向量的减法运算及几何表示

向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。

任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。

如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）5.向量减法与向量加法的⽐较：（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-⼆．例题讲解例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，bDB解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= ADAB- = a-b bA aB 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.三．课堂练习1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2 判断题:(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两条对⾓线的长,其⼤⼩不定.当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.四.内容⼩结本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤⼀．知识点梳理1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算记作λa. 它的长度和⽅向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =.2.运算律：设a 、b为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。

平面向量向量减法运算及其几何意义
平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量，即将一个向量
从另一个向量的起点处移至终点处的操作。

设有平面上的两个向量u和v，其起点坐标分别为A和B，终点坐标
分别为C和D。

则用向量表示的字母表示如下：
向量u：AB→= vec(AB)
向量v：CD→= vec(CD)
平面向量减法运算定义为：用终点坐标表示的第二个向量反向平移至
起点坐标表示的第一个向量上。

即向量差u-v定义为：AE→= vec(AE), 其中E为D向量反向平移到
B点得到的点。

几何意义上来说，平面向量减法运算的结果是一个新的向量，它表示
了以第一个向量作为起点、第二个向量作为终点的向量。

为了更好地理解平面向量减法运算及其几何意义，可以从以下两个方
面加以说明：
1.矢量相加示意图：
首先，在平面上绘制向量u和v的起点A和C，终点B和D，并连接
AB和CD。

然后，选择一个与向量v等长，且与向量AB平行的向量，将其
起点放在D点，连接BD。

最后，将向量BD平行平移至A点，得到向量AE，即为u-v的结果。

2.减法与加法的关系：
平面向量减法运算可以理解为向量加法的逆运算。

也就是说，若u-v=AB→，则有u=v+AB→。

换句话说，当我们需要求u-v时，可以通过已知向量v和向量AB的终点坐标C，按照向量加法的定义，将向量v平移至C点得到向量CD→，然后连接AC，即可得到u=AC→。

