苏科版九年级数学下册：《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练

《相似三角形》专题练习【小题热身】1．如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝2．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．如图，点A、B、C是4×4网格中的格点（每个小正方形的边长为1），在网格中画出一个与△ABC相似且面积最大的格点△DEF，△DEF的面积为．3．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝4．如图，在△ABC中，点E、D分别为AB与AC边上两个点，请添加一个条件：，使得△ADE∽△ABC．5．如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0）、B（0，8），点C为AB的中点，点D在x轴上，当点D 的坐标为时，由点A、C、D组成的三角形与△AOB相似．6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D 的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，E为AD中点，CF⊥BE，垂足为G，交BC边于点F，则CF的长为．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，D、E、F分别为BC、AB、AC上的点，若四边形DEFC为正方形，则它的边长为．9．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，点P、Q在DC边上，且PQ＝DC．若AB＝16，BC＝20，则图中阴影部分的面积是．10．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，点G、F在边BC上．如果BC＝20，正方形DEFG的面积为25，那么AH的长是．11．如图：已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，F是CD的中点，一束光线从A点出发，通过BC边反射，恰好落在F点，那么反射点E与C点的距离为．12．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝12，点D、E分别在AB、AC上，其中BD＝x，AE＝2x．当△ADE 与△ABC相似时，x的值可能是．【典型例题】1．（相似与二次函数）如图，矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值．2．（相似与圆）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O 经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．3．（一线三直角必有相似）（1）如图1，已知AB⊥l，DE⊥l，垂足分别为B、E，且C是l上一点，∠ACD ＝90°，求证：△ABC∽△CED；（2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，求BD 的长．4．（动态问题与相似）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？5．（相似性质）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，CA＝4，矩形DEFC的顶点D、E、F都在△ABC的边上．（1）设DE＝x，则AD＝（用含x的代数式表示）；（2）求矩形DEFC的最大面积．6．（一线三直角）如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD＝10．（1）求FG的长；（2）直接写出图中与△BHG相似的所有三角形．7．（圆中相似计算）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O分别交BC、AC于F、G，且G是的中点，过点G作DE⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点D（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝6，BG＝4，求BE的长；（3）若AB＝6，CE＝1.2，请直接写出AD的长．8．（圆中动态问题与相似计算）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．（1）求证：△ODM∽△MCN；（2）设DM＝x，OA＝R，求R关于x的函数关系式；（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．9．（相似与作图）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？10．（遇到比例式问题处理）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD．（1）求证：△ADC∽△BGC；（2）求证：CG•AB＝CB•DG．11．（一线三等角与相似）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．12．（动态问题中的相似计算）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s 的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问：（1）经过几秒后，△PBQ与△ABC相似．（2）经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．13．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC＝3，AB＝5，BC＝4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？【作业】1．如图，△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，点B，B1，B2，B3在同一条直线上，连接A2B交AB1于点P，交A1B1于点Q，则PB1：QB1的值为．2．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则BE的长为．3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝．4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC 的长．5．如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC，CD，AE 上．若BE＝9，则小正方形EFGH的边长．6．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接AC、BE，AC与BE交于点F，则△ABF的面积和四边形CDEF的面积的比值是．7．如图，在△ABC和△APQ中，∠P AB＝∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是．8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1）和，若在第四象限存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠P AB＝∠PBC，则CP的最小值为．10．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC 的长．11．如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E三点，且∠AOD＝120°．设AB＝x，CD＝y，则y与x的函数关系式为．12．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ 与△ABC相似？13．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝2，点D在边BC的反向延长线上，且DB＝3，点E在边BC的延长线上，且∠EAC＝∠D，设AD＝x，BC＝y．（1）求线段CE的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当AC平分∠BAE时，求线段AD的长．14．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，O为BC的中点，动点E在AB边上移动，动点F 在AC边上移动．（1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF＝45°的等腰三角形？若能，求BE的长；若不能，请说明理由；（2）当∠EOF＝45°时，设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围．15．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB＝8，DC＝6，BC＝14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F是上一点，连接AF交CD的延长线于点E．（1）求证：△AFC∽△ACE；（2）若AC＝5，DC＝6，当点F为的中点时，求AF的值．17．学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”．类似地你可以得到：“满足，或，两个直角三角形相似”．（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．已知：如图，．试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．。

九年级数学相似三角形综合练习题及答案1填空(本题14 分)(1 )若a=8cm , b=6cm ， c=4cm ，贝U a 、b 、c 的第四比例项 d= ； a 、c 的比例中项 x=_。

(2) (2 x):x x:(1 x)。

贝U x= _______________ 。

(3) _______________________________________________________________ 在比例尺为1: 10000的地图上，距离为 3cm 的两地实际距离为 _________________________________ 公里。

(4) _______________________________ 圆的周长与其直径的比为 。

a 5 a b(5 )右，贝V= 。

b 3 b(6) 若 a ：b : c=1 : 2： 3, 且 a bc 6，贝U a= ________ , b= ______ , c= _______ 。

ABACBC3CE(7) 如图 1, -- —— --- -，则(1)——(2)若 BD=10cm ,则 AD= cm 。

ADAE DE 2BC ，AB16cm ，则△ ABC 的周长为 (8)若点AEABc是线段AB的黄金分割点，且AC CB ,竺AC2•选择题 (1) 根据 A . 0 B .(2) 若线段bA.- d d C.—c(本题 9分)ab=cd ，共可写出以a 为第四比例项的比例式的个数是(1 C .2 D . 3a 、b 、c 、d 成比例，则下列各式中一定能成立的是(d b bC . DB AB ADEC AC AEBC DB ECECAB ACa3•已知：即3。

求（1）严3；；（2）愛。

（本题10分）4.若x: y：z=2: 7：5, x 2y 3z 6，求的值。

（本题6 分）za c e 25.已知：& d f 3，且2b d 5f 18。

第6章《图形的相似》提优测试卷(时间:120分钟 满分:130分)一、选择题(每小题3分，共30分) 1.下列四个命题中，假命题是( ) A.有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 B.有一个锐角相等的两个直角三角形相似 C.底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似 D.斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似2.如图，已知C E ∠=∠，则不一定能使ABC ∆∽ADE ∆的条件是( ) A. BAD CAE ∠=∠ B. B D ∠=∠ C.BC AC DE AE = D. AB ACAD AE=3.如图所示，给出下列条件:①ACD ADC ∠=∠; ②ADC ACB ∠=∠; ③AC AB CD BC =; ④AC ABAD AC=. 其中单独能够判定ABC ∆∽ACD ∆的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.(乌鲁木齐中考题)如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在,AB AC 上，//DE BC ,AD CE =.若:3:2,10AB AC BC ==，则DE 的长为( )A. 3B.4C. 5D. 65.(毕节中考题)如图，ABC ∆中，AE 交BC 于点D ,C E ∠=∠，:3:5AD DE =，8AE =，4BD =，则DC 的长等于( )A. 154B. 125C. 203D. 1746.如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(6,6)A ,(8,2)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ,则端点C 的坐标为( ) A. ( 3，3) B. (4，3) C. (3，1) D. ( 4，1) 7.如图，ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果:2:3BE BC =，那么下列各式错误的是( ) A.2BE EC = B. 13EC AD = C. 23EF AE = D. 23BF DF =8.将一副三角板如图叠放，则AOB ∆与DOC ∆的面积比是( )B.12C.13D.149.(南京中考题)如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是(－2,1)，点C 的纵坐标是4，则B 、C 两点的坐标分别是( )A.3(,3)2、2(,4)3-B.3(,3)2、1(,4)2-C.77(,)42、2(,4)3-D.77(,)421(,4)2-10. 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接,,BG DE DE 和FG 相交于点O ，设,()AB a CG b a b ==>.下列结论:①BCG DCE ∆≅∆；②BG DE ⊥；③DG GO GC CE=；④22()EFO DGO a b S b S ∆∆-⋅=⋅. 其中结论正确的个数是( )A. 4B.3C.2D. 1 二、填空题(每小题3分，共24分)11.(齐齐哈尔中考题)如图，要使ABC ∆与DBA ∆相似，则只需添加一个适当的条件是 .12.如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m 的位置上，则网球拍击球的高度h 为 . 13.如图，在ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点,//E BP DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形: .14.如图，已知ABC ∆中，AB =8,AC =6，点D 是线段AC 的中点，点E 在线段AB 上，且ADE ∆∽ABC ∆，则AE = .15.(盘锦中考题)如图，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE CF ⊥ 于点5,3,4,,902H AD DC DE EDF ===∠=︒,则DF = .16.如图，在Rt ABC ∆中， 90,3,4BAC AB AC ∠=︒==，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以,PA PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为 .17.如图，在平面直角坐标系中， Rt ABO ∆的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，90ABO ∠=︒,OA 与反比例函数(0)ky k x=≠的图像交于点D ，且2OD AD =，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C .若ABCD S 四边形=10，则k 的值为 .18.如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上，且BE =1，点,P Q 分别是边,BC CD 上的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ 的周长取最小时，四边形AEPQ的面积是 . 三、解答题(共76分)19. (6分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC ∆(顶点是网格线的交点).(1)将ABC ∆向上平移3个单位得到111A B C ∆,请画出111A B C ∆; (2)请画一个格点222A B C ∆，使222A B C ∆∽ABC ∆，且相似比不为1.20. (6分)如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，延长CE 到点F ，使.(1) 求证：(2) 用直尺和圆规在AD 上作出一点P ，使△BPC ∽△CDP （保留作图痕迹，不写作法）。

