导与练重点班2019届高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时训练理.doc

D.tan(α+β)=-1
解析:(2)由题意得
sin αcos β+sin βcos α+cos α cos β-sin αsin β

= 2 × (cos α-sin α)·sin β,整理,
得sin αcos β-sin β cos α+cos αcos β+sin αsin β=
0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.故选C.

即 sin(α+β)= .故选 C.

(1)三角函数求值中变角的原则
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”
的和或差的形式.
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”
的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常用的拆角、配角技巧
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,β=








=cos(α+ )cos -sin(α+ )sin




= × - × =- .故选 C.







( 2 )(2024 ·山东日照模拟 ) 已知α∈ (










,

) , β∈( π,
cos(α- )=- ,sin(β- )= ,则 sin(α+β)的值为(
.
又因为β∈[π, ],所以β-α∈[ , ],故 cos(β-α)=

第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3。

能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4。

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β。

tan(α±β)＝错误!。

2。

二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。

tan 2α＝错误!。

3.函数f（α）＝a sin α＋b cos α（a,b为常数），可以化为f（α）＝错误!sin（α＋φ)错误!或f(α)＝错误!·cos（α－φ)错误!.[常用结论与微点提醒]1。

tan α±tan β＝tan（α±β）(1∓tan αtan β)。

2。

cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝错误!。

3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。

诊断自测1。

判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(）(2）存在实数α,β,使等式sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立.（)（3）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立。

