___．11、（4分）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=10cm ，则△DEB 的周长是_____cm ．12、（4分）直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，若3a =，4b =，则c =__________．13、（4分）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x ，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x=_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）某文具店用1050元购进第一批某种钢笔，很快卖完，又用1440元购进第二批该种钢笔，但第二批每支钢笔的进价是第一批进价的1.2倍，数量比第一批多了10支．（1）求第一批每支钢笔的进价是多少元？（2）第二批钢笔按24元/支的价格销售，销售一定数量后，根据市场情况，商店决定对剩余的钢笔全按8折一次性打折销售，但要求第二批钢笔的利润率不低于20%，问至少销售多少支后开始打折？15、（8分）在△ABC 中，AM 是中线，D 是AM 所在直线上的一个动点（不与点A 重合），DE ∥AB 交AC 所在直线于点F ，CE ∥AM ，连接BD ，AE ．（1）如图1，当点D 与点M 重合时，观察发现：△ABM 向右平移12BC 到了△EDC 的位置，此时四边形ABDE 是平行四边形．请你给予验证；（2）如图2，图3，图4，是当点D 不与点M 重合时的三种情况，你认为△ABM 应该平移到什么位置？直接在图中画出来．此时四边形ABDE 还是平行四边形吗？请你选择其中一种情况说明理由．16、（8分）甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ，并且甲车途中休息了0.5h ，如图是甲乙两车行驶的距离y (km)与时间x (h)的函数图象.(1)直接写出图中m ，a 的值；(2)求出甲车行驶路程y (km)与时间x (h)的函数解析式，并写出相应的x 的取值范围；(3)当乙车出发多长时间后，两车恰好相距40km ？17、（10分）某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，并统计绘制成了如图两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：（1）本次共抽查学生人，并将条形图补充完整；（2）捐款金额的众数是，中位数是；（3）在八年级850名学生中，捐款20元及以上（含20元）的学生估计有多少人？18、（10分）由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y 1（万m 3）与干旱持续时间x （天）的关系如图中线段l 1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y 2（万m 3）与时间x （天）的关系如图中线段l 2所示（不考虑其它因素）．（1）求原有蓄水量y 1（万m 3）与时间x （天）的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量．（2）求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y （万m 3）与时间x （天）的函数关系式（注明x 的范围），若总蓄水量不多于900万m 3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x 的范围．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，已知矩形ABCD 的边6,8AB BC ==将矩形的一部分沿EF 折叠，使D 点与B 点重合，点C 的对应点为G ，则EF 的长是______将BEF 绕看点B 顺时针旋转角度()0<180.a a ︒<得到11BE F 直线11E F 分别与射线EF ，射线ED 交于点,M N 当EN MN =时，FM 的长是___________.20、（4分）如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x +m 的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x 的不等式组22{20x m x x +----＜＜的解集为_____．21、（4分）在矩形ABCD 中,AB=4,AD=9点F 是边BC 上的一点,点E 是AD 上的一点,AE:ED=1:2,连接EF 、DF,若EF=2则CF 的长为______________。

昆明第一中学2024届入学考试（数学）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：A、（a4b）3＝a12b3，故此选项错误；B、﹣2b（4a﹣1）＝﹣8ab+2b，故此选项错误；C、a×a3+（a2）2＝2a4，正确；D、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此选项错误；故选：C．2．【解答】解：A、主视图是矩形，故此选项错误；B、主视图是圆，故此选项错误；C、主视图是三角形，故此选项正确；D、主视图是矩形，故此选项错误；故选：C．3．【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，所以将最低成绩写得更低了，计算结果不受影响的是中位数，故选：B．4．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4•（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．故选：D．5．【解答】解：如图，在Rt∠ACB中，∵∠C＝90°，∴tan B＝＝2，∴＝2，∴AC＝4．故选：B．6．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣8x+8＝（x﹣4）2﹣8的顶点坐标为（4，﹣8），抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），∴顶点由（0，﹣1）到（4，﹣8）需要向右平移4个单位再向下平移7个单位．故选：C ．7．【解答】解：∵a ＜0，∴＝＝﹣＝﹣．故选：A ．8.【解答】解：)13)(()13()13(33232222++-=++-++=---++=-+--y x y x y x y y x x y y xy x xy x y x y xy x 故选：A ．9.【解答】解：由题意及图形可得出规律：中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，所以[100-（3+1）]÷2=48（块）故选：B ．10.【解答】解：)256112511)(1611911)(411(-----=1+11+1−11...11=12×32×23×43×34×54×...×1516×1716=12×1716=1732故选：D ．11．【解答】解：连接BC ，如图，∠ABC ＝∠AOC ＝×80°＝40°，∠BCD ＝∠BOD ＝×30°＝15°，而∠ABC ＝∠E +∠BCD ，所以∠E ＝40°﹣15°＝25°．故选：B ．12.【解答】解：∵点P 在函数y =1x 的图象上，则其“关联点”Q 在函数W 的图象上，∴W 的解析式为W=⎪⎩⎪⎨⎧<->+)0(1)0(11x x x x。

高一新生入学考试数学试题及答案
一、选择题
1.若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且经过点(-1, 4)，则a,
b, c的符号关系是：
A. a > 0, b < 0, c > 0
B. a > 0, b < 0, c < 0
C. a > 0, b > 0, c > 0
D. a > 0, b > 0, c < 0
解答：由题意可知，二次函数的图像开口向上，所以a > 0。

又因为经过点(-1, 4)，代入得4 = a(-1)^2 + b(-1) + c，化简得a - b + c = 4。

由于a > 0，所以a的系数为正，所以b的系数b为负。

而c则有可能是正数或负数，所以选项A和B均可以排除。

综上所述，答案为选项D。

二、填空题
1.解方程2x + 5 = 3 - x的解为x = ______。

解答：将方程化简得3x + 5 = 3，然后移项得3x = -2，最后除以3得x = -2/3。

所以方程的解为x = -2/3。

三、解答题
1.已知函数y = x^2 - 2x + 1。

求函数在x = 1处的切线方程。

解答：首先求得函数的导数为y' = 2x - 2。

然后代入x = 1得y' = 2(1) - 2 = 0。

所以函数在x = 1处的切线斜率为0。

由于切线经过点(1, 0)，所以切线方程为y - 0 = 0(x - 1)，即y = 0。

所以函数在x = 1处的切线方程为y = 0。

高一新生数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数不是实数？A. -2B. √2C. πD. i2. 如果函数f(x) = 2x - 3，那么f(5)的值是：A. 7B. 4C. 1D. 03. 以下哪个是二次方程x^2 - 4x + 4 = 0的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = 34. 圆的半径为3，那么它的面积是：A. 9πB. 18πC. 28πD. 36π5. 已知集合A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}，那么A∩B的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 46. 直线y = 2x + 1与x轴的交点坐标是：A. (-1, 0)B. (0, 1)C. (0, 0)D. (1, 0)7. 以下哪个是不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集？A. x ≤ 1 或x ≥ 3B. x ≤ 3或x ≥ 1C. 1 ≤ x ≤ 3D. 无解8. 函数y = |x|的图像在x = 0处：A. 有尖点B. 有水平渐近线C. 有垂直渐近线D. 无特殊点9. 已知a, b是实数，若a^2 + b^2 = 1，则a + b的最大值是：A. 1B. 2C. √2D. 无法确定10. 以下哪个是复数z = 3 + 4i的共轭复数？A. 3 - 4iB. 4 + 3iC. -3 + 4iD. -3 - 4i二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的标准方程为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆的______。

12. 若f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2，那么f'(x) = ______。

13. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度为c，两直角边分别为a和b，那么a^2 + b^2 = ______。

14. 集合{1, 2, 3}的补集（相对于自然数集）是{______}。

15. 已知点A(-1, 2)和点B(3, 6)，线段AB的中点坐标是(______,______)。

卜人入州八九几市潮王学校六校教育研究会2021级高一新生入学素质测试高一数学试题参考答案一、 选择题〔本大题一一共10小题，每一小题3分，总分值是30分〕11．(2)(21)x x ++12．1:213．1214．0 三、 〔本大题一一共4小题，每一小题5分，总分值是20分〕15．解：原式=14112-++41=+5=.……………………5分16．解：〔1〕如下列图△A 1B 1C 1；……………………1分〔2〕如下列图△A 2B 2C 2；……………………2分〔3〕如图，点(4,5)B -，点2(5,4)B ，作2B 关于x 轴对称的点3(5,4)B -，连接3BB 交x 轴于点P ，此点P 即为所求点，即此时2PB PB +最小.设一次函数y kx b =+的图像经过点B 和3B ，那么有54,45k b k b =-+⎧⎨-=+⎩解之得11k b =-⎧⎨=⎩，所以经过点B 和3B 的直线对应一次函数解析式为1y x =-+，当0y =时，1x =，故点P 的坐标为(1,0).……5分17．解：如图，过B 作BF ⊥AD 于F ， 在Rt △ABF 中，∵sin ∠BAF =BFAB，∴BF =ABsin ∠BAF =2sin 45°≈14， ∴真空管上端B 到AD 的间隔约为米．……………………2分在等腰Rt △ABF 中，AF =BF≈14．∵BF ⊥AD ，CD ⊥AD ，又BC ∥FD ，∴四边形BFDC 是矩形，∴BF =CD ，BC =FD ．在Rt △EAD 中，∵tan ∠EAD =EDAD，∴ED =ADtan ∠EAD ⨯tan 30°≈0.932，∴CE =CD -ED =14-0.932=0.482≈0.48，∴安装铁架上垂直管CE 的长约为．……………………5分 18．解：〔1〕在图1中，由题意，点2(3,4)A m +，点2(,6)C m ，又点A 2、C 2均在反比例函数y =kx的图象上，所以有4(3)6m m k+==，解之得6,36m k ==.反比例函数解析式为36y x=.……………………2分 〔2〕在图2中，2C E ∥GH ∥JK ，设2C E 和OJ 相交于点M ，那么有ME OM MFIH OI GI==. 因为I 为GH 中点，所以GI IH =，所以ME MF =，即点M 为EF 中点.又点F 为2C E 中点，所以212MEMF C F ==.所以1211112222OMF S C F OE MF OE S ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=，所以()123233311822OMF OGI OHI OJK kS S S S S S S S S S S ∆∆∆∆++=++=+=+===.……………………5分四、 〔本大题一一共2小题，每一小题6分，总分值是12分〕19．解：分三种情况如下： 〔1〕假设90PAB∠=，那么P 的横坐标为2x =-，代入到方程122y x =+中得纵坐标1y =，故此时P 点的坐标为(2,1)-；……………………1分〔2〕假设90PBA ∠=，同理求得P 点的坐标为(4,4)；……………………2分 〔3〕假设90APB∠=，作PMx ⊥轴于点M ，设P 点的坐标为(,)x y ，根据射影定理，得21(2)(4),22y x x y x =+-=+………………………4分联立消元，解得5522x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或；故P点的坐标为2),(2)+．……………………6分20．解：〔1〕,C BAD ABC EBA ∠=∠∠=∠∴△ABC ∽△EBA ……………1分△ABC ∽△EBA ∴AB CBEB AB=2AB =BE •BC ……………………3分 〔2〕2AB BG =•BF ∴1,2BG AG ==由1AE EG ==，………………4分在RT BEG ∆中，由勾股定理得BE=由〔1〕知2AB =BE •BC ，2AB BC BE ∴===……………6分五、 〔本大题一一共1小题，每一小题10分，总分值是10分〕21．解:(1)由题意得 △=0)2(4)(422=+-+ab c b a 即222c b a =+在Rt △ABC 中,A A B cos )2sin(sin =-=π,那么58cos sin ,552cos sin +-=+-=+m m A A m m A A ………………………………………………2分 由1cos sin 22=+A A ,可得4,2021==m m又由0cos ,0sin >>A A ,∴20=m ………………………………………………………4分(2)由10,5=∴=c r由(1)可得53sin =A 或者54∴直角边分别为6,8……………………………………………………………………………6分 设正方形的边长为t 那么① 假设正方形两边在三角形两直角边上时,有724,688=∴=-t t t …………………………………………………………………………8分 ② 假设正方形的一条边在三角形的斜边上时,有37120,52452410=∴-=t tt ……………………………………………………………………10分六、 〔本大题一一共1小题，每一小题12分，总分值是12分〕22．解：⑴由题意得：20180m m ∆>⎧⎨+>⎩，解得0m >或者118m <-……………………………………〔2分〕〔注：假设只有0∆>解出0m >或者120m <-得1分〕. 〔2〕120,0x x <>，12,OA x OB x ∴=-=，OA OB OC=+，120x x b ∴++=…………………〔4分〕即21890m m +=解得0m =或者12m =-. 又由〔1〕知0m >或者118m <-，12m ∴=-，故211482y x x =--+.………………………………〔6分〕〔3〕解法一：由〔2〕知：(8,0),(4,0),(0,4)A B C -， ∵PBM ABC∠=∠，要使PBM∆∽ABC∆，只需条件BPM BAC∠=∠或者BPM BCA ∠=∠成立即可.〔ⅰ〕假设BPM BAC ∠=∠，此时PQ ∥AC ，又,83OQ k PO k ==-，∴12OQ OC PO OA ==，即1832k k =-，解之得85k =.………………………………………………………〔8分〕 〔ⅱ〕假设BPM BCA ∠=∠，此时点P 在线段OB 上，如图，过点B 作BN⊥AC ，垂足为N ，∴QPO BCN ∠=∠，∴tan tan QPO BCN ∠=∠，即OQ BNOP CN=，又125BN =，2444555CN =-=，∴125138435k k =⋅=-，解之得3k =.…………………………………………〔11分〕综上可知：当85k =或者3k =时，以P、B、M为顶点的三角形与ABC∆相似.…………………………………………〔12分〕解法二：由〔2〕知：(8,0),(4,0),(0,4)A B C -，(38,0),(0,)P k Q k -，∵PBMABC ∠=∠，要使PBM ∆∽ABC ∆，只需条件BM BP BC BA =或者BM BPBA BC=成立即可.又∵直线BC 的解析式为4y x =-+………………①直线PQ 的解析式为83ky x k k=⋅+-………………② 联立①②解出点M 的坐标为833(,)22k k -.∴BM =.…………………………………………〔8分〕〔ⅰ〕假设BM BPBC BA=12312k -=，解得：85k =. 〔ⅱ〕假设BM BPBA BC=，即212=，解得：3k =.…………………………………………〔11分〕 综上可知：当85k =或者3k =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与ABC ∆相似.………………〔12分〕。