九年级下三角函数提优训练（选择+填空）1．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则cos∠EFG值为（）A．B．C．D．2．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．B．1 C．D．3．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1 C．D．25．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，tan A＝，则k的值为（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣26．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是．7．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．8．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD＝90°，则cos B的值为．11．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．12．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin A ＝．13．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM 上，BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为．14．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（）A．B．3 C．D．415．如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（）米/秒．A．20（+1）B．20（﹣1）C．200 D．30016．（2017•深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A．20B．30 C．30D．4017．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是．18．如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B=，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的番号）．19．四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=．20．如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为．21．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于．22．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=．23．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．参考答案与试题解析1．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则cos∠EFG值为（）A．B．C．D．【分析】作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，连接BE，BD．在Rt△DME，Rt△GME，Rt△AGN，Rt△EFB中，根据勾股定理可求DM，ME，AN，EF的长，即可求FN的长，即可得cos∠EFG值．【解答】解：如图：作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，连接BE，BD∵四边形ABCD是菱形，AB＝2∴CD＝AD＝AB＝2，AB∥DC∵AB∥CD∴∠A＝∠MDC＝60°∵E是CD中点∴DE＝1∵ME⊥AD，∠DMC＝60°∴∠MED＝30°，且ME⊥AD∴DM＝，ME＝DM＝∵折叠∴AG＝GE，∠AFG＝∠EFG在Rt△GME中，GE2＝GM2+ME2．∴GE2＝（2﹣GE+）2+∴GE＝在Rt△AGN中，∠A＝60°，GN⊥AB∴AG＝2AN∴AN＝∴GN＝∵BC＝CD＝2，∠C＝60°∴△BCD是等边三角形∵E点是CD中点∴BE⊥CD，DE＝1，∠BDC＝60°∴BE＝∵AB∥DC∴∠ABE＝90°在Rt△EFB中，EF2＝BE2+BF2．∴EF2＝3+（2﹣EF）2．∴EF＝∴AF＝∵NF＝AF﹣AN∴NF＝在Rt△GNF中，GF＝＝∴cos∠EFG＝cos∠GFN＝＝故选：C．【点评】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．2．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．B．1 C．D．【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【解答】解：连接BC，由网格可得AB＝BC＝，AC＝，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，故选：B．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．3．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EH∥CD，∴△AEH∽△ACD，∴＝＝．设EH＝3x，AH＝4x，∴HG＝GF＝3x，∵EF∥AD，∴∠AFE＝∠FAG，∴tan∠AFE＝tan∠FAG＝＝＝．故选：A．【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的．4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1 C．D．2【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB＝tan∠P＝，进而求出答案．【解答】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q，可得∠QMB＝∠P，∵PB′＝2，PQ＝2，B′Q＝4，∴PB′2+QB′2＝PQ2，∴△QPB′是直角三角形，∴tan∠QMB＝tan∠P＝＝＝2．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键．5．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，tanA＝，则k的值为（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣2【分析】作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，利用反比例函数系数的机会意义得到S △AOD＝1，再根据正切的意义得到tanA＝＝，则OB＝OA，接着证明Rt△AOD∽Rt△OBC，利用相似三角形的性质得S△OBC＝2S△AOD＝2，所以•|k|＝2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．【解答】解：作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，则S△AOD＝×2＝1，在Rt△AOB中，tanA＝＝，∴OB＝2OA，∵∠AOD+∠BOC＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOC＝∠OAD，∴Rt△AOD∽Rt△OBC，∴＝（）2＝2，∴S△OBC＝2S△AOD＝2，∴•|k|＝2，而k＜0，∴k＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了相似三角形的判定与性质．6．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是．【分析】接AF，由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，证出AB ＝FC，BF＝CE，由SAS证明△ABF≌△FCE，得出∠BAF＝∠CFE，AF＝FE，证△AEF 是等腰直角三角形，得出∠AEF＝45°，即可得出答案．【解答】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，∵FC＝2BF，∴BF＝1，FC＝2，∴AB＝FC，∵E是CD的中点，∴CE＝CD＝1，∴BF＝CE，在△ABF和△FCE中，，∴△ABF≌△FCE（SAS），∴∠BAF＝∠CFE，AF＝FE，∵∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠CFE+∠AFB＝90°，∴∠AFE＝180°﹣90°＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF＝45°，∴cos∠AEF＝；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．7．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于3．【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan ∠BOD的值，本题得以解决．【解答】解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，则∠BO′D′＝∠BOD，∴tan∠BOD＝tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B＝，O′D′＝，BD′＝3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE＝，∴O′E＝＝，∴tanBO′E＝，∴tan∠BOD＝3，故答案为：3．方法二：连接AM、NL，在△CAH中，AC＝AH，则AM⊥CH，同理，在△MNH中，NM＝NH，则NL⊥MH，∴∠AMO＝∠NLO＝90°，∵∠AOM＝∠NOL，∴△AOM∽△NOL，∴，设图中每个小正方形的边长为a，则AM＝2a，NL＝a，∴＝2，∴，∴，∵NL＝LM，∴，∴tan∠BOD＝tan∠NOL＝＝3，故答案为：3．方法三：连接AE、EF，如右图所示，则AE∥CD，∴∠FAE＝∠BOD，设每个小正方形的边长为a，则AE＝，AF＝，EF＝a，∵，∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠FAE＝，即tan∠BOD＝3，故答案为：3．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．8．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝2．【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO＝1：3，即可得OF：CF＝OF：BF＝1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF＝CF＝CK，BF＝BE，CK＝BE，BE⊥CK，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO＝BK：AC＝1：3，∴KO：KF＝1：2，∴KO＝OF＝CF＝BF，在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2，∵∠AOD＝∠BOF，∴tan∠AOD＝2．故答案为：2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为．【分析】先利用勾股定理求出A'C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论．【解答】解：由折叠知，A'E＝AE，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝90°，∴∠BA'C＝90°，在Rt△A'CB中，A'C＝＝8，设AE＝x，则A'E＝x，∴DE＝10﹣x，CE＝A'C+A'E＝8+x，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，（10﹣x）2+36＝（8+x）2，∴x＝2，∴AE＝2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝2，∴sin∠ABE＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段AE是解本题的关键．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD＝90°，则cosB的值为．【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE＝EH，设BE＝x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝2，AD∥CH，∴∠ADM＝∠H，∵AM＝BM，∠AMD＝∠HMB，∴△ADM≌△BHM，∴AD＝HB＝2，∵EM⊥DH，∴EH＝ED，设BE＝x，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°∵AE2＝AB2﹣BE2＝DE2﹣AD2，∴22﹣x2＝（2+x）2﹣22，∴x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃），∴cosB＝＝，故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．【分析】首先连接AB，由勾股定理易求得OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cos∠AOB的值．【解答】解：连接AB，∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°，∴cos∠AOB＝cos45°＝．故答案为：．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．12．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA＝．【分析】根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB＝AC＝2，BC＝2，AD＝3，可以得知△ABC是等腰三角形，由面积相等可得，BC•AD＝AB•CE，即CE＝＝，sinA＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．13．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM 上，BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为y＝（0＜x≤2）．【分析】作FM⊥BC于M．由△DBE≌△EMF，推出FM＝BE＝x，EM＝BD＝2BE＝2x，由FM∥AB，推出＝，即＝，由此即可解决问题．【解答】解：作FM⊥BC于M．∵∠DBE＝∠DEF＝∠EMF＝90°，∴∠DEB+∠BDE＝90°，∠DEB+∠FEM＝90°，∴∠BDE＝∠FEM．在△DBE和△EMF中，，∴△DBE≌△EMF，∴FM＝BE＝x，EM＝BD＝2BE＝2x，∵FM∥AB，∴＝，∴＝，∴y＝（0＜x≤2）．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．【分析】先过C作CF⊥AB于F，根据DE∥CF，可得=，进而得出CF=3，根据勾股定理可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，∴=，即=，解得CF=3，∴Rt△ACF中，AF==4，又∵AB=3，∴BF=4﹣3=1，∴石坝的坡度为==3，故选：B．【点评】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．15．【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得AD的长，在Rt△BCD 中，利用三角函数求得CD的长，则AC即可求得，进而求得速度．【解答】解：作BD⊥AC于点D．∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，∴AD=BD•tan∠ABD=200（米），同理，CD=BD=200（米）．则AC=200+200（米）．则平均速度是=20（+1）米/秒．故选：A．【点评】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．16．【分析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：在Rt△CDE中，∵CD=20m，DE=10m，∴sin∠DCE==，∴∠DCE=30°．∵∠ACB=60°，DF∥AE，∴∠BGF=60°∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．∵∠BDF=30°，∴∠DBF=60°，∴∠DBC=30°，∴BC===20m，∴AB=BC•sin60°=20×=30m．故选：B．方法二：可以证明△DGC≌△BGF，所以BF=DC=20，所以AB=20+10=30，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．25．【分析】把15°化为60°﹣45°，则可利用sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ和特殊角的三角函数值计算出sin15°的值．【解答】解：sin15°=sin（60°﹣45°）=sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°=•﹣•=．故答案为．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．也考查了阅读理解能力．26．【分析】由题意可得△BCE是含有30°的直角三角形，根据含有30°的直角三角形的性质可判断①②③，易证四边形PMCN是矩形，可得d12+d22=MN2=CP 2，根据垂线段最短，可得CP的值即可求d12+d22的最小值，即可判断④．【解答】解：∵D是AB中点∴AD=BD∵△ACD是等边三角形，E是AD中点∴AD=CD，∠ADC=60°=∠ACD，CE⊥AB，∠DCE=30°∴CD=BD∴∠B=∠DCB=30°，且∠DCE=30°，CE⊥AB∴∠ECD=∠DCB，BC=2CE，tan∠B=故①③正确，②错误∵∠DCB=30°，∠ACD=60°∴∠ACB=90°若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，∴四边形PMCN是矩形∴MN=CP∵d12+d22=MN2=CP2∴当CP为最小值，d12+d22的值最小∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小此时：∠CAB=60°，AC=2，CP⊥AB∴CP=∴d12+d22=MN2=CP2=3即d12+d22的最小值为3故④正确故答案为①③④【点评】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，利用垂线段最短求d12+d22的最小值是本题的关键．27．【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：当∠ADB为锐角时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，∵tan∠ABD=，∴=，设AH=3x，则BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，则AH=12，BH=16，在Rt△AHD中，HD==5，∴BD=BH+HD=21，∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCG+∠CBD=90°，∴∠ABD=∠BCG，∴=，又BC=10，∴BG=6，CG=8，∴DG=BD﹣BG=15，∴CD==17，当∠ADB为钝角时，CD′==，故答案为：17或．【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键．28．【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x∴DE=x，CE=x，∴BE=10﹣x，∴S△BED=×（10﹣x）•x=﹣x2+3x．∵DF=BF，∴S=S△BED=x2，故答案为S=x2．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在Rt△ACD中，∵AC=2，∴CD===，则BC=BD+CD=6，∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5，CD=，则BC=BD﹣CD=4，∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．30．【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=CF=BF，在Rt△OBF中，tan∠BOF==2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故答案为：2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．31．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==，故答案为：．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．。

