11 一维小波变换

⼀维⼩波变换的C++实现 将⼩波展开系数当成离散信号，尺度函数和⼩波函数的MRA⽅程系数看成数字滤波器组，根据Mallat快速算法的原理，⼩波变换对数据的处理⽅法可简化成对信号逐级采样和滤波的过程。

图1 ⼩波变换的滤波器实现(a)分解算法 (b)重构算法 ⼀层⼩波分解算法流程如图2所⽰，信号将先经过⼩波分解低通滤波器和⾼通滤波器，随后被降采样，实现数据重构。

⽽滤波算法可简化为待处理信号与滤波器数组卷积的过程，为了保证卷积前和卷积后数组的长度相同，结合⼩波变换中数组延拓的思想，在实际编程过程中，可以将超过信号长度的那段数据以前端对齐的⽅式与前⾯⼀段数据相加。

将卷积后的数组每2个点采样⼀次，即可获得⼩波分解后的尺度系数和⼩波系数。

图2 ⼀层⼩波分解算法（X：待分解数组；H，G：⼩波分解滤波器；C，D：⼩波重构后数组） ⼩波重构算法是⼩波分解算法的逆运算，其流程为升采样和滤波，最后数据相加实现重构。

⼩波重构算法中滤波可视为系数与⼩波重构滤波器的卷积，与⼩波正变换类似，在重构算法中，需要将卷积后的数组末位对齐相加，获得与原数组长度相同的卷积结果。

将⼩波系数和尺度系数以2为步长进⾏升采样，将获得的新数组分别经过⼩波重构低通滤波器和⾼通滤波器，再将滤波后的两组数据相加，即实现了⼀层⼩波重构。

1#define LENGTH 5122#define LEVEL 43#define L_core 645static void Covlution(double data[], double core[], double cov[], int LEN)6 {7double temp[LENGTH + L_core - 1] = {0};8int i = 0;9int j = 0;1011for(i = 0; i < LEN; i++)12 {13for(j = 0; j < L_core; j++)14 {15 temp[i + j] += data[i] * core[j];19for(i = 0; i < LEN; i++)20 {21if(i < L_core - 1)22 cov[i] = temp[i] + temp[LEN + i];23else24 cov[i] = temp[i];25 }2627 }2829static void Covlution2(double data[], double core[], double cov[], int LEN)30 {31double temp[LENGTH + L_core - 1] = {0};32int i = 0;33int j = 0;3435for(i = 0; i < LEN; i++)36 {37for(j = 0; j < L_core; j++)38 {39 temp[i + j] += data[i] * core[j];40 }41 }4243for(i = 0; i < LEN; i++)44 {45if(i < L_core - 1)46 cov[i + LEN - L_core + 1] = temp[i] + temp[LEN + i];47else48 cov[i - L_core + 1] = temp[i];49 }5051 }5253static void DWT1D(double input[], double output[], double LF[], double HF[], int l)54 {55int i = 0;56double temp[LENGTH] = {0};57int LEN = LENGTH / pow(2, l - 1);5859 Covlution(input, LF, temp, LEN);60for(i = 1; i < LEN; i += 2)61 {62 output[i/2] = temp[i];63 }6465 Covlution(input, HF, temp, LEN);66for(i = 1; i < LEN; i += 2)67 {68 output[LEN/2 + i/2] = temp[i];69 }70 }7172static void DWT(double input[], double output[], double LF[], double HF[], int len[])73 {74int i;75int j;7677 len[0] = len[1] = LENGTH / pow(2, LEVEL);78for(i = 2; i <= LEVEL; i++) len[i] = len[i - 1] * 2;7980 DWT1D(input, output, LF, HF, 1);81for(i = 2; i <= LEVEL; i++)82 {83for(j = 0; j < len[LEVEL + 2 - i]; j++) input[j] = output[j];84 DWT1D(input, output, LF, HF, i);85 }86 }8788static void IDWT1D(double input[], double output[], double LF[], double HF[], int l, int flag) 89 {90int i = 0;91double temp[LENGTH] = {0};92int LEN = l * 2;9394if(flag) Covlution2(input, HF, temp, LEN);95else Covlution2(input, LF, temp, LEN);9697for(i = 0; i < LEN; i++)98 {99 output[i] = temp[i];103static void IDWT(double input[], double output[], double LF[], double HF[], int len[], int level)104 {105int i;106int j;107for(j = 0; j < len[LEVEL + 1 - level]; j++)108 {109 output[2 * j] = 0;110 output[2 * j + 1] = input[j];111 }112for(j = 0; j < 2 * len[LEVEL + 1 - level]; j++)113 {114 input[j] = output[j];115 }116 IDWT1D(input, output, LF, HF, len[LEVEL + 1 - level], 1);117118for(i = level - 1; i > 0; i--)119 {120for(j = 0; j < len[LEVEL + 1 - i]; j++)121 {122 input[2 * j] = 0;123 input[2 * j + 1] = output[j];124 }125 IDWT1D(input, output, LF, HF, len[LEVEL + 1 - i], 0);126 }127 }⽤C++算法实现的⼩波变换结果与MATLAB实现的⼩波变换结果对⽐（⼼电信号，db5⼩波，5层分解）。