高一数学试题参考答案及评分标准一、选择题（1）—（10） CABCB BDCCA二、填空题 （11）()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππ （12）()5,2-或()5,2-（13）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π3221sin 2x y （14） 4 或 2三、解答题 (15) 解：∵22,22πβππαπ<<-<<-∴πβαπ<+<- ------------（2分） ∵βαtan ,tan 是方程0762=++x x 的两个根，∴⎩⎨⎧=⋅-=+7tan tan 6tan tan βαβα ------------（6分）∴0tan ,0tan <<βα ， ∴0<+<-βαπ 又∵()1671tan tan tan tan 1cot ---=+⋅-=+βαβαβα -----------（10分）∴πβα43-=+ . --------------（12分）（16）解：如图，设货船航行的速度为每小时x 海里，经过40分钟后与渔船在C 处相遇.在△ABC 中，AB=10 ,AC=6 ,120=∠BAC , 所以由余弦定理得1966036100120cos 2222=++=⋅⋅-+= AC AB AC AB BC∴14=BC ， ∴ 21=x --------------（6分）又在△ABC 中，由正弦定理得ABCB AC sin sin = ∴143323146sin sin =⨯==BC A AC B----------------（10分）故货船以北偏东（1433arcsin4+π）的方向，每小时21海里船速行驶. -----------------（12分）(17) 解:⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin ,2cos 2cos 2αααa，⎪⎭⎫⎝⎛=2cos ,2sin 2sin 2βββb -----------------（2分）∵()()ππβπα2,,,0∈∈∴⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππβπα,22,2,02 -----------------（4分） ∴2cos 2cos22cos 2cos 2ααα==⋅⋅=c a c a A ， ∴2α=A -------------（7分） ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅⋅=22cos 2sin 22sin 2cos 2πβββc b c b B ，∴22πβ-=B ----------（10分） ∴622ππβα=+-=-B A ， ∴216sin 4sin-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-πβα ----------（12分）(18) 解: （Ⅰ）∵[]πθ,0∈∴()1sin 221,sin 22sin 2+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅θθθ，b a， ∴[]3,1∈⋅b a -------（3分）∴()()22cos 2,11,2cos +=⋅=⋅θθd c ， ∴[]3,1∈⋅d c-------（6分）（Ⅱ）由题设知二次函数()x f 的对称轴为1=x ，设二此项系数为m ，若0>m ，则()x f 在[)∞+∈,1x 上是增函数，由()()d c f b a f⋅>⋅ 有22cos 1sin 22+>+θθ即有22cos 12cos 1+>+-θθ ， 02cos <θ∴Z k k k ∈+<<+,232222ππθππ ， 又∵πθ≤≤0 ，∴434πθπ<< -------------（10分）若0<m ，则()x f 在[)∞+∈,1x 上是减函数，同理可得40πθ<≤或πθπ≤<43. -------------（13分） 综上，当0>m 时，不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛43,4ππ； 当0<m 时，不等式的解集为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,434,0 -------------（14分）。

参考答案及评分标准1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8. B 9.AC 10.ABC 11.AD 12.ACD 13. -4,52 14.[2,10]- 15．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ 16．[]2,4 17.(1)原不等式可转化为：232232-<->-x x 或整理得：25>x 或21<x ，则原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>2125x x x 或..........5分 （2）0437924<+-x x ⇔()()019422<--x x ⇔4912<<x 所以231312<<-<<-x x 或......9分 则该不等式解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<<-231312x x x 或.........10分 18. （1）2=a 时{}{}42,71≤≤-=<<=x x B x x A B A ⋃=⋃{}42≤≤-x x ={}72<≤-x x ...........6分 （2）因为的充分条件，所以B A ⊆........7分①φ=A ，321+≥-a a 即4-≤a 时满足题意;.............9分②φ≠A ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-->432214a a a 解得211≤≤-a ..........11分 综上所述，4-≤a 或211≤≤-a ...........12分 19．（1）由题意得总成本为（20000+100x ）元， 所以利润2130020000,0400()260000100,400x x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩，N x ∈..........4分 （2）当0400x ≤≤时，2211300200003002500022()()f x x x x =--=--+， 所以当300x =时，()f x 的最大值为25000；当400x >时，()600001004002000025000f x <-⨯=<综上，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元...........12分20.（1）()()()()()111122323-+=-+-=+--x x x x x x x x ...........2分当1=x 时()()0112=-+x x ，故123+-=x x x ;当1>x 时，()()0112>-+x x ，故123+->x x x ；当1<x 时，()()0112<-+x x ，故123+-<x x x ............6分(2) 因为a b c >>且0a b c ++=所以0<c因为b a >所以0>->-c b c a ，两边取到数得：c b c a -<-11 又0<c 所以c c a c b c>--.........12分 21.（1）因为不等式0232>+-x ax 的解集为,1|{<x x 或}b x >所以1和b 是方程0232=+-x ax 的两个实数根且0>a .......2分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+a b a b 231解得⎩⎨⎧==21b a ..............5分 （3）由（1）知⎩⎨⎧==21b a 于是有121=+y x ...........6分 故84244421)2(2=⋅+≥++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+y x x y y x x y y x y x y x （当4,2==y x 时等号成立）.....9分 依题意有822≤++k k ，即062≤-+k k .............10分解得23≤≤-k ............12分22.（1）当时方程()()0f x g x -=化为,0542=--x x解得51=-=x x 或;................2分（2）由函数()x f 图像可知当[]1,1-∈x 时()()()11-≤≤f x f f ，方程()0f x =在[]11-，上有实数根则必有()()08080,0101≤≤-⎩⎨⎧≥+≤⎩⎨⎧≥-≤a a a f f 解得：即.......6分 （3）当[]114x ∈，()[]3,11-∈x f ，[]21,4x ∈ ①当0=m 时()52=x g ，不符合题意，舍去。

智才艺州攀枝花市创界学校三中二零二零—二零二壹高一数学入学考试试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共10个小题,每一小题4分,一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.-1是1的〔〕A.倒数B.相反数C.绝对值D.立方根【答案】B应选B.2.以下各式的运算正确的选项是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】A.，故原题计算错误；B. 和a不是同类项，不能合并，故原题计算错误；C.=，故原题计算错误；D. ，故原题计算正确；应选：D.3.，一块含角的直角三角板如下列图放置，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】如图,过P作PQ∥a，∵a∥b，∴PQ∥b，∴∠BPQ=∠2=，∵∠APB=，∴∠APQ=，∴∠3=−∠APQ=，∴∠1=，应选：D.4.据媒体报道，我国因环境污染造成的宏大经济损失，每年高达亿元，将亿用科学记数法表示为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】亿=元。

应选C.5.积极行动起来，一共建节约型社会！某居民小区200户居民参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下：节水量〔单位：吨〕 1 2家庭数〔户〕 2 3 4 1请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是〔〕A.240吨B.360吨C.180吨D.200吨【答案】A【解析】根据10户家庭一个月的节水情况可得,平均每户节水：(0.5×2+1×3+×4+2×1)÷(2+3+4+1)=(吨)∴200户家庭这个月节约用水的总量是：200×=240(吨)应选A6.如图是由一些完全一样的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最少是〔〕A.5个B.6个C.7个D.8个【答案】A【解析】由题中所给出的主视图知物体一共2列，且都是最高两层；由左视图知一共行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行1个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行2个小正方体，其余位置没有小正方体。

