高中数学人教版必修第三章章末检测单元卷

高中数学必修3第三章 概率单元检测一、选择题1．任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是（ )。

A ．241 B ．61C ．83D ．121 2．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π ，－上随机取一个数x ,cos x 的值介于0到21之间的概率为（ ）.A ．31B ．π2C ．21D ．32 3．从集合{1，2，3，4，5｝中，选出由3个数组成子集,使得这3个数中任何两个数的和不等于6，则取出这样的子集的概率为（ ）。

A ．103B ．107C ．53D ．52 4．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )。

A ．103B ．51C ．101D ．121 5．从数字1,2，3，4，5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( ).A ．12513B ．12516C ．12518D ．12519 6．若在圆（x －2）2＋（y ＋1)2＝16内任取一点P ,则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )。

A ．21B ．31C ．41D ．161 7．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是（ ）.A ．51 B ．52 C ．53D ．54 8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O －ABCD （O 为正方体体对角线的交点)内的概率是( ）。

A ．61B ．31C ．21D ．32 9．抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”．已知P (A )＝P （B ）＝61，则“出现1点或2点"的概率为( ）. A ．21 B ．31C ．61D ．121 二、填空题10．某人午觉醒来,发觉表停了，他打开收音机想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率为___________．11．有A ，B ，C 三台机床，一个工人一分钟内可照看其中任意两台，在一分钟内A 未被照看的概率是 ．12．抛掷一枚均匀的骰子（每面分别有1~6点)，设事件A 为“出现1点"，事件B 为“出现2点”，则“出现的点数大于2”的概率为 ．13．已知函数f （x )＝log 2x ， x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，,在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，上任取一点x 0，使f (x 0）≥0的概率为 ．14．从长度分别为2，3,4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ．15．一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ．则a ＋b 能被3整除的概率为 ．三、解答题16．射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0。

测试卷一.选择题: (每小题5分,共60分)1. 某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是（）A.1000名学生是总体B.每个学生是个体C.100名学生的成绩是一个个体D.样本的容量是1002. 将两个数a=8,b=17下面语句正确一组是(A. B.3. 给出以下四个问题,①输入一个数x,输出它的相反数.②求面积为6的正方形的周长.③求三个数a,b,c中的最大数.④求函数.1.2{)(≥-<+=　xx　xxxf的函数值. 其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )(A)81.2, 4.4 (B)78.8, 4.4 (C)81.2, 84.4 (D)78.8, 75.65.关于频率分布直方图的下列有关说法正确的是( )(A)直方图的高表示取某数的频率(B)直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率(C)直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值(D)直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值6. 将389 化成四进位制数的末位是( )A. 1B. 2C. 3D. 07. 下列各数中最小的数是( )A.)9(85 B.)6(210 C.)4(1000 D.)2(1111118. 用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=xxxxxxxf当4.0=x时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( )A. 6 ， 6B. 5 , 6C. 5 , 5D. 6 , 59. 某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一，高二，高三各年级抽取的人数分别为（）A.45,75,15B.45,45,45C.30,90,15D.45,60,3010. 甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为和，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是（）A.甲B.乙C.甲、乙相同D.不能确定11. 从2 006名学生中选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2 006名学生中剔除6名，再从2 000名学生中随机抽取50名.则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别是( )(A) 311 00340， (B) 311 00040，(C) 3251 0031003， (D) 3251 0001 003，12. 上右程序运行后输出的结果为 ( ) A. 3 4 5 6 B. 4 5 6 7 C. 5 6 7 8 D. 6 7 8 9 二. 填空题.(每小题4分,共16分) 13.. (1)将二进制数(2)101101化为十进制数为______________(2)将十进制1375转化为六进制数为_____________（6） (3)212(8)= (2)14. 在一次实验中，测得(x, y)的四组值分别是 A(1，2)，B(2，3)，C(3，4)，D(4，5).则y 与x 之间的回归直线方程为______________________________15. 下左程序运行后输出的结果为_________________________.16问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有 500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个 容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会.方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法 能配对的是① ② 。

章末检测试卷 (三)( 时间： 120 分钟 满分： 150 分 )一、选择题 (本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分)1．以下函数不存在零点的是 ()A ． y ＝ x － 1B ． y ＝ 2x 2－ x －1xC ．y ＝x ＋1， x ≤ 0， x ＋ 1，x ≥ 0，x －1， x>0D ． y ＝x － 1，x<0考点 函数零点的观点题点 判断函数有无零点答案 D分析分别令 y ＝ 0， A ， B ， C 均有解；对于 D x ≥ 0， x<0，或 无解．x ＋1＝ 0x － 1＝0，2．函数 y ＝ (x － 1)(x 2－2x － 3)的零点为 ( )A ． 1,2,3B ． 1，－ 1,3C ．1，－ 1，－ 3D ．无零点考点 函数零点的观点题点 求函数的零点答案B分析令 y ＝ 0，即 (x － 1)(x 2 －2x － 3)＝ 0，解得 x 1＝ 1， x 2＝－ 1， x 3＝ 3.应选 B.3．设方程 |x 2－ 3|＝ a 的解的个数为 m ，则 m 不行能等于 ()A ．1B ． 2C ．3D ．4考点 函数的零点与方程根的关系题点 判断函数零点的个数答案A分析在同一平面直角坐标系中分别画出函数y 1＝ |x 2－ 3|和 y 2＝ a 的图象，以下图．可知方程解的个数为0,2,3 或 4，不行能有 1 个解．14．已知函数 f(x)＝ 2x ＋4x － 5，则 f(x)的零点所在的区间为 ()A ． (0,1)B ． (1,2)C ．(2,3)D ． (3,4)考点 函数零点存在性定理题点 判断函数零点所在的区间答案 C分析1 13－ 5＞ 0， f(4) ＝ 24 f(0)＝ 20－ 5＜ 0， f(1) ＝ 21＋ － 5＜0， f(2) ＝ 22＋ － 5＜ 0， f(3) ＝ 23＋424＋ 1－ 5＞ 0，则有 f(2) f(3)· ＜ 0.应选 C.2x＋ 3 在区间1，1 上有零点，则实数a 的取值范围是 ()5．若函数 f(x)＝alog x ＋a ·4 2A ． a ＜－ 3B ．－ 3＜ a ＜－3243C ．－ 3＜ a ＜－ 4D ．－ 3＜ a ＜－12 2考点 函数零点存在性定理题点 函数零点相关的参数取值范围答案C分析∵ 函数 y ＝ log 2 x2 xx ， y ＝4在其定义域上单一递加，∴ 函数 f(x)＝ alog x ＋ a ·4在区间＋ 3112， 1 上单一且连续，∴由零点存在性定理可得 f 2·f(1) ＜ 0，即 (－ a＋2a＋ 3)(4a＋ 3)＜ 0，3解得－ 3＜ a＜－4.6．某公司 2017 年 12 月份的产值是这年 1 月份产值的P 倍，则该公司2017 年度产值的月平均增添率为 ()P11A.P－1 B.P－ 111P－ 1C.PD.11考点成立函数模型解决实质问题题点对数函数模型的应用答案B分析设 1 月份产值为 a，增添率为11P－ 1. x，则 aP＝ a(1＋ x)11，∴ x＝7．已知在 x 克 a%的盐水中，加入y 克 b%(a≠ b)的盐水，浓度变成c%，将 y 表示成 x 的函数关系式为 ()c－ a c－ aA ． y＝x B． y＝xc－ b b－ cc－ b b－ cC．y＝c－a x D． y＝c－a x答案 Bc－ a 依据配制前后溶质不变，有等式a%x＋b%y＝c%(x＋y)，即ax＋by＝cx＋cy，故y＝x.b －c8．今有一组数据，以下表所示：x12345y35 6.999.0111以下函数模型中，最靠近地表示这组数据知足的规律的是()A ．指数函数B．反比率函数C．一次函数D．二次函数考点函数拟合问题题点函数拟合问题答案C分析由表中数据知，跟着自变量 x 每增添 1，函数值 y 约增添 2，因此一次函数最靠近地表示这组数据知足的规律．9．有浓度为 90%的溶液 100 g，从中倒出 10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于 10% ，这类操作起码应进行的次数为(参照数据： lg 2＝ 0.301 0， lg 3 ＝ 0.477 1)() A．19 B．20 C．21 D．22考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案C分析操作次数为 n 时的浓度为9n＋1，109n ＋1<10% ，得 n＋ 1>－ 1－1≈ 21.8，由109 ＝2lg 3 －1lg10∴n≥ 21.2x－ 3，则函数 f(x)的零点所在的区间为 () 10． (2018 舟·山中学考试 )设函数 f(x)＝ log x＋ 2A ． (0,1)B． (1,2)C．(2,3)D． (3,4)考点题点答案B二、填空题 (本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 )11．函数 y＝ x2与函数 y＝ xln x 在区间 (1，＋∞ )上增添较快的一个是________．考点三种函数模型增添的差别题点三种函数模型增添速度的差别答案y＝ x2分析y＝ x2＝ x·x， y＝x· lnx，此中 y＝x 比 y＝ ln x 在 (1，＋∞ )上增添较快，也可取特别值验证．ln x， x≥ 1，12．已知函数f( x)＝e f |x|＋ 1 ，x＜1(e 为自然对数的底数)，则 f(e)＝ ________，函数 y＝ f(f(x))－1 的零点有 ________个． (用数字作答 )答案13分析f(e)＝ ln e＝ 1；函数 y＝ f(f(x))－ 1 的零点个数为方程f( f(x)) ＝ 1 的根的个数，则①由 ln x＝ 1(x≥ 1)，得 x＝e，于是 f(x)＝e，则由 ln x＝e(x≥1) ，得 x＝ e e；或由 e f (|x|＋1)＝ e(x＜ 1)，得 f(|x|＋ 1)＝ 1，因此 ln(| x|＋ 1)＝ 1，解得 x＝ e－ 1(舍去 )或 x＝ 1－ e；②由 e f(| x|＋1)＝ 1(x＜ 1)，得 f(|x|＋ 1)＝ 0，因此 ln(|x|＋ 1)＝ 0，解得 x＝ 0，因此 f(x)＝ 0，只有 ln x＝ 0(x≥ 1)，解得 x＝ 1.综上可知，函数 y＝ f( f(x)) － 1 共有 3 个零点．13．(2018 宁·波市期末 )f(x)是定义在 R 上的偶函数，当x≥ 0， f(x)＝ 2x，且对于 x 的方程 [f(x)] 2－ 4f(x)＋ a＝ 0 在 R 上有三个不一样的实数根，则f(－ 1)＝ ________， a＝ ________.考点题点答案 2 3分析由偶函数的性质可得： f( －1)＝ f(1) ＝ 21＝2，对于 x 的方程 [f(x)] 2－ 4f(x)＋ a＝ 0 在 R 上有三个不一样的实数根，方程的根为奇数个，联合f(x)为偶函数可知x＝ 0 为方程的一个实数根，而f(0)＝ 20＝ 1，则 12－ 4× 1＋ a＝ 0，∴ a＝ 3. 14．若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(－∞， 0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0 的 x 的取值范围是________．考点函数零点的观点题点求函数的零点答案(－ 2,2)15．已知函数 f(x)＝ a|log2x|＋ 1(a≠ 0)，定义函数 F(x)＝f x ， x＞ 0，给出以下四种说法：f － x ， x＜ 0.①F(x)＝ |f(x)|；②函数 F(x)是偶函数；③当 a＜ 0 时，若 0＜ m＜ n＜1，则有 F(m)－ F(n)＜ 0 成立；④当a＞ 0 时，函数y＝ F(x)－ 2 有 4 个零点．此中正确说法的序号是________．考点函数零点的综合应用题点函数零点的综合应用答案②③④分析①易知 F(x) ＝ f(|x|)，故 F(x)＝ |f(x)|不正确；②∵ F(x)＝ f(|x|)，∴ F(－ x)＝ F(x)，∴函数F(x)是偶函数；③当 a＜ 0 时，若 0＜ m＜ n＜1，则 F(m)－F(n) ＝－ alog m＋ 1－ (－ alog n＋ 1)22＝ a(log 2n－ log2m)＜ 0；④ 当 a＞ 0 时， F(x)＝ 2 可化为 f(|x|)＝ 2，即 a|log2|x||＋ 1＝ 2，即 |log2 |x||1 11＝ ，故 |x|＝ 2a或 |x|＝ 2 a，故函数 y ＝ F( x)－2 有 4 个零点，故 ②③④ 正确． a16．(2018 金·华十校考试 )已知函数 y ＝ f(x)是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函数， 当 x ∈ 0，32时， f(x)＝ lg( x 2－ x ＋ 1)，则 x ∈ － 3， 0 时， f(x) ＝ ________，函数 f(x)在区间 [0,3] 上的零点个2 数为 ________． 考点 题点答案－ lg( x 2＋ x ＋ 1) 533 分析(1) 当 x ∈ － 2， 0 时，－ x ∈ 0， 2，∴ f(－ x)＝ lg( x 2＋ x ＋1)，又函数 y ＝ f(x)是奇函数，∴ f(x) ＝－ f(－ x)＝－ lg( x 2＋ x ＋ 1)．3故当 x ∈ － 2， 0 时， f(x) ＝－ lg( x 2＋ x ＋1)．3(2)当 x ∈ 0，2 时，令 f(x)＝ lg( x 2－ x ＋ 1)＝ 0，得 x 2－x ＋ 1＝ 1，即 x 2－ x ＝ 0， 解得 x ＝ 1，即 f(1)＝ 0，又函数为奇函数，故可得f(－ 1)＝ f(1) ＝ 0，且 f(0)＝ 0.∵ 函数 y ＝ f(x)是以 3 为周期的函数，∴ f(2) ＝ f(2－ 3)＝f(－ 1)＝ 0，f(3)＝ f(0) ＝0.3 3 3 3 又 f2 ＝ f 2－3 ＝ f － 2 ＝－ f2 ，3∴ f 2 ＝ 0.3综上可得函数 f(x)在区间 [0,3] 上的零点为 0,1， 2， 2,3，共 5 个．2x － a ， x ＜ 1，17．设函数 f(x) ＝4 x － a x － 2a ， x ≥1.(1)若 a ＝ 1，则 f(x)的最小值为 ________； (2)若 f( x)恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ___________________________ ．答案(1) －1 (2)1， 1 ∪[2 ，＋∞ )22x－ 1， x<1，分析(1) 若 a＝ 1，则 f(x)＝4 x－ 1 x－ 2 ， x≥ 1.作出函数f( x)的图象以下图．由图可得f( x)的最小值为－ 1.(2)当 a≥ 1 时，要使函数f(x)恰有 2 个零点，需知足 21－ a≤ 0，即 a≥ 2，因此 a≥2；当 a＜1 时，要使函数f(x)恰有 2 个零点，a＜ 1≤ 2a，需知足21－ a＞ 0，解得1≤ a＜ 1. 2综上，实数 a 的取值范围为1， 1 ∪[2，＋∞ )．2三、解答题 (本大题共 5 小题，共74 分)x1118． (14 分 ) 已知函数 f(x)＝ x3－ x2＋2＋4.证明：存在 x0∈ 0，2，使 f( x0)＝ x0.考点函数零点存在性定理题点判断函数在区间上能否有零点令 g(x)＝ f( x)－ x＝x3－ x2－11证明2x＋4.1111∵g(0)＝，g ＝－，∴ g(0) g· <0.42821又函数 g(x) 在 0，2上连续，1∴存在 x0∈ 0，2，使 g(x0 )＝0，即 f(x0)＝ x0.19．(15 分 )某公司拟订了一个激励销售人员的奖赏方案：当销售收益不超出 15 万元时，按销售收益的 10%进行奖赏；当销售收益超出15 万元时，若超出部分为 A 万元，则高出部分按2log 5(A＋ 1)进行奖赏，没高出部分仍按销售收益的10% 进行奖赏．记奖金总数为y(单位：万元 )，销售收益为 x( 单位：万元 )．(1)写出该公司激励销售人员的奖赏方案的函数表达式；(2)假如业务员老张获取 5.5 万元的奖金，那么他的销售收益是多少万元？考点函数模型的应用题点分段函数模型的应用0.1x， 0<x≤15，解(1) 由题意，得y＝1.5＋ 2log 5 x－ 14 ， x>15.(2)∵当 x∈ (0,15] 时， 0.1x≤ 1.5，又 y＝5.5>1.5 ，∴ x>15 ，∴1.5＋ 2log 5(x－14)＝ 5.5，解得 x＝ 39.答老张的销售收益是 39 万元．20． (15 分 ) 已知函数 f(x)＝ mx2－3x＋ 1 的零点起码有一个大于0，务实数 m 的取值范围．考点函数的零点与方程根的关系题点一元二次方程根的散布综合问题1解(1) 当 m＝ 0 时，由 f(x)＝0，得 x＝3，切合题意，(2)当 m≠ 0 时，9①由＝9－4m＝0，得m＝4，2令 f(x)＝0，解得 x＝3，切合题意；9②＞0，即9－4m＞0时，m＜4.设 f(x)＝0 的两根为 x1， x2且 x1＜ x2，93若 0＜m＜4，则 x1＋ x2＝m＞ 0，1x1·x2＝m＞ 0，即 x 1＞ 0，x 2＞0，切合题意，3若 m ＜ 0，则 x 1＋ x 2＝ m ＜ 0，1x 1·x 2＝ m ＜ 0，即 x 1＜ 0，x 2＞0，切合题意，99综上可知 m ≤ 4，即 m 的取值范围为 － ∞ ，4 .21． (15 分 )用模型 f(x)＝ ax ＋ b 来描绘某公司每季度的收益 f(x)亿元和生产成本投入 x 亿元的关系．统计表示，当每季度投入1 亿元时，收益 y 1亿元时，收益＝ 1 亿元，当每季度投入 2 y 2＝ 2 亿元，当每季度投入 3 亿元时，收益 y 3 ＝2 亿元．又定义：当 f(x)使 [f(1)－ y 1 2＋ [f(2)－] y 2] 2＋ [f(3) － y 2 的数值最小时为最正确模型．3]2时，求相应的a ，使 f(x)＝ ax ＋b 成为最正确模型；(1)当 b ＝ 3(2)依据题 (1)获取的最正确模型，请展望每季度投入4 亿元时收益 y 亿元的值．4考点函数模型的综合应用题点函数模型的综合应用解 (1) 当 b ＝2时， [f(1)－ y 1]2＋ [f(2) － y 2]2＋ [f(3)－y 3] 2＝ 14 a － 1 2＋ 1， 326112因此当 a ＝ 2时， f(x)＝ 2x ＋3为最正确模型．x 28(2)f(x)＝2＋3，则 y ＝ f(4) ＝ 3.4a 2－ab ，a ≤b ，22． (15 分)对于实数 a 和 b ，定义运算“ *”： a*b ＝设 f(x)＝(2x － 1)*(x －1)，b 2－ab ，a ＞b ，且对于 x 的方程为 f(x)＝m(m ∈ R)，恰有三个互不相等的实数根 x 1，x 2，x 3，求 x 1x 2x 3 的取值范围．考点 函数零点的综合应用 题点 函数零点的个数问题解当 x ≤ 0，即 2x －1≤ x － 1 时，则 f(x)＝ (2x － 1)*( x － 1)＝ (2x －1) 2－ (2x －1)(x －1) ＝2x 2－ x ，当 x ＞ 0，即 2x － 1＞x － 1 时，则 f(x)＝ (2x － 1)*( x － 1)＝ (x － 1)2－ (2x － 1)(x － 1)＝－ x 2＋ x ，画出大概图象如图，可知当m ∈ 0， 1时， f(x)＝ m 恰有三个互不相等的实数根x 1， x 2， x 3，其4 2， x 3 是方程－ x 21 是方程 2x 2的一个根，则 2x 3＝ m ， x 1＝中 x ＋ x － m ＝ 0 的根， x － x － m ＝ 0 x1－ 1＋ 8m1x2 x3＝－ m 1＋ 8m－ 1，明显，该式随m 的增大而减小，4，因此 x4 1－3因此161 2 3<x x x <0.由以上可知 x1x2x3的取值范围为1－ 3 16， 0.。