总结起来，平面向量减法运算的几何意义是将第二个向量反向平移至第一个向量的起点处，得到一个新的向量。

在表示和操作上，减法与加法有着密切的关系。

2．2.2 向量减法运算及其几何意义学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．知识点一 相反向量1．定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a . 2．性质(1)对于相反向量有：a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.(2)若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. (3)零向量的相反向量仍是零向量． 知识点二 向量的减法1．定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．2.几何意义：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示．3．文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．思考 若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？ 答案 如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长．1．相反向量就是方向相反的向量．( × )提示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．2．向量AB →与BA →是相反向量．( √ ) 提示 AB →与BA →大小相等、方向相反． 3．－AB →＝BA →，－(－a )＝a .( √ ) 提示 根据相反向量的定义可知其正确． 4．两个相等向量之差等于0.( × ) 提示 两个相等向量之差等于0.题型一 向量减法的几何作图例1 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .考点 向量减法的定义及其几何意义 题点 求作差向量解 方法一 如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二 如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .引申探究若本例条件不变，则a －b －c 如何作？ 解 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .再作CA →＝c ，则BC →＝a －b －c . 反思感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．跟踪训练1 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .求作：b ＋c －a .考点 向量减法的定义及其几何意义 题点 求作差向量解 方法一 以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ， AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a . 方法二 作CD →＝OB →＝b ，连接AD ，则AC →＝OC →－OA →＝c －a ， AD →＝AC →＋CD →＝c －a ＋b ＝b ＋c －a . 题型二 向量减法法则的应用 例2 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加减法化简向量解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.反思感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点． 跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 解 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →) ＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.利用已知向量表示未知向量典例 如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 a －b ＋c 解析 因为BA →＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OD →－OC →＝OA →－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →， 所以OD →＝a －b ＋c .[素养评析] (1)本题主要考查平面向量的加法、减法运算，利用已知向量表示未知向量，这正体现了数学运算的核心素养．(2)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则.1.如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示向量AC →和BD →分别是( )A ．a ＋b 和a －bB ．a ＋b 和b －aC ．a －b 和b －aD ．b －a 和b ＋a考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 B解析 由向量的加法、减法法则，得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， BD →＝AD →－AB →＝b －a . 故选B.2.OP →－QP →＋PS →＋SP →等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ →考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 B3．下列等式成立的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ；②a －b ＝b －a ；③0－a ＝－a ；④－(－a )＝a ；⑤a ＋(－a )＝0. A ．5 B ．4 C ．3 D ．2考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量答案 B解析 由向量加、减法的定义可知，①③④⑤正确．4．若向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝22，|a |＝3，则|b |＝__________. 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案5解析 如图，在平面内任取一点A ，作AD →＝a ，AB →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形，则AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b .又因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以四边形ABCD 为矩形， 即△ABD 是直角三角形，在Rt △ABD 中，|BD →|＝|a －b |＝22，|AD →|＝|a |＝3， 所以|b |＝|AB →|＝(22)2－(3)2＝ 5.5.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 ∵四边形ACDE 是平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ， BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ， CE →＝AE →－AC →＝c －b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.MP → B.NP → C ．0 D.MN → 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.2．在平行四边形ABCD 中，AB →＋CB →－DC →等于( ) A.BC → B.AC → C.DA → D.BD → 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 C解析 在平行四边形ABCD 中，AB →＝DC →，CB →＝DA →， 所以AB →＋CB →－DC →＝(AB →－DC →)＋CB →＝DA →.3．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加减法运算求向量的模 答案 D解析 如图，作菱形ABCD ，则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 3.4．下列四个式子中可以化简为AB →的是( )①AC →＋CD →－BD →；②AC →－CB →；③OA →＋OB →；④OB →－OA →. A ．①④ B ．①② C ．②③ D ．③④ 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 A解析 因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以①正确，排除C ，D ；因为OB →－OA →＝AB →，所以④正确，排除B ，故选A. 5.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 几何图形中的向量加、减法运算 答案 A解析 AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0.6.如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c考点 向量加减法的综合运算及应用题点 用已知向量表示未知向量 答案 A7．平面上有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m ，n 的长度恰好相等，则( ) A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 C解析 如图所示，作▱ABCD ，则AB →＋BC →＝AC →，AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.∵|m |＝|n |，∴|AC →|＝|DB →|. ∴▱ABCD 为矩形，∴△ABC 为直角三角形，∠ABC ＝90°. 8．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13)考点 向量减法的定义及几何意义 题点 向量减法的三角不等式 答案 C解析 ∵|BC →|＝|AC →－AB →|且||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|， ∴3≤|AC →－AB →|≤13，∴3≤|BC →|≤13. 二、填空题9．化简：(1)PB →＋OP →－OB →＝________；(2)OB →－OA →－OC →－CO →＝________. 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 (1)0 (2)AB →解析 (1)PB →＋OP →－OB →＝PB →＋BP →＝0； (2)OB →－OA →－OC →－CO →＝(OB →－OA →)－(OC →＋CO →)＝AB →－0＝AB →.10．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________. 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加减法运算求向量的模 答案 13解析 ∵|OA →|＝12，|OB →|＝5，∠AOB ＝90°， ∴|OA →|2＋|OB →|2＝|AB →|2，∴|AB →|＝13. ∵OA →＝a ，OB →＝b ， ∴a －b ＝OA →－OB →＝BA →， ∴|a －b |＝|BA →|＝13.11.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点O ，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 已知图形中向量的加、减法运算 答案 CA →12．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 2解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点，∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.三、解答题13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试求：(1)|a ＋b ＋c |；(2)|a －b ＋c |.考点 向量加减法的综合运算及应用题点 利用向量的加、减法运算求向量的模解 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，∵AC →＝c ，∴延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2.∴|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF ，则DB →＋BF →＝DF →，而DB →＝AB →－AD →＝AB →－BC →＝a －b ，∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2.∴|a －b ＋c |＝2.14.如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c .证明：b ＋c －a ＝OA →.考点 向量加减法的综合运算及应用题点 用已知向量表示未知向量证明 b ＋c －a ＝DA →＋OC →－AB →＝CB →＋OC →－AB →＝OB →－AB →＝OB →＋BA →＝OA →.15．已知|a |＝8，|b |＝6，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解 设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，如图所示．则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，所以|AC →|＝|DB →|.又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB .在Rt △DAB 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，由勾股定理得|DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝82＋62＝10. 所以|a －b |＝10.。