2024-2025学年四川师范大学附属中学外国语学校高一新生入学分班质量检测数学试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享受打折优惠，若购买商品的实际付款金额y （单位：元）与商品原价x （单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过200元的部分可以享受的优惠是（）A ．打五折B ．打六折C ．打七折D ．打八折2、（4分）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（）A ．65°B ．65°或80°C ．50°或65°D ．40°3、（4分）若一个等腰直角三角形的面积为8，则这个等腰三角形的直角边长为（）A ．2B C ．4D ．84、（4分）用反证法证明“在ABC ∆中，AB AC =，则B Ð是锐角”，应先假设（）A ．在ABC ∆中，B Ð一定是直角B ．在ABC ∆中，B Ð是直角或钝角C ．在ABC ∆中，B Ð是钝角D ．在ABC ∆中，B Ð可能是锐角5、（4分）如图，平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线AE 交CD 于E ，AB=5，BC=3，则EC 的长（）A ．2B ．3C ．4D ．2.56、（4分）某校为了了解学生在校午餐所需的时间，抽查了20名同学在校午餐所需的时间，获得如下数据（单位：分）：10，12，15，10，1，18，19，18，20，34，22，25，20，18，18，20，15，1，21，1．若将这些数据分为5组，则组距是（）A ．4分B ．5分C ．6分D ．7分7、（4分）已知点P 的坐标为（a ，b ）（a ＞0），点Q 的坐标为（c ，2），且|a －c ，将线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为24，那么a +b +c 的值为()A ．12B ．14C ．16D ．208、（4分）把直线y =-x +3向上平移m 个单位后，与直线y =2x +4的交点在第一象限，则m 的取值范围是（）A ．1＜m ＜7B ．3＜m ＜4C ．m ＞1D ．m ＜4二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式．10、（4分）在平面直角坐标系xoy 中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，过点（1，2）的一条直线与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，且与直线112y x =-+平行．则在△AOB 内部（不包括边界）的整点的坐标是________．11、（4分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2019B 的坐标为________．12、（4分）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于_____．13、（4分）如图，直线()0y kx b k =+＜经过点()3,1A ，当13kx b x +<时，x 的取值范围为__________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg ．如果一次购买5kg 以上的种子，超过5kg 部分的种子价格打8折．（1）购买3kg 种子，需付款元，购买6kg 种子，需付款元．（2）设购买种子x kg ，付款金额为y 元，写出y 与x 之间的函数解析式．（3）张大爷要购买种子5千克，李大爷要购买种子4千克，怎样购买让他们花钱最少？他们各应付款多少元？（结果保留整数）15、（8分）先化简，再求值231(1)22x x x x --÷++，其中2019x =．16、（8分）已知x ＝12（，y ＝12（，求下列各式的值：(1)x 2－xy ＋y 2；(2)x y y x +.17、（10分）如图，ABC ∆中，ACB ∠的平分线交AB 于点D ，CD 的垂直平分线分别交AC 、DC 、BC 于点E 、G 、F ，连接DE 、DF ．（1）求证：四边形DFCE 是菱形；（2）若60ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，2BD =，试求BF 的长．18、（10分）如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE=DF ，BE ，CF 相交于点G.（1）求∠BGC 的度数；（2）若CE=1，H 为BF 的中点时，求HG 的长度；（3）若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2：3，求△BCG 的周长.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，将平行四边形ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A=60°，AD=6，AB=12，则AE 的长为_______.20、（4分）如图，用若干个全等正五边形进行拼接，使相邻的正五边形都有一条公共边，这样恰好可以围成一圈，且中间形成一个正多边形，则这个正多边形的边数等于_________．21、（4分）若一组数据1，2，3，x ，0，3，2的众数是3，则这组数据的中位数是_____．22、（4分）在代数式53a ，710，221b -，12y -，8y x +中，是分式的有______个.23、（4分）己知反比例函数31k y x +=的图像经过第一、三象限，则常数k 的取值范围是___．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某人购进一批琼中绿橙到市场上零售，已知卖出的绿橙数量x(千克)与售价y(元)的关系如下表：数量x(千克)12345…售价y(元)2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5…(1)写出售价y(元)与绿橙数量x(千克)之间的函数关系式；(2)这个人若卖出50千克的绿橙，售价为多少元？25、（10分）如图，在Rt ACB 中，90C =∠，BE 平分ABC ∠，ED 垂直平分AB 于点D ，若9AC =，求AE 的长.26、（12分）因式分解：（1）a （m ﹣1）+b （1﹣m ）．（1）（m 1+4）1﹣16m 1．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】设超过200元的部分可以享受的优惠是打n 折，根据：实际付款金额=200+（商品原价-200）×10n ，列出y 关于x 的函数关系式，由图象将x=500、y=410代入求解即可得．【详解】设超过200元的部分可以享受的优惠是打n 折，根据题意，得：y=200+（x-200）•10n ，由图象可知，当x=500时，y=410，即：410=200+（500-200）×10n ，解得：n=7，∴超过200元的部分可以享受的优惠是打7折，故选C ．本题考查了一次函数的实际应用，理解题意根据相等关系列出实际付款金额y 与商品原价x 间的函数关系式是解题的关键．2、C 【解析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【详解】当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°；当50°是底角时也可以．故选C ．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．3、C【解析】设等腰直角三角形的直角边长为x，根据面积为8，可列方程求解．解；设等腰直角三角形的边长为x，12x 2=8，x=1或x=-1（舍去）．所以它的直角边长为1．故选C．“点睛”本题考查等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的两个腰相等，两腰夹角为90°，根据面积为8可列方程求解．4、B 【解析】假设命题的结论不成立或假设命题的结论的反面成立，然后推出矛盾，说明假设错误，结论成立．【详解】解：用反证法证明命题“在ABC ∆中，AB AC =，则B Ð是锐角”时，应先假设在ABC ∆中，B Ð是直角或钝角．故选：B ．本题考查反证法，记住反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5、A 【解析】根据平行四边形的性质可得AB=CD=5，AD=BC=3，AB ∥CD ，然后根据平行线的性质可得∠EAB=∠AED ，然后根据角平分线的定义可得∠EAB=∠EAD ，从而得出∠EAD=∠AED ，根据等角对等边可得DA=DE=3，即可求出EC 的长．【详解】解:∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=5，BC=3，∴AB=CD=5，AD=BC=3，AB ∥CD∴∠EAB=∠AED∵AE 平分∠DAB∴∠EAB=∠EAD ∴∠EAD=∠AED ∴DA=DE=3∴EC=CD －DE=2故选A ．此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关键．6、B 【解析】找出20个数据的最大值与最小值，求出它们的差，再除以5即得结果.【详解】解：根据题意得：（34－10）÷5=4.8.即组距为5分.故选B.本题考查了频数分布表的相关知识，弄清题意，掌握求组距的方法是解题的关键.7、C 【解析】有非负数的性质得到a=c ，b=8，()a，8P ∴，PQ ∥y 轴，由于其扫过的图形是矩形可求得a ，代入即可求得结论．【详解】解：|a －c|+，∴a=c ，b=8，()a，8P ∴，PQ ∥y 轴，∴PQ=8-2=6，∴将线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的图形是边长为a 和6的矩形，6a=24∴，∴a=4,∴c=4，∴a+b+c=4+8+4=16；故选：C．本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y 轴，进而求得PQ是解题的关键．8、C【解析】直线y=-x+3向上平移m个单位后可得：y=-x+3+m，求出直线y=-x+3+m与直线y=2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．【详解】解：直线y=-x+3向上平移m个单位后可得：y=-x+3+m，联立两直线解析式得：324y x my x=-++⎧⎨=+⎩，解得：132103mxmy-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即交点坐标为1210,33m m-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵交点在第一象限，∴10321003mm-⎧>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得：m＞1．故选：C．本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横坐标大于2、纵坐标大于2．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、y=x（答案不唯一）【解析】试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠1），∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞1．∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．10、（1，1）和（2，1）.【解析】设直线AB 的解析式为12y x b =-+，由直线AB 上一点的坐标利用待定系数法即可求出b 值，画出图形，即可得出结论．【详解】解：设直线AB 的解析式为12y x b =-+，∵点（1，2）在直线AB 上，∴122b =-+，解得：b ＝52，∴直线AB 的解析式为1522y x =-+．∴点A （5，0），点B （0，52）．画出图形，如图所示：∴在△AOB 内部（不包括边界）的整点的坐标是：（1，1）和（2，1）．本题考查了两条直线平行问题以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题目时，由点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．11、(【解析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心,以OB 为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA 1B 1C 1,相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.【详解】∵四边形OABC 是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB ，由勾股定理得：，由旋转得：OB=OB 1=OB 2=OB 3=…，∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘,依次得到∠AOB=∠BOB 1=∠B 1OB 2=…=45∘，∴B 1),B 2(−1,1),B 3,0)，…，发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，∴点B 2019的坐标为,0)本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.12、96【解析】试题解析：如图所示，连接AC ，在Rt △ADC 中，CD =6，AD =8，则10AC ====.在△ABC 中，AB =26，BC =24，AC =10，则222222241057610067626BC AC AB +=+=+===,故△ABC 为直角三角形.11241086120249622ABCADCS SS=-=⨯⨯-⨯⨯=-=阴影.故本题的正确答案应为96.13、3x>【解析】根据题意结合图象首先可得13y x=的图象过点A，因此便可得13kx b x+<的解集.【详解】解：∵正比例函数13y x=也经过点A，∴13kx b x+<的解集为3x>，故答案为：3x>．本题主要考查函数的不等式的解，关键在于根据图象来判断，这是最简便的解题方法.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）15，1；（2）5,05,45, 5.x xyx x≤≤⎧=⎨+>⎩；（3）张大爷和李大爷一起购买花钱最少，张大爷应付款23元，李大爷应付款18元．【解析】（1）根据题意，可以分别计算出购买3kg和购买6kg种子需要付款的金额；（2）根据题意，可以分别写出0≤x≤5和x＞5时对应的函数解析式；（3）根据题意，可知张大爷和李大爷一起购买花钱最少，然后算出他们需要付款的金额即可．【详解】解：（1）由题意可得，购买3kg种子需要付款：5×3=15（元），购买6kg种子需要付款：5×5＋（6−5）×5×0.8=1（元），故答案为：15，1．（2）由题意可得，当0≤x≤5时，y=5x，当x＞5时，y=5×5＋5×0.8（x−5）=4x＋5，∴5,05,45, 5.x x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩（3）一次性购买9kg 种子花钱最少．若单独购买，则张大爷和李大爷分别付款25元和20元，若一起购买9kg ，则把9x =代人45y x =+得，41y =．541239⨯≈（元），441189⨯≈（元）∴张大爷和李大爷一起购买花钱最少，张大爷应付款23元，李大爷应付款18元．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出一次函数解析式．15、x ；2019.【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案.【详解】原式()223·21x x x x x ++-=+-()21·21x x x x x +-=+-x =，当2019x =时，原式2019=．此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键.16、(1)112；(2)12.【解析】试题分析:由x ＝12（，y ＝12（，得出x+y=，xy=12，由此进一步整理代数式，整体代入求得答案即可．试题解析:(1)∵x ＝12（，y ＝12（，∴x ＋y ＝，xy ＝12，∴x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y )2－3xy ＝7－32＝112；(2) x y y x +＝2x+y)2xy xy-（＝7-112＝12.17、（1）证明见解析；（2）1【解析】（1）先根据垂直平分线的性质得：DE CE =，DF FC =，证明()CGE FCG ASA ∆≅∆得CE CF =，再由四边都相等的四边形是菱形可得结论；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30°的性质可得1BH =，由勾股定理得：DH =45DFB ACB ∠=∠=︒，可得DHF ∆是等腰直角三角形，从而可得DH FH ==，由此即可解题．【详解】（1）证明：EF 是DC 的垂直平分线，即90EGC FGC ∠=∠=︒，DG CG =，DE EC ∴=，DF CF =，CD 平分ACB ∠，ECG FCG ∴∠=∠，在CGE ∆和FCG ∆中，ECG FCG CG CGEGC FGC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()CGE FCG ASA ∴∆≅∆，CE CF ∴=，∴DE EC DF CF===∴四边形DFCE 是菱形；（2）解：过D 作DH BC ⊥于H ，则90DHF DHB ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，30BDH ∴∠=︒，112BH BD ∴==，在Rt DHB ∆中，DH ==，四边形DFCE 是菱形，//DF AC ∴，45DFB ACB ∴∠=∠=︒，DHF ∴∆是等腰直角三角形，DH FH ∴==，1BF BH FH ∴=+=+本题考查了菱形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质以及直角三角形30°角的性质，熟练掌握菱形的判定是解（1）题的关键，构造直角三角形求线段长是解（2）题的关键．18、（1）90°；（2）2；（3）△BGC 3+【解析】（1）先利用正方形的性质和SAS 证明△BCE ≌△CDF ，可得∠CBE =∠DCF ，再利用角的等量代换即可求出结果；（2）先根据勾股定理求出BF 的长，再利用直角三角形的性质求解即可；（3）根据题意可得△BCG 的面积与四边形DEGF 的面积相等，进一步依据△BCG 的面积以及勾股定理，得出BG +CG 的长，进而求出其周长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =∠CDF =90°，在△BCE 和△CDF 中，∵BC =CD ，∠BCD =∠CDF ，CE=DF ，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），∴∠CBE =∠DCF ，又∵∠BCG +∠DCF =90°，∴∠BCG +∠CBE =90°，∴∠BGC =90°；（2）如图，∵CE =1，∴DF =1，∴AF =2，在直角△ABF 中，由勾股定理得：BF ===，∵H 为BF 的中点，∠BGF =90°，∴122HG BF ==；（3）∵阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为23×9=6，∴空白部分的面积为9－6=3，∵△BCE ≌△CDF ，∴△BCG 的面积与四边形DEGF 的面积相等，均为12×3=32，设BG =a ，CG =b ，则12ab =32，∴ab =3，又∵a 2+b 2=32，∴a 2+2ab +b 2=9+6=15，即（a +b ）2=15，∴a +b =BG +CG =∴△BCG 的周长此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质以及三角形面积问题，解题时注意数形结合思想与整体思想的应用．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、8.4.【解析】过点C 作CG ⊥AB 的延长线于点G ，设AE=x ，由于▱ABCD 沿EF 对折可得出AE=CE=x,再求出∠BCG=30°，BG=12BC=3,由勾股定理得到CG =EG=EB+BG=12-x+3=15-x ，在△CEG 中，利用勾股定理列出方程即可求出x 的值．【详解】解：过点C 作CG ⊥AB 的延长线于点G ，∵▱ABCD 沿EF 对折，∴AE=CE设AE=x ，则CE=x ，EB=12-x ，∵AD=6，∠A=60°，∴BC=6,∠CBG=60°，∴∠BCG=30°，∴BG=12BC=3，在△BCG 中，由勾股定理可得：CG =∴EG=EB+BG=12-x+3=15-x 在△CEG 中，由勾股定理可得：22215x x -+=（），解得：8.4x =故答案为：8.4本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．20、1【解析】首先求得正五边形围成的多边形的内角的度数，然后根据多边形的内角和定理即可求得答案．【详解】解：正五边形的内角度数是：180(52)5︒⨯-=18°，则正五边形围成的多边形的内角的度数是：360°−2×18°=144°，根据题意得：180(n−2)=144n，解得：n=1．故答案为1．本题考查了多边形的内角和定理，正确理解定理，求得围成的多边形的内角的度数是关键．21、1【解析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个.【详解】解：∵1，1，3，x，0，3，1的众数是3，∴x＝3，先对这组数据按从小到大的顺序重新排序0，1，1，1，3，3，3，位于最中间的数是1，∴这组数的中位数是1．故答案为：1；本题考查了等腰直角三角形，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.22、2【解析】根据题中“是分式的有”可知，本题考查分式的判断，根据分式的基本概念，运用分式是形如分数的形式，但分母含有字母的方法，进行分析判断.【详解】解：由形如分数的形式，但分母含有字母是分式，判断出53a ，221b -为分式，其它为整式.故是分式的有2个.本题解题关键：理解分式的基本概念，特别注意是分式的分母含有字母.23、13k >-【解析】根据反比例函数的性质可得3k+1＞0，再解不等式即可．【详解】∵双曲线31k y x+=的图象经过第一、三象限，∴3k+1＞0，解得13k >-．故答案为：13k >-．此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质．对于反比例函数y=k x（k≠0），（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)y=2.1x ；(2)这个人若卖出50千克的绿橙，售价为1元．【解析】（1）根据表中所给信息，判断出y 与x 的数量关系，列出函数关系式即可；（2）把x=50代入函数关系式即可．【详解】(1)设售价为y(元)与绿橙数量x(千克)之间的函数关系式为y=kx+b ，由已知得，2.12 4.2k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k=2.1，b=0；∴y 与x 之间的函数关系式为y=2.1x ；(2)当x=50时，y=2.1×50=1．答：这个人若卖出50千克的绿橙，售价为1元．本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意可以列出相应的函数关系式，并且可以求在x 一定时的函数值．25、AE 的长为6.【解析】根据角平分线的性质可得DE=CE ，根据垂直平分线可得AE=BE ，进而得到30A ABE CBE ∠=∠=∠=，设AE x =，则9DE CE x ==-，根据直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半得到关于x 的方程，然后求解方程即可.【详解】解：设AE x =，则9CE x =-，BE 平分ABC ∠，CE CB ⊥，ED AB ⊥，9DE CE x ∴==-，又ED 垂直平分AB ，AE BE ∴=，A ABE CBE ∴∠=∠=∠，在Rt ACB 中，90A ABC ∠+∠=，30A ABE CBE ∴∠=∠=∠=，12DE AE ∴=，即192x x -=，解得6x =.即AE 的长为6.本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.26、（1）（m ﹣1）（a ﹣b ）；（1）（m +1）1（m ﹣1）1．【解析】（1）利用平方差公式进行因式分解【详解】解：（1）a（m﹣1）+b（1﹣m）＝（m﹣1）（a﹣b）；（1）原式＝（m1+4+4m）（m1+4﹣4m）＝（m+1）1（m﹣1）1．本题考查提公因式与公式法的综合运用，解题关键在于掌握运算法则第21页，共21页。