章末检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A5m＝2A3m，则m的值为()A．5 B．3C．6 D．7解析依题意得m！（m－5）！＝2·m！（m－3）！，化简得(m－3)·(m－4)＝2，解得m＝2或m＝5，又m≥5，∴m＝5，故选A.答案 A2．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是()A．40 B．74C．84 D．200解析分三类：第一类，从前5个题目中选3个，后4个题目中选3个；第二类，从前5个题目中选4个，后4个题目中选2个；第三类，从前5个题目中选5个，后4个题目中选1个，由分类加法计数原理得共有不同选法的种数为C35C34＋C45C24＋C55C14＝74.答案 B3．若实数a＝2－2，则a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210等于()A．32 B．－32C．1 024 D．512解析 由二项式定理，得a 10－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210＝C 010(－2)0a 10＋C 110(－2)1a 9＋C 210(－2)2a 8＋…＋C 1010(－2)10＝(a －2)10＝(－2)10＝25＝32.答案 A4．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )A ．A 34种B ．A 33A 13种 C ．C 24A 33种D ．C 14C 13A 33种解析 先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有C 24A 33种分配方案．答案 C5．(x ＋2)2(1－x )5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A ．5 B ．3 C ．2D ．0解析 常数项为C 22·22·C 05＝4，x 7的系数为C 02·C 55·(－1)5＝－1，因此x 7的系数与常数项之差的绝对值为5. 答案 A6．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数为( )A ．A 44A 55B ．A 23A 44A 35 C ．C 13A 44A 55D ．A 22A 44A 55解析 先把每个品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有A 22种放法，再考虑4幅油画本身排放有A 44种方法，5幅国画本身排放有A 55种方法，故不同的排列法有A 22A 44A 55种．答案 D7．设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，那么a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A ．－122121B ．－6160 C ．－244241D ．－1解析 令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，再令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35.两式相加除以2求得a 0＋a 2＋a 4＝122，两式相减除以2可得a 1＋a 3＋a 5＝－121.又由条件可知a 5＝－1，故a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3＝－6160.答案 B8．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －5，则(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中含x 4项的系数是该数列的( ) A ．第9项 B ．第10项 C ．第19项D ．第20项解析 ∵(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中含x 4项的系数是C 45＋C 46＋C 47＝5＋15＋35＝55，∴由3n －5＝55得n ＝20.故选D. 答案 D二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列是组合问题的是( )A ．10人相互通一次电话，共通多少次电话？B ．10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？C ．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？D ．从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？解析 A 是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；B 是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；C 是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；D 是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．答案ABC10．满足不等式A2n－1－n<7的n的值为()A．3 B．4C．5 D．6解析由A2n－1－n＜7，得(n－1)(n－2)－n＜7，整理，得n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即n≥3且n∈N*，所以n＝3或n＝4.答案AB11．男、女学生共有8人，若从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，则女生有()A．2 B．3 C．4 D．5解析设男生有x人，则女生有(8－x)人．∵从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，∴C2x·C18－x＝30，∴x(x－1)(8－x)＝30×2＝2×6×5，或x(x－1)(8－x)＝3×4×5.∴x＝6，8－6＝2，或x＝5，8－5＝3，∴女生有2人或3人．答案AB12．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，则实数m＝()A．－3 B．－1 C．1 D．3解析令x＝1，由(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6可得，(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，所以1＋m＝2或1＋m＝－2，解得m＝1或m＝－3.答案AC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有__________种．解析分两步完成：第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A22种种植方法；第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A55种种植方法．由分步乘法计数原理得，不同的种植方法共有A22·A55＝240(种)．答案24014．(1＋sin x)6的二项展开式中，二项式系数最大的一项为52，则x在[0，2π]内的值为__________．解析由题意，得T4＝C36sin3x＝20sin3x＝5 2，∴sin x＝1 2.∵x∈[0，2π]，∴x＝π6或5π6.答案π6或5π615．将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有__________种．解析先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，若C，D在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；若C，D在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A或B的盒中，有2×2＝4(种)放法．故共有6×(1＋4)＝30(种)放法．答案3016．若二项式(2＋x)10按(2＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10的方式展开，则展开式中a8的值为__________，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝__________．(第一空3分，第二空2分)解析由题意得，(2＋x)10＝(－2－x)10＝[－3＋(1－x)]10，所以展开式的第9项为T9＝C810(－3)2(1－x)8＝405(1－x)8，即a8＝405.令x＝0，则a0＋a1＋…＋a10＝(2＋0)10＝1 024.答案405 1 024四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{x||x－6|<3，x∈N*}．试问：(1)从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？(2)从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？解A＝{3，4，5，6，7}，B＝{4，5，6，7，8}．(1)A中元素作为横坐标，B中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)；B中元素作为横坐标，A中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)．又两集合中有4个相同元素，故有4×4＝16(个)重复了两次，所以共有25＋25－16＝34(个)不同的点．(2)A∪B＝{3，4，5，6，7，8}，则这样的三位数共有C36＝20(个)．18．(本小题满分12分)已知(1＋2x)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56倍，试求展开式中二项式系数最大的项．解 二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n (2k)x k2，由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56倍，∴⎩⎨⎧C k n 2k ＝2C k －1n ·2k －1，C k n 2k ＝56C k ＋1n ·2k ＋1，解得n ＝7.∴展开式中二项式系数最大的项是 T 4＝C 37(2x )3＝280x 32或T 5＝C 47(2x )4＝560x 2. 19．(本小题满分12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数． (1)A ，B 必须被选出； (2)至少有2名女生被选出；(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．解 (1)除选出A ，B 外，从其他10个人中再选3人，选法数为C 310＝120.(2)按女生的选取情况分类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生．所有选法数为C 25C 37＋C 35C 27＋C 45C 17＋C 55＝596.(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务．根据分步乘法计数原理，所有选法数为C 17·C 15·A 310＝25 200.20．(本小题满分12分)设⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a m x m ，若a 0，a 1，a 2成等差数列，(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式中所有含x 的奇次幂项的系数和．解 (1)依题意a 0＝1，a 1＝m 2，a 2＝C 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫122. 由2a 1＝a 0＋a 2，得m ＝1＋C 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫122，解得m ＝8或m ＝1(应舍去)， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项是第5项， T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝358x 4. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a m x m ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x 8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8. 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫328，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝38－129＝20516，所以展开式中所有含x 的奇次幂项的系数和为20516.21．(本小题满分12分)把n 个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数．(1)求1，2，3，4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数； (2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数．解 (1)1，2，3，4的再生数的个数为A 44＝24，其中最大再生数为4 321，最小再生数为1 234.(2)需要考查5个数中相同数的个数．若5个数各不相同，有A55＝120(个)；＝60(个)；若有2个数相同，则有A55A22＝20(个)；若有3个数相同，则有A55A33若有4个数相同，则有A55＝5(个)；A44若5个数全相同，则有1个．22．(本小题满分12分)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．解(1)将所有的三位偶数分为两类：①若个位数为0，则共有A24＝12(种)；②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(种)．所以共有12＋18＝30(个)符合题意的三位偶数．(2)将这些“凹数”分为三类：①若十位数字为0，则共有A24＝12(种)；②若十位数字为1，则共有A23＝6(种)；③若十位数字为2，则共有A22＝2(种)．所以共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”．(3)将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数字在一、三位置，则共有A22·A33＝12(种)；②若两个奇数数字在二、四位置，则共有A22·C12·A22＝8(种)；③若两个奇数数字在三、五位置，则共有A22·C12·A22＝8(种)．所以共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数.。