向量减法运算及其几何意义汇总向量减法是数学中一种常见的运算方式，用于计算两个向量之间的差值。

它在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。

下面将详细介绍向量减法的定义、计算方法以及其几何意义。

1.向量减法的定义向量减法是指通过对两个向量进行相应元素之间的减法运算，得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的减法记作A-A，等于将向量A取反后与向量A进行加法运算。

即：A-A=A+(-A)2.向量减法的计算方法向量的减法通过对应分量的相减来完成。

设有两个向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，则向量减法的计算公式为：A-A=(A1-A1,A2-A2,A3-A3)例如，对于向量A=(3,4,5)和A=(1,2,3)，它们的减法运算结果为：A-A=(3-1,4-2,5-3)=(2,2,2)3.向量减法的几何意义向量减法在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。

下面分别介绍它们的几何意义：3.1位移位移可以用向量来表示，通过一个点从起始位置到达终点位置的位移向量。

向量减法可以用来计算两个位置之间的位移向量。

设有两个位置A 和A，它们的坐标表示分别为A(A1,A1,A1)和A(A2,A2,A2)，则A-A即为A到A的位移向量。

例如，若A(1,2,3)为起始位置，A(4,6,8)为终点位置，则位移向量A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

3.2速度速度是定义为单位时间内位移的向量，可以用向量来表示。

当物体从位置A移动到位置A时，所产生的平均速度向量为A-A，即终点位置向量减去起始位置向量。

通过向量减法可以计算得到物体在单位时间内的平均速度向量。

例如，若物体从A(1,2,3)移动到A(4,6,8)，所产生的平均速度向量为A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

3.3加速度加速度是定义为单位时间内速度的改变率，也可以用向量来表示。

当物体从位置A移动到位置A时，速度变化的向量为终点速度向量减去起始速度向量。

向量的减法运算及其几何意义设有两个向量A和B，分别表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。

则A减去B的结果为一个新的向量C，表示为C=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。

例如，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。

要计算A减去B，我们将A的分量减去B的分量，得到C=(3-4,2-1)=(-1,1)。

几何上，向量的减法运算可以通过向量的几何表示进行解释。

向量可以用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度则表示向量的大小。

要进行向量的减法，在数学坐标系上，我们先将第一个向量A的起点放置在坐标原点，然后将A的尖端移动到相应的位置。

然后，我们将第二个向量B的起点放置在A的尖端，将B的尖端移动到相应的位置。

最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果。

例如，在数学坐标系中，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。

首先，将A 的起点放在原点，将A的尖端移动到坐标(3,2)的位置。

然后，将B的起点放在A的尖端，将B的尖端移动到坐标(4,1)的位置。

最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果，即向量C=(-1,1)。

1.平移：向量的减法就好比是将一个向量平移一段距离再固定终点。

例如，在上述示例中，向量A减去向量B后得到向量C，可以看作是将向量A从原来的位置平移了一段距离再固定终点。

2.相反方向：向量的减法还可以理解为两个向量的相反方向的叠加。

当一个向量与另一个向量做减法时，可以将其中一个向量旋转180度，然后将它与另一个向量相加。

这个运算结果的向量方向与两个向量相反，且长度等于两个向量的差的长度。

3.差向量：向量的减法得到的结果称为差向量，它表示由一个向量指向另一个向量的方向和大小。

差向量的起点与被减去的向量的起点一致，终点与减去的向量的终点一致。

向量的减法在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

在几何学中，向量的减法常用于表示点的位移、距离、速度和加速度等概念。