反函数、复合函数的求导法则(课堂PPT)

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《复合函数求导》PPT课件_OK

说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
5
例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;
解:
y
4(2 x 3
x
1 x
)3
(2x3
x
1 x
)
4(2 x 3
x
1 x
)3 (6 x 2
1 x2
1)
.
(2) y 5 x
1 x
(3)y=tan3x;
(4) y (2x2 3) 1 x2
解: (1) y f ( x2 ) ( x2 ) 2xf ( x2 );
(2) y f ( 1 x2 ) 2x x f ( 1 x2 ); 2 1 x2 1 x2
(3) y [ f (sin2 x) f (cos2 x)]
f (sin2 x)(sin2 x) f (cos2 x)(cos2 x)
x0 x a2
y0 y b2
(3)过双曲线
1.
x2 a2
y2 b2
1上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
x0 x a2
y0 y b2
1.
(4)过抛物线y2=2px上一点P0(x0,y0)的切线方程是:y0y =p(x+x0).
15
证:设x有增量Δx,则对应的u,y分别有增量Δu, Δy.
因为u (x) 在点x处可导,所以u (x) 在点x处连续.
解:
y 1 (
x
4
) 5 (
x
) 1 (
x
4
) 5
1
1
4
x5
(1
6
x) 5
.
5 1 x 1 x 5 1 x (1 x)2 5

《复合函数求导》课件

THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率，从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。

导数的运算法则及复合函数的导数公式(课堂PPT)

A. y′=2xcosx-x2sinx B. y′=2xcosx+x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（）

课件：复合函数的求导法则,反函数的求导法则

dy
即：反函数的导数等于原函数的导数的倒数.
证任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x ) 由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
f ( x)连续,
y
当x 0时，必有 y 0.又知 ( y) 0
f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
例1
y lntan x，求
dy dx
.
解令 u tan x ，则 y ln u
故 dy ln utan x 1 sec2 x
dx
u
1 sec2 x tan x
1 sin x cos x
例2
y 3 1 2x2 ，求 dy
dx
.
解
dy
1 2x2
1 3
dx
1
1 2x2
证由 y f (u)在u处可导,可得
f (u) lim y u0 u
则有 y f (u) o(1),其中lim o(1) 0
u
u0
即 y f (u)u o(1)u
所以 y f (u) u o(1) u
x
x
x
注意到:当x 0时, 由u (x) 的连续性
可得 u 0,从而 lim o(1) lim o(1) 0
2 3
1 2x2
3
1
1 2x2
2 3
4x
3
4x
33 (1 2x2 )2
例3 y sin nx sinn x ,求y. nsinn1 x sin(n 1)x
例4 y ln( x x2 1), 求 yy. 1
例5
y
1

高等数学PPT课件：函数的求导法则

1 x x I x dy
因
y
f 1( x) 连续,
故 lim y
x0
0,
[
f
1
(
x)]
lim y
x0x
lyim01x
1. f ( y)
y
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
9
函数的求导法则
例
求函数
y
反函数
arcsin
x 的导数.
[ f 1( x)] 1 f ( y)
( x)
1
3 x 2
3
sin
x
3
x cos x,
当x 0时,
0,
当x 0时, 8
函数的求导法则
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x f ( y)在 I y内单调、可导且f ( y) 0 , 反函数 y f 1( x)在对应I x内可导 ,
[ f 1( x)]
f
1 (
y)
或
dy dx
因变量对自变量求导,等于因变量对中间
变量求导,乘以中间变量对自变量求导.
12
函数的求导法则
定理3 如果 u g( x)在x可导 , y f (u)在u可导 , 则 y f [g( x)]在 x可导，dy f (u) g( x) dx
证 y f (u)在点u可导 , lim y f (u), u0 u
则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv dx du dv dx
例求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dx
dy du
du dx
1 u
cos x