DCBA九年级数学下册提优练习第六章 图形的相似一、选择题1.两个相似三角形的最短边分别为5cm 和3cm ，它们的周长之差为12cm ，那么大三角形的周长为（ ）A ．14cmB ．16cmC ．18cmD ．30cm2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于点D .则△BCD 与△ABC 的周长之比为（ ）A ．1︰2B ．1︰3C ．1︰4D ．1︰5第2题 第3题 第4题 第5题 3.如图，已知△ADE 与△ABC 的相似比为1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积比为（ ）A ． 1∶2B ． 1∶4C ． 2∶1D ． 4∶14.如图，将矩形ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH=12cm ，EF=16cm ，则边AD 的长为（ ）A. 12cmB. 16cmC. 20cmD. 28cm5.如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的平分线交AB ，BD 于M ，N 两点.若AM=2，则线段ON 的长为（ ）A.22B.23 C. 1 D.26 6.如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10cm ，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压（ ） A ．100cm B ．60cm C ．50cm D ．10cm7.如图，身高为1.6m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶点正好与树的影子顶端重合，测得BC ＝3.2m ，CA ＝0.8m ，则树的高度为（ ）A ．4.8mB ．6.4mC ．8mD ．10m第6题 第7题 第8题 8.按如下方法将△ABC 的三边缩小为原来的21，如图，任取一点O ，连接AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得到△DEF ，则下列说法正确的有（ ）A DEBC①△ABC 与△DEF 是位似形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长比为2：1；④△ABC 与△DEF 的面积比为4：1A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题9.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BF 平分∠ABC ，交DE 的延长线于点F ，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=_________.10.如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间的距离是1，l 2与l 3之间的距离是2，且l 1，l 2，l 3分别过点A ，B ，C ，则边AC 的长为_________.第9题 第10题 第11题11. 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CFAD= ．12.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．13.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD ，CA 于点E ，F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF.给出以下四个结论：①FBFGAB AG =；②点F 是GE 的中点；③AF=32AB ；④S △ABC =5S △BDF .其中正确的结论序号是_______.第12题 第13题 第14题14.一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是＿＿＿米.三、解答题15.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DE ∥BC ，交AC 于点E ，△ADE 与四边形DBCE 的面积的比为1：3，求ABAD的值.16.如图，在□ABCD 中，E 是BC 上的3等分点，AE 交BD 于点F ，求：（1）DFBF的值. （2）△BEF 与△DAF 的周长的比、面积的比.17.如图，□ABCD 中，∠DBC ＝45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE 、BF 相交于H ，BF 、AD 的延长线相交于G ，试说明：（1）AB ＝BH ；（2）△ABG ∽△CED ；（3）AB 2＝AG·HE18.如图所示，身高1.6米的小明站在距路灯底部O 点10米的点A 处，他的身高（线段AB ）在路灯下的影响子为线段AM ，已知路灯灯杆OQ 垂直于路面. （1）在OQ 上画出表示路灯灯泡位置的点P ；（2）小明沿AO 方向前进到点C ，请画出此时表示小明影子的线段CN ； （3）若AM=2.5米，求路灯灯泡P 到地面的距离.19.如图，以AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点C ，过点O 作OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点F ，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使∠DEC＝∠BDC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是3，DG•DB＝9，求CE的长．20.已知，矩形ABCD，点E是AD上一点，将矩形沿BE折叠，点A恰好落在BD上点F处．（1）如图1，若AB＝3，AD＝4，求AE的长；（2）如图2，若点F恰好是BD的中点，点M是BD上一点，过点M作MN∥BE交AD于点N，连接EM，若MN平分∠EMD，求证：DN•DE＝DM•BM．21.【探索发现】（1）如图1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为______________.【拓展应用】（2）如图2，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC 上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值为_________（用含a、h的代数式表示）；【灵活应用】（3）如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=28，BC=36，AE=18，CD=14，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．22.在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求ACBD的值．图2AD O BC 21MN图1AD BM N12图3AD O BC21MNO23.阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD 的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的AB上的“强相似点”.解决问题：（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由.（2）如图②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长均为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点.（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM 的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系.。

B A CC ’[【文库独家】《相似三角形的应用》初三 班 姓名 学号一、[复习]1、相似三角形的性质：相似三角形的对应 、对应 、对应 、对应 及对应 、的比都等于 。

2、相似三角形的判定：相似三角形的判定定理一：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角 ，那么这两个三角形相似．相似三角形的判定定理二：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边 ，并且 相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形的判定定理三：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 ，那么这两个三角形相似。

3、对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果dc b a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么这四条线段叫做 线段，简称比例线段。

★比例式的几种变形式是等价式子( a ≠0、b ≠0、c ≠0、d ≠0 )。

基本比例式 等积式 横比式dc b a = 变形式bb a ±= 图1 4、比例式变形是代数的运算问题，平行是几何的重要内容。

比例与几何的联系是：如图1，在△ABC 中， 如果D E∥BC， 那么 。

反过来，在△ABC 中， 如果DB AD =EC AE （或AD AB =AEAC ）， 那么 。

二、[相似的实际应用]1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？分析：太阳光是平行光线，所有物体高度线、阴影水平线与光线可构成相似直角三角形。

2、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图所示，为了测量金字塔的高度OB ，先竖一根已知长度的木棒O ′B ′，比较棒子的影长A ′B ′与金字塔的影长AB ，即可近似算出金字塔的高度OB ．如果O ′B ′＝1，A ′B ′＝2，AB ＝274，求金字塔的高度OB ．1.8 3 60 A ’[B ’[3、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后，再选点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ．此时如果测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，求两岸间的大致距离AB ．4、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h ．三、[综合练习]1、①在比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25厘米，则两地的实际距离是 千米。

第七章 锐角三角函数 单元提高卷一、选择题(每小题3分,共24分)1．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝Rt ∠，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A . sin A =B . tanA ＝12C . cos B =D . tanB =2．已知∠A 是锐角，且sin A =，那么∠A 等于 ( )A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°3．已知a 为锐角，则sin cos m a a =+的值 ( ) A . m ＞l B . m ＝1 C . m ＜1 D . m ≥14= ( )A . 1B . 1C .1- D . 1 5．如图2，先锋村准备在坡角为a 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的 距离AB 为 ( )A . 5cos aB .5cos a C . 5sin a D ．5sin a6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝43，BC ＝8，则AC 等于 ( ) A . 6 B .323C . 10D . 12 7．如图3，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点．BP ＝2cm ，则tan ∠OP A 等于 ( )A .32 B . 23C . 2D . 128．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图4那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是 ( )A . 247 B . C . 724D .13二、填空题(每小题3分，共24分)9. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，5sin 13B =，则cos B = ．10. 在△ABC 中，若2sin (cos )02A B -=，则∠C ＝ 度． 11．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tanB ＝512，6a =，则b = ．12．在△ABC 中，若∠A =30°，∠B =45°，AC =BC ＝ ．13. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为5米，则这个坡面的坡度为 ．14. 如图5，在坡形屋顶的设计图中，AB ＝AC ，屋顶的宽度BC 为10米，坡角a 为30°，则坡形屋顶的高度h 为 米． 1.732，结果保留三位有效数字)15. 如图6所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为 米(精确到0.1米)．(sin 35°≈0．57,cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70；sin 52°≈0.79，cos 52°≈0.62，tan 52°≈1.28) 16·如图7，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，AB ＝5cm ，点D 是AB 的中点，则cos ∠ACD ＝ ．三、解答题(本大题共52分)17．(4分)，计算：22sin 30cos 4560tan 45︒+︒︒⋅︒18．(每小题4分，共8分)由下列条件解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°：(1)已知c＝20，∠A=45°；＝12，∠B＝60°．(2)已知a c19．(8分)如图8，△ABC内接于圆O，若圆的半径是2，AB＝3，求sinC．20．(8分)如图9，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50 m的两根电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB＝30°，然后沿河岸走了100 m到达B处，测得∠CBF＝60°，求河流的宽度CF的值．(结果精确到个位)21．(8分)如图10，在某广场上空飘着一只气球P，A，B是地面上相距90米的两点，它们分别在气球的正西和正东，测得仰角∠P AB＝45°，仰角∠PBA＝30°，求气球P的高度．(精确到0.1 1.732)22．(8分)如图11，斜坡AC的坡度(坡比)为1AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．23．(8分)在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图12所示的办公楼靠街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°．问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量的?(精确到整数米)(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58)参考答案1．1～8．DCABBADC9．1213 10．90° 11．5212．2 13．1 14．2.8915．3.5 16．45 17．3 ；18．(1) ∠B ＝45°，a ＝b ＝(2) ∠A ＝30°, a ＝4，b ＝c ＝8； 19．3420．43 m 21．32.9米； 22．6米； 23．48米。

