一次函数的数形结合问题1

一次函数求k取值范围数形结合1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行描述：1.引入一次函数的概念：一次函数是数学中常见的基本函数之一，也被称为线性函数。

它的表达式通常形式为y = kx + b，其中k和b为常数。

2.介绍一次函数的性质：一次函数具有直线的特点，斜率k决定了其斜度和方向，而常数b则决定了直线与y轴的截距。

一次函数的图像呈现出直线的形态，具有平移、伸缩和翻转等特性。

3.说明数形结合的意义：数形结合是将数学与几何图形相结合的一种学习方法。

通过观察直线的图像与函数表达式之间的关系，我们可以更直观地理解和掌握一次函数的性质和规律。

4.阐述文章目的：本文旨在探讨一次函数的k取值范围，并结合数形结合的方法，通过观察图像来解决相关问题。

同时，我们将进一步探讨一次函数在实际生活中的应用，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。

通过以上内容的介绍，读者可以对本文的主题和目的有一个初步的了解。

接下来的文章将围绕一次函数的定义和性质以及数形结合的意义和应用展开，引领读者深入探究一次函数的k取值范围与数形结合之间的关系。

1.2文章结构文章结构部分主要介绍了本篇长文的整体架构和内容安排。

首先，我们将在引言部分概述本篇文章的主题和目的，然后详细介绍正文部分和结论部分的内容。

在正文部分，我们将首先定义和探讨一次函数的概念和性质，包括一次函数的定义、特点以及常见形式等。

通过对一次函数的基本性质和图像的分析，我们将深入理解一次函数的数学意义。

接下来，我们将探讨数形结合在数学中的意义和应用。

数形结合是一种综合运用数学和几何形象的方法，通过图形和图像的分析，我们可以更加直观地理解数学概念。

我们将通过实例介绍数形结合在解决数学问题中的重要性和实际应用，以便读者更好地理解该方法的优势和应用场景。

在结论部分，我们将介绍一次函数求解k取值范围的方法。

通过对一次函数图像的分析和对函数性质的研究，我们可以确定k的取值范围，使得函数满足特定条件。

一次函数中的数形结合思想在众多的函数中，一次函数最为简单.它的性质和应用是初中数学的重要内容，也是中考的重点考查内容.形少数，难入微；数缺形，少直观.在一次函数中数形结合思想的应用广泛且灵活，下面试举几例希望能对同学们的学习有所帮助.一、面积型根据已知条件的特点，画出图形，利用图形的直观性求解问题.例1.求直线y=3x-2和直线y=2x+3与y轴所围成的图形的面积.【思路分析】画出两直线的图像，如图1，得到满足条件的△ABC，再根据图形的特点求其面积.所以交点C的坐标为（5，13）因为直线y=3x-2和直线y=2x+3分别与y轴交于点A（0，-2）和B（0，3），所以AB=︱3-（-2）︱=5.又CD=5,所以 .【评注】解题时，若借助数形结合思想，把问题直观化、形象化，则有利于问题的解决.例2.一条直线与y轴交点到原点的距离为4，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线的解析式.【思路分析】欲求直线的解析式，只需两组对应值，由已知直线与y轴交点到原点的距离为4，可以确定一组对应值，另一组对应值则需利用三角形面积的计算方法求出直线与x轴交点的坐标而求得.【解】设解析式为y=kx+b（k≠0），直线交y轴于点A，交x轴于点B.因为直线与y轴交点到原点的距离为4，所以A（0，4）或(0,-4).由，可得OB=2.所以B(-2,0)或(2,0).由于未指定直线的位置，所以应考虑所有的情况，如图所示：当直线过A(0,4),B(-2,0)时，解析式为y=2x+4；当直线过A（0，4），B（2，0）时，解析式为y=-2x+4；当直线过A(0,-4),B(2,0)时，解析式为y=2x-4；当直线过A（0，-4），B（-2，0）时，解析式为y=-2x-4；综上所述，所求解析式为：y=2x+4或y=-2x+4或y=2x-4或y=-2x-4【评注】对距离有要求时，需画草图分析，可能出现的各种情况，考虑周全，防止漏解.二、不等式型例3.作函数y=x+3的图象，如图所示，回答下列问题：（1）x取何值时，x+3＞0；（2）x取何值时，x+3＜0；（3）x取何值时，x+3＞1；【思路分析】要回答上面的三个问题，我们可以从函数图象的定义上去理性的思考：x+3＞0，可以看作是一次函数y=x+3中y＞0，从图象上看，可以看作是纵坐标大于0的所有点的集合，即y=x+3的图象在x轴上方的部分.此时，要满足x+3＞0，必须满足x＞3.其他两个问题的研究方法相同.【解】观察图象知：直线y=x+3与x轴的交点坐标为（-3，0），可知x=-3时，y=0.（1）当x＞-3时，x+3＞0；（2）当x＜-3时，x+3＜0；（3）当x＞-2时，x+3＞1.【评注】利用函数图象解一元一次不等式的方法是：作出函数图象，寻求图象与x轴的交点，求得一元一次不等式的解集.这是利用函数图象解一元一次不等式的“三部曲”.例4.一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-4≤x≤-2相应函数值的范围是4≤y≤6求此函数的解析式.【思路分析】一次函数y=kx+b（k≠0，b为常数）的性质理解是一个难点，我们应该把图象和k值正负结合起来理解.由于一次函数的图象是直线，故当-4≤x≤-2时，图象是线段，由一次函数的增减性，函数的最值一定对应x的最值，即y的最大值6，一定对应x的最大值-2或最小值-4，这要视k的符号而定.【解】对k的值分两种情况进行讨论；（1）当k＞0时，则y的值随x的值的增大而增大.因此，一定是当x=﹣4时，y=4；当x=﹣2时，y=6故得：y=x+8（2）当k＜0时，y随x的增大而减少，一定是当x=﹣4时，y=6；x=﹣2时，y=4，于是得y=﹣x+2.综合上述两种情况，符合条件的解析式为：y=x+8或y﹣x+2【评注】这是一道分类讨论题，由k的符号充分利用了一次函数的性质，构题较妙.三．实际应用型我们在分析和解决实际问题时首先应根据题目给出的条件写出函数关系式，然后再根据题意解决具体问题.在一些实际问题中经常是已知自变量的值，求相应的函数值；或根据函数值，求出与之对应的自变量的值.例5 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元.若一个月总通话时间为x分钟，甲、乙两种业务的费用分别为y1元和y2元.（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中画出y1、y2的图像；（3）根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？【思路点拨】“选择”是现实生活中经常遇到的问题，选择经常与经济效益相联系，.借助一次函数的图像，运用图像使问题得以解决.（1）由题意很容易得出y1=0.3x+15（x≥0）；y2=0.6x（x≥0）；（2）y1、y2在同一坐标系中的图像如下图所示；（3）由图像可知：当一个月通话时间为50分钟时，两种业务的费用相同；当一个月通话时间少于50分钟时，乙种业务更优惠；当一个月通话时间多于50分钟时，甲种业务更优惠，【评注】：求实际应用型问题的函数关系式，一般要写出自变量的取值范围，这个范围要根据实际情况来考虑.。

