高中数学章末检测试卷三(第八章)

章末检测试卷 (三)( 时间： 120 分钟 满分： 150 分 )一、选择题 (本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分)1．以下函数不存在零点的是 ()A ． y ＝ x － 1B ． y ＝ 2x 2－ x －1xC ．y ＝x ＋1， x ≤ 0， x ＋ 1，x ≥ 0，x －1， x>0D ． y ＝x － 1，x<0考点 函数零点的观点题点 判断函数有无零点答案 D分析分别令 y ＝ 0， A ， B ， C 均有解；对于 D x ≥ 0， x<0，或 无解．x ＋1＝ 0x － 1＝0，2．函数 y ＝ (x － 1)(x 2－2x － 3)的零点为 ( )A ． 1,2,3B ． 1，－ 1,3C ．1，－ 1，－ 3D ．无零点考点 函数零点的观点题点 求函数的零点答案B分析令 y ＝ 0，即 (x － 1)(x 2 －2x － 3)＝ 0，解得 x 1＝ 1， x 2＝－ 1， x 3＝ 3.应选 B.3．设方程 |x 2－ 3|＝ a 的解的个数为 m ，则 m 不行能等于 ()A ．1B ． 2C ．3D ．4考点 函数的零点与方程根的关系题点 判断函数零点的个数答案A分析在同一平面直角坐标系中分别画出函数y 1＝ |x 2－ 3|和 y 2＝ a 的图象，以下图．可知方程解的个数为0,2,3 或 4，不行能有 1 个解．14．已知函数 f(x)＝ 2x ＋4x － 5，则 f(x)的零点所在的区间为 ()A ． (0,1)B ． (1,2)C ．(2,3)D ． (3,4)考点 函数零点存在性定理题点 判断函数零点所在的区间答案 C分析1 13－ 5＞ 0， f(4) ＝ 24 f(0)＝ 20－ 5＜ 0， f(1) ＝ 21＋ － 5＜0， f(2) ＝ 22＋ － 5＜ 0， f(3) ＝ 23＋424＋ 1－ 5＞ 0，则有 f(2) f(3)· ＜ 0.应选 C.2x＋ 3 在区间1，1 上有零点，则实数a 的取值范围是 ()5．若函数 f(x)＝alog x ＋a ·4 2A ． a ＜－ 3B ．－ 3＜ a ＜－3243C ．－ 3＜ a ＜－ 4D ．－ 3＜ a ＜－12 2考点 函数零点存在性定理题点 函数零点相关的参数取值范围答案C分析∵ 函数 y ＝ log 2 x2 xx ， y ＝4在其定义域上单一递加，∴ 函数 f(x)＝ alog x ＋ a ·4在区间＋ 3112， 1 上单一且连续，∴由零点存在性定理可得 f 2·f(1) ＜ 0，即 (－ a＋2a＋ 3)(4a＋ 3)＜ 0，3解得－ 3＜ a＜－4.6．某公司 2017 年 12 月份的产值是这年 1 月份产值的P 倍，则该公司2017 年度产值的月平均增添率为 ()P11A.P－1 B.P－ 111P－ 1C.PD.11考点成立函数模型解决实质问题题点对数函数模型的应用答案B分析设 1 月份产值为 a，增添率为11P－ 1. x，则 aP＝ a(1＋ x)11，∴ x＝7．已知在 x 克 a%的盐水中，加入y 克 b%(a≠ b)的盐水，浓度变成c%，将 y 表示成 x 的函数关系式为 ()c－ a c－ aA ． y＝x B． y＝xc－ b b－ cc－ b b－ cC．y＝c－a x D． y＝c－a x答案 Bc－ a 依据配制前后溶质不变，有等式a%x＋b%y＝c%(x＋y)，即ax＋by＝cx＋cy，故y＝x.b －c8．今有一组数据，以下表所示：x12345y35 6.999.0111以下函数模型中，最靠近地表示这组数据知足的规律的是()A ．指数函数B．反比率函数C．一次函数D．二次函数考点函数拟合问题题点函数拟合问题答案C分析由表中数据知，跟着自变量 x 每增添 1，函数值 y 约增添 2，因此一次函数最靠近地表示这组数据知足的规律．9．有浓度为 90%的溶液 100 g，从中倒出 10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于 10% ，这类操作起码应进行的次数为(参照数据： lg 2＝ 0.301 0， lg 3 ＝ 0.477 1)() A．19 B．20 C．21 D．22考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案C分析操作次数为 n 时的浓度为9n＋1，109n ＋1<10% ，得 n＋ 1>－ 1－1≈ 21.8，由109 ＝2lg 3 －1lg10∴n≥ 21.2x－ 3，则函数 f(x)的零点所在的区间为 () 10． (2018 舟·山中学考试 )设函数 f(x)＝ log x＋ 2A ． (0,1)B． (1,2)C．(2,3)D． (3,4)考点题点答案B二、填空题 (本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 )11．函数 y＝ x2与函数 y＝ xln x 在区间 (1，＋∞ )上增添较快的一个是________．考点三种函数模型增添的差别题点三种函数模型增添速度的差别答案y＝ x2分析y＝ x2＝ x·x， y＝x· lnx，此中 y＝x 比 y＝ ln x 在 (1，＋∞ )上增添较快，也可取特别值验证．ln x， x≥ 1，12．已知函数f( x)＝e f |x|＋ 1 ，x＜1(e 为自然对数的底数)，则 f(e)＝ ________，函数 y＝ f(f(x))－1 的零点有 ________个． (用数字作答 )答案13分析f(e)＝ ln e＝ 1；函数 y＝ f(f(x))－ 1 的零点个数为方程f( f(x)) ＝ 1 的根的个数，则①由 ln x＝ 1(x≥ 1)，得 x＝e，于是 f(x)＝e，则由 ln x＝e(x≥1) ，得 x＝ e e；或由 e f (|x|＋1)＝ e(x＜ 1)，得 f(|x|＋ 1)＝ 1，因此 ln(| x|＋ 1)＝ 1，解得 x＝ e－ 1(舍去 )或 x＝ 1－ e；②由 e f(| x|＋1)＝ 1(x＜ 1)，得 f(|x|＋ 1)＝ 0，因此 ln(|x|＋ 1)＝ 0，解得 x＝ 0，因此 f(x)＝ 0，只有 ln x＝ 0(x≥ 1)，解得 x＝ 1.综上可知，函数 y＝ f( f(x)) － 1 共有 3 个零点．13．(2018 宁·波市期末 )f(x)是定义在 R 上的偶函数，当x≥ 0， f(x)＝ 2x，且对于 x 的方程 [f(x)] 2－ 4f(x)＋ a＝ 0 在 R 上有三个不一样的实数根，则f(－ 1)＝ ________， a＝ ________.考点题点答案 2 3分析由偶函数的性质可得： f( －1)＝ f(1) ＝ 21＝2，对于 x 的方程 [f(x)] 2－ 4f(x)＋ a＝ 0 在 R 上有三个不一样的实数根，方程的根为奇数个，联合f(x)为偶函数可知x＝ 0 为方程的一个实数根，而f(0)＝ 20＝ 1，则 12－ 4× 1＋ a＝ 0，∴ a＝ 3. 14．若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(－∞， 0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0 的 x 的取值范围是________．考点函数零点的观点题点求函数的零点答案(－ 2,2)15．已知函数 f(x)＝ a|log2x|＋ 1(a≠ 0)，定义函数 F(x)＝f x ， x＞ 0，给出以下四种说法：f － x ， x＜ 0.①F(x)＝ |f(x)|；②函数 F(x)是偶函数；③当 a＜ 0 时，若 0＜ m＜ n＜1，则有 F(m)－ F(n)＜ 0 成立；④当a＞ 0 时，函数y＝ F(x)－ 2 有 4 个零点．此中正确说法的序号是________．考点函数零点的综合应用题点函数零点的综合应用答案②③④分析①易知 F(x) ＝ f(|x|)，故 F(x)＝ |f(x)|不正确；②∵ F(x)＝ f(|x|)，∴ F(－ x)＝ F(x)，∴函数F(x)是偶函数；③当 a＜ 0 时，若 0＜ m＜ n＜1，则 F(m)－F(n) ＝－ alog m＋ 1－ (－ alog n＋ 1)22＝ a(log 2n－ log2m)＜ 0；④ 当 a＞ 0 时， F(x)＝ 2 可化为 f(|x|)＝ 2，即 a|log2|x||＋ 1＝ 2，即 |log2 |x||1 11＝ ，故 |x|＝ 2a或 |x|＝ 2 a，故函数 y ＝ F( x)－2 有 4 个零点，故 ②③④ 正确． a16．(2018 金·华十校考试 )已知函数 y ＝ f(x)是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函数， 当 x ∈ 0，32时， f(x)＝ lg( x 2－ x ＋ 1)，则 x ∈ － 3， 0 时， f(x) ＝ ________，函数 f(x)在区间 [0,3] 上的零点个2 数为 ________． 考点 题点答案－ lg( x 2＋ x ＋ 1) 533 分析(1) 当 x ∈ － 2， 0 时，－ x ∈ 0， 2，∴ f(－ x)＝ lg( x 2＋ x ＋1)，又函数 y ＝ f(x)是奇函数，∴ f(x) ＝－ f(－ x)＝－ lg( x 2＋ x ＋ 1)．3故当 x ∈ － 2， 0 时， f(x) ＝－ lg( x 2＋ x ＋1)．3(2)当 x ∈ 0，2 时，令 f(x)＝ lg( x 2－ x ＋ 1)＝ 0，得 x 2－x ＋ 1＝ 1，即 x 2－ x ＝ 0， 解得 x ＝ 1，即 f(1)＝ 0，又函数为奇函数，故可得f(－ 1)＝ f(1) ＝ 0，且 f(0)＝ 0.∵ 函数 y ＝ f(x)是以 3 为周期的函数，∴ f(2) ＝ f(2－ 3)＝f(－ 1)＝ 0，f(3)＝ f(0) ＝0.3 3 3 3 又 f2 ＝ f 2－3 ＝ f － 2 ＝－ f2 ，3∴ f 2 ＝ 0.3综上可得函数 f(x)在区间 [0,3] 上的零点为 0,1， 2， 2,3，共 5 个．2x － a ， x ＜ 1，17．设函数 f(x) ＝4 x － a x － 2a ， x ≥1.(1)若 a ＝ 1，则 f(x)的最小值为 ________； (2)若 f( x)恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ___________________________ ．答案(1) －1 (2)1， 1 ∪[2 ，＋∞ )22x－ 1， x<1，分析(1) 若 a＝ 1，则 f(x)＝4 x－ 1 x－ 2 ， x≥ 1.作出函数f( x)的图象以下图．由图可得f( x)的最小值为－ 1.(2)当 a≥ 1 时，要使函数f(x)恰有 2 个零点，需知足 21－ a≤ 0，即 a≥ 2，因此 a≥2；当 a＜1 时，要使函数f(x)恰有 2 个零点，a＜ 1≤ 2a，需知足21－ a＞ 0，解得1≤ a＜ 1. 2综上，实数 a 的取值范围为1， 1 ∪[2，＋∞ )．2三、解答题 (本大题共 5 小题，共74 分)x1118． (14 分 ) 已知函数 f(x)＝ x3－ x2＋2＋4.证明：存在 x0∈ 0，2，使 f( x0)＝ x0.考点函数零点存在性定理题点判断函数在区间上能否有零点令 g(x)＝ f( x)－ x＝x3－ x2－11证明2x＋4.1111∵g(0)＝，g ＝－，∴ g(0) g· <0.42821又函数 g(x) 在 0，2上连续，1∴存在 x0∈ 0，2，使 g(x0 )＝0，即 f(x0)＝ x0.19．(15 分 )某公司拟订了一个激励销售人员的奖赏方案：当销售收益不超出 15 万元时，按销售收益的 10%进行奖赏；当销售收益超出15 万元时，若超出部分为 A 万元，则高出部分按2log 5(A＋ 1)进行奖赏，没高出部分仍按销售收益的10% 进行奖赏．记奖金总数为y(单位：万元 )，销售收益为 x( 单位：万元 )．(1)写出该公司激励销售人员的奖赏方案的函数表达式；(2)假如业务员老张获取 5.5 万元的奖金，那么他的销售收益是多少万元？考点函数模型的应用题点分段函数模型的应用0.1x， 0<x≤15，解(1) 由题意，得y＝1.5＋ 2log 5 x－ 14 ， x>15.(2)∵当 x∈ (0,15] 时， 0.1x≤ 1.5，又 y＝5.5>1.5 ，∴ x>15 ，∴1.5＋ 2log 5(x－14)＝ 5.5，解得 x＝ 39.答老张的销售收益是 39 万元．20． (15 分 ) 已知函数 f(x)＝ mx2－3x＋ 1 的零点起码有一个大于0，务实数 m 的取值范围．考点函数的零点与方程根的关系题点一元二次方程根的散布综合问题1解(1) 当 m＝ 0 时，由 f(x)＝0，得 x＝3，切合题意，(2)当 m≠ 0 时，9①由＝9－4m＝0，得m＝4，2令 f(x)＝0，解得 x＝3，切合题意；9②＞0，即9－4m＞0时，m＜4.设 f(x)＝0 的两根为 x1， x2且 x1＜ x2，93若 0＜m＜4，则 x1＋ x2＝m＞ 0，1x1·x2＝m＞ 0，即 x 1＞ 0，x 2＞0，切合题意，3若 m ＜ 0，则 x 1＋ x 2＝ m ＜ 0，1x 1·x 2＝ m ＜ 0，即 x 1＜ 0，x 2＞0，切合题意，99综上可知 m ≤ 4，即 m 的取值范围为 － ∞ ，4 .21． (15 分 )用模型 f(x)＝ ax ＋ b 来描绘某公司每季度的收益 f(x)亿元和生产成本投入 x 亿元的关系．统计表示，当每季度投入1 亿元时，收益 y 1亿元时，收益＝ 1 亿元，当每季度投入 2 y 2＝ 2 亿元，当每季度投入 3 亿元时，收益 y 3 ＝2 亿元．又定义：当 f(x)使 [f(1)－ y 1 2＋ [f(2)－] y 2] 2＋ [f(3) － y 2 的数值最小时为最正确模型．3]2时，求相应的a ，使 f(x)＝ ax ＋b 成为最正确模型；(1)当 b ＝ 3(2)依据题 (1)获取的最正确模型，请展望每季度投入4 亿元时收益 y 亿元的值．4考点函数模型的综合应用题点函数模型的综合应用解 (1) 当 b ＝2时， [f(1)－ y 1]2＋ [f(2) － y 2]2＋ [f(3)－y 3] 2＝ 14 a － 1 2＋ 1， 326112因此当 a ＝ 2时， f(x)＝ 2x ＋3为最正确模型．x 28(2)f(x)＝2＋3，则 y ＝ f(4) ＝ 3.4a 2－ab ，a ≤b ，22． (15 分)对于实数 a 和 b ，定义运算“ *”： a*b ＝设 f(x)＝(2x － 1)*(x －1)，b 2－ab ，a ＞b ，且对于 x 的方程为 f(x)＝m(m ∈ R)，恰有三个互不相等的实数根 x 1，x 2，x 3，求 x 1x 2x 3 的取值范围．考点 函数零点的综合应用 题点 函数零点的个数问题解当 x ≤ 0，即 2x －1≤ x － 1 时，则 f(x)＝ (2x － 1)*( x － 1)＝ (2x －1) 2－ (2x －1)(x －1) ＝2x 2－ x ，当 x ＞ 0，即 2x － 1＞x － 1 时，则 f(x)＝ (2x － 1)*( x － 1)＝ (x － 1)2－ (2x － 1)(x － 1)＝－ x 2＋ x ，画出大概图象如图，可知当m ∈ 0， 1时， f(x)＝ m 恰有三个互不相等的实数根x 1， x 2， x 3，其4 2， x 3 是方程－ x 21 是方程 2x 2的一个根，则 2x 3＝ m ， x 1＝中 x ＋ x － m ＝ 0 的根， x － x － m ＝ 0 x1－ 1＋ 8m1x2 x3＝－ m 1＋ 8m－ 1，明显，该式随m 的增大而减小，4，因此 x4 1－3因此161 2 3<x x x <0.由以上可知 x1x2x3的取值范围为1－ 3 16， 0.。