《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练1、下列两个图形:①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形. 其中一定相似的有( ) A.2组 B.3组 C.4组 D.5组2、（1）如果234x y z==，求3x y z y -+=_____________ （2）已知x ：y =3：5，y ：z =2：3，则zy x zy x +-++2的值为3、应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m 2，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于( )A.一个篮球场的面积B.一张乒乓球台台面的面积C.《陕西日报》的一个版面的面积D.《数学》课本封面的面积4、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5、 如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADEDBCE SS :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8D ．1 : 26、如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为．7、在Rt△ABC中，∠C=90º，AB=10，AC=8，则sin A的值是（）A．45B．35C．34D．43．8、若3tan（a+10°）=1，则锐角a的读数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°9、如果△ABC中，sinA=cosB=2，则下列最确切的结论是（）A. △ABC是直角三角形B. △ABC是等腰三角形C. △ABC是等腰直角三角形D. △ABC是锐角三角形10、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）11、 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接,,BG DE DE 和FG 相交于点O ，设,()AB a CG b a b ==>.下列结论:①BCG DCE ∆≅∆；②BG DE ⊥；③DG GOGC CE=； ④22()EFO DGO a b S b S ∆∆-⋅=⋅.其中结论正确的个数是( ) A. 4 B.3 C.2 D. 112、水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ,其中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则α的余弦值为 .13、在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m ，塔影长DE=18m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A．24m B．22m C．20m D．18m14、如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，4）、B（-3，1）、C（-1，1），以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A′B′C′．（1）画出放大后的△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标．（点A、B、C的对应点为A′、B′、C′）（2）求△A′B′C′的面积．15、一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，另一直角边长是2米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如左图和右图所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.16、如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高2.0米，且AC =2.17米，设太阳光线与水平地面的夹角为α.当︒=60α时，测得楼房在地面上的影长AE =10米，现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳.（3取73.1）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当︒=45α时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.17、图①是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算:① ② ③如图②，AB BC ⊥，垂足为点B ，EA AB ⊥垂足为点A ，//CD AB ，10CD =cm ， 120DE =cm ，FG DE ⊥，垂足为点G .(1)若3750'θ∠=︒，则AB 的长约为 cm.(参考数据: sin3750'0.61︒≈，cos3750'0.79︒≈，tan3750'0.78︒≈)(2)若30FG =cm ，60θ∠=︒，求CF 的长.18、如图，在直角坐标系中，Rt △OAB 的直角顶点A 在x 轴上，OA =4，AB =3．动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；同时点N 从点O 出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动．当两个动点运动了x 秒（0＜x ＜4）时，解答下列问题： （1）求点N 的坐标（用含x 的代数式表示）；（2）设△OMN 的面积是S ，求S 与x 之间的函数表达式；（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．19、阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点D 旋转，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q,易说明△APD ∽△CDQ．猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF （其中∠EDF=30°）的锐角顶点D 与等腰三角形ABC （其中∠ABC = 120°）的底边中点O 重合，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q ．写出图中的相似三角形 （直接填在横线上）；验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF 旋转至两边分别与线段AB 的延长线、边BC 相交于点P 、Q ．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形,并说明理由．连结PQ ，△APD 与△DPQ 是否相似？为什么?探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）ＢＥ ＰＡ ＣＱＦＤ(O)图1图2Ｄ(O)B CFEP QA 图3AC B20、从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD 为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD 为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．21、如图（1），点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB=BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点。

初中苏科版九年级数学下册6-5 相似三角形的性质同步课时提优训练一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）1.若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（）A. 30°B. 50°C. 40°D. 70°2.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1 4.若BC＝1，则EF的长是（）A. 2B. 2C. 4D. 163.已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（）A. B.C. 相似比为D. 相似比为4.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为4厘米，6厘米和9厘米，另一个三角形的最长边是18厘米，则它的最短边是（）A. 2厘米B. 4厘米C. 8厘米D. 12厘米5.已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（）A. 90B. 180C. 270D. 36006.平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P是反比例函数y= 象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△CDF：S四边形等于（）ABFEA. 1：3B. 2：5C. 3：5D. 4：98.如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的( )A. B. C. D.9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB=3BD。

则S△ADE：S△EFC的值为( )A. 4：1B. 3：2C. 2：1D. 3：110.如图，矩形ABCD中，AB=2, AD=2 ，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H.①△ABP∽△HCB;②AH的最小值为- ; ③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积:④在运动过程中，点H的运动路径的长为, 其中正确的有（）A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）11.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边＝________．12.已知△ABC的三边分别是4，5，6，则与它相似△A′B′C′的最长边为12，则△A′B′C′的周长是________.13.已知点G是的重心，，那么点G与边中点之间的距离是________．14.如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝________．15.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm.16.如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM为________.17.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为________18.如图，在△ABC中，AM：MD=4，BD：DC=2：3，则AE：EC=________．三、解答题（本大题共10题，共84分）19.如图，已知在ABC中，AB= ，AC=2 ，BC=3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长.20.如图，已知，，，求的度数．21.如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，DF∥BE交AC于点F，若EF ＝3，求AC的长.22.如图，，且△ABC与△ADE周长差为4，求△ABC与△ADE的周长．23.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．24.如图，在□ABCD中，AE：EB=3：2，DE交AC于点F.（1）求证：△AEF∽△CDF.（2）求△CDF与△AEF周长之比.（3）如果△CDF的面积为50cm2，直接写出四边形BCFE的面积.25.如图，在中点D，E，F分别在，，边上，，.（1）求证：；（2）若，的面积是20，求的面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）求BC边上的高；（2）求正方形EFGH的边长．27.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？28.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t >0）秒．（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ ∽△ABC，求t的值；（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1. C【考点】三角形内角和定理，相似三角形的性质解：∵∠A=30°，∠C=110°，∴∠B=40°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B=40°，故C.分析：根据三角形内角和定理求出∠B=40°，根据相似三角形的对应角相等解答即可.2. B【考点】相似三角形的性质解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：4，∴（BC：EF）2=1：4，解得BC：EF=1：2，∵BC=1，∴EF=2.故B.分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解.3. D【考点】相似三角形的性质解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立；同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴或，B不一定成立；同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，∴相似比为，∴D一定成立，故D ．分析：根据相似三角形的性质找到对应边及对应角，再逐项判定即可。

2019-2020年苏科版九年级下册《相似三角形》中考真题提优训练一、动点型问题：1.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．如果点E由点B出发沿BC方向向点C 匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）、连结EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；（2）、连结EP，设△EPC的面积为ycm2 ，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；（3）、若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．2.如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；（3）如图②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．（第28题）O 1ABCDOP（图②）（图①）O3.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F 的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．(1)当t＝s时，四边形EBFB'为正方形；(2)若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；(3)是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．二、动线型问题：4.如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．（1）OC的长为；（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ= ；（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t（秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．5.问题呈现如图，四边形ABCD是矩形，AB=20，BC=10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G=90°，点M在线段AB上，且AM=a，点P沿折线AD-DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB.设PQ与AB之间的距离为x.（1）若a=12.①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为_________；②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围.三、动面型问题：6.如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中.⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；⑵记△DGP的面积为，△CDG的面积为，试说明是常数；⑶当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时，求线段PD 的长.P HG FEDC B A四、翻折型问题：7.已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点OA 不重合），现将△POC 沿PC 翻折得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△PAD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得直线PE 、PF 重合．（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP ＝x ，AD ＝y ，当x 为何值时，y 取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△PDQ 是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．图①PDEC OAB FxyPDCOABFxy EF8.将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．（1）用含的代数式表示； OABC (00)O ，(60)A ，(03)C ，Q O OC C 23P A AO O P t t OP OQ ，（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；（1） 连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．1t OPQ △PQ O CB D D AC OPQ △PQ EPQ △PQ AC PE ACt。

