4.3.1
函数的极值
2) 极值的必要条件 ➢ 定理4-4 设函数f(x)在点x0处具有导数,且在点x0处取得极值,则f'(x0)=0.
• 通常称使函数f(x)的导数值为零的点为驻点.即若f'(x0)=0,则x0为驻点.因此, 可导函数的极值点必定是它的驻点,但是函数的驻点却不一定是它的极值 点.例如,对函数f(x)=x3而言,点x0=0是它的驻点.但是在定义域(-∞,+∞)内 函数是单调增加的,即在点x0=0的某个邻域内既有大于f(0)=0的值,又有小 于f(0)=0的值,所以点x0=0不是它的极值点,可见函数的驻点只是可能的极 值点.此外,函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值.例如,我们知道函 数f(x)=|x|在点x=0处的导数是不存在的,但是在该点取得极小值.由此可知, 对于连续函数,可能成为函数极值点的,一定是函数的驻点与导数不存在的 点,我们把它叫做极值可疑点.
4. 1.Leabharlann 2 ∞/∞型未定式【例4-5】求极限lim(x→+∞) lnx/x^n (n>0). ➢ 解: lim(x→+∞) lnx/x^n =lim(x→+∞) (lnx)'/(x^n)'=lim(x→+∞) (1/x)/(nx^(n-1) )=lim(x→+∞) 1/(nx^n )=0. 【例4-6】求极限lim(x→∞) x/e^x . ➢ 解: lim(x→+∞) x/e^x =lim(x→+∞) (x)'/(e^x )'=lim(x→+∞) 1/e^x =0. 【例4-7】求极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(2x^2+2x+1). ➢ 解: lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(2x^2+2x+1)=lim(x→∞) (2x3)/(4x+2)=lim(x→∞) 2/4=1/2 .