生物信号处理中的小波变换生物信号是指人体内部自然产生或者受到外界刺激产生的任何电、声、光、磁等信号。

这些信号反映了人体生理和病理状态的信息，对于医学诊断和治疗具有重要意义。

生物信号处理是将这些信号进行采集、处理和分析，提取出有用的信息。

小波变换是一种在信号处理领域广泛应用的技术。

它是一种基于信号局部特征的时频分析方法，适用于非平稳信号分析。

小波变换可以将信号分解成不同尺度和不同频率的成分，从而更好地描述信号的时域和频域特征。

小波变换具有跟踪信号瞬态性质、时域与频域分析相结合、多分辨率表达能力好等特点，在生物信号处理中应用广泛，包括生物医学领域的脑电、心电、肌电、血压、血液流量等信号的分析和识别。

小波变换与生物信号处理的结合，可以实现以下几个方面的应用。

1.生物信号去噪生物信号在采集和传输过程中会受到各种噪声的影响，这些噪声会干扰信号的分析和诊断。

小波变换可以将信号分解成多个尺度，选择较低尺度的细节系数进行滤波，保留较高尺度的近似系数，从而实现去除噪声和保留重要信息的目的。

2.生物信号特征提取生物信号中蕴含着重要的特征信息，如心电信号的R波、P波和T波，肌电信号的肌肉收缩时间等。

小波变换可以将生物信号分解成不同频率和尺度的成分，从中提取有用的特征信息，为后续的分析和判断提供支持。

3.生物信号分类和识别生物信号的分类和识别是生物医学领域中的重要问题，对于疾病的早期诊断和治疗具有重要意义。

小波变换可以将生物信号分解成多尺度和多频率的成分，对于不同类型的生物信号进行特征提取和分类识别。

在生物信号处理中，小波变换是一种有效的工具，可用于生物信号去噪、特征提取和分类识别。

小波变换的局部特征表达、多分辨率表达和时域与频域分析相结合的特点，使它成为处理生物信号的理想技术。

小波变换原理小波变换（WaveletTransform，简称WT）是一种时频分析技术，它可以有效地用于信号和图像的处理。

小波变换的优势在于，它可以把信号或者图像分解为正交基函数.小波变换的原理十分简单，具体实现起来也比较容易。

在原理上，小波变换是一种分解式技术，它分解一个给定的函数f(x)者信号f(t)，分解的基为这一基的小波函数（wavelet），它可以以一种“分层处理”的方式，实现给定信号或者图像的分解。

这种分层处理可以将一个函数或者信号f(t)分解成不同尺度大小的组成部分，使得函数或者信号f(t)分解成不同尺度大小的组成部分，这是小波变换最重要的特征。

在小波变换中，通常使用一种称为双尺度小波变换的处理方法，该方法将小波分解成高、低频分量，这样可以保持原始信号中微小变化的部分，而忽略掉频谱上的粗大变化。

该方法还可以把原始信号分解成更小尺度的组成部分，因此能够充分发挥信号的复杂性，例如噪声的抑制、图像的重建以及心电信号的分析等等。

小波变换的运算步骤比较复杂，并且具有非常强的计算能力。

下面会介绍小波变换的主要步骤：1、小波变换：在多通道小波变换中，通过对原始信号进行一系列相互独立的频率变换，将原始信号分解成多个频域，每个频域中都包含有一系列的小波函数，这些小波函数将原始信号分解成不同尺度大小的组成部分。

2、频变换：在时频变换阶段，将原始信号进行一系列的变换，将原始信号分解成不同频率分量，这些分量可以用来描述信号的特征，或者用来检测噪声及其他外部信号。

3、波展开：小波展开是小波变换的核心技术，它可以使原始信号更加容易分解为不同尺度大小的组成部分，因此能够更加深入地揭示信号的内在特征。

4、波语义：小波语义是小波变换的一个重要技术，它允许原始信号以特定的语义被分解并进行处理，从而改善信号的处理效果。

小波变换的原理及应用极其广泛，在科学、工程、技术及其他领域都有着广泛的应用。

在声学领域，小波变换可以用于实时增强信号的识别精度；在通信领域，它可以用于信道模型的重建，从而提高信号的传输质量；在图像处理领域，它可以用于图像压缩、去噪等；在频谱分析中，它可以用于检测频谱中的非平稳调制信号；在心电信号分析及处理中，小波变换可以用于侦测心律失常等。