人教版高二必修5数学第三章不等式章末训练题（含答案）不等式，用不等号将两个整式连结起来所成的式子。

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一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧，那么a的取值范围是()A.a0或aB.0答案 B2.假定不等式ax2+bx-20的解集为x|-2A.-18B.8C.-13D.1答案 C解析∵-2和-14是ax2+bx-2=0的两根.-2+-14=-ba-2-14=-2a，a=-4b=-9.a+b=-13.3.假设aR，且a2+a0，那么a，a2，-a，-a2的大小关系是()A.a2-a2B.-a-a2aC.-aa-a2D.a2a-a2答案 B解析∵a2+a0，a(a+1)0，-1a2a.4.不等式1x12的解集是()A.(-，2)B.(2，+)C.(0,2)D.(-，0)(2，+)答案 D解析 1x1x-122-x2x0x-22xx0或x2.5.设变量x，y满足约束条件x+y3，x-y-1，y1，那么目的函数z=4x+2y的最大值为()A.12B.10C.8D.2答案 B解析画出可行域如图中阴影局部所示，目的函数z=4x+2y可转化为y=-2x+z2，作出直线y=-2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2最大. 解方程组x+y=3，y=1得A(2,1)，zmax=10.6.a、b、c满足cA.abB.c(b-a)C.ab2cb2D.ac(a-c)0答案 C解析∵c0，c0.而b与0的大小不确定，在选项C中，假定b=0，那么ab2cb2不成立.7.集合M={x|x2-3x-280}，N={x|x2-x-60}，那么MN为()A.{x|-4-2或3B.{x|-4C.{x|x-2或x3}D.{x|x-2或x3}答案 A解析∵M={x|x2-3x-280}={x|-47}，N={x|x2-x-60}={x|x-2或x3}，MN={x|-4-2或38.在R上定义运算：xy=x(1-y)，假定不等式(x-a)(x+a)1对恣意实数x成立，那么()A.-1答案 C解析 (x-a)(x+a)=(x-a)(1-x-a)-x2+x+(a2-a-1)0恒成立=1+4(a2-a-1)-129.在以下各函数中，最小值等于2的函数是()A.y=x+1xB.y=cos x+1cos x (0C.y=x2+3x2+2D.y=ex+4ex-2答案 D解析选项A中，x0时，y2，x0时，y选项B中，cos x1，故最小值不等于2;选项C中，x2+3x2+2=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+2，当x=0时，ymin=322.选项D中，ex+4ex-22ex4ex-2=2，当且仅当ex=2，即x=ln 2时，ymin=2，适宜.10.假定x，y满足约束条件x+y-12x-y2，目的函数z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值，那么a的取值范围是()A.(-1,2)B.(-4,2)C.(-4,0]D.(-2,4)答案 B解析作出可行域如下图，直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知-12，即-411.假定x，yR+，且2x+8y-xy=0，那么x+y的最小值为()A.12B.14C.16D.18答案 D解析由2x+8y-xy=0，得y(x-8)=2x，∵x0，y0，x-80，失掉y=2xx-8，那么=x+y=x+2xx-8=x+2x-16+16x-8=(x-8)+16x-8+102x-816x-8+10=18，当且仅当x-8=16x-8，即x=12，y=6时取=.12.假定实数x，y满足x-y+10，x0，那么yx-1的取值范围是()A.(-1,1)B.(-，-1)(1，+)C.(-，-1)D.[1，+)答案 B解析可行域如图阴影，yx-1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得yx-11或yx-1-1.二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分)13.假定A=(x+3)(x+7)，B=(x+4)(x+6)，那么A、B的大小关系为________.答案 A14.不等式x-1x2-x-300的解集是___________________________________________________ _____________________.答案 {x|-56}15.假设ab，给出以下不等式：①1a②a3③a2④2ac2⑤ab⑥a2+b2+1ab+a+b.其中一定成立的不等式的序号是________.答案②⑥解析①假定a0，b0，那么1a1b，故①不成立;②∵y=x3在xR上单调递增，且ab.a3b3，故②成立;③取a=0，b=-1，知③不成立;④当c=0时，ac2=bc2=0,2ac2=2bc2，故④不成立;⑤取a=1，b=-1，知⑤不成立;⑥∵a2+b2+1-(ab+a+b)=12[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]0，a2+b2+1ab+a+b，故⑥成立.16.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速中转B 市，两地铁路途长400千米，为了平安，两列货车的间距不得小于v202千米，那么这批货物全部运到B市，最快需求________小时.答案 8解析这批货物从A市全部运到B市的时间为t，那么t=400+16v202v=400v+16v4002 400v16v400=8(小时)，当且仅当400v=16v400，即v=100时等号成立，此时t=8小时.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17.(12分)假定不等式(1-a)x2-4x+60的解集是{x|-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a(2)b为何值时，ax2+bx+30的解集为R.解 (1)由题意知1-a0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根，1-a041-a=-261-a=-3，解得a=3.不等式2x2+(2-a)x-a0即为2x2-x-30，解得x-1或x32.所求不等式的解集为x|x-1或x32.(2)ax2+bx+30，即为3x2+bx+30，假定此不等式解集为R，那么b2-430，-66.18.(12分)解关于x的不等式56x2+ax-a20.解原不等式可化为(7x+a)(8x-a)0，即x+a7x-a80.①当-a70时，-a7②当-a7=a8，即a=0时，原不等式解集为③当-a7a8，即a0时，a8综上知，当a0时，原不等式的解集为x|-a7当a=0时，原不等式的解集为当a0时，原不等式的解集为x|a819.(12分)证明不等式：a，b，cR，a4+b4+c4abc(a+b+c). 证明∵a4+b42a2b2，b4+c42b2c2，c4+a42c2a2，2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2)即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.又a2b2+b2c22ab2c，b2c2+c2a22abc2，c2a2+a2b22a2bc.2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc)，即a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).a4+b4+c4abc(a+b+c).20.(12分)某投资人计划投资甲、乙两个项目，依据预测，甲、乙项目能够的最大盈利率区分为100%和50%，能够的最大盈余率区分为30%和10%，投资人方案投资金额不超越10万元，要求确保能够的资金盈余不超越1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才干使能够的盈利最大? 解设投资人区分用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x+y10，0.3x+0.1y1.8，x0，y0.目的函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如下图，阴影局部(含边界)即可行域.作直线l0：x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z，zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组x+y=10，0.3x+0.1y=1.8，得x=4，y=6，此时z=14+0.56=7(万元).∵70，当x=4，y=6时，z取得最大值.答投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才干在确保盈余不超越1.8万元的前提下，使能够的盈利最大.21.(12分)设aR，关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1，x2，且0解设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2.由于x1，x2是方程f(x)=0的两个实根，且0所以f00，f10，f20a2-a-20，7-a+13+a2-a-20，28-2a+13+a2-a-20a2-a-20，a2-2a-80，a2-3aa-1或a2，-23-2所以a的取值范围是{a|-222.(14分)某商店预备在一个月内分批购置每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，贮存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，假定每批购入4台，那么该月需用去运费和保管费共52元，如今全月只要48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);(2)能否恰外地布置每批进货的数量，使资金够用?写出你的结论，并说明理由.解 (1)设题中比例系数为k，假定每批购入x台，那么共需分36x批，每批价值20x.由题意f(x)=36x4+k20x，由x=4时，y=52，得k=1680=15.f(x)=144x+4x (0(2)由(1)知f(x)=144x+4x (0f(x)2144x4x=48(元).当且仅当144x=4x，即x=6时，上式等号成立.故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.小编为大家提供的高二必修5数学第三章不等式章末训练题，大家细心阅读了吗？最后祝同窗们学习提高。