第八章综合测试A 卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.22cos 75cos 15cos 75cos 15︒+︒+︒︒的值是（ ） A .54B .62C .32D.213+2.已知锐角α满足3cos65π=，则sin 3π=（ ） A.1225 B.1225± C.2425D.2425±3.已知OA =（2，8），OB =（7-，2），则13AB =（ ）A.（3，2）B.103C.32--（，）D.544.已知平面向量a =（2，1-），b =（1，3），那么a b +等于（ ）A.5D.135.设向量a ，b 均为单位向量，且1a b +=，则a 与b 的夹角为（ ） A.3πB.2π C.23π D.34π 6.若1a b ==，a b ⊥，且()()234a b ka b +⊥-，则k =（ ） A.6-B.6C.3D.3-7.2sin cos sin y x x x =+可化为（ ）A.1242y x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ B.1242y x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦C.1sin 242y x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦D.32sin 214y x π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦8.若平面向量()12a =-，与b 的夹角是180︒，且3b =，则b 的坐标为（ ） A.（3，6-）B.（3-，6）C.（6，3-）D.（6-，3）9.若α为锐角，3sin tan ααβ==，则tan 2β等于（ ） A.34B.43C.34-D.43-10.在ABC △中，若()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC △的形状一定是（ ） A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）11.设向量a =（1，0），11,22b =⎛⎫⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ）A.a b ＞B.1·2a b =C.a b -与b 垂直D.a b ∥12.的是（ ） A.2sin15cos15︒︒ B.22cos 15sin 15︒︒- C.212sin 15-︒D.22sin 15cos 15︒︒+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13.若向量a =（1，2），b =（1，1-），则2a b +与a b -的夹角等于________。