一维小波变换现在可以正式定义若干密切相关的小波变换：一般小波序列展开、离散小波变换和连续小渡变换。

它们在傅里叶域的对应部分分别是傅里叶序列展开、离散傅里叶变换和连续傅里叶变换。

在7.4节，将定义一种计算效率很高的称做快速小波变换的离散小波变换。

一.小波序列展开首先根据小波φ(x)和尺度函数φ(x)为函数f(x)∈L2(R)定义小波序列展开。

据式(7.2.27)，可写出：(7.3.1)其中j0是任意开始尺度，c j0和d j(k)分别是式(7.2.12)和式(7.2.21)中αk的改写。

c j0(k)通常称为近似值或尺度系数；d j(k)称为细节或小波系数。

这是因为式(7.3.1)的第一个和式用足度函数提供了f(x)在尺度j0的近似[除非f(x)∈V j0，此时为其精确值]。

对于第二个和式中每一个较高尺度的j≥j0，更细分辨率的函数(一个小波和)被添加到近似中以获得细节的增加。

如果展开函数形成了一个正交基或紧框架(通常情况下是这样)，基于式(7.2.5)和式(7.2.9)的展开系数计算如下：(7.3.2)和(7.3.3)如果展开函数是双正交基的一部分，上式中的φ和φ项要分别由它们的对偶函数和代替。

例7.7 y=x2的哈尔小波序列展开考虑图7.13(a)中显示的简单函数：使用哈尔小波——见式(7.2.14)和式(7.2.30)——和开始尺度J0=0，式(7.3.2)和式(7.3.3)可以被用来计算下述展开系数：将这些值代入式(7.3.1)，可以得到小波序列展开：上述展开中的第一项用c0(0)生成待展开函数的V0子空间近似值。

该近似值如图7.13(b)所示，是原始函数的平均值。

第二项使用d0(0)通过从W0子空间添加一级细节来修饰该近似值。

添加的细节及V1的结果近似值分别如图7.13(c)和(d)所示。

其他级别的细节由子空间W1的系数d1(0)和d1(1)给出。

该附加细节如图7.13(e)所示，V2的结果近似值如图7.13(f)所示。

一．小波变换的定义给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t at b a -=ψψ （1.1）式中b a ,均为常数，且0>a 。

显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。

若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。

给定平方可积的信号)(t x ，即)()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为dt a b t t x ab a WT x )()(1),(-=⎰*ψ 〉〈==⎰*)(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。

如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。

信号)(t x 的小波变换),(b a WT x 是a 和b 的函数，b 是时移，a 是尺度因子。

)(t ψ又称为基本小波，或母小波。

)(,t b a ψ是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。

这样，（1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。

母小波可以是实函数，也可以是复函数。

若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则),(b a WT x 也是实的，反之，),(b a WT x 为复函数。

在（1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。

尺度因子a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。

我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(atψ，当1>a 时，若a 越大，则)(at ψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1<a 时，a 越小，则)(atψ的宽度越窄。

这样，a 和b 联合越来确定了对)(t x 分析的中心位置及分析的时间宽度。

这样，（1.2）式的WT 可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对)(t x 作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。

小波变换算法
1 小波变换算法
小波变换是一种常用的幅度频谱分析和信号处理算法，源自端口
分析理论，常用于多种信号和图像处理应用程序中，例如语音增强、
图像压缩、网络数据检测等。

小波变换算法的核心思想是将信号的不同特征分解成一系列的子带，并分别进行处理。

这样可以使用功率谱分析将输入信号或图像中
的高频成分（如噪声）完全分离出来，从而获得高信噪比的图像。

此外，小波算法可以对图像采样和量化进行压缩，提高图像压缩效率。

由于小波变换算法可以将信号分解成子带，它使得信号处理更加
灵活，噪声消除和图像压缩更加精确。

特别是，当分块差补法或在线
算法（允许输入一部分图像或信号，以求出整个图像）结合小波变换时，将影响很大。

此外，小波变换算法还可以改善图像质量，提高图
像的空间信息和视觉效果。

除此之外，小波变换算法可以在多媒体应用程序中应用。

特别是，在视频处理和图像处理中，小波变换可以用来提高处理效率，减少处
理时间和计算复杂度，提高图像质量。

总而言之，小波变换算法为信号处理和图像处理及其相关应用提
供了一种有效而高效的解决方案，让信号和图像处理更加灵活，异常
噪声更容易消除，图像压缩效率更高，图像质量得以改善。

