第二章-连续小波变换

2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ），其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：（1） 一种积分变换。

（2） 称()τ,a WT f 为小波变换系数。

小波变换与傅里叶变换的不同之处：（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。

（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。

由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。

从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。

CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。

随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。

STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。

二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。

低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。

举例说明。

信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。

与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。

这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。

若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' （2.11）ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。

小波分析连续小波变换小波分析是一种用于信号处理和数据分析的强大工具，可以在时频域上对信号进行局部化分析。

连续小波变换是小波分析的一种常用方法，它将信号分解成不同频率和尺度的小波成分，从而揭示出信号的时间和频率特征。

在本文中，我们将介绍连续小波变换的原理、方法和应用，并对其进行详细分析。

连续小波变换的原理可以用数学公式表示为：CWT(a,b) = \int f(t)\psi_{a,b}(t)dt\]其中，\(CWT(a,b)\)表示连续小波变换的系数，\(f(t)\)表示原始信号，\(\psi_{a,b}(t)\)表示小波基函数。

小波基函数可以由母小波函数进行缩放和平移得到，其中缩放因子\(a\)控制小波的频率，平移因子\(b\)控制小波的相位。

连续小波变换有许多不同的小波基函数可供选择，常用的有Morlet 小波、Haar小波、Daubechies小波等。

每种小波基函数都有自己的频率和尺度特性，适用于不同类型的信号分析。

连续小波变换方法的基本步骤如下：1.选择合适的小波基函数和尺度范围。

2.将原始信号进行滤波和下采样，得到不同尺度的近似信号。

3.将原始信号与小波基函数进行卷积，得到不同频率和尺度的细节信号。

4.重复步骤2和步骤3，直到得到满足要求的小波系数。

连续小波变换的应用十分广泛，包括信号分析、图像处理、模式识别等领域。

下面我们将以信号分析为例，详细介绍连续小波变换的应用。

在信号分析中，连续小波变换可以用来检测信号中的瞬时特征、变化点和周期变化。

通过对信号进行小波变换，可以得到不同尺度的频谱信息，从而揭示出信号的时频特征。

例如，在生物医学信号分析中，连续小波变换可以用来检测心电图中的心跳和呼吸节律，从而帮助医生对心脏和呼吸系统的功能进行评估和诊断。

同时，连续小波变换还可以用于脑电图分析、肌电图分析等领域。

在工程领域，连续小波变换也有重要的应用。

例如，在机械故障诊断中，连续小波变换可以用来分析振动信号，从而检测机械设备中的故障和异常。

2.1.1 连续小波变换（1）连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。

小波函数的数学定义是：设)(t ψ为一平方可积函数，即)()(2R L t ∈ψ，若其傅立叶变换)(ˆw ψ满足： ∞<=⎰dw w w C R 2)(ψψ （2-1）时，则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数，并称式（2-1）是小波函数的可容许条件。

根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知0)(0==w w ψ，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。

将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ，平移因子为b ，并记平移伸缩后的函数为)(,t b a ψ，则： 0;,,)(21,≠∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a R b a a t a t b a τψψ （2-2） 并称)(,t b a ψ为参数a 和b 小波基函数。

由于a 和b 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数)(t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。

定义小波母函数)(t ψ的窗口宽度为t ∆，窗口中心为0t ，则可以求得连续小波基函数)(,t b a ψ的窗口中心及窗口宽度分别为：t a t b at t a b a ∆=∆+=τ,0,, （2-3） 设)(ˆw ψ是)(t ψ的傅立叶变换，频域窗口中心为0w ，窗口宽度为w ∆，)(t ψ的傅立叶变换为)(,w b a ψ，则有：)()(,aw e a w jwb b a φψ-= （2-4） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为：w aw w a w b a b a ∆∆1,1,0,== （2-5） 由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数，均随着a 的变化而伸缩，并且还有w t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,, （2-6）即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg 测不准原理。

2.1.1 连续小波变换（1）连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。

小波函数的数学定义是：设)(t ψ为一平方可积函数，即)()(2R L t ∈ψ，若其傅立叶变换)(ˆw ψ满足： ∞<=⎰dw w w C R 2)(ψψ （2-1）时，则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数，并称式（2-1）是小波函数的可容许条件。

根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知0)(0==w w ψ，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。

将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ，平移因子为b ，并记平移伸缩后的函数为)(,t b a ψ，则： 0;,,)(21,≠∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a R b a a t a t b a τψψ （2-2） 并称)(,t b a ψ为参数a 和b 小波基函数。

由于a 和b 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数)(t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。

定义小波母函数)(t ψ的窗口宽度为t ∆，窗口中心为0t ，则可以求得连续小波基函数)(,t b a ψ的窗口中心及窗口宽度分别为：t a t b at t a b a ∆=∆+=τ,0,, （2-3） 设)(ˆw ψ是)(t ψ的傅立叶变换，频域窗口中心为0w ，窗口宽度为w ∆，)(t ψ的傅立叶变换为)(,w b a ψ，则有：)()(,aw e a w jwb b a φψ-= （2-4） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为：w aw w a w b a b a ∆∆1,1,0,== （2-5） 由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数，均随着a 的变化而伸缩，并且还有w t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,, （2-6）即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg 测不准原理。

第二章连续小波变换13小波母函数（及小波函数）特点：,0)(∫∞∞−=dt t ψ语言描述为：（1）小波具有“小”，具有时、频域紧支集，包络衰减快;（2）小波具有“波动性”，正负交替，与水平轴上下围成的面积相等，直流分量为零；（3）小波具有带通滤波器特性，ψ(t )可理解为一个带通滤波器的冲激响应。