一次函数几何综合题解题技巧一次函数是初中数学的重点知识之一，同时也是中考的热点。

它与几何知识的综合应用在中考中主要体现在：利用一次函数求待定系数、一次函数图象与几何图形相结合、一次函数图象的应用等几个方面。

本文将结合实例谈谈一次函数与几何图形综合题的解题技巧。

一、利用一次函数求待定系数解决这类问题的关键是利用已知条件建立方程组，求出待定系数。

具体来说，一般先设出一次函数解析式，利用已知条件得到解析式中的系数，再得到一次函数解析式。

【例1】已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C。

（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）根据图像，当C的横坐标在哪个取值范围内时，线段AB不经过第四象限？分析：（1）由点C在反比例函数图象上，可直接求得解析式；（2）由于点C在直线AB上，可设直线AB的解析式为，将点C 的坐标分别代入解析式，可求得A、B两点的坐标，进而可求得直线AB 的解析式；（3）由图象可知，当C点的横坐标小于时，线段AB不经过第四象限。

解：（1）设反比例函数的解析式为，将点C（3，4）代入得，所以该反比例函数的解析式为；（2）设直线AB的解析式为，因为点C（3，4）在直线AB上，所以，解得，所以直线AB与轴交于点D（6，0），又因为点A（－3，－4），所以直线AB的解析式为；（3）由图象可知，当C点的横坐标小于时，线段AB不经过第四象限。

二、一次函数图象与几何图形相结合此类问题主要利用了待定系数法、数形结合的思想以及分类讨论的思想。

解题时要注意数形结合，根据已知条件建立方程或不等式，结合图形加以分析。

【例2】如图2，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，2），点D是边BC上的一个动点（点D与B、C不重合），过点D的抛物线经过点A、C、E。

（1）求该抛物线的解析式；（2）当AC为何值时，四边形DEOB为平行四边形？请说明理由；（3）设点D的坐标为（x，y），①试求该抛物线的对称轴及点D 到直线AC的距离；②试探究在抛物线上是否存在点M，使四边形AMDE 的面积最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

浅析一次函数中的数形结合发布时间：2022-02-20T09:36:29.173Z 来源：《基础教育参考》2022年2月作者：贾志忠[导读]贾志忠四川天府新区第三中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2022）02-224-01 “数”与“形”是数学中两个最古老、最基本的研究对象，它们反映了事物的两个基本属性。

数从起源开始，就与形紧密地联系在了一起。

如结绳计数、符号计数等。

因此，数与形相伴而生，如影随形。

所谓的数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转换，来解决数学问题的一种思维方式，是一种重要的数学思想。

其本质是数与形的双向结合，既展现形的直观，又体现数的精准。

数形结合的应用分为两种基本类型：（1）借助于数的精确性来阐明形的某些属性（2）借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。

一次函数的一般式是： ( 为常数， )有数的属性：其图象为直线，又有形的特征。

所以说，一次函数是数形结合的典型模型。

一次函数的图象就是由满足方程的数对确定的点组成的一条直线；直线上的每个点的坐标都满足解析式。

这就是一次函数中数与形的对应关系：坐标即点，点即坐标。

利用这种对应关系，我们来分析其中的数形如何结合。

（一）以数定形确定图象的增减性；，随的增大而增大；，随的增大而减小。

反之亦然。

（2）、确定图象的位置。

具体情况见下表：（二）以形化数（1）两直线位置关系与斜率的对应关系：①；②（2）两直线的交点由两函数解析式组成的方程组确定：以上一次函数的性质，是基本的数形对应关系，可以直接实现数形之间的直接转化。

我们称之为“源于教材”！是数形结合的第一层次。

但是，在一次函数综合题中，单纯的“以数定形”和“以形化数”，往往显得无能为力。

下面以天府新区2018期末考题（改编）为例来说明：如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点A顺时针旋转45°得到。

一次函数与几何图形综合题(含答案)近日，举行了一次关于一次函数与几何图形综合的专题讲座。

在思想方法方面，介绍了函数方法和数形结合法。

函数方法是通过观察运动和变化来分析数量关系，并将其抽象升华为函数模型，从而解决问题的方法。

数形结合法则是将数与形结合起来，分析研究并解决问题的一种思想方法，对于与函数有关的问题，使用数形结合法能够事半功倍。

在知识规律方面，讲座介绍了常数k和b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响。

当b大于0时，直线与y轴的正半轴相交；当b等于0时，直线经过原点；当b小于0时，直线与y轴的负半轴相交。

当k和b异号时，即b大于0时，直线与x轴正半轴相交；当k和b同号时，即k和b的乘积小于0时，直线与x轴负半轴相交。

当k大于0且b大于0时，图象经过第一、二、三象限；当k大于0且b等于0时，图象经过第一、三象限；当b大于0且b小于0时，图象经过第一、三、四象限；当k小于0且b大于0时，图象经过第一、二、四象限；当k小于0且b等于0时，图象经过第二、四象限；当b小于0且b小于0时，图象经过第二、三、四象限。