（考试时间：120分钟 试卷满分：1502024年秋季高一入学分班考试数学试题分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅22x =−，则x 的值可以是（ ）A ．2−B ．1−C ．1D ．23．“2x =”是“24x =”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知二次函数2y ax bx c ++的图象的顶点坐标为(2,1)−，与y 轴的交点为(0,11)，则（ ）A ．3,12,11a b c ==−=B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==−= D ．1,4,11a b c ==−= 5．把2212x xy y −++分解因式的结果是（ ） A ．()()()112x x y x y +−++ B ．()()11x y x y ++−− C ．()()11x y x y −+−−D ．()()11x y x y +++−6．已知命题p ：1x ∃>，210x ，则p ¬是（ ） A ．1x ∀>，210x B ．1x ∀>，210x +≤ C ．1x ∃>，210x +≤ D ．1x ∃≤，210x +≤7．函数y =） A ．[]3,3−B ．()3,1(1,3)−∪C ．()3,3−D ．()(),33,−∞−+∞8．若实数a b ，且a ，b 满足2850a a −+=，2850b b −+=，则代数式1111b a a b −−+−−的值为（ ） A ．-20B ．2C ．2或-20D ．2或20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数()y f x =的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A ．x ∀∈R ，2210x x ++≥ B ．x ∃∈N ，2x 为偶数 C ．所有菱形的四条边都相等 D ．π是无理数11．下列结论中，错误的结论有（ ）A ．()43y x x =−取得最大值时x 的值为1 B ．若1x <−，则11x x ++的最大值为－2C ．函数()f x =的最小值为2D ．若0a >，0b >，且2a b +=，那么12a b+的最小值为3+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若多项式3x x m ++含有因式22x x −+，则m 的值是 ．13．不等式20ax bx c ++>的解集是(1,2)，则不等式20cx bx a ++>的解集是（用集合表示） ． 14．对于每个x ，函数y 是16y x =−+，22246y x x =−++这两个函数的较小值，则函数y 的最大值是 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解下列不等式：(1)2320x x −+−≥； (2)134x x −+−≥； (3)11.21x x −≤+16．（15分）设全集R U =，集合{}|15Ax x =≤≤，集合{|122}B x a x a =−−≤≤−．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； (2)若命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围．17．（15分）已知集合{}{}210,20A x ax B x x x b =−==−+=.(1)若{}3A B ∩=，求实数,a b 的值及集合,A B ； (2)若A ≠∅且A B B ∪=，求实数a 和b 满足的关系式.18．（17分）已知22y x ax a =−+.(1)设0a >，若关于x 的不等式23y a a <+的解集为{},12|A Bx x =−≤≤，且x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，求a 的取值范围；(2)方程0y =有两个实数根12,x x ， ①若12,x x 均大于0，试求a 的取值范围；②若22121263x x x x +=−，求实数a 的值．19．（17分）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的14．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过20立方米，则水价为每立方米3元；第二档，若每户每月用水超过20立方米，但不超过30立方米，则超过部分水价为每立方米4元；第三档，若每户每月用水超过30立方米，则超过部分水价为每立方米7元，同时征收其全月水费20%的用水调节税．设某户某月用水x立方米，水费为y元．(1)试求y关于x的函数；(2)若该用户当月水费为80元，试求该年度的用水量；(3)设某月甲用户用水a立方米，乙用户用水b立方米，若,a b之间符合函数关系：247530=−+−．则当b a a两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共402024年秋季高一入学分班考试数学答案分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 7 8 CDBADBCA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 BDACABCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13．1|12x x <<6四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）【解析】（1）2320x x −+−≥可化为2320,(1)(2)0x x x x −+≤∴−−≤， 所以解为1 2.x ≤≤（3分）（2）当1x <时，不等式可化为134x x −+−+≥，此时不等式解为0x ≤； 当13x ≤≤时，不等式可化为134x x −−+≥，此时不等式无解； 当3x >时，不等式可化为134x x −+−≥，此时不等式解为4x ≥； 综上：原不等式的解为0x ≤或4x ≥.（9分） （3）原不等式可化为211021x x x +−+≥+，（11分）与()()2120210x x x ++≥+≠同解， 所以不等式的解为：2x ≤−或12x >−.（13分）16．（15分）【解析】（1）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得A B ，（2分）又{}|15Ax x =≤≤，{|122}B x a x a =−−≤≤−，因此12125a a −−< −≥ 或12125a a −−≤ −> ，解得7a ≥，所以实数a 的取值范围为7a ≥.（7分）（2）命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，则有B A ⊆，（9分） 当B =∅时，122a a −−>−，解得13a <，符合题意，因此13a <；（11分）当B ≠∅时，而{}|15{|122}A x x B x a x a =≤≤=−−≤≤−，， 则11225a a ≤−−≤−≤，无解，（14分） 所以实数a 的取值范围13a <.（15分）17．（15分）【解析】（1）若{}3∩=A B ， 则{}{}2310,320x ax x x x b ∈−=∈−+=，（2分） 所以310,960a b −=−+=，解得1,33a b ==−，（4分） 所以{}{}{}{}2110103,2301,33A x ax x x B x xx =−==−===−−==−，综上：1,33a b ==−，{}{}3,1,3A B ==−；（7分）（2）若A ≠∅，则0a ≠，此时{}110A x ax a=−==，（9分） 又A B B ∪=，所以A B ⊆， 即{}2120x x x b a ∈−+=，（12分）所以2120440b a ab −+= ∆=−≥ ， 所以实数a 和b 满足的关系式为212b a a=−+.（15分）18．（17分）【解析】（1）由23y a a <+，得2223x ax a a a −+<+， 即22230x ax a −−<，即()()30x a x a −+<， 又0a >，∴3a x a −<<，即{}|3A x a x a =−<<，（3分）∵x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，∴B 是A 的真子集，则0132a a a >−<− > ，解得0123a a a> > >，则1a >， 即实数a 的取值范围是1a >.（6分） （2）方程为220y x ax a =−+=， ①若12,x x 均大于0则满足21212440200a a x x a x x a ∆=−≥ +=> => ，解得10a a a a ≥≤> > 或， 故1a ≥，即a 的取值范围为1a ≥.（10分）②若22121263x x x x +=−，则()2121212263x x x x x x +−=−， 则()21212830x x x x +−+=，即24830a a −+=，（13分） 即()()21230a a −−=，解得12a =或32a =， 由0∆≥，得1a ≥或0a ≤. 所以32a =，即实数a 的值是32.（17分）19．（17分）【解析】（1）因为某户该月用水x 立方米， 按收费标准可知， 当020x <≤时，3y x =；当2030x <≤时，()203420420y x x ×+−−；当30x >时，[2034(3020)7(30)] 1.28.4132y x x =×+×−+−×=−．（5分）所以3,020420,20308.4132,30x x y x x x x <≤=−<≤ −>（6分）（2）由题可得，当该用户水费为80元时，处于第二档，所以42080x −=， 解得25x =． 所以该月的用水量为25立方米．（10分） （3）因为247530b a a =−+−，所以()2248530244646a b a a a +=−+−=−−+≤．（13分）当24a =时，()46max a b +=，此时22b =．（15分）所以此时两户一共需要支付的水费是4242042220144y =×−+×−=元．（17分）。

