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2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ），其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：（1） 一种积分变换。
（2） 称()τ,a WT f 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处：（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。
（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。
由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。
从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。
CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。
随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。
STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。
二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。
低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。
举例说明。
信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。
与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。
这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。
若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' （2.11）ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。
小波分析连续小波变换小波分析是一种用于信号处理和数据分析的强大工具，可以在时频域上对信号进行局部化分析。
连续小波变换是小波分析的一种常用方法，它将信号分解成不同频率和尺度的小波成分，从而揭示出信号的时间和频率特征。
在本文中，我们将介绍连续小波变换的原理、方法和应用，并对其进行详细分析。
连续小波变换的原理可以用数学公式表示为：CWT(a,b) = \int f(t)\psi_{a,b}(t)dt\]其中，\(CWT(a,b)\)表示连续小波变换的系数，\(f(t)\)表示原始信号，\(\psi_{a,b}(t)\)表示小波基函数。
小波基函数可以由母小波函数进行缩放和平移得到，其中缩放因子\(a\)控制小波的频率，平移因子\(b\)控制小波的相位。
连续小波变换有许多不同的小波基函数可供选择，常用的有Morlet 小波、Haar小波、Daubechies小波等。
每种小波基函数都有自己的频率和尺度特性，适用于不同类型的信号分析。
连续小波变换方法的基本步骤如下：1.选择合适的小波基函数和尺度范围。
2.将原始信号进行滤波和下采样，得到不同尺度的近似信号。
3.将原始信号与小波基函数进行卷积，得到不同频率和尺度的细节信号。
4.重复步骤2和步骤3，直到得到满足要求的小波系数。
连续小波变换的应用十分广泛，包括信号分析、图像处理、模式识别等领域。
下面我们将以信号分析为例，详细介绍连续小波变换的应用。
在信号分析中，连续小波变换可以用来检测信号中的瞬时特征、变化点和周期变化。
通过对信号进行小波变换，可以得到不同尺度的频谱信息，从而揭示出信号的时频特征。
例如，在生物医学信号分析中，连续小波变换可以用来检测心电图中的心跳和呼吸节律，从而帮助医生对心脏和呼吸系统的功能进行评估和诊断。
同时，连续小波变换还可以用于脑电图分析、肌电图分析等领域。
在工程领域，连续小波变换也有重要的应用。
例如，在机械故障诊断中，连续小波变换可以用来分析振动信号，从而检测机械设备中的故障和异常。
2.1.1 连续小波变换（1）连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。
小波函数的数学定义是：设)(t ψ为一平方可积函数，即)()(2R L t ∈ψ，若其傅立叶变换)(ˆw ψ满足： ∞<=⎰dw w w C R 2)(ψψ （2-1）时，则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数，并称式（2-1）是小波函数的可容许条件。
根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知0)(0==w w ψ，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。
将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ，平移因子为b ，并记平移伸缩后的函数为)(,t b a ψ，则： 0;,,)(21,≠∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a R b a a t a t b a τψψ （2-2） 并称)(,t b a ψ为参数a 和b 小波基函数。
由于a 和b 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数)(t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。
定义小波母函数)(t ψ的窗口宽度为t ∆，窗口中心为0t ，则可以求得连续小波基函数)(,t b a ψ的窗口中心及窗口宽度分别为：t a t b at t a b a ∆=∆+=τ,0,, （2-3） 设)(ˆw ψ是)(t ψ的傅立叶变换，频域窗口中心为0w ，窗口宽度为w ∆，)(t ψ的傅立叶变换为)(,w b a ψ，则有：)()(,aw e a w jwb b a φψ-= （2-4） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为：w aw w a w b a b a ∆∆1,1,0,== （2-5） 由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数，均随着a 的变化而伸缩，并且还有w t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,, （2-6）即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg 测不准原理。
2.1.1 连续小波变换（1）连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。