讲座还介绍了直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系。

当b大于0时，将直线y=kx向上平移b个单位，即可得到直线y=kx+b；当b小于0时，将直线y=kx向下平移|b|个单位，即可得到直线y=kx+b。

另外，当k1不等于k2时，y1与y2相交；当k1等于k2且b1不等于b2时，y1与y2平行但不重合；当k1等于k2且b1等于b2时，y1与y2重合。

最后，讲座还通过一个例题对知识规律进行了精讲。

题目是直线y=－2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB。

要求求出AC的解析式。

的性质，需要灵活运用几何知识和代数知识。

在解答过程中，要注意清晰的逻辑思路和准确的计算，避免出现错误。

2) 在OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q。

我们来探究一下BP与PQ的数量关系，并证明结论。

一次函数数形结合（人教版）一、单选题(共9道，每道11分)1.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为( )A.y=2B.y=3C.x=2D.x=3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围2.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x<1时，y的取值范围是( )A.-2<y<0B.-4<y<0C.y<-2D.y<-4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围3.已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A.当x＞0时，y＞-2B.当x<1时，y＞0C.当x<0时，-2<y<0D.当x≥1时，y≤0答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围4.如图，若直线与直线的交点坐标是（2，-1），则当时，x的取值范围是( )A.x≤-1B.x≤2C.x≥-1D.x≥2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围5.如图，一次函数y=ax+b的图象经过A，B两点，当直线y=ax+b在第四象限时，自变量x 的取值范围是( )A.0≤x≤2B.x＞2C.0<x<2D.-1<x<2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围6.如图，函数y=2x和y=ax+8的图象相交于点A（m，6），则不等式ax＞2x-8的解集为( )A.x<3B.x＞3C.x<6D.x＞6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围7.如图，直线y=kx+b经过A（3，1），B（-1，-3）两点，则不等式组的解集为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围8.已知，，若对任意一个x，n都取中的较小值，则n的最大值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围9.已知直线，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取，，中的最小值，则y的最大值为( )A.2B.C. D.3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围。

浅谈数形结合思想在一次函数教学中的应用恒丰学校陈小玲从小学到初中的数学学习过程中，我们老师在教学时就对我们学生灌输了形在数学学习方面的知识，只不过没有进行系统，综合的整理，所以也就没有引起同学们的重视，认为能用代数的知识进行求解，没必要另辟蹊径。

在这里，我根据自己的实际教学所接触的问题，浅谈一下数形结合思想在一次函数中的优势。

大家知道，数，指的是运用代数的知识解决问题，形，指的是利用图形来研究性质。

那么它们之间究竟具有怎样的联系呢？我们先来了解一下一次函数这方面的知识。

在学习一次函数的性质时，我们知道根据图像观察可得到，当一次函数y=kx+b(k,b为常数，k 0）的k>0时，函数y的值随着自变量x的值增大而增大，当k<0时，函数y的值随着自变量x的值增大而减少，可见，这比我们利用代数的知识来比较两个数的大小就更容易理解，更形象化。

并且，当k>0,b>0时，函数的图像经过一，二，三象限；k>0,b<0时，函数的图像经过一，三，四象限；k<0,b>0时，函数的图像经过一，二，四象限；k<0,b<0时，函数的图像经过二，三，四象限。

上述这些结论我们从代数的角度来理解的话就会感到很费劲，而从形的方面来看的话，通俗易懂，形象具体，可见，形在有些方面比数就有恨大的优越性。

另外，在学习一次函数与一元一次方程时，大家对于系数是已知的常数时，用代数的方法求解起来感到非常的容易，但是对于系数如果是用未知的字母来代替时，就会觉得很麻烦，这时，我们回忆一元一次方程与一次函数之间的联系，想到方程的解就是它所对应的一次函数的值为零时所对应的自变量的值（或者是函数的图像与x轴的交点的横坐标的值），这样理解起来就很容易了。

如：一次函数y=kx+b与x轴的交点为（2,0），求方程kx+b=0的解。

如果用代数的方法，一个方程，两个未知数，我们很难求出系数k,b的。

但联系一次函数与一元一次方程之间的关系就很快得出方程的解了，x=2.还有，在学习一次函数与不等式的知识时，我们知道一次不等式大于零或小于零）的解集就是它所对应的一次函数的值大于零（或小于零）时所对应的自变量的取值范围（或者是函数的图像在x轴上方（下方）说对应的自变量的取值范围），这样，不管系数是已知的常数还是未知的字母，我们采用他们之间的内在联系性就会很容易求解了。

