整式的乘除与因式分解知识点全面

整式是一个或多个代数式的和、差或积。

整式的乘除与因式分解是数学中非常重要的概念，是解决各种代数问题的基础。

本文将详细介绍八年级上数学中整式的乘除与因式分解的基本知识点。

一、整式的乘法1.1 单项式的乘法：单项式的乘法是指单项式与单项式之间的乘法。

例如：2x ×3y = 6xy，-4a^2 × 5b^3 = -20a^2b^31.2多项式的乘法：多项式的乘法是指多项式与多项式之间的乘法。

例如：(3x+2)(x-1)=3x^2+x-2二、整式的除法2.1 单项式的除法：单项式的除法是指单项式除以单项式。

例如：4x^2 ÷ x = 4x，10a^3b^2 ÷ 2ab = 5a^2b。

2.2多项式的除法：多项式的除法是指多项式除以多项式。

例如：(12x^3+9x^2+3x)÷3x=4x^2+3x+1三、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的形式，其中每个整式都是原来整式的因式。

例如：12x^2+8xy，将其因式分解为4x(3x+2y)。

3.1 提取公因式：如果一个整式的每一项都能被同一个整式整除，那么这个公因式就是整式的一个因子。

例如：12x^2+8xy，公因式是4x。

3.2分解差的平方：差的平方是指形如"一个数的平方减另一个数的平方"的表达式。

例如：x^2-9，可因式分解为(x-3)(x+3)。

3.3 分解二次三项式：二次三项式是指形如"一个平方项加两个相同系数的次项"的表达式。

例如：x^2+2xy+y^2，可因式分解为(x+y)^2四、习题例析例1：将多项式4x^2+16x因式分解。

解：这个多项式2x的平方加4x的倍数，所以可以因式分解为4x(x+4)。

例2：将多项式a^2-9因式分解。

解：由差的平方公式可得，a^2-9=(a-3)(a+3)。

例3：将多项式4x^2y^2-8xy^2因式分解。

整式乘除一、回顾知识点1、基本概念（1）单项式：像x 、7、y x 22，这种数与字母的积叫做单项式。

单独一个数或字母也是单项式。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。

（2）多项式：几个单项式的代数和叫做多项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。

一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

不含字母的项叫常数项。

升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。

（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

2、整式的乘法（1）、同底数的幂相乘法则：底数（ 不变 ），指数（ 相加 ）（2）、幂的乘方法则：底数（ 不变 ），指数（ 相乘 ）（3）、积的乘方积的乘方法则：()n ab =（ n n b a ），即：积的乘方等于乘方的积。

（4）、同底数的幂相除同底数幂相除，底数（ 不变 ），指数（ 相减 ）。

（5）、任何不等于零的数的零次幂都等于1，即()010≠=a a 任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即 ()是正整数p a a a pp ,01≠=- （6）、单项式乘以单项式法则：单项式和单项式相乘，系数与系数相乘，相同字母的幂分别相乘；对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

（7）、单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。

用式子表示为：()mc mb ma c b a m ++=++（8）、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：()()nb na mb ma b a n m +++=++。

整式的乘除与因式分解1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

bc a 22-的 系数为 ，次数为 ，单独的一个非零数的次数是 。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

122++-x ab a ，项有 ，二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，各项次数分别为 ，系数分别为 ，叫 次 项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列： 按y 的升幂排列： 按x 的降幂排列： 按y 的降幂排列：5、同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

例1.若6422=-a ，则a= ；若8)3(327-=⨯n ，则n= .例2.若125512=+x ，则 x x +-2009)2(的值为 。

例3 .设4x =8y-1,且9y =27x-1,则x-y 等于 。

6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a)()(== 如：23326)4()4(4==7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

（523)2z y x -=8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)m n > 同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷9、零指数和负指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

以下是为⼤家整理的关于初⼆数学整式的乘除与因式分解知识点总结的⽂章，供⼤家学习参考！⼀.定义1.整式乘法(1).am·an=am+n[m,n都是正整数]同底数幂相乘,底数不变,指数相加.(2).(am)n=amn[m,n都是正整数]幂的乘⽅,底数不变,指数相乘.(3).(ab)n=anbn[n为正整数]积的乘⽅,等于把积的每⼀个因式分别乘⽅,再把所得的幂相乘.(4).ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在⼀个单项式⾥含有的字母,则连同它的指数作为积的⼀个因式.(5).m(a+b+c)=ma+mb+mc单项式与多项式相乘,就是⽤单项式去乘多项式的每⼀项,再把所得的积相加,(6).(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多项式与多项式相乘,先⽤⼀个多项式的每⼀项乘另⼀个多项式的每⼀项,再把所得的积相乘.2.乘法公式(1).(a+b)(a-b)=a2-b2平⽅差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平⽅差.(2).(a±b)2=a2±2ab+b2完全平⽅公式:两数和[或差]的平⽅,等于它们的平⽅和,加[或减]它们积的2倍.3.整式除法(1)am÷an=am-n[a≠0,m,n都是正整数,且m>n]同底数幂相除,底数不变,指数相减.(2)a0=1[a≠0]任何不等于0的数的0次幂都等于1.(3)单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式⾥含有的字母,则连同它的指数作为商的⼀个因式.(4)多项式除以单项式,先把这个多项式的每⼀项除以这个单项式,再把所得的商相加.4.把⼀个多项式化成⼏个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.⼆.重点1.(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq2.x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)3.因式分解两种基本⽅法:(1)提公因式法.提取:数字是各项的公约数,各项都含的字母,指数是各项中最低的.(2)公式法.①a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平⽅差,等于这两个数的和与这两个数的差的积②a2±2ab+b2=(a±b)2两个数的平⽅和加上[或减去]这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平⽅.。

