人教版数学高二B版必修5自我小测2.1.2数列的递推公式(选学)

教学设计2．1.2 数列的递推公式(选学)整体设计教学分析本节作为选学内容，课标对递推公式没有明确要求．考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学．实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好．数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列．同上节一样本节也是通过一些例子及章头前言中的事例来引入递推公式．并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身．没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续．让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列．数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可．三维目标1．通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同．会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项．2．通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本章章头左图中的说明，体会数学来源于生活．3．通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度．重点难点教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项．教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图引入)让学生观察章头图中左图兔子的繁殖情况．假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出来吗？由此展开新课的探究．思路2.(直接引入)我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式a n＝n表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出来，即a n＝a n－1＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式．由此展开探究．推进新课新知探究提出问题(1)多媒体演示图1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系吗？(2)数列{a n}的通项公式是a n＝2n.从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？章头数列3，1cos cos cos…从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？(3)怎样理解递推公式？若已知数列a n＝2a n－1＋1，你能写出这个数列吗？为什么？活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．模型一：自上而下第1层钢管数为4，即14＝1＋3；第2层钢管数为5，即25＝2＋3；第3层钢管数为6，即36＝3＋3；第4层钢管数为7，即47＝4＋3；第5层钢管数为8，即58＝5＋3；第6层钢管数为9，即69＝6＋3；第7层钢管数为10，即710＝7＋3.若用a n表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n＝n＋3(1≤n≤7)．模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，即a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：a n＝a n－1＋1(2≤n≤7)．在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的a n＝n＋3，只要将n的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带来很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得a n＝a n－1＋1(2≤n≤7且n∈N*)的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：只要知道a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．注意：递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为a1＝3，a2＝5，a n＝a n－1＋a n－2(3≤n≤8)．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．讨论结果：(1)略(2)a1＝2，a n＝2a n－1(n＝2,3,4，…)；数列3，a1＝1，a n＝cos(a n－1)(n＝2,3,4，…)．(3)递推公式包括已知的第1项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项．前者是递推的基础，后者是递推的延续．因此仅知a n＝2a n－1＋1无法写出这个数列的各项．应用示例例1已知a1＝2，a n＋1＝2a n，写出前5项，并猜想a n.活动：根据a1＝2及a n＋1＝2a n，学生很容易求出前5项，分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想a n＝2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求a n，这种解法则是不完整的．由a na n－1＝2，可得到以下解法：a n a n－1×a n－1a n－2×a n－2a n－3×…×a2a1＝a na1＝2n－1，∴a n＝2n.解：∵a1＝2，a n＋1＝2a n，∴a2＝2×a1＝4，a3＝2×a2＝8，a4＝2×a3＝16，a5＝2×a4＝32.∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，∴猜想a n＝2n.变式训练已知a1＝2，a n＋1＝a n－4，求a n.解：由a n＋1－a n＝－4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，a n－a n－1＝－4a n－1－a n－2＝－4a n－2－a n－3＝－4……＋)a2－a1＝－4a n－a1＝－4(n－1)∴a n＝2－4(n－1)．例2(教材本节例1)活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入a1的值，由依次计算的结果可能更容易看到a n与n的函数关系：a2＝a11－a1；a3＝a11－2a1，a4＝a11－3a1，a5＝a11－4a1，…，a n＝a11－(n－1)·a1＝23－2n.变式训练已知数列{a n}的递推公式是a n＋2＝3a n＋1－2a n，且a1＝1，a2＝3. 求：(1)a5；(2)127是这个数列中的第几项？解：(1)∵a1＝1，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n，∴a3＝3a2－2a1＝7，a4＝3a3－2a2＝15，a5＝3a4－2a3＝31.(2)由递推公式，可得a6＝3a5－2a4＝63，a7＝3a6－2a5＝127，∴127是此数列的第7项．例3(教材本节例2)活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把P 1，P 2，P 3的坐标都写出来让学生观察发现a n 与a n ＋1间的关系．变式训练在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n 等于( ) A ．2＋lnn B ．2＋(n －1)lnnC ．2＋nlnnD ．1＋n ＋lnn答案：A解析：方法一，由a 2＝a 1＋ln2＝2＋ln2，排除C 、D ；由a 3＝a 2＋ln(1＋12)＝2＋ln3，排除B.故选A.方法二，由已知，a n ＋1－a n ＝lnn ＋1n ，a 1＝2， ∴a n －a n －1＝lnn n －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2， …a 2－a 1＝ln 21， 将以上n －1个式子累加得a n －a 1＝lnn n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21 ＝ln(n n －1·n －1n －2·…·21)＝lnn ， ∴a n ＝2＋lnn.例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，记OA 1，OA 2，OA 3，…，OA 7，OA 8的长度所在的数列为{l n }(n ∈N *,1≤n ≤8)．甲乙(1)写出数列的前4项；(2)写出数列{l n}的一个递推关系式；(3)求{l n}的通项公式；(4)如果把图中的三角形继续作下去，那么OA9，OA2 007的长度分别是多少？活动：本例虽然题干看起来很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式．