第八章 立体几何初步 章末测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·上海市控江中学高二期中)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O 、2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为( )A ．8πB ．C ．12πD ．2．(2021·天津市南开区南大奥宇培训学校 )a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( )A ．若a α⊥，b β⊥，a b ⊥，则αβ⊥B ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bC ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβD ．若//a α，αβ⊥，则a β⊥3．(2021·广东顺德·一模)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF 则三棱锥A BEF -的体积为( )A ．112 B ．14 C D ．不确定4．(2021·湖北·大冶市第一中学 )在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60︒，则EG 的长为( )A ．aB ．2aC ．aD ．2a5．(2021·湖北·武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)高二月考)在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 侧棱AB ，BC ，CA 的中点，下列说法不正确的( )A ．//BC 面PDFB ．面PDE ⊥面ABC C ．面PDF ⊥面PAED ．DF ⊥面PAE6．(2021·贵州·贵阳一中 )如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上，且12BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为( )A ．319aB ．332aC ．313aD ．与点M 的位置有关7．(2021·浙江宁波 )如图一，矩形ABCD 中，2BC AB =，AM BD ⊥交对角线BD 于点O ，交BC 于点M ．现将ABD △沿BD 翻折至A BD '的位置，如图二，点N 为棱A D '的中点，则下列判断一定成立的是( )A ．BD CN ⊥B ．AO '⊥平面BCDC ．//CN 平面A OM 'D ．平面A OM '⊥平面BCD8．(2021·四川省峨眉第二中学校 )在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于( )A ．2aB ．4aC ．aD ．无法确定二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·全国 )已知直线l ､m ，平面,,l m αβαβ⊂⊂、，则下列说法中正确的是( )A ．若//l m ，则必有//αβB ．若l m ⊥，则必有αβ⊥C ．若l β⊥，则必有αβ⊥D ．若//αβ，则必有l β//10．(2021·福建·永安市第三中学高中校 )如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，3DAB π∠=，22AB AD PD ==，PD ⊥底面ABCD ，则( )A ．PA BD ⊥B ．BC ⊥平面PBD ．C ．异面直线AB 与PCD ．PB 与平面ABCD 所成角为π3 11．(2021·全国·模拟预测)如图，点A ，B ，C ，M ，N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足//MN平面ABC 的有( )A ．B ．C ．D ．12．(2021·江苏省苏州第十中学校 )矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，将此矩形沿着对角线BD 折成一个三棱锥C BDA -，则以下说法正确的有( )A ．三棱锥C BDA -B ．当二面角C BD A --为直二面角时，三棱锥C BDA -C ．当二面角C BD A --为直二面角时，三棱锥C BDA -的外接球的表面积为5πD ．当二面角C BD A --不是直二面角时，三棱锥C BDA -的外接球的表面积小于5π三、填空题(每题5分，共20分)13．(2021·上海·华东师范大学第三附属中学)如图，OABC 是边长为1的正方形，AC 是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴OC 旋转一周得到的旋转体的表面积为________________.14．(2021·上海外国语大学闵行外国语中学 )如图已知A 是BCD △所在平面外一点，AD BC =，E ､F 分别是AB CD 、的中点，若异面直线AD 与BC 所成角的大小为3π，则AD 与EF 所成角的大小为___________.15．(2021·河南 )2021年7月，某学校的学生到农村参加劳动实践，一部分学生学习编斗笠，一种用竹篾或苇蒿等材料制作外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”(如图)，一部分学生学习制作泥塑几何体，现有一个棱长为6的正方体形状泥块，其各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M ，N ，将正方体削成正八面体形状泥块G EMHF N --，若用正视图为正三角形的一个“灯罩斗笠”罩住该正八面体形状泥块G EMHF N --，使得正八面体形状泥块G EMHF N --可以在“灯罩斗笠”中任意转动，则该有底的“灯罩斗笠”的表面积的最小值为___________.16．(2021·湖南·临澧县第一中学 )在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，二面角S BC A --为120︒，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为______________.四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·上海市甘泉外国语中学)已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1.(1)求证：1//AD 平面C 1BD ；(2)求证：1AD ⊥平面A 1D C .18．(2021·上海市控江中学 )如图，AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，AD 与CE 不相等，1AC AD AB ===，BC =B ACED -的体积为12，F 为BC 的中点.(1)求CE的长度；AF平面BDE；(2)求证：//(3)求证：平面BDE 平面BCE.19．(2021·广东·普宁市华侨中学 )如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由．20．(2021·广东· )如图所示的几何体由三棱锥P ADQ -和正四棱锥P ABCD -拼接而成，PQ ⊥平面ADQ ，//AB PQ ，1PQ =，2AB =，AQ =O 为四边形ABCD 对角线的交点．(1)求证：//OP 平面ADQ ；(2)求二面角O AP D --的正弦值．21．(2021·上海市洋泾中学 )如左图所示，在直角梯形ABCD 中，//BC AD ，AD CD ⊥，2BC =，3AD =，CD =AD 上一点E 满足1DE =.现将ABE △沿BE 折起到1A BE 的位置，使平面1A BE ⊥平面BCDE ，如右图所示.(1)求证：1A C BE ⊥；(2)求异面直线1A C 与BE 的距离；(3)求平面1A BE 与平面1A CD 所成锐二面角的余弦值.22．(2021·天津市武清区杨村第一中学 )如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱11BB =，23ABC π∠=，且M ，N 分别为1BB ，AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11AB C ；(2)若2BA BC ==，求二面角11A B C B --的大小．。