连续小波变换实验报告实验目的：通过matlab 编程实现一维连续小波变换，更好地理解连续小波变换的算法和作用，以及小波系数矩阵的含义。

同时通过小波系数矩阵对原始信号进行频谱分析，并了解小波小波系数在尺度和位移两个分量上的意义。

实验原理：一维连续小波变换公式：()1*2(,)f t b W a b af t dt a ψ+∞--∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰当小波函数()t ψ为实函数时(,)f W a b ()12(,)f t b W a b af t dt a ψ+∞--∞-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰在给定尺度下，对待分析信号()f t 和小波函数()t ψ按照s t nT =，s b nT =进行采样，其中s T 为采样间隔，则小波变换可近似如下：()12()(,)s f s sn n k T W a b T af nT a ψ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ =()12nn k T af n a ψ--⎛⎫∆ ⎪⎝⎭∑对给定的a 值，依次求出不同a 值下的一组小波系数，由于数据采样间隔∆t 为0.03（常量），所以可以把这个系数忽略,并通过公式下面对小波变换矩阵进行归一化处理。

(,)(,)min*255max minm n wfab m n I -=-实验结果：50100150200250300350400-20-15-10-55101520ORIGINAL DATATIMEA M P L I T U D ECOEFFS ABSOLUTETIMES C A L E5010015020025030035040010203040506070实验程序及注释（1）主程序load('data.mat'); n=length(dat); amax=70; %尺度a 的长度 a=zeros(1,amax);wfab=zeros(amax,n); %小波系数矩阵，均以零矩阵形式赋初值 mexhab=zeros(1,n); %某尺度下小波系数 for s=1:amax %s 表示尺度 for k=1:n mexhab(k)=mexh(k/s); endfor t=1:n % t 表示位移wfab(s,t)=(sum(mexhab.*dat))/sqrt(s); %将积分用求和代替 mexhab=[mexh(-1*t/s),mexhab(1:n-1)]; %mexhab 修改第一项并右移 end endwfab_abs=abs(wfab);figure(3); %画三维图 colormap(pink(255)); surfc(wfab_abs);400TRANSLATIONSCALEA M P L I T U D Exlabel('TRANSLATION')ylabel('SCALE')zlabel('AMPLITUDE')for index=1:amax %小波系数矩阵归一化处理max_coef=max(wfab_abs(index,:));min_coef=min(wfab_abs(index,:));ext=max_coef-min_coef;wfab_abs(index,:)=255*(wfab_abs(index,:)-min_coef)/ext; endfigure(1);plot(dat); %画原始数据图title('ORIGINAL DATA');xlabel('TIME')ylabel('AMPLITUDE')figure(2);image(wfab_abs); %画尺寸-位移图colormap(pink(255));title('COEFFS ABSOLUTE');xlabel('TIME')ylabel('SCALE')（2）墨西哥帽小波函数function Y=mexh(x) %单独用.M文件定义此函数if abs(x)<=5Y=((pi^(-1/4))*(2/sqrt(3)))*(1-x*x)*exp(-(x*x)/2);elseY=0;end;。

小波分析理论小波分析是目前数学中一个迅速发展的新领网域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到??名数学家grange，place以及A.M.Legendre的认可一样。

幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似於现在的小波基；1986年??名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法??多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（T en Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。

它与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。

现在，它已经在科技资讯产业领网域取得了令人瞩目的成就。

电子资讯技术是六大高新技术中重要的一个领网域，它的重要方面是影像和信号处理。

现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。

在Python中，你可以使用pywt（Python Wavelet Transform）库来进行一维小波变换。

pywt库提供了一维、二维和n维的小波变换，包括连续和离散的小波变换，以及各种常用的小波基。

以下是一个使用pywt进行一维小波变换的简单示例：
python复制代码
import pywt
import numpy as np
# 输入信号
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8])
# 选择小波基，例如'haar'
wavelet = 'haar'
# 进行一维小波分解
coeffs = pywt.wavedec(x, wavelet)
# 输出小波系数
print("小波系数:", coeffs)
# 进行一维小波重构
reconstructed_x = pywt.waverec(coeffs, wavelet)
# 输出重构后的信号
print("重构后的信号:", reconstructed_x)
在这个示例中，我们首先导入了pywt和numpy库。

然后，我们创建了一个输入信号x，并选择了一个名为'haar'的小波基。

我们使用pywt.wavedec()函数对输入信号进行一维小波分解，得到小波系数。

最后，我们使用pywt.waverec()函数对小波系数进行重构，得到重构后的信号。

请注意，你需要安装pywt库才能运行这个示例。

你可以使用以下命令在Python环境中安装pywt库：bash复制代码
pip install PyWavelets。

小波变换函数介绍小波变换函数介绍1 一维小波变换的 Matlab 实现(1) dwt 函数功能：一维离散小波变换格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname')[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组 Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。