小波函数的数学定义是：设)(t ψ为一平方可积函数，即)()(2R L t ∈ψ，若其傅立叶变换)(ˆw ψ满足： ∞<=⎰dw w w C R 2)(ψψ （2-1）时，则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数，并称式（2-1）是小波函数的可容许条件。
根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知0)(0==w w ψ，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。
将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ，平移因子为b ，并记平移伸缩后的函数为)(,t b a ψ，则： 0;,,)(21,≠∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a R b a a t a t b a τψψ （2-2） 并称)(,t b a ψ为参数a 和b 小波基函数。
由于a 和b 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数)(t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。
定义小波母函数)(t ψ的窗口宽度为t ∆，窗口中心为0t ，则可以求得连续小波基函数)(,t b a ψ的窗口中心及窗口宽度分别为：t a t b at t a b a ∆=∆+=τ,0,, （2-3） 设)(ˆw ψ是)(t ψ的傅立叶变换，频域窗口中心为0w ，窗口宽度为w ∆，)(t ψ的傅立叶变换为)(,w b a ψ，则有：)()(,aw e a w jwb b a φψ-= （2-4） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为：w aw w a w b a b a ∆∆1,1,0,== （2-5） 由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数，均随着a 的变化而伸缩，并且还有w t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,, （2-6）即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg 测不准原理。
第二章连续小波变换13小波母函数（及小波函数）特点：,0)(∫∞∞−=dt t ψ语言描述为：（1）小波具有“小”，具有时、频域紧支集，包络衰减快;（2）小波具有“波动性”，正负交替，与水平轴上下围成的面积相等，直流分量为零；（3）小波具有带通滤波器特性，ψ(t )可理解为一个带通滤波器的冲激响应。
（小波的Fourier 变换是带通）,0)0(ˆ=ψ示。
图2-3ω∆2ω∆2/ω∆ωt 0ω02ω2/0ω)(ˆωψa )(ˆωψa )(ˆωψa19母小波可以是实函数，也可以是复函数。
•具有带通特性，即在频域，围绕着中心频率是有限支撑的也将反映在窗口中心频率处的局部性质，从而实现所期望的频率定位功能。
)(ˆ,ωψb a )(ˆ,ωψb aMorlet小波ψ (t ) = e− t 2 / 2 iω0teˆ (ω ) = 2π e− (ω −ω0 ) ψ2/2(a)小波母函数;(b)Fourier变换Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g (t ) =(σ π )211/ 4e−t2 2σ 2σ = 1,η = 5Gabor 小波 Morlet小波21ψ ( t ) = g ( t ) eiηtMorlet小波morl(x) = exp(-x^2/2) * cos(5x) No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact Support Effective support=[-4 4], SymmetryM orlet W avelet 1 0.8 12 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 2 -0.8 -1 -5 0 -5 6 10 14 FFT of M orlet W avelet84-4-3-2-1012345-4-3-2-1012345Morlet小波是一种复数小波，时频均具有很好的局部性。
2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ），其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：（1） 一种积分变换。
（2） 称()τ,a WT f 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处：（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。
（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。
由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。
从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。
CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。
随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。
STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。
二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。
低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。
举例说明。
信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。
与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。
这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。
若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' （2.11）ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。