复合函数求导法【高等数学PPT课件】

y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2

1 2
[(
2u
2

1 2

2u 1)
2
( 2u

1 2
2u
2

1)] 2

1 4
(2u2

2
2u

2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y

f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11

1 y

f12 z)
f

z(
f21
1 y

f22 z)
1x
2y 3z

1 y2
f11

2
z y
f12

z2
f

,
f21

2 f vu
,
f22

2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则

反函数复合函数初等函数课件

三角函数的图像
三角函数的图像可以通过描点法或变换法得出，例如$y=sin x$和$y=cos x$的图像。
对数函数的图像
对数函数的图像可以通过描点法或变换法得出，例如$y=log_a x$（$a>0$且 $aneq1$）的图像。
Part
04
反函数与复合函数的应用
在数学中的应用
解决方程问题
通过反函数，可以将一个方程问题转化为另一个方程问题，从而简化求解过程。
在某些情况下，反函数和初等函数可以是同一个函数，例如对于线性函数y=ax+b ，其反函数也是初等函数。
反函数与初等函数在数学中的地位
反函数和初等函数在数学中都具有重要的地位，是数学研究和应用的基础。反函数的概念有助于深入理解函数的性质和图像，而初等函数则是数学分析、微积分等课程中的基本工具。
在解决实际问题时，常常需要将实际问题转化为数学模型，而反函数和初等函数是构建这些数学模型的重要工具。
初等函数的性质
有界性
初等函数在其定义域内都 1
是有一定界限的，即其值域是有限的。
可微性
4
在定义域内，初等函数可以求导数，即具有可微性。
单调性
根据不同的定义域和对应
2
法则，初等函数在其定义
域内可以是单调增函数或
单调减函数。
周期性
3 有些初等函数具有周期性
，例如正弦函数和余弦函数。
初等函数的图像
复合函数的奇偶性
复合函数的值域
复合函数的值域由外层函数的值域和内层函数的值域共同决定。
如果一个复合函数的内层函数和外层函数都是奇函数或偶函数，那么这个复合函数可能是奇函数或偶函数。
复合函数的求法

复合函数的求导法则ppt课件

1 － 2a = 2b －4
ab 5. 2
解(2): ab a b
ab (a b)2 25 .
2
2
16
16
再见!
17
eu (0.05) 0.05e0.05x1.
10
例2 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ; 3 y sin x 其中 ,均为常数 .
(3)函数 y sin x 可以看作函数 y sin u
13
例4.求过点P(－2,0)且与曲线y=x2＋x＋1相切的直线方程.
b=a2＋a＋1 …………(1)
y' 2x 1
kPA 2a 1
kPA

a
b
2
b
P(－2,0)
2a 1
a2
b=2a2＋5a＋2 …………(2)
A(a,b)
2a2＋5a＋2 =a2＋a＋1 a2＋4a＋1=0
和 u x 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y'x yu' u'x (sin u)' x ' cos u cos x .
11
4 y 2x 3 ; 5 y ln(2x 1);
(6) y ( x 2)3(3x 1)2
解出a即可。
15
例5.设抛物线C1 : y x2 - 2x 2与抛物线 C2 : y - x2 ax b在它们的交点处的切线互相垂直. (1)求a, b之间的关系.
(2)若a 0, b 0,求ab的最大值.
解(1): 设C1与C2交点P(m,n),

反函数复合函数初等函数求导.ppt

（ 1
2 x 2）
dx
3
4x 33（1 2 x2）2 .
返回
推广
设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ (x)]}的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
返回
例10 y lncos(e x )求 dy。
dx 解所给函数可分解为 y ln u,u cosv,v e x . 因
1 x2
返回
例2 求函数 y loga x 的导数. 解 x a y在I y (,)内单调、可导,
且 (a y ) a y ln a 0, 在Ix (0,)内有 :
(log a
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
返回
例3 求函数 y arctan x 的导数.
y
( y)
返回
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1 1 sin 2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
dx du dx u
sinxcosx
例6 y e x3 ,求 dy 。
dx
解 y e x3可看做由y eu ,u x3复合而成，因此
dy dy du eu 3x2 3x2e x3 . dx du dx

高数课件-求导的运算法则

（9） (secx) secx tan x ；
（11） (arcsin x) 1 ； 1 x2
（ 13）
(arctanx)
1 1 x2
；
2021-10-3
（2） (x ) x1 ；
（4）(loga
x)
1 x ln
a
，(ln
x
)
1 x
；
（6） (cosx) sin x ；
（8） (cot x) csc2 x ；
注 1.基本初等函數的導數公式和上述求導法則
是初等函數求導運算的基礎，必須熟練掌握
2.複合函數求導的鏈式法則是一元函數微分學的理論基礎和精神支柱，要深刻理解，熟練應用——注意不要漏層
3.對於分段函數求導問題：在定義域的各個部分區間內部，仍按初等函數的求導法則處理，在分界點處須用導數的定義仔細分析，即分別求出在各分界點處的左、右導數，然後確定導數是否存在。
2021-10-3
lim
x0
u x
u(x),
lim
x0
v x
v(x)
，
lim u
x0
lim v
x0
0，
且
u u(x x) u(x), v v(x x) v(x),
u(x x) u(x) u,v(x x) v(x) v.
⑵ ⑴⑶
yxyxyx[u[((x1ux)(xu)v((uxx]))[vu()x)uvx((vuvv(]((xxx)))ux(
例 3.2.9
设
y
shx
ex
ex 2
, 求 dy .
dx
解 dy (ex ) (ex ) ex ex (x) ex ex chx.