整式的乘除及因式分解知识点归纳整式是指由字母和常数经过加、减、乘、除运算得到的代数式。

乘除整式的运算及因式分解是代数学中非常基础和重要的知识点，下面将对乘除整式及因式分解的相关知识进行归纳。

一、乘法运算乘法运算是整式运算中最基本的运算。

在乘法运算中，有以下几个重要的法则：1.乘法交换律：a*b=b*a2.乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)3.分配律：a*(b+c)=a*b+a*c4.单项式相乘法则：单项式相乘时，将各个单项式的系数相乘，同类项的指数相加。

例子：(2x^2)(3x^3)=2*3*x^2*x^3=6x^(2+3)=6x^5二、除法运算除法运算是整式运算中的一种重要运算。

除法运算可分为两种情况：1.恒等除法：当被除式为0时，整式除以0是没有意义的。

即0除以0没有定义。

2.非恒等除法：非零整式除以非零整式时，被除式乘以除数的倒数。

例子：(4x^4)/(2x^2)=4/2*x^4/x^2=2x^(4-2)=2x^2三、因式分解因式分解是指将一个整式表示为几个其它整式相乘的结果，称这些整式为原式的因式。

1.提取公因式：将一个整式的公因式提取出来，得到一个公因式和一个把原式除以公因式的商。

例子：8x^3+12x^2=4x^2(2x+3)2.根据乘法结合律和分配律，将每一个单项式的因式分别提出来。

例子：3xy + 9x + 6y + 18 = 3(x + 3) + 6(y + 3) = 3(x + 3 +2(y + 3)) = 3(x + 2y + 9)3.因式分解中，根据不同的整式形式，可以采用不同的方法进行因式分解。

常见的因式分解方法有：(1)一元二次整式的因式分解：对形如ax^2 + bx + c的一元二次整式，可以使用因式分解公式 (ax + m)(cx + n)进行分解，其中m、n分别是满足m*n=ac的两个数。

例子：x^2-5x+6=(x-2)(x-3)(2)立方差公式：对形如a^3 - b^3的整式，可以使用立方差公式 (a - b)(a^2 + ab + b^2)进行分解。

第十四章 整式乘法与因式分解（一）幂的运算：1．同底数幂的乘法①n 个相同因式（或因数）a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次方（幂），其中a 为底数，n 为指数，a n 的结果叫做幂。

①底数相同的幂叫做同底数幂。

①同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：a m ﹒a n =a m+n 。

注意：底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+•+①此法则也可以逆用，即：a m+n = a m ﹒a n 。

①开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

2．同底数幂的除法①同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数）。

①此法则也可以逆用，即：a m -n = a m ÷a n （a≠0）。

3．零指数与负指数公式:（1）零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0=1（a≠0）。

（2）负指数幂：任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即：p p aa 1=-（p a ,0≠是正整数） 注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

注意：00，0-2无意义；（2）有了负指数，可用科学记数法记录小于1的数，例如：0.0000201=2.01×10-5 .绝对值小于1的数可记成n -10a ⨯±的形式，其中10a 1<≤，n 是正整数，n 等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。

4．幂的乘方①幂的乘方是指几个相同的幂相乘。

（a m ）n 表示n 个a m 相乘。

①幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

mn n m a a =)(。

（n m ,都是正整数）①此法则也可以逆用，即m n n m mn a a a )()(==。

三一文库（）/初中二年级〔初二数学知识点总结：整式的乘除与因式分解〕一.定义1.整式乘法(1).am·an=am+n[m,n都是正整数]同底数幂相乘,底数不变,指数相加.(2).(am)n=amn[m,n都是正整数]幂的乘方,底数不变,指数相乘.(3).(ab)n=anbn[n为正整数]积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.(4).ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积第1页共3页的一个因式.(5).m(a+b+c)=ma+mb+mc单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,(6).(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘.2.乘法公式(1).(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.(2).(a±b)2=a2±2ab+b2完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍.3.整式除法(1)am÷an=am-n[a≠0,m,n都是正整数,且m>n]同底数幂相除,底数不变,指数相减.(2)a0=1[a≠0]任何不等于0的数的0次幂都等于1.(3)单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.23。