解：(1)l1＝OA1＝1，l2＝OA2＝2，l3＝OA3＝3，l4＝OA4＝2.(2)通过观察图形，可知：OA n＋1，OA n,1组成直角三角形，而OA n＋1＝l n＋1，OA n＝l n.＝l 2n＋1(n∈N*,1≤n≤8)．∴由勾股定理可得l 2n＋1(3)l n＝n.(4)OA9＝l9＝3，OA2 007＝ 2 007＝3223.点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如3项或2项以上的递推公式不作要求．知能训练1．若数列{a n }前n 项的值各异，且a n ＋8＝a n 对任意的n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }的前8项值的数列为( )A ．{a 2n ＋1}B ．{a 3n ＋1}C ．{a 4n ＋1}D ．{a 6n ＋1}2．已知a n ＝a n －2＋a n －1(n ≥3)，a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前4项依次是__________．答案：1．B 解析：取k ＝0,1,2，…，8验证，周期为8.2．前4项依次是12，23，35，58. 课堂小结1．先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法来表示这种规律．2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法．作业课本本节习题2—1 A 组7、8；习题2—1 B 组4，第5题选做．设计感想本教案设计遵循生活是源，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的．如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的．目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．本教案设计思路体现了新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生自主学习，经历数学活动，体验数学过程，以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．本教案设计力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，成为听话的乖绵羊，而是让学生体会到数学的实用价值，一种文化价值．当你醉心于数学课堂时，数学课堂便呈现给你一种美景：那就是活生生的数学，那就是内在神奇而奥妙，外在冷傲而绝美，由大自然抽象出来的自然科学的皇后——数学．备课资料一、探究求数列通项公式的方法求通项公式是学习数列的一个难点，由于求通项公式时需用到多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多，灵活性大，技巧性强，为了学生课余时间进一步探究，现举几例，以供参考．1．观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．【例1】 已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，写出此数列的一个通项公式． 解：观察数列前若干项可得通项公式为a n ＝(－1)n 2n －32n . 2．公式法已知数列的前n 项和求通项时，通常用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a 1和a n 合为一个表达式．【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求此数列的通项公式． 解：由条件可得S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n .所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2. 3．累差迭加法若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋f(n)的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项．【例3】 已知数列6,9,14,21,30，…，求此数列的通项． 解：∵a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝5，a 4－a 3＝7，…，a n －a n －1＝2n －1， 各式相加得a n －a 1＝3＋5＋7＋…＋(2n －1)，∴a n ＝n 2＋5(n ∈N )．4．连乘法若数列{a n }能写成a n ＝a n －1f(n)(n ≥2)的形式，则可由a n ＝a n －1f(n)，a n －1＝a n －2f(n －1)，a n －2＝a n －3f(n －2)，…，a 2＝a 1f(2)连乘求得通项公式．【例4】 已知数列{a n }满足a 1＝1，S n ＝(n ＋1)a n 2(n ∈N )，求{a n }的通项公式． 解：∵2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N )，2S n －1＝na n －1(n ≥2，n ∈N )，两式相减得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，∴a n a n －1＝n n －1(n ≥2，n ∈N )． 于是有a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1(n ≥2，n ∈N )， 以上各式相乘，得a n ＝na 1＝n(n ≥2，n ∈N )．又a 1＝1，∴a n ＝n(n ∈N )．5．求解方程法若数列{a n }满足方程f(a n )＝0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式．【例5】 已知函数f(x)＝2x －2－x ，数列{a n }满足f(log 2a n )＝－2n ，求数列{a n }的通项公式．解：由条件f(log 2a n )＝2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1a n＝－2n. ∴a 2n ＋2na n －1＝0. 又a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n.6．迭代法若数列{a n }满足a n ＝f(a n －1)，则可通过迭代的方法求得通项公式．二、备用习题1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5等于( )A.5512B.133 C ．4 D ．52．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝－12a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，则a 4等于… ( ) A ．－1 B.12 C.1724 D ．－183．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝__________.4．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________.5．已知a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则在数列{a n }中的前30项中，最大项和最小项分别是__________．6．一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？参考答案：1．A 解析：a 3＝a 2＋1a 1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝133，a 5＝a 4＋1a 3＝5512. 2．D 解析：a 2＝－12a 1＝－12，a 3＝－12a 2＝14，a 4＝－12a 3＝－18. 3.1n 解析：由已知可求得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，由此可猜想a n ＝1n. 4.n (n ＋1)2＋1 解析：由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.当n ＝1时，也符合上式．因此，a n ＝n (n ＋1)2＋1. 5．a 10，a 9 解析：a n ＝n －98n －99＝1＋99－98n －99， 当1≤n ≤9时，99－98n －99＜0，a n 为递减函数； 当n ≥10时，99－98n －99＞0，a n 为递减函数． ∴最大项为a 10，最小项为a 9.6．解：这题是一道应用题，本题难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到．爬一级梯子的方法只有一种．爬一个二级梯子的方法有两种，即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种． 若设爬一个n 级梯子的不同爬法有a n 种，则a n ＝a n －1＋a n －2＋a n －3(n ≥4)，则得到a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4及a n ＝a n －1＋a n －2＋a n －3(n ≥4)，就可以求得a 8＝81.(设计者：周长峰)。