高数课件64复合函数求导法则

03
误区三
运算错误。有些同学在求导过程中由于运算不熟练或粗心大意导致出错。
要避免这种误区，需要加强运算练习，提高运算准确性和熟练度。
典型例题分析与解答
例题一
求函数$y = sin(2x)$的导数。
分析
这是一个典型的复合函数求导问题，其中外层函数是$sin u$，内层函数是$u = 2x$。根据复合函数求导法则，我们有$frac{dy}{dx} = frac{d(sin u)}{du} cdot frac{du}{dx} = cos u cdot 2 = 2cos(2x)$。
解答
$y' = 2cos(2x)$。
例题二
求函数$y = e^{tan x}$的导数。
分析
这也是一个复合函数求导问题，其中外层函数是$e^u$，内层函数是$u = tan x$。根据复合函数求导法则，我们有 $frac{dy}{dx} = frac{d(e^u)}{du} cdot frac{du}{dx} = e^u cdot sec^2 x = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
解答
$y' = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
07 总结与展望
课程内容总结
复合函数求导法则基本概念
讲解了复合函数、中间变量、链式法则等基本概念，为求导法则的学习打下基础。
复合函数求导法则的推导
详细推导了复合函数求导法则，包括一元复合函数、多元复合函数以及含参变量的复合函数的求导方法。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04 复合函数求导法则的应用
单一复合函数的求导
链式法则
若函数u=g(x)在点x可导，函数 y=f(u)在对应点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为y'=f'(u)g'(x)或 dy/dx=dy/du * du/dx。

《反函数的求导法则》课件

求导过程中的符号问题
符号确定
在求反函数的导数时，需要注意符号的使用，特别是在复合函数中，内外函数的符号可能会有所不同，需要根据具体情况进行判断。
符号转换
在求导过程中，需要注意符号的转换，特别是对于负号和正号的使用，需要根据导数的定义和性质进行转换。
求导过程中的变量替换问题
变量替换
在求反函数的导数时，需要进行变量替换，将自变量和因变量进行互换，并注意替换后的符号变化。
稳定性。
THANK YOU
反函数的求导公式
反函数的导数公式
如果函数$y = f(x)$在区间$I$上可导，则其反函数$x = f^{-1}(y)$在相应区间$J$上也可导，且$f^{-1}(y)' = frac{1}{f'(x)}$。
公式推导
根据链式法则和反函数的定义，我们可以推导出反函数的求导公式。设$(x, y)$是函数 $f(x)$上的点，则$(y, x)$是反函数$f^{-1}(y)$上的点，且$f'(x) = frac{Delta y}{Delta
隐函数的反函数求导
总结词
介绍隐函数反函数求导的方法和注意事项。
详细描述
选取一些常见的隐函数，如 $y^2 = x$ 或 $xy = e^x$ ，演示如何求这些隐函数的反函数的导数。强调在求导过程中需要注意的细节和技巧，如消去中间变量、处理等式两边同时对x求导等。
04
反函数求导法则的注意事项
反函数求导法则在实践中的应用
数学建模
在数学建模中，反函数求导法则可用于解决各种实际问题，如最优控制、供应链优化等。通过建立数学模型并运用反函数求导法则，可以找到最优解或近似最优解，为实际问
题的解决提供指导。

321导数四则运算324反函数与复合函数的求导规则-PPT文档资料

x6

x4
2 . 设 y cx o ssx i， ny |求 . x 2
解 y (cx o ss ix )n (cx ) o (ssx i)n
sx i n cx os
y | x 2
[six ncox]s 1 x 2
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铃
求导法则 ( u v ) u v ( u v ) u v + u v ( u ) u v u v v v 2
例4 求yx1的导.数 x+1
解
y

(
x x
+
1) 1
(x1)(x+ (1 x )+ 1 ()x 21)x (+1)
[ f 1 ( x ) ] l x 0 y x i l y 0 m 1 x i f 1 ( y m ) y
即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
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铃
反函数的求导法则:[ f 1 ( x ) ] f 1 ( y )
[ u ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) >>> v ( x ) v 2 ( x )
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铃
求导法则 ( u v ) u v ( u v ) u v + u v ( u ) u v u v v v 2
用类似方法还可求得
(tan x)sec2x (sec x)sec x tan x