（)（4）存在实数α，使tan 2α＝2tan α。

2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质【知识拓展】 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π答案 B解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.2．(教材改编)函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为( )A ．[－32，32]B ．[－32，3]C ．[－332，332]D ．[－332，3]答案 B解析 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，sin(2x －π6)∈[－12，1]，故3sin(2x －π6)∈[－32，3]，即f (x )的值域为[－32，3]．3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z. 4．(2016·开封模拟)已知函数f (x )＝4sin(π3－2x )，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．[－712π，－π12]B ．[－π，－π2]C ．[－π，－712π]，[－π12，0]D ．[－π，－512π]，[－π12，0]答案 C解析 f (x )＝4sin(π3－2x )＝－4sin(2x －π3)．由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的递减区间是[－π12＋k π，512π＋k π](k ∈Z )．因为x ∈[－π，0]，所以函数f (x )的递减区间是[－π，－712π]，[－π12，0]．5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________． 答案 2或－2解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π6)的定义域是____________．(2)(2017·郑州月考)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π3，a ]，若f (x )的值域是[－12，1]，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1){x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z } (2)[π3，π]解析 (1)由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z }． (2)∵x ∈[－π3，a ]，∴x ＋π6∈[－π6，a ＋π6]，∵x ＋π6∈[－π6，π2]时，f (x )的值域为[－12，1]，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为 .(2)函数y ＝2sin(πx 6－π3) (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为__________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)2－ 3解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴－32≤sin(πx 6－π3)≤1， 故－3≤2sin(πx 6－π3)≤2.即函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.∴最大值与最小值的和为2－ 3. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2]，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π， k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－(2k ＋54)≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈[12，54]．引申探究本例(2)中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________． 答案 [32，74]解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π， k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( ) A.23 B.32 C ．2D ．3答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)B 解析 (1)已知函数可化为f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32.题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性例3 (1)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③(2)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 (1)A (2)2或3解析 (1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. (2)由题意得，1<πk<2，∴k <π<2k ，即π2<k <π，又k ∈Z ，∴k ＝2或3.命题点2 对称性例4 (2016·西安模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )( )A ．是奇函数且图象关于点(π2，0)对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 答案 C解析 ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin(π4＋φ)＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )，∴f (x )＝sin(x ＋2k π－3π4)＝sin(x －3π4)，∴y ＝f (3π4－x )＝sin(－x )＝－sin x,∴y ＝f (3π4－x )是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．命题点3 对称性的应用例5 (1)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.(2)若函数y ＝cos(ωx ＋π6) (ω∈N *)图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 (1)－π6 (2)B解析 (1)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ， 故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴－23≤k ≤13，k ∈Z ，∴k ＝0，则x 0＝－π6.(2)由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)(2016·朝阳模拟)已知函数f (x )＝2sin(π2x ＋π5)，若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．πD ．2π(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)A (2)A解析 (1)由题意可得|x 1－x 2|的最小值为半个周期，即T 2＝πω＝2. (2)由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.5．三角函数的性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )恒成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3D ．－3(3)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析 (1)由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 (1)D (2)C (3)321．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4) (ω>0)的最小正周期为π，则f (π8)等于( )A ．1 B.12 C ．－1 D ．－12答案 A解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，∴f (π8)＝sin(2×π8＋π4)＝sin π2＝1.2．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( ) A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，故只有B 项满足．3．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π 答案 C解析 函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错误；在区间(0，π3)上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan(2×π6－π3)＝0，∴(π6，0)为其图象的一个对称中心，故选C.4．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.3π5 B.6π5 C.9π5D.12π5答案 B解析 由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1 (x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，∴ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A ．[－π8，3π8]B ．[π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 C解析 由f (π8)＝－2，得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.6．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f (π4)等于( )A.12B.22C.32D ．1答案 C解析 由题意得函数f (x )的周期T ＝2(2π3－π6)＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点(π6，1)代入上式得sin(π3＋φ)＝1 (|φ|<π2)，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin(2x ＋π6)，于是f (π4)＝sin(π2＋π6)＝cos π6＝32.7．函数y ＝2sin x －1的定义域为______________． 答案 [2k π＋π6，2k π＋56π]，k ∈Z解析 由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .8．函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为___________________．答案1－22解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝－22时，y min ＝1－22. 9．函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为______________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π (k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．10．(2016·威海模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1 (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是__________． 答案 (0，34]解析 方法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是[2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω]，k ∈Z .因为f (x )在[－π2，2π3]上是增函数，所以[－π2，2π3]⊆[－π2ω，π2ω]．所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈(0，34]．方法二 因为x ∈[－π2，2π3]，ω>0.所以ωx ∈[－ωπ2，2πω3]，又f (x )在区间[－π2，2π3]上是增函数，所以[－ωπ2，2πω3]⊆[－π2，π2]，则⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<φ<2π3)的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点(π6，32)，求f (x )的单调递增区间．解 (1)∵f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点(π6，32)时，sin(2×π6＋φ)＝32，即sin(π3＋φ)＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z .12．(2015·北京)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.*13.已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ考点2 用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示．x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0考点3 函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[必会结论]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法：(1)五点法：用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先φ后ω”)与“先伸缩后平移”(即“先ω后φ”)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．( )(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( )(3)把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为14.( )(4)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√2.[2018·柳州模拟]若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 B解析 由图象可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，即T ＝π2＝2πω，故ω＝4.3．[2016·全国卷Ⅰ]将函数y ＝2sin ( 2x ＋⎭⎪⎫π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 答案 D解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，所以将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.故选D.4．[2018·西安模拟]已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称答案 D 解析2πω＝π得ω＝2，函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π3.选D. 5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 答案 B解析 由图象知函数的最大值为2，即A ＝2，函数的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π6－2π3＝2π＝2πω，解得ω＝1，即f (x )＝2sin(x ＋φ)，由题图知7π6＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.6．[2018·海南模拟]把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝－sin2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4答案 A解析 由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝cos2x .板块二 典例探究·考向突破 考向三角函数的图象变换例 1 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 答案 C解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.故选C. 触类旁通两种图象变换的区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．【变式训练1】 将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝π D．x ＝π2答案 D解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3――→向左平移π6个单位y ＝cos[12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3]，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x ＝π2时，y ＝cos(12×π2－π4)＝1.故选D.考向求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例 2 [2016·全国卷Ⅱ]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 答案 A解析 由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，所以ω＝2，则y ＝2sin(2x ＋φ)，因为题图经过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝2，2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z . 当k ＝0时，φ＝－π6，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.触类旁通确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．【变式训练2】 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.答案3解析 由函数图象，知T 2＝3π8－π8，所以T ＝π2，即πω＝π2，所以ω＝2.结合图象可得2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π4.又由图象过点(0,1)，代入得A tan π4＝1，所以A ＝1.所以函数的解析式为f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan π3＝ 3.考向函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用命题角度1 函数图象与性质的综合应用例 3 [2015·全国卷Ⅰ]函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由图象可知ω4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ＝π4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2m π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4的单调递减区间为2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z .故选D.命题角度2 图象变换与性质的综合应用例 4 [2018·太原模拟]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案 B解析 ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．命题角度3 函数图象与实际问题的综合应用例 5 如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)由图可得，这段时间的最大温差是30－10＝20 ℃.(2)图中从6时至14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象． ∴12·2πω＝14－6，解得ω＝π8. 由图可得，A ＝12(30－10) ＝10，b ＝12(30＋10)＝20.这时y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20. 将x ＝6，y ＝10代入上式，可取φ＝3π4.综上，所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．触类旁通函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：当φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；当φ＝k π＋π2(k∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调递增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调递减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得对称中心的横坐标．利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．核心规律1.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.2.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质求解析式时，若最大值与最小值对应的自变量为x 1，x 2，则T2＝|x 1－x 2|min .通过代入解析式点的坐标解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．满分策略1.在三角函数的平移变换中，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|.2.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x 0对称，则ωx 0＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即过函数图象的最高点或最低点，且与x 轴垂直的直线为其对称轴．3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x 0,0)成中心对称，则ωx 0＋φ＝k π(k ∈Z )，即函数图象与x 轴的交点是其对称中心.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列5——异名三角函数的图象变换技巧[2017·全国卷Ⅰ]已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解题视点 解决三角函数图象变换题时，若两函数异名，则通常利用公式sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2和cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2将异名三角函数转化为同名三角函数，然后分析变换过程．解析 首先利用诱导公式化异名为同名．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12， 由y ＝cos x 的图象得到y ＝cos2x 的图象，需将曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；由y ＝cos2x 的图象得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图象，需将y ＝cos2x 的图象上的各点向左平移π12个单位长度．故选D.答案 D答题启示 三角函数图象变换(1)伸缩变换：将y ＝sin x 图象上的各点的横坐标变为原来的ω倍，纵坐标不变，可得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ωx 的图象；将y ＝sin x 图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变，可得到y ＝A sin x 的图象．(2)平移变换：函数图象的平移变换遵循“左加右减”的法则，但是要注意平移量是指自变量x 的变化量．跟踪训练[2018·合肥二检]为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移5π6单位长度B ．向右平移5π6单位长度C ．向左平移5π12单位长度D ．向右平移5π12单位长度答案 C解析 由题意，得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，则它是由y ＝sin2x 向左平移5π12个单位得到的．故选C.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．要得到函数y ＝sin 12x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位答案 C解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3，∴要得到y ＝sin 12x 的图象，只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象向左平移2π3个单位即可．2．[2018·沧州模拟]若ω＞0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移2π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值为( )A.43B.23 C ．3 D ．4 答案 C解析 将y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移2π3个单位后为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－2ωπ3，所以有2ωπ3＝2k π，即ω＝3k ，k ∈Z ，又ω>0，所以k ≥1，故ω＝3k ≥3.故选C.3．[2018·临沂模拟]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12答案 A解析 由题干图知，函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－7π12＝2π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23. 4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C.3π8 D ．－π4答案 B解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，则由π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.故选B.5.[2018·广东茂名一模]如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f (x )的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，0答案 B解析 由题中函数图象可知：A ＝2， 由于函数图象过点(0，3)， 所以2sin φ＝3，即sin φ＝32，由于|φ|＜π2， 所以φ＝π3，则有f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由2x ＋π3＝k π，k ∈Z 可解得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，故f (x )的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0，k ∈Z ，则f (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0.故选B.6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.答案 20.5解析 依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.7.[2018·南宁模拟]函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图，则f (x )＝________.答案 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4解析 由图象得：T ＝4×2＝8， ∴ω＝2π8＝π4，代入(－1,1)，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，∴－π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵0≤φ≤π，∴φ＝π4.∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.8．[2014·重庆高考]将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 答案22解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.9.[2018·长春调研]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R 的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．解 (1)由题中图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.10．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．解 (1)由T ＝2知2πω＝2得ω＝π.又因为当x ＝13时f (x )max ＝2，知A ＝2.且π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π＋π6(k ∈Z )． ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. (2)存在．令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k ＋13(k ∈Z )．由214≤k ＋13≤234.得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5. 故在⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.[B 级 知能提升]1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案 B解析 y ＝cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，由y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，只需向右平移π3个单位长度． 2．[2018·郑州模拟]将函数f (x )＝－cos2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称答案 B解析 由题意得，g (x )＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin2x .最大值为1，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，g (x )单调递减，显然g (x )是奇函数，故B 正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4，此时不满足g (x )单调递增，也不满足g (x )是偶函数，故C 错误；周期T ＝2π2＝π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称．故选B.3．将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 D解析 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0＜φ＜π2，故φ＝π6.选D.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小＝－32.5．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ 0π2 π3π2 2π xπ3 5π6 A sin(ωx＋φ) 05－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx ＋φ 0 错π 错误2π x 错误错错误错误错误A sin(ωx＋φ)0 5 0 －5且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。