00.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04-2-1012时域波形TimeF r e q u e n c ySTFT 大时窗0.0120004000TimeF r e q u e n c ySTFT 中时窗00.050.10.15200400TimeF r e q u e n c ySTFT 小时窗00.050.10.15200400图2.12.2.2 连续小波变换的一些性质连续小波变换是一种线性变换，它具有以下几方面的性质： （1）叠加性设)()(),(211R L t y t x ∈空间，21,k k 为任意常数，且)(1t x 的CWT 为),(τa WT x ，且)(1t y 的CWT 为),(τa WT y ，则)()()(1211t y k t x k t z +=的CWT 为),(),(),(21τττa WT k a WT k a WT y x z += （2.12）（2）时移不变性设)(t x 的CWT 为),(τa WT x ，则)(0t t x -的CWT 为),(0t a WT x -τ，即延时后的信号的)(0t t x -的小波系数可将原信号)(t x 的小波系数在τ轴上进行同样时移得到。
（3）尺度转换（伸缩共变性）设)(t x 的CWT 为),(τa WT x ，则)(λtx 的CWT 为0 ),,(>λλτλλa WT x （2.13）此性质表明，当信号在时域作某一倍数的伸缩时，其小波变换在τ,a 轴上也作同一倍数的伸缩，形状不变。
（4）内积定理设)()(),(221R L t x t x ∈空间，它们的CWT 分别为),(1τa WT x ，),(2τa WT x ，即>=<)(),(),(,11t t x a WT a x τψτ >=<)(),(),(,22t t x a WT a x τψτ则有Moyal 定理：><>=<)(),(),(),,(2121t x t x C a WT a WT x x ψττ （2.14）其中ωωωψd C ⎰∞ψ=02)(证明 由傅里叶积分的乘积定理可知ωωωπd X X t x t x R )()(21)(),(2121⎰>=< 则有ωωωπψτττd X t t x a WT a Ra x )()(21)(),(),(,1,11ψ=>=<⎰（2.15）ωωωπψτττd X t t x a WT a Ra x )()(21)(),(),(,2,22ψ=>=<⎰（2.16）由小波函数定义，⎪⎭⎫⎝⎛-=-at at a τψψτ21,)(，则有 ωττωωj a e a a -ψ=ψ)()(, （2.17） ωττωωj a e a a )()(,ψ=ψ （2.18）将式（2.18）代入式（2.15），（2.16），再将式（2.15），（2.16）代入式（2.14），并化简。
且 )(2)(ωωπδττωω'-=⎰'--d ej则式（2.14） 左边=ωωωωωπd a a X X a daaR )()()()(22122ψψ⎰⎰=ωωωωπd X X da a a R R )()()(21212⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ψ 因为⎰⎰⎰='''ψ=ψ=ψR R RC d da a a da a a ψωωωωωωω222)()()(又由于小波函数满足可容许性条件（即中括号内的积分值存在），其一般情况下我们取0>a ，所以可容许性条件改为⎰∞+∞<ψ=02)(da aa C ωψ 则式（2.14）左边最后成为左边=右边>=<=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰)(),()()(212121t x t x C d X X C ψψωωωπ内积定理得证。
由上述定理的证明过程得知，内积定理的成立是以⎰∞+∞<ψ=02)(da aa C ωψ为条件的。
当)()()(21t x t x t x ==时，由Moyal 公式可推出：dt t x C d a WT a da x ⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞=220)(),(ψττ （2.19） 由于小波变换幅度平方的积分同信号的能量成正比，我们又称式（2.14）为能量关系。
（5）自相关性：对应不同尺度参数a 和不同平移参数b 的连续小波变换之间是自相关的。
（6）冗余性：连续小波变换把一维信号变换到二维空间，因此在连续小波变换中存在信息表述的冗余度(redundancy)。
小波变换的逆变换公式不是唯一的。
2.3 连续小波变换的逆变换2.3.1 连续小波变换的逆变换（ICWT ）任何变换都必须存在逆变换（反变换）才有实际意义。
对小波变换而言，我们可证明，若采用的小波满足可容许性条件（公式2.1），则其逆变换存在。
即根据信号的小波变换系数可以精确的恢复原信号，并满足下述连续小波变换的逆变换公式：ττψττψτψτψd at a a WT a da C d t a WT a da C t x xa x ⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞++∞∞-+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-==212,02),(1 )(),(1)( （2.20）其中∞<ψ=⎰∞da aa C 02)(ωψ，对)(t ψ提出的容许条件。
证明 令)()(),()(21t t t x t x t x '-==δ，则根据δ函数的采样特性 )()(),(1t x t t t x '>='-<δ并由小波函数的内积定理式（2.14）：>>=<'-<=''-),(),,()(),()()(1ττδδψψa WT a WT t t t x C t x C t t x=τττδd a WT a WT a daR t t x ⎰⎰'-∞),(),()(02 =τψδττd t t t a WT a daR a x ⎰⎰>'-<∞)(),(),(,02=τδψττd t t t a WT a daR a x ⎰⎰>'-<∞)(),(),(,02=τψττd t a WT a daRa x ⎰⎰'∞)(),(,02=ττψτd a t aa WT a da Rx ⎰⎰-'∞)(1),(02 （2.21） 也即ττψτψd a t aa WT a da C t x Rx ⎰⎰-=∞)(1),(1)(02 逆变换公式得证。
2.3.2 重建核方程（再生核方程）尺度及位移均连续变化的连续小波基是一种过度完全基，再生核公式（2.11）描述了连续半平面),(τa （其中0>a ）上的两个不同点),(τa 和),(τ''a 之间的CWT 系数的相关关系。
实际上这个再生核度量了每个小波基函数τψ,a 的空间和尺度的选择性。
因此，某些情况下我们可以根据重建核的结构来选择最适合于给定问题的小波基。
由于任意信号小波变换的值在),)(,(R R a a ∈∈+ττ半平面上是相关的，因此某一点),(00τa 处的小波变换值),(00τa WT x 可以表示成半平面上其他各处小波变换系数的总贡献，即τττττψd a a K a WT ada a WT x x ⎰⎰+∞∞-+∞=),;,(),(),(000200 （2.22） 式（2.22）称为重建核方程。
证明 由小波变换的定义式及其逆变公式有dt t t x t t x a WT a a x ⎰+∞∞->==<)()()(),(),(0000,,00ττψψτ （2.23）τψττψd t a WT a daC t x Ra x ⎰⎰∞=)(),(1)(,02 （2.24） 将式（2.24）代入式（2.23）得τττττψψτψττψd a a K a WT a dad t t a WT a daC t x Rx Ra a x ⎰⎰⎰⎰⎰∞∞==),;,(),( ])()()[,(1)(0002,,0200证毕。