反函数的倒数复合函数的求导法则PPT课件

(
x
2
1)'
1 3
x
1
2
(x
2)' ,
11
1
2
x2
2x 1
3( x
2)
x
x 2
1
1 3( x
2)
例7
求函数
y
sin 1
ex
的导数.
解
y
s in 1
ex
(sin
1
)
1 s in
ex
cos
1
(1
)
x
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
第9页/共17页
三、小结
反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.
第10页/共17页
思考题
若 f (u)在u0 不可导，u g( x)在x0 可导，且 u0 g( x0 )，则 f [g( x)]在x0 处（）．
（1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；
第11页/共17页
思考题解答
正确地选择是（3）
例 f (u) | u | 在 u 0处不可导，取u g( x) sin x 在 x 0处可导， f [g( x)] | sin x | 在 x 0 处不可导，(1) 取 u g( x) x4 在 x 0处可导， f [g( x)] | x4 | x4 在 x 0处可导，(2)
即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)

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=1。 sin x cos x
8
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结束
复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
例 4．y=e x3 ，求 dy 。
dx 解：函数 y = e x3 是由 y=eu ，u=x3 复合而成，
dy = dy du = eu 3x 2 = 3xe x3 。 dx du dx
3
= 4x 。 33 (1 2x 2 ) 2
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12
结束
复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。
例 8．y=lncos(e x)，求 dy 。 dx
解： dy = [ln cos(e x )] = 1 [cos(e x )]
9
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结束
复合函数的求
，或
y=yuux
。
例 5． y = sin 2x ，求 dy 。
1 x2
dx
解： y = sin 2x 是由 y=sin u，u = 2x 复合而成，
1 x2
1 x2
dy = dy du = cos u 2(1 x 2 ) (2x)2
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例2．求(arctan x)及(arccot x)。
解：因为y=arctan x是x=tan y的反函数，所以 (arctan x) = 1 = 1 = 1 = 1 。
(tan y) sec2 y 1 tan 2 y 1 x 2 类似地有： (arc cot x) = 1 。
1 x2
4
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结束
基本初等函数的导数公式小结：
(1) (C)=0，
(11)
(2) (xm)=m xm1，
(3) (sin x)=cos x，
(12)
(4) (cos x)=sin x， (13)
6
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结束
二、复合函数的求导法则
如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=f[j(x)]在点x 0可导，且其导数为
dy dx
x= x0
= f (u0)j (x0)。
如果 u=j(x)在开区间 Ix内可导，y=f(u)在开区间 Iu内可导，且当xIx时，对应的uIu，那么复合函数y=f[j(x)]
dx
cos(e x )
dx
sin x
= 1 cos x = cot x 。 sin x
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11
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
例 7． y = 3 1 2x 2 ，求 dy 。 dx
解：
dy
= [(1
1
2x2 )3
]
=
1
(1
2
x
2
)
2 3
(1
2x2 )
dx
，(a>0, a
(ln x)=1 ， x
(arcsin x)= 1 ， 1 x2
(arccos x)= 1 ， 1 x2
1
(arctan
x)= 1
x
2
，
(arctan x) = 1 。 1 x5 2
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二、复合函数的求导法则
如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=f[j(x)]在点x 0可导，且其导数为
2 反函数、复合函数的求导法则
一、反函数的导数基本初等函数的导数公式小结
二、复合函数的求导法则三、求导法则小结
1
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例1．求(arcsin x)及(arccos x)。
解：因为y=arcsin x是x=sin y的反函数，所以
(arcsin x) = 1 = 1 =
1
=1 。
(sin y) cos y 1 sin 2 y 1 x 2
类似地有：(arccos x) = 1 。
1 x2 3
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一、反函数的导数
dy dx
x= x0
= f (u0)j (x0)。
简要证明：
假定u=j(x)在x0的某邻域内不等于常数，则Du0，
此时有
dy = lim Dy = lim Dy Du = lim Dy lim Du dx x=x0 Dx0 Dx Dx0 Du Dx Du0 Du Dx0 Dx
= f (u 0)j (x 0)。
简要证明：
因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。
f (x) = lim Dy = lim 1 = 1 ，
Dx0 Dx Dy0 Dx j ( y)
Dy
即
f (x) = 1 。
j ( y)
2
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
在区间Ix内可导，且下式成立：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
7
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
例 3．y=lntan x ，求 dy 。 dx
解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成，
dy = dy du = 1 sec2 x = cot x sec2 x dx du dx u
dx du dx
(1 x 2 )2
2(1 x 2 )
=
cos
2x
。
(1 x 2 ) 2
1 x2
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出
中间变量。
例 6．lnsin x，求 dy 。 dx
解： dy = (ln sin x) = 1 (sin x)
(5) (tan x)=sec2x，
(6) (cot x)=csc2x，
(14)
(7) (sec x)=sec x tan x，
(8) (csc x)=csc x cot x， (15) (9) (ax)=ax ln a ，
(10) (ex)=ex，
(16)
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1 (log a x)= x ln a