整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解一、知识点1.幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即，am·an＝am＋n（m、n为正整数）。

例如：(－2a)2(－3a2)3 = 4a2·-27a6 = -108a8.2.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即，a(mn)＝(am)n（m、n为正整数）。

例如：(－a5)5 = (-1)5·a25 = a25.3.积的乘方性质：积的乘方等于各因式乘方的积。

即，(ab)n = an·bn（n为正整数）。

例如：(－a2b)3 = (-1)3·a6·b3 = -a6b3.4.幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即，a/m ÷ a/n = a(m-n)（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）。

例如：(1) x8÷x2 = x6；(2) a4÷a = a3；(3) (ab)5÷(ab)2 = a3b3.5.零指数幂的概念：a0 = 1（a≠0）。

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.例如：若(2a-3b)0=1成立，则a,b满足任何条件。

6.负指数幂的概念：a-p = 1/ap（a≠0，p是正整数）。

任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。

例如：(m/n)-2 = n2/m2.7.单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：(1) 3a2b·2abc·abc2 = 6a4b2c3；(2) (-m3n)3·(-2m2n)4 = -8m14n7.8.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。

例如：(1) 2ab(5ab+3ab) = 16a2b2；(2) (ab2-2ab)·ab = a2b3-ab2.9.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

第十四章 整式的乘除与分解因式 一、知识框架:二、知识概念：1. 基本运算： ⑴同底数幂的乘法： a m ⨯ a n = a m +n⑵幂的乘方： (a m )n= a mn ⑶积的乘方： (ab )n= a n b n等边三角形的性质 2. 整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3. 计算公式：⑴平方差公式： (a - b )⨯(a + b ) = a 2 - b 2⑵完全平方公式： (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ； (a - b )2= a 2 - 2ab + b 24. 整式的除法：⑴同底数幂的除法： a m ÷ a n = a m -n⑵单项式÷ 单项式：系数÷ 系数，同字母÷ 同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷ 单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷ 多项式：用竖式.5. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6. 因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式： a 2 - b 2 = (a + b )(a - b )因式分解整式除法 乘法法则整式乘法②完全平方公式：a2± 2ab +b2=(a ±b)2③立方和：a3+b3= (a +b)(a2-ab +b2 )④立方差：a3-b3= (a -b)(a2+ab +b2 )⑶十字相乘法：x2+(p +q)x +pq =(x +p)(x +q)⑷拆项法⑸添项法。

整式的乘除与因式分解学点1 同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n(m 、n 都是正整数)即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （1）法则理解①同底数幂是指底数相同的幂．如(-3)2与(-3)5,(ab 3)2与(ab 3）5,(x-y)2与(x-y)3等．②同底数幂的乘法法则的表达式中，左边：两个幂的底数相同，且是相乘的关系；右边：得到一个幂，且底数不变，指数相加． （2）法则逆用与推扩①同底数幂的乘法法则也可逆用，可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它的指数之和等于原来幂的指数．即a m+n =a m ·a n(m 、n 都是正整数)如：25=23·22=2·24等．②同底 数幂的乘法法则可推扩到三个或三个以上的同底数幂的相乘． a m ·a n ·a p =a m+n+p(m 、n …p 都是正整数)， （3）应用法则注意的事项：①底数不同的幂相乘，不能应用法则.如：32·23≠32+3；②不要忽视指数为1的因数，如:a ·a 5≠a 0+5．③底数是和差或其它形式的幂相乘，应把它们看作一个整体．考点1 同底数幂的乘法法则 1. 如果 ，则 的值是 A. B. C.D.2. 已知 ，，则 的值为A.B.C.D.3.计算： （1）-a ·(-a)3 （2）-a 3·(-a)2 （3）(a-b)2·(a-b)3 （4）(a-b)2·(b-a)3考点2 同底数幂的乘法法则的反用 1.若3m a =，2n a =，则m na +的值是 ．2.已知2x ＝64，则2x＋3的值是 ．考点3：同底数幂的乘法法则的推广1.计算： （1）x 2·(-x)3·(-x)4 (2)x n ·x n+1·x n -1·x(3)(x-y)4·(y-x)5·(y -x)2·(x-y)[点拨]1.在底数相差符号时，可先利用指数的奇偶性将底数化为相同，再用同底数幂的乘法法则．2．n 为偶数时，（-a ）n=a n,n 为奇数时，（-a ）n=-a n经常需要运用这一特性简化运算．考点4 混合运算1.计算（1）（-3）100+（-3）99+（-3）54·（-345）．（2）x 3·x m -x m+3+(-x 3)·(-x)2易错题分析1、（﹣a ）3（﹣a ）2（﹣a 5）=（ ）A 、a 10B 、﹣a 10C 、a 30D 、﹣a 302.已知是大于1的自然数，则等于( )A. B. C. D. 能力拓展1.已知2a =3,2b =6,2c=12,那么a 、b 、c 是否满足a+c=2b 的关系？若满足，请说明理由，若不满足，请说明原因。