2024年秋季高一新生入学分班考试数学模拟卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算过程正确的是（）A ．()2211a a +=+B ．()21x x x x +÷=+C=D ．()()22444a b a b a b -+=-2．如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/小时）情况，则下列关于车速描述错误的是（）A ．平均数是23B ．中位数是25C ．众数是30D ．方差是129【答案】D 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】A 、这组数据的平均数是（10×3+20×2+30×4+40×1）÷（3+2+4+1）=23，故本选项正确；B 、共有10辆车，则中位数是第5和6个数的平均数，则中位数是（20+30）÷2=25，故本3．一副三角板如图所示摆放，若直线a b ，则1∠的度数为（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒【答案】B 【分析】根据平行公理及平行线的性质即可得答案．【详解】过点B 作MN a ∥，∵a b ，∴MN a b ∥∥，∴1NBA ∠=∠，NBE CEB ∠=∠，∵BEC 是等腰直角三角形，∴45BEC ∠=︒，∴45NBE ∠=︒，∵ABF △直角三角形，60ABF ∠=︒，∴14560ABF ABN NBE ∠=∠+∠=∠+︒=︒，∴115∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理．4．下图是甲乙丙三位同学在一次长跑练习中所用时间与路程之间的函数图像，其中最先到达终点和平均速度最快的分别是（）A ．甲和乙B ．甲和丙C ．丙和甲D ．丙和乙【答案】B 【分析】直接观察图像即可判断谁先到达终点，直线倾斜度越大即直线越陡，则速度越快.【详解】观察图像可知甲最先到达终点，丙最后到达终点，表示乙的直线倾斜度最小，表示丙的直线倾斜度最大，故丙的速度最快.故选B.【点睛】本题主要考查了根据一次函数图像解决实际问题，在路程与时间的关系图中，比例系数k 表示速度，k 越大，直线越陡，则表示速度越快，掌握以上知识是解题的关键.5．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC 、BD ，CE 平分ACD ∠交BD 于点E ，则DE 长（）A ．12B ．12C 1D ．12【答案】C四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，CE 平分ACD ∠交BD EO EF ∴=，正方形ABCD 的边长为2AC ∴=，1222CO AC ∴==，∵22,CF CE EF CO =-22CF CO ∴==，1EF DF DC CF ∴==-=222DE EF DF ∴=+=故选：C ．6．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与轴交于点C ，且OA OC =，M是抛物线的顶点，三角形AMB 的面积等于1，则以下结论：①2404b ac a-<；②10ac b -+=；③()3228b a -=；④c OA OB a ⋅=-，其中正确的结论是（）A．②④B．①②④C．①③④D．①②③④7．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm，当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【答案】A=，O离地面的距离为h，【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边OA a=，短边OB b由相似的性质得到OA、OB和OH之间的关系并求解，即可解题．=，O离地面的距离为h，【详解】解：设长边OA a=，短边OB b根据相似得：8．已知函数2(0)(0)x x y x x ⎧≤=⎨>⎩，若,a x b m y n ≤≤≤≤则下列说法正确的是（）A ．当1n m -=时，b a -有最小值B ．当1n m -=时，b a -无最大值C ．当1b a -=时，n m -有最小值D ．当1b a -=时，n m -有最大值由图可知：当0x ≤时，y 随x 的增大而减小，当当0a b ≤≤时，22,m b n a ==，当1n m -=时，即：221a b -=，∴()()1a b a b -+=，∴1b a a b-=-+，当a b +的值越小，小值，当0a b <≤时，,m a n b ==，当1n m -=时，1b a -=，当0a b <<时，0m =，1n m -=时，1n =，当1a =-，综上：当1n m -=时，b a -有最大值，无最小值，故选项A ，B 错误；当0a b ≤≤时，22,m b n a ==，当1b a -=时，即：()()()22n m a b a b a b a b -=-=+-=-+，∴当a b +越小时，n m -的值越大，即n m -没有最大值，当0a b <≤时，,m a n b ==，当1b a -=时，1-=-=n m b a ；当0a b <<时，0m =，当1b a -=时，x a =和x b =的函数值相同时，n m -的值最小，综上：当1b a -=，n m -有最小值，无最大值；故选项C 正确，D 错误．故选C ．9．在同一坐标系中，若直线2y x =-+与直线4y kx =-的交点在第一象限，则下列关于k 的判断正确的是（）A ．10k -<<B ．12k -<<C ．0k >D ．2k >故选：D ．10．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB AD =，对角线AC 、BD 相交于点E ，GH 是直径，GH AC ⊥于点F ,AF AB =．若AE a =，则BC CD ⋅的值是（）A ．26a B ．29a C ．212a D ．218a二、填空题11．2023年10月，“中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就．空间站离地球的距离约为400000米，数据400000用科学记数法可表示为．12．如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1，2，3，4，若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作,a b ，把,a b 作为点A 的横、纵坐标．则点(),A a b 在函数2y x =的图象上的概率为．由图可知，连续自由转动转盘两次，指针指向的数字的所有等可能的结果共有使得点(),A a b 在函数2y x =的图象上的结果有2则点(),A a b 在函数2y x =的图象上的概率为P =故答案为：18．【点睛】本题考查了一次函数的应用、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．13．如果2310x x -+=，则2212x x +-的值是【答案】5【分析】将二次根式的被开方数和一元二次方程同时进行化简，然后再将二次根式进行化简.【详解】解：方程x 2-3x+1=0中，当x=0时，方程左边为将方程两边同除以x ，则有：x-3+1x =0，即13x x+=，∴原式=22211244x x x x ⎛⎫++-=+- ⎪⎝⎭=234-故答案为：5．14．如图，在菱形纸片ABCD 中，1AB =，=60B ∠︒，将菱形纸片沿折痕EF 翻折，使点D 落在AB 的中点G 处，则DE 的长为．G 是AB 中点，12AG ∴=， 四边形ABCD 是菱形，AB 1AD AB ∴==，1AE x ∴=-，∵=60B ∠︒120BAD ∴∠=︒，∴=60MAE ∠︒9030MEA MAE ∠=︒-∠=︒ ，三、解答题15．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，ADC △与ABC 关于直线AC 对称，AD 交O 于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线．(2)连接CE ，若1cos 3D =，6AB =，求CE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）如图所示，连接OC ，连接AO 并延长交BC 于F ，根据等边对等角得到A ABC CB =∠∠，再证明AF BC ⊥，得到90ACF CAF ∠+∠=︒，由OA OC =，得到OAC OCA ∠=∠，由轴对称的性质可得ACB ACD ∠=∠，即可证明90ACD OCA ∠+∠=︒，从而证明CD 是O 的切线；（2）由轴对称的性质得B D ∠=∠，CD BC =，再由圆内接四边形对角互补推出，CED D ∠=∠，得到CE CD BC ==，解Rt ABF ，求出2BF =，则24BC BF ==，即可得到4CE BF ==．（2）解：由轴对称的性质得B D ∠=∠，CD ∵四边形ABCE 是圆内接四边形，∴180B AEC AEC CED +=︒=+∠∠∠∠，∴CED D ∠=∠，∴CE CD BC ==，∵1cos 3D =，∴1cos cos 3B D ==，在Rt ABF 中，cos 2BF AB B =⋅=，∴24BC BF ==，∴4CE BF ==．【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数，轴对称的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．16．李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．(1)直接写出日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；(2)当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入=支出），求该店员工人数；(3)若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元?此时，每件服装的价格应定为多少元?【答案】(1)21404058825871x x y x x -+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩（）（）；(2)3人．(3)每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据收入等于支出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；（3）分两种情况解答：①当4058x ≤<时；②当5871x ≤≤时，依据：总利润=单件利润×销售量-工人工资及其他费用列出函数解析式，求解即可．【详解】（1）解：（1）当4058x ≤<时，设y 与x 的函数解析式为11y k x b =+，由图象可得：111160402458k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：112140k b =-⎧⎨=⎩．∴2140y x =-+；当5871x ≤≤时，设y 与x 的函数解析式为22y k x b =+，由图象得：222224581171k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：22182k b =-⎧⎨=⎩．∴82y x =-+．综上所述：y =2140(4058)82(5871)x x x x -+≤≤⎧⎨-+≤⎩＜．（2）设人数为a ，当48x =时，24814044y =-⨯+=，则(4840)4410682a -⨯=+，解得：3a =．答：该店员工人数为3．（3）设每件服装的价格为x 元时，每天获得的利润为w 元．当4058x ≤<时(40)(2140)822106w x x =--+-⨯-222205870x x =-+-22(55)180x =--+当55x =时，w 最大值180=．当5871x ≤≤时(40)(82)822106w x x =--+-⨯-21223550x x =-+-2(61)171x =--+当61x =时，w 最大值＝171．∵180171>∴w 最大值180=答：每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．【点睛】本题考查了二次函数的应用与一次函数和一元一次方程的应用能力，理解题意找到符合题意得相等关系函数解析式是解题的关键．17．已知二次函数243y ax ax a =-+（0a ＞），记该函数在m x n ≤≤上的最大值为M ，最小值为N ．已知3M N -=．(1)当04x ≤≤时，求a 的值．(2)当12a =，1n m =+时，求m 的值．(3)已知2m t =+，21n t =+（t 为整数），若M N为整数，求a 的值．18．【问题背景】如图1，在矩形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，AD 上，且1BM MC m =，连接BN ，点P 在BN 上，连接PM 并延长至点Q ，使1PM MQ m=，连接CQ ．【尝试初探】求证：CQ BN ∥；【深入探究】若AN BM AB ==，2m =，点P 为BN 中点，连接NC ，NQ ，求证：NC NQ =；【拓展延伸】如图2，在正方形ABCD 中，点P 为对角线BD 上一点，连接PC 并延长至点Q ，使1(1)PC n QC n =>，连接DQ ，若22222(1)n BP DQ n AB +=+，求BP BD 的值（用含n 的代数式表示）（3）过Q 作QM BD 交BC 的延长线于在正方形ABCD 中，QM BD ，∴~ CBP CMQ ，45∠=∠=︒DBC CMQ 1BP BC PC19．如图①，线段AB ，CD 交于点O ，连接AC 和BD ，若A ∠与B ∠，C ∠与D ∠中有一组内错角成两倍关系，则称AOC 与BOD 为青蓝三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为青蓝角．(1)如图②，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知AB BD ⊥，COD △为等边三角形．求证：AOB 和COD △为青蓝三角形．(2)如图③，已知边长为2的正方形ABCD ，点P 为边CD 上一动点（不与点C ，D 重合），连接AP 和BP ，对角线AC 和BP 交于点O ，当AOP 和BOC 为青蓝三角形时，求DAP ∠的正切值．(3)如图④，四边形ABCD 内接于O ，BCP 和ADP △是青蓝三角形，且ADP Ð为青蓝角，延长AD ，BC 交于点E ．①若8AB =，5CD =，求O 的半径；②记BCD △的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，12S y S =，cos E x =，当3BE BC =时，求y 关于x 的函数表达式．则PD PH =，设PD PH m ==，则 45DCA ∠=︒，PH ∴PHC V 是等腰直角三角形，∴2PC PH =，∴22m m -=，解得()221m =-，∴tan DP DAP AD ∠==②若2APO CBO ∠=∠则BPI CBO ∠=∠，∴2APO BPI ∠=∠，则API APO ∠=∠-∠ DAP API ∠=∠，∠∴DAP CBP ∠=∠，又 ADP BCP ∠=∠=∴(AAS DAP CBP ≌ADP Ð和BCP ∠都是 AB 所对的圆周角，∴ADP ÐBCP =∠，又 ADP Ð为青蓝角，∴2ADP CBP ∠=∠，∴ 2AB CD =，OM AB ⊥，∴ 2AB AM=，∴ AM CD=，∴5AM CD ==，OM AB ⊥，8AB =，∴4AN BN ==，∴223MN AM AN =-=，设O 的半径为r ，在Rt ANO 中，222OA AN ON =+，∴()22243r r =+-，解得256r =，∴O 的半径为256； 2ADP CBP ∠=∠，ADP ∠=∠。