章末质量检测(三) 成对数据的统计分析一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( )A ．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B ．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C ．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的D ．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度，就意味着这个结论一定是正确的2．若经验回归方程为y ^＝2－3.5x ，则变量x 增加一个单位，变量y 平均( )A ．减少3.5个单位B ．增加2个单位C ．增加3.5个单位D ．减少2个单位3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得χ2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”4．某考察团对全国十大城市的职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)进行统计调查，发现y 与x 具有线性相关关系，经验回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．86%B ．72%C ．67%D ．83%5．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出x (万元)与公司所获得利润y (万元)的统计资料如下表：则利润yA ．y ^＝2x ＋20B ．y ^＝2x －20C ．y ^＝20x ＋2D ．y ^＝20x －2 6．独立检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系，则在H 0成立的情况下，P (K 2≥6.635)＝0.010表示的意义是( )A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%C ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%D ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%7．根据某班学生数学、外语成绩得到的2×2列联表如下：那么随机变量χ2约等于A ．10.3B ．8 C ．4.25D ．9.3 8．春节期间，“履行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：χ2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．A ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．独立性检验中，为了调查变量X 与变量Y 的关系，经过计算得到χ2≥6.635＝x 0.01表示的意义是( )A ．有99%的把握认为变量X 与变量Y 没有关系B ．有1%的把握认为变量X 与变量Y 有关系C ．有99%的把握认为变量X 与变量Y 有关系D ．有1%的把握认为变量X 与变量Y 没有关系10．在统计中，由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )利用最小二乘法得到两个变量的经验回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么下面说法正确的是( )A ．经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点B ．经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x －，y －)C ．经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线 D ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大；|r |越接近于0，相关程度越小11．已知由样本数据点集合{(x i ，y i )|i ＝1，2，…，n }，求得的经验回归方程为y ^＝1.5x ＋0.5，且x －＝3，现发现两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.2，则( )A ．变量x 与y 具有正相关关系B ．去除后的经验回归方程为y ^＝1.2x ＋1.4 C ．去除后y 的估计值增加速度变快D ．去除后相应于样本点(2，3.75)的残差为0.0512．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有( )人附表：附：χ2＝n （ad －（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）A ．25B ．45C ．60D ．75三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表那么A ＝________，B ，E ＝________．14．已知样本数为11，计算得∑i ＝111x i ＝66，∑i ＝111y i ＝132，经验回归方程为y ^＝0.3x ＋a ^，则a ^＝________．15．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．16.在犯错误的概率不超过四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在改革开放40年成就展上有某地区某农产品近几年的产量统计如表：(1)根据表中数据，建立y 关于x 的经验回归方程y ＝b x ＋a ； (2)根据经验回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝i ＝1n （x i －x －）（y i －y －）i ＝1n （x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －，(参考数据：i ＝16(x i －x －)(y i －y －)＝2.8，计算结果保留到小数点后两位)18．(本小题满分12分)在海南省第二十四届科技创新大赛活动中，某同学为研究“网络游戏对当代青少年的影响”作了一次调查，共调查了50名同学，其中男生26人，有8人不喜欢玩电脑游戏，而调查的女生中有9人喜欢玩电脑游戏．(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表； (2)根据以上数据，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，能否认为“喜欢玩电脑游戏与性别有关系”？19．(本小题满分12分)某校团对“学生性别与是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？20．(本小题满分12分)某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有“难度系数”和“区分度”两个指标中，难度系数＝年级总平均分满分，区分度＝实验班的平均分－普通班的平均分满分.(1)某次数学考试(满分为150分)，随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人的成绩分别为147，142，137；普通班三人的成绩分别为97，102，113.通过样本估计本次考试的区分度(精确到0.01).(2)如下表表格是该校高三年级6次数学考试的统计数据：明，能否利用经验回归模型描述y 与x 的关系(精确到0.01).②t i ＝|x i －0.74|(i ＝1，2，…，6)，求出y 关于t 的经验回归方程，并预测x ＝0.75时y 的值(精确到0.01).附注：参考数据：∑i ＝16x i y i ＝0.9309，i ＝16（x i －x －）2i ＝16（y i －y －）2≈0.0112，∑i ＝16t i y i ＝0.0483，i ＝16(t i －i －)2＝0.0073参考公式：相关系数r ＝i ＝1n （x i －x －）（y i －y －）i ＝1n （x i －x －）2i ＝1n （y i －y －）2，经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝i ＝1n （x i －x －）（y i －y －）i ＝1n （x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －.21．(本小题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．25周岁以上(含25周岁)组25周岁以下组(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不小于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件画出2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？(注：χ2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)22．(本小题满分12分)某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A 考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：∑i ＝142x i ＝4641，∑i ＝142y i ＝3108，∑i ＝142x i y i ＝350350，i ＝142(x i －x －)2＝13814.5，i ＝142(y i －y －)2＝5250，其中x i ，y i 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i ＝1，2，…，42，y 与x 的相关系数r ＝0.82.(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为r 0.试判断r 0与r 的大小关系，并说明理由；(2)求y 关于x 的经验回归方程(系数精确到0.01)，并估计如果B 考生加了这次物理考试(已知B 考生的数学成绩为125分)，物理成绩是多少？(精确到个位)；(3)从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布N(μ，σ2).以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数y －作为μ的估计值，用样本方差s 2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间(62.8，85.2)的人数Z 的数学期望．附：①经验回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中：b ^＝i ＝1n （x i －x －）（y i －y －）i ＝1n （x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －.②若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.③125≈11.2.章末质量检测(三)1．解析：相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用，独立性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义．故选C .答案：C2．解析：由经验回归方程可知b ^ ＝－3.5，则变量x 增加一个单位，y ^减少3.5个单位，即变量y 平均减少3.5个单位．故选A .答案：A3．解析：∵χ2≈7.8>6.635＝x 0.01，∴犯错误的概率不超过α＝0.01.故选A . 答案：A4．解析：将y ^＝7.675，代入经验回归方程可计算，得x ≈9.26，所以该城市大约消费额占人均工资收入的百分比为7.675÷9.26≈0.83，故选D .答案：D5．解析：设经验回归方程为y ^ ＝b ^ x ＋a ^. 由表中数据得，b ^ ＝1 000－6×5×30200－6×52 ＝2，∴a ^ ＝y － －b ^ x －＝30－2×5＝20， ∴经验回归方程为y ^＝2x ＋20.故选A . 答案：A6．解析：由题意知变量X 与Y 没有关系的概率为0.01，即认为变量X 与Y 有关系的概率为99%.故选D .答案：D7．解析：由公式得χ2＝85×（34×19－17×15）251×34×49×36≈4.25.故选C .答案：C8．解析：由2×2列联表得到a ＝45，b ＝10，c ＝30，d ＝15，则a ＋b ＝55，c ＋d ＝45，a ＋c ＝75，b ＋d ＝25，ad ＝675，bc ＝300，n ＝100，代入公式得χ2＝100×（675－300）255×45×75×25≈3.030<3.841.∵2.706<3.030<3.841，∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”． 答案：C9．解析：独立性检验中，由χ2≥6.635＝x 0.01，它表示的意义是：有1%的把握认为变量X 与变量Y 没有关系，D 正确；即有99%的把握认为变量X 与变量Y 有关系，C 正确．故选CD .答案：CD10．解析：经验回归直线是最能体现这组数据的变化趋势的直线，不一定经过样本数据中的点，故A 不正确，C 正确；经验回归直线一定经过样本中心点，故B 正确；相关系数r满足|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小，故D 正确．故选BCD .答案：BCD11．解析：x － ＝3，代入y ^ ＝1.5x ＋0.5，y －＝5，因为重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.2，故正相关，设新的数据所以横坐标的平均值x － ，则(n －2)x － ＝n x －－(1.2＋4.8)＝3n －6＝3(n －2)，故x － ＝3，纵坐标的平均数为y － ，则(n －2)y － ＝n y － －(2.2＋7.8)＝n y －－10＝5n －10＝5(n －2)，y －＝5，设新的经验回归方程为y ^ ＝1.2x ＋b ^ ，把(3，5)代入5＝1.2×3＋b ^ ，b ^＝1.4， 故新的经验回归方程为y ^＝1.2x ＋1.4，故A ，B 正确，因为斜率为1.2不变，所以y 的增长速度不变，C 错误，把x ＝2代入，y ＝3.8，3.75－3.8＝－0.05，故D 错误，故选AB .答案：AB12．解析：设男生可能有x 人，依题意可得列联表如下：若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则χ2>3.841， 由χ2＝2x21>3.841，解得x>40.335，由题意知x>0，且x 是5的整数倍，所以45，60和75都满足题意．故选BCD . 答案：BCD13．解析：∵45＋E ＝98，∴E ＝53， ∵E ＋35＝C ，∴C ＝88， ∵98＋D ＝180，∴D ＝82，∵A ＋35＝D ，∴A ＝47， ∵45＋A ＝B ，∴B ＝92. 答案：47 92 88 82 53 14．解析：∵∑i ＝111x i ＝66，∑i ＝111y i ＝132，∴x －＝6，y －＝12，代入y ^＝0.3x ＋a ^， 可得：a ^＝10.2. 答案：10.215．解析：由题意可知x －＝14(18＋13＋10－1)＝10，y －＝14(24＋34＋38＋64)＝40，b ^＝－2.又经验回归直线y ^＝－2x ＋a ^过点(10，40)，故a ^＝60. 所以当x ＝－4时，y ^＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：6816．解析：由列联表中的数据，得χ2＝89×（24×26－31×8）255×34×32×57≈3.689>2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系． 答案：0.1017．解析：(1)由题意可知：x －＝3.5，y －＝7，∑i ＝16 (x i －x －)2＝17.5，所以b ^＝0.16，又a ^＝6.44，故y 关于x 的经验回归方程为y ^＝0.16x ＋6.44. (2)由(1)可得，当年份为2020年时， 年份代码x ＝7，此时y ^＝0.16×7＋6.44＝7.56.所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨． 18．解析：(1)2×2列联表(2)χ2＝50×（18×15－8×9）227×23×24×26≈5.06，又x 0.025＝5.024<5.06，故在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为“喜欢玩电脑游戏与性别有关系”．19．解析：设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2>3.841， 由χ2＝38x>3.841，解得x>10.24，∵x 2 ，x6 为整数，∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．20．解析：(1)实验班三人成绩的平均值为142，普通班三人成绩的平均值为104，故估计本次考试的区分度为142－104150 ≈0.25.(2)①由题中的表格可知x － ＝16(0.64＋0.71＋0.74＋0.76＋0.77＋0.82)＝0.74，y － ＝16(0.18＋0.23＋0.24＋0.24＋0.22＋0.15)＝0.21，故r ＝∑i ＝1n（x i －x －）（y i －y －）∑i ＝1n （x i －x －）2∑i ＝1n （y i －y －）2≈－0.13.因为|r |<0.75，所以相关性弱，故不能利用经验回归模型描述y 与x 的关系； ②y 与t 的值如下表因为b ^＝∑i ＝16t i y i －6t －·y－∑i ＝16（t i －t －）2≈0.0483－6×0.266×0.210.007 3≈－0.86，所以a ^＝y －－b ^t －＝0.21＋0.86×0.266≈0.25，所以所求经验回归方程y ^＝0.86t ＋0.25， 当x ＝0.75时，此时t ＝0.01，则y ≈0.24.21．解析：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2).其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2).故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（15×25－15×45）260×40×30×70 ≈1.79.因为1.79<2.706.所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．22．解析：(1)r 0<r.理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系， ①异常点A ，B 会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其经验回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小． ③42个数据点与其经验回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大． ④42个数据点更贴近其经验回归直线． ⑤44个数据点与其经验回归直线更离散．(2)由题中数据可得：x －＝142∑i ＝142x i ＝110.5，y －＝142∑i ＝142y i ＝74，所以∑i ＝142 (x i －x －)(y i －y －)＝∑i ＝142x i y i －42x －y －＝350 350－42×110.5×74＝6 916.又因为∑i ＝142 (x i －x －)2＝138 14.5，所以b ^＝∑i ＝142（x i －x －）（y i －y －）∑i ＝142 （x i －x －）2＝0.501，a ^＝y －－b ^x －＝74－0.501×110.5≈18.64，所以y ^＝0.50x ＋18.64. 将x ＝125代入，得y ＝0.50×125＋18.64＝62.5＋18.64≈81， 所以估计B 同学的物理成绩均为81分．(3)y －＝142∑i ＝142y i ＝74，s 2＝142∑i ＝142 (y i －y －)2＝142×5 250＝125，所以ξ～N (74，125)，又因为125≈11.2，所以P (62.8<ξ<85.2)＝P (74－11.2<ξ<74＋11.2)＝0.682 6， 因为Z ～B (5 000，0.682 6)，所以E (Z )＝5 000×0.682 6＝3 413，即该地区本次考试物理成绩位于区间(62.8，85.2)的人数Z 的数学期望为3 413.。