数列的递推公式（选学）堂研究一、通 公式与 推公式解析： 推公式是：已知数列{ a n } 的第 1( 或前几 ) ，且从第二 ( 或某一 ) 开始的任一 a n 与它的前一a n － 1( 或前几 ) 的关系能够用一个公式来表示，那么 个公式就叫做 个数列的 推公式．通 公式是： 一个数列 { a n } 的第 na n 与 数 n 之 的关系， 假如能够用一个公式 a n ＝ f ( n ) 来表示，我 就把 个公式叫做 个数列的通 公式．通 公式反应的是 与 数之 的关系， 而 推公式反应的是相 两 ( 或几 ) 之 的关系．于通 公式，只需将公式中的 n 挨次取 1，2，3，⋯即可获得相 的 ；而 推公式 要已知首 ( 或前几 ) ，才可求得其余的 ． 常常我 要利用各样方法将 推公式 化 通 公式，通 公式能 更直接地研究数列．名 点 ： 推公式也是 出数列的一种重要方法， 有 其实不必定要知道数列的通 公式，只需知道数列的 推公式， 即可解决 ， 有的 推公式与通 公式之 也能够 行互化．二、教材中的“？”(1) 你能猜想出例 1 中 个数列的通 公式 ？2解析： 数列 { a n } 的通 公式a n ＝ 3－ 2n ．(2) 你能比 例2 中 a 与 an ＋ 1 的大小 ？你能比 a 与 an ＋ 2 的大小 ？nn解析： 不可以比 a n+1 与 a n 的大小．当 n 奇数 ， a n+2 ＞a n ；当 n 偶数 ， a n+2＜ a n ．型一 由 推公式写出数列的【例 1】 在数列 { a } 中，已知 a ＝ 2，a ＝3，a＝ 3a n ＋1－ 2a ( n ≥1) ，写出此数列的前六 ．n12n ＋ 2n解析：通 察， 此 的 推公式是数列中相 三 的关系式， 知道前两 就能够求出后一 ．解： a 1＝ 2，a 2＝ 3，a 3 ＝3a 2－ 2a 1＝3×3－2×2＝ 5，a 4 ＝3a 3－ 2a 2＝3×5－2×3＝ 9，a 5 ＝3a 4－ 2a 3＝3×9－2×5＝ 17，a 6 ＝3a 5－ 2a 4＝3×17－2×9＝ 33．反省： 由 推公式写出数列的 的方法．(1) 依据 推公式写出数列的前几 ，第一要弄清楚公式中各部分的关系，挨次代入 算即可；(2) 解答 需注意：若知道的是首 ，往常将所 公式整理成用前方的 表示后边的 的形式；(3) 若知道的是末 ，往常将所 公式整理成用后边的 表示前方的 的形式．型二由 推公式求通 公式【例 2】 已知数列 {a n }，1＝ 1， n ＝ n －1＋1 ( n ≥2) ．a a an ( n － 1)(1) 写出数列 { a n } 的前 5 ；(2) 求数列 { a n } 的通 公式．