第7章《锐角三角函数》提优测试卷(时间:100分钟 满分:130分)一、选择题(每小题3分，共30分)1.ABC ∆中， a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，如果222a b c +=，那么下列结论正确的是( )A. cos b B c =B. sin c A a =C. tan a A b =D. tan b B c= 2.正方形网格中，AOB ∠如图放置，则cos AOB ∠的值为( ) A.12B.22C.32D.333.如图，1∠的正切值为( )A.13 B. 12C. 3D. 2 4.α是锐角，且3cos 4α=,则( )A. 0α︒<<30︒B. 30α︒<<45︒C. 45α︒<<60︒D. 60α︒<<90︒5.若A 为锐角，且4sin 5A =,则tan A 的值为( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 536.已知等边ABC ∆内接于⊙O ，点D 是⊙O 上任意一点，则sin ADB ∠的值为( )A. 1B.12C. 32D. 227.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若60B ∠=︒, 则c aa b c b+++ 的值为( ) A.12B. 22C. 1D.28.河堤横断面如图所示，堤高BC =6米，迎水坡AB 的坡比为1:3，则AB 的长为( ) A. 12米 B. 43米 C. 53米 D. 63米 9.在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A 处发现海面上一块疑似漂浮目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，已知飞行高度AC =1 500米，tan 35α=，则飞机距疑似目标B 的水平距离BC 为( )A. 24005米B. 24003米C. 25005米D. 25003米10.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东50°方向，距离灯塔P 为10海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向B 处，那么海轮航行的距离AB 的长是( ) A. 10海里 B. l0sin 50°海里 C. l0cos 50°海里 D. l0tan 50°海里 二、填空题(每小题3分，共24分)11.在Rt ABC ∆中，90,ACB CD ∠=︒是斜边AB 上的中线，CD =4,AC =6，则sin B 的值是 .12.已知α为锐角，tan(90)3α︒-=，则α的度数为 .13.(2015·杭州校级一模)如图，在四边形ABCD 中，30,90,A C ∠=︒∠=︒105,ADB ∠=︒3s i n,42B DC AD ∠==,则DC 的长= .14.如图，在ABC ∆中，已知,45,AB AC A BD AC =∠=︒⊥于点D .根据该图可以求出 tan 22.5°= . 15.在ABC ∆中，若2tan 1,sin 2A B ==，则ABC ∆的形状是 . 16.如图，在坡度为1:3的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米(结果保留根号).17.在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的，如图，有一物体AB 在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°时，物体AB 的影长BC 为8米，在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为45°时，则物体AB 的影长BD 为 米.(结果保留根号)18.如图，经过原点的⊙P 与两条坐标轴分别交于点(3,0)A 和点(0,1),B C 是优弧OAB 上的任意一点(不与点O 、B 重合)，则BCO ∠的度数为 .三、解答题(共76分) 19.(8分)计算:(1)1018sin 45()(21)2-⨯︒+--；(2)2cos302sin 45tan 60︒+︒-︒.20. ( 6分)如图，在Rt ABC ∆中，190,10,tan 2C AB A ∠=︒=∠=,求BC 的长和sin B ∠的值.21. (8分)根据道路管理规定，在贺州某段笔直公路上行驶的车辆，限速40千米/时，已知交警测速点M 到该公路A 点的距离为102米，45,30MAB MBA ∠=︒∠=︒(如图所示)，现有一辆汽车由A 往B 方向匀速行驶，测得此车从A 点行驶到B 点所用的时间为3秒. (1)求测速点M 到该公路的距离;(2)通过计算判断此车是否超速.(参考数据:2 1.41,3 1.73,5 2.24≈≈≈)22.(8分)如图，在一斜坡坡顶A 处的同一水平线上有一古塔，为测量塔高BC ，数学老师带领同学在坡脚P 处测得斜坡的坡角为α，且tan 724α=，塔顶C 处的仰角为30°，他们沿着斜坡攀行了50米BC ，到达坡顶A 处，在A 处测得塔顶C 的仰角为60°.(1)求斜坡的高度AD ; (2)求塔高BC .23. ( 8分)如图，某飞机在空中探测某座山的高度，在点A 处飞机的飞行高度是AF =3 700米，从飞机上观测山顶目标C 的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B 处，此时观测目标C 的俯角是50°，求这座山的高度CD .(参考数据:sin 50°≈0.77， cos 50°≈0.64，tan 50°≈ 1.20 )24. ( 8分)在东西方向的海岸线l 上有一长为1 km 的码头MN (如图)，在码头西端M 的正西19.5 km 处有一观察站A .某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40 km 的B 处;经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83km 的C 处.(1)求该轮船航行的速度(结果保留根号);(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸?请说明理由.25．（本题6分）数学拓展课程（玩转学具）课堂中，小陆同学发现，一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼在一起，点B ,C ,E 在同一直线上，若BC =2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．26.（8分）如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高2.0米，且AC =2.17米，设太阳光线与水平地面的夹角为α.当︒=60α时，测得楼房在地面上的影长AE =10米，现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳.（3取73.1）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当︒=45α时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.αN第25题图DMBAE C27.（6分）小宇想测量位于池塘两端的A 、B 两点的距离．他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，当行走到点C 处，测得∠ACF =45°，再向前行走100米到点D 处，测得∠BDF =60°．若直线AB 与EF 之间的距离为60米，求A 、B 两点的距离．28．（10分）在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC 海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O 、B 、C 处监控△OBC 海域，在雷达显示图上，军舰B 在军舰O 的正东方向80海里处，军舰C 在军舰B 的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r 的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC 海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r 至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A 从东部接近△OBC 海域，在某一时刻军舰B 测得A 位于北偏东60°方向上，同时军舰C 测得A 位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A 离△OBC 海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A 沿最短距离的路线以202海里/小时的速度靠近△OBC 海域，我军军舰B 沿北偏东15°的方向行进拦截，问B 军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A ？参考答案1.B2.B3.A4.B5.B6.C7.C8.A9.D 10.C 11.3412.30° 13.2 14. 21- 15. 等腰直角三角形 16.210 17.83318. 30° 19.(1)原式=3 (2)原式=1 20. 25BC =，25sin 5B ∠=. 21.(1)作如图辅助线，2s i n2MN MAN AM ∠==，解得10MN = (2)由题解得，103BN =，1010327.3AB ∴=+≈ 平均速度27.3÷3=9.1(米/秒)=32.76(千米/小时) 故，没有超速.22.(1)7tan 24α=,设7,24AD k PD k ==，25PA k ∴= 2k ∴=，14AD =.(2)塔高为24321- 23.1900CD =米24.(1)ABC ∆为直角三角形，22167BC AB AC =+=1小时20分=43小时，16712743∴=(2)能，理由：作如图辅助线，360∠=︒，430∴∠=︒83cos3012AS=︒=.25.26. （1）17.3 （2）可以晒到太阳27. 解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，∴CM=米，DN=米，∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=（40+20）米，即A、B两点的距离是（40+20）米．28. （1）在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，∴OC===100，∵OC=×100=50∴雷达的有效探测半径r至少为50海里．（2）作AM⊥BC于M，∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，∴∠CAB=90°，∴AB=BC=30，在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，∴BM=AB=15，AM=BM=15，∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15海里．（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，∵∠HBN=∠HNB=15°，∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，∴HN=HB=2x，MH=x，∵BM=15，∴15=x+2x，x=30﹣15，∴AN=30﹣30，BN==15（﹣），设B军舰速度为a海里/小时，由题意≤，∴a≥20．∴B军舰速度至少为20海里/小时．初中数学试卷金戈铁骑制作。

6.7用相似三角形解决问题(1)-苏科版九年级数学下册培优训练一、选择题1、在下面的图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是( )2、为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5 m的大视力表制作一个测试距离为3 m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高度是()A．3 cm B．2.5 cm C．2.3 cm D．2.1 cm3、如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，然后，后退至点B，从点A经平面镜刚好看到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )A．6米B．8米C．18米D．24米4、如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h应为( )A．2.7 m B．1.8 m C．0.9 m D．6 m5、如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：26、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，则建筑物CD的高是( )A．9.3 m B．10.5 m C．12.4 m D．14 m7、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为( )A．2.3 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m二、填空题8、小川和爸爸到公园散步，小川的身高是160 cm，爸爸的身高是180 cm，在同一时刻下，小川的影长为80 cm，则此时爸爸的影长为_______cm.9、如图，上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙两同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是_______米．10、某同学想利用相似三角形的有关知识来求一座铁塔的高度．某一时刻，他先测量出铁塔落在地面上的影长为14 m，然后在同一时刻立一根高2 m的标杆，测得标杆影长为0.5 m，那么铁塔的高度为______m.11、－天，小青在校园内发现：旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点处（如图所示）．如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高为______米．12、如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河宽AB＝_________m.13、路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌，有一天，小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上的E点处(如图)，已知BC＝5 m，正方形广告牌的边长为2 m，DE＝4 m，则此时电线杆的高度是____m.14、如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为m．15、如图所示，在阳光下，某一时刻大树AB的影子的顶端落在墙DE上的C点，同一时刻1.2m的标杆影长为3m．已知CD＝4m，BD＝6m．则大树的高度为m．16、如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝7米，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4米，DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为米．三、解答题17、小明想利用阳光下物体的影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻在地面上竖立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米．(1)请在图中画出此时旗杆AB在地面上的影长BF；(2)如果BF＝1.2米，求旗杆AB的高．18、如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小丽测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6 m，在墙面上的影长CD为2 m．同一时刻，小丽又测得直立于地面上长1 m 的标杆的影长为1.2 m．请你帮助小丽求出旗杆AB的高度．19、“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N 处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．20、在某一时刻测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.8 m，同时测得一棵树落在地面上的影长为2.4 m，落在坡面上的影长为3.2 m(如图)，此时身高是1.6 m的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，测得．求树的高度．6.7用相似三角形解决问题(1)-苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）一、选择题1、在下面的图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是 ( D )2、为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5 m的大视力表制作一个测试距离为3 m 的小视力表．如图，如果大视力表中“E ”的高度是3.5 cm ，那么小视力表中相应“E ”的高度是( )A ．3 cmB ．2.5 cmC ．2.3 cmD ．2.1 cm[解析] 如图，由题意得CD ∥AB ，∴CD AB ＝DE BE. ∵AB ＝3.5 cm ，BE ＝5 m ，DE ＝3 m ，∴CD 3.5＝35， ∴CD ＝2.1 cm.故选D.3、如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，然后，后退至点B ，从点A 经平面镜刚好看到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2米，BP ＝1.8米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度是 ( B )A ．6米B ．8米C ．18米D ．24米4、如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h 应为( A )A ．2.7 mB ．1.8 mC ．0.9 mD ．6 m5、如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ，BC 的中点M ，N ，并测量出MN 的长为12m ，由此他就知道了A 、B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ D ）A ．AB =24m B ．MN ∥ABC ．△CMN ∽△CABD ． CM ：MA =1：26、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，则建筑物CD的高是( B)A．9.3 m B．10.5 m C．12.4 m D．14 m7、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为( A )A．2.3 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m二、填空题8、小川和爸爸到公园散步，小川的身高是160 cm，爸爸的身高是180 cm，在同一时刻下，小川的影长为80 cm，则此时爸爸的影长为__90______cm.9、如图，上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙两同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是__6 _____米．10、某同学想利用相似三角形的有关知识来求一座铁塔的高度．某一时刻，他先测量出铁塔落在地面上的影长为14 m，然后在同一时刻立一根高2 m的标杆，测得标杆影长为0.5 m，那么铁塔的高度为____56___m.11、－天，小青在校园内发现：旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点处（如图所示）．如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高为__3.3 _____米．12、如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河宽AB＝__100 ________m.13、路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌，有一天，小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上的E点处(如图)，已知BC＝5 m，正方形广告牌的边长为2 m，DE＝4 m，则此时电线杆的高度是___5__m.14、如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为9m．15、如图所示，在阳光下，某一时刻大树AB的影子的顶端落在墙DE上的C点，同一时刻1.2m的标杆影长为3m．已知CD＝4m，BD＝6m．则大树的高度为m．【解答】解：作CF⊥AB于F，如图，易得四边形BDCF为矩形，∴CF＝BD＝6，BF＝CD＝4，∵同一时刻1.2m的标杆影长为3m，∴＝，即＝，解得AF＝3.2，∴AB＝AF+BF＝3.2+4＝7.2（m）．故答案为7.2．16、如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝7米，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4米，DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为米．【解答】解：如图所示，连接AC，过点D作DF∥AC交地面于点F，即＝∵同一时刻物高与物高的比等于影长与影长的比，∴＝,∴DE＝．则DE的长为米．故答案为．三、解答题17、小明想利用阳光下物体的影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻在地面上竖立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米．(1)请在图中画出此时旗杆AB在地面上的影长BF；(2)如果BF＝1.2米，求旗杆AB的高．(2)∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED.又∵∠ABF＝∠CDE＝90°，∴△ABF∽△CDE，∴ABCD＝BFDE，解得AB＝6米．答：旗杆AB的高为6米．18、如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小丽测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6 m，在墙面上的影长CD为2 m．同一时刻，小丽又测得直立于地面上长1 m 的标杆的影长为1.2 m．请你帮助小丽求出旗杆AB的高度．⊥AB于点E.∵EB⊥BC，DC⊥BC，∴四边形BCDE为矩形，∴DE＝BC＝9.6 m，BE＝DC＝2 m.∵同一时刻物高与影长成比例，∴11.2＝AE9.6，解得AE＝8，∴AB＝8＋2＝10(m)．答：旗杆AB的高度为10 m.19、“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N 处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．【解答】解：设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴．同理，△EMF∽△AMB，∴．∵EF＝CD，∴，即．解得x＝6.6，∵，∴．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．20、在某一时刻测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.8 m，同时测得一棵树落在地面上的影长为2.4 m，落在坡面上的影长为3.2 m(如图)，此时身高是1.6 m的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，测得他的影长为2 m．求树的高度．解：如图，设AB为树的高度，BC为树落在地面上的影子，CD为树落在坡面上的影子，则BC＝2.4 m，CD＝3.2 m.作过点A，C的一束平行光线AD，EC，EC交AB于点E，作CF⊥BC于点C，交AD于点F，易知四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF.由题意得10.8＝BE2.4，解得BE＝3 m，1.62＝CF3.2，解得CF＝2.56 m，∴AB＝AE＋BE＝CF＋BE＝5.56 m. 答：树的高度为5.56 m.。