(2) idwt 函数功能：一维离散小波反变换格式：X=idwt(cA,cD,'wname')X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,'wname',L)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量 cA 和细节分量 cD 经小波反变换重构原始信号 X 。

'wname' 为所选的小波函数X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器 Lo_R 和 Hi_R 经小波反变换重构原始信号 X 。

X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号 X 中心附近的 L 个点。

(3) wavedec函数功能：单尺度一维小波分解函数格式：[C,L] = wavedec(X,N,'wname')；说明：使用小波基函数 'wname' 对一维信号 X 进行 N 层分解。

N必须是正整数[C,S]=wavedec(X,N,'wname') 使用小波基函数 'wname' 对一维信号 X 进行 N 层分解；(4) waverec 函数说明：一维信号的多层小波重构格式：X=waverec(C,S,'wname')X=waverec(C,S,Lo_R,Hi_R)说明：X=waverec2(C,S,'wname'）用'wname'小波基函数对多层一维小波分解的结果C、S 重构得原始信号X；X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R) 使用重构低通和高通滤波器Lo_R 和Hi_R 重构原信号。

一阶小波变换
一阶小波变换是一种数学方法，用于将信号分解成不同频率的子信号。

这种技术尤其适用于分析非稳态信号。

具体来说，一阶小波变换的公式如下：
h(n)=2^n*h(n-1)-h(n-2)
其中，h(n)代表第n个系数，n为正整数。

这是一维离散小波变换的公式，通过迭代这个过程，可以得到信号在不同尺度上的频率成分。

小波变换具有许多优点。

首先，它能够同时提供时域和频域信息，这使得我们可以更好地理解信号的特性。

其次，小波变换可以捕捉信号的瞬时特征，这对于分析非稳态信号非常重要。

此外，小波变换还可以进行多尺度分析，这意味着我们可以在不同的尺度上观察信号的特征。

在实际应用中，小波变换被广泛应用于图像处理、语音识别、通信等领域。

例如，在图像处理中，小波变换可以用于去除噪声、压缩图像等任务；在语音识别中，小波变换可以用于提取语音信号的特征，从而提高识别准确率；在通信中，小波变换可以用于数据压缩和解压缩等任务。

需要注意的是，小波变换的选择对于结果有很大的影响。

不同的小波基函数会产生不同的频率分辨率和时间分辨率。

因此，在选择小波基函数时需要根据具体的应用需求进行选择。

一阶小波变换是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和分析信号的特性。

随着技术的不断发展，小波变换在各个领域的应用将会越来越广泛。

小波变换的作用
小波变换（wavelet transform，WT）是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。

它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，能对时间（空间）频率的局部化分析，通过伸缩平移运算对信号（函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。

传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性，如不具备局部化分析能力、不能分析非平稳信号等。

在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，以改善这种局限性，如STFT（短时傅立叶变换）。

由于STFT采用的的滑动窗函数一经选定就固定不变，故决定了其时频分辨率固定不变，不具备自适应能力，而小波分析很好的解决了这个问题。

小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。

小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。

一维swt原理-回复一维小波变换（SWT: Single-level Wavelet Transform）是一种信号处理技术，通过将信号拆分成不同频率的小波分量来分析信号的时间频率特性。