当t=1时,ymax=1;当t=- 2 时,ymin=- - 2 .
∴函数的值域为 2,1 . 1 2
1 2
x . 1-2 (2018北京海淀期末)已知函数f(x)=cos 2x· tan 4


(1)求函数f(x)的定义域; (2)求函数f(x)的值域.
答案 D 由3x≠ +kπ(k∈Z),得x≠ + ,k∈Z.故选D.
2 6


k 3
3.(2016北京东城(上)期中)函数y=cos 2x的图象的一条对称轴方程是
( A ) A.x=
2

B.x=
8

C.x=-
8

D.x=-
4 k 令2x=kπ(k∈Z),得x= (k∈Z), 2 k 2


3 4
所以,函数f(x)的定义域为 x | x k

=-(cos x-sin x)2=2sin xcos x-1=sin 2x-1. 因为x≠kπ+ π,k∈Z, 所以2x≠2kπ+ π,k∈Z, 所以sin 2x≠-1,
3 2 3 4
所以函数f(x)的值域为(-2,0].

3 2
3 2

所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为 ≤x≤ ,所以 ≤x- ≤ .
2

所以当x- = ,即x= 时,
3 2

3 2


5 6
6
3
7 6
f(x)取得最大值,最大值是2; 当x- = ,即x= 时, f(x)取得最小值,最小值是-1.
3

7 6

2019-2020年高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第3节y＝Asin ωx ＋φ的图象和性质及其综合应用高考AB 卷理求三角函数的解析式(xx·全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确.答案 D求三角函数的解析式1.(xx·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 C2.(xx·湖南，17)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合.解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ， g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1.于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .3.(xx·四川，18)函数f (x )＝6cos2ωx2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形.(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值. 解 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4. 所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4. 函数f (x )的值域为[－23，23]. (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4＝23⎣⎢⎡sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.4.(xx·湖北，17)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5， ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知， 当k ＝1时，θ取得最小值π6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的综合应用5.(xx·安徽，10)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－11π6，又φ>0，∴φmin＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4，又∵－π2<5π6－4<π6<4－7π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4－7π6.又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A. 答案 A6.(xx·山东，16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP →的坐标为 .解析 因为圆心由(0，1)平移到了(2，1)，所以在此过程中P 点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.如图所示，过P 点作x 轴的垂线，垂足为A ，圆心为C ，与x 轴相切于点B ，过C 作PA 的垂线，垂足为D ，则∠PCD ＝2－π2，|PD |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，|CD |＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，所以P 点坐标为(2－sin 2，1－cos 2)， 即OP →的坐标为(2－sin 2，1－cos 2). 答案 (2－sin 2，1－cos 2)7.(xx·天津，15)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值.解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.8.(xx·湖北，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温. 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温. 9.(xx·安徽，16)设函数f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )，求g (x )在区间[－π，0]上的解析式. 解 (1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x2＝12－12sin 2x ， 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x . ②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x .综合①，②得g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.。