第八章立体几何初步章末测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)''''的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的1．(2021·广东·铁一中学高一月考)如图，正方形O A B C直观图，则原图形的周长为( )A．4 B．6 C．8 D．2+2．(2021·福建·永泰县三中高一月考)下列命题正确的是( )A．棱柱的每个面都是平行四边形B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行D．棱柱的侧面都是矩形3．(2021·重庆市杨家坪中学高一月考)如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是( )A．2 B．1 C．高D．考4．(2021·全国·高一课时练习)已知两个平面相互垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．05．(2021·山西·大同市平城中学校高一月考)在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线1A D 与直线1B M 所成角大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．(2021·浙江·高一单元测试)已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A ．B ．C ．4πD ．()4π7．(2021·浙江省桐庐中学高一期末)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1B C 上一动点，则下列说法错误的是( )A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．异面直线1BC 与11A C 所成角为45︒C ．三棱锥11P A DC -的体积为定值D ．平面11AC D 与底面ABCD 的交线平行于11A C8．(2021·广东白云·高一期末)已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF ，将其沿直线FC 折叠成如图2的空间图形F A E C B D ''''''-，其中A E ''=F A E C B D ''''''-的体积为( )A ．38B ．716C ．12D ．78二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·全国·高一课时练习)(多选题)下列命题中，错误的结论有( )A ．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B ．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C ．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D ．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行10．(2021·全国·高一课时练习)如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，,M N 分别为11A D 和1AA 的中点，则下列四种说法中正确的是( )A ．1//C M ACB ．1BD AC ⊥C ．1BC 与AC 所成的角为60D ．CD 与BN 为异面直线11．(2021·江苏·滨海县八滩中学高一期中)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中( )A ．BM 与ED 平行B ．AF 与CN 垂直C ．CN 与BE 是异面直线D ．CN 与BM 成60︒角12．(2021·河北石家庄·高一月考)如图1，E ，F 分别为等腰梯形底边AB ，CD 的中点，2224AB AD CD BC ====，将四边形EFCB 沿EF 进行折叠，使BC 到达11B C 位置，连接1AB ，1C D ，如图2，使得13AEB π∠=，则( )A ．EF ⊥平面1AEB B ．平面1//AEB 平面1DFCC ．11B C 与平面AEFD ．多面体11AEB C DF 的体积为32三、填空题(每题5分，共20分)13．(2021·湖南·长沙市第二十一中学高一期中)已知直线m ，n ，平面α，β，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则直线m 与n 的关系是___________14．(2021·全国·高一课时练习)已知圆柱的轴截面是正方形，若圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比为________．15．(2021·湖北·钟祥市实验中学高一期中)在正三棱锥S ABC -中，6AB BC CA ===，点D 是SA 的中点，若SB CD ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为___________.16．(2021·上海·华东师范大学第三附属中学)如图，OABC 是边长为1的正方形，AC 是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴OC 旋转一周得到的旋转体的表面积为________________.四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高一期中)如图所示，在三棱柱ABC ­111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)1A E ∥平面BCHG .18．(2021·四川省南充市白塔中学高一月考)如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 分别是AB 、AA 1的中点.(1)证明：四边形EFD 1C 是梯形；(2)求异面直线EF 与BC 1所成角.19．(2021·全国·高一课时练习)如图所示的一块四棱柱木料1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是梯形，且//CD AB .(1)要经过面1111D C B A 内的一点P 和侧棱1DD 将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线之间有什么位置关系？20．(2021·浙江·高一单元测试)点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，点M 在边AB 上，且3AB AM =，沿图1中的虚线DE ，EF ，FD 将,,ADE BEF CDF ，折起使A ，B ，C 三点重合，重合后的点记为点P ，如图2.(1)证明：PF DM ⊥；(2)若正方形ABCD 的边长为6，求点M 到平面DEF 的距离.21．(2021·广东·南方科技大学附属中学高一期中)如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，CB ⊥平面,//PAB AD BC 且22PB BC AD F ===，为PC 中点．(1)求证：//DF 平面PAB ；(2)求直线AB 与平面PDC 所成角的正弦值．22．(2021·全国·高一课时练习)如图，直三棱柱ABC A B C '''-中，5AC BC ==，6AA AB '==，,D E 分别为,AB BB '上的点，且AD BE DB EB '=(1)当D 为AB 的中点时，求证：A B CE '⊥；(2)当D 在线段AB 上运动时(不含端点)，求三棱锥A CDE '-体积的最小值.。

章末综合测评(三) 概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，随机事件的个数为( )①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④在标准大气压下，水在4℃时结冰． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军．②李凯不一定被抽到．③任取一张不一定为1号签．④在标准大气压下水在4℃时不可能结冰，故①②③是随机事件，④是不可能事件．【答案】 C2．下列说法正确的是( )A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场 B ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C ．随机试验的频率与概率相等D ．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%【解析】 概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性．故选D.【答案】 D3．(2016·开封高一检测)给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )A.16 B ．13 C.12D ．23【解析】 给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P ＝26＝13.故选B.【答案】 B4．在区间[－2，1]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为( ) A.13 B ．14 C.12D ．23【解析】 由几何概型的概率计算公式可知x ∈[0，1]的概率P ＝1－01－（－2）＝13.故选A.【答案】 A5．1升水中有1只微生物，任取0.1升化验，则有微生物的概率为()A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4【解析】本题考查的是体积型几何概型．【答案】 A6．(2016·天水高一检测)从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是()A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个均互斥D．任何两个均不互斥【解析】互斥事件是不可能同时发生的事件，所以B与C互斥．【答案】 B7．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为45，则河宽为()A．100 m B．80 m C．50 m D．40 m【解析】设河宽为x m，则1－x500＝45，所以x＝100.【答案】 A8．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)范围内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.70D ．0.68【解析】 记“取到质量小于4.8 g ”为事件A ，“取到质量不小于4.85 g ”为事件B ，“取到质量在[4.8，4.85)范围内”为事件C .易知事件A ，B ，C 互斥，且A ∪B ∪C 为必然事件．所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.3＋0.32＋P (C )＝1，即P (C )＝1－0.3－0.32＝0.38.【答案】 B9．如图1，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) 【导学号：28750071】图1A.14 B ．13 C.12D ．23【解析】 点E 为边CD 的中点，故所求的概率P ＝△ABE 的面积矩形ABCD 的面积＝12.【答案】 C10．将区间[0，1]内的均匀随机数x1转化为区间[－2，2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为()A．x＝x1*2 B．x＝x1*4C．x＝x1*2－2 D．x＝x1*4－2【解析】由题意可知x＝x1*(2＋2)－2＝4x1－2.【答案】 D11．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3，则()A．P1＝P2＜P3B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3D．P3＝P2＜P1【解析】先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6，6)；点数之和为11的有2个：(5，6)，(6，5)；点数之和为10的有3个：(4，6)，(5，5)，(6，4)，故P1＜P2＜P3.【答案】 B12．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列选项中以710为概率的事件是()A．恰有1件一等品B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品D．都不是一等品【解析】将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P 1＝610，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3)．故恰有2件一等品的概率为P 2＝310，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－310＝710.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)．13．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A ＝{摸出黑球}，B ＝{摸出白球}，C ＝{摸出绿球}，D ＝{摸出红球}，则P (A )＝________；P (B )＝________；P (C ∪D )＝________．【解析】 由古典概型的算法可得P (A )＝820＝25，P (B )＝320，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝420＋520＝920.【答案】 25 320 92014．在区间(0，1)内任取一个数a ，能使方程x 2＋2ax ＋12＝0有两个相异实根的概率为________．【解析】 方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a )2－4×1×12＝4a 2－2>0，解得|a |>22，又a ∈(0，1)，所以22<a <1，区间⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1的长度为1－22，而区间(0，1)的长度为1，所以方程有两个相异实根的概率为1－221＝2－22.【答案】2－2215．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图2所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________．图2【解析】 由题意可知从甲、乙两组中各随机选取一名同学，共有9种选法，其中这两名同学的成绩相同的选法只有1种，故所求概率P ＝19.【答案】 1916．(2016·合肥高一检测)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、b ∈{0，1，2，…，9}．若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________．【解析】 此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a －b |≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，所以P ＝24＋410×10＝725.【答案】 725三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·陕西高考)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨．．．的概率； (2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率． 【解】 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.18．(本小题满分12分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：(1)求该班成绩在[80，100]内的概率； (2)求该班成绩在[60，100]内的概率．【解】 记该班的测试成绩在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]内依次为事件A ，B ，C ，D ，由题意知事件A ，B ，C ，D 是彼此互斥的．(1)该班成绩在[80，100]内的概率是P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝0.25＋0.15＝0.4.(2)该班成绩在[60，100]内的概率是P (A ∪B ∪C ∪D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.19．(本小题满分12分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x ；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由. 【导学号：28750072】【解】(1)由于x，y取值为1，2，3，4，5，6，则以(x，y)为坐标的点有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个，即以(x，y)为坐标的点共有36个．(2)满足x＋y≥10的点有：(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个，所以小王赢的概率是636＝1 6，满足x＋y≤4的点有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个，所以小李赢的概率是636＝1 6，则小王赢的概率等于小李赢的概率，所以这个游戏规则公平．20．(本小题满分12分)(2014·天津高考)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．【解】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝615＝25.21．(本小题满分12分)(2014·四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．【解】(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.22．(本小题满分12分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位：米)进行整理，分成以下6个小组：[5.25，6.15)，[6.15，7.05)，[7.05，7.95)，[7.95，8.85)，[8.85，9.75)，[9.75，10.65]，并绘制出频率分布直方图，如图3所示是这个频率分布直方图的一部分．已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7.规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格．图3(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数；(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；(3)若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a、b两位同学的成绩均为优秀，求a、b两位同学中至少有1人被选到的概率．【解】(1)∵第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14.∴参加这次铅球投掷的总人数为70.14＝50.根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36.(2)∵成绩在第1、2、3组的人数为(0.04＋0.10＋0.14)×50＝14，成绩在第5、6组的人数为(0.30＋0.14)×50＝22，参加这次铅球投掷的总人数为50，∴这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在[7.95，8.85)内，即第4组．(3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a、b、c、d、e，则选出2人的所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，其中a、b至少有1人的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共有7种，∴a、b两位同学中至少有1人被选到的概率为P＝7 10.。