《19.2一次函数图像性质》【数形结合】1．在一次函数y=ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（）A．B．C．D．2．一次函数y=ax+b和一次函数y=bx+a图象正确的是（）A．B．C．D．3．一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．4．若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．5．若k≠0，b＜0，则y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．6．一次函数y=mx+n与y=mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．C．D．7．下列图象中，不可能是关于x的一次函数y=mx﹣（m﹣3）的图象的是（）A．B．C．D．8．点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（）A．B．C．D．9．函数y=x﹣1的图象是（）A．B． C．D．10．在下列图象中，能作为一次函数y=﹣x+1的图象的是（）A．B．C． D．11．直线y=kx+b经过一、三、四象限，则直线y=bx﹣k的图象只能是图中的（）A．B．C．D．12．已知在函数y=kx+b，其中常数k＞0、b＜0，那么这个函数的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．直线l1：y=kx+b与直线l2：y=bx+k在同一坐标系中的大致位置是（）A．B．C．D．14．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C． D．15．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（）A．y＞0 B．y＜0 C．y＞﹣2 D．﹣2＜y＜016．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值范围是．17．如图，已知函数y=﹣2x+4，观察图象回答下列问题（1）x时，y＞0；（2）x时，y＜0；（3）x时，y=0；（4）x时，y＞4．18．一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是．【15】【16】【17】【18】19．如图是y=kx+b的图象，则b=，与x轴的交点坐标为，y的值随x的增大而．20．如图是一次函数y1=ax+b，y2=kx+c的图象，观察图象，写出同时满足y1≥0，y2≥0时x的取值范围．21．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是时，能使kx+b＞0．22．已知一次函数y=kx+b的图象如图，当x＜0时，y的取值范围是．【19】【20】【21】【22】23．一次函数y=mx+n的图象如图所示，则代数式|m+n|﹣|m﹣n|化简后的结果为．24．一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＜5时，x的取值范围是．25．直线y=mx+n，如图所示，化简：|m﹣n|﹣=．26．一次函数的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是．【23】【24】【25】【26】27．一次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是．28．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（2，1）（如图），当x时，y≥1．【27】【28】29．函数y=﹣3x+6的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．与坐标轴围成的三角形为．30．作出直线y=﹣2x+3的图象，根据图象回答下列问题：（1）y的值随x的值增大而．（2）图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是．（3）当x时，y＞0．一次函数基础达标1啊速度发送参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2016•陕西校级模拟）在一次函数y=ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=ax﹣a中，y随x的增大而减小，得a＜0，﹣a＞0，故B正确．故选：B．2．（2015•屏山县校级模拟）一次函数y=ax+b和一次函数y=bx+a图象正确的是（）A．B．C．D．【解答】解；设a＞0，b＜0，则函数y=ax+b的图象是上升的，交y轴的负半轴，函数y=bx+a图象是下降的，与y轴交于正半轴，设a＜0，b＞0，则函数y=ax+b的图象是下降的，交y轴的正半轴，函数y=bx+a图象是上升的，与y轴交于负半轴，设a＞0，b＞0，则函数y=ax+b的图象是上升的，交y轴的正半轴，函数y=bx+a图象是上升的，与y轴交于正半轴，设a＜0，b＜0，则函数y=ax+b的图象是下降的，交y轴的负半轴，函数y=bx+a图象是下降的，与y轴交于负半轴，故选B．3．（2014•娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，故选：A．4．（2016•雅安）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵式子+（k﹣1）0有意义，∴，解得k＞1，∴1﹣k＜0，k﹣1＞0，∴一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象过一、二、四象限．故选C．5．（2016•河北）若k≠0，b＜0，则y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为b＜0时，直线与y轴交于负半轴，故选B6．（2016春•昌江县校级期末）一次函数y=mx+n与y=mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，一次函数y=mx+n的图象一、二、三象限，正比例函数y=mnx的图象过一、三象限，无符合项；（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，一次函数y=mx+n的图象一、三、四象限，正比例函数y=mnx的图象过二、四象限，C选项符合；（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，一次函数y=mx+n的图象二、三、四象限，正比例函数y=mnx的图象过一、三象限，无符合项；（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0，一次函数y=mx+n的图象一、二、四象限，正比例函数y=mnx的图象过二、四象限，无符合项．故选C．7．（2000•辽宁）下列图象中，不可能是关于x的一次函数y=mx﹣（m﹣3）的图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由函数图象可知，，解得，0＜m＜3；B、由函数图象可知，，解得，m=3；C、由函数图象可知，，解得，m＜0，m＞3，无解；D、由函数图象可知，解得，m＜0．故选C．8．（2016•齐齐哈尔）点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，∴y=6﹣x（0＜x＜6，0＜y＜6）．∵点A的坐标为（4，0），∴S=×4×（6﹣x）=12﹣2x（0＜x＜6），∴C符合．故选C．9．（2014•抚顺）函数y=x﹣1的图象是（）A．B． C．D．【解答】解：∵一次函数解析式为y=x﹣1，∴令x=0，y=﹣1．