模块综合测评(时间：120分钟,总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列赋值语句正确的是（ ）A.m+n=3B.l=mC.m=1，n=1D.m=m-1 解析：判断是否为赋值语句，主要看它是否满足赋值语句的特点.注意，赋值语句中的等号与数学中等号意义的区别. 答案：D2.抛掷一枚骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件一定发生的是（ ）A.“出现奇数点”B.“出现偶数点”C.“点数大于3”D.“点数是3的倍数”解析：若事件A 发生，则事件B 发生，则事件A 和事件B 的关系是A B ，令事件A={出现2点}，则事件B=｛出现偶数点｝一定发生. 答案：B 3.高三（1）、（2）班在一次数学考试中，成绩平均分相同，但（1）班的成绩比（2）班整齐，若（1）、（2）班的成绩方差分别为s 12和s 22，则（ ）A.s 12＞s 22B.s 12＜s 22C.s 12=s 22D.s 1＞s 2解析：方差的大小描述了数据的分散程度，因为（1）班成绩比（2）班成绩整齐，这说明（1）班的成绩分布比较集中，所以s 21＜s 22. 答案：B4.某地招生办为了了解2007年高考文科数学主观题的阅卷质量，将2 050本试卷中封面保密号的尾数是11的全部抽出来，再次复查，这种抽样方法采用的是（ ）A.抽签法B.简单随机抽样C.系统抽样D.分层抽样 解析：由各抽样方法的使用条件可知，这种抽样为系统抽样. 答案：C5.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2=25内的概率是（ ） A.21 B.3613 C.94 D.125 解析：设P 点坐标为(m,n)，则P 点落在圆内，即满足m 2+n 2＜25通过列举法可得满足条件的点(m,n)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)共13个，而(m,n)所有可能的点有36种，所以P 点落在圆内的概率为3613，本题也可从对立事件角度去考虑. 答案：B6.①学校为了解高一学情，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90—110分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400 m 决赛的6名同学安排跑道.就这三件事，合适的抽样方法为（ ） A.分层抽样、分层抽样、简单随机抽样 B.系统抽样、系统抽样、简单随机抽样 C.分层抽样、简单随机抽样、简单随机抽样 D.系统抽样、分层抽样、简单随机抽样 解析：明确各种抽样方法的适用范围，进而选择合适的抽样方法. 答案：D7.在如下图所示的Rt △ABC 中，∠A=30°，过直角顶点C 在∠ACB 内任作一条射线交线段AB 于M ，则使AM ＞AC 的概率是（ ）A.61 B.65 C.232- D.21 解析：它属于几何概型，令事件A=｛过直角顶点C 在∠ACB 内任作一条射线交线段AB 于M ，使AM ＞AC ｝，事件A 发生的区域为∠BCM=15°（如图），构成事件总的区域为∠ACB=90°，由几何概型的概率公式得P(A)=61. 答案：A8.已知框图,则表示的算法是（ ）A.求和S=2+22+…+264B.求和S=1+2+22+…+263C.求和S=1+2+22+…+264D.以上均不对解析：关键是要读懂框图的含义.循环结构中是完成数据的累加，要实现所求算法，框图中第一次执行循环体时i 的值应为0，框图中最后一次执行循环体时i 的值应为64，结合条件不满足时执行循环体，当i ＞64时就会终止循环. 答案：C9.一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A.至少有一次中靶 B.两次中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 解析：若A 、B 为互斥事件则A∩B=∅. 答案：C10.现有语文、数学、英语、历史、政治和物理共六本书，从中任取一本，取出的是文科书的概率是（ ） A.21 B.65 C.61 D.32 解析：取到的书是文科书，即取到的书为语文、英语、历史、政治书，根据互斥事件的概率公式可求得P=3261616161=+++.答案：D11.甲口袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙口袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从两个口袋内各摸出1个球，那么125等于（ ） A.2个球都是白球的概率 B.2个球中恰好有1个是白球的概率 C.2个球都不是白球的概率 D.2个球都不是红球的概率 解析：依次求出A 、B 、C 、D 四项中所求事件的概率，四个选项的概率依次是A ：121121234=⨯⨯；B ：12512129438=⨯⨯+⨯；C ：21121298=⨯⨯；D ：21121234=⨯⨯答案：B12.用辗转相除法求204与85的最大公约数时，需要做除法的次数是（ ）A.1次B.2次C.3次D.4次 解析：用辗转相除法可得：204÷85=2…34，85÷34=2…17，34÷17=2，到此时可以判断它们的最大公约数是17，使用了3次除法得出结果. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在题中的横线上)13.设集合P={x,1}，Q={y,1,2}，P ⊆Q,x,y ∈{1,2,3,…,9},且在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对（x,y ）所表示的点中任取一个，其落在圆x 2+y 2=r 2内的概率恰为72,则r 2的一个可能的整数值是____________.（只需写出一个即可） 解析：由于P ⊆Q,所以x=2或x=y.当x=2时，点（x,y ）有（2,3）、（2,4）、（2,5）、（2,6）、（2,7）、（2,8）、（2,9）共7个；当x=y 时，点（x,y ）有（3，3）、（4,4）、（5,5）、（6,6）、（7,7）、（8,8）、（9,9）共7个；所以满足条件的点（x,y ）总共有7+7=14个.由于落在圆x 2+y 2=r 2内的概率恰为72，则共有72×14=4点落在圆x 2+y 2=r 2内. 将满足条件的14个点（x,y ）按横纵坐标的平方和从小到大的顺序排列：（2，3）、（3，3）、（2，4）、（2，5）、（4，4）、（2，6）、（5，5）、（2，7）、（2，8）、（6，6）、（2，9）、（7，7）、（8，8）、（9，9）.则第4个点是A （2，5），第5个点是B （4，4），显然r 2只需满足|OA|2＜r 2＜|OB|，即22+52＜r 2＜42+42，所以有29＜r 2＜32,则r 2的一个可能的整数值是30或31，故填30（或31也行）. 答案：30（或31）.14.x=input(“请输入一个正的两位数x=”)； if 9＜x and x ＜100 then a=x/10；b=x mod 10； x=10*b+a ； print x elsedisp(“输入有误!”) end以上程序运行的含义是______________.解析：读懂程序的流程和程序的意图（或程序目的），可以代入数据试运行，这样一般可以得到准确的答案.答案：将一个数的十位数与个位对换 15.一个样本方差是S 2=151［(x 1-12)2+(x 2-12)2+…+(x 15-12)2］，则这个样本的平均数是___________，样本容量是___________. 解析：在样本方差的公式S 2=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］中我们可以知道样本的容量为n 及样本的平均数为x ，因此同学们应记清公式中各个量的含义.答案：12 1516.将一批数据分成4组，列出频率分布表，其中第1组的频率是0.27，第2组与第4组的频率之和为0.54，则第3组的频率是______________.解析：在直方图中频率之和为1，所以第3组的频率为1-0.27-0.54=0.19. 答案：0.19三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（12分）根据下面程序，画出程序框图，并说出表示了什么样的算法. a=input(“a=”)； b=input(“b=”)； c=input(“c=”)； if a ＞b and a ＞c then print(% io （2），a ）； elseif b ＞c thenprint （% io （2），b ）； elseprint （% io （2），c ）； end end end分析：我们根据程序按顺序从上到下分析. 第一步：是输入a ，b ，c 三个数；第二步：是判断a 与b ，a 与c 的大小，如果a 同时大于b ，c ，则输出a ，否则执行第三步； 第三步：判断b 与c 的大小，因为a 已小于b 与c ，则只需比较b 与c 的大小就能看出a ，b ，c 中谁是最大的了，如果b ＞c ，则输出b ，否则输出c.通过上面的分析，程序表示一个什么样的算法已经非常清楚了. 解：框图如图所示：以上程序表示了输出a ，b ，c 中三个数的最大数的一个算法.18.（12分）在一个边长为a ，b(a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a 31与a 21，高为b ，向该矩形内随机投一点，求所投的点落在梯形内部的概率. 分析：投中矩形内每一点都是一个基本事件，基本事件有无限多个，并且每个基本事件发生的可能性相等，所以投中某一部分的概率只与这部分的几何度量(面积)有关，符合几何概型的条件.解：记A={所投的点落在梯形内部}，S 矩形=ab ，S 梯形=125)2131(21=+b a a ab ，P(A)=125125=ab ab， 即所投的点落在梯形内部的概率是125.19.（12分）一个小球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度一半再落下，编写程序，求当它第10次着地时， （1）向下运动共经过多少米？ （2）第10次着地后反弹多高？ （3）全程共经过多少米？分析：搞清楚小球的运动的特点，通过循环来设计程序. 解：程序： i=100; sum=0; k=1;while k ＜=10 sum=sum+i i=i/2 k=k+1 endprint(% io (2),sum) print(% io (2),i)print(“全程共经过（单位：(m)）”;2*sum -100) end20.（12分）某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组的频数如下：［0，0.5)，4；［0.5，1)，8；［1，1.5)，15；［1.5，2)，22；［2，2.5)，25；［2.5，3)，14；［3，3.5)，6；［3.5，4)，4；［4，4.5)，2.(1)列出样本的频率分布表.(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的众数.(3)当地政府制订了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府解释说，85%以上的居民不超出这个标准，这个解释对吗？为什么？分析：众数即直方图中所有矩形中最高矩形的中点的横坐标.解：(1)（2）众数约为2.25.(3)对，上面的图和表显示了样本数据落在各个小组的比例大小.从中我们可以看到，月用水量在区间［2,2.5］内的居民最多,在［1.5,2］的次之,大部分居民的月用水量都在［1,3］之间，其中月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%+4%+2%=12%，即大约占12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下.因此居民月用水量标准定为3t是一个可以考虑的标准.即不超出这个标准的概率约为88%，在85%以上.21.（13分）A、B两个箱子中分别装有标号为0、1、2的三种卡片，每种卡片的张数如下表所示：(1)从A、B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x=2的概率.(2)从A、B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x=0且y=2的概率.分析：本题属于古典概型，关键是列举出基本事件的个数. 解：（1）记事件A={从A 、B 箱中各取1张卡片，两卡片的数字之积等于2},由上图知总基本事件个数为6×5=30(个)，事件A 包含基本事件个数为5个. 由古典概型的概率公式得：P(A)=61305=. 即x=2的概率为61. (2)记事件B={从A 、B 箱中各取1张卡片，其数字和为2且积为0},由图知事件B 包含基本事件个数为10个.所以由古典概型的概率公式得P(B)=313010=. 即x=0且y=2的概率为31. 22.（13分）(2007广东高考，理17)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=bx+a.(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)分析：根据表中的数据在直角坐标系中把所给的数据点（x,y ）描出，然后根据最小二乘法思想求出b 与a 的，代入回归直线方程，把所得到的回归直线方程用来估计总体. 解：(1)如下图.(2)∑=ni ii yx 1=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，46543+++=x =4.5，45.4435.2+++=y =3.5，∑=ni ix12=32+42+52+62=86，b=8186635.665.44865.35.445.662--=⨯-⨯⨯-=0.7，a=y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35. 故线性回归方程为yˆ=0.7x+0.35. (3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100+0.35=70.35，故耗能减少了90-70.35=19.65(吨标准煤).。

高中数学必修三第三章《概率》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是（）A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%2．某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是（）①选出1人是班长的概率为140；②选出1人是男生的概率是125；③选出1人是女生的概率是115；④在女生中选出1人是班长的概率是0．A．①②B．①③C．③④D．①④3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A．12B．13C．14D．184．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不是对立事件D．以上答案都不对5．在2010年广州亚运会火炬传递活动中，在编号为1，2，3，4，5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（）A．110B．310C．710D．9106．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③7．矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为（ ） A ．16B ．16．32C ．16．34D ．15．968．在区间(15，25]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是（ ） A ．13B ．12C ．310D ．7109．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0．23，则摸出黑球的概率为（ ） A ．0．45B ．0．67C ．0．64D ．0．3210．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为（ ） A ．9100B ．350C ．3100D ．2911．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为（ ） A ．710B ．310 C ．35D ．2512．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（ ）A ．4πB ．12π C ．14π-D ．112π-二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0．2，重量在[]200,300内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．14．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件A B +发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)15．先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b ．将a ，b ，5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．16．设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下：（1（2）至少3人排队等候的概率是多少？18．(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂．（1）求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．19．(12分)在区间(0，1)上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程20+=有x m实根的概率．20．(12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．（1）用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；（2）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；（3）求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．21．(12分)在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱？22．(12分)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：10辆．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4，8．6，9．2，9．6，8．7，9．3，9．0，8．2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．【答案】D【解析】A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；C选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D选项，概率为90%，即可能性为90%．故选D．2．【答案】D【解析】本班共有40人，1人为班长，故①对；而“选出1人是男生”的概率为255408=；“选出1人为女生”的概率为153408=，因班长是男生，∴“在女生中选班长”为不可能事件，概率为0．故选D．3．【答案】C【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，可能出现“正、正”、“反、反”、“正、反”、“反、正”，因此两个正面朝上的概率14P =．故选C ． 4．【答案】C【解析】由互斥事件的定义可知：甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知：甲、乙可能都得不到红牌，即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生．故选C ． 5．【答案】B【解析】从1，2，3，4，5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为310P =．故选B ． 6．【答案】A【解析】从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A “两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．A 选项正确． 7．【答案】B 【解析】由题意204300S S =阴矩，∴204=24=16.32300S ⨯阴．故选B ． 8．【答案】C【解析】∵(]15,25a ∈，∴()201731720251510P a -<<==-．故选C ．9．【答案】D【解析】摸出红球的概率为45.45100=0，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为10.450.230.32--=．故选D ． 10．【答案】A【解析】任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i )(i ＝0，1，2，…，9)；(1，i )(i ＝0，1，2，…，9)；(2，i )(i ＝0，1，2，…，9)；…；(9，i )(i ＝0，1，2，…，9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3，3)，(3，6)，(3，9)，(6，3)，(6，6)，(6，9)，(9，3)，(9，6)，(9，9)．共有9种． 故所求概率为9100．故选A ． 11．【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m >n 的点应在梯形OABD 内， 所以所求事件的概率为7=10OABD OABCS P S =梯形矩形．故选A ． 12．【答案】C 【解析】4144P --ππ===-正方形面积圆锥底面积正方形面积．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0.3【解析】所求的概率10.20.50.3P =--=． 14．【答案】23【解析】事件A 包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；B 表示“大于等于5的点数出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A 与B 是互斥的，故()()()112333P A B P A P B +==+=．15．【答案】718【解析】基本事件的总数为6×6＝36．∵三角形的一边长为5，∴当a ＝1时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝2时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝3时，b ＝3或5符合题意，即有2种情况； 当a ＝4时，b ＝4或5符合题意，有2种情况； 当a ＝5时，b ∈{1，2，3，4，5，6}符合题意， 即有6种情况；当a ＝6时，b ＝5或6符合题意，即有2种情况． 故满足条件的不同情况共有14种， 所求概率为1473618=．36【解析】基本事件总数为36个，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b 2≥4c ．当c ＝1时，b ＝2，3，4，5，6；当c ＝2时，b ＝3，4，5，6； 当c ＝3时，b ＝4，5，6；当c ＝4时，b ＝4，5，6； 当c ＝5时，b ＝5，6；当c ＝6时，b ＝5，6．符合条件的事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x 2－bx ＋c ＝0有实根的概率为1936．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）0.56；（2）0.44．【解析】记“有0人等候”为事件A ，“有1人等候”为事件B ，“有2人等候”为事件C ，“有3人等候”为事件D ，“有4人等候”为事件E ，“有5人及5人以上等候”为事件F ，则易知A 、B 、C 、D 、E 、F 互斥．（1）记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ， 所以()()()()()=0.10.160.30.56P G P ABC P A P B P C =++＝＋＋＝．（2）记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0．3＋0．1＋0．04＝0．44． 也可以这样解，G 与H 互为对立事件， 所以()()110.560.44P H P G --===．18．【答案】（1）A ，B ，C 分别抽取2人，3人，2人；（2）1121． 【解析】（1）工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为71639=，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2人，3人，2人．（2）设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为事件X )有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为()1121P X =．8【解析】在平面直角坐标系中，以x 轴和y 轴分别表示m ，n 的值，因为m ，n 在(0，1)内与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件A 表示方程20x nx m +=有实根，则事件()40,0101n m A m n m n ⎧⎫-≥⎧⎪⎪⎪=<<⎨⎨⎬⎪⎪⎪<<⎩⎩⎭，所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为18，故()18S P A S ==阴影正方形，即关于x的一元二次方程20x nx m +=有实根的概率为18．20．【答案】（1）见解析；（2）19；（3）23．【解析】（1）甲、乙两人下车的所有可能的结果为：(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)． （2）设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A ，则()19P A =．（3）设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B ，则()121393P B =-⨯=．21．【答案】（1）0.05；（2）40元．【解析】（1）把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3． 从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB 1、AB 2、AB 3、AC 1、AC 2、AC 3、A 12、A 13、A 23、BC 1、BC 2、BC 3、B 12、B 13、B 23、C 12、C 13、C 23、123， 共20个．事件E ＝{摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123， ()10.0520P E ==． （2）事件F ＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P (F )＝2/20＝0．1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件F 发生有10次，不发生90次．则一天可赚90×1－10×5＝40，每天可赚40元． 22．【答案】（1）400；（2）710；（3）34． 【解析】（1）设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得5010100300n =+，所以n ＝2000． 则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400． （2）设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得40010005a=，即a ＝2． 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”， 则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7个．故()710P E =，即所求概率为710． （3）样本平均数()19.48.69.29.68.79.39.08.298x =⨯+++++++=．设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有： 9．4，8．6，9．2，8．7，9．3，9．0，共6个，所以()6384P D ==，即所求概率为34． 单元测试题二一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，随机事件的个数为（ ）①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军； ②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④在标准大气压下，水在4°C 时结冰． A ．1B ．2C ．3D ．42．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．233．某班有50名学生，其中男、女各25名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大（ ） A ．异性B ．同性C ．同样大D ．无法确定4．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13B ．2πC ．12D ．235．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0．35B ．0．25C ．0．20D ．0．156．12本相同的书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（ ） A ．3本都是语文书 B ．至少有一本是英语书 C ．3本都是英语书D ．至少有一本是语文书7．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是（ ） A ．34B ．14 C ．13D ．128．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（ ） A ．15B ．25 C ．35D ．459．已知集合{}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8A =-----，从集合A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A ＝{点落在x 轴上}与事件B ＝{点落在y 轴上}的概率关系为（ ） A ．P (A )>P (B )B ．P (A )<P (B )C ．P (A )＝P (B )D ．P (A )、P (B )大小不确定10．如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AC ＝BC ，AB 为圆O 的直径，向该圆内随机投一点，则该点落在△ABC 内的概率是（ ） A ．1πB ．2πC ．4πD ．12π11．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝25外的概率是（ ） A ．536B ．712C ．512 D ．1312．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ ）A ．49B ．29C ．23 D ．13二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知半径为a 的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点， 则落入E 中的概率为________．15．在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．16．在体积为V 的三棱锥S ABC -的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S APC -的体积大于3V 的概率是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知函数f(x)＝－x2＋ax－b．若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率．18．（12分）假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0．025，其余两个各为0．1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．19．（12分）如右图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上任取一点B，求使△AOB的面积大于等于14的概率．20．(12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．21．(12分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （1）求A 1被选中的概率；（2）求B 1和C 1不全被选中的概率．22．(12分)已知实数a ，{}2,1,1,2b ∈--． （1）求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率； （2）求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率．答 案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】C【解析】①张涛获得冠军有可能发生也有可能不发生，所以为随机事件； ②抽到的学生有可能是李凯，也有可能不是，所以为随机事件； ③有可能抽到1号签也有可能抽不到，所以为随机事件；④标准大气压下，水在4°C 时不会结冰，所以是不可能事件，不是随机事件． 故选C ． 2．【答案】B 3．【答案】A【解析】记“甲碰到同性同学”为事件A ，“甲碰到异性同学”为事件B ，则()2449P A =，()2549P B =，故P (A )<P (B )，即学生甲碰到异性同学的概率大．故选A ． 4．【答案】A【解析】在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，10cos ,,22332x x ππππ⎛⎫⎛⎫<<⇔∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其区间长度为3π，又已知区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的长度为π，由几何概型知133P π==π．故选A ．5．【答案】B【解析】由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为51.25204==0．B 选项正确． 6．【答案】D【解析】由于只有2本英语书，从中任意抽取3本，其中至少有一本是语文书． 故选D ． 7．【答案】D【解析】4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能， 所以2142P ==．故选D ． 8．【答案】B【解析】可能构成的两位数的总数为5×4＝20(种)，因为是“任取”两个数，所以每个数被取到的概率相同，可以采用古典概型公式求解，其中大于40的两位数有以4开头的：41，42，43，45共4种；以5开头的：51，52，53，54共4种，所以82205P ==． 故选B ． 9．【答案】C【解析】横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．故选C ． 10．【答案】A【解析】连接OC ，设圆O 的半径为R ，记“所投点落在△ABC 内”为事件A ，则()2112AB OCP A R⋅⋅==ππ．故选A ． 11．【答案】B【解析】本题中涉及两个变量的平方和，类似于两个变量的和或积的情况，可以用列表法，使x 2＋y 2>25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果．即2173612=． B 选项正确． 12．【答案】A【解析】可求得同时落在奇数所在区域的情况有4×4＝16(种)，而总的情况有6×6＝36(种)，于是由古典概型概率公式，得164369P ==．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】233π【解析】因为球半径为a ，则正方体的对角线长为2a ，设正方体的边长为x ， 则23a x =，∴23a x =，由几何概型知，所求的概率3323433V x P V a ===ππ正方体球． 14．【答案】16π【解析】如图所示，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P π⨯π==⨯．15．【答案】12【解析】记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型的概率公式得()121222P A ⨯==． 16．【答案】23【解析】由题意可知1>3S APC S ABC V V --，如图所示，三棱锥S ABC -与三棱锥S APC -的高相同，因此1>3S APC APC S ABC ABC V S PM V S BN --==△△ (PM ，BN 为其高线)，又PM APBN AB=， 故1>3AP AB ，故所求概率为23(长度之比)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．【答案】1225P =． 【解析】a ，b 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b ．因为事件“a 2≥4b ”包含()0,0，()1,0，()2,0，()2,1，()3,0，()3,1，()3,2，()4,0，()4,1，()4,2，()4,3，()4,4，共12个．所以事件“a 2≥4b ”的概率为1225P =． 18．【答案】0.225P =．【解析】设A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件． 则P (A )＝0．025，P (B )＝P (C )＝0．1，设D 表示军火库爆炸这个事件，则有 D ＝A ∪B ∪C ，其中A 、B 、C 是互斥事件，∴P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0．025＋0．1＋0．1＝0．225． 19．【答案】23P =． 【解析】因为1OA =，14AOB S ≥△，所以11111sin sin 242AOB AOB ⨯⨯⨯∠≥⇒∠≥， 所以566AOB ππ≤∠≤，所以14AOB S ≥△的概率为526603ππ-=π-． 20．【答案】（1）见解析；（2）23；（3）公平，见解析． 【解析】（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，()4,4'，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．（2）甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23． （3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率1512P =，同理乙胜的概率2512P =．因为P 1＝P 2， 所以此游戏公平．21．【答案】（1）13；（2）56．【解析】（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件为(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}， 事件M 由6个基本事件组成，因而()61183P M ==． （2）用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于()()(){}111211311,,,,,,,,A B C A B C A B N C =，事件N 由3个基本事件组成，所以()31186P N ==，由对立事件的概率公式得：()()151166P N P N =-=-=． 22．【答案】（1）14；（2）34． 【解析】（1）由于实数对(a ，b )的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－2)，(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，共16种． 设“直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限”为事件A ，若直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限，则必须满足00a b ≥⎧⎨≥⎩，即满足条件的实数对(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4种．∴()41164P A ==．故直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率为14． （2）设“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为事件B ，若直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝11≤，即b 2≤a 2＋1．若a ＝－2，则b ＝－2，－1，1，2符合要求，此时实数对(a ，b )有4种不同取值； 若a ＝－1，则b ＝－1，1符合要求，此时实数对(a ，b )有2种不同取值； 若a ＝1，则b ＝－1，1符合要求，此时实数对(a ，b )有2种不同取值，若a ＝2，则b ＝－2，－1，1，2符合要求，此时实数对(a ，b )有4种不同取值． ∴满足条件的实数对(a ，b )共有12种不同取值．∴()123164P B ==． 故直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为34。