解析： (1) 中只需利用代入法挨次求出a 2， a 3， a 4， a 5 即可；(2) 利用以下关系式① a n ＝ ( a n － a n －1) ＋ ( a n －1－ a n －2) ＋⋯＋ ( a 3－ a 2) ＋ ( a 2－a 1) ＋ a 1；1 1 1②( － 1) ＝n － 1－ nn n行累加与裂 相消即可求出{ n } 的通 公式．a13解： (1) a 1＝1； a 2＝ a 1＋＝ ；a 3 ＝a 2＋ 1517＝ ； a 4＝ a 3＋＝ ；3×2 3 4×3 45＝ 4＋ 1 ＝ 9 ．aa5×4 51(2) 由 a n ＝ a n － 1＋ n ( n － 1) ，1得 a n － a n － 1＝ n ( n － 1) ( n ≥2) ，∴ a n ＝ ( a n － a n －1) ＋ ( a n －1－ a n －2) ＋⋯＋ ( a 3－ a 2) ＋ ( a 2－a 1) ＋ a 1＝1 ＋ 11＋ 1n ( n － ＋⋯＋＋ 11) ( n － 1)( n － 2)3×2 2×111 1 1 11＋ 1－ 1＝n － 1－n＋n － 2－n － 1 ＋⋯＋ 2－ 3 2 ＋ 111 2n － 1 ( n ∈N +) ．＝－ n ＋ 1＋ 1＝ 2－ n ＝ n反省： (1) 依据 推公式写出数列的前几 ，要弄清楚公式中各部分的关系，挨次代入算即可． 此外，解答 需注意： 若知道的是首 ，往常将所 公式整理成用前方的 表示后边的 的形式； 若知道的是末 ， 往常将所 公式整理成用后边的 表示前方的 的形式．(2) 累加法当 a n－ a n－1＝ f ( n)足必定条件，常用 a n＝( a n－ a n－1)＋( a n－1－ a n－2)＋⋯＋( a2－ a1)＋a1累加来求通公式 a n．(3)累乘法假如推关系能够形a n+1＝ g( n)· a n的形式，且g( n)能求，可用累乘法求数列的通公式．型三易辨析【例 3】数列 { a } 足a＝ 1，此后各由32出，写a ＝ a ＋ 2(2 n － 12n ＋ 22n－ 11)n1n＋1n出个数列的前 4 ，并写出其通公式．解： a1＝1， a2＝3， a3＝5， a4＝7．由此猜想，个数列是正奇数从小到大排成的，∴a n＝2n－1．因解析：猜想的其实不都是正确的，必明其正确性，如当n＝5， a5＝33，故通公式不正确．正解： a2＝a1＋2(2×13－12×12＋22×1－11)，a3＝a2＋2(2×23－12×22＋22×2－11)，a4＝a3＋2(2×33－12×32＋22×3－11)，⋯a n＝a n－1＋2[2( n－1)3－12( n－1)2＋22( n－1)－11]，以上全部式子相加得a n＝ n4－10n3＋35n2－48n＋23．3333n( n＋1)22222n( n＋1)(2 n＋1)里用了 1＋ 2＋ 3＋⋯＋ n ＝与1＋ 2 ＋ 3 ＋⋯＋n＝26。