令y=0，x=1，即该直线经过点（0，﹣1）和（1，0）．故选：D．10．（2016•大邑县模拟）在下列图象中，能作为一次函数y=﹣x+1的图象的是（）A．B．C． D．【解答】解：∵一次函数y=﹣x+1中k=﹣1＜0，b=1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，故选A．11．（2015秋•西安校级期末）直线y=kx+b经过一、三、四象限，则直线y=bx﹣k的图象只能是图中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线y=kx+b经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴﹣k＜0，∴直线y=bx﹣k经过第二、三、四象限．故选C．12．（2016•静安区二模）已知在函数y=kx+b，其中常数k＞0、b＜0，那么这个函数的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵函数y=kx+b中k＞0、b＜0，∴函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选B．13．（2014秋•李沧区期末）直线l1：y=kx+b与直线l2：y=bx+k在同一坐标系中的大致位置是（）A．B．C．D．【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：A、由图可得，y1=kx+b中，k＜0，b＜0，y2=bx+k中，b＞0，k＜0，b、k的取值矛盾，故本选项错误；B、由图可得，y1=kx+b中，k＞0，b＜0，y2=bx+k中，b＞0，k＞0，b的取值相矛盾，故本选项错误；C、由图可得，y1=kx+b中，k＞0，b＜0，y2=bx+k中，b＜0，k＞0，k的取值相一致，故本选项正确；D、由图可得，y1=kx+b中，k＞0，b＜0，y2=bx+k中，b＜0，k＜0，k的取值相矛盾，故本选项错误；故选：C．14．（2011•张家界）关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C． D．【解答】解：令x=0，则函数y=kx+k2+1的图象与y轴交于点（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴图象与y轴的交点在y 轴的正半轴上．故选C．15．（2014•镇海区模拟）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（）A．y＞0 B．y＜0 C．y＞﹣2 D．﹣2＜y＜0【解答】解：当x＜0时，图象在y轴的左边，所以对应的y的取值范围为：y＞﹣2．故选C．二．填空题（共15小题）16．（2011•长春）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值范围是x＞2．【解答】解：由函数图象可知，此函数是减函数，当y=3时x=2，故当y＜3时，x＞2．故答案为：x＞2．17．（2015春•会宁县校级月考）如图，已知函数y=﹣2x+4，观察图象回答下列问题（1）x＜2时，y＞0；（2）x＞2时，y＜0；（3）x=2时，y=0；（4）x＜0时，y＞4．【解答】解：（1）当x＜2时，y＞0；（2）当x＞2时，y＜0；（3）当x=2时，y=0；（4）当x＜0时，y＞4．故答案为＜2，＞2，=2，＜0．18．（2016•德惠市一模）一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是x＜2．【解答】解：由图象可知一次函数y=kx+b的图象经过点（2，0）、（0，3）．∴可列出方程组，解得，∴该一次函数的解析式为y=，∵＜0，∴当y＞0时，x的取值范围是：x＜2．故答案为：x＜2．19．（2016秋•西安期末）如图是y=kx+b的图象，则b=﹣2，与x轴的交点坐标为，y的值随x的增大而增大．【解答】解：把（1，2），（0，﹣2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数的表达式为y=4x﹣2，令y=0，得4x﹣2=0，解得x=，所以x轴的交点坐标为（，0）y的值随x的增大而增大．故答案为：﹣2，，增大．20．（2006•西岗区）如图是一次函数y1=ax+b，y2=kx+c的图象，观察图象，写出同时满足y1≥0，y2≥0时x的取值范围﹣2≤x≤1．【解答】解：根据图象和图中数据可知，同时满足y1≥0，y2≥0时，x的取值范围﹣2≤x≤1．21．（2016•杨浦区三模）一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是x＜2时，能使kx+b＞0．【解答】解：因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），由函数的图象可知x＜2时，y＞0，即kx+b＞0．22．（2010•龙岩）已知一次函数y=kx+b的图象如图，当x＜0时，y的取值范围是y＜﹣2．【解答】解：根据图象和数据可知，当x＜0即图象在y轴左侧时，y的取值范围是y＜﹣2．23．（2011•河东区一模）一次函数y=mx+n的图象如图所示，则代数式|m+n|﹣|m﹣n|化简后的结果为2n．【解答】解：由一次函数的性质可知，m＞0，n＞0，即m+n＞0；且当x=﹣1时，y＜0，即﹣m+n＜0，∴m﹣n＞0．所以|m+n|﹣|m﹣n|=m+n﹣（m﹣n）=2n．24．（2013秋•长丰县校级期末）一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＜5时，x的取值范围是x＞0．【解答】解：由函数图象可知，当y＜5时，x＞0．故答案为：x＞0．25．（2005•山西）直线y=mx+n，如图所示，化简：|m﹣n|﹣=n．【解答】解：根据一次函数的图象，可知m＜0，n＞0所以m﹣n＜0则|m﹣n|﹣=﹣（m﹣n）+m=n．26．（2009春•市南区期中）一次函数的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是0＜x＜4．【解答】解：根据图象知，当y=3时，x=0；当y=﹣3时，x=4；∴当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是0＜x＜4．故答案是：0＜x＜4．27．（2007春•贵阳期末）一次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是x＜2．【解答】解：根据图示及数据可知，当y＜0即直线在x轴下方时，x的取值范围是x＜2．28．（2011•梅列区质检）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（2，1）（如图），当x≤2时，y≥1．【解答】解：根据题意和图示可知，当y≥1即直线在点A的上方时，x≤2．29．函数y=﹣3x+6的图象与x轴的交点坐标为（2，0），与y轴的交点坐标为（0，6）．与坐标轴围成的三角形为直角三角形．【解答】解：令y=0，则﹣3x+6=0，解得x=2，即函数y=﹣3x+6的图象与x轴的交点坐标为（2，0），令x=0，则y=6，即函数y=﹣3x+6的图象与y轴的交点坐标为（0，6）．∵x轴⊥y轴，∴函数y=﹣3x+6的图象与坐标轴围成的三角形为直角三角形．故答案是：（2，0）；（0，6）；直角三角形．30．作出直线y=﹣2x+3的图象，根据图象回答下列问题：（1）y的值随x的值增大而减小．（2）图象与x轴的交点坐标是（1.5，0），与y轴的交点坐标是（0，3）．（3）当x＜1.5时，y＞0．【解答】解：（1）y的值随x的值增大而减小；（2）图象与x轴的交点坐标是（1.5，0），与y轴的交点坐标是（0，3）；（3）当x＜1.5时，y＞0．故答案为：（1）减小；（2）（1.5，0），（0，3）；（3）＜1.5．。