2单元检测卷（8）章末检测（二）1如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）。

若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）甲组乙组6 5 9 2 5 6 17 yX缶8A. 3,5B. 5,5C. 3,7D. 5,72、在100个零件中，有一级品20个,二级品30个，三级品50个,从中抽取20个作为样本 ① 采用随机抽样法，将零件编号为00,01,02，…，99,抽出20个；② 采用系统抽样法，将所有零件分成20组,每组5个，然后每组中随机抽取1个； ③ 采用分层抽样法，随机从一级品中抽取 4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个• 则（ ）A.不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是151B •①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是1,③并非如此5 1C •①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是1,②并非如此5D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同3、从甲乙两个城市分别随机抽取 16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图则（）.0 2胃 0 2 3 J 712 4 4 8表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为 7甩，中位数分别为叫'叫,2 3 8 2C.-D.-50 1L1L1L ( :km):11,15,9,12,13.A.20B.12C.4D.2x,yx,yA.1B.-O.9C.0D.1.5100 :cm).100 110cm ( )C.70D.80y =1.5x —15,(A. y =1.5x -15B.15C.1.5是回归系数aD. x=10 时,y =08、工人月工资y （元）与劳动生产率x （ 103元）之间的回归直线方程为y=80x・50,则下列判断不正确的是（）A. 当劳动生产率为1 000元时,工资为130元B. 若劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元C. 若劳动生产率提高1 000元，则工资提高130元D. 当月工资为210元时,劳动生产率为2 000元答案以及解析1答案及解析：答案:A解析：由题意，甲组数据为56,62,65,70 - x,74 ,乙组数据为59,61,67,60 y,78 .要使两组数据中位数相等，有65 =60 y,所以y =5,又平均数相同，则56 62 65 70 X 74二59 61 67 65 78 ,解得x =3.故选A.5 52答案及解析：答案：A解析：无论采用哪种抽样，每个个体被抽到的概率相等•3答案及解析：答案：B345 4S6解析：甲的平均数一一，乙的平均数一一一，所以■甲的中位数为20,乙的中位数为29,所以 '故选B.点评:简单题，难度不大，关键是理解茎叶图的意义,掌握平均数的计算方法。

章末检测试卷一(第六章)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C m nB ．C m ＋1nC ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n 的二项展开式中第m 项为T m ＝C m －1n (－y )m －1x n －m ＋1， 所以系数为C m －1n(－1)m －1. 2．若A 4m ＝18C 3m ，则m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 D解析 由A 4m＝m (m －1)(m －2)(m －3)＝18·m (m －1)(m －2)3×2×1，得m －3＝3，m ＝6. 3．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为( ) A ．(34,34) B ．(43,34)C ．(34,43)D ．(A 34，A 34)答案 C解析 由题意知本题是一个分步计数问题，每名学生报名都有3种选择，根据分步乘法计数原理知，4名学生共有34种选择；每项冠军都有4种可能结果，根据分步乘法计数原理知，3项冠军共有43种可能结果．故选C.4．5名大人带2个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法有( )A ．A 55·A 24种B ．A 55·A 25种C ．A 55·A 26种D ．(A 77－4A 66)种答案 A解析 先排大人，有A 55种排法，去掉头尾后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有A 24种排法，由分步乘法计数原理可知，有A 55·A 24种不同的排法，故选A.5．(2－x )8的展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B解析 (2－x )8的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 828－k ·(－x )k＝(－1)k 28－k C k 82kx ，∴x 4项的系数为(－1)820C 88＝1，又(2－x )8的展开式的系数和为(2－1)8＝1. ∴不含x 4项的系数和为1－1＝0.6．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A ．10B ．11C ．12D ．15 答案 B解析 分类讨论：有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同，可得N＝C 24＋C 14＋1＝11.7．某学校要求错峰有序吃饭，高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有( ) A ．120种 B ．156种 C ．192种 D ．240种答案 C解析 丙丁捆绑在一起看作一个班，变成5个班进行排列，然后在后面4个位置中选1个排甲，这样可得排法为A 22A 14A 44＝192(种)．8.如图为我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图．现在提供5种颜色给5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为( )A ．120B ．26C ．340D ．420解析如图所示，设5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析：①区域A有5种颜色可选；②区域B与区域A相邻，有4种颜色可选；③区域C与区域A，B相邻，有3种颜色可选；④对于区域D，E，若D与B颜色相同，则区域E有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，则区域D有2种颜色可选，区域E有2种颜色可选，故区域D，E有3＋2×2＝7(种)选择．综上可知，不同的涂色方案共有5×4×3×7＝420(种)．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列问题属于排列问题的是()A．从10个人中选2人分别去种树和扫地B．从10个人中选2人去扫地C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D．从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算答案AD解析根据题意，依次分析选项：对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；对于D，从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题．10.某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有()A．C25种B．C35种C．C26种D．C46种解析因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出：①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；②向东的走法定出后，向南的走法随之确定，所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可，故不同走法的种数有C35＝C25.11．下列关于(a－b)10的说法，正确的是()A．展开式中的二项式系数之和是1 024B．展开式的第6项的二项式系数最大C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小答案ABD解析由二项式系数的性质知，C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210＝1 024，故A正确；二项式系数最大为C510，是展开式的第6项的二项式系数，故B正确；由展开式的通项T k＋1＝C k10a10－k(－b)k＝(－1)k C k10a10－k b k知，第6项的系数－C510最小，故D正确．12．将4个不同的小球放入3个分别标有1,2,3号的盒子中，不允许有空盒子的放法，关于放法的种数，下列结论正确的有()A．C13C12C11C13B．C24A33C．C13C24A22D．18答案BC解析根据题意，4个不同的小球放入3个分别标有1,2,3号的盒子中，且没有空盒子，则三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：方法一分2步进行分析：①先将4个不同的小球分成3组，有C24种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33种放法．则没有空盒的放法有C24A33种．方法二分2步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C13C24种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A22种放法．则没有空盒的放法有C 13C 24A 22种，故选BC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，则n ＝________.答案 4解析 由题意可知2n ＋6＝20－(n ＋2)，解得n ＝4.14．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种．(用数字作答) 答案 54解析 当甲、乙带不同兴趣小组时有A 23A 33＝36(种)，当甲、乙带同一个兴趣小组时，有C 23A 33＝18(种)，根据分类加法计数原理可得共有36＋18＝54(种)．15．若⎝⎛⎭⎫2x ＋ax n 的展开式的系数和为1，二项式系数和为128，则a ＝________，展开式中x 2的系数为________． 答案 －1 －448解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧()2＋a n ＝1，2n ＝128，所以n ＝7，a ＝－1，所以⎝⎛⎭⎫2x －1x 7的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 7(2x )7－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝C k 727－k(－1)k 732k x - ，令7－3k 2＝2，解得k ＝1.所以x 2的系数为C 1726(－1)1＝－448.16．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有________种． 答案 54解析 根据题意知，甲、乙都没有得到冠军，且乙不是最后一名，分2种情况讨论： ①甲是最后一名，则乙可以是第二名、第三名或第四名，即乙有3种名次排列情况，剩下的三人有A 33＝6(种)名次排列情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况；②甲不是最后一名，则甲、乙需要排在第二、三、四名，有A 23＝6(种)名次排列情况，剩下的三人有A 33＝6(种)名次排列情况，此时有6×6＝36(种)名次排列情况． 综上可知，一共有36＋18＝54(种)不同的名次排列情况． 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知A ＝{x |1<log 2 x <3，x ∈N *}，B ＝{x ||x －6|<3，x ∈N *}．试问：(1)从集合A 和B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ (2)从A ∪B 中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？解 A ＝{3,4,5,6,7}，B ＝{4,5,6,7,8}．(1)A 中元素作为横坐标，B 中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)；B 中元素作为横坐标，A 中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)．又两集合中有4个相同元素，故有4×4＝16(个)重复了两次，所以共有25＋25－16＝34(个)不同的点． (2)A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8}，则这样的三位数共有C 36＝20(个)．18．(12分)已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56，试求展开式中二项式系数最大的项．解 二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n ·2k·2kx ，由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56，∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n 2k ＝2C k －1n ·2k －1，C k n 2k＝56C k ＋1n ·2k ＋1， 解得n ＝7.∴展开式中二项式系数最大的项是 T 4＝C 37(2x )3＝28032x 或T 5＝C 47(2x )4＝560x 2. 19．(12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会． (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？(4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)选法．(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8 568(种)选法．(3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加．则共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)选法．(4)方法一 (直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类： 1内4外；2内3外；3内2外；4内1外．所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)选法．方法二 (间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)选法．20．(12分)已知⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式中的第2项和第3项的系数相等．(1)求n 的值；(2)求展开式中所有二项式系数的和； (3)求展开式中所有的有理项．解 二项式⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式的通项为T k ＋1＝C k n x n －k ·⎝⎛⎭⎫12x k＝C k n⎝⎛⎭⎫12k 32n k x - (k ＝0,1,2，…，n )．(1)根据展开式中的第2项和第3项的系数相等，得 C 1n ·12＝C 2n⎝⎛⎭⎫122，即12·n ＝⎝⎛⎭⎫122·n (n －1)2， 解得n ＝5.(2)展开式中所有二项式系数的和为C 05＋C 15＋C 25＋…＋C 55＝25＝32. (3)二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫12k 352k x - (k ＝0,1,2，…，5)． 当k ＝0,2,4时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为 T 1＝C 05⎝⎛⎭⎫120x 5＝x 5，T 3＝C 25⎝⎛⎭⎫122x 2＝52x 2，T 5＝C 45⎝⎛⎭⎫124x －1＝516x. 21．(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数． (1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；(2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 解 (1)将组成的三位数中所有偶数分为两类，①若个位数为0，则共有A 24＝12(个)符合题意的三位数；②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)符合题意的三位数． 故共有12＋18＝30(个)符合题意的三位数． (2)将这些“凹数”分为三类：①若十位上的数字为0，则共有A 24＝12(个)符合题意的“凹数”； ②若十位上的数字为1，则共有A 23＝6(个)符合题意的“凹数”； ③若十位上的数字为2，则共有A 22＝2(个)符合题意的“凹数”． 故共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”． (3)将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有A 22A 33＝12(个)符合题意的五位数； ②若两个奇数数字在千位和十位上，则共有A 22A 12A 22＝8(个)符合题意的五位数； ③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有A 22A 12A 22＝8(个)符合题意的五位数．故共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数．22．(12分)已知⎝⎛⎭⎫x ＋mx n 的展开式的二项式系数之和为256. (1)求n 的值；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n 的展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． 解 (1)由二项式系数之和为2n ＝256，可得n ＝8. (2)设常数项为第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝⎛⎭⎫m x k＝C k 8m k x 8－2k ， 令8－2k ＝0，即k ＝4， 则C 48m 4＝358，解得m ＝±12. (3)易知m >0，设第k ＋1项系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C k 8m k ≥C k －18m k －1，C k 8m k ≥C k ＋18m k ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤k ≤9m m ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7，即⎩⎨⎧54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2.。