第八章立体几何初步1、棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 1 -2、圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征................................................ - 7 -3、立体图形的直观图.................................................................................................. - 12 -4、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 18 -5、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积...................................................................... - 23 -6、球的表面积和体积.................................................................................................. - 29 -7、平面 ......................................................................................................................... - 35 -8、空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 40 -9、直线与直线平行直线与平面平行...................................................................... - 44 -10、平面与平面平行.................................................................................................... - 49 -11、直线与直线垂直.................................................................................................... - 56 -12、直线与平面垂直.................................................................................................... - 63 -13、平面与平面垂直.................................................................................................... - 70 -章末综合测验................................................................................................................ - 76 -1、棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、选择题1．(多选题)观察如下所示的四个几何体，其中判断正确的是()A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台ACD[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥．]2．(多选题)下列说法错误的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形ABC[选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．①②]3．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()C[动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．]4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定A[如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形C[按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．①②]二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.12[该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.]7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．10[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝AD2＋DD21＝10.]8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．3[如图，三棱台可分成三棱锥C1-ABC，三棱锥C1-ABB1，三棱锥A-A1B1C1，共3个．]三、解答题9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．10．试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解](1)如图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一)．(2)如图②所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一)．(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一)．①②③11．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是() A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥B[该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]12．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()①②③④A．①②B．②③C．③④D．①④B[在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而图①④则不同．]13．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．10[在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]14.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？[解](1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．(3)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－12a2－a2－a2＝32a2.15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．[解]把长方体的部分面展开，如图，有三种情况．对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为90，74，80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为74.2、圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是 ( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A ．①和⑤B ．①和②C ．③和④D ．①和④D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )① ②A ．圆锥、棱柱B ．圆锥、棱锥C ．球、棱锥D ．圆锥、圆柱B [根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥．]3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°等腰三角形D ．其他等腰三角形A [设圆锥底面圆的半径为r ，依题意可知2πr ＝π·a 2，则r ＝a 4，故轴截面是边长为a 2的等边三角形．]4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )A ．一个棱柱中挖去一个棱柱B ．一个棱柱中挖去一个圆柱C ．一个圆柱中挖去一个棱锥D ．一个棱台中挖去一个圆柱B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B ．]5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A ．32B ．32πC ．16πD ．8πB [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.]二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]7．下列命题中错误的是________．①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．② [因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，圆锥的轴截面面积最大．]8．一个半径为5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm ，则截面圆面积为________ cm 2.9π [设截面圆半径为r cm ，则r 2＋42＝52，所以r ＝3.所以截面圆面积为9π cm 2.]三、解答题9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解]如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．10．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解](1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底面半径O1A＝2(cm)，下底面半径OB＝5(cm)，又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得l－12l＝25，解得l＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.11. (多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是()A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的AB[如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成．故选项AB正确．]12.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分A[由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段(靠近AA′)，当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段(靠近AA′), 当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段(靠近AB), 当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′D′D内平行于AA′的线段(靠近AB), 当P在A处，Q在BC上运动时，M 的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段(靠近AB), 当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段(靠近AD), 同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；Q在C处，P在AA′上运动；P，Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其他情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选A．]13．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA 上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．则绳子的最短长度的平方f(x)＝________.x2＋16(0≤x≤4)[将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，所以L＝2πr＝2π，所以∠ASM＝Ll＝π2.由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝x2＋16 (0≤x≤4)．所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．]14．球的两个平行截面的面积分别是5π，8π，两截面间的距离为1，求球的半径．[解]设两个平行截面圆的半径分别为r1，r2，球半径为R.由πr21＝5π，得r1＝ 5.由πr22＝8π，得r2＝2 2.(1)如图，当两个截面位于球心O的同侧时，有R2－r21－R2－r22＝1，即R2－5＝1＋R2－8，解得R＝3.(2)当两个截面位于球心O的异侧时，有R2－5＋R2－8＝1.此方程无解．由(1)(2)知球的半径为3.15．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积．[解]圆台的轴截面如图，O1，O2，O3分别为上底面、下底面、截面圆心．过点D作DF⊥AB于点F，交GH于点E.由题意知DO1＝1，AO2＝4，∴AF＝3.∵DE＝2EF，∴DF＝3EF，∴GEAF＝DEDF＝23，∴GE＝2.∴⊙O3的半径为3.∴这个截面面积为9π.3、立体图形的直观图一、选择题1．(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是()A B C DCD[原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]2．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是()A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．90°的角的直观图会变为45°的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同ACD [对于A ，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A 正确；对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B 错误；C ，D 显然正确．]3．把△ABC 按斜二测画法得到△A ′B ′C ′(如图所示)，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边互不相等的三角形A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB ＝BC ＝AC ＝2，故△ABC 为等边三角形，故选A ．]4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cmC [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.]5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋2A[画出其相应平面图易求，故选A．]二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．(4,2)[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.] 7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．2.5[由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．2[△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD．所以与BD的长相等的线段有2条．]三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．[解](1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．①②③(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝12OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC．(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．10．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC．[解](1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′.(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取两点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原△ABC．11.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()A ．2B ．4C ．2 2D ．42D [设△AOB 的边OB 上的高为h ，由题意，得S 原图形＝22S 直观图，所以12OB ·h ＝22×12×2×O ′B ′.因为OB ＝O ′B ′，所以h ＝4 2.故选D ．]12．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cmD [由题意可知其直观图如图，由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D ．]13．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________．72 [如图所示，作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′，作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA ． 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAO ′A ′×C ′D ′， 又在Rt △O ′D ′C ′中，O ′C ′＝2C ′D ′，即C ′D ′＝22O ′C ′，结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′，OC ＝2O ′C ′， 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA OA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2. 又S 直观图＝182，所以S 正方形＝22×182＝72.]14.如图是一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．[解]四边形ABCD的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，因为AD＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，＝AC·AD＝2 2.所以S四边形ABCD15．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解](1)画轴．画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面．以O为中心在xOy平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD．(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.①②4、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、选择题1．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是()A ．13 B ．12 C ．23D ．34C [∵V C -A ′B ′C ′＝13V ABC -A ′B ′C ′＝13，∴V C -AA ′B ′B＝1－13＝23.] 2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( ) A ．48 6 B ．64 C ．16 D ．96[答案] B3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( )A ．1∶9B ．1∶8C ．1∶4D ．1∶3 B [两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B ．]4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )A ． 3B ． 2C ．23D ．32 A [如图所示，正方体的A ′、C ′、D 、B 的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a ，则正四面体边长为2a . ∴正方体表面积S 1＝6a 2， 正四面体表面积为S 2＝4×34×(2a )2＝23a 2，∴S 1S 2＝6a 223a 2＝ 3.] 5．四棱台的两底面分别是边长为x 和y 的正方形，各侧棱长都相等，高为z ，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是( )A ．1x ＝1y ＋1zB ．1y ＝1x ＋1zC ．1z ＝1x ＋1yD ．1z ＝1x ＋yC [由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h ′，则根据条件得， ⎩⎪⎨⎪⎧4·x ＋y 2·h ′＝x 2＋y 2，z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －x 22＝h ′2，消去h ′得，4z 2(x ＋y )2＋(y －x )2(y ＋x )2＝(x 2＋y 2)2. ∴4z 2(x ＋y )2＝4x 2y 2， ∴z (x ＋y )＝xy ， ∴1z ＝1x ＋1y .] 二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．6[设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6，故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.]7．(一题两空)已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．3 212 [S 表＝4×34×12＝3， V 体＝13×34×12×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫33 2＝212.]8.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则点A 到平面A 1BD 的距离d ＝________.33a [在三棱锥A 1-ABD 中，AA 1是三棱锥A 1-ABD 的高，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V 三棱锥A 1-ABD ＝V 三棱锥A -A 1BD ， ∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d ， ∴d ＝33a .∴点A 到平面A 1BD 的距离为33a .] 三、解答题9．已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝13，BC ＝AD ＝25，BD ＝AC ＝5，求四面体ABCD 的体积．[解] 以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图． 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝13，y 2＋z 2＝20，x 2＋z 2＝25，∴⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，z ＝4.∵V D -ABE ＝13DE ·S △ABE ＝16V 长方体， 同理，V C -ABF ＝V D -ACG ＝V D -BCH ＝16V 长方体， ∴V 四面体ABCD ＝V 长方体－4×16V 长方体＝13V 长方体． 而V 长方体＝2×3×4＝24，∴V 四面体ABCD ＝8.10．如图，已知正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[解] 如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底， ∴12·3a ·h ′＝34a 2×2. ∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2. ∴32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2.∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6.∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.11．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( ) A ．3π B ．43 C ．32πD ．1B [如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为2，故底面积为(2)2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为13×2×1＝23.则几何体的体积为2×23＝43.]12．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为( ) A ．423 B ． 2 C ．223 D ．23D [由题意，正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为2，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为13×12×2×2×2＝23.]13．(一题两空)已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．90 138 [该几何体的体积V ＝4×6×3＋12×4×3×3＝90，表面积S ＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋12×4×3×2＋32＋42×3＋3×4＝138.]14．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．[解] 如图，连接EB ，EC ．四棱锥E -ABCD 的体积 V 四棱锥E -ABCD ＝13×42×3＝16. ∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF .∴V 三棱锥F -EBC ＝V 三棱锥C -EFB ＝12V 三棱锥C -ABE ＝12V 三棱锥E -ABC ＝12×12V 四棱锥E -ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E -ABCD ＋V 三棱锥F -EBC ＝16＋4＝20.15．一个正三棱锥P -ABC 的底面边长为a ，高为h .一个正三棱柱A 1B 1C 1-A 0B 0C 0的顶点A 1，B 1，C 1分别在三条棱上，A 0，B 0，C 0分别在底面△ABC 上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？[解] 设三棱锥的底面中心为O ，连接PO (图略)，则PO 为三棱锥的高，设A 1，B 1，C 1所在的底面与PO 交于O 1点，则A 1B 1AB ＝PO 1PO ，令A 1B 1＝x ，而PO ＝h ，则PO 1＝ha x ，于是OO 1＝h －PO 1＝h －h a x ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x a .所以所求三棱柱的侧面积为S ＝3x ·h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x a ＝3h a (a －x )x ＝3h a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22.当x ＝a 2时，S 有最大值为34ah ，此时O 1为PO 的中点．5、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积一、选择题1．面积为Q 的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( ) A ．πQ B ．2πQ C ．3πQD ．4πQB [正方形绕其一边旋转一周，得到的是圆柱，其侧面积为S ＝2πrl ＝2π·Q ·Q ＝2πQ .故选B ．]2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8C[圆台的轴截面如图，由题意知，l＝12(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.]3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3A[设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]4．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A．210 B．2 5C．3 D．2A[圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝22＋62＝210.故选A．]5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是()A．1∶3 B．1∶ (3－1)C．1∶9 D．3∶2B[由面积比为1∶3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1∶3，故截面把圆锥母线分为1∶(3－1)两部分，故选B．]二、填空题6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．2 [设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即直径为2.]7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 3 [圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为π3(102＋10×6＋62)×9π×142＝3(寸)．]8．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是________．7 000π3 3 cm 3[180°＝20－10l ×360°，∴l ＝20， h ＝103，V ＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)·h ＝7 0003π3 (cm 3)．] 三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． [解] 设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 圆锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157，圆锥的高h ＝⎝⎛⎭⎪⎫61572－⎝⎛⎭⎪⎫1572＝53，V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π.10．如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？[解] 因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622×20＝60π(cm 3)，设水面下降的高度为x cm ，则小圆柱的体积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫2022x ＝100πx .所以有60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6. 故杯里的水将下降0.6 cm.11．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S ，底面周长为C ，它的体积是( ) A ．C 34πS B ．4πS C 3 C ．CS 2πD ．SC 4πD [设圆柱底面半径为r ，高为h ，则⎩⎨⎧Ch ＝S ，C ＝2πr ，∴r ＝C 2π，h ＝S C .∴V ＝πr 2·h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2π2·S C ＝SC4π.]12．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b .那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．πr 2(a ＋b )2 [采取补体方法，相当于一个母线长为a ＋b 的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V ＝πr 2(a ＋b )2.]13．(一题两空)圆柱内有一个内接长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，长方体的体对角线长是10 2 cm ，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，则圆柱的底面半径为________cm ，高为________cm.5 10 [设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：⎩⎨⎧(2r )2＋h 2＝(102)2，2πrh ＝100π， 所以⎩⎨⎧r ＝5，h ＝10.即圆柱的底面半径为5 cm ，高为10 cm.]14．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解] 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，所以AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，所以r ＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.15．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12 m ，高为4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪种方案更经济些？[解] (1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V 1，V 2.方案一：仓库的底面直径变成16 m ，则其体积V 1＝13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1622×4＝2563π(m 3)； 方案二：仓库的高变成8 m ，则其体积V 2＝13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1222×8＝96π(m 3)．(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S 1，S 2. 方案一：仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ， 此时圆锥的母线长为l 1＝82＋42＝45(m)，则仓库的表面积S 1＝π×8×(8＋45)＝(64＋325)π(m 2)；方案二：仓库的高变成8 m ，此时圆锥的母线长为l 2＝82＋62＝10(m)， 则仓库的表面积S 2＝π×6×(6＋10)＝96π(m 2)． (3)因为V 2>V 1，S 2<S 1， 所以方案二比方案一更加经济．。