常见递推数列通项公式的求法一、教学设计：1、教学目标：(1)知识与技能：会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。

(2)过程与方法：①复习回忆所学过的通项公式的求法，比照递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。

②比照等差数列的推导总结出累加法的试用题型。

③学生分组讨论完成累乘法及待定系数法的相关题型. (3)情感、态度与价值观：①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②通过对数列递推公式和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。

2、教学重点、难点：教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。

教学难点：解题过程中方法的正确选择。

二、教学过程：〔一〕复习回忆：1、通项公式的定义及其重要作用2、学过的通项公式的几种求法3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（1）问题探究及新知训练：问题1:数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2，求n a ?变式： 数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2n ，求na ? 设计意图：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用累加法去求解。

教师带着学生细致讲解整个解题过程。

此例题以类比的形式出现，为学生体验成功搭建了平台，学生在解决第一小题后，一鼓作气，去挑战第二小题，激发了学生的求知欲望，在步步追寻中，学生自己解题，自己总结技巧，有助于加深学生对根本技能的认识，提高分析问题、解决问题的能力。

不断充实自我，完善自我。

然后给出比拟难的题目提高学生迎难而上的拼搏精神。

练习：数列}{n a ，1a =1，n n n a a 211=-+，求n a ? 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

问题2：数列{a n }满足)(,2,111*+∈==N n a a a nn ，求{a n }的通项公式。

数列的递推公式课程标准：等差、等比数列是两类最根本的数列，是数列局部的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活〞往往集中在“转化〞的水平上 三维目标：1、知识与能力：了解求解数列通项公式的几种常用方法；认识几种常见的形式，掌握解题方法并能解决实际的问题2、过程与方法：教学过程中板书演例如题，通过与学生相互交流，加深理解求数列通项的常用方法3、情感态度与价值观：培养学生利用转化，化归的思想，分析问题与解决问题的能力教学重点：掌握几种求解数列通项公式的方法教学难点：应用累加法(逐差相加法)；累乘法(逐商相乘法)；待定系数法等方法求解数列通项教学手段：板书和计算机演示讲解 教学方法：启发式、探究式 学法指导：交流与互动 课时安排：一课时教学过程：一、几种求解数列通项公式的方法： 1、类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a所以n a a n 111-=-，211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴2、类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a ann =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴ 例:31=a ，n n a n n a 23131+-=+)1(≥n ，求n a 。