编者小k 君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。

思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。

专题01 数形结合之一次函数图像与性质（学生版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．若关于x 的不等式组20210x x a ->⎧⎨-+<⎩有解，则一次函数()32y a x =-+的图象一定不经过的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．在平面直角坐标系中，将直线1:32=--l y x 沿坐标轴方向平移后，得到直线2l 与1l 关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ）A ．将1l 向右平移4个单位长度B ．将1l 向左平移6个单位长度C ．将1l 向上平移6个单位长度D ．将1l 向上平移4个单位长度3．已知点()12,y -，()20,y ，()34,y 是直线5y x b =-+上的三个点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）． A ．123y y y >> B ．123y y y << C ．132y y y >> D ．132y y y <<4．已知一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）若||||k b <，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线y=2x+2和直线y=-2x+4分别交x 轴于点A 和点B ，则下列直线中，与x 轴的交点在线段AB 上的是（ ）A ．y=x+2B ．2y =+C ．y=4x -12D ．3y =-6．（2021·上海普陀·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 均在y 轴上，点C 在x 轴上，将△ABC 绕着顶点B 旋转后，点C 的对应点C ′落在y 轴上，点A 的对应点A ′落在反比例函数y ＝6x在第一象限的图象上．如果点B 、C 的坐标分别是（0，﹣4）、（﹣2，0），那么点A ′的坐标是（ ）A ．（3，2）B ．（32，4）C ．（2，3）D ．（4，32） 7．（2021·上海青浦·八年级期末）如果一次函数y kx b =+的图像经过第一、三、四象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ）A ．0k >，且0b >；B ．0k >，且0b <；C ．0k <，且0b >；D ．0k <，且0b <．8．（2021·上海普陀·八年级期中）一次函数y ＝（k +3）x +1中，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞0 B ．k ＜0 C ．k ＜﹣3 D ．k ＞﹣39．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）已知反比例函数y ＝3x，下列结论正确的是（ ） A ．y 随x 的增大而减小B ．图像的两支分别在第二、四象限C ．图像与y ＝3x 的图像有两个交点D ．A （﹣1，3）在函数的图像上10．如图，点A 的坐标为（0，1），点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰Rt△ABC ，使△BAC=90°，设点B 的横坐标为x ，设点C 的纵坐标为y ，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．（2021·上海·八年级期中）如图，直角三角形的斜边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与原点重合，点B 的坐标是()0,4，且30BAC ∠=︒，若将ABC 绕着点O 旋转后30°，点B 和C 点分别落在点E 和点F 处，那么直线EF 的解析式是__________．12．一次函数y kx b =+的图像与y 轴交点的纵坐标为－3，且当1x =时，y =－1，则该一次函数的解析式是__________．13．如果一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，那么常数m 的取值范围为____． 14．（2021·上海浦东新·七年级期末）正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于A ，B 两点，点A 在第二象限，点A 的横坐标为﹣1，作AD△x 轴，垂足为D ，O 为坐标原点，S △AOD =1．若x 轴上有点C ，且S △ABC =4，则C 点坐标为_____．15．（2021·上海闵行·八年级期末）如图，点M 的坐标为(3,2)，点P 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上移动，同时过点P 的直线关于直线l 也随之上下平移，且直线l 与直线y x =-平行，如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P 的移动时间为t 秒，那么t 的值为_____．16．（2021·上海市民办华育中学八年级期中）一次函数334y x =-+的图像分别于x 轴，y 轴交于A 、B ，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90度得到线段AC ，则B 、C 两点的直线解析式为__________17．（2021·上海闵行·八年级期中）一次函数()0y kx b b =+≠图象与坐标轴围成的三角形称为该一次函数的坐标三角形．已知一次函数y x m =+的坐标三角形的面积为3，则该一次函数的解析式为___________． 18．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）如图，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝m x的图象交于A 、C 两点，AB △x 轴于点B ，CD △x 轴于点D ，若S 四边形ABCD ＝6，则m 的值是 ___．19．（2021·上海杨浦·八年级期中）在平面直角坐标系中，点A （﹣4，1）为直线y ＝kx （k ≠0）和双曲线y ＝m x（m ≠0）的一个交点，点B （﹣5，0），如果在直线y ＝kx 上有一点P ，使得S △ABP ＝2S △ABO ，那么点P 的坐标是 ___．20．将正比例函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图象，沿着y 轴的一个方向平移|k |个单位后与x 轴、y 轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y ＝kx 的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是__．三、解答题21．（2021·上海长宁·二模）某商店销售一种商品．经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110元之间较为合理，每月销售量y （万件）与销售单价x （元/件）存在如图所示的一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求这种商品的每月销售量y （万件）关于销售单价x （元/件）（50≤x ≤110）的函数解析式；（2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的增长率是相同的，求这个增长率．22．（2021·上海静安·八年级期末）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图像上．（1）求直线AB的表达式；（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．23．（2021·上海黄浦·八年级期末）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD，且//,AD BC AB CD=，点A在y轴正半轴上，点B C、在x轴上（点B在点C的左侧)，点D在第一象限，3,11AD BC==，梯形的高为2．双曲线myx=经过点D，直线y kx b=+经过A B、两点．（1）求双曲线myx=和直线y kx b=+的解析式；（2）点M在双曲线上，点N在y轴上，如果四边形A B M N、、、是平行四边形，请直接写出点N的坐标．24．（2021·上海市第四中学八年级月考）如图，已知一次函数=y x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C、D分别在线段OA、AB上，CD CA=．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）如果CDO 面积是ABO 面积的14，求点C 的坐标． 25．（2021·上海松江·八年级期中）已知正比例函数2y x =的图像上有一点()22,4B m m +-，且点B 在第一象限．（1）求点B 的坐标；（2）过点B 作BC x ⊥轴，点P 为此函数图像上异于点B 的点，若12BPC OBC S S =，求此时点P 的坐标． 26．（2021·上海市金山初级中学八年级期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A （3，7）在正比例函数图像上．（1）求正比例函数的解析式．（2）点B （1，0）和点C 都在x 轴上，当△ABC 的面积是17.5时，求点C 的坐标．（3）在（2）的条件下，将点A 左右平移m 个单位，得到点D ，使得△AOC 的面积是△ACD 的面积的两倍，写出点D 的坐标．（直接写出答案，不用解题过程）27．（2017·上海·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线+4y x 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，以线段AB 为边作菱形ABCD （点C 、D 在第一象限），且点D 的纵坐标为9．（1）求点A 、点B 的坐标；（2）求直线DC 的解析式；（3）除点C 外，在平面直角坐标系xOy 中是否还存在点P ，使点A 、B 、D 、P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．（2018·上海普陀·八年级期中）如图，已知一次函数24y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且BC△AO ，梯形AOBC 的面积为10．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）求直线AC 的表达式．29．（2018·上海崇明·八年级期中）已知：如图，在直角坐标平面中，点A 在x 轴的负半轴上，直线y kx =经过点A ，与y 轴相交于点M ，点B 是点A 关于原点的对称点，过点B 的直线BC x ⊥轴，交直线y kx =于点C ，如果60MAO ∠=︒．（1）求直线AC 的表达式；（2）如果点D 在直线AC 上，且ABD ∆是等腰三角形，请求出点D 的坐标．30．（2021·上海徐汇·八年级期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数24y x =--与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，将△ABC 绕着顶点B 旋转后，点C 的对应点C ’落在y轴上，点A 的对应点A ’恰好落在反比例函数(0)k y k x=≠ 的图像上． （1）求BOC ∆的面积；（2）如果k 的值为6 (即反比例函数为6y x=)，求点'A 的坐标； （3）如果四边形ACBA '是梯形，求k 的值．。