(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列事件是随机事件的是( ) ①同种电荷，互相排斥； ②明天是晴天；③自由下落的物体作匀速直线运动；④函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在定义域上是增函数． A ．①③ B ．①④ C ．②④D ．③④解析：②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件． 答案：C2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1、P 2、P 3，则( ) A ．P 1＝P 2＜P 3 B ．P 1＜P 2＜P 3 C ．P 1＜P 2＝P 3D ．P 3＝P 2＜P 1解析：先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P 1＜P 2＜P 3. 答案：B3．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是( ) A ．A 与C 互斥 B ．任何两个均互斥 C ．B 与C 互斥D ．任何两个均不互斥解析：三件产品至少有一件次品包含三件产品全是次品，所以B 、C 不互斥，而A 与C 对立且互斥． 答案：A4．下列说法正确的是( )A ．由生物学知道生男生女的概率均约为12，一对夫妇生两个孩子，则一定为一男一女B ．一次摸奖活动中，中奖概率为15，则摸5张票，一定有一张中奖C ．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大D ．10张票中有1张有奖，10人去摸，无论谁先摸，摸到有奖票的概率都是110答案：D5．(2012·临沂高一检测)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：两枚硬币的情况如下：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．故出现两个正面朝上的概率P ＝14. 答案：C6．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8g 的概率是0.3，质量不小于4.85g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.70D ．0.68解析：记“取到质量小于4.8 g ”为事件A ，“取到质量不小于4.85 g ”为事件B ，“取到质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C .易知事件A ，B ，C 互斥，且A ∪B ∪C 为必然事件．所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.3＋0.32＋P (C )＝1，即P (C )＝1－0.3－0.32＝0.38. 答案：B7．(2011·福建高考)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：点E 为边CD 的中点，故所求的概率P ＝△ABE 的面积矩形ABCD 的面积＝12.答案：C8．从含有3个元素的集合的子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率为( ) A.310 B.112 C.4564D.38解析：设3个元素分别为a 、b 、c .所有子集共8个，含有两个元素的子集共3个． 答案：D9．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品解析：从5件产品中任取2件，共有10种可能结果，2件都是二等品的可能结果只有1种，2件都是一等品的可能结果有3种，一件一等品、一件二等品的可能结果有6种．答案：D10．在区间(0,1)内任取一个数a ，能使方程x ？＋2ax ＋12＝0有两个相异实根的概率为( )A.12B.14C.22D.2－22解析：方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a )？－4×1×12＝4a ？－2>0，解得|a |>22，又a ∈(0,1)，所以22<a <1，区间(22，1)的长度为1－22，而区间(0,1)的长度为1，所以方程有两个相异实根的概率为1－221＝2－22. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．从100件产品中抽查10件产品，记事件A 为“至少有3件次品”，则A 的对立事件是________． 答案：至多有2件次品12．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为： (单位：cm)162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149,172. 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为__________．(用分数表示)解析：样本中有8人身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为820＝25. 答案：2513．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、b∈{0,1,2，…，9}．若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为__________．解析：此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a －b |≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，∴P ＝24＋410×10＝725. 答案：72514．随机向边长为2的正方形ABCD 中投一点M ，则点M 与A 的距离不小于1且使∠CMD 为锐角的概率是________．解析：如图所示，M 在阴影部分内，则 P ＝22－14·π·12－12·π·1222＝1－3π16.答案：1－3π16三、解答题(本大题共有4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)在圆O ：x 2＋y 2＝1的某一直径上随机地取一点Q .试求过点Q 且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率． 解：如图所示：记事件过点Q 且与该直径垂直的弦的长度超过1为A . 设EF ＝1则在Rt △OQE 中， OE 2＝OQ 2＋QE 2， 1＝OQ 2＋14，∴OQ ＝32.由几何概型的概率公式得 P (A )＝32×22＝32.而过点Q 且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率为1－32. 16．(12分)A 、B 两个箱子分别装有标号为0、1、2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.(1)从A 、B 箱中各取1张卡片，用x 表示取出的2张卡片的数字之积，求x ＝2 的概率； (2)从A 、B 箱中各取1张卡片，用y 表示取出的2张卡片的数字之和，求x ＝0且y ＝2的概率． 解：(1)记事件A ＝{从A 、B 箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}． 基本事件总个数为6×5＝30，事件A 包含基本事件的个数为5. 由古典概型的概率公式得P (A )＝530＝16. 则x ＝2的概率为16.(2)记事件B ＝{从A 、B 箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}． 事件B 包含基本事件的个数为10.由古典概型的概率公式得P (B )＝1030＝13. 则x ＝0且y ＝2的概率为13.17．(12分)(2011·山东高考)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解：(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)(C，F)共9种，从中选出的两名教师性别相同的结果有：(A，D)(B，D)(C，E)(C，F)共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P＝4 9.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F)(C，D)(C，E)(C，F)(D，E)(D，F)(E，F)共15种，从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F)(E，F)共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝615＝2 5.18．(14分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，∴5a2＋b2＝1，整理得：a2＋b2＝25.由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4，或a＝4，b＝3两种情况．∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是236＝1 18.(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；当a＝3时，b＝3,5，共2个基本事件；当a＝4时，b＝4,5，共2个基本事件；当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；当a＝6时，b＝5,6，共2个基本事件；∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个．14 36＝7 18.∴三条线段能围成等腰三角形的概率为。