苏科版九年级数学下册《6.5 相似三角形的性质》同步练习题-附带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若两个相似三角形的面积比是9：16，则它们的相似比是（）A．9：16 B．16：9 C．81：256 D．3：42．两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之差为25cm2，则较大三角形的面积是（）A．75cm2B．65cm2C．50cm2D．45cm23．如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于点D，E，若＝，则下列说法不正确的是（）A．ADAB ＝AEACB．AEEC＝23C．DEBC ＝23D．S△ADES△四边形DBCE＝4214．如图，有一锐角为30°的三角尺，它的内外两个三角形是相似的.三角尺的斜边长为12cm，其内部三角形的最短边长为3cm，则这个三角尺内外两个三角形的面积比为（）A．1：√3B．1：2C．1：3D．1：45．如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（）A．√S B．√2S C．14S D．12S6．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝6，DC＝8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（）个．A．1 B．2 C．3 D．47．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（）A．EH=HGB．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BDD．ΔABO的面积是的面积的2倍8．如图所示，在矩形ABCD中，点F是 BC的中点，DF的延长线与AB的延长线相交于点E，DE与AC相交于点O，若，则（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题9．已知△ABC与ΔA'B'C'相似，并且点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'是对应顶点，其中∠A＝80°，∠B'＝60°，则∠C＝度．10．如图，平分且，则当BD=时，.11．如图，已知在△ABC 中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E，F 分别在AB，AC 上，AD 交EF 于点N，则AN 的长为.12．如图，在直角坐标系中，有两个点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C坐标为时，使得由B、O、C三点组成的三角形和△AOB相似．13．如图，直角三角形BCF中，在线段上取一点，作交于点，现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为.若，则AD=.三、解答题14．如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，且相似比为，试求AD、AE的长．15．如图，D、E分别是AC、AB上的点△ADE∼△ABC，DE=8，BC=24，AD=6，∠B=70°求AB的长和∠ADE的度数．16．如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q 从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC相似？试说明理由．17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6√3，BD=3．（1）求∠A的度数；（2）求BC的长及△ABC的面积．18．如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F．（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．答案1．D2．D3．C4．D5．C6．B7．B8．C9．4010．√611．2012．（-1，0）或者（1，0）或者（-4，0）13．3.214．解答：当△ABC ∽△ADE 时，相似比为 ， ＝ ＝ ，即： ＝ ＝ 解得：AD=2，AE=1.5；当△ABC ∽△AED 时，＝ ＝ ，即： ＝ ＝ ，解得：AD=1.5，AE=2．15．解：∵△ADE ∽△ABC∴AD AB =DE BC∵AD =6，DE =8，BC =24∴6AB =824∴AB =18∴AB =18，∠ADE =70°． 16．解：设经过t 秒两三角形相似，则AP=AB ﹣BP=8﹣2t ，AQ=4t ，①AP 与AB 是对应边时，∵△APQ 与△ABC 相似，∴AP AB =AQ AC 即8−2t 8=4t 16解得t=2，②AP 与AC 是对应边时，∵△APQ 与△ABC 相似∴AP AC =AQ AB 即8−2t 16=4t 8解得t=45，综上所述，经过45或2秒钟，△APQ 与△ABC 相似．17．解：（1）∵∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D∴AC 2=AD •AB ，即（6√3）2=AD •（AD+3）整理得AD 2+3AD ﹣108=0，解得AD=9或AD=﹣12（舍去） 在Rt △ACD 中，∵cosA=AD AC =6√3=√32∴∠A=30°；（2）∵AB=AD+BD=9+3=12而∠A=30°∴BC=12AB=6∴S △ABC =12•AC •BC=12•6√3•6=18√3．18．（1）解：∵点E 是AB 的中点，OA=2，AB=4∴点E 的坐标为（2，2）将点E 的坐标代入y=，可得k=4即反比例函数解析式为：y=∵点F 的横坐标为4∴点F 的纵坐标==1故点F 的坐标为（4，1）（2）解：由折叠的性质可得：BE=DE ，BF=DF ，∠B=∠EDF=90° ∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°∴∠CDF=∠GED又∵∠EGD=∠DCF=90°∴△EGD ∽△DCF结合图形可设点E 坐标为（，2），点F 坐标为（4，） 则CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB ﹣AE=4﹣在Rt △CDF 中，CD===∵CD GE =DF ED ，即= ∴√4−k =1解得：k=3。