专题06一次函数图像的五种考法类型一、图像的位置关系问题例．直线y kx k =-与直线y kx =-在同一坐标系中的大致图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据直线y kx k =-与直线y kx =-图像的位置确定k 的正负，若不存在矛盾则符合题意，据此即可解答．【详解】解：A 、y kx =-过第二、四象限，则0k >，所以y kx k =-过第一、三、四象限，所以A 选项符合题意；B 、y kx =-过第二、四象限，则0k >，所以y kx k =-过第一、三、四象限，所以B 选项不符合题意；C 、y kx =-过第一、三象限，则0k <，所以y kx k =-过第二、一、四象限，所以C 选项不符合题意；D 、y kx =-过第一、三象限，则0k <，所以y kx k =-过第二、一、四象限，所以D 选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像：一次函数0y kx b k =+≠（）的图像为一条直线，当0k >，图像过第一、三象限；当0k <，图像过第二、四象限；直线与y 轴的交点坐标为()0b ，．【变式训练1】在同一坐标系中，直线1l ：()3y k x k =-+和2l ：y kx =-的位置可能是()A ．B ．．．【答案】B【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质，对平面直角坐标系中两函数图像进行讨论即可得出答案．k>，故由一次函数图像与【详解】A、由正比例函数图像可知0，即0点的上方，故选项A不符合题意；．．．．【答案】B【分析】先根据直线1l，得出k然后再判断直线2l的k和b的符号是否与直线．B．．．【答案】C【分析】根据一次函数的图象性质判断即可；ab>，【详解】∵0同号，A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m 和n 的符号，即可进行解答．【详解】解：A 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn <，符合题意；B 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；C 、由一次函数图象得：0,0m n >>，由正比例函数图象得：0mn <，不符合题意；D 、由一次函数图象得：0,0m n ><，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．类型二、图像与系数的关系则13k≥或3k≤-，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键．类型三、图像的平移问题例．将直线y kx b =+向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线2y x =，则（）A ．2k =，8b =-B ．2k =-，2b =C ．1k =，4b =-D ．2k =，4b =【答案】A【分析】根据直线y kx b =+向左平移2个单位，变为()2y k x b =++，再向上平移4个单位，变为()24y k x b =+++，然后结合得到直线2y x =，即可解出k 和b 的值．【详解】解：直线y kx b =+向左平移2个单位，变为()2y k x b =++，再向上平移4个单位，变为()24y k x b =+++，得到直线2y x =，2k ∴=，240k b ++=，2k ∴=，8b =-，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图像平移变换，熟练掌握图象左加右减，上加下减的变换规律是解答本题的关键．【变式训练1】对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是（）．A ．函数的图象与x 轴的交点坐标是(0,4)B ．函数的图象不经过第三象限C ．函数的图象向下平移4个单位长度得2y x =-的图象D ．函数值随自变量的增大而减小【答案】A【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．【详解】A 选项：当0y =时，2x =，所以函数的图象与x 轴的交点坐标是(2,0)，故A 选项错误；B 选项：函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B 选项正确；C 选项：函数的图象向下平移4个单位长度，得到函数244y x =-+-，即2y x =-的图象，故C 选项正确；D 选项：由于20k =-<，所以函数值随x 的增大而减小，故D 选项正确．故选：C【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，函数图象平移的法则，熟练运用一次函数的图象及性质进行判断是解题的关键．【变式训练2】把直线3y x =-先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x 轴的交点为()0m ,，则m 的值为（）A ．3B ．1C ．1-D ．3-【答案】B【分析】由题意知，平移后的直线解析式为()32333y x x =---=-+，将()0m ,代入得033m =-+，计算求解即可．【详解】解：由题意知，平移后的直线解析式为()32333y x x =---=-+，将()0m ,代入得033m =-+，解得1m =，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点．解题的关键在于熟练掌握图象平移：左加右减，上加下减．类型四、规律性问题例．在平面直角坐标系中，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111A B C O ，正方形2221A B C C ，…，正方形1n n n n A B C C -，使得点1A ，2A ，3A ，…．在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，…，在y 轴正半轴上，则点2023B 的坐标为（）A ．()202220232,21-B ．()202320232,2C ．()202320242,21-D ．()202220232,21+【答案】A【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点11A B 、的坐标，同理可得出2A 、3A 、4A 、5A …及2B 、3B 、4B 、5B …的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律()12,21n n n B --（n 为正整数），依此规律即可得出结论．【详解】解：当0y =时，由10x -=，解得：1x =，∴点1A 的坐标为()1,0，111A B C O 为正方形，()11,1B ∴，同理可得：()22,1A ，()34,3A ，()48,7A ，()516,15A ，…，∴()22,3B ，()34,7B ，()48,15B ，()516,31B ，…，【答案】20222022(21,2)-【分析】先求出1A 、2A 、3A 、4A 的坐标，找出规律，即可得出答案．【详解】解： 直线1y x =+和y 轴交于1A ，1A ∴的坐标()0,1，即11OA =，四边形111C OA B 是正方形，111OC OA ∴==，【答案】()20222,0【分析】根据1A 的坐标和函数解析式，即可求出点34,A A 探究规律利用规律即可解决问题．【详解】∵直线3y x =，点1A 的坐标为∴()11,3B 在11Rt OA B △中，11131,OA A B ==，类型五、增减性问题．B．．．A ．()15,53B ．()15,63C ．()17,53D 【答案】D【答案】40432【分析】根据已知先求出2OA ，3OA ，33A B ，44A B ，然后分别计算出1S ，2S 【详解】解：∵11OA =，212OA OA =，∴22OA =，∵322O A O A =，∴34OA =，∵432OA OA =，。

例析数形结合思想在一次函数中的应用例析数形结合思想在一次函数中的应用宁波市曙光中学陈怡颖数与形,是两个最古老,最基本的研究对象,数是形的抽象概括,形是数的直观表现。

在数学中我们把数与形结合起来研究数学问题的方法叫做数形结合。

数形结合,就是把问题的数量关系转化为图形的性质,把图形性质转化为数量关系,从而使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。

它主要有两个方面:以“数”解“形”,以“形”助“数”。

一次函数是初中数学的一个重点,数形结合思想在一次函数中的应用也是中考命题的一个热点。

本文结合教学实践,谈谈数形结合思想在一次函数解题中的几个应用。

以“数”解“形”??把复杂的过程简单化函数图象形象地展示了函数的性质,为我们研究数量关系提供了“形”的基础,因此在这类一次函数的问题中,我们应抓住特殊的点,及其所表示的实际意义,从而把复杂的过程简单化,把几何的问题代数化。

例1,如图所示,在x轴上有五个点,它们的横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线yax,y(a+1)x,y(a+2)x相交,其中a>0.则图中阴影部分的面积是()A.12.5B.25C.12.5aD.25a分析:此题初看比较复杂,从几何的角度解题,首先想到的是平移,但图中阴影部分的梯形和空白部分的梯形是不全等的,无法通过平移转移到同一个三角形中;如果把图中8条直线15个交点坐标都求出来,计算量太大,不可行。