2.1.2数列的递推公式(选学)明目标、知重点 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能依据递推公式写出数列的前n项.3.把握由一些简洁的递推公式求通项公式的方法．1．递推公式假如已知数列的第一项(或前几项)，且从其次项(或某一项)开头的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．[情境导学]某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，假如它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开头也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？对此问题的争辩产生了出名斐波那契数列{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，此数列具有a n＋1＝a n＋a n－1的特性，我们称之为数列的递推公式，这正是本节我们要争辩的重点内容．探究点一数列的递推公式思考1观看：1,3,7,15,31,63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？答首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a n＝2a n－1＋1(n>1且n∈N＋)．思考2观看下面两个数列如何用首项及相邻两项的关系表示出这两个数列？(1)a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，…；(2)1，cos 1，cos(cos 1)，cos(cos(cos 1))，….答(1)a1＝2，从第2项开头，每一项是它前一项的2倍，因此该数列可以用如下方式表示：a1＝2，a n＝2a n－1 (n＝2,3,4，…)；(2)a1＝1，a n＝cos(a n－1) (n＝2,3,4，…)．小结像上面那样，假如已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开头的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法．例1已知数列{a n}的第1项是2，以后各项由公式a n＝a n－11－a n－1给出，写出这个数列的前5项．解a1＝2，a2＝21－2＝－2，a3＝－21－(－2)＝－23，a4＝－231－(－23)＝－25，a5＝－251－(－25)＝－27.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．跟踪训练1在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n(n≥1)，写出此数列的前6项．解a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.例2已知直线l：y＝x与曲线C：y＝(12)x(如图所示)，过曲线C上横坐标为1的一点P1作x轴的平行线交l于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2，再过P2作x轴的平行线交l于Q3，过Q3作x轴的垂线交曲线C于P3，……，设点P1，P2，…，P n，…的纵坐标分别为a1，a2, …，a n，…，试求数列{a n}的递推公式．解由题意，点P1的横坐标为1，纵坐标为a1＝12，点Q n＋1与P n的纵坐标相同，都是a n，同时点P n＋1与Q n＋1的横坐标相等，点P n＋1在曲线C：y＝(12)x上，由横坐标得它的纵坐标为1()2na即a n＋1＝1()2na这就是数列{a n}的递推公式．反思与感悟解答本例的关健是在读懂题意的前提下，通过具体的点P2与点Q2的横坐标相等及点Q2与点P1的纵坐标相同，抽象出一般性的点Q n＋1与P n的纵坐标相同，点P n＋1与Q n＋1的横坐标相等，从而找到了a n＋1与a n的关系．跟踪训练2 数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋)，则点A 1(1，a 1)，A 2(2，a 2)，…，A n (n ，a n )分布在( ) A ．直线上，且直线的斜率为－2 B ．抛物线上，且抛物线的开口向下 C ．直线上，且直线的斜率为2 D ．抛物线上，且抛物线的开口向上 答案 C解析 ∵a n －a n －1n －(n －1)＝a n －a n －1＝2(n ≥2)，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 在斜率为2的直线上．故选C.探究点二 数列的递推公式的应用思考1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n . 答 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)()(1)212222112 1.n n n -=+++⋅⋅⋅+-+=-个＝思考2 若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，求通项a n .答 a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·12·23·…·n －2n －1·n －1n＝1n .例3 已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)给出．(1)写出数列{a n }的前5项； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1；a 2＝a 1＋12×1＝32；a 3＝a 2＋13×2＝53；a 4＝a 3＋14×3＝74；a 5＝a 4＋15×4＝95.(2)由a n ＝a n －1＋1n (n －1)得a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝1n (n －1)＋1(n －1)(n －2)＋…＋13×2＋12×1＋1＝(1n －1－1n )＋(1n －2－1n －1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1＝－1n ＋1＋1＝2－1n ＝2n －1n (n ∈N ＋)．反思与感悟 由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足确定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n . (3)当a n a n －1＝f (n )且满足确定条件时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1来求a n .已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练3 已知数列f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．(1)解 由于f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， 所以22log log 222nn a a n －－＝－，a n －1a n＝－2n ，所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.由于a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1.又由于a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋ B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2 答案 B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n 答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2(1)(1)(1)n +-+-+⋅⋅⋅+-共(-1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________． 答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n ＝1n .[呈重点、现规律] 1．递推公式的理解与应用(1)与全部的数列不愿定都有通项公式一样，并不是全部的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，假如用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不简洁了解数列的全貌，计算也不便利，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n －1，…的一个通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．用递推公式表示为a 1＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋)一、基础过关1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定答案 A2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.58答案 B3．数列{a n }中，a 1＝1，对全部的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 答案 C解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N ＋都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.则a 3，a 5分别等于________． 答案 6,20解析 由题意，令m ＝2，n ＝1则a 3＋a 1＝2a 2＋2，所以a 3＝6，令m ＝3，n ＝1则a 5＋a 1＝2a 3＋2×4， 所以a 5＝20.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n 等于____________．答案 12n ＋1－12n ＋2解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.7．依据下列各个数列{a n }的首项及其递推公式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式； (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，n ∈N ＋； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，n ∈N ＋.解 (1)由于a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，n ∈N ＋； 所以，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16， 归纳出它的通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)a 2＝2a 1a 1＋2＝23，a 3＝2a 2a 2＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝13，归纳出它的通项公式是a n ＝2n ＋1.二、力气提升8．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.125答案 C解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014＝________.答案 67解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 014除以3余1，所以a 2 014＝a 1＝67.10．依据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N ＋)； (2)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N ＋)．解 (1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(2)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n.11．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝(1)12111n -+++⋅⋅⋅+个＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 12．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1n a n，求{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n .∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝nn －1. 把上述等式相乘，得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×n n －1， 即a na 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n . 三、探究与拓展13．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求它的通项公式． 解 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0.∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝nn ＋1.∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n . ∴a n a 1＝1n .又a 1＝1，∴a n ＝1n.。