它在许多领域中被广泛应用，如图像压缩、信号去噪和模式识别等。

在本文中，我们将逐步介绍一维SWT的原理和基本步骤。

一维小波变换的原理基于滤波和下采样的运算。

首先，我们将信号分解成不同频率的小波分量，然后可以根据需要对这些分量进行处理或重构信号。

下面是一维SWT的基本步骤：1. 选择小波函数：在进行小波变换之前，我们需要选择合适的小波函数。

小波函数应具有多尺度特性，即不同尺度的小波函数能够捕捉信号在不同频率上的变化。

常用的小波函数有Daubechies、Haar和Symlet等。

2. 信号分解：在这一步骤中，我们将信号分解成不同频率的小波分量。

首先，我们将信号与一个低通滤波器（低通滤波器的频率响应在频率范围内是高的）进行卷积，然后对结果进行下采样。

这将获得信号的低频分量。

然后，我们将信号与一个高通滤波器（高通滤波器的频率响应在频率范围内是低的）进行卷积，同样对结果进行下采样。

这将获得信号的高频分量。

通过不断重复这个过程，我们可以获得信号的不同尺度上的小波分量。

3. 重构信号：在对信号进行分解后，我们可以根据需要对小波分量进行处理或将它们重构成原始信号。

小波重构是将各个尺度的小波分量进行上采样和滤波运算的过程。

具体而言，我们先对每个尺度的小波分量进行上采样，然后分别与相应的滤波器进行卷积运算，最后将结果累加得到重构的信号。

4. 包络提取和去噪：一维SWT可以用于信号的包络提取和去噪。

包络提取是通过提取信号的低频分量来获取信号的慢变化部分。

这在需要了解信号基本趋势的情况下非常有用。

去噪是通过移除信号的高频分量来消除噪声。

高频分量通常被认为是噪声的主要部分，因此通过滤波和下采样过程，可以将噪声从信号中分离出来。

总结起来，一维SWT通过将信号分解成不同频率的小波分量，帮助我们分析信号的时间频率特性和提取有效信息。

一维小波变换算法程序作者：项目组转贴自：本站原创点击数：7423一维小波变换算法程序目录＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃appcoef函数% 采用补零的扩展模式（参见dwtmode函数）% 装载一维尺度信号load leleccum; s = leleccum(1:3920);ls=length(s);subplot(2,1,1);plot(s);title(' 原始信号');% 使用db1小波在第3层进行分解[c,l] = wavedec(s,3,'db1');% 由小波分解框架[c,l]，提取第3层系数近似值ca3 = appcoef(c,l,'db1',3);subplot(2,1,2);plot(ca3);＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃cwt函数t = linspace(-1,1,512);s = 1-abs(t);c = cwt(s,1:32,'cgau4');c = cwt(s,[64 32 16:-2:2],'morl');c = cwt(s,[3 18 12.9 7 1.5],'db2');c = cwt(s,1:64,'sym4','abslvl',[100 400]);＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃detcoef函数% 采用补零的扩展模式（参见dwtmode函数）% 装载一维尺度信号load leleccum;s = leleccum(1:3920);% 使用db1在第3层进行分解[c,l] = wavedec(s,3,'db1');subplot(4,1,1);plot(s);title(' 原始信号');% 从小波分解结构[c,l]中提取1、2及3层的细节系数[cd1,cd2,cd3] = detcoef(c,l,[1 2 3]);% 绘图命令subplot(4,1,2);plot(cd3);Ylabel('cd3');subplot(4,1,3);plot(cd2);Ylabel('cd2');subplot(4,1,4);plot(cd1);Ylabel('cd1');＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃dwt函数% 当前扩展模式是补零模式 (详见dwtmode函数)% 构造原始一维尺度信号randn('seed',531316785)s = 2 + kron(ones(1,8),[1 -1]) + ((1:16).^2)/32 + 0.2*randn(1,16); % 进行单尺度离散haar小波变换[ca1,cd1] = dwt(s,'haar');subplot(311); plot(s); title('原始信号');subplot(323); plot(ca1); title('haar低频系数');subplot(324); plot(cd1); title('haar高频系数');% 对于给定的小波，计算两个相关的分解滤波器，并直接使用该滤波器计算低频和高频系数[Lo_D,Hi_D] = wfilters('haar','d');[ca1,cd1] = dwt(s,Lo_D,Hi_D);% 进行单尺度db2离散小波变换并观察最后系数的边缘效果[ca2,cd2] = dwt(s,'db2');subplot(325); plot(ca2); title('db2低频系数');subplot(326); plot(cd2); title('db2高频系数');＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃idwt函数% 当前扩展模式是补零% 构造原始一维信号srandn('seed',531316785)s = 2 + kron(ones(1,8),[1 -1]) + ...((1:16).^2)/32 + 0.2*randn(1,16);% 使用db2进行单尺度dwt[ca1,cd1] = dwt(s,'db2');subplot(221); plot(ca1);title('db2低频系数');subplot(222); plot(cd1);title('db2高频系数 ');% 进行单尺度离散小波逆变换ss = idwt(ca1,cd1,'db2');err = norm(s-ss); % 检查重构subplot(212); plot([s;ss]');title('原始信号和重构信号');xlabel(['误差的2范数为 = ',num2str(err)])% 对于给定小波，计算两个相关重构滤波器，并直接利用它们进行逆变换[Lo_R,Hi_R] = wfilters('db2','r');ss = idwt(ca1,cd1,Lo_R,Hi_R);＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃iswt函数% 装载一维信号load noisbloc; s = noisbloc;% 画出原始信号subplot(311);plot(s);title(' 原始信号.');% 使用db1在第3层进行SWT分解swc = swt(s,3,'db1');% 第2种实现方法.[swa,swd] = swt(s,3,'db1');% 从平稳小波分解结构swc中，重构sa0 = iswt(swc,'db1');% 画出原始信号subplot(312);plot(a0);title('重构信号1.');% 第2种实现方法a0bis = iswt(swa,swd,'db1');% 画出原始信号subplot(313);plot(a0bis);title(' 重构信号2.');% 检查重构的效果err = norm(s-a0)errbis = norm(s-a0bis)＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃swt函数% 载入一维原始信号load noisbloc; s = noisbloc;% 画出原始信号subplot(4,2,1);plot(s);title(' 原始信号');subplot(4,2,2);plot(s);title('原始信号');% 使用db1进行在第3层SWT分解.