(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．()
答案(1)×(2)√(3)×(4)×
2．[课本改编]若函数f(x)＝－cos2x，则f(x)的一个递增区间为()
A. B.
C. D.
答案B
解析由f(x)＝－cos2x知递增区间为 ，k∈Z，故只有B项满足．
3．[2018·福建模拟]函数f(x)＝sin 的图象的一条对称轴是()
例2已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间 上的单调性．
解(1)因为f(x)＝2sin 的最小正周期为π，且ω＞0.从而有 ＝π，故ω＝1.
(2)因为f(x)＝2sin .
若0≤x≤ ，则 ≤2x＋ ≤ .
当 ≤2x＋ ≤ ，即0≤x≤ 时，
答案2－
解析∵0≤x≤9，∴－ ≤ x－ ≤ ，
∴－ ≤sin ≤1，
故－ ≤2sin ≤2.
即函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－ .所以最大值与最小值的和为2－ .
本例(2)中的函数换为“y＝3－sinx－2cos2x，x∈ ”，如何解答？
解∵x∈ ，∴sinx∈ .
又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
答案C
解析由x－ ＝ ＋kπ，得x＝kπ＋ ，当k＝－1时，x＝－ .
4．[2018·厦门模拟]函数y＝ sin ＋1的图象的一个对称中心的坐标是()
A. B.
C. D.
答案B
解析对称中心的横坐标满足2x＋ ＝kπ，解得x＝－ ＋ ，k∈Z.当k＝1时，x＝ ，y＝1.故选B.
＝2 2＋ ，

（全国版）2019版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第4讲 函数y ＝asin(ωx ＋φ)的图象及应用增分练1．要得到函数y ＝sin 12x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位答案 C解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3，∴要得到y ＝sin 12x 的图象，只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象向左平移2π3个单位即可．2．[2018·沧州模拟]若ω＞0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移2π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值为( )A.43B.23 C ．3 D ．4 答案 C解析 将y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移2π3个单位后为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－2ωπ3，所以有2ωπ3＝2k π，即ω＝3k ，k ∈Z ，又ω>0，所以k ≥1，故ω＝3k ≥3.故选C.3．[2018·临沂模拟]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12答案 A解析 由题干图知，函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－7π12＝2π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23. 4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C.3π8 D ．－π4答案 B解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，则由π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.故选B.5.[2018·广东茂名一模]如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f (x )的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，0答案 B解析 由题中函数图象可知：A ＝2， 由于函数图象过点(0，3)， 所以2sin φ＝3，即sin φ＝32，由于|φ|＜π2， 所以φ＝π3，则有f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由2x ＋π3＝k π，k ∈Z 可解得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，故f (x )的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0，k ∈Z ，则f (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0.故选B.6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.答案 20.5解析 依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5. 7.[2018·南宁模拟]函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图，则f (x )＝________.答案 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4解析 由图象得：T ＝4×2＝8， ∴ω＝2π8＝π4，代入(－1,1)，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，∴－π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵0≤φ≤π，∴φ＝π4.∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.8．[2014·重庆高考]将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 答案22解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 9.[2018·长春调研]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R 的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．解 (1)由题中图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.10．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．解 (1)由T ＝2知2πω＝2得ω＝π.又因为当x ＝13时f (x )max ＝2，知A ＝2.且π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π＋π6(k ∈Z )． ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. (2)存在．令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k ＋13(k ∈Z )．由214≤k ＋13≤234.得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5. 故在⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.[B 级 知能提升]1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案 B解析 y ＝cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，由y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，只需向右平移π3个单位长度．2．[2018·郑州模拟]将函数f (x )＝－cos2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称答案 B解析 由题意得，g (x )＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin2x .最大值为1，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，g (x )单调递减，显然g (x )是奇函数，故B 正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4，此时不满足g (x )单调递增，也不满足g (x )是偶函数，故C 错误；周期T ＝2π2＝π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称．故选B.3．将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 D解析 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0＜φ＜π2，故φ＝π6.选D.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小＝－32.5．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。