数列的递推公式选学一目标导航课标要求：理解数列递推公式的概念,并能由递推公式求出数列的前几项,进而求出数列的通项公式素养达成：通过由递推公式求通项公式的学习过程,体会函数思想的应用,而通过数列递推公式求数列的特定项体现了由特殊到一般的数学思想二知识探究1数列递推公式如果已知数列的 ,且从第二项或某一项开始的任一项a n与间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式2数列的通项公式与递推公式的联系与区别相同点不同点三课堂探究·素养提升类型一由递推公式求数列的项【例1】在数列{a n}中,a1=1,4a n1-a n a n12a n=9n∈N,写出它的前4项类型二求数列的递推关系【例2】设a>0,如图,已知直线:=a及曲线C:=2,C 上的点Q1的横坐标为a100,A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,……,A n 是线段A n-2A n-1的中点,……求：写出n与n-1、n-2之间的关系式n≥3;类型三叠加法求通项公式【例3】已知数列{a n},满足a1=1,a n=a n-1n≥2,求数列的通项公式变式训练3-1:在数列{a n}中,已知a1=2,a n1=a n n,求a n的表达式类型四叠乘法求通项公式【例4】设{a n}是首项为1且a n>0的数列,又n1 21na+-n2na a n1a n=0n=1,2,3…,求它的通项公式变式训练4-1:在数列{a n}中,已知a1=1,n1a n1=na n,求a n的表达式类型五周期数列问题【例5】 2021·山西朔州怀仁县八中高二期中在数列{a n}中,a1=-2,a n1=11nnaa+-,则a2 017等于A-2 B-13C-12D3变式训练5-1:2021·甘肃永昌第一高级中学期末若数列{a n}满足a1=2,1 (1) n n-a n1a n =a n -1,则a 2 017的值为 A-1 BC2 D312。

人教版高中必修5(B版)2.1.2数列的递推公式(选学)课程设计一、教学目标1.了解数列的递推公式的概念及其作用；2.掌握求解数列的递推公式的一般方法；3.能够应用数列的递推公式解决实际问题。

二、教学重点、难点1.教学重点：数列的递推公式的概念及其作用；2.教学难点：求解数列的递推公式的一般方法。

三、教学准备1.教材：人教版高中必修5(B版)；2.PPT；3.教师讲义；4.学生练习册。

四、教学过程第一步：导入1.教师出示三个数列：a1=1,a2=3,a3=5，b1=2,b2= 4,b3=6，c1=1,c2=2,c3=4；2.让学生尝试继续写出数列的后面几项；3.引导学生发现数列的规律，找出这些数列的递推公式。

第二步：讲解1. 数列的递推公式的概念及其作用1.数列的递推公式是指数列中每一项都是前面一项的某种函数值；2.数列的递推公式可以用来求解数列的后面的项。

2. 求解数列的递推公式的一般方法1.一次求差法：对数列进行一次求差，直到得到一个常数数列，进而得到数列的通项公式；2.二次求差法：对数列进行二次求差，直到得到一个常数数列，进而得到数列的通项公式；3.代数求解法：使用递推公式中的前几项，列方程组求解，得到递推公式。

第三步：例题讲解1.已知数列a n满足a1=1,a2=2,a n=2a n−1−a n−2+2(n>2)，求a3,a4,a5；2.已知数列b n满足b1=1,b2=2,b n=b n−1+2b n−2,n>2，求b5；3.已知数列c n满足c1=k,c2=2k,c3=3k，且对于n>3，有c n=c n−2−c n−3，求c4,c5,c6。

第四步：练习1.自己设计一个递推公式，求解该数列的第n项；2.将一个给定的数列进行多种递推公式的推导，并验证其正确性。

第五步：小结1.数列的递推公式是数列中每一项都是前面一项的某种函数的表达式；2.根据不同的数列，可以采用不同的方法求解其递推公式；3.数列的递推公式可以用来求解数列的后续项。