但仔细分析可以发现,这些梯形的顶点都在一次函数图象上,因此它们满足函数解析式,而这三个一次函数解析式又是有联系的,以最右边的阴影部分梯形为例,虽然它与下面的空白部分梯形并不全等,但它们的上底都是4,下底都是5,可由当自变量分别为4和5所对应的函数值确定,梯形的高为1,因此它们的面积是相等的。

其余阴影部分的面积亦同理可得。

因此这里阴影部分的面积就是,直线yax,y(a+1)x,x5所围成的三角形面积。

,故选A。

解此题的关键在于,把不规则的图形转化为规则的图形,光从“形”的角度无法从平移实现,那么就要借助“数”,通过一次函数图象上的点满足解析式,以及点的横纵坐标所表示的实际意义解出梯形的底和高。

数形结合思想在初中函数教学中的应用——以人教版数学八年级下册“一次函数”教学为例覃仕山（南宁市五一路学校）摘要：运用数形结合思想实施初中数学教学，有利于培养学生的直观想象、数学建模和数学抽象能力。

以“一次函数”教学为例，探讨数形结合思想在教学中的应用路径如下：借助数形结合，分析数量关系；感知坐标模型，实现以数定形；分析模型信息，实现以形探数等。

构建初中函数教学中数与形之间的转化思维，有效提升学生数学实际问题的解决能力。

关键词：初中数学；函数教学；一次函数；数形结合；以数定形；以形探数中图分类号：G63文献标识码：A文章编号：0450-9889（2024）01-0058-04数与形可直观反映同一问题的两方面属性。

“数”指的是运用代数的知识解决问题，“形”指的是利用图形的性质研究数量关系，数形结合则是指利用数与形之间的联动、转化快速解决问题的一种思想。

图形与数字之间存在着紧密的对应关系，以形助数可帮助学生深刻理解抽象的公式概念，以数解形则可促进学生对实际问题的有效解决。

数形结合思想构建起数学逻辑与外部世界的联系桥梁，使其呈现出可视化的应用状态，容易为学生理解与接受。

数学教学中数与形的紧密结合和灵活运用，能够充分培养学生的直观想象、数学建模和数学抽象能力，发展学生的数学核心素养。

下面，笔者以人教版数学八年级下册第十九章“一次函数”教学为例，从教学实际出发，通过分析数量关系、建立坐标模型及借助函数图像解决实际问题三个教学步骤，阐释数形结合思想在初中函数教学中的应用。

一、借助数形结合，分析数量关系函数中数与形的转化，本质上源于数值的规律性变化。

一次函数作为发生在集合之间的一种严格的对应关系，呈现出独有的变化规律。

用直观的图形帮助学生理解抽象的集合关系与变化规律是一种较好的学习方式［1］。

一次函数中数形结合的初步应用，则落实在一次函数的函数与自变量之间，即通过函数模型的构建，进行两个变量间的数量关系分析，以此探寻函数的基本性质。

一次函数应用题中的“数形结合”数形结合思想在一次函数中的应用是中考命题的一个热点，解一次函数应用问题时，如果把数与形结合起来考虑，即把问题的数量关系转化为图象的性质或者把图象的性质转化为数量关系，就可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．本文选取几例，说明数形结合思想在一次函数实际问题中的应用，供复习时参考一、从“数”到“形”的思想应用例1 一辆速度为90千米/小时汽车由赣州匀速驶往南昌，下列图像中能大致反映汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是( )分析：根据题意得，汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系式是s=60t,所以行驶路程s和行驶时间t成正比例函数关系，因为路程与时间都不能为负数，所以行驶路程s和行驶时间t之间的函数图象应该是在第一象限的一条射线，故应选D．评注：解从“数”到“形”的问题时，应先找出两个已知变量之间的函数关系，然后根据函数关系式作出函数的大致图象，从而归纳出函数的图象特征．二、从“形”到“数”的思想应用例2为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式；（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？分析：（1）根据函数图象的信息可知，小强每月的基本生活费为150元，父母的奖励方法是：如果小强每月做家务的时间不超过20小时，每小时获奖励 2.5元；如果小强每月做家务的时间超过20小时，那么20小时每小时按 2.5元奖励,超过部分按每小时奖励4元奖励；（2）根据函数图象知，当0≤x≤20时，它是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，150），（20，200）在函数y=kx+b上,所以函数关系式为y=2.5x+150；（3）根据函数图象知，当x>20时，它也是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1.因为点(20,200),(30,240)在函数y=k1x+b1上,所以函数关系式为y=4x+120,当y=250时, 4x+120=250,解得x=32.5．评注：解从“数”到“形”的问题时，应注意观察函数图象的形状特征，充分挖掘图象中的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的图象性质来解．三、“数形结合”思想的综合运用例3 某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图．请结合图象，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗？请说明理由．分析：（1）根据函数的图象信息可知，锅炉内原有水96升；接水2分钟以后锅炉内的余水量为80升；接水4分钟以后锅炉内的余水量为72升等等．（2）根据函数图象知，当0≤x≤2时，它是一个一次函数图象，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，96），（2，80）在函数y=kx+b 上,所以函数关系式为y=-8x+96；当x>2时，它也是一个一次函数图象，设y 与x 之间的函数关系式为y=k 1x+b 1. 因为点(2,80),(4,72)在函数y=k 1x+b 1上, 所以函数关系式为y=-4x+88, 前15位同学接水后的余水量为96-15×2=66，当y=66时，代入y=-4x+88中，解得x=5.5．（3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分钟），8位同学接完水只要2分钟，与接完水时间恰好用了3分钟不相符；②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设这8为同学从t 分钟开始接水，当0<t ≤2时,则8(2-t)+4)2(3t =8×2,解得t=1, 所以(2-t)+ )2(3t =3(分钟).符合;当t>2时,则8×2÷4=4(分钟),与接水时间3分钟不符,所以小敏的说法是有可能的.即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了8分钟．评注：解“数形”结合的问题时，应注意运用“由数想形，以形助数”的解题策略，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题．。