[swa,swd] = swt(s,3,'db1');% 画出从1～3层离散小波变换的低频系数和高频系数subplot(4,2,3);plot(swa(3,:));title(' 第3层低频系数'); subplot(4,2,5);plot(swa(2,:));title('第2层低频系数'); subplot(4,2,7);plot(swa(1,:));title(' 第1层低频系数'); subplot(4,2,4);plot(swd(3,:));title('第3层低频系数'); subplot(4,2,6);plot(swd(2,:));title(' 第2层低频系数'); subplot(4,2,8);plot(swd(1,:));title('第1层低频系数');＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃upcoef函数% 当前扩展模式是补零（参见dwtmode函数）% 低频信号由1～6层系数获得cfs = [1];essup = 10;figure(1)for i=1:6rec = upcoef('a',cfs,'db6',i);% essup 是重构信号必须的% 当j等于essup时，rec(j) 非常小ax = subplot(6,1,i),h = plot(rec(1:essup));set(ax,'xlim',[1 325]);essup = essup*2;endsubplot(611)title(['尺度1到6，由惟一的系数获得的低频信号'])% 同样可以获得高频信号% 高频信号可以由惟一系数从尺度1～6获得cfs = [1];mi = 12; ma = 30; % db6小波滤波器必须的rec = upcoef('d',cfs,'db6',1);figure(2)subplot(611), plot(rec(3:12))for i=2:6rec = upcoef('d',cfs,'db6',i);subplot(6,1,i), plot(rec(mi*2^(i-2):ma*2^(i-2))) endsubplot(611)title(['由惟一系数从尺度1到6获得的高频信号'])＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃upwlev函数% 当前的延拓模式是补零（参见dwtmode函数）% 装载原始一维信号load sumsin; s = sumsin;% 使用db1执行3层小波分解[c,l] = wavedec(s,3,'db1');subplot(311); plot(s);title('原始信号s.');subplot(312); plot(c);title(' 3层小波分解结构')xlabel([' 第3层的低频系数以及第3、2和1层的高频系数']) % 对3层的小波分解结构进行重构% 因此新的结构[nc,nl]是2层小波分解结构[nc,nl] = upwlev(c,l,'db1');subplot(313); plot(nc);title(' 2层小波分解结构')xlabel(['第2层的低频系数及第1和2层的高频系数'])＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃wavedec函数% 当前延拓模式是补零% 装载一维原始信号load sumsin; s = sumsin;subplot(2,1,1);plot(s);title(' 原始信号');% 使用db1进行3层分解[c,l] = wavedec(s,3,'db1');subplot(2,1,2);plot(c);title(' 小波分解结构');Xlabel(' 低频系数和第3，2，1层的高频系数')＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃waverec函数% 当前延拓模式是补零% 装载一维原始load leleccum; s = leleccum(1:3920); ls = length(s);% 使用db5进行尺度为3时的分解[c,l] = wavedec(s,3,'db5');% 从小波分解结构[c,l]重构信号sa0 = waverec(c,l,'db5');% 检查重构效果.err = norm(s-a0)subplot(2,1,1);plot(s);title('原始信号')subplot(2,1,2);plot(a0);title(' 重构信号')＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃wmaxlev函数% 对于一维信号s = 2^10;w = 'db1';% 计算小波分解的最大尺度，规则时最大尺度至少一个系数正确l1 = wmaxlev(s,w)% 改变小波w = 'db7';% 计算最大分解尺度l2= wmaxlev(s,w)% 对于二维信号s = [2^9 2^7];w = 'db1';% 计算最大分解尺度l3 = wmaxlev(s,w)% 它和下面这个函数一样l4 = wmaxlev(min(s),w)% 改变小波w = 'db7';% 计算最大分解尺度l5 = wmaxlev(s,w)＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃wrcoef函数% 采用补零的扩展模式（参见dwtmode函数）% 装载一维信号load sumsin; s = sumsin;subplot(2,1,1);plot(s);title(' 原始信号');%使用sym4进行尺度为5的分解[c,l] = wavedec(s,5,'sym4');% 从小波分解结构[c,l]，重构尺度为5的低频部分a5 = wrcoef('a',c,l,'sym4',5);subplot(2,1,2);plot(a5);title(' 重构低频信号');＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃一维离散小波变换load noisblocs= noisbloc(1:1024);ls=length(s);[cA1,cD1]=dwt(s,'db4');A1=upcoef('a',cA1,'db4',1,ls);D1=upcoef('d',cD1,'db4',1,ls);subplot(2,1,1);plot(A1);title(' 低频A1')subplot(2,1,2);plot(D1);title('高频D1')A0=idwt(cA1,cD1,'db4',ls);figure(2)subplot(2,1,1);plot(s);title(' 原始信号')subplot(2,1,2);plot(A0);title('重构信号')[C,L]=wavedec(s,5,'db4');cA5=appcoef(C,L,'db4',5);A5=wrcoef('a',C,L,'db4',3);D1=wrcoef('d',C,L,'db4',1);D2=wrcoef('d',C,L,'db4',2);D3=wrcoef('d',C,L,'db4',3);D4=wrcoef('d',C,L,'db4',4);D5=wrcoef('d',C,L,'db4',5);subplot(3,2,1);plot(A5);title(' 低频A5')subplot(3,2,2);plot(D1);title('高频D1')subplot(3,2,3);plot(D2);title(' 高频D2')subplot(3,2,4);plot(D3);title('高频D3')subplot(3,2,5);plot(D3);title(' 高频D4')subplot(3,2,6);plot(D3);title('高频D5')figure(3)A0=waverec(C,L,'db4');subplot(3,1,1);plot(s);title(' 原始信号')subplot(3,1,2);plot(A0);title('重构信号')subplot(3,1,3);plot(s- A0);title('误差信号')err = max(abs(s-A0))＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃一维连续小波变换% 装载实际信号load vonkochvonkoch=vonkoch(1:510);lv = length(vonkoch);subplot(311), plot(vonkoch);title('被分析信号.');set(gca,'Xlim',[0 510])% 执行离散5层sym2小波变换% 层数1～5分别对应尺度 2, 4, 8, 16 and 32[c,l] = wavedec(vonkoch,5,'sym2');% 扩展离散小波系数进行画图% 层数1～5分别对应尺度 2, 4, 8, 16和32cfd = zeros(5,lv);for k = 1:5d = detcoef(c,l,k);d = d(ones(1,2^k),:);cfd(k,:) = wkeep(d(:)',lv);endcfd = cfd(:);I = find(abs(cfd)cfd(I)=zeros(size(I));cfd = reshape(cfd,5,lv);% 画出离散系数subplot(312), colormap(pink(64));img = image(flipud(wcodemat(cfd,64,'row')));set(get(img,'parent'),'YtickLabel',[]);title('离散变换, 系数绝对值.')ylabel('层数')% 执行连续小波sym2变换，尺度从1～32subplot(313)ccfs = cwt(vonkoch,1:32,'sym2','plot');title('连续变换, 系数绝对值.')colormap(pink(64));ylabel('尺度')＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃。