2.1.2 数列的递推公式(选学)课时目标1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同.2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项．1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，且从数列{a n }的第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的______公式． 2．一般地，一个数列{a n }，如果从______起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从______起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项________，那么这个数列叫做常数列．一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥23．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12C.34D.584．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31155．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n6．已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18 二、填空题7．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4＝________.8．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N ＋)，则使a n >100的n 的最小值是________．9．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2010年底全县的绿化率已达30%.从2011年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．设全县面积为1,2010年底绿化面积为a 1＝310，经过n 年绿化总面积为a n ＋1.则a n ＋1用a n 表示为________．10．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，则数列{a n }的通项公式是________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.12．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系．能力提升13．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n n ＋1，n ∈N ＋，则通项公式a n ＝________.14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．1数列的递推公式是给出数列的另一种重要形式，一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项． 2．由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一．①叠加法：当a n －a n －1＝f (n －1)满足一定条件时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)．②叠乘法：当a n a n －1＝f (n －1)满足一定条件时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)．2．1.2 数列的递推公式(选学)答案知识梳理1．递推 2.第2项 a n ＋1>a n 第2项 a n ＋1<a n 都相等作业设计1．A 2.B 3.B4．C [a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.]5．A [∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ．] 6．B [a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1，a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ，a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a＋1＝a ， a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，…….∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ， ∴{a n }为周期数列，周期为3. ∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .] 7．－148．129．a n ＋1＝45a n ＋425解析 由已知可得a n 确定后，a n ＋1表示如下：a n ＋1＝a n ·(1－4%)＋(1－a n )·16%， 即a n ＋1＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425.10．a n ＝1n ＋1解析 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)＝2＋1＋1＋…＋1n －1个1＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 11．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2，∴a 2 010＝2.12．解 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧A n ＋B n ＝1 000，A n ＝0.8A n －1＋0.3B n －1，B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1.由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1.所以A n ＝0.8A n －1＋0.3×(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300. 同理，B n ＝0.2×(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200. 13．－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1nn ＋1， ∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3； a 4－a 3＝13×4； … …a n －a n －1＝1n －1n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n.∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n.14．a n ＝1n解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0， ∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. 方法一a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n， ∴a n a 1＝1n.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n.方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1， ∴na n ＝1，a n ＝1n.。

2.1.2 数列的递推公式(选学)1.理解递推公式的含义.(重点)2.掌握递推公式的应用.(难点)3.会求数列中的最大(小)项.(易错点)[基础·初探]教材整理 数列的递推公式阅读教材P 29～P 30，完成下列问题.1.数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.2.数列递推公式与通项公式的关系 递推公式通项公式 区别表示a n 与它的前一项a n －1(或前几项)之间的关系 表示a n 与n 之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式1.下列说法中正确的有________.(填序号)①根据通项公式可以求出数列的任意一项；②有些数列可能不存在最大项；③递推公式是表示数列的一种方法；④所有的数列都有递推公式.【解析】 ①正确.只需将项数n 代入即可求得任意项.②正确.对于无穷递增数列，是不存在最大项的.③正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法.④错误.不是所有的数列都有递推公式.例如 2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，…就没有递推公式.【答案】 ①②③2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5＝________.【解析】 因为a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，所以a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，所以a 5＝2a 4＋1＝31.【答案】 313.已知非零数列{a n }的递推公式为a 1＝1，a n ＝n n －1·a n －1(n >1)，则a 4＝________.【解析】 依次对递推公式中的n 赋值，当n ＝2时，a 2＝2；当n ＝3时，a 3＝32a 2＝3；当n ＝4时，a 4＝43a 3＝4.【答案】 44.已知数列{a n }中，a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n，则a 5＝______________. 【解析】 因为a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n ， 所以a 2＝1－1a 1＝1＋2＝3， a 3＝1－13＝23，a 4＝1－32＝－12，a 5＝1＋2＝3.【答案】 3[小组合作型] 由递推关系写数列的项(1)已知数列{a n }满足关系a n a n ＋1＝1－a n ＋1(n ∈N ＋)且a 2 016＝2，则a 2 015等于( )。