第八章综合测试答案解析A 卷一、 1.【答案】A【解析】原式2215sin 15cos 15sin15cos151sin3024=︒+︒+︒︒=+︒=2.【答案】C【解析】锐角α满足3cos 65π=，6πα∴+为锐角，4sin 665ππ∴==，则4324sinsincos23665525πππ=2=⨯⨯=。

3.【答案】C【解析】AB OB OA =−=（7−，2）−（2，8）96=−−（，），()()119,63233AB ∴=−−=−−，。

4.【答案】B【解析】因为a b +=（3，2），所以|a b |+， 故选B 。

5.【答案】C 【解析】1a b +=，2221a a b b ∴+⋅+=，1cos 2a b ∴=−，，又[]0a b π∈，，，23a b π∴=， 6.【答案】B【解析】由题意，得()()()22234238120a b ka b ka k a b b +⋅−=+−⋅−=，由于a b ⊥，故·0a b =，又1a b ==，于是2120k −=，解得6k =。

7.【答案】A【解析】11cos 21111 sin 2sin 2cos 222222222x y x x x x x ⎫−=+=−+=+⎪⎪⎝⎭12242x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭。

8.【答案】A【解析】由题意设()()20b a λλλλ==−，＜，而b == 所以3λ=−，()36b =−，。

9.【答案】D【解析】由3sin tan αα=，得1cos 3α=，2sin 3α∴=，tan 3sin 2,tan 2βαβ∴===，2tan 4tan 21tan 23βββ∴==−−。

10.【答案】C【解析】由()2||BC BA AC AC +⋅=，得()0AC BC BA AC ⋅+−=，即()0AC BC BA CA ⋅++=，20AC BA ∴⋅=，AC BA ∴⊥，90A ∴=︒，故选C 。

第八章综合测试答案解析基础练习一、 1.【答案】B【解析】平面向量a 与b 的夹角为60︒，13,22b ⎛= ⎝⎭，所以1b =，由平面向量运算律及数量积定义可知()2222244a b a b a a b b +=+=+⋅+，224cos604a a b b+⋅︒+==故选：B 。

2.【答案】C【解析】2()()()3DM DB AM AD AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⋅=−⋅−=−⋅− ⎪⎝⎭ 22222525π153333cos 333332AB AD AB AD =+−⋅=⨯+−⨯⨯=。

故选：C 。

3.【答案】Csin3cos3=+， 334ππ＜＜，sin3cos30∴+＜，∴原式为sin3cos3−− 故选C 。

4.【答案】C【解析】A ，B 为锐角，35cos ,cos 513A B ==，∴4sin 5A ==，12sin 13B =， ∴3541233cos()cos cos sin sin 51351365A B A B A B +=−=⨯−⨯=−。

故选：C 。

5.【答案】B【解析】221cos21cos 1212cos cos 111212222x x y x x ππππ⎛⎫⎛⎫+−++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=−++−=+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2cos 266cos 2cos 226x x x xπππ⎛⎫⎛⎫++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===，因为2y x =的偶函数，所以B 正确； 故选：B 。

二、6.【解析】因为m n ⊥，所以0m n ⋅=，cos 0θθ−=，所以sin 06πθ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，即6k πθπ−=，Z k ∈，223k πθπ=+，sin 2θ∴=。

7.【答案】⎡⎢⎣⎦ 【解析】以AB 的中点为原点，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：则(1,0)A −，(1,0)B，C ，设(,)P x y ，所以(1,)PA x y =−−−，(1,)PB x y =−−，()PC x y =−，所以2(1)(1)(1))(1))0x x y x x y y x x y y −−−+−−−−−−−=，所以223310x y +−−=，所以222(3x y +=y ，所以2211[PA PB x y ⋅=+−=−∈，故答案为：⎡⎢⎣⎦。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第八章综合测试基础练习一、单选题1.平面向量a 与b 的夹角为60°，2a =，13,22b ⎛= ⎝⎭，则2a b +等于（ ）B.C.4D.122.在边长为3的菱形ABCD 中，3DAB π∠=，2AM MB =，则DM DB ⋅=（ ） A.172−B.-1C.152D.923.等于（ ） A.cos3sin3− B.sin3cos3− C.sin3cos3−−D.sin3cos3+4.已知A ，B 为锐角，35cos ,cos 513A B ==，则cos()A B +=（ ）A.5665B.5665−C.3365−D.33655.函数22cos cos 11212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=−++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是（ ）A.最大值是2的奇函数B.最大值是2的偶函数C.D.的偶函数二、填空题6.已知向量()sin ,2cos m θθ=，13,2n ⎛⎫=− ⎪⎭，若m n ⊥，则sin 2θ的值为________。