第6章　图形的相似6.5　相似三角形的性质基础过关全练知识点1　相似三角形的性质1.【一题多解】(2022江苏连云港中考)△ABC 的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形DEF ,其最长边长为12,则△DEF 的周长是( )A.54B.36C.27D.212.【教材变式·P 74T 2】(2022广西贺州中考)如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,DE =2,BC =5,则S △ADE ∶S △ABC 的值是( )A.325B.425C.25D.353.(2023山东聊城月考改编)如果两个相似三角形的面积比为4∶9,那么它们的对应边上中线的比为 .4.(2023山东济南高新区期末)如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC =120 mm,高AD =80 mm,要把它加工成矩形零件PQMN ,使一边在BC 上,其余两个顶点分别在边AB 、AC 上.(1)当点P 恰好为AB 的中点时,PQ = ;(2)当PQ =40 mm 时,求出PN 的长度;(3)若PN∶PQ=1∶2,则这个矩形的长、宽各是多少?知识点2　相似多边形的性质5.(2023山东青岛李沧期中)将等边三角形、菱形、矩形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长,得到如图所示的4组图形,变化前后的两个多边形一定相似的有( )A.1组B.2组C.3组D.4组6.(2023湖南常德临澧期中)某校有两块相似的多边形草坪,其面积比为9∶4,其中较大的一块草坪的周长是36米,则另一块草坪的周长是 .7.【新独家原创】某图案上有五个五角星,其中大五角星的边长是小五角星边长(4个小五角星一样大)的3倍,那么大五角星的面积与4个小五角星面积和的比是 .8.小李准备进行如下的操作,把一根长50 cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个长、宽不等的矩形,两矩形相似且相似比为2∶3.　(1)要使这两个矩形的面积之和为78 cm 2,则较小矩形的长、宽各是多少?(2)小李认为这两个矩形的面积和不可能为91 cm 2,你同意吗?说明理由.能力提升全练9.(2021西藏中考,11,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,△AOB 的面积为278,BA 垂直x 轴于点A ,OB 与双曲线y =k x (k ≠0)相交于点C ,且BC ∶OC =1∶2,则k 的值为( )A.-3B.-94C.3D.9210.【一题多变】(2020四川内江中考,7,★★☆)如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 和AC 的中点,S 四边形BCED =15,则S △ABC =( )A.30B.25C.22.5D.20[变式1](2022湖南郴州模拟,14,★★☆)如图,在△ABC中,DE ∥BC ,DE BC =23,△ADE 的面积是8,则四边形BCED 的面积为 .[变式2](2023吉林长春德惠期末,13,★★☆)如图,在△ABC 中,点D 在AB 上,点E 在AC 上,∠ADE =∠C ,四边形DBCE 的面积是△ADE 面积的3倍.若DE =3,则BC 的长为 .11.【新考法】(2023山东济南历下期中,7,★★☆)图1是装满了液体的高脚杯,用去部分液体后,放在水平的桌面上,如图2所示,此时液面距离杯口的距离h 为( )图1图2A.85 cmB.2 cmC.125 cmD.3 cm12.【易错题】(2022浙江绍兴中考,10,★★☆)将一张以AB 为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ,其中∠A =90°,AB =9,BC =7,CD =6,AD =2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( )A.252B.454C.10D.354素养探究全练13.【推理能力】(2021山东青岛中考)如图,已知正方形ABCD 的边长为3,E 为CD 上一点,连接AE 并延长,交BC 的延长线于点F ,过点D 作DG ⊥AF ,交AF 于点H ,交BF 于点G ,N 为EF 的中点,M 为BD 上一动点,连接MC ,MN.若S △DCG S △FCE =14,则MN +MC 的最小值为 .答案全解全析基础过关全练1.C　解法一:设2对应的边长是x,3对应的边长是y,∵△ABC∽△DEF,∴2x =3y=412,∴x=6,y=9,∴△DEF的周长是6+9+12=27.解法二:∵△ABC∽△DEF,∴C△ABCC△DEF =412,∴2+3+4C△DEF=13,∴C△DEF=27.故选C.2.B　∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵DE=2,BC=5,∴S△ADE∶S△ABC的值为425,故选B.3.答案2∶3解析　∵相似三角形的面积比等于相似比的平方,面积比为4∶9,∴对应边上中线的比=相似比=2∶3,故答案为2∶3.4.解析　(1)60 mm.详解:∵四边形PQMN为矩形,∴PQ∥MN,即PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC,∴PQBC =APAB.∵点P恰好为AB的中点,∴AP=12AB,∴PQ=12BC=12×120=60(mm).(2)设AD与PQ交于点H(图略).∵PQ∥BC,AD⊥BC,∴PQ⊥AD,由(1)知△APQ∽△ABC,∴AHAD =PQBC,∴AH80=40120,∴AH=803mm,∴PN=HD=1603mm.(3)设PN=x mm,∵PN∶PQ=1∶2,∴PQ=2x mm,由(2)知PQBC =AHAD,∵PQ=2x mm,AD=80 mm,BC=120 mm,HD=PN=x mm,∴2x120=80―x80,解得x=2407,∴2x=4807.答:矩形的长为4807mm,宽为2407mm.5.C　由题意得,等边三角形角对应相等,边对应成比例,两个三角形相似;菱形四条边均相等,所以边对应成比例,角也相等,所以两个菱形相似;矩形四个角均相等,但边不一定成比例,所以两个矩形不一定相似;正方形四条边均相等,所以边对应成比例,角也相等,所以正方形相似.故选C.6.答案24米解析　∵面积比为9∶4,∴相似比为3∶2,设另一块草坪的周长为x米,当较大的草坪的周长是36米时,36∶x=3∶2,解得x=24,故答案为24米.7.答案9∶4解析　∵大五角星的边长是小五角星边长的3倍,大五角星和小五角星是相似图形,∴相似比是3∶1,∴一个大五角星和一个小五角星面积的比是32∶12=9∶1,∴大五角星的面积与4个小五角星面积和的比是9∶4.8.解析　(1)∵两矩形相似且相似比为2∶3,∴两矩形的周长的比为2∶3,两矩形的面积的比为4∶9,∴较小矩形的周长为50×22+3=20(cm),较小矩形的面积为78×44+9=24(cm2),设较小矩形的一边长为x cm,则与其相邻的边长为(10-x)cm,∴x(10-x)=24,整理得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.答:较小矩形的长为6 cm,宽为4 cm.(2)同意.理由如下:由(1)知较小矩形的周长为20 cm,假设两个矩形的面积和为91 cm 2,则较小矩形的面积为91×44+9=28(cm 2),设较小矩形的一边长为x cm,则与其相邻的边长为(10-x )cm,∴x (10-x )=28,整理得x 2-10x +28=0,∵Δ=(-10)2-4×28=-12<0,∴方程没有实数解,∴这两个矩形的面积和不可能为91 cm 2.能力提升全练9.A 如图,过C 作CD ⊥x 轴于D ,∵BC OC =12,∴OC OB =23,∵BA ⊥x 轴,∴CD ∥AB ,∴△DOC ∽△AOB ,∴S △DOC S △AOB ===49,∵S △AOB =278,∴S △DOC =49S △AOB =49×278=32,∵双曲线y =kx 位于第二象限,∴k =-2×32=-3,故选A.10.D ∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点,∴DE ∥BC ,DE =12BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∴S △ADE S △ABC ==14,∴S △ADE ∶S 四边形BCED =1∶3,即S △ADE ∶15=1∶3,∴S △ADE =5,∴S △ABC =5+15=20.故选D.[变式1]　答案 10解析　∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵DEBC =23,∴S△ADES△ABC==49,∵△ADE的面积是8,∴△ABC的面积是18,∴四边形BCED的面积=△ABC的面积-△ADE的面积=18-8=10,故答案为10.[变式2]　答案6解析　∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∵四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍,∴S△ABC=S△ADE+3S△ADE=4S△ADE,∴S△ADES△ACB =14,∴DEBC =12,∴BC=2DE=6.故答案为6.11.A　如图,过O作ON⊥CD于N,交AB于M,∵CD∥AB,∴OM⊥AB,∵OC=OD,∴CN=12CD=3 cm,∴ON=OC2―CN2=52―32=4(cm),　∵CD∥AB,∴△CDO∽△ABO,∴OAOC =OMON,∴35=OM4,∴OM=125cm,∴h=4-125=85(cm),故选A.12.A　①如图所示(四边形ABEF为矩形),由已知可得,△DFE ∽△ECB ,则DF EC =FE CB =DE EB ,设DF =x ,CE =y ,则x y =97=6+y 2+x ,解得x =274,y =214,∴DE =CD +CE =6+214=454,故选项B 不符合题意;EB =DF +AD =274+2=354,故选项D 不符合题意.②如图所示(四边形ABEF 为矩形),由已知可得,△DCF ∽△FEB ,则DC FE =CF EB =DF FB ,设FC =m ,FD =n ,则69=mn +2=nm +7,解得m =8,n =10,∴FD =10,故选项C 不符合题意,BF =FC +BC =8+7=15.③如图所示(四边形ABEF 为矩形),此时两个直角三角形的斜边长为6和7.故选A.素养探究全练13.答案 210解析　连接AM (图略),∵四边形ABCD 是正方形,∴A 点与C 点关于BD 对称,∴CM =AM ,∴MN +CM =MN +AM ≥AN ,∴当A 、M 、N 三点共线时,MN +CM 的值最小,最小值为AN 的长.∵AD ∥CF ,∴∠DAE =∠F ,∵DG ⊥AF ,∴∠CDG +∠DEH =90°,∵∠DAE +∠DEH =90°,∴∠DAE =∠CDG,∴∠CDG=∠F,∵∠DCG=∠ECF=90°,∴△DCG∽△FCE,∵S△DCG S△FCE =14,∴CDCF=12,∵正方形ABCD的边长为3,∴CF=6,∵AD∥CF,∴AD CF =DECE=12,∴DE=1,CE=2,在Rt△CEF中,EF2=CE2+CF2,∴EF=22+62=210,∵N是EF的中点,∴EN=10,在Rt△ADE 中,AE2=AD2+DE2,∴AE=32+12=10,∴AN=210,∴MN+MC的最小值为210.。