南昌2024级高一新生入学测试（数学）（答案在最后）一､选择题（6小题，每小题4分，共24分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，事件“一正一反”的概率是（）A.12B.13C.14D.233.已知集合{}2210A x ax x =-+=只有一个元素，则实数a 的值为（）A.1或0B.0C.1D.1或24.如图，将O 沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心,O AB =O 的半径长度为（）A.2B.4C. D.5.如图，ABCO 的顶点B 在双曲线8y x =上，顶点C 在双曲线k y x=上，BC 的中点P 恰好落在y 轴上，已知10OABC S = ，则k 的值为（）A.−8B.6- C.4 D.−26.如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()4,0，其对称轴为直线1x =，结合图象给出下列结论，①0abc >；②30a c +<：③0x >时，y 随x 的增大而增大；④若关于x 的一元二次方程25ax bx c a ++=-没有实数根，则102a <<；⑤对于任意实数m ，总有20am bm a b +--≥.其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二､填空题（5小题，每小题4分，共20分）7.已知关于x 的方程2200x mx +-=的一个根是4-，则它的另一个根是__________.8.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个.9.设集合{|12}A x x =-< ，{|}B x x a =<，若A B ≠∅ ，则a 的取值范围是________．10.圆锥侧面积为28πcm ，侧面展开扇形的半径为4cm ，圆锥的底面半径为__________cm.11.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A B C ､､的坐标分别为()()1,11,3､､()3,3.若抛物线2y ax =的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是__________.三､解答题（共4题，每题8分，共32分）12.解下列方程和不等式：（1）228=0x x --（2）26560x x +->13.从甲､乙､丙､丁4名学生中选2名学生参加羽毛球单打比赛.（1）若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，则恰好选中乙的概率是__________；（2）任意选取2名学生参加比赛，求选中丙的概率.（用树状图或列表的方法求解）14.晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯AB 的高度.在灯光下，当大华站在D 点处时，小明测得大华的影长DE 为3米；大华沿BD 方向行走5米到达G 点，此时又测得大华的影长GH 为4米.如果大华的身高为1.6米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯AB 的高度.15.阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：()()3322x y x y x xy y+=+-+；立方差公式：()()3322x y x y x xy y-=-++.根据材料和已学知识解决下列问题（1）因式分解：38a -；（2）先化简，再求值：22323242284x x x x x x x ⎛⎫++-÷ ⎪---⎝⎭，其中3x =.（3）利用材料因式分解：3234x x +-四､解答题（共3题，每题10分，共30分）16.如图，已知()()4,,2,4A n B --是反比例函数ky x=的图象和一次函数y cx b =+的图象的两个交点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB V 的面积；（3）根据图象直接写出不等式0kax b x+-<的解集.17.如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为1的空白.记纸张的面积为S ，排版矩形的长和宽分别为x ，y.（1）用x ，y 表示S ;（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小?并求最小面积.18.阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：)()22212111⨯-⨯===--，以上这种化简的步骤叫作分母有理化．（1；（2的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b +的值．（3+六､解答题（本大题共14分）19.如图①，已知抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()()1,0,3,0A B -两点，与y 轴交于点C .（1）求该抛物线的表达式；（2）若点D 是抛物线上第一象限内的一个动点，连接,,,CD BD BC AC .当BCD △的面积等于AOC △面积的2倍时，求点D的坐标；∠+∠=∠？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，（3）抛物线上是否存在点P，使得CBP ACO ABC请说明理由.南昌2024级高一新生入学测试（数学）一､选择题（6小题，每小题4分，共24分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据中心对称，轴对称的定义可依次判断各个选项.【详解】对于A 选项，既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故A 错误；对于B 选项，是中心对称图形，不是轴对称图形，故B 错误；对于C 选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 错误；对于D 选项，既是中心对称图形也是轴对称图形，故D 正确.故选：D.2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，事件“一正一反”的概率是（）A.12B.13C.14D.23【答案】A 【解析】【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反.所以出现“一正一反”的概率是12.故选：A.3.已知集合{}2210A x ax x =-+=只有一个元素，则实数a 的值为（）A.1或0B.0C.1D.1或2【答案】A 【解析】【分析】讨论a ，当0a =时，方程是一次方程，当0a ≠时，二次方程只有一个解，0∆=，即可求.【详解】若集合{}2210A x ax x =-+=只有一个元素，则方程2210ax x -+=只有一个解，当0a =时，方程可化为210x -+=，满足题意，当0a ≠时，方程2210ax x -+=只有一个解，则440a ∆=-=，解得1a =，所以0a =或1a =.故选：A .4.如图，将O 沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心,O AB =O 的半径长度为（）A.2B.4C. D.【答案】B 【解析】【分析】作OD AB ⊥于D ，连接OA ，结合直角三角形OAD ，利用勾股定理即可求解.【详解】如图，作OD AB ⊥于D ，连接OA ，,OD AB AB ⊥= ,12AD AB ∴==,由折叠得12OD AO =，设OD x =，则2AO x =，在直角三角形OAD 中，222AD ODOA+=，(()22222x x x +=⇒=，所以24OA x ==.故选：B5.如图，ABCO 的顶点B 在双曲线8y x =上，顶点C 在双曲线ky x=上，BC 的中点P 恰好落在y 轴上，已知10OABC S = ，则k 的值为（）A.−8B.6- C.4 D.−2【答案】D 【解析】【分析】作BE 垂直y 轴于点E ，作CF 垂直y 轴于点F ，连接BO ，由题意可得32PCF S =，进而求得1CFO S = ，可求k 的值.【详解】如图所示，作BE 垂直y 轴于点E ，作CF 垂直y 轴于点F ，连接BO ，因为10OABC S = ，所以152ABO ACO ABCO S S S === ，又因为BC 的中点P 恰好落在y 轴上，即有BP CP =，所以1522PBO PCO BCO S S S === ，易知4812BEO S =⨯= ，所以53422EPB EBO BPO S S S -=-== ，又易得(AAS)EBP FPC ≅ ，所以32PCF S =，所以53122CFO PCO CPF S S S -=-== ，所以||212k =⨯=，由题意可得0k <，所以2k =-.故选：D.6.如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()4,0，其对称轴为直线1x =，结合图象给出下列结论，①0abc >；②30a c +<：③0x >时，y 随x 的增大而增大；④若关于x 的一元二次方程25ax bx c a ++=-没有实数根，则102a <<；⑤对于任意实数m ，总有20am bm a b +--≥.其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C 【解析】【分析】由图象及条件可确定a 的正负和,,a b c 的关系，由此可判断①②，结合图象判断③，结合一元二次方程的解与判别式的关系判断④，化简可得()22221am bm a b am am a a m +--=-+=-，由此判断⑤，根据判断选择结论.【详解】因为抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0，所以1640a b c ++=，因为抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =，且开口向上，所以0a >，12ba-=，所以2b a =-，8c a =-，0b <，0c <，所以0abc >，①正确；因为350a c a +=-<，所以②正确，当01x <<时，y 随x 的增大而减少，③错误；方程25ax bx c a ++=-，可化为2852a a a x x a --=-，即29502a x a x a --+=，若方程29502a x a x a --+=没有实数根，则()()224590a a a ---<，所以240200a a -<，又0a >，所以102a <<，④正确；()22221am bm a b am am a a m +--=-+=-，又0a >，所以对于任意实数m ，总有20am bm a b +--≥，⑤正确.所以正确的结论有4个.故选：C.二､填空题（5小题，每小题4分，共20分）7.已知关于x 的方程2200x mx +-=的一个根是4-，则它的另一个根是__________.【答案】5【解析】【分析】根据一元二次方程韦达定理可知，两根之积等于ca，即可求得答案.【详解】设方程的另一根为1x ，由韦达定理，知1x ()4⨯-20=-，可得1x =5.故答案为：5.8.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个.【答案】8【解析】【分析】根据绿球个数除以总个数即可.【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，所以摸到绿球的概率为0.4，设不透明的袋中有x 个绿球，因为空袋中有9个红个球，3个白球，所以0.493xx=++，解得：8x =;故答案为：89.设集合{|12}A x x =-< ，{|}B x x a =<，若A B ≠∅ ，则a 的取值范围是________．【答案】1>-a 【解析】【分析】由集合间的关系，即可得出结论.【详解】因为{|12}A x x =-≤<，{|}B x x a =<，A B ≠∅ 所以1>-a 故答案为：1>-a 【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.10.圆锥侧面积为28πcm ，侧面展开扇形的半径为4cm ，圆锥的底面半径为__________cm.【答案】2【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，结合圆锥的结构特征及侧面积公式列方程，解方程可得结论.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由已知4l =，π8πrl =，所以()2cm r =，所以圆锥的底面半径为2cm .故答案为：2.11.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A B C ､､的坐标分别为()()1,11,3､､()3,3.若抛物线2y ax =的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是__________.【答案】139a ≤≤【解析】【分析】找到抛物线2y ax =的图象与正方形ABCD 有公共点时的临界点，代入求解即可.【详解】若抛物线2y ax =的图象与正方形ABCD 有公共点，则抛物线的开口必然向上，0a >，随着a 的变化抛物线的开口大小会随之改变，2y ax =与正方形ABCD 有公共点的两个临界位置分别是抛物线经过点B 和点D ，2y ax =经过点B 时，3a =；()3,1D ，2y ax =经过点D 时，19a =.且从点B 到点D 抛物线的开口逐渐变大，a 的值逐渐减小，所以a 的取值范围是139a ≤≤.故答案为：139a ≤≤.三､解答题（共4题，每题8分，共32分）12.解下列方程和不等式：（1）228=0x x --（2）26560x x +->【答案】（1）4或2-（2）3|2x x ⎧<-⎨⎩或23x ⎫>⎬⎭【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法求得正确答案.（2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.【小问1详解】依题意，()()22842=0x x x x --=-+，解得4x =或2x =-.【小问2详解】依题意，62+5−6=3−22+3>0解得32x <-或23x >，所以不等式的解集为3|2x x ⎧<-⎨⎩或>13.从甲､乙､丙､丁4名学生中选2名学生参加羽毛球单打比赛.（1）若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，则恰好选中乙的概率是__________；（2）任意选取2名学生参加比赛，求选中丙的概率.（用树状图或列表的方法求解）【答案】（1）13（2）12【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.（2）利用列表法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】由甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲､乙，甲､丙，甲､丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是13；【小问2详解】列表如下：甲乙丙丁甲甲､乙甲､丙甲､丁乙乙､甲乙､丙乙､丁丙丙､甲丙､乙丙､丁丁丁､甲丁､乙丁､丙所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，所以选中丙的概率为：61122=.14.晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯AB 的高度.在灯光下，当大华站在D 点处时，小明测得大华的影长DE 为3米；大华沿BD 方向行走5米到达G 点，此时又测得大华的影长GH 为4米.如果大华的身高为1.6米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯AB 的高度.【答案】高度为9.6米【解析】【分析】由三角形相似得到方程，得到方程组，求出15BD =，得到答案.【详解】如图，CD BH ⊥于点,D FG BH ⊥于点G ，由题意可知，, 1.6AB BH CD FG ⊥==米，3DE =米，5DG =米，4GH =米，CD ∴∥CD DE AB EAB ECD AB BE⇒⇒= ∽，即1.633AB BD =+①，,AB BH FG BH FG ⊥⊥⇒ ∥AB HFG HAB ⇒ ∽，FG HG AB HB ∴=，即41.645AB BD =++，②由①②得，44335BD BD =+++，解得，15BD =，经检验，15BD =是方程的根且符合题意，1.63315AB ∴=+，解得，9.6AB =.答：路灯杆AB 的高度为9.6米.15.阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：()()3322x y x y x xy y +=+-+；立方差公式：()()3322x y x y x xy y -=-++.根据材料和已学知识解决下列问题（1）因式分解：38a -；（2）先化简，再求值：22323242284x x x x x x x ⎛⎫++-÷ ⎪---⎝⎭，其中3x =.（3）利用材料因式分解：3234x x +-【答案】（1）()()2224a a a -++（2）2x +，5（3）()21(2)x x -+【解析】【分析】（1）利用题干中的立方差公式求解即可；（2）对式子化简求解即可；（3）利用题干中的立方差公式因式分解即可.【小问1详解】原式()()2224a a a =-++.【小问2详解】原式()()()()()222232422224x x x x x x x x x x ⎡⎤+-++⎢⎥=-⋅--++⎢⎥⎣⎦()()()()2222312222222x x x x x x x x +-+-⎛⎫=-⋅=⋅=+ ⎪---⎝⎭.当3x =时，原式5=.【小问3详解】()()()()()()3222213111311(2)x x x x x x x x -+-=-+++-=-+.四､解答题（共3题，每题10分，共30分）16.如图，已知()()4,,2,4A n B --是反比例函数k y x=的图象和一次函数y cx b =+的图象的两个交点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB V 的面积；（3）根据图象直接写出不等式0k ax b x +-<的解集.【答案】（1）8y x =-， 2.y x =--（2）6（3）40x -<<或2x >【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得函数的解析式.（2）结合图象以及三角形的面积公式求得AOB V 的面积.（3）根据图象以及,A B 两点的坐标求得不等式的解集.【小问1详解】点()2,4B -在反比例函数k y x =的图象上，42k ∴=-，即8k =-，反比例函数解析式为：8y x=-， 点()4,A n -在反比例函数8y x =-的图象上，824n ∴=-=-，点A 的坐标为()4,2-，()()4,22,4A B -- ､在一次函数y ax b =+的图象上，可得：4224a b a b -+=⎧⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，一次函数解析式为： 2.y x =--【小问2详解】如图，一次函数2y x =--的图象与x 轴交于点−2,0，112242622AOB AOC BOC AOB S S S S ∴=+⇒=⨯⨯+⨯⨯= .【小问3详解】0k k ax b ax b x x+-<⇒+< ，∴由图象可知，x 的取值范围是：40x -<<或2x >.17.如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为1的空白.记纸张的面积为S ，排版矩形的长和宽分别为x ，y .（1）用x ，y 表示S ;（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小?并求最小面积.【答案】（1）4024(0,0)S x y x y =++>>（2）纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.【解析】【分析】（1）由题意知32xy =，再代入(4)(2)S x y =++化简即可；（2）利用基本不等式即可求出最值.【小问1详解】由题意，32xy =，(4)(2)2484024(0,0)S x y xy x y x y x y =++=+++=++>>.【小问2详解】40244072S x y =++≥+，当且仅当24x y =，即8,4x y ==时等号成立，所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.18.阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：)()22212111⨯-⨯===--，以上这种化简的步骤叫作分母有理化．（1；（2的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b +的值．（3+【答案】（1（2）13-（3）9【解析】【分析】（1）分母有理化化简即可；（2）分母有理化再求出整数部分后计算即可；（3）分母有理化化简求解即可；【小问1详解】2-=253=-=；【小问2详解】=2343+=-2=∵12<<，∴324<+<，的整数部分为3a =，小数部分为231b =+=，∴)22223193113ab +=+=++--【小问3详解】11n n-===+-，+1=++1=-101=-9=．六､解答题（本大题共14分）19.如图①，已知抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()()1,0,3,0A B -两点，与y 轴交于点C .（1）求该抛物线的表达式；（2）若点D 是抛物线上第一象限内的一个动点，连接,,,CD BD BC AC .当BCD △的面积等于AOC △面积的2倍时，求点D 的坐标；（3）抛物线上是否存在点P ，使得CBP ACO ABC ∠+∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）223y x x =-++（2）()1,4或()2,3（3）存在，()211,,2,339⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）代入点坐标即可；（2）利用铅锤法表示BCD △的面积，根据题意列出等式求出D 点坐标即可；（3）利用图形全等，由CBP ACO ABC ∠+∠=∠先确定P 点位置，进而求得其坐标.【小问1详解】把()()1,0,3,0A B -代入()230y ax bx a =++≠中，得：309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =-++；【小问2详解】过点D 作y 轴平行线交x 轴于E ，交BC 于点F ，作CG DE ⊥于点G ，把0x =代入223y x x =-++中，得：3,y C =∴点坐标是0,3，设直线:BC y kx q =+，把()()3,0,0.3B C 代入y kx q =+，得033k q q =+⎧⎨=⎩，解得13k q =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =-+设()2,23D m m m -++，则(),3F m m -+，()()222333DF m m m m m∴=-++--+=-+由2BCD AOC S S = 得：11222DF OB OA OC ⨯=⨯⨯，()2113321322m m ∴-+⨯=⨯⨯⨯整理得：2320m m -+=解得：121,2m m ==03,m m <<∴ 的值为1或2，当1m =时，22231234m m -++=-++=，当2m =时，2234433m m -++=-++=，∴点D 的坐标为1,4或2,3；【小问3详解】存在.由()()0,3,3,0C B 得,45OB OC OBC ∠=∴= ，①当点P 在BC 左侧时.在y 轴上取点()0,1M ，延长BM 交抛物线于点P .在AOC △和BOM 中，有OA OM AOC BOM OC OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以AOC BOM ≅ ，故ACO ABM∠∠=CBP ACO CBM OBM ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠，设直线BM 的解析式为y kx b =+，将()()3,0,0,1B M 代入，得301k b b +=⎧⎨=⎩，解得131k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴设直线BM 的解析式为113=-+y x ，由223113y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩得：23119x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或30x y =⎧⎨=⎩（舍去），所以1211,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当点P 在BC 右侧时，作BOC 关于BC 的对称,CBN CN 交二次函数223y x x =-++于点2P ，则45,90,45CBN CBO N BOC BCO BCN ∠∠∠∠∠∠====== ，90OCN N OBN ∠∠∠∴=== ，,OC OB =∴ 四边形OCNB 是正方形，3BN \=，令223y x x =-++中，3y =，则220x x -+=，解得0x =或()222,2,3,321x P P N OM =∴=-==，22,90,OB NB BOM BNP BOM BNP ∠∠===∴≅ ，22222,45OBM NBP CBP ACO CBP BOM CBP NBP ABC∠∠∠∠∠∠∠∠∠∴=∴+=+=+==∴在点2P 抛物线上，即点2P 满足条件CBP ACO ABC ∠+∠=∠.故存在满足条件的点P 有两个，分别是()12211,,2,339P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