2019-2020年高中数学章末检测卷三新人教版必修一、选择题1.若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A.－72B.－12C.12D.72解析 cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22（sin α－cos α）＝－2(cos α＋sin α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12，选C.答案 C2.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝π4B.x ＝π2C.x ＝πD.x ＝3π2解析 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1. 答案 C3.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )的图象关于直线x ＝π4对称，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A.偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B.偶函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C.奇函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D.奇函数且它的图象关于点(π，0)对称解析 f (x )＝a sin x －b cos x ＝a 2＋b 2sin(x －φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a，π4－φ＝π2＋2k π，φ＝－π4－2k π，k ∈Z ，f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝a 2＋b 2·sin(π－x )＝a 2＋b 2sin x ，选D. 答案 D4.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，13π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin 2x＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3－sin 2x＝－12sin 2x －32cos 2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的递增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的递减区间，由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ， 令k ＝0，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.故选B.答案 B5.已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( ) A.43B.34C.53D.12解析 ∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， 所以22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，所以1<sin θ＋cos θ≤ 2.答案 A6.在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sinA ＋B2cosA ＋B2，∴2cos2A ＋B2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形. 答案 C7.函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象可以由函数g (x )＝4sin x cos x 的图象________得到( )A.向右移动π12个单位B.向左移动π12个单位C.向右移动π6个单位D.向左移动π6个单位解析 ∵g (x )＝4sin x cos x ＝2sin 2x ，f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴f (x )可以由g (x )向右移动π12个单位得到.答案 A8.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43B.34C.－34D.－43解析 (sin α＋2cos α)2＝52，展开得3cos 2α＋4sin α·cos α＝32，再由二倍角公式得32cos 2α＋2sin 2α＝0， 故tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－322＝－34.故选C.答案 C 二、填空题9.已知函数f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2xsin x .则函数定义域为________，周期为________.解析 由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }.因为f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2x sin x ＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期为π. 答案 {x ∈R |x ≠k π，k ∈Z } π10.3tan 15°＋13－tan 15°的值是________.解析 ∵3－tan 15°3tan 15°＋1＝tan 60°－tan 15°1＋t an 60°tan 15°＝tan 45°＝1，∴3tan 15°＋13－tan 15°＝1.答案 111.已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝____________.解析 由sin θ＋cos θ＝15可得sin 2θ＝－2425，又π2≤θ≤3π4得π≤2θ≤3π2，∴cos2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－24252＝－725. 答案 －72512.设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝± 3. 答案 ± 313.已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.则(1)sin x －cos x 的值为________； (2)sin 2x ＋2sin 2x1－tan x的值为________.解析 sin x ＋cos x ＝15⇒2sin x cos x ＝－2425.(1)(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又－π2＜x ＜0，∴sin x －cos x ＜0，∴sin x －cos x ＝－75.(2)由(1)，得sin x ＝－35，cos x ＝45，sin 2x ＝－2425，∴tan x ＝－34，∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝－24175.答案 (1)－75 (2)－2417514.设α为锐角，若已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________.解析 因为α为锐角，即0<α<π2，所以π6<α＋π6<π2＋π6＝2π3.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×35×45＝2425 .所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝725. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π4 ＝2425·22－725·22＝1750 2. 答案17502 15.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0).函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值为________；最小值为________.解析 f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a 2sin 2x －cos 2x .由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )为增函数，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，f (x )为减函数.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2.答案 2 2三、解答题16.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻最高点、最低点间的距离为4＋π2. (1)求函数f (x )的表达式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x 的值.解 (1)因为f (x )为偶函数，所以可得sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，即2sin ωx cos φ＝0恒成立，所以有cos φ＝0.又0≤φ≤π，所以φ＝π2.又相邻最高点、最低点间的距离为4＋π2，图象上相邻对称轴之间的距离为π，所以T ＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝cos x .(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，∴sin 2x －2sin 2x 1－tan x ＝cos x ·2sin x （cos x －sin x ）cos x －sin x ＝sin 2x＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1＝－2×925＋1＝725.17.已知函数f (x )＝－2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，且x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x－2cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由0≤x ≤π2可得－π4≤2x －π4≤3π4，故－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4≤1，－2≤22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4≤22，所以f (x )的最小值为－2，最大值为2 2.18.已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ，sin B ＝45，cos(2A ＋C )＝－45，求cos 2A的值.解 ∵A <B <C ，A ＋B ＋C ＝π，∴0<B <π2，A ＋C >π2，0<2A ＋C <π.∵sin B ＝45，∴cos B ＝35.∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45，cos(A ＋C )＝－35.∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35.∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )] ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45＝725. ∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝527625.19.已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性.解 (1)f (x )＝22cos ωx (sin ωx ＋cos ωx ) ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2因2π2ω＝π⇒ω＝1.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2，ω＝1. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，54π，令2x ＋π4＝π2解得x ＝π8；所以y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减.20.已知函数f (x )＝2sin x 4cos x4－23sin 2x4＋ 3. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由.解 (1)∵f (x )＝sin x 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2x 4＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2； 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2＝2cos x 2.∵g (－x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝2cos x2＝g (x )，∴函数g (x )是偶函数.。

章末综合测评(三) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若y＝5x，则y′＝()A.15x4B．155x4C.5x43D．15x x【解析】y＝x 15，则y′＝15x-45＝155x4.【答案】 B2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为()A．－4 B．－5C．－6 D．－7【解析】v＝f(2)－f(1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.【答案】 C3．如果物体做S(t)＝2(1－t)2的直线运动，则其在t＝4 s时的瞬时速度为()A．12 B．－12C．4 D．－4【解析】S(t)＝2(1－t)2＝2t2－4t＋2，则S′(t)＝4t－4，所以S′(4)＝4×4－4＝12.【答案】 A4．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD ．1e【解析】 由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 【答案】 A5．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1B ．12 C ．－2D ．2【解析】 ∵y ′＝－sin 2 x －(1＋cos x )cos x sin 2 x ＝－1－cos xsin 2x ，又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴1a ＝－1，∴a ＝－1，故选A. 【答案】 A6．(2016·淮北高二检测)若曲线y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1【解析】 y ′＝2x ＋a ，∴f ′(0)＝a ＝1，∴y ＝x 2＋x ＋b ，又点(0，b )在切线上，故－b ＋1＝0， ∴b ＝1. 【答案】 A7．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图像是( )【解析】 f ′(x )＝2x ＋b ，因为f (x )顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2，4c －b 24在第四象限．所以b <0，则f ′(x )图像与y 轴交于负半轴．【答案】 A8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4【解析】 y ′＝3x 2－1≥－1，则tan α≥－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】 B9．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24 B ．22 C.322D ． 2【解析】 ∵抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1.又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. ∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.【答案】 C10．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 ∵f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，所以θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，故f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D11．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)．则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】 D12．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2) B ．22(1＋ln 2) C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2D ．12(1＋ln 2)【解析】 将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P (x 0，y 0)，由x 2－y －2ln x ＝0得y ′＝2x －1x ， ∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1解得x 0＝12或x 0＝－1(舍去)， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，所求的最短距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d ＝|2＋(1＋4ln 2)＋1|42＝22(1＋ln 2)．【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若y ＝－3cot x ，则y ′＝________.【导学号：63470074】【解析】 y ′＝－3(cot x )′＝－3·－1sin 2x ＝3sin 2x . 【答案】 3sin 2x14．下列四个命题中，正确命题的序号为________．①若f (x )＝x ，则f ′(0)＝0；②(log a x )′＝x ln a ；③加速度是质点的位移s 对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处有切线．【解析】 ①因为f ′(x )＝12x，当x 趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数f (x )在x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x )′＝1x ln a ，故错误；③瞬时速度是位移s 对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处的切线方程为y ＝0，故正确．【答案】 ④15．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝x 3＋2的一条切线，则k 的值为________．【解析】 设切点为M (x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋2， ①y 0＝kx 0，② ∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20， ③ 将③代入②得y 0＝3x 30， ④将④代入①得x 0＝1， ∴y 0＝3，代入②得k ＝3. 【答案】 316．(2016·临沂高二检测)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.【解析】 因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2.即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.【答案】 － 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义.【导学号：63470075】【解】 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.18．(本小题满分12分)求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与过这点的切线垂直的直线方程．【解】 ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x . 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23. ∴所求直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.19．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f (x )是二次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 【解】 (1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1， 此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1.20．(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 都经过点P (1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．【解】 ∵点P (1,2)在曲线f (x )＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x )＝3x 2＋a 和g ′(x )＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P (1,2)在曲线g (x )＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g (x )＝kx ＋94与l 平行，求f (x )的图像上的点到直线g (x )的最短距离．【解】 因为f (x )＝x ，所以f ′(x )＝12x.所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，切点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0. 因为切线l 与直线g (x )＝kx ＋94平行， 所以k ＝1，即g (x )＝x ＋94.f (x )的图像上的点到直线g (x )＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离，所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.22．(本小题满分12分)已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点P (1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S .【解】 (1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q (x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0.(2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。

高三数学章末综合测试题(解析版)：-第八章--立体几何(2)高三数学章末综合测试题：第九章立体几何一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是()答案：C2．已知几何体的三视图(如下图)，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰为3，则该几何体的表面积为()A．4πB．3πC．5πD．6π答案：C3．已知a，b，c，d是空间中的四条直线，若a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么() A．a∥b，且c∥dB．a，b，c，d中任意两条都有可能平行C．a∥b或c∥dD．a，b，c，d中至多有两条平行答案：C4．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α答案：D5．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案：C6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案：D7．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β答案：D8．已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1⊥面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，则侧视图的面积为() A．4 B．2 3 C．2 2 D. 3答案：B9．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题的正确的是()A．若m∥α，nα，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m∥α，mβ，α∩β＝n，则m∥nD．若α∩β＝m，n∥m，则n∥α答案：C10．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC答案：C11．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BB1＝4，长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R－PQMN的体积是() A．6 B．10C．12 D．不确定答案：A12．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成的角的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P 在侧面BCC1B1及其边界上移动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是__________．解析：由题意，当P点移动时，AP确定的平面与BD1垂直，∴点P应在线段B1C上．答案：线段B1C14．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC ＝3，则球O的体积等于__________．答案：9 2π15．已知球O的半径为1，A，B，C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为π2，则球心O到平面ABC的距离为__________．答案：3 316．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为__________．答案：4三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求三棱锥VB1－EFC的体积．18．(12分)如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，D是BC边的中点．(1)求证：AB⊥A1C；(2)求证：A1C∥平面AB1D.19．(12分)如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)求证：AE∥平面BFD.20．(12分)已知四边形ABCD为矩形，AD ＝4，AB＝2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥面ABCD.(1)求证：PF⊥FD；(2)设点G在PA上，且EG∥面PFD，试确定点G的位置．21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4(单位：cm)，E为PA的中点．(1)如图，若主视方向与AD平行．请作出该几何体的主视图并求出主视图的面积；(2)证明：DE∥平面PBC；(3)证明：DE⊥平面PAB.22．(12分)一个多面体的直观图，正视图，侧视图如下所示，其中正视图、侧视图为边长为a的正方形．(1)请在指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC、BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．。