（小波的Fourier 变换是带通）,0)0(ˆ=ψ示。

图2-3ω∆2ω∆2/ω∆ωt 0ω02ω2/0ω)(ˆωψa )(ˆωψa )(ˆωψa19母小波可以是实函数，也可以是复函数。

•具有带通特性，即在频域，围绕着中心频率是有限支撑的也将反映在窗口中心频率处的局部性质，从而实现所期望的频率定位功能。

)(ˆ,ωψb a )(ˆ,ωψb aMorlet小波ψ (t ) = e− t 2 / 2 iω0teˆ (ω ) = 2π e− (ω −ω0 ) ψ2/2(a)小波母函数;(b)Fourier变换Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。

g (t ) =(σ π )211/ 4e−t2 2σ 2σ = 1,η = 5Gabor 小波 Morlet小波21ψ ( t ) = g ( t ) eiηtMorlet小波morl(x) = exp(-x^2/2) * cos(5x) No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact Support Effective support=[-4 4], SymmetryM orlet W avelet 1 0.8 12 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 2 -0.8 -1 -5 0 -5 6 10 14 FFT of M orlet W avelet84-4-3-2-1012345-4-3-2-1012345Morlet小波是一种复数小波，时频均具有很好的局部性。

连续小波变换的定义连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种数学工具，用于在时域和频域之间转换信号。

它通过将信号与母小波进行卷积来分析信号的频率成分和时域特征。

连续小波变换在诸多领域中得到广泛应用，如信号处理、图像处理、模式识别等。

一、母小波母小波是连续小波变换中的基函数，用于分析信号的局部特征。

母小波必须满足一定的数学条件，其中最重要的是零平均性和正交性。

零平均性要求母小波的积分为零，这样可以排除信号的直流成分。

正交性要求母小波与不同尺度和平移的版本之间具有正交性，以便在不同频率和时间上分析信号。

一些常用的母小波包括Morlet小波、Haar小波以及高斯小波。

每种母小波都有其特定的频率响应和时域特性，适用于不同类型的信号分析。

二、连续小波变换的计算步骤连续小波变换可以通过以下步骤进行计算：1.选择合适的母小波函数。

根据信号的特征选择适合的母小波函数，例如需要较好的时域分辨率时可以选择Morlet小波。

2.对母小波函数进行尺度变换和平移变换。

通过缩放和平移母小波函数，生成在不同时间尺度下的小波函数。

3.将信号与小波函数进行卷积。

对信号和不同尺度下的小波函数进行卷积运算，得到连续小波系数。

4.可选的信号重建。

根据需要，可以通过反向连续小波变换将小波系数重构为原始信号。

三、连续小波变换的特点连续小波变换相比于离散小波变换具有以下特点：1.连续性：连续小波变换可以在时间域上连续地变换信号，不需要进行离散化处理。

这使得连续小波变换对信号的时域特征更加敏感。

2.尺度可调性：连续小波变换可以通过改变母小波的尺度来分析不同频率成分的信号。

不同尺度的小波函数可以捕捉信号在不同频率范围内的变化。

3.多分辨率分析：连续小波变换可以提供多个尺度下的频谱信息，从而实现对信号的多尺度分析。

这有助于对信号中的局部特征进行更详细的分析和处理。

4.良好的时-频局部化特性：连续小波变换可以在时-频平面上对信号进行局部化分析，对信号的瞬时频率和局部时域特征进行更准确的刻画。

连续小波变换及其应用连续小波变换及其应用小波变换（Wavelet Transform）是一种信号处理的重要方法，在信号处理、图像处理、模式识别等领域广泛应用。

连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种连续域的小波变换方法，具有多尺度分析的特点。

本文将介绍连续小波变换的基本原理及其在各领域中的应用。

一、连续小波变换的基本原理连续小波变换是将被分析的信号与一组母小波进行卷积，得到不同尺度下的小波系数，从而实现对信号的频率分解和时频分析。

连续小波变换的基本原理是将信号通过与小波函数的卷积操作，实现对信号在时间和频率上的分析。

连续小波变换的数学表达式如下：\[ C(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \psi\left(\frac{t-b}{a}\right)dt \]其中，\[ a \in R^{+} \]为尺度参数，\[ b \in R \]为平移参数，\[ x(t) \]为原始信号，\[ \psi(t) \]为小波函数。

连续小波变换的特点是可以同时观察信号的时域和频域信息，提供了一种更加完备的分析手段。

相较于傅里叶变换，连续小波变换具有多尺度分析的能力，可以在不同尺度上对信号进行分解，对于瞬态信号和非平稳信号具有更好的适应性。

二、连续小波变换的应用1. 信号处理领域连续小波变换在信号处理领域中有着广泛的应用。

在信号分析中，连续小波变换可以对信号的时频信息进行分析，可以用来检测信号的瞬态特征、识别信号的频率成分等。

同时，连续小波变换还可以用于信号去噪、信号压缩、信号特征提取等方面。

2. 图像处理领域连续小波变换在图像处理领域中也具有重要的应用价值。

图像是二维信号，连续小波变换可以对图像的空间域和频率域信息进行分析，可以用于图像的边缘检测、纹理分析、图像增强等方面。

同时，连续小波变换还可以实现图像的压缩和去噪等操作。