y x(1,1) y x0 y xyxy=2x 1 y=x 2-13y x=3xA BC D级高一新生入学考试数学试卷(总分:120分,时间:120分钟)一、选取题 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分)1．新华社3月5日报道,中华人民共和国筹划将国防预算提高12%,达到约8082亿元人民币,将8082亿用科学计数法表达应为( )A 、80.82×1010B 、8.082×103C 、8.082×1011D 、0.8082×10122.下列计算中,对的是( )A ．3a-2a=1B ．(x+3y)2=x 2+9y 2C ．(x 5 )2=x 7D ．(-3)-2=913．如图,已知PA 、PB 是⊙O 切线,A 、B 为切点,AC 是⊙O 直径,∠P ＝40°,则∠BAC 大小是( ) A ． 70° B ． 40° C ． 50° D ． 20°4．若不等式组 解集为空集,则a 取值范畴是( )A ． a>3B ． a ≥3C ． a < 3D ． a ≤ 35．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一种解,则化简b a b c c a ---+-成果是 ( )A 、2aB 、2bC 、2cD 、06.某班提成甲、乙两组去距离学校4km 烈士陵园扫墓．甲组步行,乙组骑自行车,她们同步从学校出发,成果乙组比甲组早20min 到达目地．已知骑自行车速度是步行速度2倍,设步行速度为x km /h ,则x 满足方程为( )A ．x 4－x 24=20 B ．x 24－x 4=20 C ．x 4－x 24=31 D ．x 24－x 4=317． 下列图中阴影某些面积与算式122)21(|43|-++-成果相似是 ( )8．∵1sin 302=,1sin 2102=-,∴sin 210sin(18030)sin 30=+=-;∵2sin 452=,2sin 2252=-,∴sin 225sin(18045)sin 45=+=-,由此猜想、推理知:普通⎪⎩⎪⎨⎧>->+-a x x x 54252ABCD地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-,由此可知:sin 240=( )A ．12-B ．22-C ．32-D ．3-9.如图。