一维离散小波变换一维离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是指在一维数据上应用小波分析的一种方法。

与一般的傅里叶变换 (Fourier Transform) 这样的频域分析不同，小波分析 (Wavelet Analysis) 既可以分析信号的频率特征，也可以分析其时域局部特征。

在大量应用中，小波变换被用于图像及信号的压缩，数据的降采样，滤波，特征提取等应用。

小波变换的理论基础来源于舒尔函数 (Schur's lemma) 上的一种新型数学工具，可以对卷积神经网络(Convolutional Neural Networks, CNN) 没有计算能力的边缘疑问做出解答。

由于小波分析在时间和频率的分辨率方面的可调节性，因此在机器学习 (Machine Learning) 的很多领域，都可以找到其应用。

在数据压缩领域，小波变换的使用可以将信号变得更加紧凑，从而更方便存储和分析。

小波分析的基本理念是“分级分析”，将信号分解成多个不同频率的分量，然后再将这些分量继续分解，一直到不同的事物特征不再可分解，然后再重建信号。

这个过程中，得到的各级分量可以包含有相对于原来信号节省很多空间的信息，使得整个过程更加高效。

实际上，小波变换是将时域信号转换为小波系数。

在这一过程中，小波函数用于来描述一组有限长度的基函数，它们包含了信号的具体特征。

通过这种方法可以将信息压缩到更小的过程中，而且还保留有很多原始信号中的特征。

国际上公认的小波变换的西姆莱提（Mallat）提出了一种逐层递归的离散小波变换算法，被认为是小波变换的基本算法。

在该算法中，小波变换的每次迭代都涉及到一次回归操作和一次细节收缩操作。

这个算法在解决各种有关小波变换的问题方面都是非常有效的，因此得到了广泛的应用。

总之，小波分析和变换技术是一个非常重要的工具，在信号处理、图像分析、数据降采样等方面都有着广泛的应用。

小波变换通过按照一定规律拆分原始信号，然后将其重组为各级分量，从而实现信号的压缩和特征提取。