第13讲相似三角形的性质【思维入门】1．如图4－13－1，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连结BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是()A．1∶2B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5图4－13－1 图4－13－22．如图4－13－2，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，AD＝1，BC ＝4，则△AOD与△BOC的面积比等于()A.12 B.14 C.18 D.1163．如图4－13－3，点D是△ABC的边BC上任一点，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B.若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为()A．a B.12a C.13a D.25a图4－13－3 图4－13－44．如图4－13－4，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC 于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE交AE于G，BG＝42，则△EFC的周长为() A．11 B．10 C．9 D．85．如图4－13－5，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1____S2＋S3(用“＞”“＝”“＜”填空)；(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．图4－13－5【思维拓展】6．如图4－13－6，Rt △OAB 的顶点O 与坐标原点重合，∠AOB ＝90°，AO ＝2BO ，当A 点在反比例函数 y ＝1x (x >0)的图象上移动时，B 点坐标满足的函数解析式为( ) A ．y ＝－18x (x <0) B ．y ＝－14x (x <0) C ．y ＝－12x (x <0)D ．y ＝－1x (x <0)图4－13－6 图4－13－7 图4－13－87．如图4－13－7，四边形ABCD ，CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连结BG ，DE ，DE 和FG 相交于点O .设AB ＝a ，CG ＝b (a ＞b )．下列结论： ①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③DG GC ＝GOCE ；④(a －b )2·S △EFO ＝b 2·S △DGO .其中结论正确的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．18．如图4－13－8，AB ＝4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE ＝12DB ，作EF ⊥DE 并截取EF ＝DE ，连结AF 并延长交射线BM 于点C .设BE ＝x ，BC ＝y ，则y 与x 的函数解析式是 ( )A ．y ＝－12x x －4 B ．y ＝－2x x －1 C ．y ＝－3x x －1 D ．y ＝－8xx －49．如图4－13－9，将透明三角形纸片P AB 的直角顶点P 落在第四象限，顶点A ，B 分别落在反比例函数y ＝kx 的图象的两支上，且PB ⊥x 轴于点C ，P A ⊥y 轴于点D ，AB分别与x轴、y轴相交于点E，F.已知B(1，3)．(1)k＝____；(2)试说明AE＝BF；(3)当四边形ABCD的面积为214时，求点P的坐标．图4－13－910．如图4－13－10，在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连结AD.问题引入：(1)如图4－13－10①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD∶S△ABC＝____；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD∶S△ABC＝____(用图中已有线段表示)．探索研究：(2)如图4－13－10②，在△ABC中，O是线段AD上一点(不与点A，D重合)，连结BO，CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：(3)如图4－13－10③，O是线段AD上一点(不与点A，D重合)，连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E.试猜想ODAD＋OECE＋OFBF的值，并说明理由．图4－13－10【思维升华】11．如图4－13－11，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形，∠ADE ＝90°，则BE 的长为 ( ) A ．4－2 3B ．2－3 C.12(3－1)D.3－1图4－13－1112．如图4－13－12，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AE 垂直于AB 边上的中线CD ，交BC 于点E ； (1)求证：AC 2＝BC ·CE ；(2)若CD ＝3，AE ＝4，求边AC 与BC 的长．图4－13－12答案：第13讲相似三角形的性质【思维入门】1．如图4－13－1，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连结BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是(A)图4－13－1A．1∶2B．1∶3C．1∶4 D．1∶52．如图4－13－2，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，AD＝1，BC ＝4，则△AOD与△BOC的面积比等于(D)图4－13－2A.12 B.14C.18 D.1163．如图4－13－3，点D是△ABC的边BC上任一点，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B.若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为(C)图4－13－3A．a B.12a C.13a D.25a【解析】∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB＝4，AD＝2，∴AD BA ＝AC BC ＝12，∴△ACD 的面积∶△ABC 的面积为1∶4， ∴△ACD 的面积∶△ABD 的面积＝1∶3， ∵△ABD 的面积为a ，∴△ACD 的面积为13a .4．如图4－13－4，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，BG ⊥AE 交AE 于G ，BG ＝42，则△EFC 的周长为( D )图4－13－4A ．11B ．10C ．9D ．8【解析】 依题意，可知△ADF 是等腰三角形，△ABE 是等腰三角形， ∵AD ∥BC ，∴△EFC 是等腰三角形，且CF ＝CE ，∴EC ＝FC ＝DF －DC ＝9－6＝3，CE BE ＝12， 在△ABG 中，BG ⊥AE ，AB ＝6，BG ＝42， ∴AG ＝AB 2－BG 2＝2，∴AE ＝2AG ＝4，∴△ABE 的周长等于16，又∵△CEF ∽△BEA ，相似比为1∶2， ∴△CEF 的周长为8.5．如图4－13－5，矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C .图4－13－5(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1__＝__S 2＋S 3(用“＞”“＝”“＜”填空)；(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明． 解：(1)∵四边形BDEF 是矩形， ∴BF ＝DE ，BD ＝EF .∵S 2＋S 3＝12×BF ×CF ＋12×DE ×CE ，∴S 2＋S 3＝12×DE ×(CE ＋CF )＝12×DE ×EF .∵S 1＝12×DE ×BD ， ∴S 2＋S 3＝S 1.(2)△BCD ∽△DEC ；△BCD ∽△CFB ；△DEC ∽△CFB . 选证△BCD ∽△CFB ，理由如下： 在矩形ABCD 和矩形BDEF 中， ∠DBF ＝∠F ＝∠BCD ＝90°，∴∠DBC ＋∠CBF ＝∠BCF ＋∠CBF ＝90°， ∴∠DBC ＝∠BCF ， ∴△BCD ∽△CFB.选证△BCD ∽△DEC ，理由如下： 在矩形ABCD 和矩形BDEF 中， ∠E ＝∠BCD ＝90°，且BD ∥EF ， ∴∠BDC ＝∠DCE ， ∴△BCD ∽△DEC .选证△DEC ∽△CFB ，理由如下： 在矩形ABCD 和矩形BDEF 中， ∠E ＝∠F ＝∠BCD ＝90°，∴∠BCF ＋∠CBF ＝∠BCF ＋∠DCE ＝90°， ∴∠CBF ＝∠DCE ， ∴△DEC ∽△CFB .【思维拓展】6．如图4－13－6，Rt △OAB 的顶点O 与坐标原点重合，∠AOB ＝90°，AO ＝2BO ，当A 点在反比例函数 y ＝1x (x >0)的图象上移动时，B 点坐标满足的函数解析式为 ( B )图4－13－6A ．y ＝－18x (x <0) B ．y ＝－14x (x <0) C ．y ＝－12x (x <0)D ．y ＝－1x (x <0)【解析】 如答图，分别过点A ，B 分别做y 轴的垂线AN ，BM ，那么△ANO ∽△OMB ，则S △ANO S △OMB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2＝4.第6题答图∵S △ANO ＝12ON ×AN ＝12， ∴S △OMB ＝18，∴OM ×BM ＝14，故y ＝－14x .7．如图4－13－7，四边形ABCD ，CEFG 都是正方 形，点G 在线段CD 上，连结BG ，DE ，DE 和FG 相交于点O .设AB ＝a ，CG ＝b (a ＞b )．下列结论： ①△BCG ≌△DCE ； ②BG ⊥DE ； ③DG GC ＝GOCE ；④(a －b )2·S △EFO ＝b 2·S △DGO .其中结论正确的个是 ( B ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【解析】 ①由BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCG ＝∠DCE 可证 △BCG ≌△DCE (SAS )，故①正确；②延长BG 交DE 于点H ，由①可得∠CDE ＝∠CBG ，∠DGH ＝∠BGC (对顶角)， ∴∠BCG ＝∠DHG ＝90°，故②正确；③由△DGO ∽△DCE 可得DG DC ＝GOCE ，故③不正确； ④△EFO ∽△DGO ，S △EFO S △DGO 等于相似比的平方，即S △EFO S △DGO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EF DG 2＝b 2（a －b ）2，∴(a －b )2·S △EFO ＝b 2·S △DGO ，故④正确．8．如图4－13－8，AB ＝4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E在射线BM上，BE＝12DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连结AF并延长交射线BM于点C.设BE＝x，BC＝y，则y与x的函数解析式是(A)图4－13－8A．y＝－12xx－4B．y＝－2xx－1C．y＝－3xx－1D．y＝－8xx－4【解析】如答图，作FG⊥BC交BC于G，第8题答图∵∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠BDE＝90°；∴∠BDE＝∠FEG，∵DE＝EF，∠B＝∠FGE＝90°，∴△DBE≌△EGF，∴EG＝DB，FG＝BE＝x，∴EG＝DB＝2BE＝2x，∴GC＝y－3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG∶BC＝FG∶AB，即x4＝y－3x y，∴y＝－12x x－4.9．如图4－13－9，将透明三角形纸片P AB的直角顶点P落在第四象限，顶点A，B分别落在反比例函数y＝kx的图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，P A⊥y轴于点D，AB 分别与x轴、y轴相交于点E，F.已知B(1，3)．图4－13－9(1)k ＝__3__；(2)试说明AE ＝BF ； (3)当四边形ABCD 的面积为214时，求点P 的坐标． 解：(2)∵B (1，3)，∴设点P 的坐标为(1，m )，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，m ，∴直线AB 的解析式为y ＝－mx ＋(m ＋3)，∴E (3m ＋1，0)，F (0，m ＋3)， ∴AE ＝1＋m 2，BF ＝1＋m 2，即AE ＝BF ；(3)∵AP ＝1－3m ，DP ＝1，BP ＝3－m ，PC ＝－m ， ∴DP AP ＝PC PB ＝m m －3，且∠P ＝∠P ＝90°，∴△PCD ∽△PBA ，∴S △PCD S △PBA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m －32，即S △PCD S 四边形ABCD ＝m 2－6m ＋9＝－12m 214，∴m ＝－2，∴P (1，－2)．10．如图4－13－10，在△ABC 中，D 是BC 边上的点(不与点B ，C 重合)，连结AD . 问题引入：(1)如图4－13－10①，当点D 是BC 边上的中点时，S △ABD ∶S △ABC ＝__1∶2__；当点D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ∶S △ABC ＝__BD ∶BC __(用图中已有线段表示)． 探索研究：(2)如图4－13－10②，在△ABC 中，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连结BO ，CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由． 拓展应用：(3)如图4－13－10③，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连结BO 并延长交AC 于点F ，连结CO 并延长交AB 于点E .试猜想OD AD ＋OE CE ＋OFBF 的值，并说明理由．图4－13－10解：(2)猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于OD ∶AD .证明：分别过O ，A 做BC 的垂线OE ，AF ，垂足为E ，F ，如答图．∵OE ∥AF ，∴△OED ∽△AFD ，∴OD AD ＝OE AF ，∵S △BOC ＝12·BC ·OE ，S △ABC ＝12·BC ·AF ，∴S △BOC ∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·BC ·OE ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫12·BC ·AF ＝OE ∶AF ＝OD ∶AD . (3)猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF 的值是1.从(2)可知：OD AD ＋OE CE ＋OF BF ＝S △BOC S △ABC ＋S △BOA S △ABC ＋S △AOC S △ABC ＝S △BOC ＋S △BOA ＋S △AOC S △ABC＝S △ABC S △ABC＝1. 【思维升华】11．如图4－13－11，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在BC 上，E在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形，∠ADE ＝90°，则BE 的长为 ( A )图4－13－11A ．4－2 3B ．2－3C.12(3－1)D.3－1【解析】 如答图，过E 作EF ⊥BC 于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB .第11题答图设EF＝x，则BE＝2x，AE＝2－2x，DE＝2(1－x)，DF＝AC＝1.故12＋x2＝[2(1－x)]2，即x2－4x＋1＝0.又0<x<1.故可得x＝2－ 3.故BE＝2x＝4－2 3.12．如图4－13－12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE垂直于AB边上的中线CD，交BC于点E；(1)求证：AC2＝BC·CE；(2)若CD＝3，AE＝4，求边AC与BC的长．图4－13－12解：(1)证明：∵CD是AB边上的中线，∴CD＝DB，∠ABC＝∠DCB＝∠CAE，第12题答图∠ACB＝∠ECA＝90°，∴△ACB∽△ECA，∴ACEC＝CBCA，∴AC2＝BC·CE.(2)解法一：∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝AD＝BD＝3，∴AB＝6，∴AC2＋BC2＝AB2＝36.如答图，取BC的中点F，连结DF，则DF∥AC，∠DFC＝∠ECA＝90°，∵∠CDF＋∠DCF＝∠DCF＋∠AEC＝90°，∴∠CDF＝∠AEC，∴△DFC∽△ECA，∴DCEA＝FCCA，∴BCCA＝2FCCA＝2CDAE＝32，故可解得AC＝121313，BC＝181313.解法二：∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝AD＝BD，∴AB＝6，∴AC2＋BC2＝AB2＝36.由(1)知△ACB∽△ECA，∴BCAC＝ABEA＝64＝32，故可解得AC＝121313，BC＝181313.。