绵阳南山中学2023年高一新生入学考试数学试卷题本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共5页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2、选择题的答案，必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.81的平方根为（）A.3± B.9± C.3D.32.下列各式，运算正确的是（）A.325()a a-= B.33(39a a =C.246a a a ⋅= D.33222ab a b ab-=3.有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记数字6对面的数字为a ，数字2对面的数字为b ，那么a b +的值为（）A.3B.7C.8D.114.点11(,)M x y ，22(,)N x y 在反比例函数3y x=-的图象上，且120x x <<，则（）A.120y y >> B.120y y << C.120y y >> D.120y y <<5.设全集{}9,8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3,2,1=A ，{}6,4,2=B ，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2 B.{}6,4 C.{}5,3,1 D.{}8,7,6,46.在Rt ABC ∆中，90C ∠= ，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，⊙A 的半径长为3，若⊙D 与⊙A 相切，且点B 在⊙D 内，则⊙D 的半径长度为（）164453321A.2或8B.5或8C.5D.87.数据1x ，2x ，3x …，n x 分别是某学校教职工*(3,)N n n n ≥∈个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入数据1n x +，则对这(1)n +个数据，下列说法正确的是（）A．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大B．年收入平均数增大，中位数一定变大，方差变大C.年收入平均数增大，中位数可能不变，方差可能不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变8.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知4CA =米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A．24sin θ米B．24cos θ米C．24(4)tan θ+米D．2(44tan )θ+米9.有一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，任意抛掷一次该骰子，朝上的面的点数记为x ，计算3x -，则其结果大于2的概率是（）A.13B.14C.16D．1210.若关于x 的不等式组213(2),x x x m ->-⎧⎨<⎩的解是5x <，则m 的取值范围是（）A．5m >B．5m ≥ C.5m ≤D．5m <11.已知集合{}022≤--∈=x x N x A ，则满足条件B B A =⋂的集合B 的个数为（）A．3B．4 C.7D．812.对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则202320232211......B A B A B A +++的值是（）A.20222023B.20242022 C.20242023 D.20222023第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填写在答题卷中的横线上.13.已知对任意的,900,900︒<<︒︒<<︒βα都有βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+则︒75sin 的值为14.底面圆半径为6cm ，高为8cm 的圆锥，其侧面展开扇形圆心角的度数为15.已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20232023b a +的值为18.对于正数x ，规定xx f +=1)(，计算+++⋯⋯++)1()21(20221(20231(f f f f =++⋯⋯+)2023()2022()2(ff f 三、解答题：共7小题，满分90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（分）023tan 605(2019)2(cos 45)π-----⨯ (2)先化简，再求值：1(1)14xx +÷-，其中2x =20.（本题满分12分）某校为庆祝中华人民共和国建国70周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：分数段频数频率60≤x ＜700.1570≤x ＜80m0.4580≤x ＜9060n90≤x ＜100频数1209060300分数（分）90100806070请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：(1)求上表中的数据m ，n 的值；(2)通过计算，补全频数分布直方图；(3)比赛成绩的中位数落在哪个分数段？(4)如果比赛成绩在80分以上（含80分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？21.（本题满分12分)已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C，交y 轴于点D.(1)求OCD ∠tan 的值；(2)求证：︒=∠135AOB ．22.（本题满分12分）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A 、B 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元；改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元．(1)改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？(2)若该县的A 类学校不超过5所，则B 类学校至少有多少所？(3)我市计划今年对该县A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？yO B AxDC23.（本题满分12分）如图，ABC ∆内接于半圆，AB 是直径，过A 作直线MN 使MAC ABC ∠=∠．D 是弧AC 的中点，BD 交AC 于G ，DE AB ⊥于E ，交AC 于F .(1)求证：MN 是半圆的切线；(2)求证：FD FG =．(3)若DFG ∆的面积为4.5，且3DG =，4GC =，求BCG ∆的面积．24.（本题满分12分）如图，抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧．点B 的坐标为(10)，，3OC OB =．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25.（本题满分14分）如图1，已知直线EA 与x 轴、y 轴分别交于点E 和点)2,0(A ，过直线EA 上的两点G F 、分别作x 轴的垂线段，垂足分别为)0,()0,(n N m M 和，其中0,0><n m ．(1)如果1,4=-=n m ，试判断AMN ∆的形状；(2)如果4-=mn ，(1)中有关AMN ∆的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图2，题目中的条件不变，如果4-=mn ，并且4=ON ，求经过N A M 、、三点的抛物线所对应的函数关系式；(4)在(3)的条件下，如果抛物线的对称轴l 与线段AN 交于点P ，点Q 是对称轴上一动点，以点N Q P 、、为顶点的三角形和以点N A M 、、为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q 的坐标．AMNDCBGEFlNM EF P GB AxOyyNMFEOGx A绵阳南山中学2023年高一新生入学考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（每个小题3分，共36分）题号123456789101112选项ACBABDADCBDC二、填空题（每个小题4分，共24分）13.426+14.21615.-116.1817.5或218.2022.5三、解答：（共90分）19．解（1）原式514=---=·····················································8分（2）原式4411x x x x =⨯=--·············································································4分把2x =+代入得原式1==································8分20．解（1）∵总人数302000.15==（人）∴2000.4590m =⨯=，600.3200n ==.……………………………………………3分（2）由（1）的计算知70至80分段的人数为90人，………………………4分90至100分段的人数20030906020=---=人，补全条形图如下图所示：……………………………………6分（3）比赛成绩的中位数落在：70～80分…………………………………9分（4）恰好抽中获奖选手的概率为：602022005+=.…………………………12分21．解（1）由⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 321，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3534b k ，所以3534+=x y ································3分5(0)4C -，，5(0)3D ，．在Rt △OCD 中，35=OD ，45=OC ，···································5分∴OCD ∠tan 34==OC OD ．·········································································6分频数12090603009010080607020（2）取点A 关于原点的对称点(21)E ，，则问题转化为求证︒=∠45BOE ．由勾股定理可得，5=OE ，5=BE ，10=OB ，∵222BE OE OB +=，∴△EOB 是等腰直角三角形．∴︒=∠45BOE ．∴135AOB ∠=°…………………12分22．解（1）设改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为a 万元和b 万元．依题意得：22302205a b a b +=⎧⎨+=⎩·····································································2分解之得6085a b =⎧⎨=⎩···················································································3分答：改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元········································································································4分（2）设该县有A 、B 两类学校分别为m 所和n 所．则60851575m n +=···············································································5分173151212m n =-+················································································6分∵A 类学校不超过5所∴1731551215n -+≤∴15n ≥即：B 类学校至少有15所．·································································8分（3）设今年改造A 类学校x 所，则改造B 类学校为()6x -所，依题意得：()()507064001015670x x x x +-⎧⎪⎨+-⎪⎩≤≥·······································································10分解之得14x ≤≤··················································································11分∵x 取整数∴1234x =，，，即：共有4种方案．···········································12分23.证明（1）：∵AB 是直径∴90ACB ∠= ，90CAB ABC ∠+∠= ……………2分∵MAC ABC ∠=∠∴90MAC CAB ∠+∠= ，即MA AB ⊥∴MN 是半圆的切线.…………………………4分（2）如图∵D AC 是弧的中点，∴DBC DBA ∠=∠……………………………5分∵AB 是直径∴90ACB ∠= ，故90DBC CGB ∠+∠=∵DE AB ⊥，∴90DBA FDG ∠+∠= ，∴FDG CGB FGD ∠=∠=∠∴FD FG =…………………………………………………………………8分（3）连结AD 则90ADB ∠= ，∵DE AB ⊥，D AC 是弧的中点∴ADF DBA DAF∠=∠=∠∴AF DF FG ==………………………………………………………………9分∴29ADG DFG S S ∆∆==……………………………………………………………10分又∵90ADG BCG DGA CGB∠=∠=∠=∠ ，∴ADG BCG ∆∆∽………………………………………………………………11分∴22416((39BCG ADG S CG S DG∆∆===∴169169BCG S ∆=⨯=.……………………………………………………………12分(其它解法，请酌情评分)24．解（1）∵点(1,0)B ,3OC OB =，(0,3)C -…………………………………1分M N AEDCGB F42-5xyA O NM GF E把()1,0B 、(0,3)C -代入23y ax ax c =++得：330c a a c =-⎧⎨++=⎩解得：334a c ==-，∴所求抛物线的解析式为239344y x x =+-……………………………………2分（2）过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M N 、．∵对称轴3322a x a =-=-，()1,0B ，∴点(4,0)A -∴ABC ACD ABCD S S S ∆∆+四边形＝111553()2222DM AN ON DM⨯⨯+⨯⨯+=+＝易得直线AC 的解析式为334y x =--…………………4分令239(3)44D x x x +-，，3(3)4M x x --，，其中40x -<<，2233933(3)(2)34444DM x x x x =---+-=-++………6分当2x =-时，DM 有最大值3此时四边形ABCD 面积有最大值272．…………………7分（3）如图，有如下情况：①过点C 作1CP ∥x 轴交抛物线于点1P ，过点1P 作11PE ∥AC 交x 轴于点1E ，此时四边形11ACPE 为平行四边形，∵(03)C -，，令2393344x x +-=-得：1203x x ==-，∴点1(33)P --，……………………………………9分②平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC PE =时，四边形ACEP 为平行四边形，∵(03)C -，，∴由对称关系令(3)P x ，，由2393344x x +-=化简得：2380x x +-=，解得3412x -+=或3412x --=，此时存在点2341(3)2P -+和3341(3)2P -…………………………11分综上，存在3个点符合题意，坐标分别是1(33)P --，，23(3)2P -+，3341(3)2P -.…………………………12分25.(1)△AMN 是直角三角形.……1分依题意得OA ＝2，OM ＝4，ON ＝1，∴MN ＝OM ＋ON ＝4＋1＝5在Rt △AOM 中，AM 在Rt △AON 中，AN A B CD x y NMO AB C x y2P 1P 3P1E 2E 3E O42-55F G EP l A xyON MB42-2-4-6-55G FEQ 2Q 1P l AxyON M∴MN 2＝AM 2+AN 2∴△AMN 是直角三角形(解法不惟一)………………………3分(2)答：(1)中的结论还成立.…………………………………4分依题意得OA ＝2，OM ＝－m ，ON ＝n ∴MN ＝OM ＋ON ＝n －m∴MN 2＝(n －m )2=n 2－2mn ＋m 2∵mn ＝－4∴MN 2=n 2－2×(－4)＋m 2＝n 2＋m 2又∵在Rt △AOM 中，AM在Rt △AON 中，AN ∴AM 2＋AN 2=4＋m 2＋4＋n 2＝n 2＋m 2＋∴MN 2=AM 2＋AN 2∴△AMN 是直角三角形.(解法不惟一)………………6分(3)∵mn ＝－4，n ＝4，∴1-=m .方法一：设抛物线的函数关系式为y ＝a x 2＋bx ＋c.∵抛物线经过点M (－1，0)、N (4，0)和A (0，2)2a-b c 04402a b c c +=⎧⎪∴++=⎨=⎪⎩12322a b c ⎧=-⎪⎪∴=⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线的函数关系式为y ＝－12x 2＋32x ＋2.………………8分方法二：设抛物线的函数关系式为y ＝a (x ＋1)(x －4)．∵抛物线经过点A (0，2)∴－4a ＝2解得a ＝－12∴所求抛物线的函数关系式为y ＝－12(x ＋1)(x －4)即y ＝－12x 2＋32x ＋2.……………8分(4)抛物线的对称轴与x 轴的交点Q 1符合条件，∵l ⊥MN ，∠ANM ＝∠PN Q 1，∴Rt △PN Q 1∽Rt △ANM∵抛物线的对称轴为x ＝32，∴Q 1(32，0)………………10分∴NQ 1＝4－32＝52.………………11分过点N 作NQ 2⊥AN ，交抛物线的对称轴于点Q 2.∴Rt △P Q 2N 、Rt △NQ 2Q 1、Rt △PNQ 1和Rt △ANM 两两相似∴AMN Q AN Q Q 121=即Q 1Q 2＝1525Q N AN AM ⋅=…………12分∵点Q 2位于第四象限，∴Q 2(32，5-)…………13分因此，符合条件的点有两个，分别是Q 1(32，0)，Q 2(32，5-).…………14分(解法不惟一)。

参考答案及评分标准1．D2．C3．A4．B 5．D 6．B7． 13. -4,52 14.[2,10]- 15．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦16．[]2,4 17.(1)原不等式可转化为：232232-<->-x x 或整理得：25>x 或21<x ，那么原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>2125x x x 或..........5分 〔2〕0437924<+-x x ⇔()()019422<--x x ⇔4912<<x 所以231312<<-<<-x x 或......9分 那么该不等式解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<<-231312x x x 或.........10分 18. 〔1〕2=a 时{}{}42,71≤≤-=<<=x x B x x A B A ⋃=⋃{}42≤≤-x x ={}72<≤-x x ...........6分 （2）因为的充分条件，所以B A ⊆........7分①φ=A ，321+≥-a a 即4-≤a 时满足题意;.............9分②φ≠A ，那么⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-->432214a a a 解得211≤≤-a ..........11分 综上所述，4-≤a 或211≤≤-a ...........12分 19．〔1〕由题意得总本钱为〔20000+100x 〕元， 所以利润2130020000,0400()260000100,400x x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩，N x ∈..........4分 〔2〕当0400x ≤≤时，2211300200003002500022()()f x x x x =--=--+， 所以当300x =时，()f x 的最大值为25000；当400x >时，()600001004002000025000f x <-⨯=<综上，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元...........12分20.〔1〕()()()()()111122323-+=-+-=+--x x x x x x x x ...........2分当1=x 时()()0112=-+x x ，故123+-=x x x ;当1>x 时，()()0112>-+x x ，故123+->x x x ；当1<x 时，()()0112<-+x x ，故123+-<x x x ............6分(2) 因为a b c >>且0a b c ++=所以0<c因为b a >所以0>->-c b c a ，两边取到数得：c b c a -<-11 又0<c 所以c c a c b c>--.........12分 21.〔1〕因为不等式0232>+-x ax 的解集为,1|{<x x 或}b x >所以1和b 是方程0232=+-x ax 的两个实数根且0>a .......2分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+a b a b 231解得⎩⎨⎧==21b a ..............5分 （3）由〔1〕知⎩⎨⎧==21b a 于是有121=+y x ...........6分 故84244421)2(2=⋅+≥++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+y x x y y x x y y x y x y x 〔当4,2==y x 时等号成立〕.....9分 依题意有822≤++k k ，即062≤-+k k .............10分解得23≤≤-k ............12分22.〔1〕当时方程()()0f x g x -=化为,0542=--x x解得51=-=x x 或;................2分（2）由函数()x f 图像可知当[]1,1-∈x 时()()()11-≤≤f x f f ，方程()0f x =在[]11-，上有实数根那么必有()()08080,0101≤≤-⎩⎨⎧≥+≤⎩⎨⎧≥-≤a a a f f 解得：即.......6分 （3）当[]114x ∈，()[]3,11-∈x f ，[]21,4x ∈ ①当0=m 时()52=x g ，不符合题意，舍去。