向量加法、减法运算及其几何意义
- 格式:ppt
- 大小:1.86 MB
- 文档页数:28
向量的加法OB+OA=OC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=的反向量为0向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;向量的数乘当λ<0时,λa与a反方向;向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.4、向量的数量积定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律a·b=b·a(交换律);(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.5、向量的向量积定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b(这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”).若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b ∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质:∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);a×(b+c)=a×b+a×c.注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.。
空间向量的基本运算在空间解析几何中,向量是表示有大小和方向的物理量。
空间向量具有三个分量,通常表示为A = (x, y, z),其中x、y、z分别代表向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
空间向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2),它们的和向量C = A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2),它们的差向量C = A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
三、数量乘法数量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量A = (x, y, z)和实数k,它们的数量乘积为kA = (kx, ky, kz)。
四、点乘点乘又称为数量积或内积,是指将两个向量相乘再相加得到一个实数的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2),它们的点乘结果为AB = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2。
五、叉乘叉乘又称为向量积或外积,是指将两个向量相乘得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2),它们的叉乘结果为C = A × B = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)。
以上是空间向量的基本运算,它们在解决空间中的几何问题和物理问题中起着重要的作用。
通过这些基本运算,我们可以进行向量的相加减、放缩,计算向量之间的夹角,求解平面和直线的方程等。
向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。
在数学中,向量加法遵循以下规则:1.向量加法是可交换的。
即,对于任意向量a和b,a+b=b+a。
2.向量加法是可结合的。
即,对于任意向量a、b和c,(a+b)+c=a+(b+c)。
3.零向量是向量加法的单位元素。
即,对于任意向量a,a+0=0+a=a。
几何意义方面,向量加法可以用于描述物体的位移、力的合成以及速度的合成等。
下面以位移和力的合成为例进行解释:1.位移的合成:假设有一辆汽车沿东西方向行驶了100米,然后又沿南北方向行驶了50米。
我们可以将汽车的东西方向的位移表示为向量a=100i,南北方向的位移表示为向量b=50j。
那么,汽车的总位移可以表示为向量c=a+b,即c=100i+50j。
这个向量c表示汽车最终的位置相对于起始位置的位移。
2.力的合成:假设有两个力F1和F2作用在一个物体上,F1的大小为10牛顿,方向为东,F2的大小为5牛顿,方向为北。
我们可以将力F1表示为向量a=10i,力F2表示为向量b=5j。
那么,两个力的合力可以表示为向量c=a+b,即c=10i+5j。
这个向量c表示两个力的合力的大小和方向。
在几何上,向量加法的结果可以通过平行四边形法则进行图示。
以位移为例,我们可以将向量a和向量b的起点放在同一位置,然后将向量a按照其方向和大小绘制出来,再将向量b按照其方向和大小绘制出来。
通过平行四边形法则,我们可以找到一个平行四边形,其两条对角线的交点即为向量a和向量b的和向量c的终点。
总结起来,向量加法是一种将多个向量相加的运算,它遵循可交换和可结合的规则,并且零向量是其单位元素。
在几何上,向量加法可以用于描述位移和力的合成等。
通过平行四边形法则,我们可以找到向量加法的结果的几何意义。
平面向量向量加法运算及其几何意义平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的过程。
在进行向量加法运算时,可以使用坐标法或三角法。
坐标法是指将向量表示为有序数对的形式,例如vector AB可以表示为(Ax, Ay),vector CD可以表示为(Cx, Cy)。
要将两个向量相加,只需将它们对应的坐标相加即可。
例如,若vector AB + vector CD =vector EF,则有(Ax + Cx, Ay + Cy) = (Ex, Ey)。
三角法是指利用向量的方向角和长度来进行向量加法运算。
假设vector AB的长度为a,方向角为θ,vector CD的长度为b,方向角为φ。
要求它们的和,可以先将它们用三角形形式绘制出来,然后将其首尾相接,连接向量AB的尾部和向量CD的头部,得到一个新的向量EF,即vector AB + vector CD = vector EF。
无论使用何种方法进行向量加法运算,其几何意义是将两个向量进行平移后的结果。
首先,将向量AB的起点平移到坐标原点,然后将向量AB的终点与向量CD的起点连接起来,再将向量CD的终点与该连接线的终点连接起来,得到向量EF。
即vector AB + vector CD = vector EF。
在几何上,向量加法运算的结果可以表示为一个以向量AB为一条边,以向量CD为相邻边的平行四边形,其中向量EF为对角线。
向量AB称为平行四边形的第一条边,向量CD称为平行四边形的第二条边。
向量EF称为平行四边形的对角线,连接向量AB的起点和向量CD的终点。
此外,可以利用向量的加法运算推导出向量的其他运算规律。
例如,可以推导出向量加法满足交换律(vector AB + vector CD = vector CD+ vector AB)和结合律(vector AB + (vector CD + vector EF) = (vector AB + vector CD) + vector EF)。