第三章章末测试题(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a、b、c，d∈R，则下面四个命题中，正确的命题是() A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>－b，则c－a<c＋bC．若a>b，则ac2>bc2D．若a>b，c>d，则ac>bd答案 B解析由不等式性质得B.2．设全集为R，集合M＝{x|lg|x＋1|≤0}，则∁R M等于()A．{x|x<－2}∪{－1}B．{x|x>0}∪{－1}C．{x|x<－2}∪{x|x>0}D．{x|x<－2}∪{x|x>0}∪{－1}答案 D解析此题为不等式在对数函数中的应用．因为lg|x＋1|≤0，即lg|x＋1|≤lg1.又因为lg x为增函数，所以|x＋1|≤1.所以－1≤x＋1≤1且|x＋1|≠0.所以－2≤x<－1或－1<x≤0.所以∁R M＝{x|x<2}∪{x|x>0}∪{－1}．3．设x>0，y>0，则下列不等式中等号不成立的是()A ．x ＋y ＋2xy≥4 B ．(x ＋y )(1x ＋1y )≥4 C ．(x ＋1x )(y ＋1y )≥4 D.x 2＋3x 2＋2≥2 答案 D解析由基本不等式分析，D 不具备等号成立的条件．4．若不等式x 2－ax ＋1≤0和ax 2＋x －1>0均不成立，则( )A ．a <－14或a ≥2B ．－14≤a <2C ．－2≤a <－14D ．－2<a ≤－14答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝a 2－4<0，a <0，Δ2＝1＋4a ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a <0，a ≤－14.即－2<a ≤－14.故选D.5．如果集合P ＝{x ||x |>2}，集合T ＝{x |3x >1}，那么集合P ∩T 等于( )A ．{x |x >0}B ．{x |x >2}C ．{x |x <－2或x >0}D ．{x |x <－2或x >2}答案 B解析P 的解集为{x |x >2或x <－2}，T 的解集为{x |x >0}．6．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134B ．4C ．8 D.54答案 B解析g (x )＝x 2＋x ＋1x＝x ＋1＋1x ，x ∈[12，2]． 当x ＝1时，g (x )取得最小值3，所以f (x )＝(x －1)2＋3.所以当x ＝2时，f (x )min ＝4.故选B.7．对于定义域是R 的任何奇函数f (x )都有( )A ．f (x )－f (－x )>0B ．f (x )－f (－x )≤0C ．f (x )f (－x )≤0D ．f (x )f (－x )>0答案 C解析利用f (0)＝0及奇函数的定义．8．以下四个命题中，正确的是( )A ．原点与点(2,3)在直线2x ＋y －3＝0同侧B ．点(3,2)与点(2,3)在直线x －y ＝0同侧C ．原点与点(2,1)在直线y －3x ＋12＝0异侧D ．原点与点(1,4)在直线y －3x ＋12＝0异侧答案 C解析把点坐标代入直线方程检验符号即可．9．不等式|ax －1x |>a (a 是正实数)的解集是( )A ．{x |x >1a }B ．{x |x <12a }C ．{x |12a <x <1a }D ．{x |x <0或0<x <12a }答案 D解析由|ax －1x |>a ，得ax －1x >a 或ax －1x <－a .∴－1x >0或2ax －1x <0，∴x <0或0<x <12a .10．如图，不等式y ≥|x |表示的平面区域是( )答案 A解析不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥x 或⎩⎨⎧ x <0，y ≥－x .11．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152答案 A解析∵由x 2－ax －8a 2<0(a >0)，得(x －4a )(x ＋2a )<0，即－2a <x <4a .∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15，∴a ＝156＝52.故选A 项．12．(2013·北京)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( )A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)答案 C解析图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m <－12m －1，即m <－23.故选C 项．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．若x >0且x ≠1，p 、q ∈N ＋，则1＋x p ＋q 与x p ＋x q 的大小关系为________．答案 1＋x p ＋q >x p ＋x q解析1＋x p ＋q －x p －x q ＝1－x p ＋x q (x p －1)＝(x p －1)(x q －1)，∵当x >1时，x p >1，x q >1；当0<x <1时，x p <1，x q <1，∴1＋x p ＋q >x p ＋x q .14．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x ＋3y 的最小值为________．答案 18解析因为P (x ，y )在y ＝4－2x 的图像上运动，所以2x ＋y ＝4,9x ＋3y ≥232x ·3y ＝232x ＋y ＝234＝18.当且仅当2x ＝y 即x ＝1，y ＝2时取等号．所以当x ＝1，y ＝2时，9x ＋3y 取得最小值18.15．设0<x <2，函数f (x )＝3x ·(8－3x )的最大值是________． 答案 4解析因为0<x <2，所以0<3x <6，所以8－3x >2>0.所以f (x )＝3x ·(8－3x )＝3x ·8－3x≤3x ＋8－3x 2＝82＝4. 当且仅当3x ＝8－3x 即x ＝43时，取等号．所以当x ＝43时，f (x )＝3x ·(8－3x )的最大值为4.16．约束条件⎩⎨⎧ 0≤x ≤1，0≤y ≤1，y －x ≤12表示的平面区域的面积为________．答案 78解析如图，画出可行域，其面积S ＝1－12×12×12＝78.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知全集U ＝R ，A ＝{x |－34x 2＋x ＋1>0}，B ＝{x |3x 2－4x ＋1>0}，求∁U (A ∩B )．解析A ＝{x |－34x 2＋x ＋1>0}＝{x |3x 2－4x －4<0}＝{x |－23<x <2}， B ＝{x |3x 2－4x ＋1>0}＝{x |x <13或x >1}， A ∩B ＝{x |－23<x <13或1<x <2}．∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－23或13≤x ≤1或x ≥2}．18．(12分)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最值，并求出此时x 的值．解析因为x <32，所以2x －3<0.y ＝x ＋82x －3＝12(2x －3)＋82x －3＋32. 因为3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2×83－2x＝4， 所以2x －32＋82x －3≤－4. 所以y ＝x ＋82x －3≤－4＋32＝－52. 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12或x ＝72时，取等号． 因为x <32，所以x ＝－12时等号成立．所以当x ＝－12时，函数y ＝x ＋82x －3有最大值－52. 原函数无最小值．19．(12分)设函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b 且f (a )>f (b )，求证：ab <1. 证明由已知，得f (x )＝|lg x |＝⎩⎨⎧ lg x (x ≥1)，－lg x (0<x <1)，因为0<a <b ，f (a )>f (b )，所以a ，b 不能同时在区间[1，＋∞)上．又由于0<a <b ，故必有a ∈(0,1)；若b ∈(0,1)，显然ab <1；若b ∈[1，＋∞)，由f (a )－f (b )>0，有－lg a －lg b >0.故lg(ab )<0.所以ab <1.20．(12分)不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．解析(1)∵不等式的解为x <－3或x >－2，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k .所以k ＝－25.(2)∵不等式的解集为R ，∴⎩⎨⎧ k <0，Δ＝4－4k ×6k <0.即⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，k >66或k <－66，所以k <－66.21．(12分)某人上午7时乘摩托艇以匀速v n mile/h(4 n mile/h ≤v ≤20 n mile/h)从A 港出发到距50 n mile/h 的B 港，然后乘汽车以匀速w km/h(30 km/h ≤w ≤100 km/h)自B 港向距30 km 的C 市驶去，应该在同一天下午4点至9点到达C 市．设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x h 和y h ，所需要的经费P ＝100＋3·(5－x )＋2·(8－y )元，求v 、w 分别是多少时走得最经济？此时需要花费多少元？解析由题意，得v ＝50y ，w ＝300x .∵4≤v ≤20,30≤w ≤100.∴3≤x ≤10，52≤y ≤252.∴x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 9≤x ＋y ≤14，3≤x ≤10，52≤y ≤252.目标函数为P ＝131－3x －2y ，可行域如图考虑P ＝131－3x －2y ，将它变形为y ＝－32x －12P ＋1312，这是斜率为－32、随P 变化的一组平行直线，－12P ＋1312是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大时，P 的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数P ＝131－3x －2y 取得最小值．由图可见，当直线P ＝131－3x －2y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即P 最小．解方程组⎩⎨⎧ x ＝10，x ＋y ＝14，得A 的坐标为(10,4)．即当v ＝12.5，w ＝30时走的最经济，此时需要花费93元．22．(12分)某工厂有旧墙一面长14 m ，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房．工程条件是：①建1 m 新墙的费用为a 元；②修1 m 旧墙的费用为a 4元；③拆去1 m 旧墙，用所得的材料建1 m 新墙的费用为a 2元．经过讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x m(x <14)为矩形厂房的一面边长；(2)矩形厂房的一面边长x ≥14，问如何利用旧墙即x 为多少时建墙费用最省？(1)、(2)两种方案哪种方案最好？解析设利用旧墙的一面矩形边长为x m ，则矩形的另一面边长为126x .(1)利用旧墙的一段x m(x <14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x ·a 4，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x )·a 2，其余的建新墙的费用为(2x ＋2×126x －14)·a .故总费用为y ＝a 4x ＋(14－x )a 2＋a (2x ＋252x －14)＝a (7x 4＋252x －7)＝7a (x 4＋36x －1)(0<x <14)．∵x 4＋36x ≥2x 4·36x ＝6，∴y ＝7a (x 4＋36x －1)≥7a (6－1)＝35a .当且仅当x 4＝36x 即x ＝12时，y 取最小值35a .(2)若利用旧墙的一面矩形边长为x (x ≥14)，则修旧墙的费用为14·a 4＝7a 2，建新墙的费用为(2x ＋252x －14)·a . 故总费用为y ＝72a ＋a (2x ＋252x －14)＝2a (x ＋126x )－212a (x ≥14)．设14≤x 1<x 2，则(x 1＋126x 1)－(x 2＋126x 2)＝(x 1－x 2)(1－126x 1x 2)<0， (∵x 1x 2>196)∴t ＝x ＋126x 在[14，＋∞)上为增函数．∴y ＝2a (x ＋126x )－212a ≥35.5a .所以，采用第(1)种方案，利用旧墙12 m 为矩形的一面边长，使建墙费用最省，费用最小值为35a .。

章末质量检测卷(三)第三章概率(时间：100分钟满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．盘子里有肉馅、芹菜馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若它是肉馅包子的概率为25，它不是豆沙馅包子的概率为710，则芹菜馅包子的个数为()A．1B．2C．3D．4详细分析：选C由题意，可知这个包子是肉馅或芹菜馅的概率为710，所以它是芹菜馅包子的概率为710－25＝310，故芹菜馅包子的个数为10×310＝3.2．(2019·德州高一检测)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.从以上五张卡片中任取两张，则这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为()A．25B．35C．15D．310详细分析：选D从五张卡片中任取两张的所有可能情况有10种：(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)，其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况：(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，蓝1)，故所求的概率P＝310.3．在一底面半径和高都是2 m的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子被混入其中，现从中随机取出2 m 3的种子，则取出带有麦锈病的种子的概率是( )A ．14B ．18πC ．14πD ．1－14π详细分析：选C 所有小麦种子的体积为π×4×2＝8π(m 3)，现从中随机取出2 m 3的种子，则取出带有麦锈病的种子的概率为28π＝14π.4．某校毕业生的去向有三种：回家待业、上大学和补习．现取一个样本调查，调查结果如图所示．若该校每个学生上大学的概率为45，则每个学生不补习的概率为( )A ．2125B ．2225C ．2325D ．2425详细分析：选B 每个学生上大学的概率为45，而该样本中上大学的人数为80，所以该样本容量为80÷45＝100，则每个学生回家待业的概率为8100＝225，所以每个学生不补习的概率为45＋225＝2225.5．在区间[－3，5]上随机地取一个数x ，则关于x 的不等式2－m ≤x ≤1＋m 成立的概率为38，则实数m 的值为( )A ．1B ．12C ．4D ．2详细分析：选D依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－m ≤1＋m ，1＋m －（2－m ）5－（－3）＝38，所以⎩⎨⎧m ≥12，m ＝2，解得m＝2.6.任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，一共得到四个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形(阴影部分)中的概率是( )A ．24 B ．14 C ．18D ．116详细分析：选C 设所画正方形的边长为1，依题意可知，第四个正方形的边长是第一个正方形边长的24，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18.由几何概型的概率计算公式，可知所投点落在第四个正方形(阴影部分)中的概率是18，故选C ．7．(2019·商丘高一检测)某同学投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，则在平面直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( )A ．112B ．19C ．536D ．16详细分析：选A 投掷一枚骰子两次，所有可能的结果有36种，其中以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的结果有(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3种，所以所求概率P ＝336＝112.8．甲、乙两人在5次体育测试中的成绩(成绩为整数，满分为100分)如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损，用x 代替，A ．34B ．35C ．12D ．310详细分析：选D 由题可知甲的平均成绩为91＋86＋88＋92＋935＝90，被污损前乙的第5次成绩可能是90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，共10种可能．又当乙的第5次成绩为90，91，92时，乙的平均成绩低于甲的平均成绩，所以乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是310.9．设a ∈[0，10)且a ≠1，则函数f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上为增函数且g (x )＝a －2x 在(0，＋∞)上也为增函数的概率为( )A ．15B ．110C ．310D ．25详细分析：选B 由题目条件，知a 的所有可能取值为a ∈[0，10)且a ≠1.因为函数f (x )，g (x )在(0，＋∞)上都为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2<0，所以1<a <2，所以由几何概型的概率公式，知P ＝2－110－0＝110.10．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三个数，每人则可喊0，5，10，15，20五个数，当两人所出数之和等于某人所喊数时，喊该数者获胜，若甲喊10，乙喊15时，则()A．甲胜的概率大B．乙胜的概率大C．甲、乙胜的概率一样大D．不能确定谁获胜的概率大详细分析：选A甲、乙两人喊拳，每人用手出0，5，10三个数，有(0，0)，(0，5)，(0，10)，(5，0)，(5，5)，(5，10)，(10，0)，(10，5)，(10，10)，共9种情况．若甲喊10，则有(0，10)，(5，5)，(10，0)，共3种情况获胜，所以甲胜的概率为13；乙喊15，有(5，10)，(10，5)，共2种情况获胜，所以乙胜的概率为29，所以甲胜的概率大．11．已知实数x∈[0，8]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为()A．14B．12C．34D．45详细分析：选A设输入x的值为m，则第一次循环后得x＝2m＋1，n＝2；第二次循环后得x＝2(2m＋1)＋1＝4m＋3，n＝3；第三次循环后得x＝2(4m＋3)＋1＝8m＋7，n＝4，结束循环，输出的值为8m＋7，由8m＋7≥55，解得m≥6，所以输出的x 不小于55的概率为P ＝8－68＝14.12．设集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 发生的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2，5D ．3，4详细分析：选D 由题意，知点(a ，b )的取法有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，共6种．当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点为(1，1)；当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点为(1，2)，(2，1)；当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点为(1，3)，(2，2)；当n ＝5时，落在直线x ＋y ＝5上的点为(2，3)．所以当n ＝3或4时，事件C n 发生的概率最大，为13，故选D ．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．有两张卡片，一张的正、反面分别写着数字0，1，另一张的正、反面分别写着数字2，3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数是奇数的概率为________．详细分析：能组成的两位数有12，13，20，30，21，31，共6个，其中奇数有13，21，31，共3个，因此所组成的两位数为奇数的概率是P ＝36＝12.答案：1214．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率为________．详细分析：如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均不小于1的长度为1＋2＋3＝6，故所求概率P ＝63＋4＋5＝12.答案：1215．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)内的为一等品，在区间[15，20)或[25，30)内的为二等品，在区间[10，15)或[30，35]内的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为________．详细分析：设区间[25，30)对应矩形的高度为x ，则由所有矩形面积之和为1，得(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x )×5＝1，解得x ＝0.05，所以该件产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.答案：0.4516．若x ∈A ，且1x ∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”．在集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，14，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为________．详细分析：∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，14，13，12，1，2，3，4，∴集合M 的所有非空子集个数为29－1＝511.∵若x ∈A ，且1x ∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，∴若－1∈A ，则1－1＝－1∈A ；若1∈A ，则11＝1∈A ；若2∈A ，则12∈A ，2与12一起成对出现；若3∈A ，则13∈A ，3与13一起成对出现；若4∈A ，则14∈A ，4与14一起成对出现．∴集合M 的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有25－1＝31(个)．∴在集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，14，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为31511.答案：31511三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)有编号为A 1，A 2，…，A 9的9道题，其难度系数如下表：(1)从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率； (2)从难题中随机抽取2道，求这两道题目难度系数相等的概率．解：(1)记“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件M ，9道题中难题有A 1，A 4，A 6，A 7四道，所以P (M )＝49.(2)记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件N ，则基本事件为：(A 1，A 4)，(A 1，A 6)，(A 1，A 7)，(A 4，A 6)，(A 4，A 7)，(A 6，A 7)，共6个；难题中有且仅有A 6，A 7的难度系数相等．故P (N )＝16.18．(本小题满分12分)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3种．所以P (B )＝315＝15.19．(本小题满分12分)设点M (x ，y )在|x |≤1，|y |≤1时按均匀分布出现，试求满足：(1)x ＋y <1的概率； (2)x 2＋y 2≥1的概率．解：(1)如图所示，x ＋y ＝1所在的直线是EF ，易知EF 的左下方区域内的点都满足x ＋y <1，因为S五边形ABCFE ＝S正方形ABCD －S △DEF＝22－12×1×1＝72，由几何概型的概率公式可得：P (x ＋y <1)＝S 五边形ABCFE S 正方形ABCD＝ 724＝78.(2)满足x 2＋y 2＝1的点是单位圆⊙O ，所以x 2＋y 2≥1表示的是⊙O 上及圆外部的点，因为S ⊙O ＝π，所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙O S 正方形ABCD＝4－π4.20．(本小题满分12分)近年来，我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．雾霾天气的形成与PM2.5有关，PM2.5日均值越小，空气质量越好．为加强生态文明建设，我国国家环保部发布了《环境空气质量标准》，见下表：PM2.5日均值k /(μg ·m －3)空气质量等级k ≤35 一级 35<k ≤75 二级 k >75污染了甲、乙两城市6天的PM2.5日均值作为样本，样本数据绘制的茎叶图如图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)分别求甲、乙两城市PM2.5日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个城市的空气质量较好；(2)若从甲城市这6天的样本数据中随机抽取2天的数据，求恰有1天的空气质量等级为一级的概率．解：(1)甲城市抽取的样本数据分别是32，34，45，56，63，70；乙城市抽取的样本数据为33，46，47，51，64，71.x甲＝32＋34＋45＋56＋63＋706＝50，x乙＝33＋46＋47＋51＋64＋716＝52.因为x甲<x乙，所以甲城市的空气质量较好．(2)由茎叶图，知甲城市这6天中有2天的空气质量等级为一级，有4天的空气质量等级为二级，记空气质量等级为二级的这4天的数据分别为a，b，c，d，空气质量等级为一级的这2天的数据分别为m，n，则从这6天中抽取2天的所有情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共有15个基本事件．记“恰有1天的空气质量等级为一级”为事件A，则事件A包含的基本事件为(a，m)，(b，m)，(c，m)，(d，m)，(a，n)，(b，n)，(c，n)，(d，n)，共8个．所以P(A)＝815，即恰有1天的空气质量等级为一级的概率为815.21．(本小题满分12分)从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部在155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm及以上的人数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E＝{|x－y|≤5}，事件F＝{|x－y|>15}，求P(E∪F)．解：(1)因为第六组的频率为450＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.040×2＋0.060)＝0.06.(2)身高在第一组的频率为0.008×5＝0.04，身高在第二组的频率为0.016×5＝0.08，身高在第三组的频率为0.040×5＝0.2，身高在第四组的频率为0.040×5＝0.2，0.04＋0.08＋0.2＝0.32<0.5，0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52>0.5，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170≤m<175.由0.04＋0.08＋0.2＋(m －170)×0.04＝0.5，得m＝174.5，所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 cm.由频率分布直方图，得后三组的频率之和为0.08＋0.06＋0.008×5＝0.18，所以身高在180 cm及以上的人数为0.18×800＝144.(3)第六组的人数为4，分别记为a，b，c，d，第八组的人数为2，分别记为A，B，则从中选2名男生有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(a，A)，(b，A)，(c，A)，(d，A)，(a，B)，(b，B)，(c，B)，(d，B)，(A，B)共15种情况．因为事件E＝{|x－y|≤5}发生当且仅当随机抽取的2名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)共7种情况，故P(E)＝715.因为|x－y|max＝195－180＝15，所以事件F＝{|x－y|>15}是不可能事件，P(F)＝0.因为事件E和事件F是互斥事件，所以P(E∪F)＝P(E)＋P(F)＝7 15.22．(本小题满分12分)工厂生产每台冰箱获得的利润与该冰箱首次出现故障的时间有关，某冰箱生产厂生产甲、乙两种品牌的冰箱，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌的冰箱中分别随机抽取50台，统计冰箱首次出现故障的时间，数据如下(将频率视为概率)：期内的概率；(2)从首次出现故障在保修期内的甲品牌冰箱中随机抽取2台，求抽取的2台冰箱中有1台首次出现故障时间在0<x≤1年内，1台在1<x≤2年内的概率．解：(1)由题中表格可得，在乙品牌中，首次出现故障发生在保修期内的概率为P1＝550＝1 10.(2)在甲品牌中，记首次出现故障时间在0<x≤1年内的2台冰箱为A1，A2，首次出现故障时间在1<x≤2年内的3台冰箱为B1，B2，B3，从中随机抽取2台，可能的结果为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10种，其中有1台首次出现故障时间在0<x≤1年内，1台在1<x≤2年内的结果为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共6种，所以抽取的2台冰箱有1台首次出现故障时间在0<x≤1年内，1台在1<x≤2年内的概率为P2＝610＝3 5.。

9．等腰Rt △ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)解析：设B 点坐标为(x ，y )，根据题意可得 ⎩⎨⎧k AC ·k BC ＝－1|BC |＝|AC |，即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·y －3x －3＝－1(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2，整理可得⎩⎨⎧x ＝2y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝4y ＝6，故B (2,0)或B (4,6)． 答案：A10．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎨⎧7x ＋5y －24＝0x －y ＝0得交点坐标为(2,2)，当直线l 的斜率不存在时，易知不满足题意．∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∵点(5,1)到直线l 的距离为10， ∴|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3.∴直线l 的方程为3x －y －4＝0. 答案：C11．如图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )解析：假定y ＝ax 与y ＝x ＋a 中的一条直线的图象正确，验证另一条是否合适．答案：C12．若两平行直线2x ＋y －4＝0与y ＝－2x －k －2的距离不大于5，则k 的取值范围是( ) A ．[－11，－1] B ．[－11,0]C ．[－11，－6)∪(－6，－1]D ．[－1，＋∞)解析：y ＝－2x －k －2可化为2x ＋y ＋k ＋2＝0， 由题意，得|k ＋2＋4|22＋12＝|k ＋6|5≤5，且k ＋2≠－4即k ≠－6， 得－5≤k ＋6≤5，即－11≤k ≤－1，且k ≠－6.选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为________．解析：∵点(1，－1)在直线ax ＋3my ＋2a ＝0上，∴a －3m ＋2a ＝0，∴m ＝a ≠0，∴k ＝－a 3m ＝－13.答案：－1314．直线l 经过点P (3,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，则直线l 的方程为__________________．解析：方法一：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解析：(1)由条件知m 2－8＋n ＝0，且2m －m －1＝0， ∴m ＝1，n ＝7.(2)由m ·m －8×2＝0，得m ＝±4.又8×(－1)－n ·m ≠0，则⎩⎨⎧m ＝4n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4n ≠2.即m ＝4，n ≠－2时，或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.(3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2.又－n8＝－1，∴n ＝8，即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.22．(12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)，l 2：－4x ＋2y ＋1＝0和l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2的距离是7510.(1)求a 的值．(2)能否找到一点P 同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2 5.若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．解析：(1)因为直线l 1：－4x ＋2y －2a ＝0(a >0)，l 2：－4x ＋2y ＋1＝0，且l 1与l 2的距离是7510，所以|－2a －1|16＋4＝7510，解得a ＝3.(2)设点P 的坐标为(m ，n )，m >0，n >0，若P 点满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ：2x －y ＋C ＝0上，。

章末综合测评(一)算法初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面对程序框图中的图形符号的说法错误的是()A．起、止框是任何流程不可少的，表明程序开始和结束B．输入、输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置C．算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的注释框内D．当算法要求对两个不同的结果进行判断时，判断条件要写在判断框内【解析】算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内．【答案】 C2．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是()A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合【解析】任何一种算法都是由上述三种逻辑结构组成的，它可以含有三种结构中的一种、两种或三种．【答案】 D3．下列赋值语句正确的是()A．s＝a＋1B．a＋1＝sC．s－1＝a D．s－a＝1【解析】赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，B、C、D都不正确．【答案】 A4．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数时，需要做的除法次数是()A．3 B．4C．6 D．7【解析】由辗转相除法264＝56×4＋40，56＝40×1＋16，40＝16×2＋8，16＝8×2，即得最大公约数为8，做了4次除法．【答案】 B5．下列各进制数中，最小的是()A．1002(3)B．210(6)C．1 000(4)D．111 111(2)【解析】 1 002(3)＝29，210(6)＝78，1 000(4)＝64，111 111(2)＝63.【答案】 A6．对于程序：试问，若输入m＝－4，则输出的数为()A．9 B．－7C．5或－7 D．5【解析】阅读程序，先输入m，判断m>－4是否成立，因为m ＝－4，所以不成立，则执行m＝1－m，最后输出的结果为5.【答案】 D7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时，v4的值为()【导学号：28750025】A．－57 B．220C．－845 D．3 392【解析】v0＝3，v1＝v0x＋5＝－7，v2＝v1x＋6＝28＋6＝34，v3＝v2x＋79＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝v3x－8＝－57·(－4)－8＝220.【答案】 B8．如图1所示的程序框图中循环体执行的次数是()图1A．50 B．49C．100 D．99【解析】第1次中：i＝2＋2＝4，第2次中：i＝4＋2＝6…第49次中：i＝2×49＋2＝100.共49次．【答案】 B9．如图2所示是求样本x1，x2，…，x10平均数x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()图2A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x nn C ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋1n【解析】 由循环结构的程序框图可知需添加的运算为S ＝x 1＋x 2＋…＋x 10的累加求和，故选A.【答案】 A10．下面程序的功能是( ) S ＝1 i ＝3WHILE S ＜＝10 000 S ＝S*i i ＝i ＋2 WEND PRINT i ENDA．求1×2×3×4×…×10 00的值B．求2×4×6×8×…×10 000的值C．求3×5×7×9×…×10 001的值D．求满足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整数n【解析】S是累乘变量，i是计数变量，每循环一次，S乘以i 一次且i增加2.当S＞10 000时停止循环，输出的i值是使1×3×5×…×n＞10 000成立的最小正整数n.【答案】 D11．对于任意函数f(x)，x∈D，可按下图构造一个数字发生器，其工作原理如下：图3①输入数据x0∈D，经过数字发生器，输出x1＝f(x0)；②若x1∉D，则数字发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f(x1)，并依此规律继续下去．现定义f(x)＝2x＋1，D＝(0，1 000)．若输入x0＝0，当发生器结束工作时，输出数据的总个数为()A．8 B．9C ．10D ．11【解析】 依题中规律，当输入x 0＝0时，可依次输出1，3，7，15，31，63，127，255，511，1 023，共10个数据，故选C.【答案】 C12．如图4给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )图4A ．i ＞10?B ．i ＜10?C ．i ＞20?D ．i ＜20?【解析】 12＋12×2＋12×3＋…＋12×10共10个数相加，控制次数变量i 应满足i ＞10.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．123(8)＝________(16)．【解析】 123(8)＝1×82＋2×8＋3×80＝83.即123(8)＝83(10)＝53(16)．【答案】5314．程序框图如图5所示，若输出的y＝0，那么输入的x为________．图5【解析】由框图知，当x＝－3，0时，输出的y值均为0.【答案】－3或015．下面程序运行后输出的结果为________．x＝－5y＝－20IF x<0THENy＝x－3ELSEy＝x＋3END IFPRINT“x－y＝”；“y－x＝”END【解析】∵输入x＝－5<0，∴y＝x－3＝－5－3＝－8，∴输出x－y＝－5－(－8)＝3，y－x＝－8－(－5)＝－3.【答案】3，－316．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图6所示，则log28⊗⎝⎛⎭⎪⎫12－2＝________．图6【解析】log28＜⎝⎛⎭⎪⎫12－2，由题意知，log28⊗⎝⎛⎭⎪⎫12－2＝3⊗4＝4－13＝1.【答案】 1三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·大同高一检测)分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数．【解】辗转相除法：470＝1×282＋188， 282＝1×188＋94， 188＝2×94.∴282与470的最大公约数为94. 更相减损术：470与282分别除以2得235和141， ∴235－141＝94， 141－94＝47， 94－47＝47，∴470与282的最大公约数为47×2＝94.18．(本小题满分12分)下列是某个问题的算法程序，将其改为程序语言，并画出程序框图．算法：第一步，令i ＝1，S ＝0.第二步，若i ≤999成立，则执行第三步； 否则，输出S ，结束算法． 第三步，S ＝S ＋1i .第四步，i ＝i ＋2，返回第二步． 【解】 程序框图如下：程序语言如下：S＝0i＝1WHILE i<＝999S＝S＋1/ii＝i＋2WENDPRINT SEND19．(本小题满分12分)用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x，当x＝3时的值．【解】f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v 3＝86×3＋4＝262，v 4＝262×3＋3＝789，v 5＝789×3＋2＝2 369，v 6＝2 369×3＋1＝7 108，v 7＝7 108×3＋0＝21 324，∴f (3)＝21 324.20．(本小题满分12分)在音乐唱片超市里，每张唱片售价25元，顾客购买5张(含 5张)以上但不足10张唱片，则按九折收费，顾客购买10张以上(含10张)唱片，则按八五折收费，编写程序，输入顾客购买唱片的数量a ，输出顾客要缴纳的金额C .并画出程序框图．【导学号：28750026】【解】 由题意得C ＝⎩⎪⎨⎪⎧25a ，a ＜5，22.5a ，5≤a ＜10，21.25a ，a ≥10.程序框图，如图所示：程序如下：INPUT“a＝”；aIF a＜5THENC＝25*aELSEIF a＜10THENC＝22.5*aELSEC＝21.25*aEND IFEND IFPRINT CEND21．(本小题满分12分)(2016·武汉高一检测)如图7是为求1～100中所有自然数的平方和而设计的程序框图，将空补上，指明它是循环结构中的哪一种类型，并画出它的另一种循环结构框图．图7【解】这个循环结构是当型循环．①处应该填写sum＝sum＋i2，②处应该填写i＝i＋1.求1～100中所有自然数的平方和的直到型循环结构程序框图如图所示：22．(本小题满分12分)已知某算法的程序框图如图8所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…图8(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少；(3)写出程序框图的程序语句．【解】(1)开始x＝1时，y＝0；接着x＝3，y＝－2；然后x＝9，y＝－4，所以t＝－4；(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2 013时，输出最后一对，共输出(x，y)的组数为1 007；(3)程序框图的程序语句如下：。